新疆乌鲁木齐地区2015届高三第二次诊断性测试数学(理)试题(扫描版)
新疆乌鲁木齐市2015年高考数学三诊试卷(理科)
2015年新疆乌鲁木齐市高考数学三诊试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合M=|x|x2﹣2x＜0|，N=|x|x＞1|，则M∩∁R N=（）A． [1，2） B．（1，2） C． [0，1） D．（0，1]2．已知a∈R，复数z=是纯虚数（i是虚数单位），则a=（）A．﹣ B．﹣1 C． 1 D．3．“a=1”是“直线x﹣ay﹣2=0与直线2ax﹣（a﹣3）y+1=0垂直”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不不必要条件4．执行如图所示的程序框图，若输入x=8，则输出y的值为（）A．﹣ B． C． D． 35．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． 1 B． C． D．6．等比数列{a n}满足a2+8a5=0，设S n是数列{}的前n项和，则=（）A．﹣11 B．﹣8 C． 5 D． 117．已知向量，，且，则||的最小值为（）A． 0 B． 1 C． 2 D． 38．若θ∈[，]，tan2θ=﹣3，则sinθ=（）A． B． C． D．9．过点M（2，1）且斜率为1的直线与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，且M为AB 的中点，则p的值为（）A． B． 1 C． D． 210．奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=3x+，则f（log354）=（）A．﹣2 B．﹣ C． D． 211．在棱长均相等的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为BB1的中点，F在AC1上，且DF⊥AC1，则下述结论：①AC1⊥BC；②AF=FC1；③平面DAC1⊥平面ACC1A1，其中正确的个数为（）A． 0 B． 1 C． 2 D． 312．已知a、b、c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若A=，则a（cosC+sinC）=（）A． a+b B． b+c C． a+c D． a+b+c二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值．14．甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，已知甲、乙相邻，则甲、丙相邻的概率为．15．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交双曲线的右支于A，B两点，若△ABF1是以A为直角顶点的等腰三角形，e为双曲线的离心率，则e2= ．16．已知数列{a n}满足a1=1，a n+a n+1=2n+1，n∈N*，S n是数列{}的前n项和，则下列结论：①S2n﹣1=（2n﹣1）•；②S2n=S n；③S2n≥﹣+S n；④S2n≥S n+，其中正确的是（填写所有正确结论的序号）．三、解答题（共5小题，满分60分）17．若函数f（x）=sin2ax﹣sinax•cosax﹣（a＞0）的图象与直线y=b相切，并且切点的横坐标依次成公差为的等差数列．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若x0∈[0，]，且x0是y=f（x）的零点，试写出函数y=f（x）在[x0，x0+]上的单调增区间．18．如图，正方体A1B1C1D1﹣ABCD中，E，F分别是AD，BC1的中点．（1）求证：EF∥平面C1CDD1；（2）在线段A1B上是否存在点G，使得EG⊥平面A1BC1？若存在，求二面角A1﹣C1G﹣C的平面角的余弦值；若不存在，请说明理由．19．某保险公司推出了一种保期为一年的险种：若投保人在投保一年内意外死亡，则公司赔偿20万元，若投保人因大病住院治疗（医疗费超过10万元者），则公司赔付10万元，否则公司无需赔付任何费用，通过大数据显示投保人在一年意外死亡的概率为0.0001，大病住院治疗的概率为0.002．（Ⅰ）某个家庭的夫妻两人都买了此险种，求他们在投保期末获得赔付金额的分布列和期望；（Ⅱ）若有一万个客户投保，每份保单的投保费用是300元/年，问保险公司在此险种中一年的盈利是多少．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，点A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，且|AB|=．（Ⅰ）试求椭圆的方程；（Ⅱ）斜率为的直线l与椭圆交于P、Q两点，点P在第一象限，求证A、P、B、Q四点共圆．21．已知函数f（x）=（e x﹣1）ln（x+a）（a＞0）在x=0处取得极值．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）当x≥0时，求证f（x）≥x2．选做题：选修4-1：几何证明选讲（共1小题，满分10分）22．如图，已知PA与半圆O切于点A，PO交半圆O于点B、C，AD⊥PO于点D．（Ⅰ）求证AB平分∠PAD；（Ⅱ）求证．选修4-4：坐标系与参数方程（共1小题，满分0分）23．在平面直角坐标系xOy中，曲线（a＞b＞0，φ为参数，0≤φ＜2π）上的两点A、B对应的参数分别为α，α+．（1）求AB中点M的轨迹的普通方程；（2）求点O到直线AB的距离的最大值和最小值．选修4-5：不等式选讲（共1小题，满分0分）24．已知实数a，b，c满足a2+b2+c2=3．（Ⅰ）求证a+b+c≤3；（Ⅱ）求证．2015年新疆乌鲁木齐市高考数学三诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合M=|x|x2﹣2x＜0|，N=|x|x＞1|，则M∩∁R N=（）A． [1，2） B．（1，2） C． [0，1） D．（0，1]考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出集合M，利用集合的基本运算进行求解即可．解答：解：∵M={x|0＜x＜2}，∁R N={x|x≤1}，∴M∩∁R N={x|0＜x≤1}=（0，1]．故选D．点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．已知a∈R，复数z=是纯虚数（i是虚数单位），则a=（）A．﹣ B．﹣1 C． 1 D．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题；数系的扩充和复数．分析：化简复数z，并且按照纯虚数的定义列出方程组，求出a的值．解答：解：∵，由题意，得且，∴a=﹣1．故选：B．点评：本题考查了复数的代数运算与纯虚数的概念，是基础题目．3．“a=1”是“直线x﹣ay﹣2=0与直线2ax﹣（a﹣3）y+1=0垂直”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据直线平行的条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：∵“直线x﹣ay﹣2=0与直线2ax﹣（a﹣3）y+1=0垂直”的充要条件是“2a+a （a﹣3）=0也就是a=0或a=1”，所以“a=1”是“直线x﹣ay﹣2=0与直线2ax﹣（a﹣3）y+1=0垂直”的充分不必要条件．故选：A．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用直线平行的条件是解决本题的关键．4．执行如图所示的程序框图，若输入x=8，则输出y的值为（）A．﹣ B． C． D． 3考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算y值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．解答：解：第一次执行循环体后，y=3，此时|y﹣x|=5，不满足退出循环的条件，则x=3 第二次执行循环体后，y=，此时|y﹣x|=，满足退出循环的条件，故输出的y值为故选：B点评：本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，模拟程序的运行过程是解答此类问题最常用的办法．5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． 1 B． C． D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为直角梯形的直四棱锥，结合图中数据求出它的体积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为直角梯形的直四棱锥，如图所示；所以，该四棱锥的底面积为S底=×（+1）×1=，它的体积为V四棱锥P﹣ABCD=××1=．故选：D．点评：本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目．6．等比数列{a n}满足a2+8a5=0，设S n是数列{}的前n项和，则=（）A．﹣11 B．﹣8 C． 5 D． 11考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：设等比数列{a n}的公比为q，由a2+8a5=0，解得q=﹣，可得数列{}是等比数列，首项为，公比为﹣2．利用等比数列的前n项和公式即可得出．解答：解：由a2+8a5=0，得，解得，易知是等比数列，公比为﹣2，首项为，∴，，∴．故选：A．点评：本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．已知向量，，且，则||的最小值为（ ）A ． 0B ． 1C ． 2D ． 3考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 平面向量及应用．分析： 首先求出xy ，然后利用x ，y 表示||，利用基本不等式求最小值． 解答： 解：由题意，因为向量，，且， 所以xy=2，所以||2=（x+y ）2+1=x 2+y 2+2xy+1≥4xy+1=9，所以||≥3；故选D ．点评： 本题考查了向量的坐标运算以及利用基本不等式求最值． 8．若θ∈[，]，tan2θ=﹣3，则sin θ=（ ）A ．B ．C ．D ．考点： 二倍角的正切；同角三角函数基本关系的运用． 专题： 三角函数的求值．分析： 由同角三角函数基本关系结合范围可求cos2θ，由二倍角公式即可求值． 解答： 解：∵，∴，∴cos2θ＜0，由，得，而，∴．故选C ．点评： 本题主要考查了同角三角函数基本关系，二倍角公式的应用，解题时要注意分析角的范围，属于基础题．9．过点M （2，1）且斜率为1的直线与抛物线y 2=2px （p ＞0）交于A ，B 两点，且M 为AB 的中点，则p 的值为（ ）A ．B ． 1C ．D ． 2考点： 抛物线的简单性质．专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析： 利用点差法，结合直线的斜率，即可求出p 的值． 解答： 解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则，，两式相减，得（y1﹣y2）（y1+y2）=2p（x1﹣x2），依题意x1≠x2，∴，于是y1+y2=2p=2，因此p=1．故选B．点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查点差法的运用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．10．奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=3x+，则f（log354）=（）A．﹣2 B．﹣ C． D． 2考点：函数的周期性；对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：由f（x+2）=﹣f（x）得f（x+4）=f（x），可得到函数f（x）的周期是4，利用对数的运算性质、函数的周期性和奇偶性，将f（log354）转化为﹣，代入函数解析式求出的值，即可得到f（log354）的值．解答：解：∵f[（x+2）+2]=﹣f（x+2）=f（x），∴f（x）是以4为周期的奇函数，又∵，∵，∴，∴f（log354）=﹣2，故选：A．点评：本题考查函数的周期性和奇偶性的综合应用，以及对数的运算性质，考查转化思想，属于中档题．11．在棱长均相等的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为BB1的中点，F在AC1上，且DF⊥AC1，则下述结论：①AC1⊥BC；②AF=FC1；③平面DAC1⊥平面ACC1A1，其中正确的个数为（）A． 0 B． 1 C． 2 D． 3考点：空间中直线与直线之间的位置关系；命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；简易逻辑．