中考数学压轴题精选 含详细答案06
(完整)中考数学压轴题精选及答案
一、解答题1．在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -和点B ，与y 轴交于点C ，顶点D 的坐标为(1,4)-．(1)直接写出抛物线的解析式；(2)如图1，若点P 在抛物线上且满足，求点P 的坐标； (3)如图2，M 是直线BC 上一个动点，过点M 作MN x ⊥轴交抛物线于点N ，Q 是直线AC 上一个动点，当为等腰直角三角形时，直接写出此时点M 及其对应点Q 的坐标2．在平面直角坐标系中，二次函数22y ax bx =++的图象与x 轴交于()()3,0,1,0A B -两点，与y 轴交于点C ．（1）求二次函数的解析式；（2）点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，当ACP △面积最大时，求出点P 的坐标；（3）点M 为抛物线上一动点，在x 轴上是否存在点Q ，使以A C M Q 、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．3．在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1．对于点A 和线段BC ，给出如下定义：若将线段BC 绕点A 旋转可以得到⊙O 的弦B ′C ′（B ′，C ′分别是B ，C 的对应点），则称线段BC 是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”．（1）如图，点A ，B 1，C 1，B 2，C 2，B 3，C 3的横、纵坐标都是整数．在线段B 1C 1，B 2C 2，B 3C 3中，⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”是 ；（2）△ABC 是边长为1的等边三角形，点A （0，t ），其中t ≠0．若BC 是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”，求t 的值；（3）在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝2．若BC 是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”，直接写出OA 的最小值和最大值，以及相应的BC 长．4．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，点()0,10A ，点B 是x 轴的正半轴上的一个动点，连接AB ，取AB 的中点M ，将线段MB 绕着点B 按顺时针方向旋转90°，得到线段BC ．过点B 作x 轴的垂线交直线AC 于点D ．设点B 坐标是(),0t（1）当6t =时，点M 的坐标是 ；（2）用含t 的代数式表示点C 的坐标；（3）是否存在点B ，使四边形AOBD 为矩形？若存在，请求出点B 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）在点B 的运动过程中，平面内是否存在一点N ，使得以A 、B 、N 、D 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N 的纵坐标（不必要写横坐标）；若不存在，请说明理由．5．如图（1），在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，点E 在边CD 上（不与点C ，D 重合），连结AE ，交BD 于点F ．（1）如图（2），若点M 在BC 边上，且DE ＝CM ，连结AM ，EM ．求证：三角形AEM 为等边三角形；（2）设DF x BF=，求tan ∠AFB 的值（用x 的代数式表示）； （3）如图（3），若点G 在线段BF 上，且FG ＝2BG ，连结AG 、CG ，DF x BF =，四边形AGCE 的面积为S 1，ABG 的面积为S 2，求12S S 的最大值．6．如图，在平面直角坐标系中，ABC 的边AB 在x 轴上，且OB OA >，以AB 为直径的圆过点C ．若点C 的坐标为()0,4，10AB =，（1）求抛物线的解析式；（2）点P 为该函数在第一象限内的图象上一点（不与BC 重合)，过点P 作PQ BC ⊥，垂足为点Q ，连接PC ．若以点P 、C 、Q 为顶点的三角形与COA 相似，求点P 的坐标；（3）若ACB ∠平分线所在的直线l 交x 轴与点E ，过点E 任作一直线l '分别交射线CA ，CB （点C 除外）于点M ，N ．则11CM CN+的是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．7．如图1，⊙I 与直线a 相离，过圆心I 作直线a 的垂线，垂足为H ，且交⊙I 于P 、Q 两点（Q 在P 、H 之间）．我们把点Q 称为⊙I 关于直线a 的“近点”，点P 称为⊙I 关于直线a 的“远点”把PQ ·QH 的值称为⊙I 关于直线a 的“特征数”．（1）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，点E 的坐标为（0，3）．半径为1的⊙O 与两坐标轴交于点A 、B 、C 、D ．①过点E 画垂直于y 轴的直线m ，则⊙O 关于直线m 的“近点”“远点”分别是点_____和_____（填“A ”、“B ”、“C ”或“D ”），⊙O 关于直线m 的“特征数”为_____；②若直线n 的函数表达式为33y x =-+．求⊙O 关于直线n 的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点M （1，2），点F 是坐标平面内一点，以F 5为半径作⊙F ．若⊙F 与直线l 相离，点N （1-，0）是⊙F 关于直线l 的“近点”．且⊙F 关于直线l 的“特征数”是6，求直线l 的函数表达式．8．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，其中A（3，0），B（－1，0），与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，直线y＝kx＋b1经过点A、C，连接CD．（1）分别求抛物线和直线AC的解析式；（2）在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点P，使得△ACP的面积是△ACD面积的2倍，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使线段AQ绕Q点顺时针旋转90°得到线段QA1，且点A1恰好落在该抛物线上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．9．已知：如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+b（b＞0）交x轴于点A，交y轴于点C，以OA，OC为边作矩形ABCO，矩形ABCO的面积是36．（1）求直线AC的解析式．（2）点P为线段AB上一点，点Q为第一象限内一点，连接PO，PQ，∠OPQ＝90°，且OP＝PQ，设AP的长为t，点Q的横坐标为d，求d与t的函数关系式．（不要求写出自变量t的取值范围）（3）在（2）的条件下，过点Q作QE∥PO交AB的延长线于点E，作∠POC的平分线OF 交PE于点F，交PQ于点K，若KQ＝2EF，求点Q的坐标．10．如图，平面直角坐标系中，点O为原点，抛物线交x轴于()2,05,0B两点，交y轴于点C．A-、()（1）求抛物线解析式；（2）点P在第一象限内的抛物线上，过点P作x轴的垂线，垂足为点H，连AP交y轴于点E，设P点横坐标为t，线段EC长为d，求d与t的函数解析式；（3）在（2）条件下，点M在CE上，点Q在第三象限内抛物线上，连接PC、PQ、PM，PQ与y轴交于W，若，，，求点Q的坐标．11．已知：如图1，点A（a，b），AB x⊥轴于点B2++-+=．a b a b24(8)0（1）试判断△AOB的形状，并说明理由；（2）如图2，若点C为线段AB的中点，连OC并作OD OC⊥，且OD OC=，连AD交x轴于点E，试求点E的坐标；（3）如图3，若点M为点B的左边x轴负半轴上一动点，以AM为一边作45∠=︒交MANy轴负半轴于点N，连MN，在点M运动过程中，试猜想式子OM MN ON+-的值是否发生变化？若不变，求这个不变的值；若发生变化，试求它变化的范围．12．直角三角板ABC的斜边AB的两个端点在⊙O上，已知∠BAC=30°，直角边AC与⊙O 相交于点D，且点D是劣弧AB的中点．(1)如图1，判断直角边BC所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)如图2，点P是斜边AB上的一个动点（与A、B不重合），DP的延长线交⊙O于点Q，连接QA、QB．①AD=6，PD=4，则AB= ；PQ= ；②当点P在斜边AB上运动时，求证：QA+QB=3QD．13．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，直径DF交BC于点G．(1)如图1，求证：∠BAD－∠BCF＝90°；(2)如图2，连接AC，当∠BAC＝∠CFD＋∠ACD时，求证：CA＝CB；(3)如图3，在（2）的条件下，AC交DF于点H，∠BAC＝∠DGB，45CGBG，AC＝9，求△CDH的面积．14．同学们学过正方形与等腰三角形发现它们都是轴对称图形，它们之间有很多相似，在正边形ABCD中，E是对角线AC上一点（不与点A、C重合），以AD、AE为邻边作平行四边形AEGD，GE交CD于点M，连接CG．(1)如图1，当12AE AC<时，过点E作EF BE⊥交CD于点F，连接GF并延长交AC于点H．求证：EB EF=；(2)在ABC中，AB AC=，90BAC∠=︒．过点A作直线AP，点C关于直线AP的对称点为点D，连接BD，CD直线BD交直线AP于点E．如图2，①依题意补全图形；②请用等式表示线段EB，ED，BC之间的数量关系，并予以证明．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．(1)求抛物线的函数表达式．(2)若点P为第三象限内抛物线上一动点，作PD⊥x轴于点D，交AC于点E，过点E作AC 的垂线与抛物线的对称轴和y轴分别交于点F、G，设点P的横坐标为m．①求PE2的最大值；②连接DF、DG，若∠FDG＝45°，求m的值．16．【问题提出】如图①，在△ABC中，若AB＝8，AC＝4，求BC边上的中线AD的取值范围．【问题解决】解决此问题可以用如下方法：延长AD 到点E ，使DE ＝AD ，再连结BE （或将△ACD 绕着点D 逆时针旋转180°得到△EBD ），把AB 、AC ，2AD 集中在△ABE 中，利用三角形三边的关系即可判断．由此得出中线AD 的取值范围是__________【应用】如图②，如图，在△ABC 中，D 为边BC 的中点、已知AB ＝10，AC ＝6，AD ＝4，求BC 的长．【拓展】如图③，在△ABC 中，∠A ＝90°，点D 是边BC 的中点，点E 在边AB 上，过点D 作D F⊥DE 交边AC 于点F ，连结EF ．已知BE ＝5，CF ＝6，则EF 的长为__________.17．已知二次函数()20y x bx c a =++≠的图象与x 轴的交于A 、B （1，0）两点，与y 轴交于点()03C -，．(1)求二次函数的表达式及A 点坐标；(2)D 是二次函数图象上位于第三象限内的点，若点D 的横坐标为m ，ACD △的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出ACD △的面积取得最大值时点D 的坐标；(3)M 是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N ．使以M 、N 、B 、O 为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N 的坐标（不写求解过程）．18．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数图像222(1)2y x a x a a =-+++的顶点为P ，点B 39(2,)16- 是一次函数5119216y x =+上一点．(1)当a ＝0时，求顶点P 坐标；(2)若a ＞0，且一次函数2y x b =-+的图象与此抛物线没有交点，请你写出一个符合条件的一次函数关系式（只需写一个，不必写出过程）；(3)作直线OC ：12y x =与一次函数5119216y x =+交于点C ．连结OB ，当抛物线与△OBC 的边有两个交点时，求a 的取值范围．19．已知O 为ABC ∆的外接圆，AC BC =，点D 是劣弧AB 上一点（不与点A ，B 重合），连接DA ，DB ，DC ．(1)如图1，若AB 是直径，将ACD ∆绕点C 逆时针旋转得到BCE ∆．若4CD =，求四边形ADBC 的面积；(2)如图2，若AB AC =，半径为2，设线段DC 的长为x ．四边形ADBC 的面积为S ． ①求S 与x 的函数关系式；②若点M ，N 分别在线段CA ，CB 上运动（不含端点），经过探究发现，点D 运动到每一个确定的位置．DMN ∆的周长有最小值t ，随着点D 的运动，t 的值会发生变化．求所有t 值中的最大值，并求此时四边形ADBC 的面积S ．20．如图，在ABCD 中，90ABD ∠=︒，5cm AD =，8cm BD =．点P 从点A 出发，沿折线AB BC -向终点C 运动，点P 在AB 边、BC 边上的运动速度分别为1cm/s 、5cm /s ．在点P 的运动过程中，过点P 作AB 所在直线的垂线，交边AD 或边CD 于点Q ，以PQ 为一边作矩形PQMN ，且2QM PQ =，MN 与BD 在PQ 的同侧．设点P 的运动时间为t （秒），矩形PQMN 与ABCD 重叠部分的面积为()2cm S ．（1）求边AB 的长．（2）当04t <<时，PQ = ，当48t <<时，PQ = ．（用含t 的代数式表示）（3）当点M 落在BD 上时，求t 的值．（4）当矩形PQMN 与ABCD 重叠部分图形为四边形时，求S 与t 的函数关系式．【参考答案】参考答案**科目模拟测试一、解答题1．(1)223y x x =--；(2)，； (3)，；，；，；，； ，；，． 【解析】【分析】（1）根据顶点的坐标，设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣1）2﹣4，将点A （﹣1，0）代入，求出a 即可得出答案；（2）利用待定系数法求出直线BD 解析式为y ＝2x ﹣6，过点C 作CP 1∥BD ，交抛物线于点P 1，再运用待定系数法求出直线CP 1的解析式为y ＝2x ﹣3，联立方程组即可求出P 1（4，5），过点B 作y 轴平行线，过点C 作x 轴平行线交于点G ，证明△OCE ≌△GCF（ASA），运用待定系数法求出直线CF解析式为y＝12x﹣3，即可求出P2（52，﹣74）；（3）利用待定系数法求出直线AC解析式为y＝﹣3x﹣3，直线BC解析式为y＝x﹣3，再分以下三种情况：①当△QMN是以NQ为斜边的等腰直角三角形时，②当△QMN是以MQ为斜边的等腰直角三角形时，③当△QMN是以MN为斜边的等腰直角三角形时，分别画出图形结合图形进行计算即可．(1)解：∵顶点D的坐标为（1，﹣4），∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，将点A（﹣1，0）代入，得0＝a（﹣1﹣1）2﹣4，解得：a＝1，∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3，∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；(2)解：∵抛物线对称轴为直线x＝1，A（﹣1，0），∴B（3，0），设直线BD解析式为y＝kx+e，∵B（3，0），D（1，﹣4），∴，解得：，∴直线BD解析式为y＝2x﹣6，过点C作CP1∥BD，交抛物线于点P1，设直线CP1的解析式为y＝2x+d，将C（0，﹣3）代入，得﹣3＝2×0+d，解得：d＝﹣3，∴直线CP1的解析式为y＝2x﹣3，结合抛物线y＝x2﹣2x﹣3，可得x2﹣2x﹣3＝2x﹣3，解得：x1＝0（舍），x2＝4，故P1（4，5），过点B作y轴平行线，过点C作x轴平行线交于点G，∵OB＝OC，∠BOC＝∠OBG＝∠OCG＝90°，∴四边形OBGC是正方形，设CP1与x轴交于点E，则2x﹣3＝0，解得：x＝32，∴E（32，0），在x轴下方作∠BCF＝∠BCE交BG于点F，∵四边形OBGC是正方形，∴OC＝CG＝BG＝3，∠COE＝∠G＝90°，∠OCB＝∠GCB＝45°，∴∠OCB﹣∠BCE＝∠GCB﹣∠BCF，即∠OCE＝∠GCF，∴△OCE≌△GCF（ASA），∴FG＝OE＝32，∴BF＝BG﹣FG＝3﹣32＝32，∴F（3，﹣32），设直线CF解析式为y＝k1x+e1，∵C（0，﹣3），F（3，﹣32），∴，解得：，∴直线CF解析式为y＝12x﹣3，结合抛物线y＝x2﹣2x﹣3，可得x2﹣2x﹣3＝12x﹣3，解得：x1＝0（舍），x2＝52，∴P2（52，﹣74），综上所述，符合条件的P点坐标为：（4，5）或（52，﹣74）；(3)解：（3）设直线AC解析式为y＝m1x+n1，直线BC解析式为y＝m2x+n2，∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），∴，解得：，∴直线AC解析式为y＝﹣3x﹣3，∵B（3，0），C（0，﹣3），∴，解得：，∴直线BC解析式为y＝x﹣3，设M（t，t﹣3），则N（t，t2﹣2t﹣3），∴MN＝|t2﹣2t﹣3﹣（t﹣3）|＝|t2﹣3t|，①当△QMN是以NQ为斜边的等腰直角三角形时，此时∠NMQ＝90°，MN＝MQ，如图2，∵MQ∥x轴，∴Q（﹣13t，t﹣3），∴|t2﹣3t|＝|t﹣（﹣13t）|，∴t2﹣3t＝±43t，解得：t＝0（舍）或t＝53或t＝133，∴，；，；②当△QMN是以MQ为斜边的等腰直角三角形时，此时∠MNQ＝90°，MN＝NQ，如图3，∵NQ∥x轴，∴Q（，t2﹣2t﹣3），∴NQ＝|t﹣|＝13|t2+t|，∴|t2﹣3t|＝13|t2+t|，解得：t＝0（舍）或t＝5或t＝2，∴M3（5，2），Q3（﹣5，12）；M4（2，﹣1），Q4（0，﹣3）；③当△QMN是以MN为斜边的等腰直角三角形时，此时∠MQN＝90°，MQ＝NQ，如图4，过点Q作QH⊥MN于H，则MH＝HN，∴H（t，），∴Q（，），∴QH＝|t﹣|＝16|t2+5t|，∵MQ＝NQ，∴MN＝2QH，∴|t2﹣3t|＝2×16|t2+5t|，解得：t＝7或1，∴M5（7，4），Q5（﹣7，18）；M6（1，﹣2），Q6（0，﹣3）；综上所述，点M及其对应点Q的坐标为：，；，；M3（5，2），Q3（﹣5，12）；M4（2，﹣1），Q4（0，﹣3）；M5（7，4），Q5（﹣7，18）；M6（1，﹣2），Q6（0，﹣3）．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，求一次函数与二次函数图象交点坐标，全等三角形判定和性质，正方形判定和性质，等腰直角三角形性质等，本题属于中考压轴题，综合性强，难度较大，熟练掌握待定系数法、等腰直角三角形性质等相关知识，运用数形结合思想、分类讨论思想是解题关键．