2.5.2向量在物理中的应用举例
【数学】2.5.2 向量在物理中的应用举例2
=3（m/s）
总结：向量有关知识在物理学中应用非常广泛，它也是解释某些 物理现象的重要基础知识。通过这节课的学习，我们应掌握什么 内容？
如何解决物理中与向量有关的问题： （1）、弄清物理现象中蕴含的物理量间的关系（数学模型）； （2）、灵活运用数学模型研究有关物理问题；
（3）、综合运用有关向量的知识，三角等和物理知识解决实际 问题；
（4）、用所得的结果解释物理现象。
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ห้องสมุดไป่ตู้
附赠 中高考状元学习方法
前
言
高考状元是一个特殊的群体，在许多 人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目 的星星那样遥不可及。但实际上他们和我 们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处 就是在学习方面有一些独到的个性，又有 着一些共性，而这些对在校的同学尤其是 将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
例题 例1：同一平面内，互成120ْ 的三个大小相等的共 点力的合力为零。
a A
证：如图，用a，b，c表示这3个共点力， 且a，b，c互成120°，模相等，按照向 量的加法运算法则，有：
a +b +c = a +（b +c）=a +OD 又由三角形的知识知：三角形OBD 为等边三角形，故 a与OD共线且模相等 B
v1
v
v2
练习； （1）如图所示，用两条成120º 的等长的绳子悬挂一 个灯具，已知灯具的重量为10N，则每根绳子的拉力是 10N ————。 如图，今有一艘小船位于d = 60m宽的河边 P处，从这里起，在下游 l =80m处河流有一 处瀑布，若河水的流速方向由上游指向下游 （与河岸平行），水速大小为5m/s为了使小 船能安全过河，船的划速不能小于多少？当 划速最小时，划速方向如何？ 60m P 120º
2.5.2 向量在物理中的应用举例
个物体(如图).如果绳子的最大拉力为 F ,物体受到
你能否用向量的知识分析绳子受到的拉力 F1 的
大小与两绳之间的夹角θ 的关系？
课堂探究 1 利用向量解决力（速度、位移）的合成与分解 例1.两个人共提一个旅行包，或在单杠上做引体 向上运动，根据生活经验，两只手臂的夹角大小 与所耗力气的大小有什么关系？ 夹角越大越费力.
立直角坐标系，再通过解三角形或坐标运算，
求有关量的值.
F3
北
F 1
s
解：建立如图所示的直角坐标系，
60
30
F2
30 则 F1(1，3),F(2 3，2),F(-3， 3 3). 西 O 2 3 东 所以 F F1 F2 F3 (2 3 2， 4 3 2), 南 位移 s (4 2, 4 2), 所以F s (2 3 2) 4 2 (4 3 2) 4 2 24 6(J).
答案：每小时2千米
练习：坐标平面内一只小蚂蚁以速度v (1, 2) 从点A(4,6)处移动到点B（7,12）处，其所用时间 长短为——
答案：3
相同的方向做匀速直线运动，速度大小为 e1 +e2 。 另一点Q从Q（ -1）出发，沿着与向量3e1 +2e2 0 -2， 相同的方向做匀速直线运动，速度大小为 3e1 +2e2 。 设P，Q在t 0秒时分别在P0 ，Q0处，则当PQ P0Q0时， t=_______
故这三个力的合力做的功是24 6 J.
45
【提升总结】
用几何法求合力，一般要通过解三角形求边 长和夹角，如果在适当的坐标系中，能写出各分力 的坐标，则用坐标法求合力，利用坐标运算求数量 积也非常简单.
2.5.2向量在物理中的应用举例
(1)(a
b)2
2
a
2a
b
2
b;
(2)(a
b)(a
b)
2
a
2
b.
题型探究
类型三 平面向量数量积的运算律
变例变式式3 已已已知知知|||aaa|||===666，，，|||bbb|||===444，，，aaa与与与bbb的的的夹夹夹 角角角θθθ===666000°°°，，，求求求(a(aa·++2bbb。))··((aa-b-3)b。)。
其中，a、b、c是任意三个向量， R
注：
(a
b)
c
a
(b
c)
合作探究：我们知道，对任a意,b R ，恒有
(a b)2 a2 2ab b2, (a b)(a b) a2 b2.
对任意向量 a, b, 是否也有下面类似的结论？
答案 返回
师生合作探究
一个物体，在力f的作用下产生位移S，如图． 问题1：力 f 在位移S方向上的分力的数值是多少？ 提示：|f|cos θ.
