高中数学 第1章 计数原理 1.3.1 二项式定理学案 新人教A版选修23
高中数学 第一章 计数原理 1.3 二项式定理 1.3.3 二项式定理习题课教案 新人教A版选修2-
二项式定理习题课教学目标知识与技能1．能熟练地掌握二项式定理的展开式及其有关概念．2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．3．能熟练掌握杨辉三角及二项式系数的有关性质．4．会用二项式系数的性质解决一些简单问题，并能熟练地使用赋值法．过程与方法1．能解决二项展开式的有关概念问题：项、二项式系数、系数、有理项、无理项、常数项、整数项等．2．能用二项式定理解决诸如整除、近似值、求和等有关问题．3．能用二项式系数的有关性质，解决诸如：最值、二项式系数和、系数和等问题．情感、态度与价值观1．培养学生对整个数学知识的驾驭能力，能在一定高度上进行数学知识的应用．2．培养学生观察、归纳的能力以及分析问题与解决问题的能力．3．进一步提升学生学好数学用好数学的积极性，进一步提升学生学习数学的兴趣．重点难点教学重点：掌握二项展开式，掌握二项式系数的有关性质，掌握解决二项式定理性质等有关问题的方法．教学难点：利用二项式定理解决有关问题，利用二项式系数的性质解决有关问题．教学过程复习巩顾前面我们学习了二项式定理，请回顾：1．(a＋b)n＝________________(n∈N*)，这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做(a＋b)n的______________，其中C r n(r＝0,1,2，…，n)叫做______________，通项是指展开式的第__________________项，共有____________项．其中二项式系数是____________，系数是____________．2．二项式系数的四个性质(杨辉三角的规律) (1)对称性：____________________. (2)性质2：______________________.(3)二项式系数的最大值________________________．(4)二项式系数之和____________________，所用方法是____________________． 答案：1．(a ＋b)n＝C 0n a n＋C 1n an －1b ＋C 2n an －2b 2＋…＋C r n an －r b r＋…＋C n n b n(n∈N )、展开式、二项式系数、r ＋1、n ＋1、C rn 、变量前的常数2．(1)C mn ＝－mn (2)C rn ＋1＝C r －1n ＋C rn(3)当n 是偶数时，中间的一项取得最大值，即C n2n 最大；当n 是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，即C n －12n ＝C n ＋12n 最大(4)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C rn ＋…＋C nn ＝2n赋值法典型示例类型一：二项展开式的有关概念 例1试求：(1)(x 3－2x 2)5的展开式中x 5的系数；(2)(2x 2－1x)6的展开式中的常数项；(3)在(3x ＋32)100的展开式中，系数为有理数的项的个数．思路分析：理解二项展开式的有关概念，什么是二项式系数，什么是系数，什么是项，什么是常数项、有理项、无理项等，其实都是由通项入手，根据变量的系数、指数进行判断，当指数为0时是常数项，当指数是整数时是有理项，当指数是分数时是无理项．解：(1)T r ＋1＝C r5(x 3)5－r(－2x2)r ＝(－2)r C r 5x 15－5r ，依题意15－5r ＝5，解得r ＝2.故(－2)2C 25＝40为所求x 5的系数．(2)T r ＋1＝C r 6(2x 2)6－r(－1x)r ＝(－1)r ·26－r ·C r 6x 12－3r ，依题意12－3r ＝0，解得r ＝4.故(－1)4·22C 26＝60为所求的常数项．(3)T r ＋1＝C r 100(3x)100－r(32)r ＝C r100·350－r 2·2r 3x 100－r ，要使x 的系数为有理数，指数50－r 2与r 3都必须是整数，因此r 应是6的倍数，即r ＝6k(k∈Z )，又0≤6k≤100，解得0≤k≤1623(k∈Z )，∴x 的系数为有理数的项共有17项．点评：求二项展开式中具有某特定性质的项，关键是确定r 的值或取值X 围．应当注意的是二项式系数与二项展开式中各项的系数不是同一概念，要加以区分．[巩固练习]试求：(1)(x ＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数；(2)(|x|＋1|x|－2)3的展开式中的常数项．解：(1)∵(x＋2)10＝x 10＋20x 9＋180x 8＋…，∴(x＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数是－1＋180＝179.(2)∵(|x|＋1|x|－2)3＝(|x|－1|x|)6，∴所求展开式中的常数项是－C 36＝－20.类型二：二项展开式的有关应用——简单应用例2求(x －1)－(x －1)2＋(x －1)3－(x －1)4＋(x －1)5的展开式中x 2的系数． 解：∵(x－1)－(x －1)2＋(x －1)3－(x －1)4＋(x －1)5＝x －1{1－[－x －1]5}1－[－x －1]＝x －1＋x －16x ，∴所求展开式中x 2的系数就是(x －1)6的展开式中x 3的系数－C 36＝－20.点评：这是一组将一个二项式扩展为假设干个二项式相乘或相加，或扩展为简单的三项展开式的问题，求解的关键在于转化为二项展开式的问题，转化时要注意分析题目中式子的结构特征．