2．（1）224233y x x =--+；（2）35(,)22P -（3）存在，12(1,0),(5,0)Q Q --，34(27,0),(27,0)Q Q ．【解析】【分析】（1）根据待定系数法求抛物线解析式；（2）设224(,)33P t t --根据（1）的结论求得C 的坐标，进而求得AC 的解析式，过P 作PD ⊥x 轴交AC 于点D ，进而求得PD 的长，根据12APC C A S PD x x =⋅⋅-△求得APC S 的表达式，进而根据二次函数的性质求得取得最大值时，t 的值，进而求得P 点的坐标；（3）分情况讨论，①//CM AQ ，②//AC MQ ，根据抛物线的性质以及平行四边形的性质先求得M 的坐标进而求得Q 点的坐标．【详解】（1）二次函数22y ax bx =++的图象与x 轴交于()()3,0,1,0A B -两点，则093202a b a b =-+⎧⎨=++⎩解得2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴抛物线解析式为224233y x x =--+ （2）抛物线224233y x x =--+与y 轴交于点C ，令0x =，则2y = (0,2)C ∴设直线AC 的解析式为y kx b =+，由(3,0)A -，(0,2)C ，则302k b b -+=⎧⎨=⎩解得232k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴直线AC 的解析式为223y x =+， 如图，过P 作PD ⊥x 轴交AC 于点D ，设224(,)33P t t --，则2(,2)3D t t +， 2224222223333PD t t t t t ⎛⎫∴=--+-+=-- ⎪⎝⎭∴12APC C A S PD x x =⋅⋅-△212(2)323t t =⨯--⨯2239324t t t ⎛⎫=--=-++ ⎪⎝⎭ ∴当32t =-时，APC S 取得最大值，此时222423435223332322t t ⎛⎫⎛⎫--+=-⨯--⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴35(,)22P - （3）存在，理由如下抛物线解析式为224233y x x =--+()228133x =-++ ∴抛物线的对称轴为直线1x =①如图，当//CM AQ 时，Q 点在x 轴上，//CM x 轴∴,M C 关于抛物线的对称轴直线1x =对称，(0,2)C(2,2)M ∴-2CM ∴=122AQ AQ ∴==(3,0)A -12(1,0),(5,0)Q Q ∴--②当//AC MQ 时，如图，设M 的纵坐标为n ，四边形ACQM 是平行四边形，点A ,Q 在x 轴上，则,AQ MC 的交点也在x 轴上， 202n +∴= 解得2n =-设(,2)M m -，2242233x x ∴-=--+ 解得17x =-(17,2)M ∴--A 点到C 点是横坐标加3，纵坐标加2∴M 点到Q 点也是横坐标加3，纵坐标加2 即(173,0)Q -±34(27,0),(27,0)Q Q ∴综上所述，存在点Q ，使得以A C M Q 、、、为顶点的四边形是平行四边形，Q 点的坐标为12(1,0),(5,0)Q Q --，34(27,0),(27,0)Q Q ．【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法，二次函数最值，二次函数的图象与性质，平行四边形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．3．（1）B 2C 2；（233-3）OA 最小值为1，相应的3BC =OA 最大值为2，相应的6BC =【解析】【分析】（1）结合题意，根据旋转和圆的性质分析，即可得到答案；（2）根据题意，分B C ''在x 轴上方和x 轴上方两种情况；根据等边三角形、勾股定理、全等三角形的性质，得32AD OD ==，从而完成求解； （3）结合题意，得当AC '为⊙O 的直径时，OA 取最小值；当A 、B '、O 三点共线时，OA 取最大值；根据勾股定理、等腰三角形的性质计算，即可得到答案．【详解】（1）线段B 1C 1绕点A 旋转得到的11B C ''，均不能成为⊙O 的弦∴线段B 1C 1不是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”；线段B 2C 2绕点A 旋转得到的22B C ''，如下图：∴线段B 2C 2是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”；线段B 3C 3绕点A 旋转得到的33B C ''，均不能成为⊙O 的弦∴线段B 3C 3不是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”；故答案为：B 2C 2；（2）∵△ABC 是边长为1的等边三角形，点A （0，t ），⊙O 的半径为1 ∴//B C x ''轴分B C ''在x 轴上方和x 轴上方两种情况：当B C ''在x 轴上方时，B C ''与y 轴相交于点D ，见下图：∵1OB OC ''==∴1122B D B C '''== ∴2232OD OB B D ''=-=∵△ABC 是边长为1的等边三角形，即△AB C ''是边长为1的等边三角形， ∴AC D OC D ''∠=∠，AD B C ''⊥ ∴AC D OC D ''△≌△∴32AD OD == ∴3AO AD OD =+=∴3t =；当B C ''在x 轴上方时，B C ''与y 轴相交于点D ，见下图：同理，3AO AD OD =+=∴()0,3A -；∴t 3=-；∴3t =或3-；（3）当AC '为⊙O 的直径时，OA 取最小值，如下图：∴OA 最小值为1，90AB C ''∠=︒ ∴223BC B C AC AB ''''==-=；当A 、B '、O 三点共线时，OA 取最大值，2OA AC '== ，如下图：作AE OC '⊥交OC '于点E ，作C F AO '⊥交AO 于点F ，如下图∵2OA AC '==∴1122OE OC '==∴2215AE AO OE - ∵11222AE OC OB C F '''⨯=⨯⨯ ∴1152C F AE '==∴2214OF OC C F ''=-=∴34B F OB OF ''=-=∴262BC B C C F B F ''''==+=∴OA 最小值为1，相应的3BC =；OA 最大值为2，相应的62BC =． 【点睛】本题考查了旋转、圆、等边三角形、勾股定理、全等三角形、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握旋转、圆周角、等腰三角形三线合一、勾股定理的性质，从而完成求解．4．（1）(3,5)M ，（2）1(5,)2C t t +；（3）(20,0)B ；（4）154或10． 【解析】 【分析】（1）利用中点坐标公式计算即可．（2）如图1中，作ME OB ⊥于E ，CF x ⊥轴于F ．证明()MEB BFC AAS ∆≅∆，利用全等三角形的性质即可解决问题．（3）如图2中，存在．由题意当CF OA =时，可证四边形AOBD 是矩形，构建方程即可解决问题．（4）分三种情形：①如图3中，当AD BD =时，以AB 为对角线可得菱形ADBN ，此时点N 在y 轴上．②如图4中，当AD AB =时，以BD 为对角线可得菱形ABND ．此时点N 的纵坐标为6．③因为BD AB ≠，所以不存在以AD 为对角线的菱形． 【详解】解：（1）如图1中，(0,10)A ，(6,0)B ，AM BM =， (3,5)M ∴，（2）如图1中，作ME OB ⊥于E ，CF x ⊥轴于F ．//ME OA ，AM BM =， 12OE EB t ∴==，152ME OA ==，90MEB CFB CBM ∠=∠=∠=︒，90MBE CBF ∴∠+∠=︒，90MBE BME ∠+∠=︒， BME CBF ∴∠=∠，()MEB BFC AAS ∴∆≅∆，5BF ME ∴==，12CF BE t ==，5OF OB BF t ∴=+=+， 1(5,)2C t t ∴+．（3）存在．如图2中，作ME OB ⊥于E ，CF x ⊥轴于F ．理由：由题意当=10CF OA =时，//OA CF ， ∴四边形AOFC 是平行四边形，90AOF ∠=︒，∴四边形AOFC 是矩形，90DAO AOB DBO ∴∠=∠=∠=︒，∴四边形AOBD 是矩形，又∵由（2）得12CF BE t ==， 即：1102t =，解得：20t =．(20,0)B ∴．（4）①如图3中，当AD BD =时，以AB 为对角线可得菱形ADBN ，此时点N 在y 轴上．AD BD =， BAD ABD ∴∠=∠，OAB ABD ∴∠=∠，OAB BAD ∴∠=∠． tan tan OAB BAD ∴∠=∠， ∴12OB BC OA BA ==，即1102t =，5t ∴=，5OB ∴=，设AN NB m ==，在Rt OBN △中，则有2225(10)m m =+-， 解得254m =， 25151044ON OA AN ∴=-=-=， ∴点N 的纵坐标为154． ②如图4中，当AD AB =时，以BD 为对角线可得菱形ABND ．此时点N 的纵坐标为10．③BD AB ≠，∴不存在以AD 为对角线的菱形． 综上所述，满足条件的点N 的纵坐标为154或10． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，翻折变换，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．5．（1）证明见解析；（23333xx；（3）194【解析】 【分析】（1）如图，连接,AC 证明,ACB ACD 都为等边三角形，可得,AC AD = 再证明,ACM ADE ≌从而可得答案；（2）如图，记,AC BD 交于点,O 设,,DFa OFb 四边形ABCD 为菱形，60,ABC ∠=︒表示33,33OA OB a b 利用,2DF ax BF a b则2,1a xb x再利用三角函数的定义可得答案；（3）如图，设,DFESn 证明,DFE BFA ∽ 2,BFAnSx 再表示2222,,33ABGAGFn nSS S x x 结合菱形的轴对称的性质可得：2=,3CBG nS x 表示,AFDn S x可得2=,BCD ABDn n S Sxx 可得2212243334,3nn n S x x x x n S x 再利用二次函数的性质可得答案.【详解】证明：（1）如图，连接,AC 菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，,60,120,60,AB BC CDAD ABC ADC BAD BCD BAC CAD ACB,ACB ACD 都为等边三角形，,AC AD ∴=,60,DE CM ACM ADE,ACM ADE ≌ ,,AMAE MAC EAD 60,MACCAECAEEADAME ∴是等边三角形（2）如图，记,AC BD 交于点,O设,,DF a OF b 四边形ABCD 为菱形，60,ABC ∠=︒,,30,ACBD OB OD a b ABO33,33OAOB a b ,2DF a x BFa b1221,a b bx a a 11,22b ax 则2,1ax bx333tan 13a b OAa AFBOFbb32331,3133xxxx（3）如图，设,DFESn四边形ABCD 是平行四边形，,DFE BFA ∽22=,BFAn DF x S BF2,BFAn SxFG ＝2BG ， 2222,,33ABGAGFn n SS S xx根据菱形的轴对称的性质可得：2=,3CBG n S x ,AFD ABFS DF x SBF2,AFDn n S x x x 2=,BCDABD n n SSxx1222224=333n n n n n nS nn x x x x x x， 2212243334,3n n n S x x x x n S x 30,a所以12S S 有最大值， 当31232x时，最大值为：1119334.424【点睛】本题考查的是菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，列二次函数关系式，二次函数的性质，锐角三角函数的应用，灵活运用以上知识解题是解本题的关键.6．（1）213442y xx =-++；（2）点P 的坐标为：（6，41，2）；（3）11NC MC +=【解析】 【分析】（1）根据题意，先证明AOC ∆∽COB ∆，得到AO OCCO OB=，求出点A 、B 的坐标，然后利用待定系数法，即可求出抛物线解析式；（2）根据题意，可分为两种情况：AOC ∆∽PQC ∆或AOC ∆∽CQP ∆，结合解一元二次方程，相似三角形的判定和性质，分别求出点P 的坐标，即可得到答案；（3）过点E 作EI ⊥AC 于I ，EJ ⊥CN 于J ，然后由角平分线的性质定理，得到EI =EJ ，再证明△MEI ∽△MNC ，△NEJ ∽△NMC ，得到111NC MC EI+=，然后求出EI 一个定值，即可进行判断． 【详解】解：（1）∵以AB 为直径的圆过点C ， ∴∠ACB =90°， ∵点C 的坐标为()0,4， ∴CO ⊥AB ，∴∠AOC =∠COB =90°，∴∠ACO +∠OCB =∠ACO +∠OAC =90°， ∴∠OCB =∠OAC , ∴AOC ∆∽COB ∆，∴AO OCCO OB=， ∵4CO =，10AO BO AB +==， ∴10AO OB =-， ∴1044OB OB-=， 解得：2OB =或8OB =， 经检验，满足题意， ∵OB OA >， ∴8OB =，∴点A 为（2-，0），点B 为（8，0）．设抛物线的解析式为2y ax bx c =++，把点A 、B 、C 三点的坐标代入，有44206480c a b c a b c =⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩，解得：14324a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，∴抛物线的解析式为213442y x x =-++；（2）根据题意，如图：当AOC ∆∽PQC ∆时， ∴ACO PCQ ∠=∠， ∵90ACO OCB ∠+∠=︒， ∴90PCQ OCB ∠+∠=︒， ∴PC ⊥OC ， ∴点P 的纵坐标为4，当4y =时，有2134442x x -++=，解得：16x =或20x =（舍去）； ∴点P 的坐标为（6，4）；当AOC ∆∽CQP ∆时，则此时BC 垂直平分OP ，作PG ⊥y 轴，垂足为G ，如上图， ∴90CQP AOC ∠=∠=︒，∴AC ∥OP ， ∴∠ACO =∠POG ， ∵90PGO AOC ∠=∠=︒， ∴AOC ∆∽PGO ∆， ∴AO OCPG GO=， 设点P 为（x ，213442x x -++）， ∴PG x =，213442GO x x =-++，∴22413442x x x =-++， 解得：171x =±-， ∵点P 在第一象限， ∴171x =-，∴2134217242x x -++=-，∴点P 的坐标为（171-，2172-）；综合上述，点P 的坐标为：（6，4）或（171-，2172-）； （3）过点E 作EI ⊥AC 于I ，EJ ⊥CN 于J ，如图：∵CE 是∠ACB 的角平分线， ∴EI =EJ ，∵EI ∥CN ，EJ ∥CM ，∴△MEI ∽△MNC ，△NEJ ∽△NMC ， ∴EI ME NC MN =，EJ NE MC MN =， ∴1EI EJ ME NENC MC MN MN +=+=， ∴1EI EI NC MC +=， ∴111NC MC EI+=， ∵△ACO ∽△AEI ，∴12AI AO EI CO ==，∵AC = ∵AC AI IC AI EI =+=+，12=，解得：EI =∴111NC MC EI +==∴11NC MC+是一个定值． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，求二次函数的解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是熟练掌握题意，正确的作出辅助线，运用数形结合的思想进行解题．7．（1）①B ；D ；4；②1；（2）1522y x =-+或24y x =-+【解析】 【分析】（1）①根据“近点”、“远点”以及“ 特征数”的定义判断即可；②过点O 作OH ⊥直线n 于点H ，交O 于点Q ，P ．先分别求得点E 、F 的坐标，进而可求得EF 的长，再利用等积法求得OH 的长，进而即可解决问题；（2）如图，先求得“近点”N 到直线l 的距离NH AOB AHN △∽△即可求得答案． 【详解】解：（1）①由题意，点B 是O 关于直线m 的“近点”， 点D 是O 关于直线m 的“远点”， ∵点E 的坐标为（0，3）．⊙O 的半径为1， ∴OE ＝3，OB ＝OD ＝1，∴BE ＝OE －OB ＝2，DB ＝OB ＋OD ＝2，O 关于直线m 的特征数224DB BE =⋅=⨯=， 故答案为：B ；D ；4；②如图，过点O 作OH ⊥直线n 于点H ，交O 于点Q ，P ，设直线33y x =-+交x 轴于点F ，交y 轴于点E ， 令y ＝0，则x ＝3；令x ＝0，则y ＝3， ∴(3F ，0)，(0,3)E ，3OE ∴=，3OF =，22223(3)23EF OE OF ∴=+=+=，∵1122EOF S OE OF EF OH =⋅=⋅△， ∴11332322OH ⨯⨯=⨯⋅， 解得：32OH =， 12QH OH OQ ∴=-=， 又∵2PQ OQ OP =+=，O ∴关于直线n 的“特征数” 1212PQ QH =⋅=⨯=；（2）如图，设直线l 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，过点F 作FH ⊥直线l ，垂足为点H ，交⊙F 于N ，G ，∵⊙F 5，∴FN ＝FG 5，∴GN ＝FN ＋FG 5∵⊙F 关于直线l 的“特征数”是6， ∴GN·NH ＝6，NH ＝6， 解得：NH设直线l 的解析式是y kx b =+， ∵直线l 经过点M （1，2），∴将（1，2）代入y kx b =+，得：2k b +=， 2b k ∴=-，(2)y kx k ∴=+-，∴当0x =时，2y k =-，∴点B 坐标为（0，2－k ），|2|OB k ∴=-，当0y =时，(2)0kx k +-=， 解得：2k x k-=， ∴点A 坐标为（2k k-，0）， 2||k OA k -∴=，22|(1)||1|k k AN k k--=--=+，AB ∴2||k k-= BAO NAH ∠=∠，90AOB AHN ∠=∠=︒， AOB AHN ∴△∽△，∴NH ANOB AB=，∴|2|522|1|||k k k k k-=--+， 整理，得：22520k k ++=，解得：12k =-或2k =-，∴直线l 的解析式为1522y x =-+或24y x =-+．【点睛】本题属于圆综合题，考查了一次函数的性质，相似三角形的判定和性质运用以及勾股定理的运用，远点，近点，特征数等新定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．8．