问题2：功又可以表述为？ 提示：力 f 在位移S方向上的分力大小与位移大小的乘积
问题3：向量b在a方向上的大小是多少？向量a在b方向上的 大小？
提示：|b|cosθ； |a|cos θ
反思与感 解析答案
例4.已知 | a | 3,| b | 4 ，且a 与b 不共线，k为何值时， 向量 a kb 与 a kb 互相垂直。
学习目标
1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下 产生位移s所做的功. 2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义. 3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个 向量是否垂直.
2.5.2向量在物理中的应用举例 (3)
D
等边三角形，故 a与OD共线且模相等
所以：OD a,即有：a b c 0
例2：在生活中，你是否有这样的经验：两个人共提
一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上
运动，两臂夹角越小越省力！你能从数学的角度解释
这个现象吗？
F
分析：上述的问题跟如图所示的
是同个问题，抽象为数学模型如
F1
下：
用向量F1，F2，表示两个提力，它们 的合向量为F，物体的重力用向量G 来表示， F1，F2的夹角为θ，如右图 所示，只要分清F，G和θ三者的关系， 就得到了问题得数学解释！
F2 θ
G
解：不妨设 F1 = F2 ，由向量的 平行四
边形法则，力的平衡以及直角三角形的知识，
可以知道： G
F1
=
2.5.2 向量在物理中的应用举例
向量与物理学的联系
向量是从物理学中抽象出来的数学概念，在物 理中，通常被称为矢量！在物理学，工程技术 中有广泛的应用，因此，我们要明确掌握用向 量研究物理问题的相关知识！
1. 向量既是有大小又有方向的量，物理学中， 力、速度、加速度、位移等都是向量！
2. 力、加速度、位移等的合成和分解就是向量的 加减法，运动的叠加也用到向量的合成！
3. 功的定义即是F与所产生位移S的数量积
例题讲解
例1：同一平面内，互成 1200 的三个大小相等的共点力的
合力为零。
A a
证：如图，用a，b，c表示这3个共点
力，且a，b，c互成120°，模相等
120º O
按照向量的加法运算法则，有：
b
c
a +b +c = a +（b +c）=a +OD B
人教a版必修4学案：2.5.2向量在物理中的应用举例(含答案)
2.5.2向量在物理中的应用举例自主学习知识梳理1．力向量力向量与前面学过的自由向量有区别．(1)相同点：力和向量都既要考虑____________又要考虑________．(2)不同点：向量与________无关，力和__________有关，大小和方向相同的两个力，如果__________不同，那么它们是不相等的．2．向量方法在物理中的应用(1)力、速度、加速度、位移都是________．(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的__________运算，运动的叠加亦用到向量的合成．(3)动量mν是____________．(4)功即是力F与所产生位移s的__________．自主探究向量在物理学科和生活实践中都有着广泛的应用，请利用向量的方法解决下列这个问题．某人在静水中游泳，速度为4 3 km/h，(1)如果他径直游向河对岸，水的流速为4 km/h，他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？(2)他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？对点讲练知识点一力向量问题例1如图所示，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1.(1)求|F1|，|F2|随θ角的变化而变化的情况；(2)当|F1|≤2|G|时，求θ角的取值范围．回顾归纳利用向量法解决有关力的问题时，常常先把力移到共同的作用点，再作出相应图形，以帮助建立数学模型．变式训练1用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10 N，求每根绳子的拉力？知识点二速度向量问题例2在风速为75(6－2) km/h的西风中，飞机正以150 km/h的速度向西北方向飞行，求没有风时飞机的飞行速度和航向．回顾归纳速度是向量，速度的合成可以转化为向量的合成问题，合成时要分清各个速度之间的关系．变式训练2一条河宽为800 m，一船从A出发航行垂直到达河正对岸的B处，船速为20 km/h.水速为12 km/h，求船到达B处所需时间．知识点三恒力做功问题例3已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)，作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)．(1)求F1，F2分别对质点所做的功；(2)求F1，F2的合力F对质点所做的功．回顾归纳物体在力F作用下的位移为s，则W＝F·s＝|F|·|s|cos θ.其中θ为F与s的夹角．