第1章 塑性变形力学基础
塑性力学(一)
（四）学习塑性力学的基本方法 塑性力学是连续介质力学的一个分支，故研 究时仍采用连续介质力学中的假设和基本方法。 (1) 受力分析及静力平衡条件(力的分析) 对一点单元体的受力进行分析。若物体受力作用 ，处于平衡状态，则应当满足的条件是什么？（静力 平衡条件）
(2) 变形分析及几何相容条件(几何分析) 材料是连续的，物体在受力变形后仍应是连续 的。固体内既不产生“裂隙”，也不产生“重叠”。则 材料变形时，对一点单元体的变形进行分析，应满 足的条件是什么？（几何相容条件） (3)力与变形间的本构关系 (物理分析) 固体材料受力作用必然产生相应的变形。不同的 材料，不同的变形，就有相应不同的物理关系。则对 一点单元体的受力与变形间的关系进行分析，应满足 的条件是什么？（物理条件，也即本构方程。）
（一）σ-ε曲线的简化 （二）σ-ε的关系式（分为三个不同的状态）
鉴于学习塑性力学问题的复杂性，通常在塑性理 论中要采用简化措施。为此得到基本上能反映材料的 力学性质，又便于数学计算的简化模型。 （一）σ-ε曲线的简化 理想弹塑性模型（软钢） 分段模型 大致分为两类： 连续模型 线性强化弹塑性模型 幂次强化模型 R-O模型
（6）包氏效应
卸载后，如果进行反向加载 （拉伸改为压缩）首先出现压缩 的弹性变形，后产生塑性变形， 但这时新的屈服极限将有所降 低，即压缩应力应变曲线比通常 的压缩试验曲线屈服得更早了。 这种由于拉伸时的强化影响到压 缩时的弱化现象称为包辛格 (Bauschinger)效应 (一般塑性理 论中都忽略它的影响) 。
小结： 由两个实验我们得到了四个结论： 1）应力－应变关系不再一一对应，且一般是非线性 的。 2）应力－应变的多值性。（出现卸载时） 3）在静水压力作用下，体积的改变都是弹性变形， 没有塑性变形。 4）在静水压力作用下，材料的塑性行为不受影响。
塑性变形的力学基础
塑性变形的力学基础录入: 151dreamhow 来源: 日期: 2008-2-6,10:14金属成形时，外力通过模具或其它工具作用在坯料上，使其内部产生应力，并且发生塑性变形。
由于外力的作用状况坯料的尺寸与模具的形状千差万别，从而引起材料内各点的应力与应变也各不相同。
因此必须研究变形体内各点的应力状态、应变状态以及产生塑性变形时各应力之间的关系与应力应变之间的关系。
一、点的应力与应变状态在变形物体上任意点取一个微量六面单元体，该单元体上的应力状态可取其相互垂直表面上的应力来表示，沿坐标方向可将这些应力分解为九个应力分量，其中包括三个正应力和六个剪应力，如图 1a 所示。
相互垂直平面上的剪应力互等，t xy=t yx，t yz=t zy，t zx=t xz。
因此若已知三个正应力和三个剪应力，那么该点的应力状态就可以确定了。
改变坐标方位，这六个应力分量的大小也跟着改变。
对任何一种应力状态，总是存在这样一组坐标系，使得单元体各表面上只有正应力而无剪应力，如图 1b 所示。
这三个坐标轴就称应力主轴，三个坐标轴的方向称主方向，这三个正应力就称为主应力，三个主应力的作用面称为主平面。
图1 点的应力状态a）任意坐标系b）主轴坐标系三个主方向上都有应力存在称为三向应力状态，如宽板弯曲变形。
但板料大多数成形工序，沿料厚方向的应力s t与其它两个互相垂直方向的主应力（如径向应力s r与切向应力s q）相比较，往往很小，可以忽略不计，如拉深、翻孔和胀形变形等，这种应力状态称为平面应力状态。
三个主应力中只有一个有值，称为单向应力状态，如板料的内孔边缘和外形边缘处常常是自由表面，s r、s t为零。
除主平面不存在剪应力之外，单元体其它方向上均存在剪应力，而在与主平面成45°截面上的剪应力达到极值时，称为主剪应力。
s1≥s2≥s3时，最大剪应力为t=±（s1一s3）／2，最大剪应力与材料的塑性变形关系很大。
第一章 塑性变形的力学基础
第一章塑性变形的力学基础1、塑性加工时所受的外力金属在发生塑性变形时，作用在变形物体上的外力有两种：作用力和约束反力。