分析：设出棱长，通过直线与直线的垂直判断直线与直线的平行，推出①的正误；判断F 是AC1的中点推出②正误；利用直线与平面垂直推出排名与平面垂直推出③正误；解答：解：不妨设棱长为：2，对于①连结AB1，则AB1=AC1=2，∴∠AC1B1=90°即AC1与B1C1不垂直，又BC∥B1C1，∴①不正确；对于②，连结AD，DC1，在△ADC1中，AD=DC1=，而DF⊥AC1，∴F是AC1的中点，AF=FC1；∴②正确；对于③由②可知，在△ADC1中，DF=，连结CF，易知CF=，而在Rt△CBD中，CD=，∴DF2+CF2=CD2，即DF⊥CF，又DF⊥AC1，∴DF⊥面ACC1A1，∴平面DAC1⊥平面ACC1A1，∴③正确；故选：C．点评：本题考查命题的真假的判断，棱锥的结构特征，直线与平面垂直，直线与直线的位置关系的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．12．已知a、b、c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若A=，则a（cosC+sinC）=（）A． a+b B． b+c C． a+c D． a+b+c考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由正弦定理可得：a=2RsinA代入已知式子，由三角函数恒等变换的应用化简即可得解．解答：解：∵由正弦定理可得：a=2RsinA∴=2RsinAcosC=2RsinAcosC+3RsinC==2R（sinAcosC+cosAsinC+sinC）=2R[sin（A+C）+sinC]=2R（sinB+sinC）=b+c．故选：B．点评：本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形内角和定理的应用，属于基本知识的考查．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值﹣8 ．考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：作出变量x，y满足约束条件所对应的平面区域，采用直线平移的方法，将直线l：平移使它经过区域上顶点A（﹣2，2）时，目标函数达到最小值﹣8解答：解：变量x，y满足约束条件所对应的平面区域为△ABC如图，化目标函数z=x﹣3y 为将直线l：平移，因为直线l在y轴上的截距为﹣，所以直线l越向上移，直线l在y轴上的截距越大，目标函数z的值就越小，故当直线经过区域上顶点A时，将x=﹣2代入，直线x+2y=2，得y=2，得A（﹣2，2）将A（﹣2，2）代入目标函数，得达到最小值z min=﹣2﹣3×2=﹣8故答案为：﹣8点评：本题考查了用直线平移法解决简单的线性规划问题，看准直线在y轴上的截距的与目标函数z符号的异同是解决问题的关键．14．甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，已知甲、乙相邻，则甲、丙相邻的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析： 4人排成一排，其中甲、乙相邻的情况有12种，其中甲丙相邻的只有4种，由此能求出甲乙相邻，则甲丙相邻的概率．解答：解：甲、乙相邻的方法有=12种情况，如果满足甲、丙相邻，则有=4种情况，所以所求的概率为P==．故答案为：．点评：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．15．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交双曲线的右支于A，B两点，若△ABF1是以A为直角顶点的等腰三角形，e为双曲线的离心率，则e2= 5﹣2．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：可设|F1F2|=2c，|AF1|=m，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF1|=m，|BF1|=m，再由双曲线的定义，可得m，再由勾股定理，可得a，c的方程，运用离心率公式计算即可得到．解答：解：设|AF2|=m，由|AF1|﹣|AF2|=2a，∴|AF1|=2a+|AF2|=2a+m，又|AF1|=|AB|=|AF2|+|BF2|=m+|BF2|，∴|BF2|=2a，又|BF1|﹣|BF2|=2a，∴|BF1|=4a，依题意，即，，在Rt△F1AF2中，即，即，∴e2=．故答案为：5﹣2．点评：本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，同时考查勾股定理的运用，灵活运用双曲线的定义是解题的关键．16．已知数列{a n}满足a1=1，a n+a n+1=2n+1，n∈N*，S n是数列{}的前n项和，则下列结论：①S2n﹣1=（2n﹣1）•；②S2n=S n；③S2n≥﹣+S n；④S2n≥S n+，其中正确的是③④（填写所有正确结论的序号）．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：易知，a2=2，由a n+a n+1=2n+1，a n+1+a n+2=2n+3，两式相减，得a n+2﹣a n=2，即此数列每隔一项成等差数列，可得a n=n．①令n=2，即可判断出正误；②令n=1，即可判断出正误；③作差，利用，即可判断出正误；④作差：，设，判断出其单调性，即可判断出正误．解答：解：易知，a2=2，由a n+a n+1=2n+1，a n+1+a n+2=2n+3，两式相减，得a n+2﹣a n=2，即此数列每隔一项成等差数列，由a1=1，可得数列1的奇数项为1，3，5，…，由a2=2，可得其偶数项为2，4，6，…，故a n=n．①令n=2，，，，①错；②令n=1，，，，②错；③∵，又2n＞2n﹣1，∴，∴，故③正确；④∵，设，∵，∴f（n+1）＞f（n），∴f（n）单增，∴，∴，∴（n∈N*），故④正确．综上可得：只有③④正确．故答案为：③④．点评：本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式及其前n项和公式、数列的单调性，考查了“作差法”、推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分60分）17．若函数f（x）=sin2ax﹣sinax•cosax﹣（a＞0）的图象与直线y=b相切，并且切点的横坐标依次成公差为的等差数列．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若x0∈[0，]，且x0是y=f（x）的零点，试写出函数y=f（x）在[x0，x0+]上的单调增区间．考点：三角函数中的恒等变换应用；等差数列的通项公式；正弦函数的图象．专题：等差数列与等比数列；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由三角函数中的恒等变换应用化简解析式可得f（x）=，根据题意b为f（x）的最大值或最小值，可求b，由已知求周期后，根据周期公式即可求得a．（Ⅱ）由题意知，则可求，由得k的值，从而可分类讨论得解．解答：（本题满分为12分）解：（Ⅰ）=∵y=f（x）的图象与直线y=b相切，∴b为f（x）的最大值或最小值，即b=﹣1或b=1，∵切点横坐标依次成公差为的等差数列，∴f（x）的最小正周期为，即，a＞0，∴a=2，即；…（6分）（Ⅱ）由题意知，则，∴，由得k=1或k=2，因此或．当时，y=f（x）的单调增区间为和，当时，y=f（x）的单调增区间为．…（12分）点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，等差数列的通项公式，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．18．如图，正方体A1B1C1D1﹣ABCD中，E，F分别是AD，BC1的中点．（1）求证：EF∥平面C1CDD1；（2）在线段A1B上是否存在点G，使得EG⊥平面A1BC1？若存在，求二面角A1﹣C1G﹣C的平面角的余弦值；若不存在，请说明理由．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）过E作EH∥CD，连接FH，只要证明平面EFH∥平面C1CDD1即可；（2）假设在线段A1B上存在点G，使得EG⊥平面A1BC1；设正方体的棱长为2，以A原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴，分别求出平面A1BC1？的法向量以及的坐标，利用向量的数量积解答．解答：证明：（1）过E作EH∥CD，连接FH，则FH∥CC1，所以平面EFH∥平面C1CDD1；所以EF∥平面C1CDD1；（2）假设在线段A1B上存在点G，使得EG⊥平面A1BC1；设正方体的棱长为2，以A原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴，如图：则=（2，0，﹣2），=（2，2，2），设平面A1BC1的法向量为=（x，y，z），则，令x=1，则=（1，﹣2，1），G（a，0，c），则=（a，﹣1，c），要使EG⊥平面A1BC1，只要，所以，所以a=c=，所以在线段A1B上存在点G，使得EG⊥平面A1BC1；由以上可知是平面A1GC1的一个法向量；设平面CGC1的法向量为=（x'，y'，z'），则且，所以，令y'=1，则=（﹣2，1，0）为平面CGC1的一个法向量，所以二面角A1﹣C1G﹣C的平面角的余弦值为=．点评：本题考查证明线面平行的方法，关键是将问题转为线线平行解决，体现了转化的思想．19．某保险公司推出了一种保期为一年的险种：若投保人在投保一年内意外死亡，则公司赔偿20万元，若投保人因大病住院治疗（医疗费超过10万元者），则公司赔付10万元，否则公司无需赔付任何费用，通过大数据显示投保人在一年意外死亡的概率为0.0001，大病住院治疗的概率为0.002．（Ⅰ）某个家庭的夫妻两人都买了此险种，求他们在投保期末获得赔付金额的分布列和期望；（Ⅱ）若有一万个客户投保，每份保单的投保费用是300元/年，问保险公司在此险种中一年的盈利是多少．考点：离散型随机变量的期望与方差；函数模型的选择与应用．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）求出随机变量的概率，即可求出对应的分布列和期望；（Ⅱ）根据分布列进行求解即可．解答：解：（Ⅰ）设夫妻两人在投保期末获得赔付的金额为ξ，ξ可取40，30，20，10，0（单位：万元），，，，，则对应的分布列为：ξ 0 10 20 30 40P（万元），（Ⅱ）10000人向保险公司缴纳的保险费为10000×300（元）=300（万元），保险公司为10000人赔付的费用为（万元），所以保险公司一年的盈利为300﹣220=80（万元）．…（12分）点评：本题主要考查与概率有关的应用问题，求出对应的概率是解决本题的关键．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，点A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，且|AB|=．（Ⅰ）试求椭圆的方程；（Ⅱ）斜率为的直线l与椭圆交于P、Q两点，点P在第一象限，求证A、P、B、Q四点共圆．考点：椭圆的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）运用离心率公式和两点的距离公式，结合椭圆的a，b，c的关系，可得a，b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）设直线PQ的方程为，联立椭圆方程，运用韦达定理，设过点三点圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，证明Q也在此圆上．解答：解：（Ⅰ）依题意知，，，即a2+b2=7，又a2﹣b2=c2，解得a=2，，∴椭圆的方程为；（Ⅱ）设直线PQ的方程为，P（x1，y1），Q（x2，y2）在椭圆上，将直线l的方程代入椭圆方程+=1，整理得，则△=12m2﹣12（2m2﹣6）＞0，…①，又，，∴…②，设过点三点圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，于是2D+F+4=0，，，∴，…③令，∵x12+y12+Dx1+Ey1+F1=0，∴=，将①②③式代入此式，并化简，得…④，又=（x2+x1）（x2﹣x1）+（y2+y1）（y2﹣y1）+D（x2﹣x1）+E（y2﹣y1），将①②③式，及代入此式，并化简，得…⑤，依题意，x1≠x2，由④⑤得，，∴t=0，或x2﹣x1=﹣2；若x2﹣x1=﹣2，则，得m2=3，∴或，此时直线l经过点或，这与直线l过椭圆在第一象限上的一点P矛盾，所以t=0，故，即点Q在过点A，P，B三点的圆上，所以A，P，B，Q四点共圆．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率公式和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，同时考查四点共圆的证法，属于中档题．21．已知函数f（x）=（e x﹣1）ln（x+a）（a＞0）在x=0处取得极值．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）当x≥0时，求证f（x）≥x2．