变式训练3已知F＝(2,3)作用于一物体，使物体从A(2,0)移动到B(－2，3)，求F对物体所做的功．用向量理论讨论物理中相关问题的步骤一般来说分为四步：(1)问题的转化，把物理问题转化成数学问题；(2)模型的建立，建立以向量为主体的数学模型；(3)参数的获取，求出数学模型的相关解；(4)问题的答案，回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象.课时作业一、选择题1．用力F推动一物体水平运动s m，设F与水平面的夹角为θ，则对物体所做的功为() A．|F|·s B．F cos θ·sC．F sin θ·s D．|F|cos θ·s2．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为()A．40 N B．10 2 NC．202N D．10 3 N3．共点力F1＝(lg 2，lg 2)，F2＝(lg 5，lg 2)作用在物体M上，产生位移s＝(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功W为()A．lg 2 B．lg 5 C．1 D．24．已知作用在点A的三个力f1＝(3,4)，f2＝(2，－5)，f3＝(3,1)且A(1,1)，则合力f＝f1＋f2＋f3的终点坐标为()A．(9,1) B．(1,9) C．(9,0) D．(0,9)二、填空题5．已知向量a表示“向东航行3 千米”，b表示“向南航行3千米”则a＋b表示______．6．一个重20 N的物体从倾斜角30°，斜面长1 m的光滑斜面顶端下滑到底端，则重力做的功是___________________________________________________________________．7. 如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是________(写出正确的所有序号)．①绳子的拉力不断增大；②绳子的拉力不断变小；③船的浮力不断变小；④船的浮力保持不变．三、解答题8. 如图所示，两根绳子把重1 kg的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW ＝120°，求A和B处所受力的大小(绳子的重量忽略不计，g＝10 N/kg)．9．已知e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，今有动点P从P0(－1,2)开始，沿着与向量e1＋e2相同的方向做匀速直线运动，速度为e1＋e2；另一动点Q从Q0(－2，－1)开始，沿着与向量3e1＋2e2相同的方向做匀速直线运动，速度为3e 1＋2e 2，设P 、Q 在t ＝0 s 时分别在P 0、Q 0处，问当PQ →⊥P 0Q 0→时所需的时间t 为多少？2.5.2 向量在物理中的应用举例答案知识梳理1．(1)大小 方向 (2)始点 作用点 作用点 2．(1)向量 (2)加、减 (3)数乘向量 (4)数量积 自主探究解 (1)如图甲所示，设人游泳的速度为OB →，水流的速度为OA →，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OACB ，则此人的实际速度为OA →＋OB →＝OC →，根据勾股定理，|OC →|＝8，Rt △ACO 中，∠COA ＝60°，故此人沿与河岸夹角60°顺着水流方向前进，速度大小为8 km/h.(2)如图乙所示，设此人的实际速度为OB →，水流速度为OA →.∵实际速度＝游速＋水速，故游速为OB →－OA →＝AB →，在Rt △AOB 中，|AB →|＝43，|OA →|＝4，|OB →|＝42，cos ∠BAO ＝|OA →||AB →|＝ 33.故此人应沿与河岸夹角余弦值为33，逆着水流方向前进，实际前进速度的大小为4 2 km/h. 对点讲练 例1 解(1)由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，得－G ＝F 1＋F 2，|F 1|＝|G |cos θ，|F 2|＝|G |tan θ， 当θ从0°趋向于90°时，|F 1|，|F 2|都逐渐增大．(2)由|F 1|＝|G |cos θ，|F 1|≤2|G |，得cos θ≥12.又因为0°≤θ<90°，所以0°≤θ≤60°.变式训练1 解 设重力为G ，每根绳的拉力分别为F 1，F 2，则由题意得F 1，F 2与－G都成60°角，且|F 1|＝|F 2|.∴|F 1|＝|F 2|＝|G |＝10 N.∴每根绳子的拉力都为10 N. 例2 解设风速为v 0，有风时飞机的飞行速度为v a ，无风时飞机的飞行速度为v b ， 则v a ＝v b ＋v 0，且v a ，v b ，v 0可构成三角形(如图所示)， ∵|AB →|＝|v a |＝150， |BC →|＝|v 0|＝75(6－2)，|AC →|＝|v b |，作AD ∥BC ，CD ⊥AD 于D ，BE ⊥AD 于E ， 则∠BAD ＝45°， ∴|CD →|＝|BE →|＝|EA →|＝752， ∴|DA →|＝|DE →|＋|EA →|＝|CB →|＋|EA →| ＝75(6－2)＋752＝756，从而tan ∠CAD ＝|CD →||DA →|＝752756＝33，∴∠CAD ＝30°， ∴|AC →|＝1502，∴v b ＝150 2 km/h ，∴没有风时飞机的飞行速度为150 2 km/h ，方向为北偏西60°. 