能够最大限度地考查学生对知识的把握程度．[巩固练习](1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中x 3项的系数是( )A ．74B ．121C ．－74D ．－121 解析：先求和：(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8＝1－x 5[1－1－x4]1－1－x＝1－x5[4x －6x 2＋4x 3－x 4]x，分子的展开式中x 4的系数，即为原式的展开式中x 3项的系数，(－1)×1＋4×(－C 15)－6C 25＋4×(－C 35)＝－1－20－60－40＝－121，所以选D.答案：D类型三：二项展开式的有关应用：整除、不等式、近似值等问题 例3证明：(1)2≤(1＋1n)n <3，其中n∈N *；(2)证明：对任意非负整数n,33n－26n －1可被676整除．思路分析：对于二项式中的不等式，通过展开式，分析其中的特殊项，可以证明一些简单的不等式问题；对于整除问题同样如此，关键是把二项式拆成676的形式；对于比较麻烦的数列问题，我们经常采用的方法就是数学归纳法，此题也不例外．证明：(1)(1＋1n )n ＝1＋C 1n ·1n ＋C 2n (1n )2＋…≥2(当且仅当n ＝1时取等号)．当n ＝1时，(1＋1n)n＝2<3显然成立；当n≥2时，(1＋1n )n ＝C 0n ＋C 1n ·1n ＋C 2n ·1n 2＋…＋C nn ·1n n ＝2＋n(n －1)2！1n 2＋n(n －1)(n －2)3！1n 3＋…＋n(n －1)…2·1n ！1n n ＝2＋12！n n n －1n ＋13！n n n －1n n －2n ＋…＋1n ！n n n －1n …2n 1n <2＋12！＋13！＋…1n ！<2＋11×2＋12×3＋…＋1n(n －1)＝2＋(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1－1n )＝3－1n <3.综上所述：2≤(1＋1n)n <3，其中n∈N *.(2)当n ＝0，n ＝1时33n－26n －1＝0，显然33n－26n －1可被676整除．当n≥2时，33n－26n －1＝27n－26n －1＝(1＋26)n－26n －1＝1＋26n ＋C 2n ·262＋…＋C nn ·26n－26n －1＝C 2n ·262＋C 3n ·263＋…＋C nn 26n＝676(C 2n ＋26C 3n ＋…＋26n －2C nn)．综上所述：对任意非负整数n,33n－26n －1可被676整除．点评：用二项式定理解决整除问题是二项式定理的一大特色，这是二项展开式的一种基本应用，通过对二项式的拆解，我们可以解决一些看似很难但易解决的问题．[巩固练习]m ，n 是正整数，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x 的系数为7， (1)试求f(x)中的x 2的系数的最小值；(2)对于使f(x)中的x 2的系数为最小的m ，n ，求出此时x 3的系数； (3)利用上述结果，求f(0.003)的近似值(精确到0.01)． 解：根据题意得：C 1m ＋C 1n ＝7，即m ＋n ＝7.(*)(1)x 2的系数为C 2m＋C 2n＝m(m －1)2＋n(n －1)2＝m 2＋n 2－m －n2.将(*)变形为n ＝7－m 代入上式得：x 2的系数为m 2－7m ＋21＝(m －72)2＋354.故当m ＝3或4时，x 2的系数的最小值为9.(2)当m ＝3，n ＝4或m ＝4，n ＝3时，x 3的系数为C 33＋C 34＝5. (3)f(0.003)≈2.02.类型四：二项式系数的最大值、系数的最大值问题 例4求(x －1)9的展开式中系数最大的项．思路分析：二项式系数最大的项我们可以根据公式求解，但是系数最大的项怎么求呢？观察此题中二项式系数与系数之间的关系，我们发现它们只不过相差一个负号而已，所以可以通过二项式系数的大小反映系数的大小，只不过要注意正负号．解：T r ＋1＝(－1)r C r 9x 9－r .∵C 49＝C 59＝126，而(－1)4＝1，(－1)5＝－1，∴T 5＝126x 5是所求系数最大的项．点评：此类问题仍然是利用二项展开式的通项公式来求解，但在解题过程中要注意一些常用方法和数学思想的应用．[巩固练习] 求(x ＋124x)8展开式中系数最大的项．解：记第r 项系数为T r ，设第k 项系数最大，那么有⎩⎪⎨⎪⎧T k ≥T k －1，T k ≥T k ＋1，又T r ＝C r －182－r ＋1，那么有⎩⎪⎨⎪⎧C k －182－k ＋1≥C k －282－k ＋2，C k －182－k ＋1≥C k 82－k ，即⎩⎪⎨⎪⎧8！(k －1)！(9－k)！≥8！(k －2)！(10－k)！×2，8！(k －1)！(9－k)！×2≥8！k ！(8－k)！，∴⎩⎪⎨⎪⎧1k －1≥2k －2，29－k ≥1k .解得3≤k≤4，∴系数最大的项为第3项T 3＝7x 52和第4项T 4＝7x 72.类型五：二项式系数之和、系数之和等问题例5假设(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，那么(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值等于__________；思路分析：注意到与系数的和差有关，所以可以用赋值法求得奇数项的系数之和与偶数项的系数之和，注意使用平方差公式．解：令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(2＋3)4，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(3－2)4，由此可得(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4)＝[(3＋2)(3－2)]4＝1.