第二讲塑性变形的力学基础返回首页2、作用力通常把压力加工设备可动工具部分对变形金属所作用的力叫作用力或主动力。
用实际例子加以说明：（1）锻压时锤头对工件的压力（图1-1a中之P）；（2）挤压加工时活塞对金属推挤的压力（图1-1b中之P）；（3）拉拔加工时，工件所承受的拉力（图1-1c中之P）。
图1-1 基本压力加工过程的受力图和应力状态图（a）镦粗；（b）挤压；（c）拉拔；（d）轧制3、约束反力工件在主动力的作用下，其运动将受到工具阻碍而产生变形。
金属变形时，其质点的流动又会受到工件与工具接触面上摩擦力的制约，因此工件在主动力的作用下，其整体运动和质点流动受到工具的约束时就产生约束反力。
这样，在工件和工具的接触表面上的约束反力就有正压力和摩擦力。
（1）正压力沿工具和工件接触表面法线方向阻碍工件整体移动或金属流动的力，它的方向和接触面垂直，并指向工件，如图1-1中之N。
（2）摩擦力沿工具和工件接触面切线方向阻碍金属流动的力，它的方向和接触面平行，并与金属质点流动方向和流动趋势相反。
如图1-1中之T。
4、轧制压力轧件对轧辊总的正压力和摩擦力的合力值等于轧辊对轧件的总压力，我们把轧件对轧辊总压力的垂直分力叫轧制压力，也就是轧机压下螺丝承受的力。
5、内力的概念和内力产生的原因（1）内力的概念：当物体在外力作用下，并且物体的运动受到阻碍时，为了平衡外力而在物体内部产生的力叫内力（2）内力产生的原因：为了平衡外部的机械作用所产生的内力。
在生产加工（轧制）过程中，由于不均匀变形、不均匀加热或冷却（物理过程）及金属内的相变（物理-化学过程）等，都可以促使金属内部产生内力。
6、应力、应力集中(1)应力的概念：内力的强度称为应力，或者说是内力的大小以应力来度量，即以单位面积上所作用的内力大小表示之。
材料力学性能-第一章-塑性变形(1)
2021年10月28日 第一章 单向静载下材料的力学性能 星期四
2021年10月28日 第一章 单向静载下材料的力学性能 星期四
滑移面－原子最密排的晶面 滑 移
滑移方向－原子最密排方向 系
2021年10月28日 第一章 单向静载下材料的力学性能 星期四 <110>
(111)
体心立方
面心立方
密排六方
2021年10月28日 第一章 单向静载下材料的力学性能 星期四
例如，温度升高时，bcc金属可能沿{112}及 {123}滑移，这是由于高指数晶面上的位错源容 易被激活。轴比为1.587的钛(hcp)中含有氧和氮 等杂质时，若氧含量为0.1％，滑移面为(1010)， 当氧含量为0.01％时，滑移面变为(0001)。由于 hcp金属只有三个滑移系，所以其塑性较差，并 且这类金属塑性变形程度与外加应力方向有很大 关系。
2021年10月28日 第一章 单向静载下材料的力学性能 星期四 τ
图1-15 晶体中通 过位错运动造成 滑移的示意图
2021年10月28日 第一章 单向静载下材料的力学性能 星期四
位错运动过程中滑移面上原子位移情况如
图1-16所示。当晶体通过位错运动产生滑移时，
只在位错中心的少数原子发生移动，而且它们
2021年10月28日 第一章 单向静载下材料的力学性能 星期四 滑移变形的特点： 滑移只能在切应力作用下发生，产生 滑移的最小切应力称为临界切应力；
滑移常沿晶体中原子密度最大的晶面 和晶向发生，这是因为原子密度最大的 晶面和晶向之间的间距最大，原子结合 力最弱，产生滑移所需切应力最小。
2021年10月28日 第一章 单向静载下材料的力学性能 星期四
为了降低两个不全位错间
塑性力学 ppt课件
或者
l l n ij i j S n ij l i 2 S n n
2 n
（求和约定的缩写形式）
一点的应力状态及应力张量
一点的应力状态：是指通过变形体内某点的单元体所有 截面上的应力的有无、大小、方向等情况。 一点的应力状态的描述： 数值表达：x=50MPa，xz=35MPa 图示表达：在单元体的三个正交面上标出（如图 1-2） 张量表达： (i,j=x,y,z) x xy xz
1 2 2 3 3 1
x
I3 . .
