2018新疆第五届中学生数学应用问题竞赛(初一试题)
2018年初中数学联赛试题及参考答案_一_
则使得（ｘ＠ｙ）＠ｚ＋（ｙ＠ｚ）＠ｘ＋（ｚ＠ｘ）＠ｙ＝０ 的 整
数 组 ）（ｘ，ｙ，ｚ）的 个 数 为 （ ）．
（Ａ）１ （Ｂ）２ （Ｃ）３ （Ｄ）４
答 （Ｄ）．
（ｘ＠ｙ）＠ｚ＝ （ｘ＋ｙ－ｘｙ）＠ｚ＝ （ｘ＋ｙ－ｘｙ）＋ｚ
－ （ｘ＋ｙ－ｘｙ）ｚ＝ｘ＋ｙ＋ｚ－ｘｙ－ｙｚ－ｚｘ＋ｘｙｚ，
由 对 称 性 ，同 样 可 得
＋３ａｂ］＝０，
又ａ－ｂ＝２，所 以 ２－２［４＋４ａｂ］＋２［４＋３ａｂ］＝
０，解得ａｂ＝１．所 以ａ２＋ｂ２＝ （ａ－ｂ）２ ＋２ａｂ＝６，ａ３ －
ｂ３＝（ａ－ｂ）［（ａ－ｂ）２＋３ａｂ］＝１４，ａ５ －ｂ５ ＝ （ａ２ ＋ｂ２）
（ａ３－ｂ３）－ａ２ｂ２（ａ－ｂ）＝８２．
５．对任意的 整 数 ｘ，ｙ，定 义 ｘ＠ｙ＝ｘ＋ｙ－ｘｙ，
（ｙ＠ｚ）＠ｘ＝ｘ＋ｙ＋ｚ－ｘｙ－ｙｚ－ｚｘ＋ｘｙｚ，（ｚ
＠ｘ）＠ｙ＝ｘ＋ｙ＋ｚ－ｘｙ－ｙｚ－ｚｘ＋ｘｙｚ．
所以，由已知可得 ｘ＋ｙ＋ｚ－ｘｙ－ｙｚ－ｚｘ＋ｘｙｚ
＝０，即 （ｘ－１）（ｙ－１）（ｚ－１）＝ －１．
所以，ｘ，ｙ，ｚ 为整数时，只能有以下几种情况：
烄ｘ－１＝１， 烄ｘ－１＝１， 烅ｙ－１＝１， 或烅ｙ－１＝－１， 烆ｚ－１＝－１， 烆ｚ－１＝１，
２０１８ ５ ＞ ３３ ＝６１３３．
又 Ｍ ＝ （２０１１８＋２０１１９＋ … ＋２０１３０）＋ （２０１３１＋
１ ２０３２＋
…
＋２０１５０）＞２０１３０×１３＋２０１５０×２０＝８１３３２４３５０，
所以
１ Ｍ
＜８１３３２４３５０＝６１１１１３８４５５，故
１ Ｍ
的填空题 （本题满分２８分，每小题７分）
４．若实数ａ，ｂ 满 足ａ－ｂ＝２，（１－ａ）２ － （１＋ｂ）２
2018年全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准(A卷和B卷)
6．设 M A.60． 【答】B. 因为 M
1 1 1 1 1 ，则 的整数部分是 2018 2019 2020 2050 M
2 2
即 (a b) 2[(a b) 4ab] (a b)[(a b) 3ab] 0 ， 又 a b 2 ，所以 2 2[4 4ab] 2[4 3ab] 0 ，解得 ab 1.所以 a b (a b) 2ab 6 ，
x 1 1, x 1 1, x 1 1, x 1 1, y 1 1, 或 y 1 1, 或 y 1 1, 或 y 1 1, z 1 1, z 1 1, z 1 1, z 1 1,
2018 年ޘഭ初中数学联赛试题参考答案及评分标准
说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设 7 分和 0 分两档；第二试各题， 请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在 评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.
2 2
）
A.1． 【答】B.
B.2．
C.3．
D.4．
2018 年初中数学联赛试题参考答案及评分标准
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设 p 5 pq 4q m （ m 为自然数） ，则 ( p 2q) pq m ，即
2
2
2
【2018中考数学】新疆乌鲁木齐市真题试卷及答案【2018数学中考真题系列】
50
x 10
50
20
10890
10. 如 图 ① ， 在 矩 形 ABCD 中 ， E 是 AD 上 一 点 ， 点 P 从 点 B 沿 折 线
BE ED DC 运动到点 C 时停止；点 Q 从点 B 沿 BC 运动到点 C 时停止，
速度均为每秒1 个单位长度．如果点 P ，Q 同时开始运动，设运动时间为 t ，
的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890 元？设房价定为 x 元，则有
A．
180
x
20
50
x 10
10890
B．
x
20
50
x
180 10
10890
C．
x 50
x
180 10
50
20
10890
D．
x
180
1
3
8
3 2 2 sin 60 ．
17．（8 分）先化简，再求值： x 1 x 1 2x 12 2x 2x 1 ，其中 x 2 1 ．
18．（10 分）如图，在四边形 ABCD 中，BAC 90 ， E 是 BC 的中点， AD ∥ BC ， AE ∥ DC ， EF CD 于点 F ． ⑴求证：四边形 AECD 是菱形； ⑵若 AB 6, BC 10 ，求 EF 的长．
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。非选择题须用黑色字迹的签字笔按照题号顺序在答题 卡上各题目的答题区域内作答。在草稿纸、本问卷上答题无效。
2018年新疆维吾尔自治区、新疆生产建设兵团中考数学试题答案
新疆维吾尔自治区、新疆生产建设兵团2018年初中学业水平考试数学答案解析1.【答案】A 【解析】的相反数为，故选A . 1212-【考点】相反数的概念.2.【答案】A【解析】由题意得最高气温比最低气温高，故选A .2810--=（）℃【考点】实数的运算.3.【答案】C【解析】几何体的左视图为从几何体的左边观察几何体看到的图形，易得C 选项中的图形符合，故选C.【考点】几何体的左视图.4.【答案】C【解析】，A 错误；，B 错误；23235==a a a a + ()()22222=22=2a b a b a ab ab b a ab b +--+---，C 正确；，D 错误.综上所述，故选C .()2322326==ab a b a b ⨯52=3a a a -【考点】整式的运算.5.【答案】B【解析】因为AB ∥CD ，所以∠C =∠ABC =30°，又因为CD =CE ，所以∠D ==75°，故选B . ()°11802C -∠【考点】平行线的性质、等腰三角形的性质.6.【答案】D【解析】甲、乙两班的平均数相同，所以平均成绩相同，①正确；乙班成绩的中位数为151，大于150，甲班成绩的中位数为149，小于150，所以乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数，②正确；甲班成绩的方差大于乙班成绩的方差，所以甲班成绩的波动较大，③正确.综上所述，正确结论的序号为①②③，故选D.【考点】平均数、中位数、方差的概念.7.【答案】D【解析】由图易得翻折后，又，则，故选D. 16cm BE B E AB ===8cm BC =2cm CE BC BE =-=【考点】折叠的性质.8.【答案】B【解析】由一本练习本和一支水笔单价合计为3元得，由买了20本练习本和10支水笔共花了36=3x y +元得，则得到方程组为，故选B . 2010=36x y +=32010=36x y x y +⎧⎨+⎩，【考点】二元一次方程组的实际应用.9.【答案】B【解析】设点N 关于直线AC 的对称点为点N′，则由菱形的性质易得点N′为CD 的中心，则，当点P 位MN′与AC 的交点时，等号成立，所以MP +PN 的最小值1MP PN MP PN MN AD +=+'≥'==为1，故选,B.【考点】菱形的性质、最短距离问题.10.【答案】二【解析】因为-1＜0,2＞0，所以点在第二象限.()1,2-【考点】平面直角坐标系.11.【答案】1x ≥，解得.10x -≥1x ≥【考点】根式有意义的条件.12.【答案】 43π【解析】因为为等边三角形，所以∠BAC =60°，则∠BOC =2∠BAC =120°，则图中阴影部分的面积为ABC ∆. 212024=3603ππ⨯⨯【考点】圆周角定理、扇形的面积公式.13.【答案】 12【解析】由题意得将杯盖和茶杯随机搭配只有搭配正确和搭配错误两种情况，且两种情况发生的可能性相同，所以所求概率为. 12【考点】概率的计算. 14.【答案】4【解析】设第一次购进铅笔时，每支的进价为元，则易得第二次购进时，每支的进价为元，由题意得x 54x，解得=4，经检验=4是原分式方程的解，所以第一次购进的铅笔，每支的进价为4元. 600600=3054x x+x x 【考点】列分式方程解决实际问题.15.【答案】②③【解析】由图易得当＞2时，，所以M =，①错误；当＜0时，，M =，由图易得，此x 12y y ＜1y x 12y y ＜1y 时随的增大而增大，②正确；由图易得当=2时，M 取得最大值，此时M ===4，所以使得M 大1y x x 1y 2y 于4的的值不存在，③正确；当0＜＜2时，M =，则由M ==2=2得=1，当＞2时，M =，则x x 2y 2y x x x 1y由M =得，所以由得或，④错误.综上1y 24=2x x -+)2=2x x =+-2，舍去2M =1x =2x =+所述，正确结论的序号为②③.【考点】一次函数、二次函数的图象和性质、新定义的理解和应用.16.【答案】5【解析】解：原式= (4232-+-.=432+-【考点】实数的运算.17.【答案】解：原式= 21111x x x x +-÷-- ()()11=1x x x x x+--=1x +∵，∴或.23=0x x +=0x =3x -当时，原式无意义.=0x 故当时，原式.=3x -=12x +=-【解析】解：原式= 21111x x x x +-÷-- ()()11=1x x x x x+--=1x +∵，∴或.23=0x x +=0x =3x -当时，原式无意义.=0x 故当时，原式.=3x -=12x +=-【考点】分式的化简与求值.18.【答案】解：(1)由题意，将点代入反比例函数解析式，可得，∴. ()2,1=k y x 1=2k =2k 将点，代入一次函数解析式，得，∴.()2,1=2k =y kx m +1=4m +=3m -∴这两个函数的解析式分别为，. 2=y x=23y x -(2)在一次函数的图像上. ()15P --，=23y x -原因如下：∵当时，，=1x -()=23=213=5y x -⨯---∴在一次函数的图像上. ()15P --，=23y x -【解析】解：(1)由题意，将点代入反比例函数解析式，可得，∴. ()2,1=k y x 1=2k =2k 将点，代入一次函数解析式，得，∴.()2,1=2k =y kx m +1=4m +=3m -∴这两个函数的解析式分别为，. 2=y x=23y x -(2)在一次函数的图像上. ()15P --，=23y x -原因如下：∵当时，，=1x -()=23=213=5y x -⨯---∴在一次函数的图像上. ()15P --，=23y x -【考点】反比例函数、一次函数的图像与性质.19.【答案】解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB =OD ，OA =OC .又∵AE =CF ，∴OA -AE =OC -CF ，即OE =OF .在和中，DOE ∆BOF ∆==BOF OE OF DOE OD OB ⎧⎪⎨⎪=⎩，∠∠，，∴.DOE BOF ∆≅∆(2)四边形EBFD 是矩形.理由如下：连接BE ，DF.∵BD ，EF 相交于点O ，OD =OB ，OE =OF ，∴四边形EBFD 是平行四边形，又∵BD =EF ，∴四边形EBFD 是矩形.【解析】解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OB =OD ，OA =OC .又∵AE =CF ，∴OA -AE =OC -CF ，即OE =OF .在和中，DOE ∆BOF ∆==BOF OE OF DOE OD OB ⎧⎪⎨⎪=⎩，∠∠，，∴.DOE BOF ∆≅∆(2)四边形EBFD 是矩形.理由如下：连接BE ，DF.∵BD ，EF 相交于点O ，OD =OB ，OE =OF ，∴四边形EBFD 是平行四边形，又∵BD =EF ，∴四边形EBFD 是矩形.【考点】平行四边形的性质、三角形全等的判定、矩形的判定.20.【答案】解：过点C 作CE ⊥AB 于点E .。