变式训练2 解v 实际＝v 船＋v 水＝v 1＋v 2 |v 1|＝20，|v 2|＝12， ∴|v |2＝|v 1|2－|v 2|2＝202－122＝16(km/h)．∴所需时间t ＝0.816＝0.05(小时)＝3(分钟)．∴该船到达B 处所需的时间为3分钟．例3 解 (1)AB →＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)，W 1＝F 1·AB →＝(3,4)·(－13，－15) ＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)，W 2＝F 2·AB →＝(6，－5)·(－13，－15) ＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J)．∴力F 1，F 2对质点所做的功分别为－99 J 和－3 J.(2)W ＝F ·AB →＝(F 1＋F 2)·AB →＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15) ＝(9，－1)·(－13，－15)＝9×(－13)＋(－1)×(－15) ＝－117＋15＝－102(J)．∴合力F 对质点所做的功为－102 J.变式训练3 解 AB →＝(－4,3)，W ＝F·s ＝F ·AB →＝(2,3)·(－4,3) ＝－8＋9＝1 (J)．∴力F 对物体所做的功为1 J. 课时作业 1．D2．B [|F 1|＝|F 2|＝|F |cos 45°＝102， 当θ＝ 120°，由平行四边形法则知： |F 合|＝|F 1|＝|F 2|＝10 2 N ．] 3．D [F 1＋F 2＝(1,2lg 2)． ∴W ＝(F 1＋F 2)·s ＝(1,2lg 2)·(2lg 5,1) ＝2lg 5＋2lg 2＝2.]4．A [f ＝f 1＋f 2＋f 3＝(3,4)＋(2，－5)＋(3,1)＝(8,0)， 设合力f 的终点为P (x ，y )，则 OP →＝OA →＋f ＝(1,1)＋(8,0)＝(9,1)．] 5．向东南方向航行3 2 千米 6．10 J解析 W G ＝G·s ＝|G|·|s |·cos 60°＝20×1×12＝10 J.7．①③解析 设水的阻力为f ，绳的拉力为F ，F 与水平方向夹角为θ(0<θ<π2)．则|F |cos θ＝|f |，∴|F |＝|f |cos θ.∵θ增大，cos θ减小，∴|F |增大． ∵|F |sin θ增大，∴船的浮力减小． 8．解设A 、B 所受的力分别为f 1、f 2，10 N 的重力用f 表示，则f 1＋f 2＝f ，以重力的作用点C 为f 1、f 2、f 的始点，作右图，使CE →＝f 1，CF →＝f 2，CG →＝f ，则∠ECG ＝180°－150°＝30°，∠FCG ＝180°－120°＝60°.∴|CE →|＝|CG →|·cos 30°＝10×32＝5 3.|CF →|＝|CG →|·cos 60°＝10×12＝5.∴在A 处受力为5 3 N ，在B 处受力为5 N.9．解 e 1＋e 2＝(1,1)，|e 1＋e 2|＝2，其单位向量为(22，22)；3e 1＋2e 2＝(3,2)，|3e 1＋2e 2|＝13，其单位向量为(313，213)，如图．依题意，|P 0P →|＝2t ，|Q 0Q →|＝13t ，∴P 0P →＝|P 0P →|(22，22)＝(t ，t )，Q 0Q →＝|Q 0Q →|(313，213)＝(3t,2t )，由P 0(－1,2)，Q 0(－2，－1)，得P (t －1，t ＋2)，Q (3t －2,2t －1)，∴P 0Q 0→＝(－1，－3)， PQ →＝(2t －1，t －3)，由于PQ →⊥P 0Q 0→，∴P 0Q 0→·PQ →＝0， 即2t －1＋3t －9＝0，解得t ＝2.∴当PQ →⊥P 0Q 0→时所需的时间为2 s .。
2.5.2向量在物理中的应用举例(使用)
小为 4 km/h，则河水的流速大小为________．
解析：如图，|O→C|＝4， |O→B|＝2 3， 则|O→A|＝ 42－（2 3）2＝2. 答案：2 km/h
3.已知直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ADC ＝90°，AD＝2，BC＝1，P 是腰 DC 上的动 点，则|P→A＋3P→B|的最小值为________．
答案：5
其方向为临界方向 PQ ，设 V合 和 V水 夹角为
θ，则最小划速为： v船 = v水 sinθ
P
sinθ = d
=
60 3
d2 l2
60 2 80 2 5
V船 θ
V水
所以：最小的船速应为： v船 = 5 × sinθ =5 ×53 =3（m/s）
总结：向量有关知识在物理学中应用非常广泛， 它也是解释某些物理现象的重要基础知识。通过 这节课的学习，我们应掌握什么内容？
【总结】 (1)利用向量法来解决解析几何 问题，首先要将线段看成向量，再把坐标 利用向量法则进行运算． (2)要掌握向量的常用知识：①共线;②垂 直;③模；④夹角;⑤向量相等则对应坐标 相等.