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）先求出函数的导数，由f′（0）=0，从而求出a的值；（Ⅱ）先求出f（x）的表达式，令g（x）=f（x）﹣x2，通过讨论x的范围，结合导数的应用，求出函数g（x）的单调性，从而证出结论．解答：解：（Ⅰ）∵，函数f（x）在x=0处取得极值，∴f′（0）=0，得lna=0，即a=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=（e x﹣1）ln（x+1），令g（x）=（e x﹣1）ln（x+1）﹣x2（x≥0），则，令h（x）=（x+1）g′（x）=e x（x+1）ln（x+1）+e x﹣1﹣2x（x+1），∴h′（x）=e x（x+1）ln（x+1）+e x[ln（x+1）+1]+e x﹣（4x+2）令φ（x）=e x﹣x﹣1，则φ′（x）=e x﹣1，（ⅰ）当x≤0时，e x﹣1≤0（ⅱ）当x≥0时，e x﹣1≥0，∴函数φ（x）在区间（﹣∞，0]为减函数，在区间[0，+∞）为增函数．∴φ（x）min=φ（0）=0，∴对x∈R，φ（x）≥0，即e x≥x+1…①，由①知e t﹣1≥t…②，当t＞0时，由②得lnt≤t﹣1…③，当x≥0时，以代换③式中t，得…④，当x≥0时，e x≥1由①，④得e x（x+1）ln（x+1）≥x，e x ln（x+1）≥x，∴h′（x）≥x+x+2（x+1）﹣（4x+2）=0，∴函数y=h（x）（x≥0）为增函数，∴当x≥0，h（x）≥h（0）=0，即当x≥0时，（x+1）g′（x）≥0，且x+1≥1＞0，∴g′（x）≥0，∴函数y=g（x）（x≥0）为增函数，∴当x≥0时，g（x）≥g（0）=0∴当x≥0时，g（x）≥0，∴当x≥0时，f（x）≥x2．点评：本题考查了函数的单调性，导数的应用，考查不等式的证明问题，是一道中档题．选做题：选修4-1：几何证明选讲（共1小题，满分10分）22．如图，已知PA与半圆O切于点A，PO交半圆O于点B、C，AD⊥PO于点D．（Ⅰ）求证AB平分∠PAD；（Ⅱ）求证．考点：与圆有关的比例线段；弦切角．专题：选作题．分析：（Ⅰ）利用BC为半圆O的直径，AD⊥BC，PA与半圆O切于点A，证明∠PAB=∠BAD，即可证明AB平分∠PAD；（Ⅱ）证明△PAB∽△PCA，=，即可证明．解答：证明：（Ⅰ）由题意，BC为半圆O的直径，A为半圆O上一点，∴∠BAC=90°，∵AD⊥BC，∴∠BAD=∠ACD，∵PA与半圆O切于点A，∴∠PAB=∠ACD，∴∠PAB=∠BAD，∴AB平分∠PAD；（Ⅱ）连接AC，∵∠PAB=∠PCA，∠P=∠P，∴△PAB∽△PCA，∴．在Rt△BAC中，AD⊥CD，∴，∴，=，∴，=，∴=，∴．点评：本题考查圆的切线的性质，考查三角形相似的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程（共1小题，满分0分）23．在平面直角坐标系xOy中，曲线（a＞b＞0，φ为参数，0≤φ＜2π）上的两点A、B对应的参数分别为α，α+．（1）求AB中点M的轨迹的普通方程；（2）求点O到直线AB的距离的最大值和最小值．考点：轨迹方程；点到直线的距离公式．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用中点坐标公式，即可求AB中点M的轨迹的普通方程；（2）利用点到直线的距离公式求解和化简即可．解答：解：（1）设AB中点M（x，y），则，所以；（2）以坐标原点0为极点，x轴正半轴为极轴，且取相同的长度单位建立极坐标系，所以有，所以ρ2=，设A（ρ1，α），B（ρ2，），则|AB|=，∴点O到AB直线的距离为==，∴点O到AB直线的距离为定值．点评：本题重点考查了参数方程、距离公式，考查极坐标系等知识，属于中档题．选修4-5：不等式选讲（共1小题，满分0分）24．已知实数a，b，c满足a2+b2+c2=3．（Ⅰ）求证a+b+c≤3；（Ⅱ）求证．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（I）由于（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，利用基本不等式的性质即可证明；（II）由于（a2+b2+c2）=3+++++，利用基本不等式的性质即可证明．解答：证明：（I）∵（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≤a2+b2+c2+（a2+b2）+（b2+c2）+（a2+c2）=3（a2+b2+c2）=9．∴a+b+c≤3；（II）∵（a2+b2+c2）=3+++++=3+++≥+2+2=9．当且仅当a2=b2=c2=1时取等号．∴≥3点评：本题考查了基本不等式的性质，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．。
新疆乌鲁木齐地区高三数学第二次诊断性测试试题 文
乌鲁木齐地区2015年高三年级第二次诊断性测验文科数学试卷第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A=，B=，则集合A B=A. B. C. D.2.复数的共轭复数是A. 1+iB. -1+iC. 1-iD. -1-i3、已知，且，则下列命题一定成立的是A、－1B、＋1C、D、4.设m，n是两条不同的直线，是两个不重合的平面，下列四个命题：①；②；③；④5、向以（0,0），（1，0），（1,1），（0,1）为顶点的正方形区域内随机投一个点，则该点落在内的概率为A、B、C、D、6.曲线在点（1，e）处的切线与直线垂直，则的值为A. B. C. D.7.函数A.在上单调递减B.在上单调递增C. 在上单调递减D. 在上单调递增8.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的表面积为A. B. C. D.9.如图算法，若输入m=210，n=119，则输出的n为A. 2B. 3C. 7D. 1110.已知△ABC中角A,B,C的对边分别是，满足，＝10，△ABC的面积为42，则的值等于A. 5B.10C. 5D. 1011. 过双曲线的右焦点作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A,B。
若，则双曲线的渐近线方程为A. B.C. D.12. 已知函数为奇函数，，即，则数列的前15项和为A. 13B. 14C. 15D. 16第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答.二.填空题13.若角的边过点P（－3，－4），则的值为14.△ABC中，，且CA=3，点M满足，则= _________.15.设函数，实数,且,则的取值范围是__________.16.设抛物线的焦点为F，其准线与x轴的交点为Q，过点F作直线与此抛物线交于A,B两点，若，则________.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知数列的前n项和为，对任意的正整数n，都有成立.（Ⅰ）求证数列为等比数列；（Ⅱ）求数列的前n项和。
A乌鲁木齐地区2015年高三年级第二次诊断性测验政治答案
第二部分（非选择题）
25.(1)结合材料一，分析说明曼西莱普的文化功能。（6分） （1）①文化是一种精神力量，对社会具有深刻影响。作为民族文化麦西来甫能够增强新 疆各族人民的凝聚力和对中华民族的认同感、归属感，促进民族团结、社会稳定。（2分） ②文化对人的影响来自源于特定的文化环境和各种形式的文化活动，麦西来甫潜移默化、 深远持久地影响着人们的交往行为和方式，影响着人们的实践、认识活动和思维方式。 （2 ③优秀文化塑造人，能够丰富人的精神世界，增强人的精神力量。麦西来甫既能丰富人们 的精神文化生活，又能规范人们的行为，提升人的文明素养，促进人的全面发展。（2分）
(2)结合材料一、二，说明我国在经济发展“新常态”下，继续提升消费在“稳增长”中 基础作用的理由。（4分） （2）①消费反作用生产，能够拉动经济增长、促进生产发展。（1分） ②消费所形成的新的需要，对生产的调整和升级起着导向作用；一个新的消费热点的出现， 能带动一个产业的出现和成长。提升消费可以促进新兴产业的发展，调整经济结构优化升 级。（2分） ③消费为生产创造出新的劳动力，提升消费可以提高劳动力的质量和劳动者的生产积极性， 保持经济社会平稳发展。（1分） 3）结合材料三，说明该市的做法对我国地方适应“新常态”探索转型发展道路的启示 （4分） ①主动把握和积极适应经济发展“新常态”，在发挥市场对资源配置的决定作用同时，坚 持科学宏观调控。（1分） ②落实科学发展观，加快转变经济发展方式，促进经济结构战略性调整，把经济发展 的立足点放到提高质量和效益上来。（1分） ③实施创新驱动发展战略，增强自主创新能力。（1分） ④促进资源节约和环境保护，增强可持续发展能力。（1分）
(2)结合材料二，运用文化继承和发展关系的知识，为曼西莱普如何承受现代文明浪潮的 冲击提出合理化的建议。（4分） （2）①继承与发展是同一过程的两个方面。继承是发展的必要前提，发展是继承的必然 要求。要在继承的基础上发展，在发展的过程中继承。（2分） ②面对现代文明浪潮的冲击，既要注重继承传统，保留和继承麦西来甫的民族特色，又 要推陈出新，为麦西来甫注入新的时代内涵，促进其与现代文明有机融合。（2分）
高三年级第二次诊断性测验试卷(理科)
新疆区乌鲁木齐市高三年级第二次诊断性测验试卷 理科数学(问卷)（理科：必修+选修Ⅱ） 注意事项：1．本卷分为问卷（共4页）和答卷（共4页），答案务必书写在答卷的指定位置处． 2．答卷前先将密封线内的项目填写清楚． 3．第Ⅰ卷（选择题，共12小题，共60分），在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．如果选用答题卡，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；如果未选用答题卡请将所选项前的字母代号填写在答卷上．不要答在问卷上．4. 第Ⅱ卷（非选择题，共10小题，共90分），用钢笔或圆珠笔直接答在问卷中．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1.若复数2(1)(,)a bi i a b +=+∈R ,则a bi -= A ． 2i B ．2i - C ．22i + D ．22i - 2．设两个不相等的非空集合M ，N ，那么“a M ∈”是“a M N ∈”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．在公差为2的等差数列{}n a 中,124,,a a a 成等比数列,则2a =A ．4B ．6C ．8D ．104. 实数,x y 满足约束条件42,21x y x y z x y x +⎧⎪-=+⎨⎪⎩≤≤则≥的最小值是A ． 1B ． 3C ． 5D ．75. 若函数()f x 满足sin 2f x xπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ()x ∈R ，则()f x =A ．sin xB ．sin x -C ．cos xD ．cos x -6．从正方体的八个顶点中任取四个点，在能构成的一对异面直线中，其所成的角的度数不可能是A ．30B ．45C ．60D ．907．函数()f x 的导函数为()1xf x x -'=，则()f x 的单调增区间是A ．(),0-∞ B ．[)1,+∞C ．(]0,1 D ．(),0-∞[)1,+∞8．设()21x f x =-的反函数为1()f x -，若01x >-，则必有 A ．100()0x f x -> B ．100()0x f x -≥ C ．100()0x f x -< D ．100()x f x -≤09．一束光线从点()1,1A -发出并经x 轴反射，到达圆()()22231x y -+-=上一点的最短路程是A ．4B ．5 C．1 D ．10．与直线230x y ++=垂直的抛物线2x y =的切线方程是A ．032=--y xB ．012=--y xC ．012=+-y xD ．032=+-y x11．若椭圆上一点与其中心及长轴的一个端点构成等腰直角三角形，则此椭圆的离心率为A．2 B． C． D1-12．三个半径为R 的球互相外切，且每个球都同时与另两个半径为r 的球外切．如果这两个半径为r 的球也互相外切，则R 与r 的关系是A ．R r =B ．2R r =C ．3R r =D ．6R r =第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）请将答案直接填在答卷的相应各题的横线上.13．若向量a 、b 满足1=a ，2=b 且()⊥a a +b ，则a 与b 的夹角的度数为 ．14．已知△ABC 的面积等于6,最大边5AB =，4AC =，则BC = ．15．某校要求每位学生从8门课程中选修5门，其中甲、乙两门课程至少选修一门，则不同的选课方案有 种（以数字作答）．16.已知62a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为15a ，则非零实数a 的值是 ．三、解答题（共6小题，共70分）解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本题满分10分）已知1cos 2cos 2662x x ππ⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中3,24x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求tan x 的值．