2018新疆中学考试数学精彩试题(含问题详解及解析汇报版)
2018年中考数学试卷一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求）的相反数是（）1．（5分）（2018•）12A．﹣1B．2 C．﹣2 D．0.522．（5分）（2018•）某市有一天的最高气温为2℃，最低气温为﹣8℃，则这天的最高气温比最低气温高（）A．10℃B．6℃ C．﹣6℃D．﹣10℃3．（5分）（2018•）如图是由三个相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的左视图是（）A．B．C．D．4．（5分）（2018•）下列计算正确的是（）A．a2•a3=a6B．（a+b）（a﹣2b）=a2﹣2b2C．（ab3）2=a2b6D．5a﹣2a=35．（5分）（2018•）如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD=CE．若∠ABC=30°，则∠D为（）A．85° B．75° C．60° D．30°6．（5分）（2018•）甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，参赛学生每分钟输入汉字个数的统计结果如下表：班级参加人数平均数中位数方差甲55135149191乙55135151110某同学分析上表后得出如下结论：（1）甲、乙两班学生的成绩平均成绩相同；（2）乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字≥150个为优秀）；（3）甲班成绩的波动比乙班大．上述结论中，正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③7．（5分）（2018•）如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm．现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE 的长为（）A．6cm B．4cm C．3cm D．2cm8．（5分）（2018•）某文具店一本练习本和一支水笔的单价合计为3元，小妮在该店买了20本练习本和10支水笔，共花了36元．如果设练习本每本为x元，水笔每支为y元，那么根据题意，下列方程组中，正确的是（）A．{x−y=320x+10y=36B．{x+y=320x+10y=36C．{y−x=320x+10y=36D．{x+y=310x+20y=369．（5分）（2018•）如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP+PN的最小值是（）A．12B．1 C．√2D．2二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）10．（5分）（2018•）点（﹣1，2）所在的象限是第象限．11．（5分）（2018•）如果代数式√x−1有意义，那么实数x的取值围是．12．（5分）（2018•）如图，△ABC是⊙O的接正三角形，⊙O的半径为2，则图中阴影部的面积是．13．（5分）（2018•）一天晚上，小伟帮助妈妈清洗两个只有颜色不同的有盖茶杯，突然停电了，小伟只好把杯盖和茶杯随机地搭配在一起，则颜色搭配正确的概率是．14．（5分）（2018•）某商店第一次用600元购进2B 铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的54倍，购进数量比第一次少了30支．则该商店第一次购进的铅笔，每支的进价是 元． 15．（5分）（2018•）如图，已知抛物线y 1=﹣x 2+4x 和直线y 2=2x ．我们规定：当x 取任意一个值时，x 对应的函数值分别为y 1和y 2，若y 1≠y 2，取y 1和y 2中较小值为M ；若y 1=y 2，记M=y 1=y 2．①当x ＞2时，M=y 2；②当x ＜0时，M 随x 的增大而增大；③使得M 大于4的x 的值不存在；④若M=2，则x=1．上述结论正确的是 （填写所有正确结论的序号）．三、解答题（一）（本大题共4小题，共30分）16．（6分）（2018•）计算：√16﹣2sin45°+（13）﹣1﹣|2﹣√2|．17．（8分）（2018•）先化简，再求值：（1x−1+1）÷xx 2−1，其中x 是方程x 2+3x=0的根．18．（8分）（2018•）已知反比例函数y=kx的图象与一次函数y=kx+m 的图象交于点（2，1）．（1）分别求出这两个函数的解析式；（2）判断P （﹣1，﹣5）是否在一次函数y=kx+m 的图象上，并说明原因．19．（8分）（2018•）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O．E，F是AC上的两点，并且AE=CF，连接DE，BF．（1）求证：△DOE≌△BOF；（2）若BD=EF，连接FB，DF．判断四边形EBFD的形状，并说明理由．四、解答题（二）（本大题共4小题，共45分）20．（10分）（2018•）如图，在数学活动课上，小丽为了测量校园旗杆AB的高度，站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°．已知旗杆与教学楼的距离BD=9m，请你帮她求出旗杆的高度（结果保留根号）．21．（10分）（2018•）老师为了了解所教班级学生课后复习的具体情况，对本班部分学生进行了一个月的跟踪调查，然后将调查结果分成四类：A：优秀；B：良好；C：一般；D：较差．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图．请根据统计图解答下列问题：（1）本次调查中，老师一共调查了 名学生，其中C 类女生有 名，D 类男生有 名；（2）补全上面的条形统计图和扇形统计图；（3）在此次调查中，小平属于D 类．为了进步，她请老师从被调查的A 类学生中随机选取一位同学，和她进行“一帮一”的课后互助学习．请求出所选的同学恰好是一位女同学的概率．22．（12分）（2018•）如图，PA 与⊙O 相切于点A ，过点A 作AB ⊥OP ，垂足为C ，交⊙O 于点B ．连接PB ，AO ，并延长AO 交⊙O 于点D ，与PB 的延长线交于点E ．（1）求证：PB 是⊙O 的切线；（2）若OC=3，AC=4，求sinE 的值．23．（13分）（2018•）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=23x 2﹣23x ﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）求点A，B，C的坐标；（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向B点运动，同时，点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设运动时间为t秒，求运动时间t为多少秒时，△PBQ的面积S最大，并求出其最大面积；（3）在（2）的条件下，当△PBQ面积最大时，在BC下方的抛物线上是否存在点M，使△BMC的面积是△PBQ面积的1.6倍？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．2018年中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（5分）（2018•）12的相反数是（ ）A ．﹣12B ．2C ．﹣2D ．0.5【考点】14：相反数． 【专题】11 ：计算题．【分析】只有符号不同的两个数互为相反数．【解答】解：12的相反数是﹣12．故选：A ．【点评】本题主要考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．2．（5分）（2018•）某市有一天的最高气温为2℃，最低气温为﹣8℃，则这天的最高气温比最低气温高（ ） A ．10℃B ．6℃C ．﹣6℃D ．﹣10℃【考点】1A ：有理数的减法． 【专题】511：实数．【分析】用最高温度减去最低温度，然后根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解． 【解答】解：2﹣（﹣8）=2+8=10（℃）．故选：A．【点评】本题考查了有理数的减法，是基础题，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．3．（5分）（2018•）如图是由三个相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的左视图是（）A．B．C．D．【考点】U2：简单组合体的三视图．【专题】1 ：常规题型．【分析】细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可．【解答】解：从左边看竖直叠放2个正方形．故选：C．【点评】此题考查了几何体的三种视图和学生的空间想象能力，左视图是从物体左面看所得到的图形，解答时学生易将三种视图混淆而错误的选其它选项．4．（5分）（2018•）下列计算正确的是（）A．a2•a3=a6B．（a+b）（a﹣2b）=a2﹣2b2C．（ab3）2=a2b6D．5a﹣2a=3【考点】4B：多项式乘多项式；35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方．【分析】根据同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加；多项式乘以多项式的法则，可表示为（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn；积的乘方：等于把积的每一个因式分别乘方再把所得的幂相乘；合并同类项：只把系数相加，字母部分完全不变，一个个计算筛选，即可得到答案．【解答】解：A、a2•a3=a 2+3=a5，故此选项错误；B、（a+b）（a﹣2b）=a•a﹣a•2b+b•a﹣b•2b=a2﹣2ab+ab﹣2b2=a2﹣ab﹣2b2．故此选项错误；C、（ab3）2=a2•（b3）2=a2b6，故此选项正确；D、5a﹣2a=（5﹣2）a=3a，故此选项错误．故选：C．【点评】本题主要考查多项式乘以多项式，同底数幂的乘法，积的乘方，合并同类项的法则，注意正确把握每一种运算的法则，不要混淆．5．（5分）（2018•）如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD=CE．若∠ABC=30°，则∠D为（）A．85° B．75° C．60° D．30°【考点】JA：平行线的性质．【专题】551：线段、角、相交线与平行线．【分析】先由AB∥CD，得∠C=∠ABC=30°，CD=CE，得∠D=∠CED，再根据三角形角和定理得，∠C+∠D+∠CED=180°，即30°+2∠D=180°，从而求出∠D．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠C=∠ABC=30°，又∵CD=CE，∴∠D=∠CED，∵∠C+∠D+∠CED=180°，即30°+2∠D=180°，∴∠D=75°．