向量在物理中的应用
3.已知两恒力F1＝(3，4)，F2＝(6，－5)作 用于同一质点，使之由点A(20，15)移动到点 B(7，0)．试求： (1)力F1，F2分别对质点所做的功； (2)F1，F2的合力对质点所做的功．
如何解决物理中与向量有关的问题：
（1）弄清物理现象中蕴含的物理量间的关系 （数学模型）；
（2）灵活运用数学模型研究有关物理问题；
（3）综合运用有关向量的知识，三角等和物理 知识解决实际问题；
【数学】2.5.2 向量在物理中的应用举例2
向量是从物理学中抽象出来的数学概念，在物理中，通常被 称为矢量！在物理学，工程技术中有广泛的应用，因此，我们 要明确掌握用向量研究物理问题的相关知识！
1、向量既是有大小又有方向的量，物理学中，力、速度、 加速度、位移等都是向量！
2、力、加速度、位移等的合成和分解就是向量的加减 法，运动的叠加也用到向量的合成！
（2）行驶时间最短时，所用的时间是多少？
A
分析：（1）因为两平行线之间的最短距离是它们的公垂线段。所
以只有当小船的实际运动方向（即合运动方向）是垂直于河岸的
方向时，小船的航程最小。
（2）小船过河的问题有一个特点，就是小船在垂直于河 岸的方向上的位移是不变的，我们只要使得在垂直于河岸方向上 的速度最大，小船过河所用的时间就最短，河水的速度是沿河岸 方向的，这个分速度和垂直于河岸的方向没有关系，所以使小船 垂直于河岸方向行驶（小船自身的速度，方向指向河对岸），小 船过河所用时间才最短。
F
F1
F2
θ
G
解：不妨设 F1 = F2 ，由向量的 平行四
边形法则，力的平衡以及直角三角形的知识，
可以知道： G
F1
=
2cos
θ 2
（*）
F1
大渐通时变过，小上，2θ 由面因0的此º到式：9子0º，逐有渐：变当大θ，c由os0º2θ到的1值80由º逐大渐逐变
F1 由小逐渐变大，即F1 ，F2之间 的夹角越大越费力，夹角越小越省力！
（2）、由物理中的矢量问题化成数学中的向量问题， 用向量的有关法则解决问题！
（3）、用数学的结果解决物理问题，回答相关的物理现象。
例4：如图，一条河流的两岸平行，河的宽度d = 500m，一 艘船从A处出发到河对岸。已知船的速度 v1 =10km/h，水流 的速度 v2 = 2km/h。
2.5.2 向量在物理中的应用举例
第二章 平面向量2．5 平面向量应用举例 2．5.1 平面几何中的向量方法 2．5.2 向量在物理中的应用举例[A 组 学业达标]1．在四边形ABCD 中，若AB →＋CD →＝0，AC →·BD →＝0，则四边形为( )A ．平行四边形B ．矩形C ．等腰梯形D ．菱形解析：∵AB →∥CD →，|AB →|＝|CD →|，且AC →⊥BD →，∴四边形ABCD 为菱形． 答案：D2．人骑自行车的速度是v 1，风速为v 2，则逆风行驶的速度为 ( )A ．v 1－v 2B ．v 1＋v 2C ．|v 1|－|v 2|D.⎪⎪⎪⎪⎪⎪v 1v 2 解析：由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v 1＋v 2.注意速度是有方向和大小的，是一个向量． 答案：B3．若物体在共点力F 1＝(lg 2，lg 2)，F 2＝(lg 5，lg 2)的作用下产生位移s ＝(2lg 5，1)，则共点力对物体所做的功W 为 ( )A ．lg 2B ．lg 5C ．1D ．2解析：W ＝(F 1＋F 2)·s ＝(lg 2＋lg 5，2lg 2)·(2lg 5，1)＝(1，2lg 2)·(2lg 5，1)＝2lg 5＋2lg 2＝2，故选D. 答案：D4．已知A ，B ，C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为A (1，2)，B (4，1)，C (0，－1)，则△ABC 的形状为( )A ．直角(非等腰)三角形B ．等腰(非等边)三角形C ．等腰直角三角形D ．以上均不正确解析：∵AB →＝(3，－1)，AC →＝(－1，－3)，AB →·AC →＝3×(－1)＋(－1)×(－3)＝0，且|AB →|＝|AC →|＝10，∴△ABC 为等腰直角三角形． 答案：C5．在△ABC 中，若BA →·(2BC →－BA →)＝0，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．正三角形D ．等腰三角形解析：BA →·(2BC →－BA →)＝BA →·(BC →＋BC →－BA →)＝BA →·(BC →＋BC →＋AB →)＝BA →·(BC →＋AC →)＝－BA →·(CB →＋CA →)＝0.由向量加法的平行四边形法则，知以CA ，CB 为邻边的平行四边形的对角线互相垂直，所以△ABC 一定是等腰三角形． 答案：D6．一个重20 N 的物体从倾斜角为30°，斜面长1 m 的光滑斜面顶端下滑到底端，则重力做的功是________．解析：∵物体沿斜面下滑的分力大小|F |＝12×20 N ＝10 N ，∴W ＝|F |·|s |＝10 J. 答案：10 J7．在水流速度为4千米/时的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8千米/时的速度航行，则船实际航行的速度的大小为________ 千米/时．解析：用v 0表示水流速度，v 1表示与水流垂直的方向的航行速度，则v 0＋v 1表示船实际航行速度．∵|v 0|＝4，|v 1|＝8， ∴|v 0＋v 1|＝42＋82＝4 5.答案：4 58．设O 是△ABC 内部一点，且OA→＋OC →＝－2OB →，则△AOB 与△AOC 的面积之比为________．