xy xz y yz . z
23 1
讨论：
1. 2. 3. 4. 5. 6. 可以证明，在应力空间，主应力平面是存在的； 三个主平面是相互正交的； 三个主应力均为实根，不可能为虚根； 应力特征方程的解是唯一的； 对于给定的应力状态，应力不变量也具有唯一性； 应力第一不变量I1反映变形体体积变形的剧烈程 度，与塑性变形无关；I3也与塑性变形无关； I2与塑性 变形有关。 7. 应力不变量不随坐标而改变，是点的确定性的判据。
弹性、塑性变形的力学特征
可逆性：弹性变形——可逆；塑性变形——不可逆 -关系：弹性变形——线性；塑性变形——非线性 与加载路径的关系：弹性——无关；塑性——有关 对组织和性能的影响：弹性变形——无影响；塑性变形—— 影响大（加工硬化、晶粒细化、位错密度增加、形成织构等） 变形机理：弹性变形——原子间距的变化； 塑性变形——位错运动为主 弹塑性共存：整体变形中包含弹性变形和塑性变形；塑性变 形的发生必先经历弹性变形；在材料加工过程中，工件的塑 性变形与工模具的弹性变形共存。
金属塑性加工原理
塑性变形的力学基础课件
1.干摩擦：指工件与工具接触面间没有任何其它 介质和薄膜，仅是其金属与金属之间的摩擦。
2.液体摩擦：工具与工件的接触面间被润滑油完全隔开
，两表面的相对滑动阻力只与液体的性质和速度梯度有关，而 与接触面状态无关时，这种摩擦称为液体摩擦。
3.边界摩擦定义：工具与工件的接触面间仅存在厚度小 于1μm的润滑剂吸附层的润滑摩擦称为边界摩擦或吸附摩 擦。
二、变形的力学图示
1.定义
把变形过程中的应力图示和变形图示两 者放在一起合称为变形力学图示。
注意：
应力图示与变形图示的符号往往不一致。
应力图示和变形图示之间的关系：
从各主应力中把 m 扣除，余下的应力分量与
塑性变形相对应。
即：变形图示符号与 1m ,2m ,3m符号
相对应。
与主变形相对应的应力图示
1.最大咬入角法：
根据 b tanmax 便可求出 b
而
max
arccos 1
hmax D
2.轧件强迫制动法
在轧件后端作用一制动力Q，强迫轧件在转 动的轧辊间停下来，在开始打滑瞬间测定制动 力Q和轧制力P。
2
Q tan
s
2P 1 Q
tan
2P
式中φ在计算中常取φ=
2
3.轧制力矩法
测定前滑为零时的纯轧力矩M和轧制力P， 按下式计算：
2 n
总延伸系数与平均延伸系数间的关系为：
z
F0 Fn
n
平均延伸系数
n
z
n
F0 Fn
轧制道次与断面积及平均延伸系数的 关系为 ：
n lnF0 lnFn
ln
1.5 外摩擦
一、塑性加工中摩擦的特点
大连理工大学精品课程-材料力学性能-第一章-塑性变形(4)
6
系数），是真实应变等于1.0时的真实应力
2020年7月25日 第一章 单向静载下材料的力学性能 星期六
这几个公式的相关系数都在0.99以上。 ★Swift公式中的e0相当于预应变值，用于描述同 一材料或相同形变硬化特性材料经过不同预应变 的流变曲线。 ★ Lüdwick公式中的S0相当于屈服应力，用于描 述具有相似形变硬化特性但有不同屈服应力时的 流变曲线。 ★ Hollomon公式最简单，目前被广泛采用。 7
工程应力-应变曲线
e
4
图1-41 真实应力-应变曲线和工程应力-应变曲线比较
2020年7月25日 第一章 单向静载下材料的力学性能 星期六
通过流变曲线的拟合表达式（经验方程 式），可以找出表征形变强化能力的参量。在 拉伸试验中，对塑性较好的材料，一般会在均 匀塑性变形终结且承力水平达到极值以后出现 颈缩，使试样进入非均匀的集中塑性变形阶段， 所以，上述拟合分析既可针对均匀塑性变形阶 段，也可针对非均匀塑性变形阶段或全过程进 行，只需进行修正即可。 5
2020年7月25日 第一章 单向静载下材料的力学性能 星期六
2.应变硬化和塑性变形适当配合，可使金属进行 均匀塑性变形，从而保证冷变形工艺顺利实施。
金属的塑性变形是不均匀的，时间上也有先 后，由于金属具有应变硬化能力，哪里有变形， 它就在哪里阻止变形的继续发展，从而使变形转 移到别处去，变形和硬化交替进行就构成了均匀 塑性变形，从而获得合格的冷变形加工的金属制 品。 21
是需要不断增加外力才能继续进行，这说明金属有
一种阻止继续塑性变形的抗力，这种随着塑性变形
的增大形变抗力不断增大的现象叫形变硬化。
❖位错交割——形成割阶
❖位错反应——形成固定位错 2 ❖位错增值——提高位错密度