故选：B．【点评】此题考查的是平行线的性质及三角形角和定理，解题的关键是先根据平行线的性质求出∠C，再由CD=CE得出∠D=∠CED，由三角形角和定理求出∠D．6．（5分）（2018•）甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，参赛学生每分钟输入汉字个数的统计结果如下表：班级参加人数平均数中位数方差甲55135149191乙55135151110某同学分析上表后得出如下结论：（1）甲、乙两班学生的成绩平均成绩相同；（2）乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字≥150个为优秀）；（3）甲班成绩的波动比乙班大．上述结论中，正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【考点】W7：方差；W1：算术平均数．【专题】542：统计的应用．【分析】两条平均数、中位数、方差的定义即可判断；【解答】解：由表格可知，甲、乙两班学生的成绩平均成绩相同；根据中位数可以确定，乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数；根据方差可知，甲班成绩的波动比乙班大．故（1）（2）（3）正确，故选：D．【点评】本题考查平均数、中位数、方差等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．（5分）（2018•）如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm．现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE 的长为（）A．6cm B．4cm C．3cm D．2cm【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质．【专题】1 ：常规题型；558：平移、旋转与对称．【分析】根据翻折的性质可得∠B=∠AB1E=90°，AB=AB1，然后求出四边形ABEB1是正方形，再根据正方形的性质可得BE=AB，然后根据CE=BC﹣BE，代入数据进行计算即可得解．【解答】解：∵沿AE对折点B落在边AD上的点B1处，∴∠B=∠AB1E=90°，AB=AB1，又∵∠BAD=90°，∴四边形ABEB1是正方形，∴BE=AB=6cm，∴CE=BC﹣BE=8﹣6=2cm．故选：D．【点评】本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，翻折变换的性质，判断出四边形ABEB1是正方形是解题的关键．8．（5分）（2018•）某文具店一本练习本和一支水笔的单价合计为3元，小妮在该店买了20本练习本和10支水笔，共花了36元．如果设练习本每本为x元，水笔每支为y元，那么根据题意，下列方程组中，正确的是（）A．{x−y=320x+10y=36B．{x+y=320x+10y=36C．{y−x=320x+10y=36D．{x+y=310x+20y=36【考点】99：由实际问题抽象出二元一次方程组．【专题】1 ：常规题型．【分析】等量关系为：一本练习本和一支水笔的单价合计为3元；20本练习本的总价+10支水笔的总价=36，把相关数值代入即可．【解答】解：设练习本每本为x元，水笔每支为y元，根据单价的等量关系可得方程为x+y=3，根据总价36得到的方程为20x+10y=36，所以可列方程为：{x+y=3，20x+10y=36故选：B．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，得到单价和总价的2个等量关系是解决本题的关键．9．（5分）（2018•）如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP+PN的最小值是（）B．1 C．√2D．2A．12【考点】PA：轴对称﹣最短路线问题；L8：菱形的性质．【专题】46 ：几何变换．【分析】先作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP+NP 有最小值．然后证明四边形ABNM′为平行四边形，即可求出MP+NP=M′N=AB=1．【解答】解：如图，作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP+NP有最小值，最小值为M′N的长．∵菱形ABCD关于AC对称，M是AB边上的中点，∴M′是AD的中点，又∵N是BC边上的中点，∴AM′∥BN，AM′=BN，∴四边形ABNM′是平行四边形，∴M′N=AB=1，∴MP+NP=M′N=1，即MP+NP的最小值为1，故选：B．【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题及菱形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）10．（5分）（2018•）点（﹣1，2）所在的象限是第二象限．【考点】D1：点的坐标．【专题】1 ：常规题型．【分析】根据各象限点的坐标特征解答．【解答】解：点（﹣1，2）所在的象限是第二象限．故答案为：二．【点评】本题考查了各象限点的坐标的符号特征，记住各象限点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．11．（5分）（2018•）如果代数式√x−1有意义，那么实数x的取值围是x≥1 ．【考点】72：二次根式有意义的条件．【专题】1 ：常规题型．【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案．【解答】解：∵代数式√x−1有意义，∴实数x的取值围是：x≥1．故答案为：x≥1．【点评】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．12．（5分）（2018•）如图，△ABC是⊙O的接正三角形，⊙O的半径为2，则．图中阴影部的面积是4π3【考点】MA：三角形的外接圆与外心；KK：等边三角形的性质；MO：扇形面积的计算．【专题】55C：与圆有关的计算．【分析】根据等边三角形性质及圆周角定理可得扇形对应的圆心角度数，再根据扇形面积公式计算即可．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠C=60°，根据圆周角定理可得∠AOB=2∠C=120°，∴阴影部分的面积是120π×22360=43π，故答案为：4π3【点评】本题主要考查扇形面积的计算和圆周角定理，根据等边三角形性质和圆周角定理求得圆心角度数是解题的关键．13．（5分）（2018•）一天晚上，小伟帮助妈妈清洗两个只有颜色不同的有盖茶杯，突然停电了，小伟只好把杯盖和茶杯随机地搭配在一起，则颜色搭配正确的概率是12．【考点】X6：列表法与树状图法．【专题】1 ：常规题型．【分析】根据概率的计算公式．颜色搭配总共有4种可能，分别列出搭配正确和搭配错误的可能，进而求出各自的概率即可．【解答】解：用A和a分别表示第一个有盖茶杯的杯盖和茶杯；用B和b分别表示第二个有盖茶杯的杯盖和茶杯、经过搭配所能产生的结果如下：Aa、Ab、Ba、Bb．所以颜色搭配正确的概率是12．故答案为：12．【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）=m n．14．（5分）（2018•）某商店第一次用600元购进2B 铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的54倍，购进数量比第一次少了30支．则该商店第一次购进的铅笔，每支的进价是 4 元．【考点】B7：分式方程的应用．【专题】34 ：方程思想；522：分式方程及应用．【分析】设该商店第一次购进铅笔的单价为x 元/支，则第二次购进铅笔的单价为54x 元/支，根据单价=总价÷数量结合第二次购进数量比第一次少了30支，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解答】解：设该商店第一次购进铅笔的单价为x 元/支，则第二次购进铅笔的单价为54x 元/支， 根据题意得：600x ﹣60054x =30， 解得：x=4，经检验，x=4是原方程的解，且符合题意．答：该商店第一次购进铅笔的单价为4元/支．故答案为：4．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．15．（5分）（2018•）如图，已知抛物线y1=﹣x2+4x和直线y2=2x．我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为y1和y2，若y1≠y2，取y1和y2中较小值为M；若y1=y2，记M=y1=y2．①当x＞2时，M=y2；②当x＜0时，M随x的增大而增大；③使得M大于4的x的值不存在；④若M=2，则x=1．上述结论正确的是②③（填写所有正确结论的序号）．【考点】H3：二次函数的性质；F5：一次函数的性质．【专题】533：一次函数及其应用；535：二次函数图象及其性质．【分析】①观察函数图象，可知：当x＞2时，抛物线y1=﹣x2+4x在直线y2=2x 的下方，进而可得出当x＞2时，M=y1，结论①错误；②观察函数图象，可知：当x＜0时，抛物线y1=﹣x2+4x在直线y2=2x的下方，进而可得出当x＜0时，M=y1，再利用二次函数的性质可得出M随x的增大而增大，结论②正确；③利用配方法可找出抛物线y1=﹣x2+4x的最大值，由此可得出：使得M大于4的x的值不存在，结论③正确；④利用一次函数图象上点的坐标特征及二次函数图象上点的坐标特征求出当M=2时的x值，由此可得出：若M=2，则x=1或2+√2，结论④错误．此题得解．【解答】解：①当x＞2时，抛物线y1=﹣x2+4x在直线y2=2x的下方，∴当x＞2时，M=y1，结论①错误；②当x＜0时，抛物线y1=﹣x2+4x在直线y2=2x的下方，∴当x＜0时，M=y1，∴M随x的增大而增大，结论②正确；③∵y1=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，∴M的最大值为4，∴使得M大于4的x的值不存在，结论③正确；④当M=y1=2时，有﹣x2+4x=2，解得：x1=2﹣√2（舍去），x2=2+√2；当M=y2=2时，有2x=2，解得：x=1．∴若M=2，则x=1或2+√2，结论④错误．综上所述：正确的结论有②③．故答案为：②③．【点评】本题考查了一次函数的性质、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及二次函数图象上点的坐标特征，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．三、解答题（一）（本大题共4小题，共30分）16．（6分）（2018•）计算：√16﹣2sin45°+（13）﹣1﹣|2﹣√2|． 【考点】2C ：实数的运算；6F ：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．【专题】1 ：常规题型．【分析】直接利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质、负指数幂的性质进而化简得出答案．【解答】解：原式=4﹣2×√22+3﹣（2﹣√2） =4﹣√2+3﹣2+√2=5．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．