含三角函数的Chebyshev多项式的封闭形和式
关于两类切比雪夫多项式及三角函数的一些恒等式
关于两类切比雪夫多项式及三角函数的一些恒等式
切比雪夫多项式是一类多项式，它们可以用来描述在多维空间中的曲线或曲面。
两类切比雪夫多项式是一类特殊的切比雪夫多项式，它们的形式如下：
$P_n(x)=\sum_{k=0}^n c_kT_k(x)$
其中$T_k(x)$ 是切比雪夫多项式，$c_k$ 是常数。
三角函数是指以弧度制为单位的角度所对应的函数，这些函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）。
在数学中，恒等式是指两个数学表达式，它们对于任意可以取到的值都相等。
例如，以下是一些有关两类切比雪夫多项式和三角函数的恒等式：
切比雪夫多项式的级数展开：$P_n(x)=\sum_{k=0}^n
c_kT_k(x)=c_0+c_1T_1(x)+c_2T_2(x)+...+c_nT_n(x)$
切比雪夫多项式的级数逆展开：$T_n(x)=\frac{P_n(x)-P_{n-1}(x)}{c_n}$
三角函数的恒等式：$\sin^2 x+\cos^2 x=1$
反三角函数的恒等式：$\sin^{-1} x=\arcsin x$、$\cos^{-1} x=\arccos x$、
$\tan^{-1} x=\arctan x$
这些恒等式在数学中都有广泛应用。
高中数学竞赛切比雪夫(Chebyshev)多项式知识整理
方法一：余弦倍角公式是由余弦的幂整系数线性组合来表示倍角的余弦．这样就产生余弦的n 倍角能否用余弦的幂次的整系数线性组合表示等问题．通过研究，发现cos n α都是关于2cos α的首项系数为1的、次数等于α的倍数的、系数符号正负相间的整系数多项式，还进一步得到cos n α的一些性质．应用此性质，可以得到一些求和公式及解决许多数学问题．进一步研究，发现此多项式可以转化为切比雪夫多项式．在初等数学中，三角函数是一个十分有用的工具，余弦cos n α是众所周知的偶函数，它的倍角公式如：2cos 22cos 1αα=- ，(1)3cos34cos 3cos ααα=-． (2)它们都是由余弦cos α的幂整系数线性组合来表倍角的余弦．这样就自然产生了余弦的n 倍角能否用余弦cos α的幂次的整系数线性组合表示问题，稍作计算可以得42cos 48cos 8cos 1ααα=-+ ，(3)53cos516cos 20cos 5cos αααα=-+ ．(4)观察公式(1—4)，可以发现．如果公式两端同乘以2，则公式右边都是关于2cos α的首系数为1的、次数等于公式左边α的倍数的、系数符号正负相间的整系数多项式．由此猜测2cos n α也具有这一性质，下面用数学归纳法加以证明．猜想2,02cos (1)(2cos )m n m n m m n a αα-==-∑，(;n N m N +∈∈) (5)(5)式可改写为：n/312112cos (2cos )(1)(2cos )ent nmm n m n m m n n C mααα----==+-∑，(9) (9)式称为n 倍角余弦公式．12424cos 2(cos )(cos )(cos )n n n n n n n αααααα-----=-++…，其中i α为正整数．因为余弦cos α在[]0,απ∈上单调，对应值为1降到1-，即cos α[]1,1∈-，[]0,απ∈ ．因此存在反函数，若令cos x α=，则arccos x α=，[]1,1x ∈-，[]0,απ∈．因此，在余弦n 倍角公式中令arccos x α=，[]0,απ∈，[]1,1x ∈-，则倍角公式为[][][]24124cos(arccos )2cos(arccos )cos(arccos )cos(arccos )nn n n n n n x x x x αα-----=-++…124242n n n n n n x x x αα-----=-++…．于是cos(arccos )n x 首项系数为12n -的多项式，各项系数是整数，符号依次变化，x 的幂依次递减2次，若递减到最后，幂次为负，则该项取零．若记cos(arccos )n x =()n T x ，则()n T x 满足，12()2()()n n n T x xT x T x --=-，()n T x 称为切比雪夫多项式．从递推关系可以得到：0()1T x =，1()T x x =，22()21T x x =-，33()43T x x x =-，424()88+1T x x x =-， 535()1620+5T x x x x =-，6426()3248+181T x x x x =--．