（1）y ＝－x 2+2x +3，y ＝-x +3；（2）存在，（－1，0）或（4，－5）；（3）存在，（1，2）或（1，－3） 【解析】 【分析】（1）将点A ，B 坐标代入抛物线解析式中，求出b ，c 得出抛物线的解析式，进而求出点C 的坐标，再将点A ，C 坐标代入直线AC 的解析式中，即可得出结论；（2）利用抛物线的对称性得出BD AD =，进而判断出ABC 的面积和ACP △的面积相等，即可得出结论；（3）分点Q 在x 轴上方和在x 轴下方，构造全等三角形即可得出结论． 【详解】（1）把(30)A ，、(10)B -，代入2y x bx c =-++， 解得2b =、3c =∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++则C 点为（0，3），又(30)A ，，代入1y kx b =+， 得1k =-，13b =， ∴直线AC 的解析式为3y x =-+， （2）如图，连接BC ，∵点D 是抛物线的对称轴与x 轴的交点， ∴AD BD =， ∴2ABCACDSS=，∵2ACP ACD S S =△△，∴ACP ABC S S =△△，此时，点P 与点B 重合， 即：(10)P -，， 过B 点作PB AC ∥交抛物线于点P ，则直线BP 的解析式为1y x =--①， ∵抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++②，联立①②解得，10x y =-⎧⎨=⎩或45x y =⎧⎨=-⎩，∴P （4，﹣5），∴即点P 的坐标为（﹣1，0）或（4，﹣5）； （3）由（1）可知，抛物线解析式为()214y x =--+ 把1x =代入直线AC 解析式3y x =-+得AC 与抛物线对称轴的交点(1,2)M ，如下图所示：22222BM AM ==+，4AB =即222BM AM AB +=则MAB △是等腰直角三角形，符合题意，M 点即为所求Q 点的一种情况，当Q 点在x 轴下方时，设Q 为(1,)m ，0m ＜， 因为线段AQ 绕Q 点顺时针旋转90°得到线段1QA 过A1作直线DQ 的垂线于E 点，则1ADQ QEA ≌ ∴2AD QE ==，1DQ EA m ==- ∴12(1)A m m --，∵点A1恰好落在抛物线2y x 2x 3=-++上， 代入，解得m=－3或2m = (舍去) ∴Q （1，－3）综上，Q 点坐标为（1,2）或（1，－3）， 【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及解析式的求解，与三角形面积有关的问题，全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用数形结合的思想，设点坐标并结合几何图形的性质列式求解．9．（1）直线AC 的解析式为y ＝﹣x +6；（2）d =4-t ；（3）Q （212，1）． 【解析】 【分析】（1）先由解析式求出得A 、C 点的坐标，得OA =OC ，得四边形ABCO 为正方形，再根据正方形的面积求得边长，便可得b 的值；（2）过点Q 作QG ⊥AB 交AB 延长沿于点G ，证明Rt △AOP ≌Rt △GPQ （AAS ），得到AP =GQ ，进而求得结论便可；（3）过点P 作PH ⊥OF 于点H ，延长PH 交EQ 的延长线于点R ，EQ 的延长线与x 轴交于点N ，过Q 作QM ⊥x 轴于点M ．证明Rt △AOP ≌Rt △GPQ （CCS ），得PK =QR ，∠R=∠OKP，再证明∠R=∠FPR，得EP=ER，再证FE=NR，设FE=NR=k，NQ=m，在Rt△PQE中，由勾股定理列出方程，得到k与m的关系，解Rt△PQE得tan∠PEQ，进而把这个函数值运用到△OAP中，求得t的值，再运用（2）中结论得Q的纵坐标d的值，再运用到△QNM中求得NM，NQ的值，进而求得ON，便可得Q的横坐标的值．【详解】解：（1）∵直线y＝﹣x+b（b＞0）交x轴于点A，交y轴于点C，A b C b，∴(,0),(0,)∴OA=OC=b，∴矩形ABCO为正方形，∵矩形ABCO的面积是36．∴b=6，即直线AC的解析式为y＝﹣x+6；（2）如图，过点Q作QG⊥AB交AB延长沿于点G，∵∠OPQ=90°，∴∠APO+∠GPQ=90°，∵∠APO+∠AOP=90°，∴∠AOP=∠GPQ，∵在矩形ABCO，∠OAP=90°，QG⊥AB,∴∠QGP=∠OAP=90°，∵PQ=OP，∴Rt△AOP≌Rt△GPQ（AAS），∴AP=GQ，∵AP=t，∴GQ=t，∴d=4-t；（2）过点P作PH⊥OF于点H，延长PH交EQ的延长线于点R，EQ的延长线与y轴交于点N，过Q作QM⊥y轴于点M．则AP=t，QM=d，且d=6-t．∵OF 平分∠POC ， ∴∠POF =∠COF =∠PFO ， ∴PF =PO ，∵PH ⊥OF ，∠OPQ ＝90°， ∴∠OPH =∠FPH ，∠KPH =∠POH ， 在△OPK 和△PQR 中， 90OPK PQR PO QP POK QPR ∠∠︒⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝＝， ∴△OPK ≌△PQR （ASA ）， ∴PK =QR ，∠R =∠OKP ，∵∠OKP +∠POK =∠POK +∠OPH =90°， ∴∠OKP =∠OPH ， ∴∠R =∠OPH ， ∵PO =PF ，PH ⊥OF ， ∴∠OPH =∠FPH ， ∴∠R =∠FPR ， ∴EP =ER ，∵PE ∥ON ，OP ∥EN ， ∴四边形OPEN 是平行四边形， ∴EN =PO =PF ， ∴PE -PF =ER -EN ， ∴FE =NR ，设FE =NR =k ，则KQ =2FE =2k ， 又设NQ =m ，∴PK=QR=m+k，∴PQ=m+3k，∴PO=EN=PF=m+3k，∴QE=EN-QR=m+3k-m=3k，PE=PF+FE=4k+m，在Rt△PQE中，∵PE2=PQ2+QE2，∴（4k+m）2=（3k+m）2+（3k）2，∴k1=0（舍去），k2=m，∴PQ=4m，QE=3m，∴tan∠PEN=43 PQQE=，∵OP∥EN，∴∠OPA=∠PEN，∴tan∠APO=43，∵AO=6，∴AP=4.5，∴t=4.5，∴QM=d=6-t=1.5，∵PE∥OC，∴∠QNM=∠PEN，∴tan∠QNM=tan∠PEN=43，∴NM=9 tan8QMQNM=∠，∴m=NQ158 =，∴PE=ON=4k+m=5m=758，∴OM=ON+NM=212，∴Q（212，1）．【点睛】本题是一次函数与四边形的综合题，主要考查了一次函数的图象与性质，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，旋转的性质，解直角三角形的应用，等腰三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，是一道综合性极强的题目，解决这类问题常用到数形结合、方程和转化等数学思想方法．构造全等三角形是解题的关键，也是问题的突破口．10．（1）；（2）；（3）【解析】 【分析】（1）由抛物线的二次项系数 再根据交点式可得抛物线为从而可得答案；（2）先画好图形，证明利用相似三角形的性质求解从而可得答案；（3）如图，过P 作轴于,K 过M 作于,N 证明即再求解则，再解方程可得 4,t = 再求解的解析式，再联立解析式解方程可得答案. 【详解】 解：（1） 抛物线交x 轴于()2,0A -、()5,0B 两点，所以可得抛物线为：（2）如图，过P 作于,H 连AP 交OC 于则，x 则令0,（3）如图，过P作轴于,K过M作于,N 由（2）得：，，轴，则轴，，即结合（1）可得：四边形为矩形，。
2023学年人教中考数学重难点题型分类 专题06 几何图形初步—角度问题压轴题真题
专题06 高分必刷题-几何图形初步—角度问题压轴题真题（解析版） 专题简介：本份资料专攻《几何图形初步》这一章中求角度的压轴题，所选题目源自各名校月考、期末试 题中的压轴题真题，大都涉及到角度的旋转问题，难度较大，适合于想挑战满分的学生考前刷题使用，也 适合于培训机构的老师培训尖子生时使用。
1.（明德）已知120AOB ∠=，60COD ∠=，OE 平分∠BOC .(1)如图①，当∠COD 在∠AOB 的内部时.①若∠AOC =40°，则∠COE =_________；∠DOE =_________.②若∠AOC =α，则∠DOE =_________（用含α的代数式表示）；（2）如图②，当∠COD 在∠AOB 的外部时①请写出∠AOC 与∠DOE 的度数之间的关系，并说明理由.②在∠AOC 内部有一条射线OF ，满足∠AOC +2∠BOE =4∠AOF ，写出∠AOF 与∠DOE 的度数之间的关系，并说明理由.【解答】解：（1）①∵∠AOB ＝120°，∠AOC ＝40°，∴∠BOC ＝80°，∵OE 平分∠BOC ，∴∠COE ＝∠BOC ＝40°，∵∠COD ＝60°，∴∠DOE ＝∠COD ﹣∠COE ＝60°﹣40°＝20°． 故答案为：40°，20°．②∵∠AOB ＝120°，∠AOC ＝α，∴∠BOC ＝120°﹣α，∵OE 平分∠BOC ， ∴∠COE ＝∠BOC ＝60°﹣α，∵∠COD ＝60°，∴∠DOE ＝∠COD ﹣∠COE ＝60°﹣（60°﹣α）＝α．故答案为：α．（2）①∵OE 平分∠BOC ，∴∠BOC ＝2∠COE ，∵∠AOC ﹣∠AOB ＝∠BOC ，∠DOE ﹣∠COD ＝∠EOC ， ∴∠AOC ﹣∠AOB ＝2（∠DOE ﹣∠COD ），∵∠AOB ＝120°，∠COD ＝60°，∴∠AOC ﹣120°＝2（∠DOE ﹣60°），化简得：2∠DOE ＝∠AOC ．②∠DOE ﹣∠AOF ＝30°，理由如下：∵∠AOC ＝∠AOB +∠BOC ，∠BOC ＝2∠BOE ，∠AOC +2∠BOE ＝4∠AOF ，∴4∠AOF ＝∠AOB +4∠BOE ，∵∠DOE ＝∠COD +∠COE ，∠COE ＝∠BOE ，∴4∠DOE ＝4∠COD +4∠BOE ，∴4∠AOF ﹣4∠DOE ＝∠AOB ﹣4∠COD ，∵∠AOB ＝120°，∠COD ＝60°，∴4∠AOF ﹣4∠DOE ＝﹣120°，∴∠DOE ﹣∠AOF ＝30°．2.（长梅）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成1：2的两个角的射线，叫作这个角的三分钱，显然，一个角的三分线有两条.(1)如图①，已知OC 是∠AOB 的一条三分钱，且BOC AOC ∠>∠，若75AOB AOC ∠=︒∠=， ；(2)如图②，已知90AOB ∠=︒，若OC ，OD 是∠AOB 的两条三分线.①求∠COD 的度数；②在①的基础上，现以O 为中心，将∠COD 顺时针旋转n °得到C OD ''∠.当OA 恰好是C OD ''∠的三分线时，求n 的值.图① 图②【解答】解：（1）已知OC 是∠AOB 的一条三分钱，且∠BOC ＞∠AOC ，若∠AOB ＝75°， ∴∠AOC ＝∠AOB ＝25°，故答案为：25°．（2）①如图2，∵∠AOB ＝90°，OC ，OD 是∠AOB 的两条三分线，∴∠COD ＝∠AOB ＝30°； ②分两种情况：当OA 是∠C 'OD '的三分线，且∠AOD '＞∠AOC '时，∠AOC ′＝10°，∴∠DOC '＝30°﹣10°＝20°，∴∠DOD '＝20°+30°＝50°；当OA 是∠C ′OD '的三分线，且∠AOD '＜∠AOC 时，∠AOC '＝20°，∴∠DOC ′＝30°﹣20°＝10°，∴∠DOD '＝10°+30°＝40°； 综上所述，n ＝40°或50°．3．（师大）若A 、O 、B 三点共线，∠BOC ＝50°，将一个三角板的直角顶点放在点O 处（注：∠DOE ＝90°，∠DEO ＝30°）．（1）如图1，使三角板的短直角边OD 在射线OB 上，则∠COE ＝ ；（2）如图2，将三角板DOE 绕点O 逆时针方向旋转，若OE 恰好平分∠AOC ，则OD 所在射线是∠BOC 的 ；（3）如图3，将三角板DOE 绕点O 逆时针转动到使∠COD ＝∠AOE 时，求∠BOD 的度数；（4）将图1中的三角板绕点O 以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t 秒时，OE 恰好与直线OC 重合，求t 的值．【解答】解：（1）∵∠DOE ＝90°，∠BOC ＝50°，∴∠COE ＝40°，故答案为40°； （2）∵OE 平分∠AOC ，∴∠AOE ＝∠COE ，∵∠COE +DOC ＝∠DOE ＝90°，∴∠AOE +∠DOB ＝90°， ∴∠DOC ＝∠DOB ，∴DO 平分∠BOC ，∴DO 是∠BOC 的角平分线，故答案为：角平分线；（3）∵∠COD ＝∠AOE ，∠COD +∠DOE +∠AOE ＝130°，∴5∠COD ＝40°，∴∠COD ＝8°，∴∠BOD ＝58°；（4）当OE 与射线OC 的反向延长线重合时，5t +40＝180，∴t ＝28，当OE 与射线OC 重合时， 5t ＝360﹣40，∴t ＝64，综上所述：t 的值为28或64．4.（雅礼）如图1，点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，使130BOC ∠=︒。
备战2023年杭州中考数学真题分类汇编(5年中考1年模拟)6选择压轴题含详解
专题06选择压轴题1．（2022•杭州）如图，已知ABC ∆内接于半径为1的O ，(BAC θθ∠=是锐角），则ABC ∆的面积的最大值为()A ．cos (1cos )θθ+B ．cos (1sin )θθ+C ．sin (1sin )θθ+D ．sin (1cos )θθ+2．（2021•杭州）已知1y 和2y 均是以x 为自变量的函数，当x m =时，函数值分别是1M 和2M ，若存在实数m ，使得120M M +=，则称函数1y 和2y 具有性质P ．以下函数1y 和2y 具有性质P 的是()A ．212y x x =+和21y x =--B ．212y x x =+和21y x =-+C ．11y x=-和21y x =--D ．11y x=-和21y x =-+3．（2020•杭州）在平面直角坐标系中，已知函数211y x ax =++，222y x bx =++，234y x cx =++，其中a ，b ，c 是正实数，且满足2b ac =．设函数1y ，2y ，3y 的图象与x 轴的交点个数分别为1M ，2M ，3M ，()A ．若12M =，22M =，则30M =B ．若11M =，20M =，则30M =C ．若10M =，22M =，则30M =D ．若10M =，20M =，则30M =4．（2019•杭州）在平面直角坐标系中，已知a b ≠，设函数()()y x a x b =++的图象与x 轴有M 个交点，函数(1)(1)y ax bx =++的图象与x 轴有N 个交点，则()A ．1M N =-或1M N =+B ．1M N =-或2M N =+C ．M N =或1M N =+D ．M N =或1M N =-5．（2018•杭州）如图，在ABC ∆中，点D 在AB 边上，//DE BC ，与边AC 交于点E ，连接BE ．记ADE ∆，BCE ∆的面积分别为1S ，2S ，()A ．若2AD AB >，则1232S S >B ．若2AD AB >，则1232S S <C ．若2AD AB <，则1232S S >D ．若2AD AB <，则1232S S <6．（2022•上城区一模）在直角坐标系中，一次函数12(0)y kx k k =+-≠的图象记作G ，以原点O 为圆心，作半径为1的圆，有以下几种说法：①当G 与O 相交时，y 随x 增大而增大；②当G 与O 相切时，54k =；③当G 与O 相离时，43k >或0k <．其中正确的说法是()A ．①B ．①②C ．①③D ．②③7．（2022•拱墅区一模）设函数(1)(1)(y x a x a a =-+--是实数），当1x =，2，3时，对应的函数值分别为r ，s ，(t )A ．若52a >，则1r ss t -<-B ．若522a <<，则01r ss t-<<-C ．若52a <，则1r s s t-<--D ．若322a <<，则10r s s t--<<-8．（2022•西湖区一模）已知1y ，2y 均为关于x 的函数，当x a =时，函数值分别为1A ，2A ，若对于实数a ，当01a <<时，都有1211A A -<-<，则称1y ，2y 为亲函数，则以下函数1y 和2y 是亲函数的是()A ．211y x =+，21y x =-B ．211y x =+，221y x =-C ．211y x =-，21y x=-D ．211y x =-，221y x =-9．（2022•钱塘区一模）在菱形ABCD 中，已知30A ∠=︒，点E ，F ，G ，H 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，且AE BF CG DH ===．若线段AE 与AB 的比值为(01)k k <<，则四边形EFGH 与菱形ABCD 的面积比可表示为()A ．2221k k -+B ．2221k k ++C ．222k k -+D ．2221k k -++10．（2022•淳安县一模）已知二次函数2(0)y ax bx a =-≠，经过点(,2)P m ．当1y - 时，x 的取值范围为1x t - 或3x t -- ．则如下四个值中有可能为m 的是()A ．1B ．2C ．3D ．411．（2022•富阳区一模）已知二次函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与一次函数(0)y mx n m =+≠的图象交于1(x ，1)y 和2(x ，2)y 两点，()A ．若0a <，0m <，则122x x h +>B ．若0a >，0m <，则122x x h +>C ．若122x x h +>，则0a >，0m >D ．若122x x h +<，则0a >，0m <12．（2022•临安区一模）已知点11(P x ，1)y ，22(P x ，2)y 为抛物线24(0)y ax ax c a =-++≠上两点，且12x x <，则下列说法正确的是()A ．若124x x +<，则12y y <B ．若124x x +>，则12y y <C ．若12(4)0a x x +->，则12y y >D ．若12(4)0a x x +-<，则12y y >13．（2022•钱塘区二模）如图，已知Rt ABC ∆，2AC BC ==，将ABC ∆绕点A 沿逆时针方向旋转后得到ADE ∆，直线BD 、CE 相交于点F ，连接AF ，则下列结论中：①AB =；②ABD ACE ∆∆∽；③45BFC ∠=︒；④F 为BD 的中点，其中正确的有()A ．①②③B ．①②④C ．①②③④D ．②③④14．（2022•西湖区校级一模）12()()(0)y a x x x x t a =--+>，点0(x ，0)y 是函数图象上任意一点，()A ．若0t <，则2012()4ay x x <--B ．若0t，则2012()4ay x x >--C ．若0t <，则2012()4ay x x -- D ．若0t，则2012()4ay x x -- 15．（2022•萧山区校级一模）已知代数式12()()x x x x mx n --++化简后为一个完全平方式，且当1x x =时此代数式的值为0，则下列式子中正确的是()A ．12x x m-=B ．21x x m-=C ．12()m x x n -=D ．12mx n x +=16．