17．（8分）（2018•）先化简，再求值：（1x−1+1）÷x x 2−1，其中x 是方程x 2+3x=0的根．【考点】6D ：分式的化简求值；A3：一元二次方程的解．【专题】11 ：计算题．【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后根据x 2+3x=0可以求得x 的值，注意代入的x 的值必须使得原分式有意义．【解答】解：（1x−1+1）÷xx 2−1=1+x−1x−1⋅(x+1)(x−1)x=x x−1⋅(x+1)(x−1)x=x+1，由x 2+3x=0可得，x=0或x=﹣3，当x=0时，原来的分式无意义，∴当x=﹣3时，原式=﹣3+1=﹣2．【点评】本题考查分式的化简求值、一元二次方程的解，解答本题的关键是明确分式的化简求值的计算方法．的图象与一次函数y=kx+m的图象交18．（8分）（2018•）已知反比例函数y=kx于点（2，1）．（1）分别求出这两个函数的解析式；（2）判断P（﹣1，﹣5）是否在一次函数y=kx+m的图象上，并说明原因．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．【专题】533：一次函数及其应用．，求出k的值，再将k的值和点（2，1）【分析】（1）将点（2，1）代入y=kx代入解析式y=kx+m，即可求出m的值，从而得到两个函数的解析式；（2）将x=﹣1代入（1）中所得解析式，若y=﹣5，则点P（﹣1，﹣5）在一次函数图象上，否则不在函数图象上．经过（2，1），【解答】解：（1）∵y=kx∴2=k．∵y=kx+m经过（2，1），∴1=2×2+m，∴m=﹣3．∴反比例函数和一次函数的解析式分别是：y=2和y=2x﹣3．x（2）当x=﹣1时，y=2x﹣3=2×（﹣1）﹣3=﹣5．∴点P（﹣1，﹣5）在一次函数图象上．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是知道函数图象的交点坐标符合两个函数的解析式．19．（8分）（2018•）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O．E，F是AC上的两点，并且AE=CF，连接DE，BF．（1）求证：△DOE≌△BOF；（2）若BD=EF，连接FB，DF．判断四边形EBFD的形状，并说明理由．【考点】L5：平行四边形的性质；KD：全等三角形的判定与性质．【专题】555：多边形与平行四边形．【分析】（1）根据SAS即可证明；（2）首先证明四边形EBFD是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是菱形即可证明；【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵AE=CF，∴OE=OF，在△DEO和△BOF中，{OD=OB∠DOE=∠BOF OE=OF∴△DOE≌△BOF．（2）解：结论：四边形EBFD是菱形．理由：∵OD=OB，OE=OF，∴四边形EBFD是平行四边形，∵BD=EF，∴四边形EBFD是菱形．【点评】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．四、解答题（二）（本大题共4小题，共45分）20．（10分）（2018•）如图，在数学活动课上，小丽为了测量校园旗杆AB的高度，站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°．已知旗杆与教学楼的距离BD=9m，请你帮她求出旗杆的高度（结果保留根号）．【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】552：三角形．【分析】根据在Rt△ACF中，tan∠ACF=ADCD，求出AD的值，再根据在Rt△BCD中，tan∠BCD=BDCD，求出BD的值，最后根据AB=AD+BD，即可求出答案．【解答】解：在Rt△ACF中，∵tan∠ACF=AFCF，∴tan30°=AF9，∴AF 9=√3 3，∴AF=3√3m，在Rt△BCD中，∵∠BCD=45°，∴BD=CD=9m，∴AB=AD+BD=3√3+9（m）．【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，本题要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．21．（10分）（2018•）老师为了了解所教班级学生课后复习的具体情况，对本班部分学生进行了一个月的跟踪调查，然后将调查结果分成四类：A：优秀；B：良好；C：一般；D：较差．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图．请根据统计图解答下列问题：（1）本次调查中，老师一共调查了20 名学生，其中C类女生有 2 名，D类男生有 1 名；（2）补全上面的条形统计图和扇形统计图；（3）在此次调查中，小平属于D类．为了进步，她请老师从被调查的A类学生中随机选取一位同学，和她进行“一帮一”的课后互助学习．请求出所选的同学恰好是一位女同学的概率．【考点】X4：概率公式；VB：扇形统计图；VC：条形统计图．【专题】1 ：常规题型；54：统计与概率．【分析】（1）由A类别人数及其所占百分比可得总人数，用总人数乘以C类别百分比，再减去其中男生人数可得女生人数，同理求得D类别男生人数；（2）根据（1）中所求结果可补全图形；（3）根据概率公式计算可得．【解答】解：（1）老师调查的学生总人数为（1+2）÷15%=20人，C类女生人数为20×25%﹣3=2人，D类男生人数为20×（1﹣15%﹣20%﹣25%）﹣1=1人，故答案为：20、2、1；（2）补全图形如下：（3）因为A类的3人中，女生有2人，所以所选的同学恰好是一位女同学的概率为2．3【点评】此题考查了概率公式的应用以及条形统计图与扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22．（12分）（2018•）如图，PA与⊙O相切于点A，过点A作AB⊥OP，垂足为C，交⊙O于点B．连接PB，AO，并延长AO交⊙O于点D，与PB的延长线交于点E．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若OC=3，AC=4，求sinE的值．【考点】ME：切线的判定与性质；M2：垂径定理；T7：解直角三角形．【专题】14 ：证明题．【分析】（1）要证明是圆的切线，须证明过切点的半径垂直，所以连接OBB，证明OB⊥PE即可．（2）要求sinE，首先应找出直角三角形，然后利用直角三角函数求解即可．而sinE既可放在直角三角形EAP中，也可放在直角三角形EBO中，所以利用相似三角形的性质求出EP或EO的长即可解决问题【解答】（1）证明：连接OB∵PO⊥AB，∴AC=BC，∴PA=PB在△PAO和△PBO中{PA=PB AO=BO PO=PO∴△PAO和≌△PBO∴∠OBP=∠OAP=90°∴PB是⊙O的切线．（2）连接BD，则BD∥PO，且BD=2OC=6在Rt△ACO中，OC=3，AC=4∴AO=5在Rt△ACO与Rt△PAO中，∠APO=∠APO，∠PAO=∠ACO=90°∴△ACO∼△PAOAO CO =PO AO∴PO=253，PA=203 ∴PB=PA=203在△EPO 与△EBD 中，BD ∥PO∴△EPO ∽△EBD∴BD PO =EB EP， 解得EB=1207， PE=50021， ∴sinE=PA EP =725【点评】本题考查了切线的判定以及相似三角形的判定和性质．能够通过作辅助线将所求的角转移到相应的直角三角形中，是解答此题的关键．23．（13分）（2018•）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=23x 2﹣23x ﹣4与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ．（1）求点A ，B ，C 的坐标；（2）点P 从A 点出发，在线段AB 上以每秒2个单位长度的速度向B 点运动，同时，点Q 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向C 点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设运动时间为t 秒，求运动时间t 为多少秒时，△PBQ 的面积S 最大，并求出其最大面积；（3）在（2）的条件下，当△PBQ 面积最大时，在BC 下方的抛物线上是否存在点M ，使△BMC 的面积是△PBQ 面积的1.6倍？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】HF ：二次函数综合题．【专题】537：函数的综合应用．【分析】（1）代入x=0可求出点C 的纵坐标，代入y=0可求出点A 、B 的横坐标，此题得解；（2）根据点B 、C 的坐标，利用待定系数法可求出直线BC 的解析式，过点Q 作QE ∥y 轴，交x 轴于点E ，当运动时间为t 秒时，点P 的坐标为（2t ﹣2，0），点Q 的坐标为（3﹣35t ，﹣45t ），进而可得出PB 、QE 的长度，利用三角形的面积公式可得出S △PBQ 关于t 的函数关系式，利用二次函数的性质即可解决最值问题；（3）根据（2）的结论找出点P 、Q 的坐标，假设存在，设点M 的坐标为（m ，23m 2﹣23m ﹣4），则点F 的坐标为（m ，43m ﹣4），进而可得出MF 的长度，利用三角形的面积结合△BMC 的面积是△PBQ 面积的1.6倍，可得出关于m 的一元二次方程，解之即可得出结论．【解答】解：（1）当x=0时，y=23x 2﹣23x ﹣4=﹣4， ∴点C 的坐标为（0，﹣4）；当y=0时，有23x 2﹣23x ﹣4=0， 解得：x 1=﹣2，x 2=3，∴点A 的坐标为（﹣2，0），点B 的坐标为（3，0）．（2）设直线BC 的解析式为y=kx+b （k ≠0），将B （3，0）、C （0，﹣4）代入y=kx+b ，{3k +b =0b =−4，解得：{k =43b =−4， ∴直线BC 的解析式为y=43x ﹣4． 过点Q 作QE ∥y 轴，交x 轴于点E ，如图1所示，当运动时间为t 秒时，点P 的坐标为（2t ﹣2，0），点Q 的坐标为（3﹣35t ，﹣45t ）， ∴PB=3﹣（2t ﹣2）=5﹣2t ，QE=45t ， ∴S △PBQ =12PB •QE=﹣45t 2+2t=﹣45（t ﹣54）2+54． ∵﹣45＜0， ∴当t=54时，△PBQ 的面积取最大值，最大值为54． （3）当△PBQ 面积最大时，t=54， 此时点P 的坐标为（12，0），点Q 的坐标为（94，﹣1）．假设存在，设点M 的坐标为（m ，23m 2﹣23m ﹣4），则点F 的坐标为（m ，43m ﹣4），∴MF=43m ﹣4﹣（23m 2﹣23m ﹣4）=﹣23m 2+2m ， ∴S △BMC =12MF •OB=﹣m 2+3m ． ∵△BMC 的面积是△PBQ 面积的1.6倍，∴﹣m 2+3m=54×1.6，即m 2﹣3m+2=0， 解得：m 1=1，m 2=2．∵0＜m ＜3，∴在BC 下方的抛物线上存在点M ，使△BMC 的面积是△PBQ 面积的1.6倍，点M 的坐标为（1，﹣4）或（2，﹣83）．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征求出点A、B、C的坐标；（2）利用三角形的面积公式找出S△PBQ关于t的函数关系式；（3）利用三角形的面积结合△BMC的面积是△PBQ面积的1.6倍，找出关于m的一元二次方程．。