第一类切比雪夫多项式有许多良好的性质，例如：1．(cos )cos(),,n T n R n N θθθ=∈∈．(分析：令cos x θ=，arccos x θ=)2．()(1)()n n n T x T x -=-，,x C n N ∈∈．这表明()n T x 当n 为奇(偶)数时是奇(偶)函数．3．()1,,1n T x x R x ≤∈≤．4．21(0)0m T +=，2(0)(1),m m T m N =-∈． 5．函数列{}()n T x 的生成函数为21(),,112n n n xtT x t t R t xt t≥-=∈≤-+∑． （分析：生成函数又叫母函数，在数学中，某个序列的母函数是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息．使用母函数解决问题的方法称为母函数方法．母函数的思想就是把离散数列和幂级数一一对应起来，把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来确定离散数列的构造．母函数是解决组合计数问题的有效工具之一，其思想方法是把组合问题的加法法则和幂级数的乘幂的相加对应起来．）6．函数列{}()n T x 满足2阶递推关系21()2()()n n n T x xT x T x ++=-，,x C n N ∈∈．（分析：由三角恒等式cos(1)cos(1)2cos cos n n n θθθθ++-=）最小偏差切比雪夫在1857年提出这样一个问题：在最高项系数为1的n 次多项式()()()01n x x x x x ω=--…()1()n n n x x x P x --=-中，寻求在区间[]1,1-上与零的偏差最小的多项式．换句话说，就是寻求[]1,1n x C ∈-在1n H -中的最佳一致逼近多项式1()n P x *-，这里{}1111()min()n n n nn n P H x P x xP x --*--∞∞∈-=-．定理 在区间[]1,1-上所有最高项系数为1的多项式中，111()())2(n n n n n x x P x x T ω**--=-=， 与零的偏差最小，其偏差为112n -．()n U x 称为第n 个第二类切比雪夫多项式，前7个第二类切比雪夫多项式为：230123()1,()2,()41,()84U x U x x U x x U x x x ===-=-，424()16121U x x x =-+，535()32326U x x x x =-+，6426()6480241U x x x x =-+-．第二类切比雪夫多项式也有许多良好的性质，例如：1．()(1)(),,n n n U x U x x C n N -=-∈∈．即当以为奇(偶)数时是奇(偶)函数． 2．21(0)0m U +=，2(0)(1)m m U =-，(1)1n U n =+,(1)(1)(1)n n U n -=-+，m N ∈． 3．函数列{}()n U x 的生成函数为2(),,112nn n U x t t R t xt t ≥=∈≤-+∑． 4．()1,,1n U x n x R x ≤+∈≤． 5．函数列{}()n U x 满足2阶递推关系21()2()(),,n n n U x xU x U x x C n N ++=-∈∈．两类切比雪夫多项式的关系定理1设()n T x 和()n U x 分别为第一类和第二类切比雪夫多项式，0n ≥为整数，则0()()nn i n i i U x T x x -==∑.证明 由两类切比雪夫多项式的定义得21),12(n n nT xt t x x t t ∞=-=-+∑ 而2211112121xt xt t xt t xt-=⨯-+-+-, 则(((())))n nnnnnn i n n n i i n n n t tUx T x x T x t x t∞∞∞∞-=======∑∑∑∑∑.比较式在子两边n t 项的系数，即有0(())nn i i n i U x T x x -==∑.4切比雪夫多项式的应用4.1切比雪夫多项式插值切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用．这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值．相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近． 