塑性力学知识点
《塑性力学及成形原理》知识点汇总第一章绪论1.塑性的基本概念2.了解塑性成形的特点第二章金属塑性变形的物理基础1.塑性和柔软性的区别和联系2.塑性指标的表示方法和测量方法3.磷、硫、氮、氢、氧等杂质元素对金属塑性的影响4.变形温度对塑性的影响；超低温脆区、蓝脆区、热脆区、高温脆区的温度范围补充扩展：1.随着变形程度的增加，金属的强度硬度增加，而塑性韧性降低的现象称为:加工硬化2.塑性指标是以材料开始破坏时的塑性变形量来表示，通过拉伸试验可以的两个塑性指标为:伸长率和断面收缩率3.影响金属塑性的因素主要有:化学成分和组织、变形温度、应变速率、应力状态（变形力学条件）4.晶粒度对于塑性的影响为:晶粒越细小，金属的塑性越好5.应力状态对于塑性的影响可描述为（静水压力越大）：主应力状态下压应力个数越多，数值越大时，金属的塑性越好6.通过试验方法绘制的塑性一一温度曲线，成为塑性图第三章金属塑性变形的力学基础第一节应力分析1.塑性力学的基本假设2.应力的概念和点的应力状态表示方法3.张量的基本性质4.应力张量的分解；应力球张量和应力偏张量的物理意义；应力偏张量与应变的关系5.主应力的概念和计算；主应力简图的画法J =O +O +O公式（3-14）应力张量不变量的计算J =-9 O +o o +O O ）+T 2 +T 2 +T 2 ...................................................... 2兀y y z z兀冲yz小J =OOO + 2T T T - （OT 2 +o T 2 +O T 2 ） 3 兀 y z xy yz zx x yz y zx z xy公式(3-15)应力状态特征方程o 3 - J o 2 - J a -J = 01 2 3(当已知一个面上的应力为主应力时，另外两个主应力可以采用简便计算公式(3-35)・・・・・・・・ 的形式计算)6 .主切应力和最大切应力的概念计算公式(3-25)最大切应力T = 1(o -o ) max 2 max min7 .等效应力的概念、特点和计算主轴坐标系中公式(3-31) o =上T 1 =上 J(o -o )2 + (o -o )2 + (o -o )2 = J3J' ：2 8弋 2 1 2 ............................. 2 3 3 1 ， 2任意坐标系中公式(3-31a) o =工《(o -o )2 + (o -o )2 + (o -o )2 + 6(T 2 +T 2 +T 2) ............................................... 2 2 * 兀 ' ' z z x xy yz. zx8 .单元体应力的标注；应力莫尔圆的基本概念、画法和微分面的标注 9 .应力平衡微分方程 第二节应变分析1 .塑性变形时的应变张量和应变偏张量的关系及其原因2 .应变张量的分解，应变球张量和应变偏张量的物理意义3 .对数应变的定义、计算和特点，对数应变与相对线应变的关系4 .主应变简图的画法5 .体积不变条件公式(3-55)用线应变0=8 +8 +8 = 0 ；用对数应变(主轴坐标系中)e +G +e = 0 xy z ..........................1 (2)36 .小应变几何方程S u1 ,S u S v.8 =—；丫 二Y =-(——+ x S x xy yx2 S y S x 公式(3-66) 8 S v =—；Y 二Y 1 ,S v S 叭 =-(—+ ——)• ••••••• yS y yz zy2 S z S yS w1 ,S w S 8 =-；Y 二Y =一(——z S z zx xz2 S x S z第三节 平面问题和轴对称问题1.平面应变状态的应力特点；纯切应力状态的应力特点、单元体及莫尔圆公式（3-86） o =o =十（o +o ） =o..................... z2213 m第四节屈服准则 1 .四种材料的真实应力应变曲线 2 .屈雷斯加屈服准则 公式（3-96） T =乙=K ・・・・・・・・ - max 2 3.米塞斯屈服准则 公式(3-101) (o —o )2 + (o —o )2 + (o —o )2 + 6(T 2 +T 2 +T 2) = 2o 2 = 6K 2.................................................. 