2018年全国初中数学联赛试题-含详细解析
2018年初中数学联赛试题（北京）2018年初中数学联赛试题及答案详解说明：评阅试卷时，请依据本评分标准．第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第 二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分．如果考生的解答方法和本解答 不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相 应的分数．第一试(A)一、选择题：(本题满分42分，每小题7分)1.设二次函数2222a y x ax =++的图象的顶点为A ，与x 轴的交点为B ，C ．当ABC △为等边三角形时，其边长为()A ．．D ．【答】C.由题设知2(,)2a A a --，设(,0),(,0)B x C x ，二次函数的图象的对称轴与x 轴的交点为D ，则12||BC x x =-=又AD =，则2||2a -=26a =或20a =（舍去）所以△ABC 的边长BC ==. 2.如图，在矩形ABCD 中，BAD ∠的平分线交BD 于点E ，115AB CAE =∠=︒，，则BE =()A ．C 1D 1 【答】D.延长AE 交BC 于点F ，过点E 作BC 的垂线，垂足为H .由已知得∠BAF = ∠F AD = ∠AFB = ∠HEF =45︒，BF =AB =1，∠EBH = ∠ACB =30︒.设BE =x ，则HF =HE =2x，BH因为BF=BH+HF ,所以12x=，解得1BE x ==. 3.设p q ，均为大于3的素数，则使2254p pq q ++为完全平方数的素数对(p ，q )的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B设22254p pq q m ++=（m 为自然数），则22(2)p q pq m ++=，即(2)(2)m p q m p p pq --++= 由于p ,q 为素数，且2,2m q p p m q p q ++>++>，所以21m q p --=，2m q p pq ++=，从而2410pq p p ---=，即(4)(2)9p q --=，所以(p ,q )=(5,11)或(7,5).所以，满足条件的素数对(p ,q )的个数为2. 4.若实数a ，b 满足2a b -=，()()22114a b ba-+-=，则55a b -=()A ．46B ．64C ．82D ．128【答】C.由条件()()22114a b ba-+-=得22332240a b a b ab a b ----+-=，即22()2[()4]()[()3]0a b a b ab a b a b ab ---++--+=又2a b -=，所以22[44]2[43]0ab ab -+++=，解得1ab =，所以222()26a b a b ab +=-+=33255223322()[()3]14,()()()82a b a b a b ab a b a b a b a b a b -=--+=-=+---=. 5.对任意的整数x ，y ，定义@x y x y xy =+-，则使得()()@@@@x y z y z x ++()@@0z x y =的整数组(x ，y ，z )的个数为() A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：D()()()(@@@)x y z x y xy z x y xy z x y xy z x y z xy yz zx xyz =+-=+-+-+-=++---+，由对称性，同样可得()()@@@@.y z x x y z xy yz zx xyz z x y x y z xy yz zx xyz =++---+=++---+，所以，由已知可得0111 1.()()()x y z xy yz zx xyz x y z ++---+=---=-，即所以，x,y,z 为整数时，只能有以下几种情况：111111x y z -=⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩，或111111x y z -=⎧⎪-=-⎨⎪-=⎩，或111111x y z -=-⎧⎪-=⎨⎪-=⎩或111111x y z -=-⎧⎪-=-⎨⎪-=-⎩所以，(x ,y ,z )=(2,2,0)或(2,0,2)或(0,2,2)或(0,0,0)，故共有4个符合要求的整数组. 6.设11112018201920202050M =++++，则1M的整数部分是() A ．60B ．61C ．62D ．63 答案：B 因为1120185336120183333M M <⨯⇒>= 又111111()()201820192030203120322050M =+++++++11134513202030205083230>⨯+⨯=所以18323011856113451345M <=，故的整数部分为61.二、填空题：(本题满分28分，每小题7分)7.如图，在平行四边形ABCD 中，2BC AB CE AB =⊥，于E ，F 为AD 的中点，若AEF ∠48=︒，则B ∠=． 【答】84°.设BC 的中点为G ，连结FG 交CE 于H ，由题设条件知FGCD 为菱形由AB ∥FG ∥DC 及F 为AD 的中点，知H 为CE 的中点. 又CE ⊥AB ，所以CE ⊥FG ，所以FH 垂直平分CE ，故∠DF =∠GFC =∠EFG =∠AEF =48°.所以∠B =∠FGC =180248=84-⋅8.若实数x y ，满足()3311542x y x y+++=，则x y +的最大值为．【答】3.由3115()42x y x y 3+++=可得22115()()()42x y x xy y x y +-+++=，即22115()()42x y x xy y +-++= 令x y k +=，注意到2222131()04244y x xy y x y -++=-++>，故0x y k +=> 又因为22211()344x xy y x y xy -++=+-+，故由①式可得3115342k xyk k -+=，所以3115423k k xy k+==于是，x ,y 可看作关于t 的一元二次方程321154203k k t kt k+=-+=的两根，所以 化简得3211542()403k k k k+=∆=--⋅≥，化简得3300k k +-≤，即2(3)(310)003k k k k -++≤⇒<≤ 故x + y 的最大值为3.思路：从目标出发，判别式法，因式分解 9.没有重复数字且不为5的倍数的五位数的个数为．【答】21504.显然首位数字不能为0，末位不能为0和5.当首位数字不为5时，则首位只能选0,5之外的8个数.相应地个位数只能选除0,5及万位数之外的7个数，千位上只能选万位和个位之外的8个数，百位上只能选剩下的7个数，十位上只能选剩下的6个数.所以，此时满足条件的五位数的个数为87876⨯⨯⨯⨯=18816个.当首位数字为5时，则个位有8个数可选，依次千位有8个数可选，百位有7个数可选,十位有6个数可选.所以，此时满足条件的五位数的个数为8876⨯⨯⨯=2688个.所以，满足条件的五位数的个数为18816+2688=21504（个）.10. 已知实数a b c ，，满足0a b c ++=，2221a b c ++=，则555a b c abc++=．答案：52由已知条件可得222233311[()()],322ab bc ac a b c a b c a b c abc ++=++-++=-++=，所以555222333233233233()()[()()()]a b c a b c a b c a b c b a c c a b ++=++++-+++++ 2222222222223[()()()]3()abc a b a b a c a c b c b c abc a b c a c b b c a =-+++++=+++3()abc abc ab bc ca =+++.所以55552a b c abc ++=第一试(B)一、选择题：(本题满分42分，每小题7分) 1.满足()2211x x x ++-=的整数x 的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：C当20x +=且210x x +-≠时，2x =- 当211x x +-=时，2x =-或1x = 当211x x +-=-且2x +为偶数时0x = 所以，满足条件的整数x 有3个 2.已知123x x x ，，(123x x x <<)为关于x 的方程()32320x x a x a -++-=的三个实数根，则22211234x x x x -++=() A ．5B ．6C ．7D ．8解析：方程即2(1)(2)0x x x a --+=，它的一个实数根为1，另外两个实数根之和为2，其中必有一根小于1，另一根大于1，于是2131,2x x x =+=，故222112331311314()()412()15x x x x x x x x x x x -++=+-++=++=3. 已知点E F ，分别在正方形ABCD 的边CD ，AD 上，4CD CE EFB FBC =∠=∠，，则t a n ABF ∠=() A ．12B ．35C ．D解析：不妨设4CD =，则1,3CE DE ==设DF x =，则4,AF x EF =-作BH EF ⊥与点H ，因为,90,EFB FBC AFB BAF BHF BF ∠=∠=∠∠==∠公共，所以BAF BHF ∆≅∆，所以4BH BA ==由ABF BEF DEF BCE ABCD S S S S S ∆∆∆∆=+++四边形得2111144(4)43412222x x =⋅⋅-+⋅⋅⋅+⋅⋅，解得85x =所以1245AF x =-=，3tan 5AF ABF AB ∠==.4.方程()A ．0B ．1C ．2D ．3解析：令y 0y ≥，且29x y =- 解得1,6y or y ==，从而8x =-或27x =检验可知：8x =-是增根，舍去；27x =是原方程的实数根. 所以，原方程只有1个实数根.5.设a ，b ，c 为三个实数，它们中任何一个数加上其余两数之积的2017倍都等于2018，则这样的三元数组(a ，b ，c )的个数为() A ．4B ．5C ．6D ．7解析：由已知得， 201720182017201820172018a bc b ac c ab +=+=+=，，，两两作差，可得12017012()()()(0170120170)(.)()a b c b c a c a b --=--=--=，， 由120()()170a b c --=，可得1,2017a b or c ==（1）当a b c ==时，有2201720180a a +-=，解得a =1，或20182017a =- （2）当 abc =≠时，解得12017a b ==，120182017c =- （3）当a b ≠时，12017c =，此时有：12017a =，120182017b =-，或120182017a =-，12017b = 故这样的三元数组(a ,b ,c )共有5个. 6.已知实数a ，b 满足3232351355a a a b b b -+=-+=，，则a b +=()A ．2B ．3C ．4D ．5【答】A.有已知条件可得331212()()()(1212)a a b b -+-=--+-=，，两式相加得33121121()()()()0a a b b -+-+-+-=，因式分解得22211()[()()()2()11]0a b a a b b +-----+-+=因为2222()()()()[13111121(1)(1)4(202)a a b b a b b ----+-+=---+-+>所以20a b +-=，因此2a b +=.