18.（本题满分12分） 如图直三棱柱111ABC A B C -的底面是等腰直角三角形，1CA CB ==，且二面角1A CB A --的度数为45°（1）求1AA 的长；（2）求证1C A ⊥平面1A CB.19.（本题满分12分） 函数()2f x x x =-(01)x ≤≤，P 、Q 是其图象上任意不同的两点．（1）求直线PQ 的斜率的取值范围； （2）求函数()f x 图象上一点M 到直线1x =-、 直线1y =距离之积的最大值．20．（本题满分12分）将数字1,2,3,4分别写在大小、形状都相同的4张卡片上，将它们反扣后（数字向下），再从左到右随机的依次摆放，然后从左到右依次翻卡片：若第一次就翻出数字3则停止翻卡片；否则就继续翻，若将翻出的卡片上的数字依次相加所得的和是3的倍数则停止翻卡片；否则将卡片依次翻完也停止翻卡片．设翻卡片停止时所翻的次数为随机变量ξ，求出ξ的分布列和它的数学期望．21.（本题满分12分）已知抛物线24y x=的焦点为F，过F作两条互相垂直的弦AB、CD，设AB、CD的中点分别为M、N．（1）求证直线MN恒过定点；（2）求MN的最小值．22．（本题满分12分）已知数列{}na的前n项之积与第n项的和等于1()n∈*N．（1）求证11na⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，并求{}n a的通项公式；（2）设1n nnb aa=+，求证123221nn b b b b n<++++<+．乌鲁木齐地区2008年高三年级第二次诊断性测验理科数学试题参考答案及评分标准一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．选B．∵2(1)2a bi i i+=+=∴0,2a b==，故a bi-=2i-．2．选B．根据题意有M N M．3．选A．根据题意，有2214a a a=⋅()()2224a a=-+，解得24a=．4．选A ．在A(1,-1)处目标函数达到最小值1.5．选D ．()sin cos 222f x f x x xπππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．6．选A ．两条棱所在直线异面时所成角的度数是90；面对角线与棱异面时所成角的度数是45或90；两条面对角线异面时所成角的度数是60或90；体对角线与棱所在直线异面时所成角的度数是；体对角线与面对角线异面时所成角的度数是90．7．选C ．当()10x f x x -'=≥，即01x <≤时，()f x 单调递增.8．选B ．12()log (1)f x x -=+，其图像上的点100(,())x f x -在一，三象限或与原点重合．∴()1000x f x -≥9．选A ．原问题可转化为：点()1,1A -关于x 轴的对称点()1,1A '--到达圆C 的最短路程，画图可知其值为14A C r '-=-=．10．选B ．易知与直线230x y ++=垂直的直线方程的斜率是2，设切点为()00,x y ，则2x y =在此处的切线斜率是2x ，故022x =，∴A 1001, 1.x y ==∴所求切线方程是()121y x -=-．11．选C ．不妨设椭圆的方程为22221x y a b +=，由题意得椭圆上的点P 坐标为,22a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入椭圆方程可得221144a b +=，即223a b =，∴222233()a b a c ==-，∴2223a c =，∴3e =．12．选D ．设123,,O O O 分别是半径为R 的三个球的球心，12,C C 分别是半径为r 的两个球的球心，则它们构成立体图形（如图），H 是△123O O O 的中心．因为△123O O O 是边长为2R 的正三角形，所以，13O H R=．又11C O H ∆是以11C HO ∠为直角的直角三角形，故2221111C O C H O H =+，即()222R r r R ⎫+=+⎪⎪⎝⎭，解得6R r =．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．23π14．3 15．50 16．113．由()⊥a a +b ，得()0⋅=a a +b ，即+⋅2a a b =0，又1=a 故⋅a b =1-，∴1cos 2⋅==-a b a b a b , ∴a 与b 的夹角的度数为23π．2O O 114．1sin 2ABC S AB AC A ∆=⋅⋅⋅，即1654sin ,2A =⨯⨯⨯3sin 5A =， ∵AB 是最大边，∴C ∠是最大角，故A ∠不可能是钝角，∴4cos 5A =2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅9=， ∴3BC =．15．从8门课程中选修5门，有58C 种方案；甲、乙两门课程都没选有56C种方案，故不同的选课方案有558650C C -=种．16．2616()rrr r a T C x x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭1236()r r r a C x -=-,令1230r -=得4r =,所以常数项为446()15a C a-=，解得1a =.三、解答题（共6小题，共70分）17.cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin cos 2cos sin 2sin 666666x x x x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--=--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 12sin 2sinsin 262x x π=-=-=，即1sin 22x =-又3,24x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴32,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，于是，726x π=即712x π=∴tan x =tantan734tantan 12341tan tan 34πππππππ+⎛⎫=+=⎪⎝⎭-2=--． …10分18.解法一：（1）由题意知90ACB ∠=°，即AC CB ⊥，又1A A ⊥平面ABC ，∴1A C CB⊥于是1A CA∠就是二面角1A CB A--的平面角且1A CA ∠45=°在1Rt A AC ∆中，190A AC ∠=°，1AC =，∴1AA 1= …6分（2）由（1）知11A ACC 是正方形，11AC CA ⊥，又111ABC A B C -是直棱柱且BC CA ⊥∴BC ⊥平面11A ACC ，于是1BC AC ⊥，故1C A ⊥平面1A CB. …12分解法二：由题意知90ACB ∠=°，又111ABC A B C -是直棱柱设1A A m=，如图建立直角坐标系易知()()()()()110,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,,1,0,C A B C m A m 于是()11,0,CA m =，()0,1,0CB =，()10,0,CC m =，易知平面ABC 的一个法向量为()10,0,CC m =，设平面1A CB 的法向量为()a,b,c n =由100CA CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，得 00a cm b +=⎧⎨=⎩，取1c =所以a m =-，则()0,1-m,n =由于二面角1A CB A--等于45°∴121cos 451CC CC m m ⋅==+n n ，得1m = ∴1AA 1= …6分（2）由（1）得()11,0,1CA =，()11,0,1C A =-，易知110C A CA ⋅=，故11C A CA ⊥10C A CB ⋅=，故1C A CB ⊥ ∴1C A ⊥平面1A CB . …12分19．设P 、Q 两点坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则2111y x x =-，2222y x x =- 于是，()()221122121212PQx x x x y y k x x x x ----==--=()()1212121x x x x x x -+--=121x x +-∵[]12,0,1x x ∈且12x x ≠， ∴12111x x -<+-<.故直线PQ 斜率的取值范围是()1,1-. …5分（2）设点()00,M x y ,其中[]00,1x ∈，则M 到直线1x =-的距离101d x =+M 到直线1y =的距离201d y =-则d =()()120011d d x y =+-=()()200011x x x ⎡⎤+--⎣⎦=30021x x -++232d x '=-+，当003x <≤时，0d '>，d 递增当013x <≤时，0d '<，d 递减；∴当03x =时，12d d d =有最大值19+． …12分20．由题意知1,2,3,4.ξ=ξ=1，表示仅翻了1张卡片，则翻出的一定是写有3的卡片，∴()114P ξ==；ξ=2，表示依次翻了2张卡片，若用有序数组(),a b 表示这个事件所包含的结果，其中a ，b分别表示第一次、第二次翻出的卡片上的数字， a 3≠且a b +是3的整数倍，此时共有以下四种情形()1,2、()2,1、()2,4、()4,2，试验所包含的结果总数为2412A = ∴()412123P ξ===；ξ=3，表示依次翻了3次卡片， 同理用有序数组(),,a b c 表示这个事件所包含的结果，其中a 3≠，且ab +不是3的整数倍，只有a bc ++是3的整数倍．此时共有以下四种情形()1,3,2、()2,3,1、()2,3,4、()4,3,2，试验所包含的结果总数为3424A = ∴()413246P ξ===；ξ=4，表示依次翻了4次卡片， 用有序数组(),,,a b c d 表示这个事件所包含的结果，其中a3≠，且a b +、a b c ++都不是3的整数倍，此时共有以下六种情形()1,3,4,2、()1,4,2,3、()1,4,3,2、()4,1,2,3、()4,1,3,2、()4,3,1,2，试验所包含的结果总数为4424A = ∴()614244P ξ===．∴ξ的分布列为2912E ξ=…12分21．（1）由题意可知直线AB 、CD 的斜率都存在且不等于零，()1,0F ．设():1AB l y k x =-，代入24y x =，得()2222220k x k x k -++=∴2222A B M x x k x k ++==，()21M M y k x k =-=，故2222,k M k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 因为CD AB ⊥，所以，将点M 坐标中的k 换为1k -，得()221,2N k k +-当1k ≠±时，则()222222:221221MNk k l y k x k k k k --+=--++-，ξ123 4P14131614即()()213k y k x -=-此时直线MN 恒过定点()3,0T ； ② 当1k =±时，MN 的方程为3x =，也过()3,0点．故不论k 为何值，直线MN 恒过定点()3,0T ． …7分（2）由（1）知2222,k M k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()221,2N k k +-，∴MN====4=当且仅当221k k =，即1k =±时，上式取等号，此时MN 的最小值是4． …12分22． （1）1231()n n a a a a a n +=∈*N ，易知0,1,1,2,i i a a i ≠≠= 则1231n na a a a a ⋅⋅=-…① ，123111()n n a a a a a n ++⋅⋅=-∈N …②两式相除得1111n n n a a a ++-=-，即112n n a a +=-，∴121111111112n n n n na a a a a +-===------．∴11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以111a -为首项，1-为公差的等差数列，在已知中令1n =可得11.2a =∴111(1)(1)111n n n a a =+-⋅-=----，∴1n n a n =+ …6分 （2）由1121n n n n n b a a n n +=+=+>=+（1,2,n =）所以122n b b b n+++> （1,2,n =）又因为nb =11n n n n +++1121n n =+-+，(1,2,)n = ∴1211111212231n b b b n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1211n n =+-+21n <+综上12221(1,2,)n n b b b n n <+++<+=成立． …12分以上各题的其它解法，限于篇幅从略，请相应评分．。
2015乌市二模理科数学试题参考答案及评分标准