点评：在二项式系数的性质应用中，尤其是系数和的问题，我们经常使用赋值法，这是一种奇妙的方法，可以帮助我们在不用计算每一个系数的前提下，求出各个系数的和．[巩固练习](1－2x)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7， 求(1)a 0＋a 1＋…＋a 7的值；(2)a 0＋a 2＋a 4＋a 6及a 1＋a 3＋a 5＋a 7的值； (3)各项二项式系数和．解：(1)令x ＝1，那么a 0＋a 1＋…＋a 7＝－1.(2)令x ＝－1，那么a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 6－a 7＝2 187. 那么a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1 094；a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝1 093. (3)各项二项式系数和C 07＋C 17＋…＋C 77＝27＝128. [拓展实例]例1(1＋3x)6(1＋14x)10的展开式中的常数项为( )A．1 B．46 C．4 245 D．4 246思路分析：对于非一般的二项式问题，要注意转化成二项式问题解决．此题虽然有两个式子相乘，只要我们写出整个式子的通项，令指数为0，即可求得常数项．解：先求(1＋3x)6的展开式中的通项．T r＋1＝C r6(x13)r＝C r6xr3，r＝0,1,2,3,4,5,6.再求(1＋14x )10的展开式中的通项．T k＋1＝C k10(x－14)k＝C k10x－k4，k＝0,1,2,3,4，…，10.两通项相乘得：C r6x r3C k10x－k4＝C r6C k10xr3－k4，令r3－k4＝0，得4r＝3k，这样一来，(r，k)只有三组：(0,0)，(3,4)，(6,8)满足要求．故常数项为：1＋C36C410＋C66C810＝4 246.点评：对于乘积的式子或者三项的式子的展开问题，我们可以通过化归思想，将其转化成二项展开式问题．要注意此题中，常数项的位置有三处．[巩固练习](1＋x＋x2)(x＋1x3)n的展开式中没有．．常数项，n∈N*，且2≤n≤8，那么n＝______.解析：依题意(x＋1x3)n，对n∈N*，且2≤n≤8中，只有n＝5时，其展开式既不出现常数项，也不会出现与x、x2乘积为常数的项．故填5.答案：5[变练演编](1)对于9100你能编出什么样的整除问题？如9100被________整除的余数是________．(2)(2x2－1x)6的展开式中的常数项是第____________项，整数项是第______________项，x的最高次项是第______________项，二项式系数之和是______________，系数之和是______________．将你能得到的所有正确的答案一一列举出来．答案：(1)这是一个开放性的问题，学生可以有多种答案，比如说9100被8整除的余数是1,9100被80整除的余数是1等等．(2)T r ＋1＝C r6(2x 2)6－r(－1x)r ＝(－1)r ·26－r ·C r 6x 12－3r .依题意12－3r ＝0，解得r ＝4，所以常数项是第5项；整数项是第1,2,3,4,5项；x 的最高次项是第1项；二项式系数之和为64；系数之和为1.设计意图：变练演编——这种开放性的设计，能够有效地提高学生学习的积极性，使得编题不仅仅是老师的专利，学生在编题解题的过程中，领悟知识，提高能力，增长兴趣，增强信心，不仅有助于训练同学们的常规思维，还能培养同学们的逆向思维，最终提高学生的数学成绩．[达标检测] 1．(x －13x)12展开式中的常数项为( )A ．－1 320B ．1 320C ．－220D ．220 2．(1－x)6(1＋x)4的展开式中x 的系数是( ) A ．－4 B ．－3 C ．3 D ．4 3．假设(1－2x)2 005＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 005x2 005(x∈R )，那么(a 0＋a 1)＋(a 0＋a 2)＋(a 0＋a 3)＋…＋(a 0＋a 2 005)＝________(用数字作答)．答案：1.C 2.B 3.2 003反考老师：即由学生出题，教师现场解答(约8分钟)．(活动设计：请学生到黑板板书题目，要求别太烦琐，且与本节习题课内容相符．一般不多于3道题，教师尽可能全部解答，具体解答数目视题目难度和时间而定．教师要边做边讲，以向学生现场展示解题思路的发现过程和解题能力．做完后，请学生给“阅卷〞)课堂小结活动设计：先给学生1～2分钟的时间默写本节的主要基础知识、方法，例题、题目类型、解题规律等；然后用精练的、精确的语言概括本节的知识脉络，思想方法，解题规律等．活动成果：(板书)1．知识收获：二项式定理、二项展开式、二项式系数的性质．2．方法收获：利用二项式定理解决有关问题，利用二项式系数的性质解决有关问题． 3．思维收获：合作意识，创新精神，增加了学习数学的积极性，提升学习数学的兴趣． 设计意图：通过学生自己总结所学、所识、所想，不但能充分表达新课程的理念，还能充分发挥学生在课堂上的“主人翁〞精神，真正表达了学生的主体地位．不仅可以使学生更好地掌握本节所学，而且还能提高学生学习的主动性，提高学生学习数学的兴趣，久而久之，学生的数学水平与数学素养必定会得到长足的提高！补充练习[基础练习]1．计算1－3C 1n ＋9C 2n －27C 3n ＋…＋(－1)n 3n C nn . 2．(x ＋1x －2)3的展开式中，常数项是________．3．