二、填空题：(本题满分28分，每小题7分) 7.已知p q r ，，为素数，且pqr 整除1pq qr rp ++-，则p q r ++=．【答】10. 设11111pq qr rp k pqr p q r pqr ++-==++-，由题意知k 是正整数，又,,2p q r ≥，所以32k < 而1k =，即有1pq qr rp pqr ++-=，于是可知,,p q r 互不相等.当2p q r ≤<<时，13pqr pq qr rp qr =++-<，所以3q <，故 2q =.于是2221qr qr q r =++-故2)23()(q r --=，所以21,23q r -=-=，即 3,5q r ==，所以，()(),,2,3,5p q r =. 再由 ,,p q r 的对称性知，所有可能的数组( ,,p q r )共有6组，即()()()()()() 2,3,5?2,5,33,2,53,5,25,2,35,3,2.，，，，， 于是10p q r ++=. 8.已知两个正整数的和比它们的积小1000，若其中较大的数是完全平方数，则较小的数为．【答】8.设这两个数为22),(m n m n >，则221000m n m n +=-，即2()110(101)m n --= 又100110011143791117713=⨯=⨯=⨯=⨯，所以()21,1()1001,1m n --＝或(143,7)或 (91,11)(77,13)，验证可知只有()21,(1143,)7m n --=满足条件，此时2144,8m n ==. .9.已知D 是ABC △内一点，E 是AC 的中点，610AB BC BAD BCD ==∠=∠，，，EDC ∠=ABD ∠，则DE =．【答】4.1//2CD F DF DC DE AF DE AF ==延长至，使，则且 ,,,AFD EDC ABD A F B D ∠=∠=∠所以，故四点共圆，于是 10BFD BAD BCD BF BC BD FC ∠=∠=∠==，所以，且⊥，90.FAB FDB ∠=∠=︒故6AB AF =又，故，所以14.2DE AF ==已知二次函数()()222221450y x m n x m n =++++++的图象在x 轴的上方，则满足条件的正整数对(m ，n)的个数为． 解析：16.因为二次函数的图象在x 轴的上方，所以222[()](22)144500m n m n ∆=++-++<，整理得 42449mn m n ++<，即()(5122)11m n ++<.因为,m n 为正整数，所以()(122.)15m n <++ 又12m +≥，所以25212n +<，故5n ≤. 当n=1时，1m +253≤，故223m ≤，符合条件的正整数对(m,n)有8个；当n=2时，1m +5≤，故m ≤4，符合条件的正整数对(m,n)有4个； 当n=3时，1m +257≤，故187m ≤，符合条件的正整数对(m,n)有1个；当n=4时，1m +259≤，故179m ≤，符合条件的正整数对(m,n)有1个；当n=5时，1m +2511≤，故1411m ≤，符合条件的正整数对(m,n)有1个综合可知：符合条件的正整数对(m,n)有8421116＋＋＋＋＝个第二试(A)一、(本题满分20分)设a ，b ，c ，d 为四个不同的实数，若a ，b 为方程210110x cx d --=的根， c ，d 为方程2100x ax b --=的根，求a b c d +++的值．解由韦达定理得1010a b c c d a +=+=，，两式相加得1)0(a b c d a c +++=+.因为a 是方程210110x cx d --=的根，所以210110a ac d --=，又10d a c =-，所以 211011100.a a c ac -+-=①类似可得211011100.c c a ac -+-=②①－②得)((1210)a c a c -+-=因为a c ≠，所以121a c +=，所以(11210)0a b c d a c +++=+=.二、(本题满分25分)如图，在扇形OAB 中，9012AOB OA ∠=︒=，，点C 在OA 上，4AC =， 点D 为OB 的中点，点E 为弧AB 上的动点，OE 与CD 的交点为F ． (1)当四边形ODEC 的面积S 最大时，求EF ； (2)求2CE DE +的最小值．解 (1)分别过O ,E 作CD 的垂线，垂足为M ,N . 由6,8OD OC ==，得10CD =.所以(111101260222)DOCD DECD S S S CD OM EN CD OE =+=⨯+≤⨯=⋅⋅=当OE DC ⊥时，S 取得最大值60.683612=105EF OE OF ⋅=-=-此时，212,.OB G BG OB GC GE ==（）延长至点，使，连结 因为1,2OD OE DOE EOG OE OG ==∠=∠，所以ODE OEG ∽，所以12DE EG =故2EG DE =，所以2CE DE CE EG CG +=+≥C ,E ,G 三点共线时等号成立2CE DE +故的最小值为.三、(本题满分25分)求所有的正整数m ，n ，使得()33222m n m n m n +-+是非负整数．解：记()33222m n m n S m n +-=+，则()2222332222()[()3]3()()m n m n mn m n m n m n mn mn S m n m n m n m n m n ++--+-⎛⎫===+-- ⎪+++⎝⎭+,,(,?,,1).mnm n p q p q p q m n==+因为为正整数，故可令为正整数，且 于是222233()()q q pq q S m n m n p p p +=+--=+-因为S 是非负整数，所以2|p q ,11()() .|p q p m n mn ==+，又，故，即①所以2n mn n m n m n=-++是整数，所以2()|m n n +，故2n m n ≥+，即2n m n -≥ 332200.S m n m n +-≥≥又由，知②3223222³(.)n m n m m n m m n n m --≥≥=≥所以，所以³m n m n =由对称性，同理可得，故34|2 2.20 2.m n m m m n m m m =≥=≥-≤把代入①，得，则把代入②，得，即 2.m =故,2 2.m n m n ==所以，满足条件的正整数为，第二试(B)一、(本题满分20分)若实数a ，b ，c 满足()11195555a b c a b c b c a c a b ⎛⎫++++= ⎪+-+-+-⎝⎭，求()111a b c a b c ⎛⎫++++⎪⎝⎭的值． 解：a b c x ab bc ca y abc z ++=++==记，，，则()111111555666a b c x a b c b c a c a b x a x b x c ⎛⎫⎛⎫++++=++⎪ ⎪+-+-+----⎝⎭⎝⎭22323[312()36()](936)6()36()216536216x x a b x ab bc ca x x y x a b c x ab bc ca x abc x xy z -+++++-+==++++++--+- 结合已知条件可得23(936)95362165x x y x xy z -+=-+-，整理得272xy z = 所以()111272xy a b c a b c z ⎛⎫++++==⎪⎝⎭.二、(本题满分25分)如图，点E 在四边形ABCD 的边AB 上，ABC △和CDE △都是等腰直角三 角形，AB AC DE DC ==，． (1)证明：AD BC ∥；(2)设AC 与DE 交于点P ，如果30ACE ∠=︒，求DPPE．145,,ACB DCE BC EC ∠=∠=︒==解（）由题意知，所以,AC DCDCA ECB BC EC∠=∠=，所以ADC BEC ∆∆∽，故45DAC EBC ∠=∠=，所以DAC ACB ∠=∠，所以AD BC ∥（2）设AE x =，因为30ACE ∠=，可得,2,AC CE x DE DC === 因为90,EAP CDP EPA CPD ∠=∠=∠=∠，所以APE DPC ∆∆∽，故可得12APE DPC S S ∆∆=又22,=EPC APE AEC EPC DPC CDE S S S S S S x ∆∆∆∆∆∆+==+=，于是可得2(2DPC S x ∆=，21)EPC S x ∆=所以DPC EPC S DP PE S ∆∆==三、(本题满分25分)设x 是一个四位数，x 的各位数字之和为1m x +，的各位数字之和为n ，并 且m 与n 的最大公约数是一个大于2的素数．求x ．( ,.) 2x abcd m n m n =解设，由题设知与的最大公约数为大于的素数 91,19(.)d n m m n d ≠=+==若，则，所以，矛盾，故()(9198,,829.)c n m m m n m c ≠=+-=-==若，则，故，它不可能是大于的素数，矛盾，故991()(99926,, 2613)b a n m m m n m =≠=+---=-==若，显然，所以，故，但此时可得13263936.n m n ≥=+≥>，，矛盾若9199()()17,,171717,34b n m m m n m n m ≠=+--=-====，则，故，只可能88999799.x =于是可得或。
2018年初中数学联赛试题(含答案)
12018年初中数学联赛试题说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试(A)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1.设二次函数2222a y x ax =++的图象的顶点为A ，与x 轴的交点为B ,C .当△ABC 为等边三角形时，其边长为( )A.6B.22C.23D.322.如图，在矩形ABCD 中，∠BAD 的平分线交BD 于点E ，AB =1，∠CAE =15°，则BE=( )A.33 B.222-1 33.设p ,q 均为大于3的素数，则使p 2+5pq+4q 2为完全平方数的素数对(p ,q )的个2数为( )A.1B.2C.3D.44.若实数a ,b 满足a-b=2,()()22114a b ba-+-=,则a 5-b 5=( )A.46B.64C.82D.1285.对任意的整数x ,y ，定义xy =x +y -xy ，则使得(xy )z +(yz )x +(zx )y =0的整数组(x ,y ,z )的个数为( )A.1B.2C.3D.46.设11112018201920202050M =++++，则1M的整数部分是( ) A.60 B.61 C.62 D.63二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1.如图，在平行四边形ABCD 中，BC =2AB ，CE ⊥AB 于E ，F 为AD 的中点，若∠AEF=48°，则∠B=_______.32.若实数x ,y 满足()3311542x y x y +++=，则x +y 的最大值为_______. 3.没有重复数字且不为5的倍数的五位数的个数为_______.4.已知实数a ,b ,c 满足a +b +c =0，a 2+b 2+c 2=1，则555a b cabc++=_______.第一试(B)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1.