乌鲁木齐地区2015年高三年级第二次诊断性测验理科数学试题参考答案及评分标准1.选C .【解析】∵{}31A x x =-<<，{|22}B x x =-<<，∴()2,1A B =-，故选C . 2.选D .【解析】∵()()()2122211112i i i i i i i i +-===-+--+，其共轭复数是1i --故选D. 3.选C .【解析】依题意，3cos 5a =-，则cos(2)p a -=()27cos22cos 1=25a a -=-- 故选C .4.选B . 【解析】①错，②对，③对，④错. 故选B.5.选D .【解析】x x y e xe ¢=+，曲线在()1,e 处切线的斜率2k e =，∵此切线与直线0ax by c ++=垂直，∴直线0ax by c ++=的斜率12a b e-=-，即12a b e =. 故选D. 6.选A .【解析】由题意得()12cos 0f x x ¢=- ，即1cos 2x ³解得：()22,33k x k k ππππ-≤≤+∈Z ，∵()2sin f x x x =-是区间[,]2t t π+上的减函数,∴[,]2t t π+Í2,233k k p p p p 轾犏-+犏臌，∴2236k t k ppp p -＃-，故选A . 7.选A .【解析】如图该几何体为一三棱锥，设外接球半径为r 由题意得)2221r r=+，解得r =∴216=43S rpp =球，故选A . 8.选C .【解析】执行第一次运算91,119,91r m n ===，执行第二次运算28,91,28r m n ===，执行第三次运算7,28,7r m n ===，执行第四次运算0r =输出7n =.故选C .9.选C .【解析】将四个不同小球放入四个不同盒子，每个盒子放一个小球，共有44A 种不同放法，放对的个数ξ可取的值有0，1,2,4. 其中()449308P A ξ===，()14442113C P A ξ⨯===,()2444124C P A ξ===,()4411424P A ξ===，31110124183424E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.故选C.10.选C .【解析】∵12f x 骣÷ç+÷ç÷ç桫为奇函数，则函数()y f x =的图像关于点1,02骣÷ç÷ç÷ç桫对称，则函数()y g x =的图象关于点1,12骣÷ç÷ç÷ç桫对称，故函数()g x 满足()()12g x g x +-=. 设1215=161616S g g g 骣骣骣鼢 珑 +++鼢 珑 鼢 珑 桫桫桫，倒序后得15141=161616S g g g 骣骣骣鼢珑 +++鼢 珑 鼢 珑 桫桫桫，两式相加后得1152141512=++=152161616161616S g g g g g g 轾轾轾骣骣骣骣骣骣鼢鼢鼢珑珑珑犏犏犏++++ 鼢鼢鼢珑珑珑鼢鼢鼢珑珑珑犏犏犏桫桫桫桫桫桫臌臌臌， ∴=15S .故选C .11.选A .【解析】()2,0F c ，渐近线方程为,b by x y x a a==-直线AB 的方程为：y x c =-+，设()11,A x y ，()22,B x y 依题意知，,A B 分别满足y x c b y x a ì=-+ïïïíï=ïïî，y x c b y x a ì=-+ïïïíï=-ïïî，得12,,ac ac x x a b a b ==+-∵2F A AB =，∴222F B F A =, ∴2acac c c a ba b骣÷ç-=-÷ç÷ç桫-+，化简得3b a =.故选A . 12.选B .【解析】∵()cos c a A C =+，∴()sin sin cos C A A C =+,即()()sin sin cos A C A A A C 轾+-=+臌,整理的()()sin cos 2sin cos A C A A A C +??,则()tan 2tan A C A +=,∵()cos 0c a A C =+>,∴()cos 0AC +>,∴AC +为锐角，故A 为锐角，则tan 0A >，()()()2tan tan tan tan tan 1tan tan 12tan A C A AC A C A A C AA +-轾=+-==臌+++ 12tan tan A A=?+,当且仅当12tan tan A A=时等号成立， ∴tan C 故选B .二、填空题13.填1±.【解析】由题意得：552r+155=10rr rr r r m T C xC m x x x --骣÷ç==÷ç÷ç桫，∴2,1r m == . 14.填18.【解析】∵90C ∠=︒,∴0CA CB ⋅=,∵2BM AM =, ∴()2CM CB CM CA -=-,∴2CM CA CB =-, ∴()2222218CM CACA CB CACA CA ?-?==15.填(),0-∞.【解析】()()()120210xx x f x x ìï- ï=íï->ïî若0a b < ，由()()f a f b =得1212a b -=-，得a b =，与a b <矛盾； 若0a b <<，由()()f a f b =得2121a b -=-，得a b =，与a b <矛盾； 若0a b <<，由()()f a f b =得1221a b -=-，得222a b +=，而22a b +>，∴0212a b +<=，∴0a b +<16.填4.【解析】依题意知，直线AB 的斜率k 存在，且0k ¹，()()1,0,1,0F Q - 设其方程为()1y k x =-代入24y x =有()2222240k x k x k -++=设()()1122,,,A x y B x y 则121x x =，又2114y x =，2224y x =，∴2212121616y y x x ==,而12,y y 异号，∴124y y =-，∵()()11221,,1,FA x y QB x y =-=+,又∵QB AF ^， 故()()11221,1,0x y x y -?=，即()12121210x x x x y y +-+-=,将121x x =，124y y =-代入，有()121410x x +---=,∴124x x -=，又121,1AF x BF x =+=+, ∴4AF BF -=三、解答题 17．（12分）（Ⅰ）当=1n 时，11213S a =+-，得12a =，由23n n S a n =+-得11213n n S a n ++=++-，两式相减，得11221n n n a a a ++=-+，即121n n a a +=-，∴()1121n n a a +-=-，而111a -=，∴数列{}1n a -是首项为1，公比为2的等比数列； …6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得111122n n n a ---=?，即121n n a -=+，()11212n n na n n n --=+=?∴()()()()0121n =1212223232n T n n -?+?+?++? ()()01211222322123n n n -=???+?++++()0121(1)12223222n n n n -+=???+? 令0121n 1222322n V n -=???+ 则123n 21222322n V n =???+两式相减得()121n 11212222=221212n n n n n n V n n n -?-=++++-??-- -∴()n 221121nn n V n n =?+=-+，∴()n (1)1212n n n T n +=-++ …12分18. (12分)（Ⅰ）连结A C ，∵四边形A BCD 是菱形，∴AB BC =又∵60ABC ? ，∴A BC D 是等边三角形， ∵M 是BC 中点, ∴AM BC ^，∵PA ^平面A BCD ,BC ⊂平面ABCD , ∴PA BC ⊥，在平面PMA 中AM PA A = ∴BC ^平面PMA∴平面PBC ^平面PMA ； …6分 （Ⅱ）设,AC BD 交于点O ，过O 作//OZ AP ,以点O 为坐标原点，分别以,,AC BD OZ 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，如图所示，建立空间直角坐标系：∵四边形A BCD 是边长为2的菱形，60ABC? 得2AC =,BD =PA =于是()()()(1,0,0,0,,,A B D P ---∵N 是PB 的中点,∴1,2N 骣ç?-çç桫，∵PA ^平面A BCD , ∴平面ABD 的一个法向量为1(0,0,1)=n 设平面A ND 的法向量2111(,,)x y z =n∵136(,,),(1,3,0)2AN AD =-=,由00AN AD ìï=ïíï=ïî22n n得11111102x y x ìïï-+=ïïíïïï+=ïî，令11y=，得1x=-1z=,∴2(=-n,∴1212123cos,n n×==n nn n∴二面角N AD B--．…12分19．（12分）（Ⅰ）上半年的数据为：43,44,48,51,52,56,57,59,61,64,65,65,65,68,72,73,75,76,76, 83,84,87,88,91,93其“中位数”为65，优质品有6个，合格品有10个，次品有9个.下半年的数据为：43,49,50,54,54,58,59,60,61,62,63,63,65,66,67,70,71,72, 72,73,77,79,81,88,92其“中位数”为65，优质品有9个，合格品有11个，次品有5个.则该企业生产一件产品的利润的分布列为：()5510 3.7505050E X=-⨯+⨯+⨯=…5分()225061691960.857252515357K⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯由于0.857 3.841<，所以没有95%的把握认为“优质品与生产工艺改造有关”.…12分20.（12分）（Ⅰ）已知椭圆2222x1ayb+=的右焦点为()1,0F，∴221a b-=又直线y x=-与椭圆有且仅有一个交点，∴方程组2222x1ay xybìï=-ïïïíï+=ïïïî有且仅有一个解，即方程()222222270b a x x a a b+-+-=有且仅有一个解∴()()42222228470a ab a a bD=-+-=，即227a b+=，又∵221a b-=，∴224,3a b==，∴椭圆M的标准方程是22x143y+=；…5分（Ⅱ）依题意知椭圆的右焦点F 的坐标为()1,0，直线AB 的方程为x ky t =+（其中t 为直线AB 在x 轴上的截距）设()()1122,,,A x y B x y解方程组22x 143x ky t y ì=+ïïïíï+=ïïïî，得关于y 的一元二次方程()2234120ky t y ++-= 即()2223463120k y tky t +++-=()()()()22222=643431248340tk k t k t D -+-=-+>，即234k t >-∵12,y y 是方程的两个解，∴122634tk y y k -+=+，212231234t y y k -=+，∵11x ky t =+，22x ky t =+∴()()()222212121212241234t k x x ky t ky t k y y kt y y t k -=++=+++=+()121228234tx x k y y t k +=++=+，∵FA FB ^，∴()()11221,1,0x y x y -?=即()12121210x x x x y y -+++=，∴222222412831210343434t k t t k k k ---++=+++ 即227889t t k --=，又234k t >-，∴()2278834t t t -->-，即()210t ->，∴1t ≠，而20k ≥，∴27880t t --，解得t £t ³，∴t £t ³ …12分 21．（12分）（Ⅰ）∵()()1ln 1ln ln 1f x x x x 骣÷ç¢=+-=+÷ç÷ç桫,∵0,x >∴111x +>，∴1ln 10x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭， ∴()0f x '>,∴函数()f x 在区间()0,+∞上单调递增. …4分 （Ⅱ）⑴当0a ≤时，0a - ，由0x >知111x+>，11x +>，则1ln 10x 骣÷ç+>÷ç÷ç桫，ln(1)0x +>， ∴()()()1g x f x a x =-+()1=ln 1ln 10x a x a x 轾骣÷ç犏+-++->÷ç÷ç犏桫臌∴当a 0£时，函数()g x 在()0+¥，上无零点；⑵当0ln 2a <<时，()()''1g ln 1x fx a a x 骣÷ç=-=+-÷ç÷ç桫， 令()'g 0x =，得1x 1ae =-，由0ln 2a <<，知12a e <<,∴011ae <-<， ∴111a e >-，∴当101a x e <<-时，1ln 10a x 骣÷ç+->÷ç÷ç桫,∴()'g 0x >, 当11a x e >-时，1ln 10a x 骣÷ç+-<÷ç÷ç桫，∴()'g 0x < ∴函数()g x 在区间10,e 1a 纟çúççúè-û，上为增函数，在区间1+e 1a 骣÷ç¥÷ç÷ç桫-，上为减函数. ∴()0111max ln 1ln 0111a a a x g x g a e e e >骣骣鼢珑==+-=>鼢珑鼢珑桫桫--- 由0x ≥，()ln 1x +≤；03x ?