切比雪夫多项式插值法：定理：设01,,x x …,n x 为区间[],a b 上1n +个互不相同的点，[]1(),n f x C a b +∈，则对任何[],x a b ∈,存在[]01,,,x n x x x ξ∈，使得拉格朗日插值余()()()n R x f x L x =-， 满足()()()(1)1(1)!n n x n R x f x n ξω+=+.其中[]{}{}[]010101,,,,min ,,,,,max ,,,,,n n n x x x x x x x x x x x x a b =⊂⎡⎤⎣⎦，()()()()()010nn n j j x x x x x x x x x ω==---=-∏.插值多项式的余项极小化：要使拉格朗日插值多项式()n L x 尽量逼近()f x ，就要使余项()n R x 尽量小．在 ()n R x 中，()f x 是固定的，而 x ξ又是未知数，所以要减小()n R x ，只有恰当选择节点集，使得在插值区间内余项的最大值为极小值．为了应用切比雪夫多项式，首先应将插值区间[],a b ,通过简单变换归一化到区间[−1,1],做变换()12k k z b a x b a =-++⎡⎤⎣⎦ 所以插值节点应取为()121cos 222k k z b a b a n π+⎡⎤=-++⎢⎥+⎣⎦. 其中0,1,2,,1k n =-，所以下面我们只需要讨论区间[−1,1]上的函数的切比雪夫插值法：当取定第一类切比雪夫点21cos,0,1,2,,22k k x k n n π+==+后，()()()()()010nn n j j x x x x x x x x x ω==---=-∏()12n n T x -+=.令()1111max n n x M f x ++-≤≤=，则有()()11max 1max(1)!2(1)!n n nn x R x M M n n ++=≤++∏，故切比雪夫插值法可以使得余项的最大值极小化，得到较佳逼近多项式.。
Chebyshev多项式最佳一致逼近-最佳平方逼近
数学软件实验任务书实验1 Chebyshev 多项式最佳一致逼近1 实验原理设()f x 是定义在区间[,]a b 上的函数，寻求另一个构造简单，计算量小的函数()x ϕ来近似的代替()f x 的问题就是函数逼近问题。
通常我们会取一些线性无关的函数系来达到函数逼近的目的：对于给定的函数{()}j x ϕ，寻求函数0()()nj j j x c x ϕϕ==∑ 使()()0max lim n a x bf x x ϕ→∞<<-=的函数称为一致逼近。
使()()()0lim b pa n f x x W x dx ϕ→∞-=⎰ 的函数称为关于权()W x 的p L 逼近。
比较常用的p=2，称为平方逼近。
设()f x 是定义在区间[,]a b 上的函数，则任给定ε，存在一多项式P ε使不等式()f x P εε-<对所有[,]x a b ∈一致成立()()max n a x b f x P x ≤≤-则()n P x 称为()f x 的n 次最佳一致逼近多项式。
求最佳一次逼近多项式的一种方法是可以采用Chebyshev 节点插值，Chebyshev 节点为 1(21)[()cos _],0,1,2,,22(1)j j x b a b a j n n +=-++=+L 2 实验数据求函数()x f x xe =在区间[6,6]上的3，5和12次近似最佳逼近多项式（Chebyshev 插值多项式）3 实验程序function g=cheby(f,n,a,b)for j=0:ntemp1=(j*2+1)*pi/2/(n+1);temp2=(b-a)*cos(temp1)+b+a;temp3(j+1)=temp2/2;endx=temp3;y=f(x);g=lag(x,y);function s=lag(x,y,t)syms p;n=length(x);s=0;for(k=1:n)la=y(k);%构造基函数for(j=1:k-1)la=la*(p-x(j))/(x(k)-x(j)); end;for(j=k+1:n)la=la*(p-x(j))/(x(k)-x(j)); end;s=s+la;simplify(s);endif(nargin==2)s=subs(s,'p','x');s=collect(s);s=vpa(s,4);elsem=length(t);for i=1:mtemp(i)=subs(s,'p',t(i));ends=temp;endf=inline('x.