（2022•萧山区一模）已知二次函数1(1)(1)y ax bx =--和2()()(0)(y x a x b ab =--≠)A ．若11x -<<，10a b>>，则12y y >B ．若1x <，10a b>>，则12y y >C ．若11x -<<，10a b <<，则12y y <D ．若1x <-，10a b<<，则12y y <17．（2022•滨江区一模）在平面直角坐标系中，二次函数2(y ax bx c a =++，b ，c 是常数，0)a ≠的图象经过点(2,)A m ，当1x 时，1y m + ；当1x >时，y m，则(a =)A ．1-B ．14-C ．14D ．118．（2022•上城区二模）如图，四边形ABCD 内接于O ，AB 为O 的直径，延长BA 与弦CD 的延长线交于点P ，已知12PD AB =，下列结论：①若 CD AD BC=+，则2AB CD =；②若60B ∠=︒，则20P ∠=︒；③若30P ∠=︒，则31PA PD =-；④AD BC 的值可能等于13．其中正确的序号是()A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④19．（2022•余杭区一模）关于函数(1)(1)y mx m x =+--．下列说法正确的是()A ．无论m 取何值，函数图象总经过点(1,0)和(1,2)--B ．当12m ≠时，函数图象与x 轴总有2个交点C ．若12m >，则当1x <时，y 随x 的增大而减小D ．若0m >时，函数有最小值是114m m--+20．（2022•富阳区二模）约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点(1,)A m ，(,4)B n -是关于x 的“黄金函数”2(0)y ax bx c a =++≠上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线2x =的右侧，有结论①0a c +=；②4b =；③11042a b c ++<；④10a -<<．则下列结论正确的是()A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．②③④21．（2022•西湖区校级模拟）已知a ，b ，c 是互不相等的非零实数，有三条抛物线：22y ax bx c =++，22y bx cx a =++，22y cx ax b =++．则这三条抛物线与x 轴的交点个数情况是()A ．三条抛物线中至少有一条与x 轴有两个交点B ．三条抛物线中至多有一条与x 轴有两个交点C ．三条抛物线与x 轴都只有一个交点D ．三条抛物线与x 轴都没有交点22．（2022•富阳区一模）如图是二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象的一部分，图象过点(2,0)A -，对称轴为直线12x =，给出以下结论：①0abc <；②930a b c ++<；③若5(2-，1)y 、5(2，2)y 为函数图象上的两点，则12y y >；④111()()422a b m am b m +>+≠，其中正确的结论是()A ．①②③④B ．①②③C ．①④D ．①③④23．（2022•西湖区校级二模）已知直线12//l l ，直线34//l l ，且13l l ⊥，若以1l ，2l 中的一条直线为x 轴，3l ，4l 中的一条直线为y 轴，建立平面直角坐标系，设向右、向上为正方向，且抛物线212(0)2y ax ax a =-+>与这四条直线的位置如图所示，则所建立的平面直角坐标系中的x 轴、y 轴分别为()A ．直线1l ，3lB ．直线1l ，4lC ．直线2l ，3lD ．直线2l ，4l 24．（2022•西湖区校级模拟）已知函数1y 和2y 是关于x 的函数，点(,)m n 在函数1y 的图象上，点(,)p q 在函数2y 的图象上，规定：当n q =时，有0m p +=，那么称函数1y 和2y 具有“性质O ”，则下列函数具有“性质O ”的是()A ．212y x x =-和21y x =-B ．2121y x x =-+-和2y x =-C ．212y x x =-和21y x =-+D ．2121y x x =---和2y x=25．（2022•下城区校级二模）若二次函数的解析式为()(1)(15)y x m x m =-- ．若函数过(,)p q 点和(5,)p q +点，则q 的取值范围为()A ．92544qB ．944q --C ．2524qD ．924q -- 26．（2022•杭州模拟）二次函数21y x =第一象限的图象上有两点(,)A a k ，(,1)B b k +，关于二次函数22(b my x x m a a=++为任意实数）与x 轴交点个数判断错误的是()A ．若1m =，则2y 与x 轴可能没有交点B ．若12m =，则2y 与x 轴必有2个交点C ．若1m =-，则2y 与x 轴必有2个交点D ．若14m =，则2y 与x 轴必有2个交点27．（2022•江干区校级模拟）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象的顶点为(,)A m k ．且另有一点(,)B k m 也在该函数图象上，则下列结论一定正确的是()A ．m k>B ．m k<C ．()0a m k -<D ．()0a m k ->28．（2022•拱墅区模拟）已知二次函数(4)()y x k x k m =--+++，其中k ，m 为常数．下列说法正确的是()A ．若2k >，0m <，则二次函数y 的最大值小于0B ．若2k ≠，0m <，则二次函数y 的最大值大于0C ．若2k <，0m ≠，则二次函数y 的最大值小于0D ．若2k ≠，0m >，则二次函数y 的最大值大于029．（2022•拱墅区模拟）如图，点P 是矩形ABCD 内一点，连接PA 、PB 、PC 、PD ，已知3AB =，4BC =，设PAB ∆、PBC ∆、PCD ∆、PDA ∆的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，下列判断，其中不正确的是()A ．PA PB PC PD +++的最小值为10B ．若PAB PCD ∆≅∆，则PAD PBC ∆≅∆C ．若PAB PDA ∆∆∽，则2PA =D ．若12S S =，则34S S =30．（2022•拱墅区模拟）已知抛物线22y x bx c =-++与x 轴只有一个交点，且过点(6,)A m n -，(2,)B m n +，则n 的值为()A ．32-B ．18-C ．16-D ．12-专题06选择压轴题1．（2022•杭州）如图，已知ABC ∆内接于半径为1的O ，(BAC θθ∠=是锐角），则ABC ∆的面积的最大值为()A ．cos (1cos )θθ+B ．cos (1sin )θθ+C ．sin (1sin )θθ+D ．sin (1cos )θθ+【答案】D【详解】当ABC ∆的高AD 经过圆的圆心时，此时ABC ∆的面积最大，如图所示，A D BC '⊥ ，2BC BD ∴=，BOD BA C θ∠=∠'=，在Rt BOD ∆中，sin 1BD BD OB θ==，cos 1OD ODOB θ==sin BD θ∴=，cos OD θ=，22sin BC BD θ∴==，1cos A D A O OD θ'='+=+，∴112sin (1cos )sin (1cos )22ABC S A D BC θθθθ∆='⋅=⋅+=+．故选：D ．2．（2021•杭州）已知1y 和2y 均是以x 为自变量的函数，当x m =时，函数值分别是1M 和2M ，若存在实数m ，使得120M M +=，则称函数1y 和2y 具有性质P ．以下函数1y 和2y 具有性质P 的是()A ．212y x x =+和21y x =--B ．212y x x =+和21y x =-+C ．11y x=-和21y x =--D ．11y x=-和21y x =-+【答案】A【详解】A ．令120y y +=，则2210x x x +--=，解得x =或x =1y 和2y 具有性质P ，符合题意；B ．令120y y +=，则2210x x x +-+=，整理得，210x x ++=，方程无解，即函数1y 和2y 不具有性质P ，不符合题意；C ．令120y y +=，则110x x---=，整理得，210x x ++=，方程无解，即函数1y 和2y 不具有性质P ，不符合题意；D ．令120y y +=，则110x x--+=，整理得，210x x -+=，方程无解，即函数1y 和2y 不具有性质P ，不符合题意；故选：A ．3．（2020•杭州）在平面直角坐标系中，已知函数211y x ax =++，222y x bx =++，234y x cx =++，其中a ，b ，c 是正实数，且满足2b ac =．设函数1y ，2y ，3y 的图象与x 轴的交点个数分别为1M ，2M ，3M ，()A ．若12M =，22M =，则30M =B ．若11M =，20M =，则30M =C ．若10M =，22M =，则30M =D ．若10M =，20M =，则30M =【答案】B【详解】A 、错误．由12M =，22M =，可得240a ->，280b ->，取3a =，215b =，则25b c a==，此时2160c ->．故A 错误．B 、正确．理由：11M = ，20M =，240a ∴-=，280b -<，a ，b ，c 是正实数，2a ∴=，2b ac = ，212c b ∴=，对于234y x cx =++，则有△244221111616(64)(8)(8)0444c b b b b =-=-=-=+-<，30M ∴=，∴选项B 正确，C 、错误．由10M =，22M =，可得240a -<，280b ->，取1a =，218b =，则218b c a==，此时2160c ->．故C 错误．D 、由10M =，20M =，可得240a -<，280b -<，取1a =，24b =，则24b c a==，此时2160c -=．故D 错误．故选：B ．4．（2019•杭州）在平面直角坐标系中，已知a b ≠，设函数()()y x a x b =++的图象与x 轴有M 个交点，函数(1)(1)y ax bx =++的图象与x 轴有N 个交点，则()A ．1M N =-或1M N =+B ．1M N =-或2M N =+C ．M N =或1M N =+D ．M N =或1M N =-【答案】C【详解】()()y x a x b =++ ，a b ≠，∴函数()()y x a x b =++的图象与x 轴有2个交点，2M ∴=，函数2(1)(1)()1y ax bx abx a b x =++=+++，∴当0ab ≠时，△22()4()0a b ab a b =+-=->，函数(1)(1)y ax bx =++的图象与x 轴有2个交点，即2N =，此时M N =；当0ab =时，不妨令0a =，a b ≠ ，0b ∴≠，函数(1)(1)1y ax bx bx =++=+为一次函数，与x 轴有一个交点，即1N =，此时1M N =+；综上可知，M N =或1M N =+．故选：C ．另一解法：a b ≠ ，∴抛物线()()y x a x b =++与x 轴有两个交点，2M ∴=，又 函数(1)(1)y ax bx =++的图象与x 轴有N 个交点，而2(1)(1)()1y ax bx abx a b x =++=+++，它至多是一个二次函数，至多与x 轴有两个交点，2N ∴ ，N M ∴ ，∴不可能有1M N =-，故排除A 、B 、D ，故选：C ．5．（2018•杭州）如图，在ABC ∆中，点D 在AB 边上，//DE BC ，与边AC 交于点E ，连接BE ．记ADE ∆，BCE∆的面积分别为1S ，2S ，()A ．若2AD AB >，则1232S S >B ．若2AD AB >，则1232S S <C ．若2AD AB <，则1232S S >D ．若2AD AB <，则1232S S <【答案】D【详解】 如图，在ABC ∆中，//DE BC ，ADE ABC ∴∆∆∽，∴2112(BDE S AD S S S AB∆=++，∴若2AD AB >，即12AD AB >时，11214BDE S S S S ∆>++，此时123BDE S S S ∆>+，而222BDE S S S ∆+<．但是不能确定13S 与22S 的大小，故选项A 不符合题意，选项B 不符合题意．若2AD AB <，即12AD AB <时，11214BDE S S S S ∆<++，此时12232BDE S S S S ∆<+<，故选项C 不符合题意，选项D 符合题意．故选：D．6．（2022•上城区一模）在直角坐标系中，一次函数12(0)y kx k k =+-≠的图象记作G ，以原点O 为圆心，作半径为1的圆，有以下几种说法：①当G 与O 相交时，y 随x 增大而增大；②当G 与O 相切时，54k =；③当G 与O 相离时，43k >或0k <．其中正确的说法是()A ．①B ．①②C ．①③D ．②③【答案】C【详解】12(0)y kx k k =+-≠ ，当2x =时，1y =，∴一次函数经过点(2,1)，如图，(2,1)P ，A 、B 为直线与圆的切点，连接OB 、AB 、OP 交AB 于点C ，过B 作BE y ⊥轴于E ，(0,1)A ，//PA x ∴轴，2PA = ，1OA =，225OP PA OA ∴=+=Rt PAO ∆中，sin 5OPA ∠=cos 5OPA ∠=，由切线长定理得：PB PA =，PO AB ⊥，2AB AC ∴=，2sin 5AC AP OPA =∠=5AB ∴=，90AOP OPA ∠+∠=︒ ，90AOC OAC ∠+∠=︒，OAC OPA ∴∠=∠，Rt ABE ∆中，414sin 555BE AB EAB =∠=，428cos 555AE AB EAB =∠=，35OE AE OA ∴=-=，4(5B ∴，3)5-，代入12(0)y kx k k =+-≠可得：43k =， 直线12(0)y kx k k =+-≠与y 轴交点坐标为(0,12)k -，当43k =时，直线与圆相切，直线与y 轴交点5(0,3-，当43k >时，5123k -<-，直线与圆相离；当0k <时，121k ->，直线与圆相离；当403k <<时，51213k -<-<，直线与圆相交； 直线与圆相交时，403k <<，∴一次函数递增，故①正确；直线与圆相切时，43k =，故②错误； 直线与圆相离时，43k >或0k <，故③正确，①③正确，故选：C ．7．（2022•拱墅区一模）设函数(1)(1)(y x a x a a =-+--是实数），当1x =，2，3时，对应的函数值分别为r ，s ，(t )A ．若52a >，则1r s s t -<-B ．若522a <<，则01r s s t -<<-C ．若52a <，则1r s s t -<--D ．若322a <<，则10r s s t--<<-【答案】D 【详解】将1x =，2，3分别代入(1)(1)y x a x a =-+--得22r a a =-，243s a a =-+，268t a a =-+，∴22222(43)232143(68)2525r s a a a a a s t a a a a a a ----+-===+--+--+--，当52a >时，2025a >-，∴1r s s t->-，选项A 不正确，当522a <<时，2225a <--，∴1r s s t-<--，选项B 不正确．当52a <时，2025a <-，∴1r s s t-<-，选项C 不正确．当322a <<时，22125a -<<--，10r s s t -∴-<<-，选项D 正确．故选：D ．8．（2022•西湖区一模）已知1y ，2y 均为关于x 的函数，当x a =时，函数值分别为1A ，2A ，若对于实数a ，当01a <<时，都有1211A A -<-<，则称1y ，2y 为亲函数，则以下函数1y 和2y 是亲函数的是()A ．211y x =+，21y x =-B ．211y x =+，221y x =-C ．211y x =-，21y x =-D ．211y x =-，221y x =-【答案】D【详解】（1）A 选项，211y x =+ ，21y x =-，21211y y x x∴-=++，当01x <<时，11x>，且211x +>，212111y y x x ∴-=++>，即此选项不合题意；（2）B 选项，211y x =+ ，221y x =-，2121(21)y y x x ∴-=+--2(1)1x =-+，当01x <<时，2(1)11x -+>，即此选项不合题意；（3）C 选项，211y x =- ，21y x=-，21211()y y x x∴-=---211x x=+-，当12x =时，215114x x +-=>，即此选项不合题意；（4）D 选项，211y x =- ，221y x =-，2121(21)y y x x ∴-=---22x x =-，当01x <<时，2120x x -<-<，即此选项符合题意；故选：D ．9．（2022•钱塘区一模）在菱形ABCD 中，已知30A ∠=︒，点E ，F ，G ，H 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，且AE BF CG DH ===．若线段AE 与AB 的比值为(01)k k <<，则四边形EFGH 与菱形ABCD 的面积比可表示为()A ．2221k k -+B ．2221k k ++C ．222k k -+D ．2221k k -++【答案】A 【详解】设AB BC CD DA x ====，AE BF CG DH kx ====，则AH DG CF BE x kx ====-，过F 作MN CD ⊥于N ，交AB 延长线于点M，: 四边形ABCD 是菱形，30A C ∴∠=∠=︒，AB BC CD AD ===，AE BF CG DH === ，BE CF DG AH ∴===，在AEH ∆和CGF ∆中，AE CGA C AH CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AEH CGF SAS ∴∆≅∆，同理：()BEF DGH SAS ∆≅∆，30A ∠=︒ ，//AB BCD ，30C MBF ∴∠=∠=︒，122kx FM BF ∴==，122x kxFN CF -==，2xMN FM FN ∴=+=，∴菱形ABCD 的面积222xx x =⋅=，四边形EFGH 的面积=菱形ABCD 的面积2CGF-∆的面积2BEF -∆的面积22221122()222222x x kx kx x x kx x kx kx k x -=⋅-⨯⨯⋅-⨯⨯-=-+，∴四边形EFGH 与菱形ABCD 的面积比为22222222212x kx k x k k x -+=-+．故选：A ．10．（2022•淳安县一模）已知二次函数2(0)y ax bx a =-≠，经过点(,2)P m ．当1y - 时，x 的取值范围为1x t -或3x t -- ．则如下四个值中有可能为m 的是()A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A 【详解】当1y - 时，21ax bx -- ，x 的取值范围为1x t -或3x t -- ，(1,1)t ∴--，(3,1)t ---为抛物线上的点，∴抛物线对称轴为直线1322t t x ---==-，∴22b a=-，4b a ∴=-，224(2)4y ax ax a x a ∴=+=+-，当0a >时，41a -- ，解得14a ，将(,2)m 代入解析式得242am am +=，22144a m m ∴=+ ，2048m m ∴<+ ，24(2)12m ∴<+ ，24m ∴--<-或02m <-+ ，故选：A ．