无 y y z z 无盯 yz zxs(o —o )2 + (o —o )2 + (o —o )2 = 2o 2 = 6K 24 .两个屈服准则的相同点和差别点5 . o 1-orBo s ,表达式中的系数p 的取值范围 第五节塑性变形时应力应变关系 1 .塑性变形时应力应变关系特点 2 .应变增量的概念，增量理论 公式（3-125） d £ =o 、d 九• • •••••••IJ IJ公式（3-129） d £ =丝［o - 1（o +o ）］ ； d y =3竺T ........................ x o x 2y zxy2 o xy d £ = =[o - -(o +o)]； y o y 2 x z d yyz 人 d £「1 /d £ = =[o --(o z o z 2x+o y )l ；,3 d £dy = 一 =T zx 2o zx 3.比例加载的定义及比例加载须满足的条件 第六节塑性变形时应力应变关系 1.真实应力应变曲线的类型第四章金属塑性成形中的摩擦1.塑性成形时摩擦的特点和分类；摩擦机理有哪些？影响摩擦系数的主要因素2.两个摩擦条件的表达式3.塑性成形中对润滑剂的要求；塑性成形时常用的润滑方法第五章塑性成形件质量的定性分析1.塑性成形件中的产生裂纹的两个方面2.晶粒度的概念；影响晶粒大小的主要因素及细化晶粒的主要途径3.塑性成形件中折叠的特征第六章滑移线场理论简介1.滑移线与滑移线场的基本概念；滑移线的方向角和正、负号的确定2.平面应变应力莫尔圆中应力的计算；o = o —K sin 23公式（7-1） o =o + K sin23................ y mT = K cos 233.滑移线的主要特性；亨盖应力方程公式（7-5） o —o = ±2K3................ ma mb ab4.塑性区的应力边界条件；滑移线场的建立练习题一、应力-2 0 0 -1、绘制o ij= 0 4 -1的单元体和应力莫尔圆，并标注微分面。
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第1篇塑性变形力学基础第1章应力分析与应变分析§1.1 应力与点的应力状态1.1.1 外力塑性加工是利用材料塑性，在外力作用下使材料发生塑性变形，制备具有一定外形尺寸及组织性能产品的一种加工方法。
外力是塑性加工的外因，它可以分成表面力和体积力两大类。
表面力即作用于工件表面的力，它有集中载荷和分布载荷之分，一般由加工设备和工模具提供。
体积力则是作用于工件每一质点上的力，如重力、磁力、惯性力等等。
在一般的加工过程中，体积力的作用远远小于表面力，因此往往忽略不计。
但在加速度较大的场合，体积力不能忽略。
例如锤上模锻，工件所受的惯性力向上，有利于材料填充上模，故常把形状复杂的型腔设置在上模。
对外力的研究，一般采用理论力学的静力平衡法来分析，即使是体积力如惯性力，也可转化为一种等效“静力”，仍可采用静力平衡法来分析。
1.1.2 内力内力是材料内部所受的力，它的产生来自于外界作用和物体维持自身完整性的力。
外界作用可以是外力，也可以是物理作用、化学作用，如冷热不均。
内在力则来自于组成物体的众多原子，它们总是试图保持相互之间的距离不变。
当外界作用于物体时，迫使原子间距发生变化，而原子则以力的形式与外界抗衡，以恢复稳定位置，保持原有的间距。
所以内力是物体抵抗外界作用而产生的于内部各部分之间相互平衡的力。
研究内力时，首先须用假想截面剖切物体，暴露出内力，视其为外力，然后再运用理论力学的静力平衡方法来求解。
1.1.3 应力应力是单位面积上的内力（见图1-1），其定义式为：Sn=dP/dA （1.1）图1-1 应力示意图图1-2 平行于坐标面上应力示意图其中dA 为假想截面某处的微面积，d P 为微面积上“作用”的内力。
Sn 为力矢量。
可以将分解成平行于dA 外法线n 向的正应力n σ和“作用”在dA 内的切应力 n τ或者二个正交的切应力。
特别是，当dA 分别为平行于直角坐标系下三个坐标面时，其应力分解如图1-2所示。
每个应力分量的符号带有两个下角标。
第一个角标表示该应力分量所在的面（以外法线命名），第二个角标表示该应力所指的方向。
正应力分量的两个角标相同，一般可用一个下角标表示，如xx σ可简写成x σ。