*exp(x)','x');z1=cheby(f,3,-6,6)z2=cheby(f,5,-6,6)z3=cheby(f,12,-6,6)%作出逼近函数图形subplot(2,2,1),ezplot('x*exp(x)'),grid subplot(2,2,2),ezplot(z1),grid subplot(2,2,3),ezplot(z2),grid subplot(2,2,4),ezplot(z3),grid%改变背景为白色set(gcf,'color','white')4 实验结果z1 =-133.0+4.822*x^3+27.38*x^2-20.40*xz2 =.2001*x^5+1.359*x^4-2.020*x^3-18.56*x^2+6.126*x+40.2 5z3 =-.2405e-16+.5187e-7*x^12+.6439e-6*x^11+.1420e-5*x^1 0+.6201e-5*x^9+.2287e-3*x^8+.1813e-2*x^7+.8007e-2*x^6+.3709e-1*x^5+.1682*x^4+.520 9*x^3+.9981*x^2+.9729*x实验2 Chebyshev最佳平方逼近1 实验数据的5 次最佳求函数()arccos,(11)=-≤≤关于权函数f x x x平方逼近。
chebyshev多项式的由来
chebyshev多项式的由来
切比雪夫多项式（Chebyshev Polynomials），也叫作切比雪夫混沌映射（Chebyshev Chaotic Map），是计算数学中一类特殊的函数。
它起源于多倍角的余弦函数和正弦函数的展开式，是计算数学中一类特殊的函数，对于注入连续函数逼近问题、阻抗变换问题等等的数学、物理学、技术科学中的近似计算有着非常重要的作用。
此外，切比雪夫多项式还有两个重要的等价定义：一是设n,x为变量且满足n阶切比雪夫多项式的余弦式定义为Tn(x)=cos(narccosx)，当x=±1时，等价的递归迭代定义为Tn(x)=2xTn−1(x)−Tn−2(x)，其中T0(x)=1,T1(x)=x。
二是设n,x为变量且满足n阶扩展切比雪夫多项式的余弦式定义为Tn(x)=cos(narccosx)，当x=±1时，等价的递归迭代定义为Tn(x)=2xTn−1(x)−Tn−2(x)，其中T0(x)=1,T1(x)=x。
切比雪夫多项式有广泛的数学、物理学、技术科学的应用，例如在逼近理论中有重要的应用。
同时，扩展切比雪夫多项式（Extended Chebyshev Polynomials）也有重要应用，特别是当参数x在区间[-1,1]之外时，仍然具有半群性质并且可以有效抵抗Bergamo攻击。
Chebyshev多项式PPT课件
由三角恒等式
cos n cos(n 2) 2cos cos(n 1) ,
可得Tn( x)的如下递推公式:
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性质1 Tn( x) 2 xTn1( x) Tn2( x), n 2, 3, T0( x) 1, T1( x) x.
性质2 Tn( x)是首项系数为2n1的 n 次代数多项式，且T2k ( x) 只含 x 的偶次幂，T2k1( x)只含 x 的奇次幂。
进一步，我们还可给出函数系{Tk ( x)}0n和幂函数 系{ xk }0n的互为表示式。
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T0( x) 1, T1( x) x, T2( x) 2x2 1, T3( x) 4x3 3x, T4( x) 8x4 8x2 1, T5( x) 16x5 20x3 5x, T6( x) 32x6 48x2 18x2 1,
x
x2 2!
x3 3!
x4 4!
x5 5!
.
则
| ex
p5( x) |
1 6!
1 7!
0.0016.
约为前者绝对误差的33倍。
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两种近似的误差曲线如下图所示
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由图可知： 当x在原点附近时，Taylor逼近误差非常小，但
越偏离原点，其误差就越大。而运用Chebyshev多 项式调整后，误差分布显得均匀，即5( x)在[1,1]上， 较一致地逼近 e x 。
xk
2
2
cos
, k 1,2,
2(n 1)
, n 1.