11．（2022•富阳区一模）已知二次函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与一次函数(0)y mx n m =+≠的图象交于1(x ，1)y 和2(x ，2)y 两点，()A ．若0a <，0m <，则122x x h+>B ．若0a >，0m <，则122x x h +>C ．若122x x h +>，则0a >，0m >D ．若122x x h +<，则0a >，0m <【答案】A【详解】2()y a x h k =-+ ，∴抛物线对称轴为直线x h =，0a < ，0m <，∴抛物线开口向下，一次函数中y 随x 增大而减小，设12x x <，则12y y >，∴122x x h +>，122x x h ∴+>．故选：A ．12．（2022•临安区一模）已知点11(P x ，1)y ，22(P x ，2)y 为抛物线24(0)y ax ax c a =-++≠上两点，且12x x <，则下列说法正确的是()A ．若124x x +<，则12y y <B ．若124x x +>，则12y y <C ．若12(4)0a x x +->，则12y y >D ．若12(4)0a x x +-<，则12y y >【答案】C【详解】24y ax ax c =-++ ，∴抛物线对称轴为直线422a x a=-=-，22(P x ，2)y 关于直线2x =的对称点为2(4P x -，2)y ，若124x x +<，由2244x x +-=，12x x <，可得124x x <-，当抛物线开口向上时，12y y >，∴选项A 错误．若124x x +>，由2244x x +-=，12x x <，可得2124x x x -<<，当抛物线开口向下时，12y y >，∴选项B 错误．若12(4)0a x x +->，当124x x +<时，则0a <，0a ->，抛物线开口向上，12y y ∴>，当124x x +>时，则0a >，0a -<，抛物线开口向下，12y y ∴>，选项C 正确．若12(4)0a x x +-<，当124x x +<时，0a >，0a -<，抛物线开口向下，12y y ∴<，选项D 错误．解法二：作差法，21114y ax ax c =-++ ，22224y ax ax c =-++，221211224(4)y y ax ax c ax ax c ∴-=-++--++221212()4()a x x a x x =--+-121212()()4()a x x x x a x x =-+-+-1212()(4)a x x x x =--+-12x x < ，120x x ∴-<，当12(4)0a x x +->时，则1212()(4)0a x x x x --+->，12y y ∴>，故选：C ．13．（2022•钱塘区二模）如图，已知Rt ABC ∆，2AC BC ==，将ABC ∆绕点A 沿逆时针方向旋转后得到ADE ∆，直线BD 、CE 相交于点F ，连接AF ，则下列结论中：①22AB =；②ABD ACE ∆∆∽；③45BFC ∠=︒；④F 为BD 的中点，其中正确的有()A ．①②③B ．①②④C ．①②③④D ．②③④【答案】C【详解】在Rt ABC ∆，2AC BC ==，222222AB +=∴①正确；由旋转的性质可得：22AB AD ==，2AC AE ==，BAC DAE ∠=∠，∴AD ABAE AC =，且DAB EAC ∠=∠，ABD ACE ∴∆∆∽，∴②正确；ABD ACE ∆∆ ∽，DBA ECA ∴∠=∠，45BFC BAC ∴∠=∠=︒，∴③正确；45BFC BAC ∠=∠=︒ ，A ∴、B 、C 、F 四点共圆，90BFA ∴∠=︒，AB AD = ，BF DF ∴=，即F 为BD 的中点，∴④正确．故选：C ．14．（2022•西湖区校级一模）12()()(0)y a x x x x t a =--+>，点0(x ，0)y 是函数图象上任意一点，()A ．若0t <，则2012()4a y x x <--B ．若0t ，则2012()4a y x x >--C ．若0t <，则2012()4a y x x -- D ．若0t ，则2012()4a y x x --【答案】D 【详解】对称轴公式为122x x x +=，将其代入12()()(0)y a x x x x t a =--+>，y ∴的最小值为212121212()()()224x x x x a a x x t x x t ++--+=--+，0a > ，∴顶点处为最小值， 点0(x ，0)y 是函数图象上任意一点．2012()4a y x x t ∴--+ ，即A 、B 选项都不对，若0t 时，2012()4a y x x -- ，故选：D ．15．（2022•萧山区校级一模）已知代数式12()()x x x x mx n --++化简后为一个完全平方式，且当1x x =时此代数式的值为0，则下列式子中正确的是()A ．12x x m-=B ．21x x m -=C ．12()m x x n -=D ．12mx n x +=【答案】B【详解】1x x = ，0mx n ∴+=，12()()x x x x mx n --++ 21212()x x x m x x x n=-+-++21()x x =-22112x x x x =-+，1212x x m x ∴+-=，即21x x m -=．故选：B ．16．（2022•萧山区一模）已知二次函数1(1)(1)y ax bx =--和2()()(0)(y x a x b ab =--≠)A ．若11x -<<，10a b >>，则12y y >B ．若1x <，10a b >>，则12y y >C ．若11x -<<，10a b <<，则12y y <D ．若1x <-，10a b <<，则12y y <【答案】D【详解】21(1)(1)()1y ax bx abx a b x =--=-++，22()()()(0)y x a x b x a b x ab ab =--=-++≠，2212(1)1(1)(1)(1)(1)(1)y y ab x ab ab x ab x x ∴-=-+-=--=-+-．对于A 选项，11x -<< ，(1)(1)0x x ∴+-<，10a b>> ，1ab ∴>，(1)(1)(1)0ab x x ∴-+-<，即12y y <，故A 选项错误；对于B 选项，1x < ，(1)(1)x x ∴+-不确定正负，1y ∴与2y 的大小无法确定，故B 选项错误；对于C 选项，11x -<< ，(1)(1)0x x ∴+-<， 10a b<<，01ab ∴<<，10ab ∴-<，(1)(1)(1)0ab x x ∴-+->，即12y y >，故C 选项错误；对于D 选项，1x <- ，(1)(1)0x x ∴+->， 10a b<<，01ab ∴<<，10ab ∴-<，(1)(1)(1)0ab x x ∴-+-<，即12y y <，故D 选项正确．故选：D ．17．（2022•滨江区一模）在平面直角坐标系中，二次函数2(y ax bx c a =++，b ，c 是常数，0)a ≠的图象经过点(2,)A m ，当1x 时，1y m + ；当1x >时，y m，则(a =)A ．1-B ．14-C ．14D ．1【答案】D 【详解】 当1x 时，1y m + ，∴函数开口向上，且当1x =时，1y m =+，当1x >时，y m，∴函数的对称轴为2x =，将点(2,)m ，(1,1)m +代入函数2y ax bx c =++，得42122a b c m a b c m b a⎧⎪++=⎪++=+⎨⎪⎪-=⎩，解得：1a =，故选：D ．18．（2022•上城区二模）如图，四边形ABCD 内接于O ，AB 为O 的直径，延长BA 与弦CD 的延长线交于点P ，已知12PD AB =，下列结论：①若 CD AD BC =+，则2AB CD =；②若60B ∠=︒，则20P ∠=︒；③若30P ∠=︒，则31PA PD =-；④AD BC的值可能等于13．其中正确的序号是()A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④【答案】A 【详解】①连接OC ，OD ，CD 的度数 AD =的度数 BC +的度数， CD 的度数 AD +的度数 BC+的度数180=︒∴ CD的度数90=︒，90COD ∴∠=︒，CD ∴=，2AB OD ∴===，故①正确；②60B ∠=︒ ，OBC ∴∆是等边三角形，60COB ∴∠=︒，12PD AB = ，PD OD OC OB ∴===，P DOP ∴∠=∠，ODC OCD ∠=∠，2ODC OCD P ∴∠=∠=∠，2360P OCD P COB ∴∠+∠=∠=∠=︒，20P ∴∠=︒，故②正确；③30P ∠=︒ ，30ODP P ∴∠=∠=︒，120PDO ∴∠=︒，OP ∴=，∴1PA PA PD OD==-，故③正确；④若13AD BC =，PAD PCB ∠=∠ ，P P ∠=∠，PAD PCB ∴∆∆∽，∴13AD PD BC PB ==，13PD PB ∴=，12PD AB = ，PD PA ∴=，PD OD PA OA PO ∴+=+=，∴点D 与A 重合，与题目矛盾，故④错误，故选：A ．19．（2022•余杭区一模）关于函数(1)(1)y mx m x =+--．下列说法正确的是()A ．无论m 取何值，函数图象总经过点(1,0)和(1,2)--B ．当12m ≠时，函数图象与x 轴总有2个交点C ．若12m >，则当1x <时，y 随x 的增大而减小D ．若0m >时，函数有最小值是114m m --+【答案】D【详解】A ．当1x =时，(1)(1)0y mx m x =+--=，当1x =-时，(1)(1)2y mx m x =+--=，故图象过(1,0)和(1,2)-，故A 错误，不符合题意；B ．当0m =时，(1)(1)1y mx m x x =+--=-，该函数与x 轴只有一个交点，故B 错误，不符合题意；C ．12m >，则函数为开口向上的抛物线，则1(1)(1)(1)m y mx m x m x x m-=+--=+-，则该函数的对称轴为直线111(1122m x m m -=+=<，故1x <时，y 随x 的增大而即可能减小也可能增大，故C 错误，不符合题意；D ．若0m >时，二次函数在顶点处取得最小值，当12x m =时，1(1)(1)14y mx m x m m-=+--=-+，故D 正确，符合题意；故选：D ．20．（2022•富阳区二模）约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点(1,)A m ，(,4)B n -是关于x 的“黄金函数”2(0)y ax bx c a =++≠上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线2x =的右侧，有结论①0a c +=；②4b =；③11042a b c ++<；④10a -<<．则下列结论正确的是()A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．②③④【答案】C【详解】 点(1,)A m ，(,4)B n -是关于x 的“黄金函数”2(0)y ax bx c a =++≠上的一对“黄金点”，A ∴，B 关于原点对称，4m ∴=，1n =-，(1,4)A ∴，(1,4)B --，代入2(0)y ax bx c a =++≠得4??4a b c a b c ++=⎧⎨+=⎩，∴40b a c =⎧⎨+=⎩，∴①②正确，该函数的对称轴始终位于直线2x =的右侧，22b a ∴->，422a∴->，10a ∴-<<，④正确，0a c += ，01c ∴<<，c a =-，当12x =时，21113224244y ax bx c a b c a a a =++=++=+-=-，10a -<< ，304a ∴->，∴11320424a b c a ++=->，③错误．综上所述，结论正确的是①②④．故选：C ．21．（2022•西湖区校级模拟）已知a ，b ，c 是互不相等的非零实数，有三条抛物线：22y ax bx c =++，22y bx cx a =++，22y cx ax b =++．则这三条抛物线与x 轴的交点个数情况是()A ．三条抛物线中至少有一条与x 轴有两个交点B ．三条抛物线中至多有一条与x 轴有两个交点C ．三条抛物线与x 轴都只有一个交点D ．三条抛物线与x 轴都没有交点【答案】A【详解】证明：假设这三条抛物线全部与x 轴只有一个交点或没有交点，则有212223440440440b ac c ab a bc ⎧=-⎪=-⎨⎪=-⎩ ，三式相加，整理、化简得：2220a b c ab ac bc ++--- ，222()()()0a b b c c a ∴-+-+- ，a b c ∴==与a ，b ，c 是互不相等的实数矛盾，∴这三条抛物线至少有一条与x 轴有两个交点．故选：A ．22．（2022•富阳区一模）如图是二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象的一部分，图象过点(2,0)A -，对称轴为直线12x =，给出以下结论：①0abc <；②930a b c ++<；③若5(2-，1)y 、5(2，2)y 为函数图象上的两点，则12y y >；④111()()422a b m am b m +>+≠，其中正确的结论是()A ．①②③④B ．①②③C ．①④D ．①③④【答案】C 【详解】 抛物线开口向下，0a ∴<，抛物线与y 轴正半轴相交，0c ∴>，对称轴在y 轴右侧，a ∴，b 异号，0b ∴>，0abc ∴<，故①正确；图象过点(2,0)A -，对称轴为直线12x =，∴抛物线与x 轴的另一个交点为(3,0)，3x ∴=时，930y a b c =++=，故②错误；5(2- ，1)y 、5(2，2)y 为函数图象上的两点，对称轴为12x =，12y y ∴<，故③错误；12x =时，函数有最大值，∴21142a b c am bm c ++>++，即111()()422a b m am b m +>+≠，故④正确．故选：C ．23．（2022•西湖区校级二模）已知直线12//l l ，直线34//l l ，且13l l ⊥，若以1l ，2l 中的一条直线为x 轴，3l ，4l 中的一条直线为y 轴，建立平面直角坐标系，设向右、向上为正方向，且抛物线212(0)2y ax ax a =-+>与这四条直线的位置如图所示，则所建立的平面直角坐标系中的x 轴、y 轴分别为()A ．直线1l ，3l B ．直线1l ，4l C ．直线2l ，3l D ．直线2l ，4l 【答案】C 【详解】2122y ax ax =-+ ，∴抛物线对称轴为直线212a x a -=-=，3l ∴为y 轴，将0x =代入2122y ax ax =-+得12y =，∴抛物线经过1(0,)2，2l ∴为x 轴，故选：C ．24．（2022•西湖区校级模拟）已知函数1y 和2y 是关于x 的函数，点(,)m n 在函数1y 的图象上，点(,)p q 在函数2y 的图象上，规定：当n q =时，有0m p +=，那么称函数1y 和2y 具有“性质O ”，则下列函数具有“性质O ”的是()A ．212y x x =-和21y x =-B ．2121y x x =-+-和2y x =-C ．212y x x =-和21y x =-+D ．2121y x x =---和2y x =【答案】C【详解】 点(,)m n 在函数1y 的图象上，点(,)p q 在函数2y 的图象上，A 选项：将x m =代入212y x x =-，得：22n m m =-，将x p =代入21y x =-，得：1q p =-，n q = ，221m m p ∴-=-，221p m m ∴=-+，0m p += ，2210m m m ∴+-+=，210m m ∴-+=，△2(1)41130=--⨯⨯=-<，m ∴无解，∴不存在这样的点使得函数1y 和2y 具有“性质O ”，A ∴选项不符合题意，错误；B 选项：将x m =代入2121y x x =-+-，得：221n m m =-+-，将x p =代入2y x =-，得：q p =-，n q = ，221m m p ∴-+-=-，221p m m ∴=-+，0m p += ，2210m m m ∴+-+=，210m m ∴-+=，△2(1)41130=--⨯⨯=-<，m ∴无解，∴不存在这样的点使得函数1y 和2y 具有“性质O ”，将x m =代入212y x x =-，得：22n m m =-，将x p =代入21y x =-+，得：1q p =-+，n q = ，221m m p ∴-=-+，221p m m ∴=-++，0m p += ，2210m m m ∴-++=，2310m m ∴--=，△2(3)41(1)130=--⨯⨯-=>，∴存在不相等的两个m 使得方程成立，∴存在这样的点使得函数1y 和2y 具有“性质O ”，C ∴选项符合题意，正确；D 选项：将x m =代入2121y x x =---，得：221n m m =---，将x p =代入2y x =，得：q p =，n q = ，221m m p ∴---=，221p m m ∴=---，0m p += ，2210m m m ∴---=，210m m ∴++=，△2141130=-⨯⨯=-<，m ∴无解，∴不存在这样的点使得函数1y 和2y 具有“性质O ”，25．（2022•下城区校级二模）若二次函数的解析式为()(1)(15)y x m x m =-- ．若函数过(,)p q 点和(5,)p q +点，则q 的取值范围为()A ．92544q B ．944q -- C ．2524q D ．924q -- 【答案】A【详解】 二次函数的解析式为()(1)(15)y x m x m =-- ，∴该函数的对称轴为直线12m x +=，函数过(,)p q 点和(5,)p q +点，∴5122p p m +++=，42m p -∴=，244125()(1)(1)2244m m q m m --∴=--=--+，15m ，∴当1m =时，q 取得最大值254；当5m =时，q 取得最小值94，q ∴的取值范围是92544q ，故选：A ．26．（2022•杭州模拟）二次函数21y x =第一象限的图象上有两点(,)A a k ，(,1)B b k +，关于二次函数22(bmy x x m a a =++为任意实数）与x 轴交点个数判断错误的是()A ．若1m =，则2y 与x 轴可能没有交点B ．若12m =，则2y 与x 轴必有2个交点C ．若1m =-，则2y 与x 轴必有2个交点D ．若14m =，则2y 与x 轴必有2个交点【答案】B【详解】点A 、B 在二次函数21y x =第一象限的图象上，则2k a =且21k b +=，即221b a =+，对于函数函数2y ，△2224()4b m b ama a a -=-⨯=，当14m =时，△222213()4240a b am a a -+-==>，故14m =，则2y 与x 轴必有2个交点正确，故D 正确，不符合题意；当1m =-时，同理可得：△2241a a a ++=，2241(2)3a a a ++=+- ，0a >，2(2)4a ∴+>，∴△0，故C 正确，不符合题意；当12m =时，同理可得：△22(1)0a a -= ，故B 错误，符合题意；同理可得：A 正确，不符合题意；故选：B ．