2011年全国高考试卷I理科数学试卷分析
【深度解析高考真题】2011年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)
、选择题（共12小题，每小题5分, （5分）复数冬-的共轭复数是（1-21『丫[] / /*疋=1：戸=1/ 输了箱束（5分）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学 参加各个小组的可能性相同，贝U 这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为c l（5分）已知角0的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线（5分）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，贝U 相应的侧视2011年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）2. 3. A 3. A . 丁 （5分）下列函数中，既是偶函数又在 A . y=2x 3B . y=| x|+ 1C.- i D . i（0，+X ）上单调递增的函数是（y=- x 2+4D . y=2-lxl（5分）执行如图的程序框图，如果输入的 N 是6，那么输出的卩是（满分60分）1. k-k-[A . 120B . 720 C. 1440 D . 50404. 5. y=2x 上，贝U cos2 0 =A .-1B .6.图可以为（ ）10. （5分）已知庁与b 均为单位向量，其夹角为 0,有下列四个命题P i : ||a +b |[0, ¥）； P 4： |；-b | > 1? 0€ （罟，n ；其中的真命题是（的横坐标之和等于（ ）B .8. I 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，I 与C交于A , B 两点，|AB 为C 的实轴长的2倍，贝U C 的离心率为（ ）A .西B.巫C. 2〔蕊丄卢的展开式中各项系数的和为 D . 39. （5分）（冲 为（ ） A .— 40B .- 20C. 202,则该展开式中常数项 D . 40（5分）由曲线 A .乎y M ，直线y=x - 2及y 轴所围成的图形的面积为（ C 16B . 4D . 6>1? 0€[0,Qjr f才)；P 2： |b +b | > 1? 0€(,n ; P 3： | a -b | > 1? 0€D . P 2, P 4TT11. (5 分)设函数 f (x ) =sin ( wx©) +cos ( wx©) W >0■冲 |<-—^ 的最 A . P 1, P 4B . P l , P 3 C. P 2, P 3小正周期为n 且f （- X ）=f （x ）, TTA . f （X ）在-^）单调递减TTC. f （刈在（0,可）单调递增则（ ）C £ /、* / 兀 3 兀B. f （X ）在（一，三D . f （X ）在（¥，乎）单调递增4 4 ）单调递减12 （ 5分）函数y 占的图象与函数y=2sin ,（- 2<x < 4）的图象所有交点A . 8B . 6C. 4 D . 2【正视E ） tW?视图）十 一，则z=x+2y 的最小值为 .14. （5分）在平面直角坐标系xOy,椭圆C 的中心为原点，焦点F 1F 2在x 轴上， 离心率为』2.过F l 的直线交于A , B 两点，且△ AB 冋的周长为16,那么C2 的方程为.15. （5分）已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球0的球面上，且AB=6, BC=V3，则棱锥0- ABCD 的体积为 ________ .16. _________________________________________________________ （5分）在^ ABC 中，B=60°, AC ，则AB+2BC 的最大值为 ________________ .三、解答题（共8小题，满分70 分）17. （12分）等比数列｛a n ｝的各项均为正数，且 2a 1+3a 2=1，a 32=9a 2a 6, （I ）求数列｛a n ｝的通项公式；（n ）设b n =log 3a 1+log 3a 2+・・+log 3a n ，求数列｛丄｝的前n 项和.18. （12分）如图，四棱锥P- ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，/ DAB=60 , AB=2AD, PD 丄底面 ABCD(I )证明：PA! BD;二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13（5分）若变量x,y 满足约束条件戸虽+応9（n ）若PD=AD,求二面角A- PB- C的余弦值.C19. （12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果:A配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94, 98)[98, 102)[102，106)[106，110]频数20 42 22B配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98)[98，102)[102，106)[106，110]频数12 42 32 10 （I）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率;（n）已知用B配方生成的一件产品的利润y （单位：元）与其质量指标值t的卜2, t<94 ■关系式为y= 2, 9Kt<lC2£ 1>102从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X （单位：元），求X的分布列及数学期望.（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）20. (12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0,- 1), B 点在直线y=-3 上，M 点满足両// 61,冠云丽冠,M 点的轨迹为曲线 C.(I )求C 的方程；(n) P 为C 上的动点，I 为C 在P 点处的切线，求O 点到I 距离的最小值.型蔓■+&，曲线y=f (X )在点(1, f (1))处的切 线方程为x+2y - 3=0.(I )求a 、b 的值；(n )如果当 x >0,且 x M 1 时，f (x )>22. (10分)如图，D , E 分别为△ ABC 的边AB , AC 上的点，且不与^ ABC 的顶 点重合.已知AE 的长为m , AC 的长为n , AD , AB 的长是关于x 的方程x 221. (12分)已知函数f (x ) 霁青，求 k 的取值范围.-14x+mn=0的两个根.(I )证明：C, B, D, E四点共圆;求C, B, D, E所在圆的半径.是Ci 上的动点，P 点满足0P =OT , P 点的轨迹为曲线 Q(I)求C 2的方程;(n)在以o 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中， 射线于极点的交点为A ,与C 2的异于极点的交点为B,求| AB| .24.设函数 f (x ) =|x -a|+3x ,其中 a >0.(I)当a=1时，求不等式f (x )> 3x+2的解集(n )若不等式f (x )< 0的解集为｛x| x <- 1｝，求a 的值.23.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为 y=2+2sinCt (a 为参数)M0 = 与 C i 的异【点评】本题是基础题, 考查复数代数形式的混合运算，共轭复数的概念，常 考题型.2. （5分）下列函数中,既是偶函数又在（0, +^）上单调递增的函数是（）B . y=|x|+1 【考点】3K:函数奇偶性的性质与判断. 【专题】11:计算题；51:函数的性质及应用.【分析】由函数的奇偶性和单调性的定义和性质，对选项一一加以判断，即可 得到既是偶函数又在（0, +X ）上单调递增的函数.【解答】解：对于A . y=2x 3，由f （- x ） =-2x 3=- f （x ）,为奇函数，故排除A ; 对于 B . y=| x|+ 1，由 f （- x ） =| - x|+1=f (x ),为偶函数，当 x > 0 时，y=x+1, 是增函数，故B 正确； 对于 C . y=- X 2+4,有 f （- =f （x ）,是偶函数，但x >0时为减函数，故排除参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1. （5分）复数勢的共轭复数是（1-21C.- i的形式，然后求出共轭复数，即可.2+i =少+¥（l+2i 〔型_=i ，它的共轭复数为：-i .故选：c.2011年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）D . i【考点】 A5:复数的运算. 