第13页/共20页
2、 利用Chebyshev多项式降低近似多项式项数 Taylor逼近是一种局部逼近， 利用Chebyshev多项式对它进行改造 可提高计算效率和改善其整体逼近效果。
关于第二类 chebyshev 多项式的一组恒等式
关于第二类 chebyshev 多项式的一组恒等式第二类chebyshev多项式是一种常用的数学函数，用于描述平滑曲线或复杂曲面（平面曲线）。
Chebyshev多项式是一组多项式，由若干系数（称为Chebyshev多项式系数）和标准多项式（如埃尔米特多项式）组成。
它们用于研究函数的特征和性质。
本文将重点介绍关于第二类chebyshev多项式的一组恒等式，包括它们的证明和应用。
首先，让我们看一下第二类chebyshev多项式的定义。
Chebyshev 多项式的每一阶都有一个指定的系数，与埃尔米特多项式（如你经常所说的多项式）类似，它们可以通过积分得到，即：$$C_k(x)=int_{-1}^1 T_k(t) ,t ^{x-1} ,dt$$其中，Tk(t)是欧拉的第二类chebyshev多项式，它可以定义为： $$T_k(t)=cos(k arccos t)$$现在让我们来看一下第二类chebyshev多项式的一组恒等式。
它们可以简写为：$$C_kleft(frac{m+n+1}{2}right)=frac{1}{2^nn!}int_{-1}^1T_k( t)left[(1-t^2)^{m/2}right]^ndt$$换句话说，这个等式表明，当m和n是正整数时，第二类chebyshev 多项式的系数可以通过积分计算得到，而不是通过求导函数来计算。
证明这一组恒等式也很简单。
我们要证明的是，$$C_kleft(frac{m+n+1}{2}right)=frac{1}{2^nn!}int_{-1}^1T_k(t)left[(1-t^2)^{frac{m}{2}}right]^ndt$$可以通过利用欧拉公式来转换成：$$C_k(x)=frac{1}{2^nleft(n+x-1right)!}int_{-1}^1T_k(t)left(1-t^2right)^{x-frac{1}{2}}dt$$因此，可以证明：$$C_kleft(frac{m+n+1}{2}right)=frac{1}{2^nn!}int_{-1}^1T_k( t)left(1-t^2right)^{frac{n-m}{2}}dt$$可以简单的进一步化简，得出：$$C_kleft(frac{m+n+1}{2}right)=frac{1}{2^nn!}int_{-1}^1T_k( t)left[(1-t^2)^{frac{m}{2}}right]^ndt$$这样，我们就证明了第二类chebyshev多项式的一组恒等式。
数学“Chebyshev多项式最佳一致逼近,最佳平方逼近”分析研究方案(内含matlab程序)
西京学院数学软件实验任务书实验十八实验报告一、实验名称：Chebyshev 多项式最佳一致逼近，最佳平方逼近. 二、实验目地：进一步熟悉Chebyshev 多项式最佳一致逼近，最佳平方逼近.实验要求：运用Matlab/C/C++/Java/Maple/Mathematica 等其中一种语言完成程序设计.四、实验原理：1．Chebyshev 多项式最佳一致逼近：当一个连续函数定义在区间[1,1]-上时，它可以展开成切比雪夫级数.即：0()()n n n f x f T x ∞==∑其中()n T x 为n 次切比雪夫多项式，具体表达式可通过递推得出：0111()1,(),()2()()n n n T x T x x T x xT x T x +-===-它们之间满足如下正交关系：10 n mn=m 02n=m=0ππ-≠⎧⎪⎪=≠⎨⎪⎪⎩⎰ 在实际应用中，可根据所需地精度来截取有限项数.切比雪夫级数中地系数由下式决定：10112n f f ππ--==⎰⎰2．最佳平方逼近：求定义在区间01[,]t t 上地已知函数最佳平方逼近多项式地算法如下.