(3x －13x2)n ，n∈N *的展开式中各项系数和为128，那么展开式中1x3的系数是( )A ．7B ．－7C ．21D ．－21 4．求(x －13x)10的展开式中有理项共有________项．1．解：原式＝C 0n ＋C 1n (－3)1＋C 2n (－3)2＋C 3n (－3)3＋…＋C 3n (－3)n＝(1－3)n＝(－2)n. 2．解析：(x ＋1x －2)3＝[(x －1)2x ]3＝(x －1)6x 3. 上述式子展开后常数项只有一项C 36x3－13x3，即－20.3．解析：由条件可得：(3－1)n＝128，n ＝7. ∵T r ＋1＝(－1)r C r7(3x)7－r(13x2)r ＝(－1)r C r 737－rx7－53r.令7－5r3＝－3，那么有：r ＝6.所以二项展开式中1x 3的系数是：T 7＝(－1)6C 6737－6＝21，应选C.4．解析：∵T r ＋1＝C r10(x)10－r(－13x)r ＝C r 10(－1)rx5－56r.∴当r ＝0,6时，所对应的项是有理项．故展开式中有理项有2项． [拓展练习]5．(1＋kx 2)6(k 是正整数)的展开式中，x 8的系数小于120，那么k ＝____________. 6．设n∈N ，那么C 1n ＋C 2n 6＋C 3n 62＋…＋C n n 6n －1＝____________.5．解析：(1＋kx 2)6按二项式定理展开的通项为T r ＋1＝C r6(kx 2)r＝C r 6k r x 2r，我们知道x 8的系数为C 46k 4＝15k 4，即15k 4<120，也即k 4<8，而k 是正整数，故k 只能取1.6．解：C 1n ＋C 2n 6＋C 3n 62＋…＋C n n 6n －1＝16C 0n ＋C 1n ＋C 2n 6＋…＋C n n 6n －1－16C 0n ＝16(C 0n ＋C 1n 6＋C 2n 62＋…＋C n n 6n －1)＝16[(1＋6)n－1]＝16(7n －1)．设计说明二项式定理的内容，是各地高考中经常要考查的内容之一，其形式主要是选择题和填空题，题型往往相对稳定，思路方法常常是利用二项展开式的通项公式、二项式系数的有关性质等．常见的二项式问题有：求二项展开式中某一项或某一项的系数，求所有项系数的和或奇(偶)数项系数和，求展开式的项数，求常数项，求近似值，证明不等式等．实际教学的过程中，要努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生发挥其创造意识，以使他们能在创造的氛围中学习．二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式——二项式的乘方的展开式．二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系．掌握好二项式定理既可对初中学习的多项式的变形起到很好的复习、深化作用，又可以为进一步学习概率统计做好必要的知识储备．所以有必要掌握好二项式定理的相关内容．备课资料 二项式定理 同步练习选择题1．C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，那么n 等于( )word11 / 11 A ．14 B ．12 C ．13 D ．152．C 0n ＋3C 1n ＋9C 2n …＋3n C nn 的值等于( )A ．4nB ．3·4n C.4n 3－1 D.4n－133．C 111＋C 311＋…＋C 911的值为( )A ．2 048B ．1 024C ．1 023D ．5124．(x ＋1)(2x ＋1)(3x ＋1)……(nx＋1)展开式中x 的一次项系数为( )A ．C n －1nB ．C 2nC ．C 2n ＋1D ．不能用组合数表示5．设(1＋x ＋x 2)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…a 2n x 2n，那么a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2n 等于 …() A ．22n B ．3n C.3n －12 D.3n＋126．假设n 是正奇数，那么7n ＋C 1n 7n －1＋C 2n 7n －2＋…C n －1n 7被9除的余数为( )A ．2B ．5C ．7D ．87．(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)10展开式中x 4的系数为( )A ．C 511 B ．C 411 C ．C 510D ．C 410填空题8．(a ＋b)n 展开式中第r 项为__________．9．11100－1的末位连续零的个数为__________．参考答案1．A 2.A 3.C 4.C 5.B 6.C 7.A5．提示：令x ＝1即可．8．T r ＝C r －1n a n ＋1－rb r －19．3。
高中数学 第一章 计数原理 1.3 二项式定理 1.3.1 二项式定理学案 新人教A版选修23