解析：设D 为AC 的中点，如图所示，连接OD ，则OA→＋OC →＝2OD →.又OA →＋OC →＝－2OB →，所以OD →＝－OB →，即O 为BD 的中点，即△AOB 与△AOC 的面积之比为1∶2. 答案：1∶29.如图所示，以△ABC 两边AB ，AC 为边向外作正方形ABGF 和ACDE ，M 为BC 的中点．求证：AM ⊥EF .证明：因为M 是BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)． 又因为EF→＝AF →－AE →，所以AM →·EF →＝12(AB →＋AC →)·(AF→－AE →) ＝12(AB →·AF →＋AC →·AF →－AB →·AE →－AC →·AE →) ＝12(0＋AC →·AF →－AB →·AE →－0) ＝12(AC →·AF →－AB →·AE →)＝12[|AC →||AF →|cos(90°＋∠BAC )－|AB →||AE →|·cos(90°＋∠BAC )]＝0，所以AM →⊥EF →，即AM ⊥EF .10．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，设AC ＝m ，BC ＝n .(1)若D 为斜边AB 的中点，求证：CD ＝12AB ；(2)在(1)的条件下，若E 为CD 的中点，连接AE 并延长交BC 于点F ，求AF 的长(用m ，n 表示)．解析：以C 为坐标原点，以边CB ，CA 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图，则A (0，m )，B (n ，0)．(1)证明：∵D 为斜边AB 的中点， ∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2，m 2，∴|CD →|＝12n 2＋m 2，|AB →|＝m 2＋n 2，∴|CD→|＝12|AB →|，即CD ＝12AB . (2)∵E 为CD 的中点，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 4，m 4.设F (x ，0)，则AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n 4，－34m ，AF →＝(x ，－m )． ∵点A ，E ，F 共线，∴存在实数λ，使AF →＝λAE →，即(x ，－m )＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 4，－34m ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝n 4λ，－m ＝－34mλ.解得x ＝n 3，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 3，0.∴|AF→|＝13n 2＋9m 2，即AF ＝13n 2＋9m 2.[B 组 能力提升]11．已知点A (7，1)，B (1，4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于点C ，且AC →＝2CB →，则a 等于( )A ．2B ．1 C.45 D.53解析：设C (x ，y )，则(x －7，y －1)＝(2－2x ，8－2y )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －7＝2－2x ，y －1＝8－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.∵点C 在直线y ＝12ax 上，∴3＝12a ×3，∴a ＝2. 答案：A12．在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|P A |2＋|PB |2|PC |2＝( ) A ．2 B ．4 C ．5D ．10解析：将△ABC 各边及P A ，PB ，PC 均用向量表示， 则|P A |2＋|PB |2|PC |2＝P A →2＋PB →2PC →2＝（PC →＋CA →）2＋（PC →＋CB →）2PC →2＝2|PC →|2＋2PC →·（CA →＋CB →）＋AB →2|PC →|2＝|AB →|2|PC →|2－6＝42－6＝10.答案：D13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，1)和点B (－3，4)．若点C 在∠AOB 的平分线上且|OC→|＝2，则OC →＝________．解析：如图，已知A (0，1)，B (－3，4)，设E (0，5)，D (－3，9)，∴四边形OBDE 为菱形，∴∠AOB 的平分线是菱形OBDE 的对角线OD . 设C (x 1，y 1)，∵|OC→|＝2，|OD →|＝310，∴OC →＝2310OD →.∴OC →＝(x 1，y 1)＝2310×(－3，9)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－105，3105. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫－105，3105 14．设点O 是△ABC 的外心，AB ＝13，AC ＝12，则BC →·AO →＝________．解析：设{AB→，AC →}为平面ABC 内的一组基底．