设已知函数()f x 地最佳平方逼近多项式为01()n n p x a a x a x =+++，由最佳平方逼近地定义有：01(,,,)0(0,1,2,,)n iF a a a i n a ∂==∂其中120101(,,,)(())t n n n t F a a a f x a a x a x dx =----⎰形成多项式()p x 系数地求解方程组Ca D =其中121122211212bbb bn na a a a bb b b n n aaa ab b b b n n n n a a a abbb bn n n naaa a dx xdxx dxx dx xdx x dx x dx x dx C x dx x dx x dx x dx x dx x dx x dx x dx -+---+-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1()()()()b a b a b n a b n a f x dx f x xdx D f x x dx f x x dx -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰五、实验内容：%Chebyshev 多项式最佳一致逼近function f=Chebyshev(y,k,x0)syms t ;T(1:k+1)=t; T(1)=1; T(2)=t;c(1:k+1)=0.0;c(1)=int(subs(y,findsym(sym(y)),sym('t'))*T(1)/sqrt(1-t^2),t,-1,1)/pi;c(2)=2*int(subs(y,findsym(sym(y)),sym('t'))*T(2)/sqrt(1-t^2),t,-1,1)/pi;f=c(1)+c(2)*t; for i=3:k+1T(i)=2*t*T(i-1)-T(i-2);c(i)=2*int(subs(y,findsym(sym(y)),sym('t'))*T(i)/sqrt(1-t^2),t,-1,1)/pi; f=f+c(i)*T(i); f=vpa(f,6); if (i==k+1) if (nargin==3)f=subs(f,'t',x0);elsef=vpa(f,6);endendEnd%最佳平方逼近function coff=ZJPF(func,n,a,b)C=zeros(n+1,n+1);var=findsym(sym(func));func=func/var;for i=1:n+1C(1:i)=(power(b,i)-power(a,i))/i;func=func*var;d(i,1)=int(sym(func),var,a,b);endfor i=2:n+1C(i,1:n)=C(i-1,2:n+1);f1=power(b,n+1);f2=power(a,n+1);C(i,n+1)=(f1-f2)/(n+i);endcoff=C\d;版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.5PCzV。
关于契贝谢夫多项式及三角函数的一些恒等式
・ ｔａｎｍθ ｃｏｓｎ θ ! （ － １）
ｌ＝０
ｌ－ １ ｎ－ ｍ－ ｌ ２ "ｎ－ $" ｌ $ ｎ－ ｍ－ ｌ
ｎ－ ｍ－ ２ｌ
（ １＋ｔａｎ θ ） ．
２
ｌ
推论 ２ 设
第二类契贝谢夫多项式， 则有恒等式 Ｔｎ（ｘ）， Ｕｎ（ｘ）分别是第一类、 ｎ， ｍ， ｋ 是非负整数，
ａ１＋ａ２＋…＋ａｍ＝ｎ
１ １ ２ ２ ３ ３
! （ － １）
ｌ＝０
ｌ
"
ｎ－ ｌ－ １ ｎ－ ｍ－ ｌ
$" $
ｌ ２
ｎ－ ｍ－ ｌ
ｎ－ ｍ－ ２ｌ
ｘ
ｎ－ ２ｌ
于是定理 １ 得证． 利用
Ｔ（ ）＝ｃｏｓｎθ Ｕ（ ）＝ ｓｉｎ（ｎ＋１）θ （参见文献［１］） ｎ ｃｏｓθ ｎ ｃｏｓθ ｓｉｎθ 将 ｘ＝ｃｏｓθ 代入（１）、 （２） 两式经过整理即可得到
ｎ－ ｍ－ ２ｌ
（ １＋ｔａｎ２θ ） ．
ｌ
这样推论 １ 得证．
Ｔｎ（Ｔｋ（ｘ））＝Ｔｋｎ（ｘ） Ｕｎ（Ｔｋ（ｘ））＝ Ｕｋ（ｎ＋１）－ １（ｘ） Ｕｋ－ １（ｘ） 将 ｘ＝Ｔｋ（ｘ）代入（１）、 （２） 两式经过整理得
又
ａ１＋ａ２＋…＋ａｍ＝ｎ
（参见文献［９］）
!
・ … ・ （Ｕｋ（ａ ＋１）－ １（ｘ）＋Ｕｋ－ １（ｘ）Ｔｋａ （ｘ）） （Ｕｋ（ａ ｍ＋１）－ １（ｘ）＋Ｕｋ－ １（ｘ）Ｔｋａ （ｘ））＝
２
ｊ＋ｌ
．
ａ１＋ａ２＋…＋ａｍ＝ｎ
!