，()3ln 13xx x +<+成立，∴1x ln 1x x 骣÷ç+<÷ç÷ç桫()3ln 13xx x +<+，()0,3x Î， 取231=min ,,993a a a d 骣÷ç÷ç÷ç÷-桫当0ln 2a <<时，01d <<，∴当0x d <<时()()11ln 1ln x 1ln 1ln x 1x ax x ax x x 骣骣鼢珑++++?+++鼢珑鼢珑桫桫3333333xx a a ax ax ax a x x <+<+<++=++ ∴()()1x ln 1ln 110x a x x 骣÷ç+++-+<÷ç÷ç桫，即()0g x < 又()()g 12ln222ln20a a =-=->由函数零点定理和函数()g x 在区间10e 1a 纟çúççúè-û，为增函数,且()0,1Ì10e 1a 纟çúççúè-û， ∴()1x 0,1$ 使得()10g x =，取2max M a 禳镲镲=-睚镲镲镲铪， 由0ln 2a <<，知1M > ，∴当x M >时，都有21x a>-，x >∴1x 12a <+2a ，∵()0,ln 1x x x >+ ， ∴()x 1111ln 1ln 111122a ax a x x x x x 骣÷ç+++<?<+=÷ç÷ç桫+++ 从而()1f x a x <+，∴()g 0x <，∴()2x 1,$?使得()20g x =∴当0<a<ln2时，函数()g x 在()0+¥，上有两个零点； ⑶当a=ln2时由⑵知函数()g x 在区间(]0,1上为增函数，在区间()1+¥，为减函数. ∴()()max 10g x g ==，∴对x 0">，()0g x £且当01x <<时，()()g 10x g <=，当1x >时，()()g 10x g <= 从而当a=ln2时，函数()g x 有且仅有一个零点； ⑷当a>ln2时，2ae >，11ae -> 由⑵知函数()g x 在区间10,1a e ⎛⎤ ⎥-⎝⎦为增函数，在区间1,01a e ⎛⎫⎪-⎝⎭为减函数， ()011max ln 011a a x g x g e e >⎛⎫⎛⎫==< ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，∴对()0,x ∀∈+∞，()0g x <。
2015乌鲁木齐一诊 新疆乌鲁木齐地区2015届高三第一次诊断性测验数学(理)试题 扫描版含答案
乌鲁木齐地区2015年高三年级第一次诊断性测验理科数学试题参考答案及评分标准1.选B .【解析】∵{}0M x x =≤，{}2,0,1N =-，∴MN ={}2,0-，故选B .2.选B .【解析】∵()()()()121121311122i i i z ii i i +++===-+--+，对应的点为13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在第二象限，故选B .3.选A.【解析】依题意，令sin cos 0αα+=，∴22sin cos 2sin cos 0αααα++=， ∴12sin cos 0αα+=，故1sin cos 2αα=-，∴()102f =-，故选A . 4.选A .【解析】∵0x e >，∴222e ->-，又,2x x e m R ∀∈->，∴2m ≤-；由22l o g 1m >，得m <m >；∵ “2m ?”Þ“m <-m >”故选A .5.选D .【解析】()()sin 2f x x ϕ=+的图象向左平移6π个单位得()sin 23g x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，它的图象关于原点对称，∴()3k k πϕπ+=∈Z ，即3k πϕπ=-，又2πϕ<，∴3πϕ=-，∴()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，∴()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为()0f =D . 6.选A .【解析】该几何体的直观图如图所示：为一四棱锥，其底面ABCD 是正方形，PC ^平面AC ，1AC =,2PC =.222AD DC AC +=,又AD DC =,∴212AD =，∴正方形 ABCD 的面积12S =，∴111123323V Sh ==创=.故选A .7.选A .【解析】已知,x y 都是区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内任取的一个实数，则,x y 满足的区域面积是由A B C D P0,,0,22x x y y ππ====围成的正方形，其面积是2224πππ⨯=，而满足sin y x ≤的区域面积为2200sin cos 1xdx x ππ=-=⎰∴22144P ππ==.故选A .8.选D .【解析】设{}n a 的公差为d ，∴1392,2,27a d a d a d =-=+=+，又139,,a a a 成等比数列，∴2319a a a =，即()()()22227d d d +=-+，0d ≠，故1d =，121a a d =-=，∴()211222n n n n n S na d -=+=+，故选D . 9.选B .【解析】执行第1次运算打印点()1,1，5i =；执行第2次运算打印点12,2骣÷ç÷ç÷ç桫，4i =；执行第3次运算打印点13,3骣÷ç÷ç÷ç桫，3i =；执行第4次运算打印点14,4骣÷ç÷ç÷ç桫，2i =；执行第5次运算打印点15,5骣÷ç÷ç÷ç桫，1i =；执行第6次运算打印点16,6骣÷ç÷ç÷ç桫，0i =；结束循环，其中在圆2210x y +=内的点有()1,1，12,2骣÷ç÷ç÷ç桫，13,3骣÷ç÷ç÷ç桫共3个，故选B . 10.选C .【解析】双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线是b y x a = ，圆 ()2221x y -+=的圆心是()2,0，半径是11，即()22241c a c -> 化简得2243c a >，即3e >.故选C . 11.选D .【解析】分别过A B ，点作准线的垂线，垂足分别为11A B ，， ∴1BF BB =,1AA AF =.又∵2BC BF =，∴12BC B B =，∴160CBB ∠= ∴60AFD CFO ?? ,又3AF =,∴32FD =，∴1332AA p =+=，∴32p =，∴抛物线方程为23y x =.故选D .12.选C .【解析】已知1n n a S +=，当1n =时，得112a =；当2n ³时，111n n a S --+=,两式相减，得10n n n a a a --+=，12n n a a -=，由题意知，10n a -¹，∴112n n a a -=（2n ³），∴数列{}n a 是首项为12，公比为12的等比数列，∴11122111212n nn S 轾骣犏÷ç-÷ç犏÷ç桫骣犏臌÷ç==-÷ç÷ç桫-， ∴n S Î1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选C . 二、填空题共4小题，每小题5分，共20分.13.填2.【解析】如图可知2z x y =+的最小值是2．14.【解析】由题意得四面体ABCD 是底面边长为的正三角形，侧棱AD 垂直底面，且3AD =，AB AC ==，BD BC DC ===，则外接球球心在过底面中心垂直于底面的垂线上，且到底面的距离等于AD的一半，∴R =∴3344=33V R p p =桫球. 15.填12.【解析】在PQR D 中设,,P Q R 行所对的边分别为,,p q r 由题意知：cos 7qr P ?，()236PQ PR -=，即222cos 36r qr P q -仔+= 可知2250r q +=又2sin 1cos P P ?-? ∴11sin 22PQR S rq P D =? 而22250qr r q ?=，当且仅当5q r ==时等号成立所以，当且仅当5q r ==时()max 12PQR S D =16.a <<.【解析】已知()322()3630f x x a x a a a =--+> 则22()33f x x a ¢=-①()0f x ¢³恒成立，则0a =，这与0a >矛盾.②若()0f x ¢£恒成立，显然不可能.③()0f x ¢=有两个根,a a -，而0a >，则()f x 在区间(),a -?单调递增，在区间(),a a -单调递减，在区间(),a +单调递增.故()0f a -<，即22630a a -+<，a <<. 三、解答题：共6小题，共70分.17．（12分） （Ⅰ）∵1cos cos 2a Bb Ac -= 由正弦定理得 ()()111sin cos sin cos sin sin sin 222A B B A C A B A B p 轾-==-+=+臌 ∴()1sin cos sin cos sin cos cos sin 2A B B A A B A B -=+ 即13sin cos sin cos 22A B B A =，易知90A 拱，且90B 拱， 上式两边除以1cos cos 2A B ,得tan 3tan A B =…………………………………… 6分 （Ⅱ）∵tan 3A =,∴sin ,cos A A == 由sin sin a b A B=，又b =45B = ，得3a = 而()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=∴11sin 3322ABC S ab C D ==创 …12分 18．（12分） （Ⅰ）根据题意，建立如图空间直角坐标系1C xyz -：则(0,2,2),(2,0,2),(0,0,2),(0,0,1),(1,1,0)A B C E F(0,2,1),(2,0,0),(1,1,2)AE BC BF =--=-=--∵0AE BC ? 0A E B F ?∴,AE BC AE BF ^^ 即AE BC ^,AE BF ^，又BC Ì平面BCF ，且BC BFB ?∴AE BCF ^平面 …… ……6分（Ⅱ）设平面ACF 的法向量1(,,)x y z =n∵(0,2,0),(1,1,2)CA CF ==-由1100CA CF ìï?ïíï?ïîn n 得2020y x y z ì=ïïíï+-=ïî，令1z =，得2x =，∴1(2,0,1)=n 同理可得平面BCF 的一个法向量2(0,2,1)=n ，∴1212121cos ,5×==n n n n n n 由图判断二面角A CF B --的平面角为钝角，∴其余弦值为15-．………12分19．（12分） 根据题意得到x 取的各组中点值依次为3,7,11,15,19；x 取这些中点值的概率依次为0.25,0.4,0.2,0.1,0.05（Ⅰ）从乘客中任选2人，其乘车里程相差超过10km 有3种情况：3km 和15km ；3km 和19km ；7km 和19km ．∴从乘客中任选2人，其乘车里程相差超过10km 的概率为：0.250.10.250.050.40.050.0575P =⨯+⨯+⨯= ………………………… 5分（Ⅱ）答案一：依题意乘客被简化为只有五类，其乘车里程依次为3km,7km,11km,15km,19km.乘车里程为3km 的乘客其打车总费用3001%0.2510=7.5⨯⨯⨯（万元）乘车里程为7km 的乘客其打车总费用()3001%0.410+1.34=18.24⨯⨯⨯⨯（万元） 乘车里程为11km 的乘客其打车总费用()3001%0.210+1.38=12.24⨯⨯⨯⨯（万元） 乘车里程为15km 的乘客其打车总费用()3001%0.110+1.312=7.68⨯⨯⨯⨯（万元） 乘车里程为19km 的乘客其打车总费用()3001%0.0510+1.316=4.62⨯⨯⨯⨯（万元） ∴出租车公司一天的总收入为7.5+18.24+12.24+7.68+4.62=50.28（万元）…12分 答案二：依题意，将乘客按其乘车里程分为五组，分别计算每一组乘客的乘车总费用为：第一组：()()3001%1020.0625+10+1 1.310.0625+10+2 1.310.0625⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎡⎤⎣⎦=()3001%0.062540+1+2 1.3=8.231258.23轾创创 臌（万元） 第二组：()()()()3001%10+3 1.310.1+10+4 1.310.1+10+5 1.310.1+10+6 1.310.1轾创创创创创创创臌=()3001%0.140+3+4+5+6 1.3=19.02轾创创臌（万元） 第三组：()()()()3001%10+7 1.310.05+10+8 1.310.05+10+9 1.310.05+10+10 1.310.05轾创创创创创创创臌=()3001%0.0540+7+8+9+10 1.3=12.63轾创创臌（万元） 第四组：()()()()3001%10+11 1.310.025+10+12 1.310.025+10+13 1.310.025+10+14 1.310.025轾创创创创创创创臌=()3001%0.02540+11+12+13+14 1.3=7.8757.88轾创创 臌（万元） 第五组：()()()()3001%10+15 1.310.0125+10+16 1.310.0125+10+17 1.310.0125+10+18 1.310.0125轾创创创创创创创臌=()3001%0.012540+15+16+17+18 1.3=4.7175 4.72轾创创 臌（万元） ∴出租车公司一天的总收入为8.23+19.02+12.63+7.88+4.72=52.48（万元）………… 12分 以上两种答案均视为正确．