【专题】 11:计算题.【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，复数化简为 a+bi (a , b € R )【解答】解：复数*…1-21 C1-2OC1+2D 5C；对于D. y=2^lxl，有f （- X）=f （x），是偶函数，当x> 0时，y=2「x，为减函数, 故排除D.故选：B.【点评】本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性和单调性及运用，注意定义的运用，以及函数的定义域，属于基础题和易错题.3. （5分）执行如图的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的卩是（）『丫[]/输沁・/*疋=1：戸=1k-k-[/ 输了箱束A. 120B. 720C. 1440D. 5040【考点】EF:程序框图.【专题】5K:算法和程序框图.【分析】执行程序框图，写出每次循环P, k的值，当k v N不成立时输出P的值即可.【解答】解：执行程序框图，有N=6, k=1，p=1P=1,k v N成立，有k=2P=2, k v N成立，有k=3第11页（共30P=6, k v N 成立，有 k=4 P=24, k v N 成立，有 k=5 P=120, k v N 成立，有 k=6P=720, k v N 不成立，输出P 的值为720. 故选：B.【点评】本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题.4. （5分）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学 参加各个小组的可能性相同，贝U 这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为c l本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是 件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有 3种结果，根据古典概型概率公式得到结果.【解答】解：由题意知本题是一个古典概型, 试验发生包含的事件数是3 X 3=9种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组, 由于共有三个小组，则有3种结果， 根据古典概型概率公式得到P 弓#, 故选：A .【点评】本题考查古典概型概率公式，是一个基础题，题目使用列举法来得到 试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，出现这种问题一定是一个必得 分题目.5. （5分）已知角0的顶点与原点重合，始边与X 轴的正半轴重合，终边在直线 y=2x 上，则 cos2 0 =）B .【考点】 CB:古典概型及其概率计算公式.【专题】 51:概率与统计.3 X 3种结果，满足条 【分析】A.-4B .- 3C•耳亏5GS:二倍角的三角函数；15:直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系.根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，由已知直线的斜率得到tan 0的值，然后根据同角三角函数间的基本关系求出cos B的平方，然后根据二倍角的余弦函数公式把所求的式子化简后，把cos0的平方代入即可求出值. 【解答】解：根据题意可知：tan 0 =2所以coS20 —=_——¥，sec^ 6 tan，9 +1 5则cos2 0 =2c（2s0- 1=2xi - 1 = -3.- N故选：B.【点评】此题考查学生掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系，灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题.6. （5分）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，贝U相应的侧视图可以为（）（正视S）（俯视图）【考点】L7:简单空间图形的三视图.【专题】13:作图题.【分析】由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，根据组合体的结构特征，得到组合体【考点】【专题】11:计算题.【分析】A. B.第13页（共30的侧视图.【解答】解：由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体, 是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成, •••侧视图是一个中间有分界线的三角形, 故选：D .【点评】本题考查简单空间图形的三视图，考查由三视图看出原几何图形，再 得到余下的三视图，本题是一个基础题.7. （5分）设直线I 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直, 交于A , B 两点，|AB 为C 的实轴长的2倍，贝U C 的离心率为（A.西B. V32 _ 一 —不妨设双曲线C:务壬匸1，焦点F （-c , 0）,由题设知务玉二1, a 『 a t/ 由此能够推导出C 的离心率.2 ca y= 士 - ，a •并2 , • ------- =4 a ,a b 2=2a 2,c 2- a 2=2a 2, c 2=3a 2,•••珥吨.D . 3C. 2 【考点】 KC 双曲线的性质. 【专题】 11:计算题.【分析】【解答】解: 2 2不妨设双曲线C :务七二1 焦点F (- c , 0）,对称轴y=0, 由题设知故选：B.【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用.&（5分）（耳亡）〔羽三广的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为（）A.—40B.- 20C. 20D. 40【考点】DA:二项式定理.【专题】11:计算题.【分析】给x赋值1求出各项系数和，列出方程求出a；将问题转化为二项式的系数和；利用二项展开式的通项公式求出通项，求出特定项的系数.【解答】解：令二项式中的x为1得到展开式的各项系数和为1+a1+a=2--a=1••• 6』）（2藍-丄）5=G£』）（2葢-丄）II 一一=K（2X-丄）P^CSx-—}1 5 1•••展开式中常数项为（2二）的丄与）C的系数和•••丄）展开式的通项为T r+1= （- 1）r25-r C5r x5-2r• “ 1 ” ................................. -— K展开式中常数项为8C52- 4C53=40故选：D.【点评】本题考查求系数和问题常用赋值法、考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题.9. （5分）由曲线y M，直线y=x- 2及y轴所围成的图形的面积为（A.#B. 4 C•寻B. 4 D. 6第15页（共30【考点】69:定积分的应用.【专题】11:计算题.【分析】利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y=^，直线y=x- 2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解.【解答】解：联立方程f皿得到两曲线的交点（4, 2），.尸旷2因此曲线y M，直线y=x- 2及y轴所围成的图形的面积为:【点评】本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题.10. （5分）已知庁与b均为单位向量，其夹角为0,有下列四个命题P i: ||a+b|>1? 0€[0，警）；P2：苗恳| > 1? 0€（，n ；P3：| a-b| > 1? 0€TT [0,丐-）；P：if TT13- b| > 1? 0€ （丐-，n ；其中的真命题是（A. P1, F4B. P1，P3C. P2，P3D. P2，P4.故选C.第17页（共30【考点】91 :向量的概念与向量的模；9B :向量加减混合运算；9E :向量数乘 和线性运算.【分析】利用向量长度与向量数量积之间的关系进行转化求解是解决本题的关 键，要列出关于夹角的不等式，通过求解不等式得出向量夹角的范围. 【解答】解：由 |a-b |>1，得出 2-2COS 41，即 cos 0<X ，又 0€ [0，n ， 2 牛，n ，故P 3错误，P 4正确.由|；+7| > 1，得出2+2cos 0> 1，即卩cos O-i ，又0€ [ 0， n ，故可以得出 0【点评】本题考查三角不等式的求解，考查向量长度不等式的等价转化，考查 向量数量积与向量长度之间的联系问题，弄清向量夹角与向量数量积的依赖 关系，考查学生分析问题解决问题的思路与方法，考查学生解题的转化与化 归能力.11. (5 分)设函数 f (X )=sin (wx©) +COSH5:正弦函数的单调性；HK :由y=Asin （ wx®的部分图象确定其解析式.