1.3.1 二项式定理学习目标 1.能用计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．知识点 二项式定理及其相关概念思考1 我们在初中学习了(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，试用多项式的乘法推导(a ＋b )3，(a ＋b )4的展开式．答案 (a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3，(a ＋b )4＝a 4＋4a 3b ＋6a 2b 2＋4ab 3＋b 4. 思考2 能用类比方法写出(a ＋b )n (n ∈N *)的展开式吗？ 答案 能，(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n (n ∈N *)．梳理1．(a ＋b )n展开式中共有n 项．( × )2．在公式中，交换a ，b 的顺序对各项没有影响．( × ) 3．C k n an －k b k是(a ＋b )n 展开式中的第k 项．( × )4．(a －b )n与(a ＋b )n的二项式展开式的二项式系数相同．( √ )类型一 二项式定理的正用、逆用例1 (1)求⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4的展开式．考点 二项式定理题点 运用二项式定理求展开式解 方法一 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝(3x )4＋C 14(3x )3·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋C 24(3x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋C 34(3x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2. 方法二 ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝1x 2(1＋3x )4＝1x 2·[1＋C 14·3x ＋C 24(3x )2＋C 34(3x )3＋C 44(3x )4]＝1x2(1＋12x ＋54x 2＋108x 3＋81x 4)＝1x 2＋12x＋54＋108x ＋81x 2.(2)化简：C 0n (x ＋1)n －C 1n (x ＋1)n －1＋C 2n (x ＋1)n －2－…＋(－1)k C k n (x ＋1)n －k＋…＋(－1)n C nn .考点 二项式定理题点 逆用二项式定理求和、化简 解 原式＝C 0n (x ＋1)n ＋C 1n (x ＋1)n －1(－1)＋C 2n (x ＋1)n －2(－1)2＋…＋C k n (x ＋1)n －k(－1)k＋…＋C nn (－1)n＝[(x ＋1)＋(－1)]n＝x n. 引申探究若(1＋3)4＝a ＋b 3(a ，b 为有理数)，则a ＋b ＝________. 答案 44解析 ∵(1＋3)4＝1＋C 14×(3)1＋C 24×(3)2＋C 34×(3)3＋C 44×(3)4＝1＋43＋18＋123＋9＝28＋163，∴a ＝28，b ＝16，∴a ＋b ＝28＋16＝44.反思与感悟 (1)(a ＋b )n的二项展开式有n ＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n ；②字母a 按降幂排列，从第一项起，次数由n 逐项减1直到0；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n .(2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．跟踪训练1 化简：(2x ＋1)5－5(2x ＋1)4＋10(2x ＋1)3－10(2x ＋1)2＋5(2x ＋1)－1. 考点 二项式定理题点 逆用二项式定理求和、化简解 原式＝C 05(2x ＋1)5－C 15(2x ＋1)4＋C 25(2x ＋1)3－C 35(2x ＋1)2＋C 45(2x ＋1)－C 55(2x ＋1)0＝[(2x ＋1)－1]5＝(2x )5＝32x 5. 类型二 二项展开式通项的应用 命题角度1 二项式系数与项的系数 例2 已知二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －23x 10. (1)求展开式第4项的二项式系数； (2)求展开式第4项的系数；(3)求第4项．考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式特定项的系数 解 ⎝⎛⎭⎪⎫3x －23x 10的展开式的通项是 T k ＋1＝C k 10(3x )10－k⎝ ⎛⎭⎪⎫－23x k ＝C k 10310－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23k ·1032kx- (k ＝0,1,2，…，10)．(1)展开式的第4项(k ＝3)的二项式系数为C 310＝120. (2)展开式的第4项的系数为C 31037⎝ ⎛⎭⎪⎫－233＝－77 760. (3)展开式的第4项为T 4＝T 3＋1＝－77 760x .反思与感悟 (1)二项式系数都是组合数C kn (k ∈{0,1,2，…，n })，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念． (2)第k ＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C kn .例如，在(1＋2x )7的展开式中，第四项是T 4＝C 3717－3(2x )3，其二项式系数是C 37＝35，而第四项的系数是C 3723＝280.跟踪训练2 已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x n 展开式中第三项的系数比第二项的系数大162.(1)求n 的值；(2)求展开式中含x 3的项，并指出该项的二项式系数． 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式特定项的系数解 (1)因为T 3＝C 2n (x )n －2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2＝4C 2n 62n x-，T 2＝C 1n (x )n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＝－2C 1n 32n x -，依题意得4C 2n ＋2C 1n ＝162，所以2C 2n ＋C 1n ＝81， 所以n 2＝81，n ∈N *，故n ＝9.