如图所示，设M 为BC 的中点，连接OM ，AM ，OA ，则OM ⊥BC .又∵BC →＝AC →－AB →，AO →＝AM →＋MO →＝12(AB →＋AC →)＋MO →，∴BC →·AO →＝BC →·(AM→＋MO →)＝BC →·AM →＝(AC →－AB →)·12(AB →＋AC →)＝12(AC →2－AB →2)＝12×(122－132)＝－252. 答案：－25215．已知O 为△ABC 所在平面内一点，且满足|OA →|2＋|BC →|2＝|OB →|2＋|CA →|2＝|OC →|2＋|AB→|2.求证：点O 是△ABC 的垂心．证明：设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ， 则BC→＝c －b ，CA →＝a －c ，AB →＝b －a . ∵|OA→|2＋|BC →|2＝|OB →|2＋|CA →|2＝|OC →|2＋|AB →|2， ∴a 2＋(c －b )2＝b 2＋(a －c )2＝c 2＋(b －a )2. ∴c ·b ＝a ·c ＝b ·a .故AB →·OC →＝(b －a )·c ＝b ·c －a ·c ＝0， BC →·OA →＝(c －b )·a ＝c ·a －b ·a ＝0.∴AB→⊥OC →，BC →⊥OA →，即AB ⊥OC ，BC ⊥OA . ∴点O 是△ABC 的垂心．16.如图所示，四边形ABCD 是正方形，BE ∥AC ，AC ＝CE ，EC 的延长线交BA 的延长线于点F .求证：AF ＝AE .证明：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为1，则A (－1，1)，B (0，1)．设E (x ，y )，则BE→＝(x ，y －1)，AC →＝(1，－1)．又∵AC →∥BE →，∴x (－1)－1×(y －1)＝0， ∴x ＋y －1＝0.又∵|CE→|＝|AC →|，∴x 2＋y 2－2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎨⎧x ＝1＋32，y ＝1－32或⎩⎨⎧x ＝1－32，y ＝1＋32(舍)．∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32，1－32.又设F (x ′，1)，由CF →＝(x ′，1)和CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32，1－32共线得1－32x ′－1＋32＝0，得x ′＝－2－3， ∴F (－2－3，1)，∴AF →＝(－1－3，0)，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋32，－1＋32，∴|AE →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－322＝1＋3＝|AF→|， ∴AF ＝AE .。
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F1+F2+G=0 |F1|=| 2|=10N = |=|F
A 120° 120° O C
B
2.两个人共提一个旅行包， 2.两个人共提一个旅行包，或在单杠上做引 两个人共提一个旅行包 体向上运动，根据生活经验， 体向上运动，根据生活经验，两只手臂的夹 角大小与所耗力气的大小有什么关系? 角大小与所耗力气的大小有什么关系?
作业： 作业： P113习题2.5A P113习题2.5A组：3，4. 习题2.5A组 B组：2.
W=F·s= 24 6 J.
F3
北
F1
西 南
F2
东
小结作业
1.利用向量解决物理问题的基本步骤： 1.利用向量解决物理问题的基本步骤： 利用向量解决物理问题的基本步骤 问题转化， ①问题转化，即把物理问题转化为数学 问题； 建立模型， 问题；②建立模型，即建立以向量为载 体的数学模型； 求解参数， 体的数学模型；③求解参数，即求向量 的模、夹角、数量积等； 回答问题， 的模、夹角、数量积等；④回答问题， 即把所得的数学结论回归到物理问题. 即把所得的数学结论回归到物理问题. 2.用向量知识解决物理问题时 用向量知识解决物理问题时， 2.用向量知识解决物理问题时，要注意 数形结合.一般先要作出向量示意图， 数形结合.一般先要作出向量示意图，必 要时可建立直角坐标系， 要时可建立直角坐标系，再通过解三角 形或坐标运算，求有关量的值. 形或坐标运算，求有关量的值.
F1
θ
F2
探究（ 探究（二）：向量在运动学中的应用
1.如图，一条河的两岸平行，一艘船从A处出发到河对岸， 1.如图，一条河的两岸平行，一艘船从A处出发到河对岸， 如图 已知船在静水中的速度| 10㎞/h，水流速度| 已知船在静水中的速度|v1|＝10㎞/h，水流速度|v2|＝ /h，如果船垂直向对岸驶去，那么船的实际速度v的 2㎞/h，如果船垂直向对岸驶去，那么船的实际速度 的 大小是多少？ 大小是多少？
探究（ 探究（一）：向量在力学中的应用
1.如图，用两条成120° 1.如图，用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个重量是 如图 120 10N的灯具 根据力的平衡理论， 的灯具， 10N的灯具，根据力的平衡理论，每根绳子的拉力与灯具 的重力具有什么关系？每根绳子的拉力是多少？ 的重力具有什么关系？每根绳子的拉力是多少？
北
位移的方向是南偏 30° 西30°，大小是 10 30 km.