切应力分量的正负号规定如下：外法线指向坐标轴正向的面为正面，反之为负面。
在正面上，指向坐标轴正方向上的切应力分量为正；在负面上，指向坐标轴负方向上的切应力分量也为正。
即两个角标同号为正，异号为负。
正应力分量则以拉为正，压为负，由于单元体处于平衡状态，故绕单元体各坐标轴的合力矩为零，由此可得剪应力互等，即yx xy ττ=，xz zx ττ=，zy yz ττ=。
1.1.4 点的应力状态应力是某点某方位单位作用面上所受的力，而过一点可以有无穷多个方位的面。
这些方位作用面上的应力如何，这正是一点的应力状态所反映的问题。
现考察变形体内任一点M 某一斜面上的应力情况。
设过M 点三个坐标面上的应力为已知。
设斜面与三个坐标轴的截距为dx 、dy 、dz ，以四面体近似表示点，从而斜面近似通过M 点（见图1-3）。
斜面外法线n 的方向余弦分别为：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫z y x l z n l y n l x n 令令令),cos(),cos(),cos( （1. 2）设斜面上的全应力为，它在三个坐标轴上的投影为S x ， S y ， S z 。
在n 上的分量为n σ，在作用面上的分量为n τ。
列四面体的力平衡方程，即0,0,0=∑=∑=∑z y x 有：⎪⎭⎪⎬⎫++=++=++=z z y yz x xz z z zy y y x xy y z zx y yx x x x l l l S l l l S l l l S στττστττσ （1. 3） 或用矩阵形式表达成图1-3 四面体受力示意图⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z y x z yz xz zy y xy zx yx x z y x l l l S S S στττστττσ （1. 4）常用求和约定简记成),,,( z y x j i l S i ij j ==σ （1. 5）式中，若i =j ，ij σ表示正应力；j i ≠时，ij σ为剪切应力。
于是： ),,( 222z y x i S S S S S S i i x y x n ==++=（1. 6）),,,( z y x j i l l l S l S l S j i ij z z y y x x n ==++=σσ （1. 7）22n n n S στ-= （1. 8）从上面可以看出，过M 点任意斜面上的应力情况取决于ij σ以及方向斜弦i l 。
只要知道三个坐标面上的应力ij σ，则该点任意斜面上的应力均可求出。
因此一点的应力状态可用ij σ来描述，即：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=z yz xz zy y xy zx yx x ij στττστττσσij σ中，行表示应力作用方向（或作用面），列表示应力作用面（或应力作用方向）。
ij σ称作应力张量。
数学上可以证明ij σ为一个二阶对称张量。
假设四面体的斜面正好是物体的外表面，则（式1.5）、（式1.6）、（式1.7）、（式1.8）给出了应力边界条件，即表面上应力与物体内部应力的关系式。
§1.2 点的应力状态分析由前可知，过一点任意斜面上的应力情况取决于ij σ与l i 。
当ij σ给定后，应力大小只与斜面的方位有关。
改变方向，总可以得出一些特殊的应力值。
1.2.1 主应力与应力张量不变量主应力是指作用面上无切应力时所对应的正应力，该作用面称作主平面，法线方向为主轴或主方向。
设主应力为σ，当n 为主方向时，有x x l S σ=，y y l S σ=，z z l S σ=，代入（式1.3），——表示x 方向 ——表示y 方向 ——表示z 方向表 表 表 示 示 示 x y z 平 平 平 面 面 面整理，有：⎪⎭⎪⎬⎫=-++=+-+=++-0)(0)(0)(z z y yz x xz z zy y y x xy z zx y yx x x l l l l l l l l l σστττσστττσσ （1. 9） 求解z y x l l l ,,的非零解，必有系数行列式值为零，最终可得032213=---I I I σσσ （1. 10）其中321,,I I I 称作应力张量的第一、二、三不变量。