(2)设第k ＋1项含x 3项，则T k ＋1＝C k 9(x )9－k⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x k ＝(－2)k C k9932k x-，所以9－3k 2＝3，k ＝1，所以第二项为含x 3的项为T 2＝－2C 19x 3＝－18x 3. 二项式系数为C 19＝9.命题角度2 展开式中的特定项例3 已知在⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －33x n的展开式中，第6项为常数项．(1)求n ；(2)求含x 2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项． 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式的特定项 解 通项公式为T k ＋1＝C kn3n k x-(－3)k3k x-＝C k n(－3)k23n k x-.(1)∵第6项为常数项，∴当k ＝5时，有n －2k3＝0，即n ＝10.(2)令10－2k 3＝2，得k ＝12(10－6)＝2，∴所求的系数为C 210(－3)2＝405. (3)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧10－2k3∈Z ，0≤k ≤10，k ∈N .令10－2k3＝t (t ∈Z )， 则10－2k ＝3t ，即k ＝5－32t .∵k ∈N ，∴t 应为偶数．令t ＝2,0，－2，即k ＝2,5,8.∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x 2，－61 236,295 245x －2. 反思与感悟 (1)求二项展开式的特定项的常见题型 ①求第k 项，T k ＝C k －1n an －k ＋1b k －1；②求含x k 的项(或x p y q 的项)；③求常数项；④求有理项．(2)求二项展开式的特定项的常用方法①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；③对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．跟踪训练3 (1)若⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 9的展开式中x 3的系数是－84，则a ＝________. 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 由特定项或特定项的系数求参数 答案 1解析 展开式的通项为T k ＋1＝C k 9x 9－k(－a )k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1xk＝C k9·(－a )k x9－2k(0≤k ≤9，k ∈N )．当9－2k ＝3时，解得k ＝3，代入得x 3的系数， 根据题意得C 39(－a )3＝－84，解得a ＝1.(2)已知n 为等差数列－4，－2,0，…的第六项，则⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2x n的二项展开式的常数项是________．考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式的特定项 答案 160解析 由题意得n ＝6，∴T k ＋1＝2k C k 6x6－2k，令6－2k ＝0得k ＝3，∴常数项为C 3623＝160.1．(x ＋2)n的展开式共有11项，则n 等于( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．8 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 由特定项或特定项的系数求参数 答案 B解析 因为(a ＋b )n 的展开式共有n ＋1项，而(x ＋2)n的展开式共有11项，所以n ＝10，故选B.2．1－2C 1n ＋4C 2n －8C 3n ＋…＋(－2)n C nn 等于( ) A ．1 B ．1 C ．(－1)nD ．3n考点 二项式定理题点 逆用二项式定理求和、化简 答案 C解析 逆用二项式定理，将1看成公式中的a ，－2看成公式中的b ，可得原式＝(1－2)n＝(－1)n.3.⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x n的展开式中，常数项为15，则n 的值为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 由特定项或特定项的系数求参数 答案 D解析 展开式的通项为T k ＋1＝C kn (x 2)n －k·(－1)k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x k ＝(－1)k C k n x 2n －3k.令2n －3k ＝0，得n ＝32k (n ，k ∈N *)，若k ＝2，则n ＝3不符合题意，若k ＝4，则n ＝6，此时(－1)4·C 46＝15，所以n ＝6.4．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 24的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有( ) A ．