利用辅助角公式将函数表达式进行化简，根据周期与 w 的关系确定出 w 的值，根据函数的偶函数性质确定出 ©的值，再对各个选项进行考查筛选.TT【解答】 解：由于 f （X ）=sin （wx ?） +COS （wX ?） 軒~孑），故可以得出0€（警），故P 2错误，P 1正确. 故选：A .€ [0, 小正周期为n ，且f （- X ） =f （X ），牛）单调递减A . f （X ）在（0,（刈在（0, 今）单调递增则（B.D . f3兀 （4，4 '3兀・ （4'4 ' (wX©) 冲 I )的最【考点】 【专题】 57:三角函数的图像与性质.【分析】（X ）在）单调递减 （X ）在）单调递增由于该函数的最小正周期为T 型、，得出CD =2又根据 f （- X ） =f （X ）,得 ©+芈 €-+k n （k € Z ），以及 I 咁 <£-,得出 © =4 2 2 4 因此，f （x ） =^^“口〔2尤十€^）刊/^°°5“'若x €〔0,=），贝U 2x €（ 0， n ），从而f （x ）在© 2L ）单调递减, 若x € （芋，普44该区间不为余弦函数的单调区间，故 B , C, D 都错，A 正确. 故选：A .【点评】本题考查三角函数解析式的确定问题，考查辅助角公式的运用，考查 三角恒等变换公式的逆用等问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识, 考查学生的整体思想和余弦曲线的认识和把握.属于三角中的基本题型.的横坐标之和等于（ ）当 1<x < 4 时，y i < 0而函数y 2在（1，4） 上出现1.5个周期的图象, 在（1，［嘗）和（£，魯）上是减函数；），则2x € （冷-，甞 ),12 （5分）函数y 占的图象与函数y=2sin ,（- 2<x < 4）的图象所有交点A . 8B . 6 C. 4 D . 2【考点】 57: 函数与方程的综合运用. 51:函数的性质及应用；54:函数y1^^与y 2=2sin n 的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个 L-X函数的图象，利用数形结合思想能求出结果. 【解答】解：函数y 1』一，1-Xy 2=2sin n 的图象有公共的对称中心（1，0）， 作出两个函数的图象，如图，【专题】 【分析】 等差数列与等比数列.2' 2 2，2 ，在（寻，寻）和（I ，4） 上是增函数.第19页（共30•••函数y 1在（1, 4）上函数值为负数， 且与y 2的图象有四个交点E 、F 、G 、H 相应地，y i 在（-2, 1） 上函数值为正数, 且与y 2的图象有四个交点A 、B 、C 、D且：X A +X H =X B +X G =X C +X F =X D +X E =2， 【点评】本题考查两个函数的图象的交点的横坐标之和的求法，是基础题，解 题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用.二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13. （5分）若变量X , y 满足约束条件£严+二?16 抵 x-yS ： 9随着增大，当直线过 A 点时，z 取到最小值，求出两条直线的交点坐标，代 入目标函数得到最小值.【解答】解：在坐标系中画出约束条件的可行域, 得到的图形是一个平行四边形，,则z=x+2y 的最小值为【考点】 7C:简单线性规划. 【专题】 11:计算题.【分析】 在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形, ，当直线沿着y 轴向上移动时， 把目标函数z=X+2y 变化为y= - 2z 的值故所求的横坐标之和为8.目标函数z=x+2y , 变化为y=-丄X 止,2 2当直线沿着y 轴向上移动时，z 的值随着增大, 当直线过A 点时，z 取到最小值， 由y=x - 9与2x+y=3的交点得到A (4,- 5) 【点评】本题考查线性规划问题，考查根据不等式组画出可行域，在可行域中, 找出满足条件的点，把点的坐标代入，求出最值.14. （5分）在平面直角坐标系xOy,椭圆C 的中心为原点，焦点F 1F 2在X 轴上， 离心率为返.过F 的直线交于A , B 两点，且△ ABE 的周长为16,那么C22 2的方程为鼻+匚=1.—16_ 8根据题意，△ ABF 2的周长为16，即BF 2+AF 2+BF 1+AF 1=16,结合椭圆的 有4a=16,即可得a 的值；又由椭圆的离心率，可得 c 的值，进而可【考点】 K4:椭圆的性质. 【专题】 11:计算题；16:压轴题.【分析】 定义,••• z=%2 (- 5) =-6第21页（共30页）得b 的值；由椭圆的焦点在x 轴上，可得椭圆的方程.【解答】解：根据题意，△ ABE 的周长为16,即B 冃+A 冃+BF 1+AF 1=16; 根据椭圆的性质，有4a=16,即a=4； 椭圆的离心率为*2,2 将a ^2c ,代入可得，2 2则椭圆的方程为牯^ = 1； 2 2故答案为：亲即1.【点评】本题考查椭圆的性质，此类题型一般与焦点三角形联系，难度一般不 大；注意结合椭圆的基本几何性质解题即可.15. （5分）已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球0的球面上，且AB=6, BC=^，则棱锥0-ABCD 的体积为 &胚 .11:计算题；16:压轴题.由题意求出矩形的对角线的长，结合球的半径，球心到矩形的距离,满足勾股定理，求出棱锥的高，即可求出棱锥的体积.离为：d 护）2=2, 所以棱锥0- ABCD 的体积为：寺X 時X 2=^3.故答案为：8/3【点评】本题是基础题，考查球内几何体的体积的计算，考查计算能力，空间 想象能力，常考题型.16. （5 分）在^ ABC 中，B=60°, Ac Vs ，则 AB+2BC 的最大值为 一^一.，贝y a ^2c ， 即£a c=^2，贝Ub 2=a 2 -c 2=8;【考点】 LF:棱柱、棱锥、棱台的体积.【专题】 【分析】 【解答】解：矩形的对角线的长为: 閉:亦F 二晒，所以球心到矩形的距第22页（共30页）设AB=c AC=b BC=a 利用余弦定理和已知条件求得 a 和c 的关系，设 c+2a=m 代入，利用判别大于等于0求得m 的范围，贝U m 的最大值可得. 【解答】解：设AB=c AC=b BC=a 由余弦定理2 , 2 ,2 cosB 昌 +C f 2ac 所以 a 2+c 2 - ac=b 2=3 设 c+2a=m 代入上式得 7a 2- 5am+m 2 - 3=0△ =84 - 3m 2 >0 故 m < 2听a 马2，普符合题意因此最大值为2衍sinC slnA sinB sinSO" 所以 AB=2sinC BC=2sinA所以 AB+2BC=2sin(+4sinA=2sin (120° - A ) +4sinA =2 (sin 120 cosA- cos120 si nA ) +4si nA W3cosA+5si nA =^sin （A+®,（其中 sin cos所以AB+2BC 的最大值为2听. 故答案为：2^7【点评】本题主要考查了余弦定理的应用.涉及了解三角形和函数思想的运用.三、解答题（共8小题，满分70 分）【考点】 HR 余弦定理.【专题】 11:计算题；16:压轴题.【分析】 当m=2jV 时，此时 另解：因为B=60°, A+B+C=180,所以 A+C=120,由正弦定理，有 AB 二 BC 二 AC17. (12分)等比数列｛a n ｝的各项均为正数，且 2a i +3a 2=1，a 32=9a2a 6, (I )求数列｛an ｝的通项公式；(n)设 b n =log 3a 1+Iog 3a 2+…+log 3a n ，q ,由a 32=9a 2a 6，禾U 用等比数列的通项公式化简后得到关于q 的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意 q 的值，然后再根据等比数列的通项公式化简 2a i +3a 2=1，把求出的q 的值代 入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比 q 写出数列的通项公式 即可;(n)把(I)求出数列｛a n ｝的通项公式代入设 bn=log 3a i +log 3a 2+-+log 3a n ，利 用对数的运算性质及等差数列的前n 项和的公式化简后，即可得到b n 的通项由条件可知各项均为正数，故 q 丄.J由 2a 1+3a 2=1 得 2a 1+3a 1q=1，所以 a 1吉.(n) bn="g ；i + "g 牛+・・+1 口g ；n = -( 1+2+・・+ n)=-门8+ L )=-2(丄-音)n n+1 =-2[ (1卡+(寺肖所以数列｛占｝的前n 项和为-单-.