（1. 11）可以证明，式（1. 10）有三个不同的实根设为321,,σσσ且它们是相互正交的，习惯上有321σσσ≥≥的约定。
以上分析表明，ij σ一定，主应力与I 1，I 2，I 3的大小就完全确定。
因此，一点的应力状态也可用主应力来表示。
特别是，当坐标轴与主轴相重合时，ij σ的表现形式最为简洁。
同样I 1，I 2，I 3的形式也可简化。
不论坐标系怎样变化，一点的主应力与应力张量不变量保持恒定。
求得主应力321,,σσσ之后，代回式（1. 9）中的任意二式，再结合1=i i l l ，便可求出321,,σσσ相对于z y x ,,轴的方向余弦。
1. 2. 2 主切应力改变方向，总有若干方向使n τ为主切应力，其作用面为主切平面。
若以主应力表示，则式（1. 8）为：2232222211232322222121)(l l l l l l n σσσσσστ++-++= （1. 12）求解0 ,0 ,022223212=∂∂=∂∂=∂∂znn n l l l τττ，结合1=i i l l ，可得以下六组解。
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫=++=-++=z yz xz zyy xy zxyx x x zx xz z z yz zy y y xy yx x zy x I I I στττστττσσττσσττσσττσσσσ321表1.1 n τ的极值解前三组为主平面，其上的n τ为零，绝对值为极小。
后三组为主切平面，其上的n τ绝对值为极大，其方向总是与主平面成45°。
当有321σσσ≥≥时，有最大剪切应力31max 21σστ-=（1. 13）1. 2. 3 八面体应力与等效应力在主应力空间中，每一掛限中均有一组与三个坐标轴成等倾角的平面，八个掛限共有八组，构成正八面体，简称八面体面。
八面体表面上的应力为八面体应力。
因为有：31321±====l l l l 由式（1. 7），式（1.12），有：2132322218)()()(31σσσσσσσ-+-+-=借助于I 1， I 2，又有：1831)(31I m z y x ==++=σσσσσ （1. 14）2218332I I +=τ)(6)()()(31222222zx yz xy x z z y y x τττσσσσσσ+++-+-+-=（1. 15）为了使不同应力状态具有可比性，定义了等效应力e σ（应变能相同的条件下），也称相当应力。
823τσ=e)(6)()()(21222222zx yz xy x z z y y x τττσσσσσσ+++-+-+-=（1.16）至此，由),( ),,(i ij n i ij n l f l f στσστσ==引出了三种殊应力面，如图1-4所示。
它们是：Ⅰ：三组主平面，应力空间中构成平行六面体。
Ⅱ：六组主切平面，在应力空间构成十二面体。
Ⅲ：四组八面体面，构成正八面体。
§1.3 应力张量的分解与几何表示1. 3. 1 应力张量的分解塑性变形时体积变化为零，只有形状变化。
因此，可以把ij σ分解成与体积变化有关的量和与形状有关的量。
前者称应力球张量，后者称应力偏张量。
设m σ为平均应力，则有：131)(31I z y x m =++=σσσσ （1. 17）按照应力叠加原理，ij σ具有可分解性。
因此有：ij m ij m ij ij δσδσσσ+-=)(),,,( 'z y x j i ij m ij =+=δσσ （1. 18） 式中，当j i =时，1=ij δ ；当j i ≠时，0=ij δ。
上式第一项为应力偏张量，其主轴方向与原应力张量相同。
第二项为应力球张量，其任何方向都是主方向，且主应力相同。
值得一提的是，ij m δσ只影响体积变化，不影响形状变化，但它关系到材料塑性的充图1-4 应力球与特殊面分发挥。
三向压应力有利于材料塑性的发挥。
应力偏张量仍然是一个二阶对称张量，同样有三个不变量，分别为321',','I I I 。
[]⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=+++-+-+-==++=ij zx yz xy x z z y y x z y x I I I '')(6)()()(61'0''''322222221στττσσσσσσσσσ （1. 19）0'1=I 表明应力偏张量已不含平均应力成份。