3项 B ．4项 C ．5项 D ．6项 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求多项展开式中的特定项 答案 C解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 24的展开式的通项为T k ＋1＝C k 24·(x )24－k ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x k ＝C k 245126kx -，故当k ＝0,6,12,18,24时，幂指数为整数，共5项． 5．求二项式(x －3x )9展开式中的有理项． 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求多项展开式中的特定项解 T k ＋1＝C k 9912kx -⎛⎫ ⎪⎝⎭·13kx ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝(－1)k C k9·276kx -，令27－k 6∈Z (0≤k ≤9)，得k ＝3或k ＝9，所以当k ＝3时，27－k 6＝4，T 4＝(－1)3C 39x 4＝－84x 4，当k ＝9时，27－k 6＝3，T 10＝(－1)9C 99x 3＝－x 3.综上，展开式中的有理项为－84x 4与－x 3.1．注意区分项的二项式系数与系数的概念． 2．要牢记C k n an －k b k是展开式的第k ＋1项，不要误认为是第k 项．3．求解特定项时必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为特定值．一、选择题1．S ＝(x －1)4＋4(x －1)3＋6(x －1)2＋4x －3，则S 等于( ) A ．x 4B ．x 4＋1 C ．(x －2)4D ．x 4＋4考点 二项式定理题点 逆用二项式定理求和、化简 答案 A解析 S ＝(x －1)4＋4(x －1)3＋6(x －1)2＋4(x －1)＋1＝C 04(x －1)4＋C 14(x －1)3＋C 24(x －1)2＋C 34(x －1)＋C 44＝[(x －1)＋1]4＝x 4，故选A.2．设i 为虚数单位，则(1＋i)6展开式中的第3项为( ) A ．－20i B ．15i C ．20D ．－15考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式中的特定项 答案 D解析 (1＋i)6展开式中的第3项为C 26i 2＝－15. 3．(x －2y )10的展开式中x 6y 4的系数是( ) A ．－840 B ．840 C ．210D ．－210考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式特定项的系数 答案 B解析 在通项公式T k ＋1＝C k 10(－2y )k x 10－k中，令k ＝4，即得(x －2y )10的展开式中x 6y 4的系数为C 410×(－2)4＝840.4．在⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x n 的展开式中，若常数项为60，则n 等于( )A ．3B ．6C ．9D ．12考点 二项展开式中的特定项问题题点 由特定项或特定项的系数求参数 答案 B解析 T k ＋1＝C k n(x )n －k⎝ ⎛⎭⎪⎫2x k ＝2k C kn 32n k x-.令n －3k2＝0，得n ＝3k .根据题意有2k C k3k ＝60，验证知k ＝2，故n ＝6.5．若(1＋3x )n (n ∈N *)的展开式中，第三项的二项式系数为6，则第四项的系数为( ) A ．4 B ．27 C ．36D ．108考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式特定项的系数 答案 D解析 T k ＋1＝C kn (3x )k，由C 2n ＝6，得n ＝4，从而T 4＝C 34·(3x )3，故第四项的系数为C 3433＝108.6．在二项式121412nx x ⎛⎫⎪+⎪⎝⎭的展开式中，若前三项的系数成等差数列，则展开式中有理项的项数为( ) A ．5 B ．4 C ．3D ．2考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求多项展开式中的特定项 答案 C解析 二项展开式的前三项的系数分别为1，C 1n ·12，C 2n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫122，由其成等差数列，可得2C 1n ·12＝1＋C 2n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫122⇒n ＝1＋n (n －1)8，所以n ＝8(n ＝1舍去)．所以展开式的通项T k ＋1＝C k 8⎝ ⎛⎭⎪⎫12k344kx -.若为有理项，则有4－3k4∈Z ，所以k 可取0,4,8，所以展开式中有理项的项数为3.7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 4，x <0，－x ，x ≥0，则当x >0时，f (f (x ))表达式的展开式中常数项为( ) A ．4 B ．6 C ．8D ．10考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式的特定项答案 B解析 依据分段函数的解析式， 得f (f (x ))＝f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x 4，∴T k ＋1＝C k4(－1)k xk －2.