% 卅1【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握对数的运 算性质及等差数列的前n 项和的公式，会进行数列的求和运算，是一道中档第20页(共30页)求数列｛丄｝的前n 项和.【考点】 88:等比数列的通项公式; 8E :数列的求和.【专题】 54:等差数列与等比数列.(I )设出等比数列的公比【分析】 公式,各项,【解答】求出倒数即为丄的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的 抵消后即可得到数列｛山｝的前n 项和. 解：(I )设数列｛a n ｝的公比为q ，由a 32=9a2a 6得a 32=9a 2，所以q 2* .3故数列｛an ｝的通项式为 an —故丄-2 故》nS+1〕则？+? +bi E %全国统一高考试卷试题第25页(共30页)(I )因为/ DAB=60 , AB=2AD,由余弦定理得BD 需AD ，利用勾股定 理证明BD 丄AD ，根据PD 丄底面ABCD 易证BD 丄PD,根据线面垂直的判定 定理和性质定理，可证 PA ! BD ;(n)建立空间直角坐标系，写出点A, B, C, P 的坐标，求出向量疋，豆，祝,和平面PAB 的法向量，平面PBC 的法向量，求出这两个向量的夹角的余弦值 即可.【解答】(I)证明：因为/ DAB=60, AB=2AD,由余弦定理得BD ^AD , 从而 BD 2+AD 2=A B^，故 BD !AD 又PD 丄底面ABCD ,可得BD 丄PD 所以BD 丄平面PAD.故PA1 BD(n)如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长,射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系 D -xyz ，则题.18. (12 分) 如图，四棱锥P- ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，/ DAB=60 , AB=2AD, PD 丄底面ABCD【考点】 LW 直线与平面垂直；MJ :二面角的平面角及求法.【专题】 11:计算题；14:证明题；15:综合题；31 :数形结合；35:转化思 想.【分析】 (I )证明:PA! BD;PB- C 的余弦值.全国统一高考试卷试题A (1, 0, 0),B (0,頂，0),C (- 1,7^, 0), P (0, 0, 1). 忑=(-1, 7^, 0),耳=(0,7^,- 1),蔗=(-1, 0,0),第26页（共30页）全国统一高考试卷试题第27页(共30页)即：可取鼻(0, 1^3), COSV 恳【点评】此题是个中档题.考查线面垂直的性质定理和判定定理，以及应用空 间向量求空间角问题，查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决 问题能力.19. （12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量， 质量指标值越大表明质量越 好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别 称为A 配方和B 配方）做试验，各生产了 100件这种产品，并测量了每件产 品的质量指标值，得到下面试验结果: A 配方的频数分布表[94, 98) [98, 102) [102, 106) [106, 110]设平面PAB 的法向量为n= （X , y , z ),则,n*PB=O因此可取：二（｛5, 1,血）设平面PBC 的法向量为Tr =（X ， y ，z ），则 _m^PB=O指标值分组[90, 94）全国统一高考试卷试题频数20 42 22B配方的频数分布表第28页（共30页）全国统一高考试卷试题指标值分组[90, 94) [94, 98) [98, 102) [102, 106) [106, 110] 频数12 42 32 10 (I)分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率;(n)已知用B配方生成的一件产品的利润y (单位：元)与其质量指标值t的C-2, t<94 ■关系式为y= 2, 9Kt<lC2£ 1>102从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X (单位：元)，求X的分布列及数学期望.(以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率)【考点】B2:简单随机抽样；BB:众数、中位数、平均数；CH:离散型随机变量的期望与方差.【专题】11:计算题；15:综合题.【分析】(I)根据所给的样本容量和两种配方的优质的频数，两个求比值，得到用两种配方的产品的优质品率的估计值.(II )根据题意得到变量对应的数字，结合变量对应的事件和第一问的结果写出变量对应的概率，写出分布列和这组数据的期望值.【解答】解(I )由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的频率为瓷-Q.3•••用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为塔•••用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42;(n)用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间[90, 94)，[94, 102)，[102, 110]的频率分别为0.04, 0.54, 0.42,••• P (X=— 2) =0.04, P (X=2) =0.54, P (X=4) =0.42,即X的分布列为第29页(共30页)全国统一高考试卷试题第30页（共30页）••• X 的数学期望值 EX=- 2 X 0.04+2 X 0.54+4 X 0.42=2.68【点评】本题考查随机抽样和样本估计总体的实际应用，考查频数，频率和样 本容量之间的关系，考查离散型随机变量的分布列和期望，本题是一个综合 问题20. （12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （0，- 1），B 点在直线y=-3 上, M 点满足丽//武冠 爸砸顽，M 点的轨迹为曲线C. （I ）求C 的方程；（n ） P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处的切线，求O 点到l 距离的最小值.【考点】9S:数量积表示两个向量的夹角；KH :直线与圆锥曲线的综合. 【专题】11:计算题；15:综合题；33:函数思想；36:整体思想.【分析】（I ）设M （x ，y ），由已知得B （x ，-3），A （0，- 1）并代入丽//玉,二阳?弘，即可求得M 点的轨迹C 的方程;（n ）设P （X 0, y 0）为C 上的点，求导，写出C 在P 点处的切线方程，利用点到直线的距离公式即可求得 O 点到I 距离，然后利用基本不等式求出其最小 值.【解答】解：(I )设M (X , y ),由已知得B (X ,- 3), A (0,- 1). 所血二(-X ,- 1 - y ),血=(0,__ -------- --- ----- ► 一再由题意可知（?AE =0，即（-X ，- 4-2y ） ? （x ，- 2） =0. 所以曲线C 的方程式为炖/- 2.为女X0, 因此直线 l 的方程为 y - y 0令X 0 (x - x 0)，即卩 X 0X - 2y+2y 0 - X 02=0.0.040.54 0.42-3 - y )，AB = (x ，- 2).（n ）设 P （X 0, y 0）为曲线 C :-2上一点，因为y 专X ,所以l 的斜率全国统一高考试卷试题第31页（共30页）则0点到I 的距离dJ 争F 丨.又yo d 2 -2,片 4 0P 仃 ^+4, --------- N所以d w^^w 严2, 所以x o 2=O 时取等号，所以0点到I 距离的最小值为2. 【点评】此题是个中档题.考查向量与解析几何的交汇点命题及代入法求轨迹 方程，以及导数的几何意义和点到直线的距离公式，综合性强，考查了同学 们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力.线方程为x+2y - 3=0. （I ）求a 、b 的值；程.15:综合题；16:压轴题；32:分类讨论；35:转化思想.（I ）求出函数的导数；利用切线方程求出切线的斜率及切点；利用函数在切点处的导数值为曲线切线的斜率及切点也在曲线上，列出方程组，求出 a ，b 值.（II ）将不等式变形，构造新函数，求出新函数的导数，对参数 k 分类讨论，判 断出导函数的符号，得到函数的单调性，求出函数的最值，求出参数 k 的范围.【解答】解：由题意f （1） =1，即切点坐标是（1,1）（1）F ◎弋亍事由于直线x+2y -3=0的斜率为I 寺且过点（1, 1），故21. （12分）已知函数f （x ） 型斗，工+1曲线y=f （X ）在点（1, f （ 1））处的切（n ）如果当x >0,且x M 1时，f （X ） —，求k 的取值范围.