满足(x 2+x-1)x+2的整数x 的个数为( )A.1B.2C.3D.42.已知x 1,x 2,x 3 (x 1＜x 2＜x 3)为关于x 的方程x 3-3x 2+(a+2)x-a=0的三个实数根，则22211234x x x x -++=( )A.5B.6C.7D.83.已知点E ，F 分别在正方形ABCD 的边CD ，AD 上，CD=4CE ，∠EFB=∠FBC ，则tan ∠AB F ＝( )4A.12B.35C.2D.24.=的实数根的个数为( )A.0B.1C.2D.35.设a ,b ,c 为三个实数，它们中任何一个数加上其余两数之积的2017倍都等于2018，则这样的三元数组(a ,b ,c )的个数为( )A.4B.5C.6D.76.已知实数a ,b 满足a 3-3a 2+5a=1，b 3-3b 2+5b=5，则a +b =( )A.2B.3C.4D.5二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1.已知p ,q ,r 为素数，且pqr 整除pq +qr +rp -1，则p +q +r =_______.2.已知两个正整数的和比它们的积小1000，若其中较大的数是完全平方数，则较小的数为_______.3.已知D是△ABC内一点，E是AC的中点，AB=6，BC=10，∠BAD=∠BCD，∠EDC=∠ABD，则DE =_______.4.已知二次函数y=x2+2(m+2n+1)x+(m2+4n2+50)的图象在x轴的上方，则满足条件的正整数对(m,n)的个数为_______.第二试（A）一、（本题满分20分）设a,b,c,d为四个不同的实数，若a,b为方程x2-10cx-11d=0的根，c,d为方程x2-10ax-b=0的根，求a+b+c+d的值.二、（本题满分25分）如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，OA=12，点C在OA 上，AC=4，点D为OB的中点，点E为弧AB上的动点，OE与CD的交点为F.56（1）当四边形ODEC 的面积S 最大时，求EF ； （2）求CE +2DE 的最小值.三、（本题满分25分）求所有的正整数m ,n ，使得()33222m n m n m n +-+是非负整数.第二试（B ）一、（本题满分20分）若实数a ,b ,c 满足(a+b+c)11195555a b c b c a c a b ⎛⎫++= ⎪+-+-+-⎝⎭，求(a+b+c)111a b c ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值.二、（本题满分25分）如图，点E在四边形ABCD的边AB上，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，AB=AC，DE=DC.. （1）证明：ADBC；（2）设AC与DE交于点P，如果∠ACE=30°，求DPPE三、（本题满分25分）设x是一个四位数，x的各位数字之和为m，x+1的各位数字之和为n，并且m与n的最大公约数是一个大于2的素数.求x.7。
2018-2019学年七年级学科竞赛数学试题(含答案) (4)
2018-2019学年七年级学科竞赛数学试题(含答案)一．选择题（共6小题）1．某块手表每小时比准确时间慢3分钟，若在清晨4点30分与准确时间对准，则当天上午该手表指示时间为10点50分时，准确时间应该是（）A．11点10分B．11点9分C．11点8分D．11点7分2．某地居民生活用电基本价格为0.50元/度．规定每月基本用电量为a度，超过部分电量的毎度电价比基本用电量的毎度电价增加20%收费，某用户在5月份用电100度，共交电费56元，则a=（）A．30 B．40 C．45 D．503．按下面的程序计算，若开始输入的值x为正数，最后输出的结果为656，则满足条件的x的不同值最多有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个4．小明和小莉出生于1998年12月份，他们的出生日不是同一天，但都是星期五，且小明比小莉出生早，两人出生日期之和是22，那么小莉的出生日期是（）A．15号B．16号C．17号D．18号5．若k为整数，则使得方程（k﹣1999）x=2001﹣2000x的解也是整数的k的值有（）A．4个 B．8个 C．12个D．16个6．四点钟后，从时针到分针第二次成90°角，共经过（）分钟（答案四舍五入到整数）．A．30 B．33 C．38 D．40二．填空题（共5小题）7．关于x的方程：≠0，则x=．8．某书城开展学生优惠购书活动，凡一次性购书不超过200元的一律九折优惠，超过200元的，其中200元按九折算，超过200元的部分按八折算．某学生第一次去购书付款72元，第二次又去购书享受了八折优惠，他查看了所买书的定价，发现两次共节省了34元，则该学生第二次购书实际付款元．9．一轮船从甲地到乙地顺流匀速行驶需4小时，从乙地到甲地逆流匀速行驶需6小时，有一木筏由甲地漂流至乙地，需小时．10．如图是在电脑屏幕上出现的长方形色块图，由6个颜色不同的正方形组成，设中间最小的一个正方形的边长为1，则正方形A的面积是．11．已知不论x取何数值，分式的值都为同一个定值，那么的值为．三．解答题（共5小题）12．附加题：某城镇沿环形路有五所小学，依次为一小、二小、三小、四小、五小，它们分别有电脑15，7，11，3，14台，现在为使各校电脑台数相等，各调几台给邻校：一小给二小，二小给三小，三小给四小，四小给五小，五小给一小．若甲小给乙小﹣3台，则乙小给甲小3台，要使电脑移动的总台数最小，应做怎样安排？13．梅林中学租用两辆小汽车（设速度相同）同时送1名带队老师及7名九年级的学生到县城参加数学竞赛，每辆限坐4人（不包括司机）．其中一辆小汽车在距离考场15km的地方出现故障，此时离截止进考场的时刻还有42分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车，且这辆车的平均速度是60km/h，人步行的速度是5km/h（上、下车时间忽略不计）．（1）若小汽车送4人到达考场，然后再回到出故障处接其他人，请你通过计算说明他们能否在截止进考场的时刻前到达考场；（2）假如你是带队的老师，请你设计一种运送方案，使他们能在截止进考场的时刻前到达考场，并通过计算说明方案的可行性．14．一辆汽车以每小时60千米的速度由甲地驶往乙地，车行驶了4小时30分钟后，遇雨路滑，平均行驶速度每小时减少20千米，结果比预计时间晚45分钟到达乙地，求甲、乙两地的距离．15．小明解方程+1=时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘10，由此求得的解为x=4，试求a的值，并正确求出方程的解．2018年08月19日136****0321的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．某块手表每小时比准确时间慢3分钟，若在清晨4点30分与准确时间对准，则当天上午该手表指示时间为10点50分时，准确时间应该是（）A．11点10分B．11点9分C．11点8分D．11点7分【分析】根据题意假设该手表从4时30分走到10时50分所用的实际时间为x 小时，该手表的速度为57分/小时，再进行计算．【解答】解：慢表走：57分钟，则正常表走：60分钟，即如果慢表走：6小时20分（即380分），求正常表走了x分钟，则57：60=380：x，解得x=400，400分钟=6小时40分，所以准时时间为11时10分．故选：A．【点评】本题要注意手表的实际时间和准确时间的关系，然后找出其中关联的等量关系，得出方程求解．2．某地居民生活用电基本价格为0.50元/度．规定每月基本用电量为a度，超过部分电量的毎度电价比基本用电量的毎度电价增加20%收费，某用户在5月份用电100度，共交电费56元，则a=（）A．30 B．40 C．45 D．50【分析】根据题中所给的关系，找到等量关系，由于共交电费56元，可列出方程求出a．【解答】解：∵0.50×100=50＜56，∴100＞a，由题意，得0.5a+（100﹣a）×0.5×120%=56，解得a=40．故选：B．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．此题的关键是要知道每月用电量超过a度时，电费的计算方法为0.5×（1+20%）．3．按下面的程序计算，若开始输入的值x为正数，最后输出的结果为656，则满足条件的x的不同值最多有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】根据最后输出的结果，可计算出它前面的那个数，依此类推，可将符合题意的那个最小的正数求出．【解答】解：∵最后输出的数为656，∴5x+1=656，得：x=131＞0，∴5x+1=131，得：x=26＞0，∴5x+1=26，得：x=5＞0，∴5x+1=5，得：x=0.8＞0；∴5x+1=0.8，得：x=﹣0.04＜0，不符合题意，故x的值可取131，26，5，0.8共4个．故选：C．【点评】本题立意新颖，借助新运算，实际考查一元一次方程的解法；解一元一次方程常见的过程有去括号、移项、系数化为1等．4．小明和小莉出生于1998年12月份，他们的出生日不是同一天，但都是星期五，且小明比小莉出生早，两人出生日期之和是22，那么小莉的出生日期是（）A．15号B．16号C．17号D．18号【分析】因为12月份有31天，故他们最多相差28天．又小明和小莉的出生日期都是星期五，故他们的出生日期相差7的整数倍．故他们的出生日期可能相差7、14、21、28天．【解答】解：设小明的出生日期为x号．（1）若他们相差7天，则小莉的出生日期为x+7，应有x+7+x=22，解得x=7.5，不符合题意，舍去．（2）若他们相差14天，则小莉的出生日期为x+14，应有x+14+x=22，解得x=4，符合题意；所以小莉的出生日期是14+4=18号；（3）若相差21天、28天显然不合题意．故选：D．【点评】本题用到的知识点为：都在周五出生，他们的出生日期可能相差7、14、21、28．应分情况讨论．5．若k为整数，则使得方程（k﹣1999）x=2001﹣2000x的解也是整数的k的值有（）A．4个 B．8个 C．12个D．16个【分析】先把原方程变形为（k﹣1999）x+2000x=2001，得出x=，然后求出2001的因数有16个．【解答】解：原方程变形得：（k﹣1999）x+2000x=2001，∴x=，∵k为整数，∴2001的因数有：1，3，23，29，69，87，667，2001，﹣1，﹣3，﹣23，﹣29，﹣69，﹣87，﹣667，﹣2001．∴共有16个．故选：D．【点评】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，要会用代入法判断二元一次方程的解．该题主要用的是排除法．6．四点钟后，从时针到分针第二次成90°角，共经过（）分钟（答案四舍五入到整数）．A．30 B．33 C．38 D．40【分析】此题可以用淘汰的方法，把度数设为未知数X，从4点到五点这段时间时针走的为30×（），分针走的为360×（）．【解答】解：设走了X分钟则得到方程：360×（）﹣120﹣30×（）=90解得：X=38答：共经过38分钟．故选：C．【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．二．填空题（共5小题）7．关于x的方程：≠0，则x=a+b+c．【分析】观察等式发现x所处的位置相同，因而要将x 从分式中分解出来，并且、、因而将3分解为这三个形式，因而原等式转化为．再提取公因式，化简为．最后判断出x与a、b、c的关系．