20．（12分）（Ⅰ）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，即2c a =，又∵222c a b =- ∴222a b = 又∵1290F PF ? ，∴1212112F PF S PF PF D =?， 由点P 在椭圆上，∴122PF PF a +=，在12Rt F PF D 中，222124PF PFc += 可得21b =，22a =∴椭圆的标准方程为2212x y += ………………………… 5分 （Ⅱ）不妨设1F 是左焦点，11(,)P x y ，22(,)Q x y 依题意知,PQ PM PQ QN ^^,点M ,N 分别在x 轴上，∴直线PQ 的倾斜角不等于90°.设直线PQ 的斜率为k ，倾斜角为q ，则直线PQ 的方程为:()y k x c =+ 解方程组2222()1y k x c x y ab ì=+ïïïíï+=ïïïî，得：22222222222()20b a k x a ck x ac k a b +++-= 设此方程的两个根为12,x x ，由韦达定理得222222212122222222a ck a c k a b x x x x b a k b a k ，--+==++ 且1122(),()y k x c y k x c =+=+可得PQ =()2222221ab k b a k +=+ 故MN=(2222221cos ab k PQb a k q +=+，又∵c e a ==，222a b c =+∴222a b = ∴2232224(1)(12)a k MNk +=+，令()211t k t =+ ， 32()(21)t f t t =- 则()22343(21)4(21)(21)t t t t f t t ---¢=-=24(21)(23)(21)t t t t --- ∴()0f t ¢=，得0t =，或12t =，或32t =当312t＃时，()0f t ¢£，故函数()f t 在31,2轾犏犏臌上为减函数， 当32t <时，()0f t ¢>，故函数()f t 在3,2骣÷ç+ ÷ç÷ç桫上为增函数， ∴()f t 有最小值327232f 骣÷ç=÷ç÷ç桫， ∴MN时，2312k +=，即2k = ．………………………… 12分21．（12分）（Ⅰ）已知()ln()ln()(0)f x a x a x a =+-->则'22112()af x a x a x a x =+=+--， '222(0)a f a a==，由题意知'(0)2f =，∴22a = ∴1a = …………… 4分（II ）令32()()2(0)3x g x f x x x =-- 则3222222()()2()22223x a g x f x x f x x x a x ¢骣÷çⅱ÷=--=--=--ç÷÷ç-桫4222222=((1))x a x a a a x--+-- i)当01a < 时，210a - ，20a a - 当0xa ?时，4222(1)0x a x a a --+- ，即()0g x '≥∴函数()g x 在[)0,a 上为增函数 ∴()(0)0g x g ?，即当01a < 时，32()23x f x x? ii)当1a >时，210a ->，20a a -<∴0x a <<时，22(1)0x a --<，222(1)0x x a 轾--<犏臌从而4222(1)0x a x a a --+-<，即()0g x '< 从而函数()g x在(上为减函数∴0x <<当时()(0)0g x g <=，这与题意不符综上所述当0x ³时，32()23x f x x ?，a 的取值范围为01a < …………… 12分22．（10分）（Ⅰ）∵GA GF =∴GAF GFA ? ， ∵GC 与圆相切于C ∴EAC GCEFCD ??∵,GAF EAC CAD GFA FCD CDA ??行=? ，∴CAD CDA ? ∴CA CD =. ……………………………………………………………… 5分（Ⅱ）∵H 为AD 的中点, CA CD =，∴CH AB ^，连结BC ，∵AB 是直径, C 点在圆上∴90ACB ? ， ∴2BH BA BC ?，∵,BCF CAB CAB CDA ?行= ，∴BCF D ? ，又∵CBF DBC ? ， ∴CBF D ∽DBC D ，∴CB BFDB BC=∴2BC DB BF = ， 故BH BA BF BD ? ． …………… 10分23．（10分）（Ⅰ）以O 为极点，Ox 为极轴，建立极坐标系，设点Q ,P 的极坐标分别为(),r q ，()1,r q ，由题意11r r ?，0r ¹，得11r r =，∴点P 的直角坐标为cos sin ,q q r r 骣÷ç÷ç÷ç÷桫， P 在直线2210x y +-=上，∴2cos 2sin 10q qr r+-=，2cos 2sin r q q =+， 化成直角坐标方程得22(1)(1)2x y -+-=()0,0x y 构且，∴Q 点的轨迹是以(1,1)为半径的圆（原点除外）． …………………5分（Ⅱ）Q点轨迹的参数方程为15()41x y 为参数,jpj j jìï=+ï¹íï=+ïî则77810sin()x y q q j a +++=++，其中1tan 7a =∴7x y +的最大值是18． ………………………………………10分 24．（10分） （Ⅰ）111()()()()f x f x a a x a a x xx+-=-+--?---112x x x x=+=+ ……………………………………5分 （Ⅱ）函数()23()(2)22322a x x a a y f x f x x a x a xa x a x a x ìïïïï- ïïï骣ïï÷ç=+=-+-=-< ÷íç÷çï桫ïïï骣ï÷çï->÷çï÷çï桫ïî函数的图象为：当2a x =时，min 2a y =-，依题意，122a -<，则1a >- ∴a 的取值范围是10a -<< …………………………………………………………10分以上各题的其他解法，限于篇幅从略，请相应评分．。
2015高考数学全国2卷试题及答案(清晰版)
2015年普通高等学校招生全国统一考试试题及答案理科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合{}21012，，，，--=A ,()(){}021<+-=x x x B ,则=B A A、{}0,1-B、{}1,0C、{}101，，-D、{}210，，2、若a 为实数，且()()i i a ai 422-=-+，则=a A、-1B、0C、1D、23、根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是A、逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最明显B、2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C、2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D、2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4、已知等比数列{}n a 满足31=a ，21531=++a a a ，则=++753a a aA、21B、42C、63D、845、设函数()()⎩⎨⎧-+=-1222log 1x x x f ,11≥<x x ,则()()=+-12log 22f f A、3B、6C、9D、126、一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则截去部分体积与所剩部分体积的比值为A、81B、71C、61D、517、过三点()31，A ，()24，B ，()7,1-C 的圆与y 轴交于M 、N 两点，则=MN A、62B、8C、64D、108、右边程序框图的算法思路源于我国古代算术名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14,18，则输出的=a A、0B、2C、4D、149、已知A ，B 是球O 的球面上两点， 90=∠AOB ，C 为该球面上的动点。
(完整版)乌市二模理科数学试题
乌鲁木齐地区2015年高三年级第二次诊断性测验理科数学试卷第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={}13<<-x x ，B={}42<x x ，则集合A ⋂B= A. (-2，2)B. (-3，2)C. (-2，1)D. (-3，1)2.复数ii -12的共轭复数是 A. 1+i B. -1+i C. 1-i D. -1-i3.若角α的终边过点P(-3,-4),则cos )2(απ-的值为 A. 2524- B. 257- C. 257 D. 25244.设m ，n 是两条不同的直线，βα,是两个不重合的平面，下列四个命题： ① m n m n αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭； ② m m ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭； ③ m m n n αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭∥； ④ m m n n αβαβ⊂⎫⎪⇒⊂⎬⎪⎭∥∥ 。
其中为真命题的是A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④5.曲线x xe y =在点（1，e ）处的切线与直线0ax =++c by 垂直，则b a 的值为 A. e 21- B. e 2- C. e 2 D. e21 6.设函数2sinx -x ）f(x =是区间,2t t π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的减函数，则实数t 的取值范围是 A. 2,2()36k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦ B. 112,2()36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ C. 2,2()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ D. 72,2()36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦7.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的表面积为 A.163π B. 83π C.43π D. 23π 8.如图算法，若输入m=210，n=119，则输出的n 为A. 2B. 3C. 7D. 119.一个人将编号为1，2，3，4的四个小球随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了。
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乌鲁木齐地区2015年高三年级第二次诊断性测验理科数学试题参考答案及评分标准1.选C .【解析】∵{}31A x x =-<<，{|22}B x x =-<<，∴()2,1A B =-，故选C . 2.选D .【解析】∵()()()2122211112i i i i i i i i +-===-+--+，其共轭复数是1i --故选D. 3.选C .【解析】依题意，3cos 5a =-，则cos(2)p a -=()27cos22cos 1=25a a -=-- 故选C .4.选B . 【解析】①错，②对，③对，④错. 故选B.5.选D .【解析】x x y e xe ¢=+，曲线在()1,e 处切线的斜率2k e =，∵此切线与直线0ax by c ++=垂直，∴直线0ax by c ++=的斜率12a b e-=-，即12a b e = . 故选D. 6.选A .【解析】由题意得()12cos 0f x x ¢=- ，即1cos 2x ³解得： ()22,33k x k k ππππ-≤≤+∈Z ，∵()2sin f x x x =-是区间[,]2t t π+上的减函数,∴[,]2t t π+Í2,233k k p p p p 轾犏-+犏臌，∴2236k t k ppp p -＃-，故选A . 7.选A .【解析】如图该几何体为一三棱锥，设外接球半径为r 由题意得)2221r r=+，解得r =∴216=43S r pp =球，故选A . 8.选C .【解析】执行第一次运算91,119,91r m n ===，执行第二次运算28,91,28rm n ===，执行第三次运算7,28,7r m n ===，执行第四次运算0r =输出7n =.故选C .9.选C .【解析】将四个不同小球放入四个不同盒子，每个盒子放一个小球，共有44A 种不同放法，放对的个数ξ可取的值有0，1,2,4. 其中()449308P A ξ===，()14442113C P A ξ⨯===,()2444124C P A ξ===,()4411424P A ξ===， 31110124183424E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.故选C.10.选C .