> S-1 X【考点】 6E:利用导数研究函数的最值;6H :利用导数研究曲线上某点切线方【专题】 【分析】全国统一高考试卷试题b 二 1过1解得a=1, b=1.—— 2 2（n ）由（I ）知f G ）二上寻』，所以x+1 XK 一1 K 1-K考虑函数h&)二旦空Jk-na T) (x >0),则（i ）设 k < 0,由 h ，知，当 x M 1 时, (1) =0,故(ii )设 0v k v 1.由于当 x €( 1,占)时，(k - 1) (x 2+1) +2x >0,故 h' (x )1-k> 0,而 h( 1) =0,故当 “(1^)时，h( x)>0,可h (x)v 0,与题设矛盾.(iii )设 k > 1.此时 h (x )>0,而 h (1) =0,故当 x €( 1, +^)时，h (x ) >0,可得一q h （x ）v 0,与题设矛盾.1-/ 综合得，k 的取值范围为（--,0].【点评】本题考查导数的几何意义：函数在切点处的导数值是切线的斜率、考 查构造函数，通过导数研究函数的单调性，求出函数的最值、考查了分类讨 论的数学思想方法.22. （10分）如图，D , E 分别为△ ABC 的边AB , AC 上的点，且不与^ ABC 的顶点重合.已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程x 2 第26页（共30页）IX （』T ）（S 也h (x )v 0 .而 h当 x €( 0, 1)时，h (x)v 0,可得-A_^hCx>>Ci ;1- /当 x €( 1, +x)时，h (x)v 0,可得—^h (x )> 01-s^ 从而当 x >0,且 xM 1 时，f (x )-( InxX-1 XA ）> 0，即 f （ x ）>如As-L y第33页(共30页)-14x+mn=0的两个根.(I)证明：C, B , D , E 四点共圆;(n)若/ A=90°,且m=4, n=6，求C, B ，D ，E 所在圆的半径.(I )做出辅助线，根据所给的 AE 的长为m , AC 的长为n , AD , AB 的 长是关于x 的方程x 2 - 14x+mn=0的两个根，得到比例式，根据比例式得到三 角形相似，根据相似三角形的对应角相等，得到结论.(II )根据所给的条件做出方程的两个根，即得到两条线段的长度，取CE 的中点G , DB 的中点F ,分别过G , F 作AC, AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连 接DH ,根据四点共圆得到半径的大小.【解答】解：(I )连接DE,根据题意在△ ADE 和^ACB 中, AD X AB=mn=AE< AC,又/ DAE=/ CAB 从而△ ADE^A ACB 因此/ ADE=Z ACB ••• C, B , D , E 四点共圆.(n ) m=4, n=6 时，方程 x 2 - 14x+mn=0 的两根为 x i =2, x 2=12. 故 AD=2, AB=12.【考点】 N7:圆周角定理; NC : 与圆有关的比例线段. 【专题】 11:计算题；14: 证明题.【分析】 B。
2011年全国高考理科数学试题及详解
2011年高考题全国卷II 数学试题·理科全解全析（1）复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= （A ）2i - （B ）i - （C ）i（D ）2i【思路点拨】先求出的z 共轭复数,然后利用复数的运算法则计算即可。
【精讲精析】选B.1,1(1)(1)(1)1z i zz z i i i i =---=+----=-.（2）函数0)y x =≥的反函数为（A ）2()4x y x R =∈ （B ）2(0)4x y x =≥ （C ）24y x =()x R ∈（D ）24(0)y x x =≥【思路点拨】先反解用y 表示x,注意要求出y 的取值范围，它是反函数的定义域。
【精讲精析】选 B.在函数0)y x =≥中，0y ≥且反解x 得24y x =，所以0)y x =≥的反函数为2(0)4x y x =≥.（3）下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是（A ）1a b +＞ （B ）1a b -＞ （C ）22a b ＞ （D ）33a b ＞【思路点拨】本题要把充要条件的概念搞清，注意寻找的是通过选项能推出a>b ，而由a>b 推不出选项的选项.【精讲精析】选A.即寻找命题P 使P ,a b a b ⇒>>推不出P ，逐项验证可选A 。
（4）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k = （A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5【思路点拨】思路一：直接利用前n 项和公式建立关于k 的方程解之即可。
思路二： 利用221k k k k S S a a +++-=+直接利用通项公式即可求解，运算稍简。
【精讲精析】选D.22112(21)2(21)224 5.k k k k S S a a a k d k k +++-=+=++=++⨯=⇒=（5）设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 （A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）9 【思路点拨】此题理解好三角函数周期的概念至关重要，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了3π是此函数周期的整数倍。
2011年高考数学真题(全国卷)理科(详细解析)
1. 复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1z z z --=【精讲精析】选B .1,1(1)(1)(1)1z i z z z i i i i =---=+----=- 2. 函数2(0)y x x =≥的反函数为【思路点拨】先反解用y 表示x,注意要求出y 的取值范围，它是反函数的定义域。
【精讲精析】选B .在函数2(0)y x x =≥中，0y ≥且反解x 得24yx =，所以2(0)y x x =≥的反函数为2(0)4xy x =≥.3. 下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是 （A ）1a b +＞ （B ）1a b -＞ （C ）22a b ＞ （D ）33a b >【思路点拨】本题要把充要条件的概念搞清，注意寻找的是通过选项能推出a b ＞，而由a>b 推不出选项的选项.【精讲精析】选A .即寻找命题P 使P ,a b a b ⇒>>推不出P ，逐项验证可选A 。
4. 解：设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k = 【思路点拨】思路一：直接利用前n 项和公式建立关于k 的方程解之即可。
思路二： 利用221k k k k S S a a +++-=+直接利用通项公式即可求解，运算稍简。
【精讲精析】2k k S S +-= 21k k a a +++= 11(21)(11)a k d a k d ++-+++-=12(21)a k d ++21(21)244245k k k =⨯++⨯=+=⇒=故选D 。
5. 设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于【思路点拨】此题理解好三角函数周期的概念至关重要，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了3π是此函数周期的整数倍。
2011高考数学新课标卷分析解析
2011年高考数学新课标卷试卷分析
2、主观题的区分度计算 主观题分和测试总分均是以连续分数表示的。在统计学中， 具有此类特点的两个变量的相关系数可用积差相关法来计算。
1 n n X iYi X i Yi N i 1 i 1 i 1
n 2 X i i 1 n
题 1 2 号 难 度 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2011年高考数学新课标卷试卷分析
2、用试题得分的平均值计算（对于解答题） 参加测验的全体学生在该题的平均得分与该题的满分的比值。
P X W
P
是难度系数，X 是全体学生在该题的平均得分，W 是该题的满分。
2011年高考数学新课标卷试卷分析
(三)难度结构分析
（1）定义 难度，即试题的难易程度。通常用难度系数来反映。 （2）计算方法（两种方法） 1、用通过率计算（对于客观题） 正确回答试题的人数与参加测验的总人数的比值。
R P N
数。 是难度系数；R 是正确回答试题的人数； 是参加测验的总人 N P
2011年高考数学新课标卷试卷分析
二、试卷隐性结构分析