27．（2022•江干区校级模拟）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象的顶点为(,)A m k ．且另有一点(,)B k m 也在该函数图象上，则下列结论一定正确的是()A ．m k>B ．m k <C ．()0a m k -<D ．()0a m k ->【答案】D【详解】 二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象的顶点为(,)A m k ，2()y a x m k ∴=-+，整理得：222y ax amx m k =-++，2b am ∴=-，(,)A m k 和(,)B k m 都在抛物线上，可得：2am bm c k ++=①，2ak bk c m ++=②，②-①得：22m k ak bk am bm-=---22()()a m kb m k =----()()()a m k m k b m k =-+---，()()()()0a m k m k b m k m k ∴+-+-+-=，()[()1]0m k a m k b -+++=，()[()21]0m k a m k am -+-+=，()(1)0m k ak am --+=，0m k ∴-=或10ak am -+=，0m k ∴-=或()1a m k -=，()0a m k ∴->，故选：D ．28．（2022•拱墅区模拟）已知二次函数(4)()y x k x k m =--+++，其中k ，m 为常数．下列说法正确的是()A ．若2k >，0m <，则二次函数y 的最大值小于0B ．若2k ≠，0m <，则二次函数y 的最大值大于0C ．若2k <，0m ≠，则二次函数y 的最大值小于0D ．若2k ≠，0m >，则二次函数y 的最大值大于0【答案】D【详解】(4)()y x k x k m =--+++ ，∴抛物线对称轴为直线422k k x --==-，∴当2x =-时，函数最大值为2(2)y k m =-+，故选：D ．29．（2022•拱墅区模拟）如图，点P 是矩形ABCD 内一点，连接PA 、PB 、PC 、PD ，已知3AB =，4BC =，设PAB ∆、PBC ∆、PCD ∆、PDA ∆的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，下列判断，其中不正确的是()A ．PA PB PC PD +++的最小值为10B ．若PAB PCD ∆≅∆，则PAD PBC ∆≅∆C ．若PAB PDA ∆∆∽，则2PA =D ．若12S S =，则34S S =【答案】C 【详解】A ．当点P 是矩形ABCD 两对角线的交点时，PA PB PC PD +++的值最小，根据勾股定理得，5AC BD ==，所以PA PB PC PD +++的最小值为10，故此选项正确，不符合题意；B ．若PAB PCD ∆≅∆，则PA PC =，PB PD =，所以P 在线段AC 、BD 的垂直平分线上，即P 是矩形ABCD 两对角线的交点，所以PAD PBC ∆≅∆，故此选项正确正确，不符合题意；C ．若PAB PDA ∆∆∽，则PAB PDA ∠=∠，90PAB PAD PDA PAD ∠+∠=∠+∠=︒，180()90APD PDA PAD ∠=︒-∠+∠=︒，同理可得90APB ∠=︒，那么180BPD ∠=︒，B 、P 、D 三点共线，P 是直角BAD ∆斜边上的高，根据面积公式可得345 2.4PA =⨯÷=，故此选项不正确，符合题意；D ．如图，若12S S =，过点P 作PH BC ⊥于H ，HP 的延长线交AD 于G ，则PG AD ⊥．∴四边形ABHG 是矩形，GH AB ∴=，2411111()22222S S AD PG BC PH BC PH PG BC GH BC AB ∴+=⋅+⋅=⋅+=⋅=⋅，过点P 作PM AB ⊥于M ，MP 的延长线交CD 于N ，同理1312S S BC AB +=⋅，1324S S S S ∴+=+，则34S S =，故此选项正确，不符合题意．故选：C ．30．（2022•拱墅区模拟）已知抛物线22y x bx c =-++与x 轴只有一个交点，且过点(6,)A m n -，(2,)B m n +，则n的值为()A ．32-B ．18-C ．16-D ．12-【答案】A 【详解】 抛物线22y x bx c =-++过点(6,)A m n -，(2,)B m n +，∴对称轴是直线2x m =-．又 抛物线22y x bx c =-++与x 轴只有一个交点，∴设抛物线解析式为22(2)y x m =--+，把(6,)A m n -代入，得22(62)32n m m =---+=-，即32n =-．故选：A ．。
全国各地中考数学压轴题精选(含详细答案)
12．（黄冈）已知：如图，在直角梯形COAB中，OC∥AB，以O为原点建立平面直角坐标系 ，A，B，C三点的坐标分别为A（8，0），B（8，10），C（0，4），点D为线段BC的中点， 动点P从点O出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD的路线移动，移动的时间为t秒． （1）求直线BC的解析式； （2）若动点P在线段OA上移动，当t为何值时，四边形OPDC的面积是梯形COAB面积的 ； （3）动点P从点O出发，沿折线OABD的路线移动过程中，设△OPD的面积为S，请直接写出S 与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；
8
点F重合时，梯形ABCD停止移动．观察得知：在梯形ABCD移动过程中，其腰BC始终经过坐 标原点O．（如图2） ①设点A的坐标为（a，b），梯形ABCD与梯形OEFG重合部分的面积为S，试求a与何值时， S的值恰好等于梯形OEFG面积的 ；
②当点A在EF上滑动时，设AD与x轴的交点为M，试问：在y轴上是否存在点P，使得△PAM 是底角为30°的等腰三角形？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在， 请说明理由．（利用图3进行探索）
中考数学压轴题100题精选及答案
中考数学压轴题100题精选【001】如图，已知抛物线2(1)y a x =-+a ≠0）经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ． （1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．【C=90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB-BC-CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）． （1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 ； （2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与 t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成 为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由； （4）当DE 经过点C 时，请直接写出t 的值．【003】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B （4，0）、C （8，0）、D （8，8）.抛物线y=ax2+bx 过A 、C 两点.(1)直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；A P 图16(2)动点P 从点A 出发．沿线段AB 向终点B 运动，同时点Q 从点C 出发，沿线段CD 向终点D 运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒.过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E ，①过点E 作EF ⊥AD 于点F ，交抛物线于点G.当t 为何值时，线段EG 最长? ②连接EQ ．在点P 、Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ 是等腰三角形? 请直接写出相应的t 值。
中考数学《压轴题》专题训练含答案解析
第3题
解：（1）①在等边三角形ＡＢＣ中，∠Ｂ＝60°，∵ＰＧ⊥ＡＢ，
∴∠ＢＧＰ＝30°，∴ＢＧ＝2ＢＰ．
②∵ＰＦ／／ＡＣ，∴△ＰＢＦ为等边三角形，∴ＢＦ＝ＰＦ＝ＰＢ＝x.
又∵ＢＧ＝2x，ＢＤ＝1，∴ＤＧ＝2x－1，∴０＜2x－1≤１，∴ 1 < x £ 1. 2
（2）S= 1 DE×DF= 1 3 2x 11 x
∵t>2.5，∴
符合条件．
②若∠AQP=90°，则△APQ∽△∠OAC，
∵t>2.5，∴
符合条件．
1
综上可知，当
加小编微信，获取更多资料：zkxn66
时，△OAC 与△APQ 相似．
（3）⊙Q 与直线 AC、BC 均相切，Q 点坐标为（ 31 , 9 ）。 5 10
2、如图，以矩形 OABC 的顶点 O 为原点，OA 所在的直线为 x 轴，OC 所在的直线为 y 轴， 建立平面直角坐标系．已知 OA＝3，OC＝2，点 E 是 AB 的中点，在 OA 上取一点 D，将 △BDA 沿 BD 翻折，使点 A 落在 BC 边上的点 F 处． （1）直接写出点 E、F 的坐标； （2）设顶点为 F 的抛物线交 y 轴正．半．轴．于点 P，且以点 E、F、P 为顶点的三角形是等腰 三角形，求该抛物线的解析式； （3）在 x 轴、y 轴上是否分别存在点 M、N，使得四边形 MNFE 的周长最小？如果存在， 求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．
3
加小编微信，获取更多资料：zkxn66
3、如图，在边长为 2 的等边△ABC 中，AD⊥BC,点 P 为边 AB 上一个动点，过 P 点作 PF//AC 交线段 BD 于点 F,作 PG⊥AB 交 AD 于点 E,交线段 CD 于点 G,设 BP=x. （1）①试判断 BG 与 2BP 的大小关系,并说明理由;
2021年中考数学压轴题专项训练06规律问题含解析
规律问题1．某种球形病毒的直径约是0.01纳米，一个该种病毒每经过一分钟就能繁殖出9个与自己完全相同的病毒，假如这种病毒在人体内聚集到一定数量，按这样的数量排列成一串，长度达到1分米时，人体就会感到不适．（1米9=10纳米）（1）从感染到第一个病毒开始，经过5分钟，人体内改种病毒的总长度是多少纳米？（2）从感染到第一个病毒开始，经过多少分钟，人体会感到不适？【答案】（1）从感染到第一个病毒开始，经过5分钟，人体内改种病毒的总长度是1000纳米；（2）从感染到第一个病毒开始，经过10分钟，人体会感到不适．【解析】解：（1）由题意可知：经过5分钟，人体内改种病毒的总长度是0.01×1×105=1000（纳米） 答：从感染到第一个病毒开始，经过5分钟，人体内改种病毒的总长度是1000纳米； （2）1分米=110米8=10纳米 而810÷（0.01×1）=1010∴从感染到第一个病毒开始，经过10分钟，人体会感到不适答：从感染到第一个病毒开始，经过10分钟，人体会感到不适．2．你会求()()20182017201621?··1a a a a a a -++++++的值吗？这个问题看上去很复杂，我们可以先考虑简单的情况，通过计算，探索规律：()()2111a a a -+=-()()23111a a a a -++=-()()324111a a a a a -+++=-（1）由上面的规律我们可以大胆猜想，得到()()201920182017211a a a a a a -+++⋅⋅⋅+++=_____；（2）利用上面的结论求2019201820172222221++++++的值． （3）求201920182017255554+++⋅⋅⋅++的值【答案】（1）20201a -；（2）202021-；（3）()20201594-． 【解析】（1）由题可以得到()()12211n n n a a a a a a ---++++++11n a +=-()()20192018211a a a a a ∴-+++++20201a =-（2）由结论得：2019201820172222221++++++()()2019201822122221=-⋅+++++ 202021=-（3）201920182017255554+++++()()2019201820172515555+5+1-24-+++=()202015124=-- ()20201594=- 3．计算|1﹣12|+|12﹣13|+|13﹣14|+…+|199﹣1100|． 【答案】99100【解析】解：111111112233499100-+-+-++- 111111=1223499100-+--++- 1=1100-99=100． 4．观察下列等式：第1个等式：11111212a ==-⨯；第2个等式：21112323a ==-⨯； 第3个等式：31113434a ==-⨯；第4个等式：41114545a ==-⨯； ……解答下列问题：（1）按以上规律写出第5个等式：5a =—————— = ——————．（2）求1232020a a a a ++++的值．（3）求111148812121620162020++++⨯⨯⨯⨯的值． 【答案】（1）156⨯，1156-；（2）20202021；（3）631010． 【解析】解：（1）第1个等式：11111212a ==-⨯； 第2个等式：21112323a ==-⨯； 第3个等式：31113434a ==-⨯；第4个等式：41114545a ==-⨯；…… 第5个等式：51115656a ==-⨯； 故答案为：156⨯；1156-； （2）12320201111111112233420202021a a a a ++++=-+-+-++- 112021=- 20202021=； （3）111148812121620162020++++⨯⨯⨯⨯ 812111111144820162020⎛⎫=⨯-+-++- ⎪⎝⎭111442020⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭150442020=⨯ 631010=． 5．阅读材料：求2342015122222+++++⋯+的值．解：设234201420151222222S =+++++⋯++，将等式的两边同乘以2，得234201520162222222S =++++⋯++将下式减去上式得，2016221S S -=-即201621S =-．即2342015201612222221+++++⋯+=-请你仿照此法计算：（1）填空：231222+++= ．（2）求2341012222+++++…+2的值．（3）求234111111()()()()33333n +++++⋯+的值．（其中n 为正整数） 【答案】（1）15；（2）2047；（3）311()223n -⨯． 【解析】解：（1）由题意可得，1+2+22+23=24-1=16-1=15，故答案为：15；（2）由题意可得，2341012222+++++…+2 1121=- 20481=- 2047=；（3）设234111111()()()()33333n S =+++++⋯+， 则23411111111()()()()()3333333n n S +=++++⋯++， 1111()33n S S +∴-=-， 1211()33n S +∴=-， 解得，311()223n S =-⨯， 即234111111()()()()33333n +++++⋯+的值是311()223n -⨯． 6．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，图是2020年1月份的日历，我们用如图所示的四边形框出五个数．2020年1月：（1）将每个四边形框中最中间位置的数去掉后，将相对的两对数分别相减，再相加，例如：(108)(162)16-+-=，(2119)(2713)16-+-=．不难发现，结果都是16．若设中间位置的数为n ，请用含n 的式子表示发现的规律，并写出验证过程．（2）用同样的四边形框再框出5个数，若其中最小数的2倍与最大数的和为56，求出这5个数中的最大数的值．（3）小明说：我用同样的四边形框也框出了5个数，其中最小数与最大数的积是120．请判断他的说法是否正确，并说明理由．【答案】（1）(1)(1)(7)(7)16n n n n +--++--=，见解析；（2）28；（3）正确，见解析【解析】（1）设中间位置的数为n ，左边数为1n -，右边数1n +，上面数7n -，下面数为7n +， 则(1)(1)(7)(7)16n n n n +--++--=（2）2(7)(7)56n n -++=，21n =，21728∴+=．（3）正确(7)(7)120n n -+=，13n ∴=- (舍去)或者13n =，可以存在．7．材料：若一个正整数，它的各个数位上的数字是左右对称的，则称这个正整数是对称数．例如：正整数22是两位对称数；正整数797是三位对称数；正整数4664是四位对称数；正整数12321是五位对称数． 根据材料，完成下列问题：（1）最大的两位对称数与最小的三位对称数的和为___________（2）若将任意一个四位对称数拆分为前两位数字顺次表示的两位数和后两位数字顺次表示的两位数，则这两个两位数的差一定能被9整除吗？请说明理由．（3）如果一个四位对称数的个位数字与十位数字的和等于10，并且这个四位对称数能被7整除，请求出满足条件的四位对称数．【答案】（1）200；（2）一定可以，理由见解析；（3）3773【解析】解：（1）最大的两位对称数是99，最小的三位对称数是101，99101200+=，故答案是：200；（2）设个位和千位上的数字是a ，十位和百位上的数字是b ，则这两位数分别是10a b +、10b a +，()101099a b b a a b +-+=-， 它们的差是99a b -，这个数是9的倍数，所以这个数一定可以被9整除；（3）设这个四位数的个位数是x ，则十位数是()10x -，这个数可以表示为()()1010100101000x x x x +-+-+，化简得8911100x +，令1x =，则这个数是1991，x=，则这个数是2882，令2x=，则这个数是3773，令3……x=，则这个数是9119，令9其中只有3773能够被7整除，∴满足条件的四位数是3773．8．用棱长为2cm的若干小正方体按如所示的规律在地面上搭建若干个几何体．图中每个几何体自上而下分别叫第一层、第二层，，第n层（n为正整数)（1）搭建第④个几何体的小立方体的个数为．（2）分别求出第②、③个几何体的所有露出部分（不含底面）的面积．1cm需要油漆0.2克，求喷涂（3）为了美观，若将几何体的露出部分都涂上油漆（不含底面），已知喷涂2第20个几何体，共需要多少克油漆？【答案】（1）30；（2）第②个几何体露出部分（不含底面）面积为264cm，第③个几何体露出部分（不含132cm；（3）992克．