【解析】∵12f x 骣÷ç+÷ç÷ç桫为奇函数，则函数()y f x =的图像关于点1,02骣÷ç÷ç÷ç桫对称，则函数()y g x =的图象关于点1,12骣÷ç÷ç÷ç桫对称，故函数()g x 满足()()12g x g x +-=. 设1215=161616S g g g 骣骣骣鼢 珑 +++鼢 珑 鼢 珑 桫桫桫，倒序后得15141=161616S g g g 骣骣骣鼢珑 +++鼢 珑 鼢 珑 桫桫桫，两式相加后得1152141512=++=152161616161616S g g g g g g 轾轾轾骣骣骣骣骣骣鼢鼢鼢珑珑珑犏犏犏++++ 鼢鼢鼢珑珑珑鼢鼢鼢珑珑珑犏犏犏桫桫桫桫桫桫臌臌臌， ∴=15S .故选C .11.选A .【解析】()2,0F c ，渐近线方程为,b by x y x a a==-直线AB 的方程为：y x c =-+，设()11,A x y ，()22,B x y 依题意知，,A B 分别满足y x c b y x a ì=-+ïïïíï=ïïî，y x c b y x a ì=-+ïïïíï=-ïïî，得12,,ac ac x x a b a b ==+-∵2F A AB =，∴222F B F A =, ∴2acac c c a ba b骣÷ç-=-÷ç÷ç桫-+，化简得3b a =.故选A . 12.选B .【解析】∵()cos c a A C =+，∴()sin sin cos C A A C =+,即()()sin sin cos A C A A A C 轾+-=+臌,整理的()()sin cos 2sin cos A C A A A C +??,则()tan 2tan A C A +=,∵()cos 0c a A C =+>,∴()cos 0A C +>,∴A C +为锐角，故A 为锐角，则tan 0A >，()()()2tan tan tan tan tan 1tan tan 12tan A C AAC A C A A C AA+-轾=+-==臌+++ 12tan tan A A=?+,当且仅当12tan tan A A=时等号成立， ∴tan C 故选B .二、填空题13.填1±.【解析】由题意得：552r+155=10rr rr r r m T C x C m x x x --骣÷ç==÷ç÷ç桫，∴2,1r m == . 14.填18.【解析】∵90C ∠=︒,∴0CA CB ⋅=,∵2BM AM =,∴()2CM CB CM CA -=-,∴2CM CA CB =-, ∴()2222218CM CACA CB CACA CA ?-?==15.填(),0-∞.【解析】()()()120210x x x f x x ìï- ï=íï->ïî若0a b < ，由()()f a f b =得1212a b -=-，得a b =，与a b <矛盾； 若0a b <<，由()()f a f b =得2121a b -=-，得a b =，与a b <矛盾； 若0a b <<，由()()f a f b =得1221a b -=-，得222a b +=，而22a b +>，∴0212a b +<=，∴0a b +<16.填4.【解析】依题意知，直线AB 的斜率k 存在，且0k ¹，()()1,0,1,0F Q - 设其方程为()1y k x =-代入24y x =有()2222240k x k x k -++=设()()1122,,,A x y B x y 则121x x =，又2114y x =，2224y x =，∴2212121616y y x x ==,而12,y y 异号，∴124y y =-，∵()()11221,,1,FA x y QB x y =-=+,又∵QB AF ^， 故()()11221,1,0x y x y -?=，即()12121210x x x x y y +-+-=,将121x x =，124y y =-代入，有()121410x x +---=,∴124x x -=，又121,1AF x BF x =+=+,∴4AF BF -=三、解答题 17．（12分）（Ⅰ）当=1n 时，11213S a =+-，得12a =，由23n n S a n =+-得11213n n S a n ++=++-，两式相减，得11221n n n a a a ++=-+，即121n n a a +=-，∴()1121n n a a +-=-，而111a -=，∴数列{}1n a -是首项为1，公比为2的等比数列； …6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得111122n n n a ---=?，即121n n a -=+，()11212n n na n n n --=+=?∴()()()()0121n =1212223232n T n n -?+?+?++? ()()01211222322123n n n -=???+?++++()0121(1)12223222n n n n -+=???+? 令0121n 1222322n V n -=???+则123n 21222322n V n =???+两式相减得()121n 11212222=221212n n n n n n V n n n -?-=++++-??-- -∴()n 221121nn n V n n =?+=-+，∴()n (1)1212n n n T n +=-++ …12分18. (12分)（Ⅰ）连结A C ，∵四边形A BCD 是菱形，∴AB BC =又∵60ABC ? ，∴A BC D 是等边三角形， ∵M 是BC 中点, ∴AM BC ^，∵PA ^平面A BCD ,BC ⊂平面ABCD , ∴PA BC ⊥，在平面PMA 中AM PA A = ∴BC ^平面PMA∴平面PBC ^平面PMA ； …6分 （Ⅱ）设,AC BD 交于点O ，过O 作//OZ AP ,以点O 为坐标原点，分别以,,AC BD OZ 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，如图所示，建立空间直角坐标系：∵四边形A BCD 是边长为2的菱形，60ABC ? 得 2AC =,BD =PA =于是()()()(1,0,0,0,,,A B D P ---∵N 是PB 的中点,∴1,2N 骣ç?-çç桫，∵PA ^平面A BCD , ∴平面ABD 的一个法向量为1(0,0,1)=n 设平面A ND 的法向量2111(,,)x y z =n∵136(,,),(1,3,0)2AN AD =-=,由00AN AD ìï=ïíï=ïî22n n得11111102x x ìïï-+=ïïíïïï+=ïî， 令11y =，得1x =-1z =∴2(=-n ,∴1212123cos ,n n ×==n n n n ∴二面角N AD B --． …12分19．（12分）（Ⅰ）上半年的数据为：43,44,48,51,52,56,57,59,61,64,65,65,65,68,72,73,75,76,76,83,84,87,88,91,93其“中位数”为65，优质品有6个，合格品有10个，次品有9个.下半年的数据为：43,49,50,54,54,58,59,60,61,62,63,63,65,66,67,70,71,72, 72,73,77,79,81,88,92其“中位数”为65，优质品有9个，合格品有11个，次品有5个.则该企业生产一件产品的利润的分布列为：X5- 5 10 P1450 2150 1550()1421155510 3.7505050E X =-⨯+⨯+⨯= …5分（Ⅱ）由题意得：上半年 下半年优质品6 9 15非优质品19 16 3525 25 50()225061691960.857252515357K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯由于0.857 3.841<，所以没有95%的把握认为“优质品与生产工艺改造有关”. …12分20.（12分）（Ⅰ）已知椭圆2222x 1a y b+=的右焦点为()1,0F ，∴221ab -=又直线y x =-与椭圆有且仅有一个交点，∴方程组2222x 1ay x y b ìï=-ïïïíï+=ïïïî有且仅有一个解，即方程()222222270b a x x a a b +-+-=有且仅有一个解∴()()42222228470a a b a a b D =-+-=，即227a b +=，又∵221a b -=，∴224,3a b ==，∴椭圆M 的标准方程是22x 143y +=； …5分 （Ⅱ）依题意知椭圆的右焦点F 的坐标为()1,0，直线AB 的方程为x ky t =+（其中t 为直线AB 在x 轴上的截距）设()()1122,,,A x y B x y解方程组22x 143x ky t y ì=+ïïïíï+=ïïïî，得关于y 的一元二次方程()2234120ky t y ++-=即()2223463120k y tky t +++-=()()()()22222=643431248340tk k t k t D -+-=-+>，即234k t >-∵12,y y 是方程的两个解，∴122634tk y y k -+=+，212231234t y y k -=+，∵11x ky t =+，22x ky t =+∴()()()222212121212241234t k x x ky t ky t k y y kt y y t k -=++=+++=+()121228234tx x k y y t k +=++=+，∵FA FB ^，∴()()11221,1,0x y x y -?= 即()12121210x x x x y y -+++=，∴222222412831210343434t k t t k k k ---++=+++ 即227889t t k --=，又234k t >-，∴()2278834t t t -->-，即()210t ->，∴1t ≠，而20k ≥，∴27880t t -- ，解得t £t ³，∴t £t ³ …12分21．（12分）（Ⅰ）∵()()1ln 1ln ln 1f x x x x 骣÷ç¢=+-=+÷ç÷ç桫,∵0,x >∴111x +>，∴1ln 10x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭， ∴()0f x '>,∴函数()f x 在区间()0,+∞上单调递增. …4分 （Ⅱ）⑴当0a ≤时，0a - ，由0x >知111x+>，11x +>，则1ln 10x 骣÷ç+>÷ç÷ç桫，ln(1)0x +>， ∴()()()1g x f x a x =-+()1=ln 1ln 10x a x a x 轾骣÷ç犏+-++->÷ç÷ç犏桫臌∴当a 0£时，函数()g x 在()0+¥，上无零点； ⑵当0ln 2a <<时，()()''1g ln 1x fx a a x 骣÷ç=-=+-÷ç÷ç桫， 令()'g 0x =，得1x 1ae =-，由0ln 2a <<，知12a e <<,∴011a e <-<， ∴111a e >-，∴当101a x e <<-时，1ln 10a x 骣÷ç+->÷ç÷ç桫,∴()'g 0x >, 当11a x e >-时，1ln 10a x 骣÷ç+-<÷ç÷ç桫，∴()'g 0x < ∴函数()g x 在区间10,e 1a 纟çúççúè-û，上为增函数，在区间1+e 1a 骣÷ç¥÷ç÷ç桫-，上为减函数. ∴()0111max ln 1ln 0111a a a x g x g a e e e >骣骣鼢珑==+-=>鼢珑鼢珑桫桫---由0x ≥，()ln 1x +≤；03x ?，()3ln 13xx x +<+成立，∴1x ln1xx骣÷ç+<÷ç÷ç桫()3ln13xxx+<+，()0,3xÎ，取231=min,,993a aad骣÷ç÷ç÷ç÷-桫当0ln2a<<时，01d<<，∴当0x d<<时()()11ln1ln x1ln1ln x1x ax x axx x骣骣鼢珑++++?+++鼢珑鼢珑桫桫3333333x x a a ax ax ax ax x<+<+<++=++∴()()1x ln1ln110x a xx骣÷ç+++-+<÷ç÷ç桫，即()0g x<又()()g12ln222ln20a a=-=->由函数零点定理和函数()g x在区间1e1a纟çúççúè-û，为增函数,且()0,1Ì1e1a纟çúççúè-û，∴()1x0,1$使得()10g x=，取2maxMa禳镲镲=-睚镲镲镲铪，由0ln2a<<，知1M ，∴当x M>时，都有21xa>-，x>∴1x12a<+，12ax<+，∵()0,ln1x x x>+，∴()x1111ln1ln111122a ax a x x x x x骣÷ç+++<?<+=÷ç÷ç桫+++从而()1f xax<+，∴()g0x<，∴()2x1,$?使得()20g x=∴当0<a<ln2时，函数()g x在()0+¥，上有两个零点；⑶当a=ln2时由⑵知函数()g x在区间(]0,1上为增函数，在区间()1+¥，为减函数.∴()()max10g x g==，∴对x0">，()0g x£且当01x<<时，()()g10x g<=，当1x>时，()()g10x g<=从而当a=ln2时，函数()g x有且仅有一个零点；⑷当a>ln2时，2a e >，11a e -> 由⑵知函数()g x 在区间10,1a e ⎛⎤ ⎥-⎝⎦为增函数，在区间1,01a e ⎛⎫⎪-⎝⎭为减函数， ()011max ln 011a a x g x g e e >⎛⎫⎛⎫==< ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，∴对()0,x ∀∈+∞，()0g x <。