试卷的隐性结构主要包括试卷的知识结构、能力结构 难度结构，以及试卷的情感结构。 • （一）知识结构分析 知识结构是试卷内在结构中最重要、最基础的结构。它 主要指：试卷所考查的知识内容，占规定考试范围的百分 比（即知识覆盖率），各项知识所占比例，每项知识的考 查要求，以及各个考查要求所占的比例。 根据2011年高考考试大纲及考试说明（新课标全国卷） ——数学（理），我们对2011年高考数学新课标卷建立了 双向细目表。
8
5分
函数% 概率与统计 频率分布
2011年高考新课标全国I卷数学(理)试题精解精析(解析版)
2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学答案解析1.解析：212i i+-=(2)(12),5i i i ++=共轭复数为C 2.解析:由图像知选B3.解析：框图表示1n n a n a -=⋅,且11a =所求6a =720选B4.解析;每个同学参加的情形都有3种,故两个同学参加一组的情形有9种,而参加同一组的情形只有3种,所求的概率为p=3193=选A 5.解析：由题知tan 2θ=,222222cos sin 1tan 3cos2cos sin 1tan 5θθθθθθθ--===-++选B6.解析：条件对应的几何体是由底面棱长为r 的正四棱锥沿底面对角线截出的部分与底面为半径为r 的圆锥沿对称轴截出的部分构成的.故选D7.解析：通径|AB|=224b a a=得2222222b a a c a =⇒-=,选B 8.解析:1.令x=1得a=1.故原式=511()(2)x x x x+-. 512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项51552155(2)()(1)2r r r r r r rr T C x x C x ----+=-=-,由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80,由5-2r=-1得r=3,对应的常数项=-40,故所求的常数项为40 ,选D解析2.用组合提取法,把原式看做6个因式相乘,若第1个括号提出x,从余下的5个括号中选2个提出x,选3个提出1x ；若第1个括号提出1x ,从余下的括号中选2个提出1x,选3个提出x.故常数项=223322335353111(2)()()(2)X C X C C C X X X X⋅⋅-+⋅-⋅=-40+80=40 9.解析;用定积分求解43242002116(2)(2)|323s x x dx x x x =-+=-+=⎰,选C10.解析：222cos 22cos 1a b a b a b θθ+=++=+>得, 1cos 2θ>-,20,3πθ⎡⎫⇒∈⎪⎢⎣⎭.由222cos 22cos 1a b a b a b θθ-=++=->得1cos 2θ< ,3πθπ⎛⎤⇒∈ ⎥⎝⎦. 选A11.解析：()2sin()4f x x πωϕ=++,所以2ω=,又f （x ）为偶函数,,424k k k z πππϕπϕπ∴+=+⇒=+∈,()2sin(2)2cos22f x x x π∴=+=,选A12.解析：图像法求解.11y x =-的对称中心是（1,0）也是2sin (24)y x x π=-≤≤的中心,24x -≤≤他们的图像在x=1的左侧有4个交点,则x=1右侧必有4个交点.不妨把他们的横坐标由小到大设为1,2345678,,,,,,x x x x x x x x , 则182736452x x x x x x x x +=+=+=+=,所以选D 13.解析：画出区域图知, 当直线2z x y =+过239x y x y +=⎧⎨-=⎩的交点（4,-5）时,min 6z =-（14.解析：由22416c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩得a=4.c=22,从而b=8,221168x y ∴+=为所求. （15.解析：设ABCD 所在的截面圆的圆心为M,则AM=221(23)6232+=, OM=224(23)2-=,16232833O ABCD V -=⨯⨯⨯=. 16.解析：00120120A C C A +=⇒=-,0(0,120)A ∈,22sin sin sin BC AC BC A A B==⇒= 022sin 2sin(120)3cos sin sin sin AB ACAB C A A A C B==⇒==-=+； 2AB BC ∴+=3cos 5sin 28sin()27sin()A A A A ϕϕ+=+=+,故最大值是2717.解析：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q,由23269a a a =得32349a a =所以219q =. 由条件可知a>0,故13q =. 由12231a a +=得12231a a q +=,所以113a =. 故数列{a n }的通项式为a n =13n . （Ⅱ ）31323n log log ...log n b a a a =+++(12...)(1)2n n n =-++++=-故12112()(1)1n b n n n n =-=--++ 12111111112...2((1)()...())22311n n b b b n n n +++=--+-++-=-++ 所以数列1{}n b 的前n 项和为21nn -+ 18.解析1：（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=︒=, 由余弦定理得3BD AD =从而BD 2+AD 2= AB 2,故BD ⊥AD;又PD ⊥底面ABCD ,可得BD ⊥PD所以BD ⊥平面P AD. 故 P A ⊥BD（Ⅱ）如图,以D 为坐标原点,AD 的长为单位长,射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ,则()1,0,0A ,()03,0B ，,()1,3,0C -,()0,0,1P .(1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)AB PB BC =-=-=-uu u v uu v uu u v设平面PAB 的法向量为n =（x,y,z ）,则0n AB n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即 3030x y y z -+=-=因此可取n =(3,1,3)设平面PBC 的法向量为m ,则 0m PB m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可取m=（0,-1,3-） 427cos ,727m n -==- 故二面角A-PB-C 的余弦值为 277-（19.解析：（Ⅰ）由试验结果知,用A 配方生产的产品中优质的平率为228=0.3100+,所以用A 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.由试验结果知,用B 配方生产的产品中优质品的频率为32100.42100+=,所以用B 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42（Ⅱ）用B 配方生产的100件产品中,其质量指标值落入区间[)[)[]90,94,94,102,102,110的z xPCBA Dy频率分别为0.04,,054,0.42,因此X 的可能值为-2,2,4P （X=-2）=0.04, P （X=2）=0.54, P （X=4）=0.42, 即X 的分布列为X 的数学期望值EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.6820.解析; （Ⅰ）设M （x,y ）,由已知得B （x,-3）,A （0,-1）.所以MA uuu r=（-x,-1-y ）, MB uuu r =（0,-3-y ）, AB uu u r =（x,-2）.再由题意可知（MA uuu r +MB uuur ）• AB uu u r =0, 即（-x,-4-2y ）• （x,-2）=0.所以曲线C 的方程式为y=14x 2-2. （Ⅱ）设P （x 0,y 0）为曲线C ：y=14x 2-2上一点,因为y '=12x,所以l 的斜率为12x 0 因此直线l 的方程为0001()2y y x x x -=-,即2000220x x y y x -+-=. 则o 点到l 的距离20020|2|4y x d x -=+.又200124y x =-,所以 2020220014142(4)2,244x d x x x +==++≥++当20x =0时取等号,所以o 点到l 距离的最小值为2.21.解析：（Ⅰ）221(ln )'()(1)x x b x f x x xα+-=-+由于直线230x y +-=的斜率为12-,且过点(1,1),故(1)1,1'(1),2f f =⎧⎪⎨=-⎪⎩即1,1,22b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩解得1a =,1b =.（Ⅱ）由（Ⅰ）知ln 1f ()1x x x x=++,所以22ln 1(1)(1)()()(2ln )11x k k x f x x x x x x---+=+--.X -2 2 4P 0.04 0.54 0.42考虑函数()2ln h x x =+2(1)(1)k x x--(0)x >,则22(1)(1)2'()k x x h x x -++=.