底面）面积为2【解析】（1）搭建第①个几何体的小立方体的个数为1，搭建第②个几何体的小立方体的个数为2+=+，1412搭建第③个几何体的小立方体的个数为22149123++=++，归纳类推得：搭建第④个几何体的小立方体的个数为22212341491630+++=+++=， 故答案为：30；（2）第②个几何体的三视图如下：由题意，每个小正方形的面积为2224()cm ⨯=，则第②个几何体的所有露出部分（不含底面）面积为()232324464()cm ⨯+⨯+⨯=； 第③个几何体的三视图如下：则第③个几何体的所有露出部分（不含底面）面积为()2626294132()cm ⨯+⨯+⨯=； （3）第20个几何体从第1层到第20层小立方体的个数依次为221,2,,20，则第20个几何体的所有露出部分（不含底面）面积为()()2221220212202044960()cm ⎡⎤⨯++++⨯++++⨯=⎣⎦，因此，共需要油漆的克数为49600.2992⨯=（克），答：共需要992克油漆．9． 阅读下列解题过程：=====请回答下列回题：（1）观察上面的解答过程，请写出= ； （2）请你用含n （n 为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律；（3）利用上面的解法，请化简： ......【答案】（1）10-（21=-（3）9．【解析】（1===10=-；故答案为：10-（21=-（31=-......=......=......=1-．10．先化简，再求值：(2x+x)2−(2x−x)(2x+x)−5xx，其中x=2019，x=−1.【答案】2021.【解析】原式=4x2+4xx+x2−（4x2−x2）−5xx=4x2+4xx+x2−4x2+x2−5xx，=2x2−xx，当x=2019，x=−1时，原式=2×（−1）2−2019×（−1）=202111．观察下列三行数，回答问题：-1、+3、-5、 +7、-9、 +11、……-3、 +1、-7、 +5、-11、+9、……+3、-9、 +15、-21、+27、-33、……（1）第①行第9个数是___________第②行第9个数是___________第③行第9个数是___________（2）在第②行中，是否存在连续的三个数，使其和为83？若存在，求这三个数；若不存在，说明理由．（3）是否存在第m列数（每行取第m个数），这三个数的和正好为-99？若存在，求m；若不存在，说明理由．【答案】（1）-17；-19；51．（2）存在，85，-91，89；（3）第m 列数不存在，理由见解析．【解析】（1）观察到第①行的规律是()()121n n --，第②行的规律是将第①行的数-2，第③行的规律是()()1163n n +--，因此当n=9时，第①行的数为-17∴第②行的数为-17-2=-19，第③行的数为()17351-⨯-=；（2）设第②行存在连续的三个数和为83，且第一个数为x ，若0x >，即x 在第②行中的偶数次列，满足第n 列的数为23n -（其中n 为正偶数），则()()6483x x x +--++=，得85x =，即2385,44n n -==，符合题意，x 在第②行第44列， 此时，连续的三个数依次为85，-91，89．若0x <，即x 在第②行中的奇数次列，满足第n 列的数为21n --（其中n 为正奇数），则()()2483x x x +--+-=，得89x =，即2189n --=，45n =-，不符合题意，故舍去，综上所述，存在这样连续的三个数使和为83，依次为85，-91，89．（3）设存在第m 列数使三个数的和为-99，且此列第①行的数为y ，则第m 列第②行的数为2y -，第③行的数为3y ，()2399y y y +-+-=-，得97y ，又第①行中奇数次列为负，偶数次列为正，()971249+÷=，即97在第①行第49列，应为负，故假设不成立， 所以，这样的第m 列数不存在．12．回答下列问题：（1）填空：()()a b a b -+=___________________；()()22a b a ab b -++=_____________________；()()3223a b a a b ab b -+++=______________________．（2）猜想：()()1221n n n n a b a a b ab b -----++++=___________________．（其中n 为正整数，且2n ≥）；（3）利用（2）猜想的结论计算：①10987322222222+++++++； ②10987322222222-+-+-+-．【答案】（1）22a b -；33a b -；44a b -；（2）n n a b -；（3）①2046；②682【解析】解：()()22a b a b a b -+=-； ()()22a b a ab b -++322223=++---a a b ab a b ab b33=-a b ；()()3223a b a a b ab b -+++4322332234=+++----a a b a b ab a b a b ab b44a b =-；故答案为：22a b -；33a b -；44a b -；（2）根据（1）中的规律，可得猜想：()()1221-----++++=-n n n n n b a b a a b ab b a b （其中n 为正整数，且2n ≥），故答案为：n n a b -； （3）①10987322222222+++++++1098732222222211=++++++++-10982733728910(21)(22121212121211)1=-+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+⨯+- 11211=--204811=--2046=；②10987322222222-+-+-+-1098732222222211=-+-+-+-+-109827337289101[2(1)][22(1)2(1)2(1)2(1)2(1)2(1)(1)]13=⨯--+⨯-+⨯-+⨯-++⨯-+⨯-+⨯-+--11111[2(1)]13=⨯---1=⨯-20491 3=-6831 =．682。
专练06 三角形中有关角的计算与证明-2021年中考数学压轴题专项高分突破训练(全国通用)(解析版)
专练06三角形中有关角的计算与证明1.已知△ABC ，点P 为其内部一点，连结PA 、PB 、PC ，在△PAB ，△PBC 和△PAC 中，如果存在一个三角形，其内角与△ABC 的三个内角分别相等，那么就称点P 为△ABC 的等角点.（1）判断以下两个命题是否为真命题，若为真命题，则在相应横线内写“真”；反之，则写“假”. ①内角分别为30°、60°、90°的三角形存在等角点；________命题； ②任意的三角形都存在等角点；________命题.（2）如图 ①，点P 是△ABC 的等角点，若∠BAC=∠PBC ，探究图 ①中∠BPC ，∠ABC ，∠ACP 之间的数量关系，并说明理由；（3）如图②，在△ABC 中，∠BAC<∠ABC<∠ACB ，若△ABC 的三个内角的角平分线的交点P 是该三角形的等角点，直接写出△ABC 三个内角的度数.【答案】 （1） ①内角分别为30°、60°、90°的三角形存在等角点，是真命题； ②任意的三角形都存在等角点是假命题，如等边三角形不存在等角点； 故答案为：1、真，2、假.（2）解：如图①，∵△ABC 中， ∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP ， ∠BAC=∠PBC ，∴∠BPC=∠ABP+∠PBC+∠ACP =∠ABC+∠ACP. （3）∵P 为三角形内角平分线的交点， ∵∠PBC=12∠ABC ，∠PCB=12∠ACB ， ∵P 为△ABC 的等角点，∴∠PBC=∠A，∴∠ABC=2∠PBC=2∠A，∴∠BCP=∠ABC=2∠A，∴∠ACB=2∠BCP=4∠A，又∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠A+2∠A+4∠A=180°，∴∠A=180°7，∴该三角形的三个内角的度数分别为：180°7，360°7，720°7.故答案为：180°7，360°7，720°7.2.将一块直角三角板XYZ放置在AABC上，使得该三角板的两条直角边XY，XZ恰好分别经过点B，C.（1）如图1，当∠A=45°时，∠ABC+∠ACB=________度，∠ABX+∠ACX=________度.（2）如图2，改变直角三角板XYZ的位置，使该三角板的两条直角边XY，XZ仍然分别经过点B，C，那么∠ABX+∠ACX的大小是否发生变化？若变化，请举例说明，若没有变化，请探究∠ABX+∠ACX与∠A的关系.【答案】（1）在三角形ABC中，∵∠A=45°∴∠ABC+∠ACB=180°-45°=135°∵∠A=45°∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-45°=135°∵∠YXZ=90°∴∠XBC+∠XCB=90°∴∠ABX+∠ACX=135°-90°=45°（2）解：不变化，∠ABX+∠ACX =90°-∠A，理由如下∵∠x =90°,∴∠XBC+∠XCB =90°∵∠A+∠ABC+∠ACB =180°,∴∠ABX+∠ACX =(∠ABC-∠XBC)+(∠ACB-∠XCB)=(∠ABC+∠ACB)-(∠XBC+∠XCB)=180°-∠A-90°=90°-∠A3.如图（1）如图，请证明∠A+∠B+∠C＝180°（2）如图的图形我们把它称为“8字形”，请证明∠A+∠B＝∠C+∠D（3）如图，E在DC的延长线上，AP平分∠BAD，CP平分∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D之间的关系，并证明（4）如图，AB∥CD，PA平分∠BAC，PC平分∠ACD，过点P作PM、PE交CD于M，交AB于E，则①∠1+∠2+∠3+∠4不变；②∠3+∠4﹣∠1﹣∠2不变，选择正确的并给予证明.【答案】（1）证明：如图1，延长BC到D，过点C作CE∥BA，∵BA∥CE，∴∠B＝∠1，∠A＝∠2，又∵∠BCD＝∠BCA+∠2+∠1＝180°，∴∠A+∠B+∠ACB＝180°；（2）证明：如图2，在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB＝180°，在△COD中，∠C+∠D+∠COD＝180°，∵∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D；（3）解：如图3，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵（∠1+∠2）+∠B＝（180°﹣2∠3）+∠D，∠2+∠P＝（180°﹣∠3）+∠D，∴2∠P＝180°+∠D+∠B，∴∠P＝90°+ 1（∠B+∠D）；2（4）解：②∠3+∠4﹣∠1﹣∠2不变正确.理由如下：作PQ∥AB，如图4，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，由AB∥PQ得∠APQ+∠3+∠4＝180°，即∠APQ＝180°﹣∠3﹣∠4，由PQ∥CD得∠5＝∠2，∵∠APQ+∠5+∠1＝90°，∴180°﹣∠3﹣∠4+∠2+∠1＝90°，∴∠3+∠4﹣∠1﹣∠2＝90°.4.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为直线BC上一动点（不与点B，C重合），在AD的右侧作△ACE，使得AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE.（1）当D在线段BC上时，①求证：△BAD≌△CAE.②请判断点D在何处时，AC⊥DE，并说明理由.（2）当CE∥AB时，若△ABD中最小角为26°，求∠ADB的度数.【答案】（1）解：①∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAB＝∠EAC，在△ABD和△ACE中，{AB=AC∠DAB=∠EACAD=AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）；②如图，连接DE，若AC⊥DE，又∵AD＝AE，∴AC平分∠DAE，∴∠DAB＝∠CAE＝∠CAD，∴AD平分∠CAB，又∵AB＝AC，∴BD＝CD，∴当点D在BC中点时，AC⊥DE；（2）解：当CE∥AB时，则有∠ABC＝∠ACE＝∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形，①如图1：此时∠BAD＝26°，∴∠ADB＝180°﹣∠BAD﹣∠B＝180°﹣26°﹣60°＝94°.②如图2，此时∠ADB＝26°，③如图3，此时∠BAD＝26°，∠ADB＝60°﹣26°＝34°.④如图4，此时∠ADB＝26°.综上所述，满足条件的∠ADB的度数为26°或34°或94°5.如图，P是等腰△ABC内一点，AB=BC，连接PA，PB，PC．图1 图2（1）如图1，当∠ABC=90°时，PA=2，PB=4，PC=6，求∠APB．（2）如图2，当∠ABC=60°时，PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB．【答案】（1）解：将△APB沿点B顺时针旋转90°，得到△BCP′，连接PP′，可得∠P′BP=90°，且BP=BP′=4，∴△BPP′为等腰直角三角形，∴∠BP′P=45°，PP′=4√2，在△PP′C中，PC2=62=36，P′C2+P′P2=22+(4√2)2=4+32=36，∴PC2=P′C2+P′P2，∴△PP′C为直角三角形且∠PP′C=90°，∴∠BP′C=90°，∴∠BP′C=∠BP′P+∠BP′C=45°+90°=135°，又∵旋转，∴∠APB=∠BP′C=135°（2）解：将△APB沿点B顺时针旋转60°得到△BCP′，连接PP′，可得：BP′=BP=4，∠PBP′=60°∴△PBP′为等边三角形，∴∠BP′P=60°，PP′=4，在△PP′C中，PP′2+P′C2=42+32=25，CP2=52=25，∴△PP′C为直角三角形且∠PP′C=90°，∴∠BP′C=∠BP′P+∠PP′C=60°+90°=150°，∴∠APB=∠BP′C=150°6.如图，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝40°，AD、BE交于点H，连接CH．（1）求证：ΔACD≌ΔBCE；（2）求证：CH 平分∠AHE；（3）求∠CHE的度数．【答案】（1）证明；∵∠ACB=∠DCE＝40°，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，{CA=CB∠ACD=∠BCECD=CE，∴△ACD≌△BCE（SAS）（2）证明；过点C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，∵△ACD≌△BCE，∴∠CAM=∠CBN，在△ACM和△BCN中，{∠CAM=∠CBN∠AMC=∠BNC=90°AC=BC，∴△ACM≌△BCN（AAS），∴CM=CN，∴CH平分∠AHE（3）解；∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE，∵∠AMC=∠AMC，∴∠AHB=∠ACB=40°，∴∠AHE=180°-40°＝140°，∠AHE=70º∴∠CHE= 127.我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，△AOB的内角∠AOB与△COD的内角∠COD互为对顶角，则△AOB与△COD为对顶三角形，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：∠A+∠B=∠C+∠D．（1）性质理解：如图2，在“对顶三角形” △AOB与△COD中，∠EAO=∠C，∠D=2∠B，求证：∠EAB=∠B；（2）性质应用：①如图3，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为；②如图4，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，∠BOD=∠A．若∠ECD比∠DBE大20∘，求∠BDO的度数；（3）拓展提高：如图5，已知BE，CD是△ABC的角平分线，且∠BDC和∠BEC的平分线DP和EP相交于点P，设∠A=α，求∠P的度数（用α表示∠P）．【答案】（1）证明：据题意，得∠BAO+∠B=∠C+∠D，∴∠BAO−∠C=∠D−∠B，∵∠EAO=∠C，∠D=2∠B，∴∠BAE=∠B（2）解：①∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠C+∠B+∠E+∠D=∠FGD+∠GFD+∠D=180°；故答案为：180°；②由题意得∠ECD−∠DBE=20°，由（1）得∠EBD+∠BDO=∠ECO+∠OEC，∴∠BDO−∠OEC=20°，∵∠BOD=∠A，∴∠A+∠DOE=180°，故∠ADO+∠AEO=180°，∵∠AEO+∠CEO=∠BDO+∠ADO=180°，∴∠BDO=∠AEO，∴∠BDO+∠CEO=180°，∵∠BDO−∠OEC=20°，∴∠BDO=100°；（3）解：∠P=180∘−α4，理由如下：∵∠BDC和∠BEC的平分线DP和EP相交于点P，∴∠BDP=∠CDP，∠BEP=∠CEP，由（1）得∠BDP+∠DBE=∠BEP+∠P①，∠CDP+∠P=∠CEP+∠DCE②，由①−②得∠DBE−∠P=∠P−∠DCE，∴∠P=12(∠DBE+∠DCE)，即∠P=14(∠ABC+∠ACB)，∴∠P=14(180°−∠A)=180°−α48.已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F，（1）如图1，若∠ACD=60°，则∠AFB=________；如图2，若∠ACD=90°，则∠AFB=________；如图3，若∠ACD=120°，则∠AFB=________；（2）如图4，若∠ACD=α，则∠AFB=________（用含α的式子表示）；（3）将图4中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），变成如图5所示的情形，若∠ACD=α，则∠AFB与α的有何数量关系？并给予证明.【答案】（1）如图1，CA=CD，∠ACD=60°，所以△ACD是等边三角形.∵CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°，所以△ECB是等边三角形.∵AC=DC，∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠BCD=∠BCE+∠DCE，又∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACE=∠BCD.∵AC=DC，CE=BC，∴△ACE≌△DCB.∴∠EAC=∠BDC.∠AFB是△ADF的外角.∴∠AFB=∠ADF+∠FAD=∠ADC+∠CDB+∠FAD=∠ADC+∠EAC+∠FAD=∠ADC+∠DAC=120°.如图2，∵AC=CD，∠ACE=∠DCB=90°，EC=CB，∴△ACE≌△DCB.∴∠AEC=∠DBC，又∵∠FDE=∠CDB，∠DCB=90°，∴∠EFD=90°.∴∠AFB=90°.如图3，∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACD﹣∠DCE=∠BCE﹣∠DCE.∴∠ACE=∠DCB.又∵CA=CD，CE=CB，∴△ACE≌△DCB.