B A 西 C 南 东
的作用, 例2、一个物体受到同一平面内三个力F1、F2、F3的作用, 一个物体受到同一平面内三个力 沿北偏东45 方向移动了8m 已知| |=2N， 45° 8m， 沿北偏东45°方向移动了8m，已知|F1|=2N，方向为北偏 =4N，方向为东偏北30 30° =6N， 30° 东30°，|F2| =4N，方向为东偏北30°， |F3| =6N，方 向为西偏北60 60° 求这三个力的合力所做的功. 向为西偏北60°，求这三个力的合力所做的功.
10N 10N
夹角越大越费力. 夹角越大越费力
3.若两只手臂的拉力为 3.若两只手臂的拉力为F1、F2，物 若两只手臂的拉力为 体的重力为G，那么F 体的重力为 ，那么 1、F2、G三 三 个力之间具有什么关系？ 个力之间具有什么关系？
F1＋F2＋G=0.
4.假设两只手臂的拉力大小相等，夹角为θ 那么| 4.假设两只手臂的拉力大小相等，夹角为θ，那么|F1|、 假设两只手臂的拉力大小相等 之间的关系如何？ |G|、θ之间的关系如何？ | F
学习目标： 学习目标：
1.通过力的合成与分解模型、速度的合 通过力的合成与分解模型、 通过力的合成与分解模型 成与分解模型,掌握利用向量方法研究 成与分解模型 掌握利用向量方法研究 物理中相关问题的步骤,明了向量在物 物理中相关问题的步骤 明了向量在物 理中应用的基本题型,进一步加深对所 理中应用的基本题型 进一步加深对所 学向量的概念和向量运算的认识； 学向量的概念和向量运算的认识； 2.通过对具体问题的探究解决，进一步 通过对具体问题的探究解决， 通过对具体问题的探究解决 培养学生的数学应用意识,提高应用数 培养学生的数学应用意识 提高应用数 学的能力,体会数学在现实生活中的作 学的能力 体会数学在现实生活中的作 用° θ θ∈[0°，180°)
2 5.上述结论表明 若重力G一定 上述结论表明， 一定， 5.上述结论表明，若重力 一定，则拉力的大 小是关于夹角θ的函数.在物理学背景下， 小是关于夹角θ的函数.在物理学背景下，这 G 个函数的定义域是什么？单调性如何？ 个函数的定义域是什么？单调性如何？ 6.|F 有最大值或最小值吗？ 6.| 1|有最大值或最小值吗？|F1|与|G|可能相等吗？为 |可能相等吗？ 什么？ 什么？
问题提出
1.用向量方法解决平面几何问题的基本思路是什 1.用向量方法解决平面几何问题的基本思路是什 么？
几何问题向量化 向量运算关系化 向量关系几何化. 向量关系几何化.
2.向量概念源于物理中的矢量，物理中的力、位 2.向量概念源于物理中的矢量，物理中的力、 向量概念源于物理中的矢量 速度等都是向量，功是向量的数量积， 移、速度等都是向量，功是向量的数量积，从而 使得向量与物理学建立了有机的内在联系， 使得向量与物理学建立了有机的内在联系，物理 中具有矢量意义的问题也可以转化为向量问题来 解决.因此，在实际问题中， 解决.因此，在实际问题中，如何运用向量方法分 析和解决物理问题，又是一个值得探讨的课题. 析和解决物理问题，又是一个值得探讨的课题.
与上游河岸的夹角78.73° 与上游河岸的夹角78.73°. 78.73
4.如果河的宽度d 500m， 4.如果河的宽度d＝500m，那么船行驶 如果河的宽度 到对岸至少要几分钟？ 到对岸至少要几分钟？
B v1 v v2
d 0.5 t= = × 60 v 96
3.1(m in)
C
A
理论迁移
例1、一架飞机从A地向北偏西60°方向飞行1000km到达B 一架飞机从A地向北偏西60°方向飞行1000km到达B 60 1000km到达 然后向C地飞行， 地在A地的南偏西60 方向， 60° 地，然后向C地飞行，若C地在A地的南偏西60°方向，并 两地相距2000km 求飞机从B地到C地的位移. 2000km， 且A、C两地相距2000km，求飞机从B地到C地的位移.
|v|= 104 ㎞/h. |=
2.如果船沿与上游河岸成 2.如果船沿与上游河岸成 60°方向行驶， 60°方向行驶，那么船的 实际速度v的大小是多少 的大小是多少? 实际速度 的大小是多少? A v1 v 60° 60° v2
|v|2＝| v1＋v2|2＝（ 1＋v2）2＝84 ＝（v 84.
3.船应沿什么方向行驶，才能使航程最短？ 3.船应沿什么方向行驶，才能使航程最短？ 船应沿什么方向行驶