・ ・ … ・ ｓｉｎａ１θ ｓｉｎａ２θ ｓｉｎ ａｍθ ＝
第２期
李
［ ｎ－ ｍ ］ ２
超，王
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3)
文献 [2 ] 用发生函数的方法给出 chebyshev 多 项式乘积和的恒等式 。我们利用发生函数方法首先 得到一类含有等比数列的 che byshev 多项式封闭形 和式 ,其次利用复数隶莫弗乘法公式得到含有三角 函数的 chebys hev 多 项式封闭 形和式 的简 捷表达 式 。为了便于表述 ,我们将 Tn ( x) 、 U n ( x) 分别写成 Tn 、 U n 。若无特别说明 , 文中字母表示正整数 。 1 结论 定理 1 :设 U n 、 Tn 是 che bys hev 多项式和复数 d
- 1
( 1) ( d n+ 2 Tn ( 2)
2)
k =0
∑T d
k
k
2 = ( d - 2 x d + 1)
x - 1 ,b = x - b = 2
2
2
x - 1 ( x ≠±1) , a + b = 2 x , a
2
d
n
n+1
Tn+ 1 - d T1 + 1) ;
x - 1 , ab = 1 。
10
形式幂级数为 : 1) [ ( 1 - az) ( 1 - z) ] - 1 =
∞
α+ 1 ]; 1)α + U n cos n
n
(11)
2)
(5)
( a - 1)
- 1
n= 0
∑( a
∞
n+ 1
- 1) z ;
- 1
n
k= 0
U ∑
n
k
sin k α = 2 ( cos α - x) [ U n- 1 si n ( n +
(12)
1)α + U n si n n α] ; 3)
k= 0
2) [ ( 1 - az ) ( 1 + z) ]
The Closed Sum of Chebyshev Pol yn omial In clu din g t he Tr igon ometr ic Funct ion s
J I Wan2hui1 , GUO M ing2pu2
(1. Department of Mat hematic s , Yinchua n Univer sity , Yongning 750105 , China 2. Depar tement of Basic Science , He nan Indust rial and Technological College , Na nya ng 473009 , China) Abstract :Chebyshe v polynomials containing geometric series and calculation for mula s a bout clo sed fo rm of trigono2 metric f unction a nd of the sum interlaced positive a nd negative p ha se wa s obtained by means of generating f unc tio n. key w or ds : chebyshev polynomial ; close d for m ; gene rating f unction
0 引言 由文献 [ 1] 可知 ,第 1 类和第 2 类切比雪夫多项 式为 : Tn+ 2 ( x) = 2 x Tn+ 1 ( x) - Tn ( x) , T0 ( x) = 1 ,
T1 ( x ) = x ; U n+ 2 ( x ) = 2 xU n+ 1 ( x ) - U n ( x ) ,U 0 ( x ) = 1 , U1 ( x) = 2 x 。 它们的通项为 : Tn ( x ) = ( a +
n n+ 1 n+ 1 b ) / 2 ; U n ( x) = ( a - b ) / ( a - b) , 其中 a = x + n
≠ 0 , 含有等比数列的封闭形和式 :
n
1)
k =0
U ∑
n
k
d k = ( d2 - 2 xd + 1) - 1 ( d n+2 U n- 1 + d
n+ 1
U n + d) ;
第 25 卷 第4 期 Vol. 25 No. 4
新乡学 院学 报 (自然科学版) Jour nal of Xinxia ng Univer sity( Na tural Science Edition)
2008 年 12 月 Dec. 2008
含三角函数的 Chebyshev 多项式的封闭形和式
n+ 2
Tn - d
n
n+ 1
Tn+ 1 + ( 4)
( - 1) d T1 + ( - 1) n ] 。
n n
n 证明 : 由已知 U n = ( a - b ) / ( a - b) 、 Tn = ( a
+ bn ) / 2 、 a + b = 2 x、 a - b = 2
x2 - 1 、 ab = 1 可
及万会1 , 郭宁夏 永宁 750105 ;2. 河南工业职业技术学院 基 础科 学部 ,河南 南阳 473009)
摘要 : 用发生函数的方法得到 chebyshev 多项式含有等比数列 ,含有三角函数的 封闭 形计 算公式及正负相间和式的 封闭形计算公式 。 关键词 :che byshev 多项式 ; 封闭形 ;发生函数 . 中图分类号 :O156. 4 文 献标志码 :A 文章编号 :167423326 ( 2008 ) 0420010203
3 收稿日期 :2008212223
k =0
∑( [d
n
1) k U k d k = ( d2 + 2 x d + 1 ) - 1
n+ 2
U n- 1 + d
n+ 1
U n + ( - 1)
n+ 1
d] ;
( 3)
4)
k =0
∑( [d
1) k Tk d k = 2 ( d2 + 2 xd + 1 ) - 1
得 : 有理分式函数化成部分分式之和 , 并将其展开成
基金项目 : 银川大学科学研究基金项目 (项 目编 号 :2 006 2 072 4) 作者简介 : 及万会 (1 94 2 - ) ,男 , 河北交河人 ,银川大学数学教研室副教授 ,研究方向 : 数论 、 不定方程 、 序 列问题 。