【解答】解：∵⇒∵是一元一次方程的系数∴必然是∴只能是x=a+b+c故答案为a+b+c【点评】本题考查因式分解的应用、解一元二次方程．本题同学们需注意“1”的妙用，有时为了解题的需要将1写成分式的形式，如本题中的、、．8．某书城开展学生优惠购书活动，凡一次性购书不超过200元的一律九折优惠，超过200元的，其中200元按九折算，超过200元的部分按八折算．某学生第一次去购书付款72元，第二次又去购书享受了八折优惠，他查看了所买书的定价，发现两次共节省了34元，则该学生第二次购书实际付款204元．【分析】先求出第一次购书时的实际定价，再根据第二次购书节省的钱数列出方程，再求解即可．【解答】解：第一次购书付款72元，享受了九折优惠，实际定价为72÷0.9=80元，省去了8元钱．依题意，第二次节省了26元．设第二次所购书的定价为x元．（x﹣200）×0.8+200×0.9=x﹣26，解得x=230．故第二次购书实际付款为230﹣26=204元．【点评】解答本题需注意第二次所购的书有九折的部分，有八折的部分，需清楚找到这两部分实际出的钱．9．一轮船从甲地到乙地顺流匀速行驶需4小时，从乙地到甲地逆流匀速行驶需6小时，有一木筏由甲地漂流至乙地，需24小时．【分析】根据顺流时：行驶速度+水流速度=总路程÷总时间，逆流时：行驶速度﹣水流速度=总路程÷总时间，可得到两个关于行驶速度和水流速度的方程组，解得水流速度，即可得漂流所需时间．【解答】解：设总路程为1，轮船行驶速度为x，水流速度为y，根据题意得：，解得y=，木阀漂流所需时间=1÷=24（小时）．故答案填：24．【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．10．如图是在电脑屏幕上出现的长方形色块图，由6个颜色不同的正方形组成，设中间最小的一个正方形的边长为1，则正方形A的面积是49．【分析】设右下方两个相等的正方形的边长为x，则根据题意知，正方形A的边长为x+3，此色块图为一个长方形，可根据长=长列方程．【解答】解：设右下方两个相等的正方形的边长为x，则根据题意知，正方形A 的边长为x+3，此色块图为一个长方形，则（x+2）+（x+3）=（x+1）+x+x，2x+5=3x+1，x=4，正方形A的边长为x+3=4+3=7，故正方形A的面积为7×7=49．【点评】本题考查理解题意和识别图形的能力，关键是设出左上角正方形的边长，然后表示出其他正方形的边长，根据正方形的性质，列出方程，最后求出面积．11．已知不论x取何数值，分式的值都为同一个定值，那么的值为．【分析】根据不论x取何数值，分式的值都为同一个定值，即可求得分式的定值，进而把x=1代入求得a，b的关系，从而求解．【解答】解：设=k，则ax+3=k（bx+5），∵x不论取何值该等式都成立，∴a=bk，5k=3，∴=．故答案是：【点评】本题主要考查了分式的求值，根据条件求得a，b之间的关系是解决本题的关键．三．解答题（共5小题）12．附加题：某城镇沿环形路有五所小学，依次为一小、二小、三小、四小、五小，它们分别有电脑15，7，11，3，14台，现在为使各校电脑台数相等，各调几台给邻校：一小给二小，二小给三小，三小给四小，四小给五小，五小给一小．若甲小给乙小﹣3台，则乙小给甲小3台，要使电脑移动的总台数最小，应做怎样安排？【分析】首先用A、B、C、D、E分别表示这五所小学的位置，并设A向B调x1台电脑，B向C调x2台电脑，…，E向A调x5台电脑，进而表示出y=|x1|+|x1﹣3|+|x1﹣2|+|x1﹣9|+|x1﹣5|，利用函数最值求出即可．【解答】解：如图，用A、B、C、D、E分别表示这五所小学的位置，并设A向B 调x1台电脑，B向C调x2台电脑，…，E向A调x5台电脑，依题意有：7+x1﹣x2=11+x2﹣x3=3+x3﹣x4=14+x4﹣x5=15+x5﹣x1=50÷5=10，所以，x2=x1﹣3，x3=x1﹣2，x4=x1﹣9，x5=x1﹣5，设调动的电脑的总台数为y，则y=|x1|+|x1﹣3|+|x1﹣2|+|x1﹣9|+|x1﹣5|，这样，这个实际问题就转化为求y的最小值问题，并由上面所得结论知：当x1==3时，y的最小值为|3|+|3﹣3|+|3﹣2|+|3﹣9|+|3﹣5|=12，即调动的总台数为12．因为x1=3时，x2=0，x3=1，x4=﹣6，x5=﹣2，故一小就向二小调3台电脑，二小不调出，三小向四小调一台电脑，五小向四小调6台电脑，一小向五小调2台电脑．【点评】此题主要考查了函数的最值问题，根据已知得出y=|x1|+|x1﹣3|+|x1﹣2|+|x1﹣9|+|x1﹣5|，进而利用绝对值性质求出是解题关键．13．梅林中学租用两辆小汽车（设速度相同）同时送1名带队老师及7名九年级的学生到县城参加数学竞赛，每辆限坐4人（不包括司机）．其中一辆小汽车在距离考场15km的地方出现故障，此时离截止进考场的时刻还有42分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车，且这辆车的平均速度是60km/h，人步行的速度是5km/h（上、下车时间忽略不计）．（1）若小汽车送4人到达考场，然后再回到出故障处接其他人，请你通过计算说明他们能否在截止进考场的时刻前到达考场；（2）假如你是带队的老师，请你设计一种运送方案，使他们能在截止进考场的时刻前到达考场，并通过计算说明方案的可行性．【分析】（1）从出故障地到把人都送到考场需要时间是×3；（2）汽车送第一批人的同时，第二批人先步行，可节省一些时间．【解答】解：（1）（分钟），∵45＞42，∴不能在限定时间内到达考场．（2）方案1：先将4人用车送到考场，另外4人同时步行前往考场，汽车到考场后返回到与另外4人的相遇处再载他们到考场．先将4人用车送到考场所需时间为（分钟）．0.25小时另外4人步行了1.25km，此时他们与考场的距离为15﹣1.25=13.75（km），设汽车返回t（h）后先步行的4人相遇，5t+60t=13.75，解得．汽车由相遇点再去考场所需时间也是．所以用这一方案送这8人到考场共需．所以这8个人能在截止进考场的时刻前赶到．方案2，8人同时出发，4人步行，先将4人用车送到离出发点xkm的A处，然后这4个人步行前往考场，车回去接应后面的4人，使他们跟前面4人同时到达考场，由A处步行前考场需，汽车从出发点到A处需先步行的4人走了，设汽车返回t（h）后与先步行的4人相遇，则有，解得，所以相遇点与考场的距离为：．由相遇点坐车到考场需：．所以先步行的4人到考场的总时间为：，先坐车的4人到考场的总时间为：，他们同时到达则有：，解得x=13．将x=13代入上式，可得他们赶到考场所需时间为：（分钟）．∵37＜42，∴他们能在截止进考场的时刻前到达考场．【点评】此题在设计方案的基础上，这样设计方案会更节省时间，汽车送第一批人的同时，第二批人先以5千米/时速度步行，汽车把第一批人送到距考场S千米的A处后，回来接第二批人．同时，第一批人也以5千米/时的速度继续赶往考场，使两批人同时到达考场，在汽车来回接人的过程中，多了第一批人在步行，显然所用时间比设计方案少，故此方案这8人都能赶到考场，且最省时间．14．一辆汽车以每小时60千米的速度由甲地驶往乙地，车行驶了4小时30分钟后，遇雨路滑，平均行驶速度每小时减少20千米，结果比预计时间晚45分钟到达乙地，求甲、乙两地的距离．【分析】设甲、乙两地的距离为x，汽车以每小时60千米的速度行驶了4小时30分钟，共行驶了60×4.5=270千米；车行驶了4小时30分钟后速度变为每小时40千米，则实际行驶的时间=（x﹣270）÷40+4.5小时；若按每小时60千米的速度由甲地驶往乙地需要的时间=甲、乙两地的距离÷60；由题意得：实际行驶的时间﹣按每小时60千米的速度由甲地驶往乙地需要的时间=小时．【解答】解：设甲、乙两地的距离为x千米，4小时30分钟=小时，45分钟=小时，依题可列方程：，解得：x=360．答：甲、乙两地的距离为360千米．【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．15．小明解方程+1=时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘10，由此求得的解为x=4，试求a的值，并正确求出方程的解．【分析】把x=4代入小明粗心得出的方程，求出a的值，代入方程求出解即可．【解答】解：由题意可知：（在去分母时，方程左边的1没有乘10，由此求得的解为x=4），2（2x﹣1）+1=5（x+a），把x=4代入得：a=﹣1，将a=﹣1代入原方程得：+1=，去分母得：4x﹣2+10=5x﹣5，移项合并得：﹣x=﹣13，解得：x=13．【点评】此题考查了解一元一次方程，解方程去分母时注意各项都乘以各分母的最小公倍数．。
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2018新疆第五届中学生数学应用问题竞赛
初一试卷
一、填空题（共5个小题，每小题10分，共50分，请将最简答案填在题后的括号内）
1.三个人完成一件任务需三周又三天，问四个人完成这件任务需________天；
2.有两个水桶，第一只桶中盛10公斤酒精，第二只桶中盛10公斤水，先从第一只桶中取
出1公斤纯酒精倒入第二只桶中，并在搅拌均匀后取出1公斤倒回第一只桶中，那么这时第一只桶中酒精所占比例和第二只桶中水所占的比例______(比较大小)；
3.一路电车的起点和终点分别是甲站和乙站，每隔5分钟有一辆电车从甲站发车开往乙站，
全程要走15分钟，有一个人从乙站出发沿电车路线骑车前往甲站，他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站，在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车，才到达甲站，到甲站时恰好又有一辆电车从甲站开出，问他从乙站到甲站用了______分钟；
4.有一批正方形的砖，如拼成长和宽的比为6：5的长方形，余43块，如改拼成长和宽各
增加1块的大长方形，则少68块，这批正方形砖共有________块；
5.某校学生列队以8千米／小时的速度前进，在队尾校长让一名学生跑步到队伍的最前面
找带队老师传达一个通知，然后立即返回队尾，这位学生的速度是12千米／小时，从队尾赶到排头又回到队尾共用了7.2分钟，则队伍的长为________（米）。
二、解答题（共5道小题，每题20分，共100分，解答应写出详细的过程，且应回答
问题）
6.某商店有5只分别装有麻油、豆油、菜油，其重量如图，其中麻油一桶，豆油的公斤数
恰好是菜油的两倍，五只桶分别装的是哪种油？并请说明推理过程。
7.退休工人张师傅家里有一只老式挂钟，每隔一小时打一次钟，两点整打两下，八点整打八下，总之，几点整就打几相，一天，张师傅在家看书，10分钟后，听到打了一次钟，他又继续看书，看完书，抬头看钟，时针和分针恰好重合在一起，张师傅把这个过程告诉儿子，并且说：“我看书时，记得总共打了12下，但不知分几次打的，你给我算一算，我看了多少时间的书？”
8.某班学生去野炊，共带了65只碗，吃饭时每2个人合用一只饭碗，每3个人合用一只
汤碗，每4个人合用一只菜碗，求这个班共有多少学生？
9.光明中学为加强现代信息技术课教学，拟投资建一个初级计算机机房和一个高级计算机机房，每个计算机机房只配置1台教师用机，若干台学生用机，其中初级机房教师用机每台8000元，学生用机每台3500元；高级机房教师用机每台11500元，学生用机每台7000元，已知两机房计算机的总钱数相等，且每个机房购买计算机的总钱数不少于20万元也不超过21万元。
则该校拟建的初级机房、高级机房各应有多少台计算机？
10.四块形状和大小完全一样的直角三角形，可拼搭成如下图形，其中含有一个正方形，
请你仍用这四个直角三角形搭出另外四种图形且每个图形中均应有正方形。