（i ）设0k ≤,由222(1)(1)'()k x x h x x+--=知,当1x ≠时,'()0h x <,h （x ）递减.而(1)0h =故当(0,1)x ∈时, ()0h x >,可得21()01h x x>-； 当x ∈（1,+∞）时,h （x ）<0,可得211x - h （x ）>0 从而当x>0,且x ≠1时,f （x ）-（1ln -x x +x k ）>0,即f （x ）>1ln -x x +xk.（ii ）设0<k<1.由于2(1)(1)2k x x -++=2(1)21k x x k -++-的图像开口向下,且244(1)0k ∆=-->,对称轴x=111k >-.当x ∈（1,k -11）时,（k-1）（x 2 +1）+2x>0,故'h（x ）>0,而h （1）=0,故当x ∈（1,k -11）时,h （x ）>0,可得211x -h （x ）<0,与题设矛盾.（iii ）设k ≥1.此时212x x +≥,2(1)(1)20k x x -++>⇒'h （x ）>0,而h （1）=0,故当x ∈（1,+∞）时,h （x ）>0,可得211x- h （x ）<0,与题设矛盾. 综合得,k 的取值范围为（-∞,0]点评;求参数的范围一般用离参法,然后用导数求出最值进行求解.若求导后不易得到极值点,可二次求导,还不行时,就要使用参数讨论法了.即以参数为分类标准,看是否符合题意.求的答案.此题用的便是后者. 22.解析：（I ）连接DE,根据题意在△ADE 和△ACB 中,AD AB mn AE AC ⨯==⨯ 即ABAEAC AD =.又∠DAE=∠CAB,从而△ADE ∽△ACB 因此∠ADE=∠ACB 所以C,B,D,E 四点共圆.（Ⅱ）m=4, n=6时,方程x 2-14x+mn=0的两根为x 1=2,x 2=12.故 AD=2,AB=12.取CE 的中点G,DB 的中点F,分别过G,F 作AC,AB 的垂线,两垂线相交于H 点,连接DH.因为C,B,D,E 四点共圆,所以C,B,D,E 四点所在圆的圆心为H,半径为DH. 由于∠A=900,故GH ∥AB, HF ∥AC. HF=AG=5,DF= 21（12-2）=5. 故C,B,D,E 四点所在圆的半径为52 23.解析：（I ）设P （x,y ）,则由条件知M （,22x y）.由于M 点在C 1上,所以2cos ,222sin 2x y αα⎧⎫=⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪=+⎪⎪⎩⎭即 4c o s 44s i n x y αα=⎧⎫⎨⎬=+⎩⎭从而2C 的参数方程为4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数） （Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=,曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=. 射线3πθ=与1C 的交点A 的极径为14sin 3πρ=, 射线3πθ=与2C 的交点B 的极径为28sin3πρ=.所以21||||23AB ρρ-==.24.解析：（Ⅰ）当1a =时,()32f x x ≥+可化为|1|2x -≥. 由此可得 3x ≥或1x ≤-.故不等式()32f x x ≥+的解集为{|3x x ≥或1}x ≤-. （ Ⅱ） 由()0f x ≤ 得 30x a x -+≤此不等式化为不等式组30x a x a x ≥⎧⎨-+≤⎩ 或30x aa x x ≤⎧⎨-+≤⎩即 4x a a x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩ 或2x aa x ≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩ 因为0a >,所以不等式组的解集为{}|2ax x ≤-由题设可得2a-= 1-,故2a =2019高中教师读书心得体会作为教师，在教授知识的提示，也应该利用空暇时刻渐渐品读一些好书，吸收书中的精华。
2011年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷)数学试题 (理科)(解析版)
2011年普通高等学校招生全国统一考试（全国新） 数学（理）试题解析第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）(2011全国新课标卷理)复数212i i+-的共轭复数是 ( ) （A ）35i - （B ）35i （C ）i - （D ）i 解析：212i i +-=(2)(12),5i i i ++=共轭复数为C（2）(2011全国新课标卷理)下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是( )（A ）3y x = （B ） 1y x =+ （C ）21y x =-+ （D ） 2x y -=解析:由图像知选B（3）(2011全国新课标卷理)执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是( )（A ）120 （B ）720（C ）1440 （D ）5040解析：框图表示1n n a n a -=⋅，且11a =所求6a =720选B（4）(2011全国新课标卷理)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34解析;每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的情形只有3种，所求的概率为p=3193=选A（5）(2011全国新课标卷理)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ= ( )（A ）45-（B ）35- （C ）35 （D ）45解析：由题知tan 2θ=,222222cos sin 1tan 3cos2cos sin 1tan 5θθθθθθθ--===-++选B（6）(2011全国新课标卷理)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为( )解析：条件对应的几何体是由底面棱长为r 的正四棱锥沿底面对角线截出的部分与底面为半径为r的圆锥沿对称轴截出的部分构成的。
2011年高考数学理科试题解析(新课标卷)-推荐下载
0,
3
2 3
,
。由
。
a
b
选A
a2 b2 2ab cos
（11）设函数 f (x) sin(x ) cos(x )( 0, ) 的最小正周期为 ，且 2
f (x) f (x) ，则
（A）
（A） 2
（B） 3
解析：通径|AB|= 2b2 2a 得 b2 2a2 a2 c2 2a2 ，选 B a
（8）
x
（A）-40
a x
2x
1 x
5
的展开式中各项系数的和为
（B）-20
解析 1.令 x=1 得 a=1.故原式= (x 1 )(2x 1 )5 。 (x 1 )(2x 1 )5 的通项
（C）2
解析 2.用组合提取法,把原式看做 6 个因式相乘，若第 1 个括号提出 x,从余
下的 5 个括号中选 2 个提出 x，选 3 个提出 1 ；若第 1 个括号提出 1 ，从余下的
括号中选 2 个提出 1 ，选 3 个提出 x. x
故常数项=
X
C52 (2 X )2
C33(
1 X
)3
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2011 年普通高等学校招生全国统一考试
(新课标)理科数学解析
第I卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。 (1)复数 2 i 的共轭复数是
1 2i
（A） 3 i 5
sin2 sin2
2011年新课标卷高考理科数学试卷真题及解析
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
y 1 的对称中心是(1, 0),也是y 2sin x(2 x 4)
1 x
3
的中心,它们的图像在x 1
2
左侧有4个交点, 右侧也有4
个交点, 不妨把它们横坐标
1
从小到大设为x1 , x2 , x3 , x4 ,
6
B.
f
(
x
)在
4
,
3
4
单调递增
f ( x) 2 sin( x ), 2, 又f ( x)为偶函数,
4
k k , k Z ,
42
4
f ( x) 2 sin(2x ) 2 cos 2x
2
12. 函数y 1 的图像与函数y 2sin x(2 x 4)的
C52 (2 x)3
1 x
2
40
80
40
9.由曲线y x , 直线y x 2及y轴所围成的图形的
面积为( C )
10
4
16
A.
B. 4
C.
D. 6
3
3
3
4
S 0 ( x x 2)dx
2
2 3
3
x2
1 2
x2
2x
4 0
16 3