∴∠EAC=∠BDC.∵∠BDC+∠FBA=180°﹣∠DCB=180°﹣（180﹣∠ACD）=120°，∴∠FAB+∠FBA=120°.∴∠AFB=60°.故答案为：120°，90°，60°；（2）∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE.∴∠ACE=∠DCB.∴∠CAE=∠CDB.∴∠DFA=∠ACD.∴∠AFB=180°﹣∠DFA=180°﹣∠ACD=180°﹣α.故答案为：180°﹣α；（3）解：∠AFB=180°﹣α；证明：∵∠ACD=∠BCE=α，则∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠DCB.在△ACE和△DCB中{AC=DC∠ACE=∠DCBCE=CB，则△ACE≌△DCB（SAS）.则∠CBD=∠CEA，由三角形内角和知∠EFB=∠ECB=α.∠AFB=180°﹣∠EFB=180°﹣α.9.己知∠ABC=90°，AB=2，BC=3，AD∥BC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足PQPC=AQAB(如图1所示)（1）当AD=2，且点Q与点B重合时(如图2所示)，求线段PC的长；（2）在图1中，联结AP，当AD= 32，且点Q在线段AB上时，设点B、Q之间的距离为x，S△APQS△PBC=y，其中S△APQ表示S△APQ的面积，S△PBC表示△PBC的面积，求y关于x的函数关系式，并写出函数定义域；（3）当AD<AB，且点Q在线段AB的延长线上时(如图3所示)，求∠QPC的大小【答案】（1）解：∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠BAD=∠ABC=90°，当AD=2时，AD=AB，∴∠D=∠ABD=45°，∴∠PQC=∠D=45°，∵PQPC =AQAB，∴PQ=PC，∴∠C=∠PQC=45°，∴∠BPC=90°，∴PC=BC·sin45°=3√22（2）解：如图，作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，∵∠ABC=90°， ∴四边形EBFP 是矩形， ∴PF=BE ， 又∵∠BAD=90°， ∴PE ∥AD ，∴Rt △BEP ∽Rt △BAD ， ∴BE BA =EPAD ， ∴BEEP =BAAD =232=43， 设BE=4k ，则PE=3k ， ∴PF=BE=4k ，∵BQ=x ，AQ=AB-BQ=2-x ，∴S △APQ =12AQ·PE=12（2-x ）·3k ，S △PBC =12BC·PF=12×3×4k=6k ， ∵S △APQS △PBC=y ，∴12（2−x ）·3k 6k =y ，∴y=2−x 4（0≤x ≤78）；（3）解：∵Rt △BEP ∽Rt △BAD ， ∴BE BA =EPAD ，∴BEEP =BAAD ∴PFEP =BAAD ， ∵PCPQ =BAAD ， ∴PFEP =PCPQ ， ∴Rt △PCF ∽Rt △PQE ， ∴∠FPC=∠EPQ ，∵∠EPQ+∠QPF=∠EPF=90°，∴∠FPC+∠QPF=90°，即∠QPC=90°。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
目录1.6 因动点产生的面积问题例1 2012年菏泽市中考第21题例2 2012年河南省中考第23题例3 2011年南通市中考第28题例4 2011年上海市松江区中考模拟第24题例5 2010年广州市中考第25题例6 2010年扬州市中考第28题例7 2009年兰州市中考第29题1.6 因动点产生的面积问题例 1 2012年菏泽市中考第21题如图1，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A(0, 1)、B(2, 0)、O(0, 0)，将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到三角形A′B′O．（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；（2）设点P是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质．图1动感体验请打开几何画板文件名“12菏泽21”，拖动点P在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，当四边形PB ′A ′B 是等腰梯形时，四边形PB ′A ′B 的面积是△A ′B ′O 面积的4倍．请打开超级画板文件名“12菏泽21”，拖动点P 在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，当四边形PB ′A ′B 是等腰梯形时，四边形PB ′A ′B 的面积是△A ′B ′O 面积的4倍．思路点拨1．四边形PB ′A ′B 的面积是△A ′B ′O 面积的4倍，可以转化为四边形PB ′OB 的面积是 △A ′B ′O 面积的3倍．2．联结PO ，四边形PB ′OB 可以分割为两个三角形．3．过点向x 轴作垂线，四边形PB ′OB 也可以分割为一个直角梯形和一个直角三角形．满分解答（1）△AOB 绕着原点O 逆时针旋转90°，点A ′、B ′的坐标分别为(－1, 0) 、(0, 2)． 因为抛物线与x 轴交于A ′(－1, 0)、B (2, 0)，设解析式为y ＝a (x ＋1)(x －2)， 代入B ′(0, 2)，得a ＝1．所以该抛物线的解析式为y ＝－(x ＋1)(x －2) ＝－x 2＋x ＋2． （2）S △A ′B ′O ＝1．如果S 四边形PB ′A ′B ＝4 S △A ′B ′O ＝4，那么S 四边形PB ′OB ＝3 S △A ′B ′O ＝3． 如图2，作PD ⊥OB ，垂足为D ． 设点P 的坐标为 (x ，－x 2＋x ＋2)．232'1111(')(22)22222PB OD S DO B O PD x x x x x x =+=-++=-++梯形．2321113(2)(2)22222PDB S DB PD x x x x x ∆=⨯=--++=-+． 所以2'''2+2PDB PB A D PB OD S S S x x ∆=+=-+四边形梯形． 解方程－x 2＋2x ＋2＝3，得x 1＝x 2＝1．所以点P 的坐标为(1，2)．图2 图3 图4（3）如图3，四边形PB ′A ′B 是等腰梯形，它的性质有：等腰梯形的对角线相等；等腰梯形同以底上的两个内角相等；等腰梯形是轴对称图形，对称轴是经过两底中点的直线．考点伸展第（2）题求四边形PB ′OB 的面积，也可以如图4那样分割图形，这样运算过程更简单．'11'222PB O P S B O x x x ∆=⋅=⨯=． 22112(2)222PBOP S BO y x x x x ∆=⋅=⨯-++=-++． 所以2'''2+2PB O PBO PB A D S S S x x ∆∆=+=-+四边形．甚至我们可以更大胆地根据抛物线的对称性直接得到点P ：作△A ′OB ′关于抛物线的对称轴对称的△BOE ，那么点E 的坐标为(1，2)．而矩形EB ′OD 与△A ′OB ′、△BOP 是等底等高的，所以四边形EB ′A ′B 的面积是△A ′B ′O 面积的4倍．因此点E 就是要探求的点P ．例 2 2012年河南省中考第23题如图1，在平面直角坐标系中，直线112y x=+与抛物线y＝ax2＋bx－3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．（1）求a、b及sin∠ACP的值；（2）设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；②连结PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“12河南23”，拖动点P在直线AB下方的抛物线上运动，可以体验到，PD随点P运动的图象是开口向下的抛物线的一部分，当C是AB的中点时，PD 达到最大值．观察面积比的度量值，可以体验到，左右两个三角形的面积比可以是9∶10，也可以是10∶9．思路点拨1．第（1）题由于CP//y轴，把∠ACP转化为它的同位角．2．第（2）题中，PD＝PC sin∠ACP，第（1）题已经做好了铺垫．3．△PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的比．4．两个三角形的面积比为9∶10，要分两种情况讨论．满分解答（1）设直线112y x=+与y轴交于点E，那么A(－2,0)，B(4,3)，E(0,1)．在Rt △AEO 中，OA ＝2，OE ＝1，所以AE sin AEO ∠=．因为PC //EO ，所以∠ACP ＝∠AEO ．因此sin ACP ∠ 将A (－2,0)、B (4,3)分别代入y ＝ax 2＋bx －3，得4230,1643 3.a b a b --=⎧⎨+-=⎩解得12a =，12b =-． （2）由211(,3)22P m m m --，1(,1)2C m m +，得221111(1)(3)42222PC m m m m m =+---=-++．所以221sin 4)1)2PD PC ACP PC m m m =∠==-++=-．所以PD （3）当S △PCD ∶S △PCB ＝9∶10时，52m =； 当S △PCD ∶S △PCB ＝10∶9时，329m =．图2考点伸展第（3）题的思路是：△PCD 与△PCB 是同底边PC 的两个三角形，面积比等于对应高DN 与BM 的比．而211cos cos 4)(2)(4)25DN PD PDN PD ACP m m m m =∠=∠-++=-+-，BM ＝4－m ．①当S △PCD ∶S △PCB ＝9∶10时，19(2)(4)(4)510m m m -+-=-．解得52m =．②当S △PCD ∶S △PCB ＝10∶9时，110(2)(4)(4)59m m m -+-=-．解得329m =．例 3 2011年南通市中考第28题如图1，直线l经过点A(1，0)，且与双曲线myx=(x＞0)交于点B(2，1)．过点(,1)P p p-(p＞1)作x轴的平行线分别交曲线myx=(x＞0)和myx=-(x＜0)于M、N两点．（1）求m的值及直线l的解析式；（2）若点P在直线y＝2上，求证：△PMB∽△PNA；（3）是否存在实数p，使得S△AMN＝4S△AMP？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由．图1请打开几何画板文件名“11南通28”，拖动点P 在射线AB 上运动，可以体验到，当直线MN 经过（0，2）点时，图形中的三角形都是等腰直角三角形；△AMN 和△AMP 是两个同高的三角形，MN ＝4MP 存在两种情况．思路点拨1．第（2）题准确画图，点的位置关系尽在图形中．2．第（3）题把S △AMN ＝4S △AMP 转化为MN ＝4MP ，按照点M 与线段NP 的位置关系分两种情况讨论．满分解答（1）因为点B (2，1)在双曲线my x =上，所以m ＝2．设直线l 的解析式为y kx b =+，代入点A (1，0)和点B (2，1)，得0,2 1.k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得1,1.k b =⎧⎨=-⎩ 所以直线l 的解析式为1y x =-． （2）由点(,1)P p p -(p ＞1)的坐标可知，点P 在直线1y x =-上x 轴的上方．如图2，当y ＝2时，点P 的坐标为(3，2)．此时点M 的坐标为(1，2)，点N 的坐标为(－1，2)．由P (3，2)、M (1，2)、B (2，1)三点的位置关系，可知△PMB 为等腰直角三角形． 由P (3，2)、N (－1，2)、A (1，0)三点的位置关系，可知△PNA 为等腰直角三角形． 所以△PMB ∽△PNA ．图2 图3 图4（3）△AMN 和△AMP 是两个同高的三角形，底边MN 和MP 在同一条直线上． 当S △AMN ＝4S △AMP 时，MN ＝4MP ．①如图3，当M 在NP 上时，x M －x N ＝4(x P －x M )．因此222()4(1)x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解得x 或x =P 在x 轴下方，舍去）．此时p = ②如图4，当M 在NP 的延长线上时，x M －x N ＝4(x M －x P )．因此222()4(1)x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解得x =或x =P 在x 轴下方，舍去）．此时p =在本题情景下，△AMN能否成为直角三角形？情形一，如图5，∠AMN＝90°，此时点M的坐标为（1，2），点P的坐标为（3，2）．情形二，如图6，∠MAN＝90°，此时斜边MN上的中线等于斜边的一半．不存在∠ANM＝90°的情况．图5 图6例4 2011年上海市松江区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A、C 分别在x轴、y轴的正半轴上，CB∥OA，OC＝4，BC＝3，OA＝5，点D在边OC上，CD ＝3，过点D作DB的垂线DE，交x轴于点E．（1）求点E的坐标；（2）二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过点B和点E．①求二次函数的解析式和它的对称轴；②如果点M在它的对称轴上且位于x轴上方，满足S△CEM＝2S△ABM，求点M的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“11松江24”，拖动点M在抛物线的对称轴上运动，观察面积比的度量值，可以体验到，有两个时刻，面积的比值等于2．思路点拨1．这三道题目步步为赢，错一道题目，就要影响下一道的计算．2．点M在抛物线的对称轴上且位于x轴上方，要分两种情况讨论，分别为点M在线段FB和FB的延长线上．因为用点M的纵坐标表示△ABM的底边长，因点M的位置不同而不同．满分解答（1）因为BC∥OA，所以BC⊥CD．因为CD＝CB＝3，所以△BCD是等腰直角三角形．因此∠BCD＝45°．又因为BC⊥CD，所以∠ODE＝45°．所以△ODE是等腰直角三角形，OE＝OD＝1．所以点E的坐标是（1，0）．（2）①因为抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点B （3，4）和点E （1，0），所以934,10.b c b c -++=⎧⎨-++=⎩解得6,5.b c =⎧⎨=-⎩所以二次函数的解析式为y ＝－x 2＋6x －5，抛物线的对称轴为直线x ＝3．②如图2，如图3，设抛物线的对称轴与x 轴交于点F ，点M 的坐标为（3，t ）．CEM MEF COE OFMC S S S S ∆∆∆=--梯形111(4)321442222tt t =+⨯-⨯⨯-⨯⨯=+． （ⅰ）如图2，当点M 位于线段BF 上时，t t S ABM -=⨯-=∆42)4(21．解方程)4(242t t -=+，得58=t ．此时点M 的坐标为（3，58）．（ⅱ）如图3，当点M 位于线段FB 延长线上时，42)4(21-=⨯-=∆t t S ABM ．解方程)4(242-=+t t，得8=t ．此时点M 的坐标为（3，8）．图2 图3考点伸展对于图2，还有几个典型结论：此时，C 、M 、A 三点在同一条直线上；△CEM 的周长最小． 可以求得直线AC 的解析式为445y x =-+，当x ＝3时，85y =．因此点M （3，58）在直线AC 上． 因为点A 、E 关于抛物线的对称轴对称，所以ME ＋MC ＝MA ＋MC ． 当A 、M 、C 三点共线时，ME ＋MC 最小，△CEM 的周长最小．例5 2010年广州市中考第25题如图1，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线12y x b=-+交折线OAB于点E．（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“10广州25”，拖动点D由C向B运动，观察S随b变化的函数图象，可以体验到，E在OA上时，S随b的增大而增大；E在AB上时，S随b的增大而减小．双击按钮“第（3）题”，拖动点D由C向B运动，可以观察到，E在OA上时，重叠部分的形状是菱形，面积不变．双击按钮“第（2）题”可以切换．思路点拨1．数形结合，用b表示线段OE、CD、AE、BE的长．2．求△ODE的面积，要分两种情况．当E在OA上时，OE边对应的高等于OC；当E 在AB边上时，要利用割补法求△ODE的面积．3．第（3）题中的重叠部分是邻边相等的平行四边形．4．图形翻着、旋转等运动中，计算菱形的边长一般用勾股定理．满分解答(1)①如图2，当E在OA上时，由12y x b=-+可知，点E的坐标为(2b,0)，OE＝2b．此时S＝S△ODE＝112122OE OC b b⋅=⨯⨯=．②如图3，当E在AB上时，把y＝1代入12y x b=-+可知，点D的坐标为(2b－2,1)，CD＝2b－2，BD＝5－2b．把x＝3代入12y x b=-+可知，点E的坐标为3(3,)2b-，AE＝32b-，BE＝52b-．此时S＝S矩形OABC－S△OAE－S△BDE－S△OCD＝1315133()()(52)1(22)22222b b b b-⨯-----⨯⨯-252b b=-+．(2)如图4，因为四边形O1A1B1C1与矩形OABC关于直线DE对称，因此DM＝DN，那么重叠部分是邻边相等的平行四边形，即四边形DMEN是菱形．作DH⊥OA，垂足为H．由于CD＝2b－2，OE＝2b，所以EH＝2．设菱形DMEN的边长为m．在Rt△DEH中，DH＝1，NH＝2－m，DN＝m，所以12＋(2－m)2＝m2．解得54m=．所以重叠部分菱形DMEN的面积为54．图2 图3 图4考点伸展把本题中的矩形OABC 绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形（如图5），那么这个菱形的最小面积为1，如图6所示；最大面积为53，如图7所示．图5 图6 图7例 6 2010年扬州市中考第28题如图1，在△ABC中，∠C＝90°，A C＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE＝x，△AEF的面积为y．（1）求线段AD的长；（2）若EF⊥AB，当点E在斜边AB上移动时，①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；②当x取何值时，y有最大值？并求出最大值．（3）若点F在直角边AC上（点F与A、C不重合），点E在斜边AB上移动，试问，是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“10扬州28”，拖动点E在AB上运动，从y随x变化的图象可以体验到，当F在AC上时，y随x的增大而增大；当F在BC上时，y随x变化的图象是开口向下的抛物线的一部分，y的最大值对应抛物线的顶点．双击按钮“第（3）题”，我们已经设定好了EF平分△ABC的周长，拖动点E，观察图象，可以体验到，“面积AEF”的值可以等于3，也就是说，存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分．双击按钮“第（2）题”可以切换。