.
1
6
4
2
2
4
1
2
3
10.已知a与b均为单位向量,其夹角为 ,有下列四个命题
4
2
x5 , x6 , x7 , x8 , 则x1 x8
1
x2 x7 x3 x6 x4 x5 2
2
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题 的 比例 有所 降低 ， 本卷 加大 了概率 但 统计 和立体 几何 的 考查力 度 ， 承 了近 继 几年 压轴题 的 特点 ， 现 了试 卷 的 区分 体
度 与选 拔 功能 。全 卷 内涵 丰富 、 立意新
颖、 特点 分 明 、 亮点 纷呈 ， 一套凝 聚着 是
命 题者智 慧的优 秀试 题 。
一
）
ｃ． Ｄ．１
试题 考查 的知识 点分 布合 理 ， 知 在 识考 查 中融人 了数学思 维方法 ， 主要考 查 了函数 与方 程 、 化归转化 思想 、 数形结
、
试卷特点
这题 考 查 的方法 比较新 ， 开创 了由 向量 数量 积 、 向量 减法 以及 判定 四点共
向量与 四边形 的外 接圆的性质结合 的试
题 ； １ 题是将 圆锥曲线与 角平分线定 第 ５ 理结 合进 行命 题 ； ２ 题 、２ 等是将 第 ｌ ２题 多种知识融合起来 进行 命题 。学生需要 具有扎实 的数学基础 、 丰富 的数学知识 ， 并懂得将 知识融会贯通 ， 才能解答 。
单 的概率计算 。这些题 目的情 景设置贴 近生活 、 近时代 ， 贴 体现 了关注 实际 、 注
重应用 的高考理念 。概率 与统计的考查
（） ａ的取值范围， Ｉ求 并讨论 ｒｘ （）
的单调性 ；
力 度加 大 ， 突显 了其 在生活 中存在 的广
泛性及应用价值 。
４ 继 承 近 几 年 压 轴题 的部 分特 点 ．
９ ８ （ ．０ １１．２ ８ ９Ｂ） １．２ ３ ２ ０
Ａ詈 Ｂ ． ． 吾 ｃ詈 Ｄ号 ． ． 一 一
这 两 道 题 分 别 考 查 三 角 函数 图像 的平 移 和 圆锥 曲线 方 程 与 直线 方程 的联立 、 向量
２ ３
６
第 一册 上第 ６ 页 ， １ （ ） ３ 例 第 ３ 问 第 一册 上第 ３ 页 ， ７ 习题 １ 第 ３ ． ８ 题
韦达定 理解题 ， 且第 二 问要 求学生 根据
问题情 境进 行深 入思考 ， 算量也 稍大 计
一
已 列｛｝ 口＝ ， ＝ －１ 知数 口 中， １ａ Ｃ ． １
¨
中 每次 随机 抽 取一 张 ， 然后 放 回 ， 用这 种 方式 连续 抽 取 ２ ０次 ， 设抽 得 的 ２ 个 Ｏ 号 码 互 不 相 同 的 概 率 为 Ｐ． 明 ： 证
基本 知 识 和技 能 ， 多 为常 规 题 型 ， 大 难
则注 重考 查基本 概念 与运算 ， 占的分 所 值较少 。这些 主干知识体现 了数学作 为
主要 基础 学科 的作用 ， 查 了对 数学 思 考
虽 然 试 题 总体 与往 年 相 比是 平稳
的 ， 在 问题 的情 境 和设计 形式 上也 不 但
表３ 年 份
２ １ ０１
２ ０ Ｏ１ ２ ９ ｏ０ ２０ ０８
ｐ ）＜ ． ＜（
第一 问是 函数 与导数 有关 的题 目， 较为常规 ， 但是第二 问将 概率统计 、 不等 式与 函数结合考查 （ 转第５ 页） 下 ３
，
空间想象能力是 数学高考重点考查
分布及 不等式 的证 明 ， 考生 可 以运 用 函
数的单 凋性 和放缩法进行解答 。 而今 年的压轴题第 ２ 题 ： ２
本 试卷继承近 几年压轴 题的部分特
点， 设置 了函数 、 概率 与不等式结合求证
好地 控制 了计算量 和思 维量。每道解答
题 只要想到合理 的解 法都能很快解决 问 题， 只有第 ２ 题 需要 联 立方 程 ， 助于 ｌ 借
化归转 化思想
概念记忆 、 运算能力
纵 观 全 卷 ， 题 视 角 独特 、 意 清 命 立 新 、 问巧 妙 、 境设 置合理 ， 设 情 引导 中学 数学教学 回归教材 ， 回归本色教学 ， 重视
知识 的生成 、 展 、 移 、 纳和拓展 ， 发 迁 归 注
计 ， ２ １ 年却一 反常 态有 ２ 而 ０１ 小题涉 及
《 熊 黼 群 ～ 鞴
Ｉ
女 蕊 囊 罄
藏
瓣 搿
一
表２
内容 函数 与导数 立体几何 平 面向量 与解析几何
题号 ２ ８ ９ ２ ２ ６ １ １ １ ｌ ６ ９ １ ｌ ０ ２
分值百分比（ ％） １ ４ １ ８
１ ８
数学思想方法 函数与方程思想 数形结合思想 化归转化思想 、
数学能力 逻辑 思维 能力 空间想象能力 运算能力 、 逻辑 思维 能力 、
１ ２ ５ １ห้องสมุดไป่ตู้
角函数 与解 ｉ角形 三
数 列
数形结合思想
化 归转化思想
化 归转 化 思 想
空Ｊ 想象 能力 １ ； ｊ Ｊ
转化推理能力
演绎推理 归 纳 推 理
５ １ ｌ ４ ７
４ ２ ０
第 二册 下第 ４ 页 ， ０ 习题 ９６ ｌ 题 ．第 ３
２ １ 年全 国高 考 试 卷 Ｉ理科 数学 ０１
卷继 承 了往年试 卷 的优点 ， 时又有 其 同 不 同的特 点 。本卷 知识覆 盖面 较广 ， 题 型 与考 试 内容稳 定 ， 题难 度 、 度合 试 梯
理 ， 点考察 主 干知识 和重 要数 学思想 重 方 法 ， 知 识 交 汇处 命 题 ， 现 知 识 的 在 体
ｌ－ ３３
１． １ ４
概率 与统计 组合与二项式
充 分 必 要 条 件
１ ８ ７ １ ３
３
１ ２ ６７ ．
３ ３
或然 与必然思想 化 归转 化思想
化 归转 化思 想
分析问题 、 解决问题 定理记忆 、 公式运用
逻 辑 思 维 能 力
复数
ｌ
３３ －
比 如第 ５题 ： 函数 厂 ＝Ｃ Ｓ 设 （） Ｏ
（ ＞０， ｙ ｆｘ 的图像向右平移 要个 Ｏ Ｃ ） 将 ＝（ ）
单位长 度后 ， 所得 的图像 与原图像重合 ，
则 ∞的最小值等于 （ ）
三角 形 、 列 、 数 立体几 何 、 面 向量 与解 平 析几 何 、 率与统 计 。各 主干知识 在本 概 试 卷 中所 占 的 比例 为 ： 函数 与 导 数 占 １． 立体几何 占１ ． 平面 向量与解 ４０ ％， ８Ｏ ％，
Ａ｛ Ｂ ｃ Ｄ ． ． ． ． ３ ６ ９
又 如第 １ 题 ： ０ 已知抛物线 Ｃ： ４ Ｙ＝ｘ 的焦点 为 Ｆ 直线 Ｙ＝ ｘ ， ２ 一４与 ｃ 于Ａ， 交
析几何 占 １． 三 角函数与解三角形 占 ８ ％， ０
１ ． 数 列 、 率与统 计 占 １． 组合 ３３ ％， 概 ２ ％， Ｏ
的能力 目标 之一 ， 每年都 有不 少题 目涉 及识 图或 画图 、 观察 或分 析图形 。近 五
年涉及空间想象的题 目见表 ３ 。
通过 比较 ， 不难 看 出今 年 的试题 更
题 号
５ ６ ８ ｌ ｌ ｌ ｌ １ １ ２ｌ ０ １ ２ ５ ６ ９
设函数 ｆ ｘ＝ ＋ ｌ（＋ ） （） 日ｎ１ 有两个
极值点 Ｘ、Ｘ ， Ｘ ＜ ， ． ， 且
重 基本解 题素养 ， 为高 校分层 选拔人 才 提供 了可靠依据 ， 中学实施数学教育 、 对 数学 思想 方法和数学能 力培养 起到导 向 作用 。
二 、与往 年 试 题 的 不 同
的数量积等基础知识 ， 难度适 中。
部分 试题明显地是 由教材例题 或习 题改 编而成（ 见表 １ ， ）这将进一 步引导中
学 的教 与 学 立 足基 础 ， 视 教 材 。 重
综 合 运 用 。２ ０ 至 ２ １ 年 三 年 的数学 ０ ８ ００ 试 题难 度较 大 ， ２ １ 年 全 国高考试卷 而 ０ １ Ｉ理科 数学 试题 难度 回落 ， 主要是 考查
Ｈ
点 。这些 完全符 合（ ０ 年数学 高考 ２１ １
２ 更重视考查空 间想 象能力 ．
（ 设 ｃ 昙 ｂ＝ Ｉ） ＝ ， “
Ｈ
—
， 求数列
考试 大纲》 的理念 。
｛ 的通项公式 ； ｂ｝
（Ｉ） Ｉ 求使 不 等式 口 ＜ 川 ＜ ａ ３成 立
的Ｃ 的取值范围． 本 题 主要 考 查 数 列 与不 等 式 的 内
１ 稳定 中有创新 ． 试题 题 型 结构 稳 定， 题量 延 续 “２ １＋
合思想等重要数学 思想 ， 并从 多角度 、 多 层次 ， 全方位地考查计算 能力 、 间想 象 空 能力 、 推理论证能力等 （ 见表 ２ 。 ）
４ 在 知 识 的 交汇 处 命 题 ．
圆的方 法相结 合求 最值 的先 例 ， 考查 了
（） Ｉ 证明：（ ）Ｌ 。 Ｉ ｆｘ ＞ ２
本题 主 要 考 查 函 数 、 数 、 程 根 的 导 方
１ 计算量和思维量略 有下降 ． 整套 试卷无论是选择 、 填空题 ， 还是 解 答题 计算量 都不 大 ， 推理 过程也 不繁
杂 ， 要考查通 性通法 ， 偏题 、 题 ， 主 无 怪 很
考生 的知识积 累与思维 能力 。
２ 主干知识 突出 ．
４ ６ 的模 式 ； 分设计 稳定 ， 择 、 ＋” 赋 选 填空 题 仍是每题 ５ ， 分 解答题 共 ９ 分 ； ０ 试题命 题 理 念稳 定 ， 全面 考查 “ 双基 ” 注 重考 。
查学生 的数 学基础知识与数学能力 。
容 ， 生可 以运用 数学 归纳法 及放缩 法 考 进行解答 。 又如 ２ ０ 年全 国卷二第 ２ 题 ： ０９ ２
概 率 与 统 计 ， 们 分 别 为第 １ 、 ２ 。 它 ８２题 第 １ 题设 置两问 ， ８ 第一 问为求事件 的概