令k －2＝0，则k ＝2，故常数项为C 24(－1)2＝6. 二、填空题8.⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x 27的展开式中倒数第三项为________．考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式的特定项 答案84x8解析 由于n ＝7，可知展开式中共有8项， ∴倒数第三项即为第六项，∴T 6＝C 57(2x )2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 25＝C 57·221x 8＝84x8.9．若(x ＋1)n ＝x n＋…＋ax 3＋bx 2＋nx ＋1(n ∈N *)，且a ∶b ＝3∶1，那么n ＝________. 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 由特定项或特定项的系数求参数 答案 11解析 a ＝C n －3n ，b ＝C n －2n .∵a ∶b ＝3∶1， ∴C n －3n C n －2n ＝C 3n C 2n ＝31，即n (n －1)(n －2)·26n (n －1)＝3， 解得n ＝11.10．已知正实数m ，若x 10＝a 0＋a 1(m －x )＋a 2(m －x )2＋…＋a 10(m －x )10，其中a 8＝180，则m 的值为________．考点 二项展开式中的特定项问题 题点 由特定项或特定项的系数求参数 答案 2解析 由x 10＝[m －(m －x )]10，[m －(m －x )]10的二项展开式的第9项为C 810m 2(－1)8·(m －x )8， ∴a 8＝C 810m 2(－1)8＝180， 则m ＝±2.又m >0，∴m ＝2.11．使⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x x n (n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 为________．考点 二项展开式中的特定项问题 题点 由特定项或特定项的系数求参数 答案 5解析 展开式的通项公式T k ＋1＝C k n(3x )n －k⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x k，∴T k ＋1＝3n －k C kn52n k x-，k ＝0,1,2，…，n .令n －52k ＝0，n ＝52k ，故最小正整数n ＝5. 三、解答题12．若二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 6(a >0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B ，且B ＝4A ，求a 的值．考点 二项展开式中的特定项问题 题点 由特定项或特定项的系数求参数解 ∵T k ＋1＝C k 6x 6－k⎝⎛⎭⎪⎫－a x k ＝(－a )k C k6362kx -，令6－3k 2＝3，则k ＝2，得A ＝C 26·a 2＝15a 2；令6－3k 2＝0，则k ＝4，得B ＝C 46·a 4＝15a 4.由B ＝4A 可得a 2＝4，又a >0， ∴a ＝2.13．已知在⎝⎛⎭⎪⎫12x 2－1x n的展开式中，第9项为常数项，求：(1)n 的值；(2)展开式中x 5的系数； (3)含x 的整数次幂的项的个数． 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求多项展开式中的特定项解 已知二项展开式的通项为T k ＋1＝C k n⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2n －k ·⎝⎛⎭⎪⎫－1x k ＝(－1)k ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －k C kn 522n k x -.(1)因为第9项为常数项，即当k ＝8时，2n －52k ＝0，解得n ＝10.(2)令2×10－52k ＝5，得k ＝25(20－5)＝6.所以x 5的系数为(－1)6⎝ ⎛⎭⎪⎫124C 610＝1058. (3)要使2n －52k ，即40－5k 2为整数，只需k 为偶数，由于k ＝0,1,2,3，…，9,10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项．四、探究与拓展14．设a ≠0，n 是大于1的自然数，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x a n 的展开式为a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n.若点A i (i ，a i ) (i ＝0,1,2)的位置如图所示，则a ＝________.考点 二项展开式中的特定项问题题点 由特定项或特定项的系数求参数答案 3解析 由题意知A 0(0,1)，A 1(1,3)，A 2(2,4)．即a 0＝1，a 1＝3，a 2＝4.由⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x a n 的展开式的通项公式知T k ＋1＝C kn ⎝ ⎛⎭⎪⎫x a k(k ＝0,1,2，…，n )． 故C 1n a ＝3，C 2n a 2＝4，解得a ＝3. 15．设f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n 的展开式中含x 项的系数是19(m ，n ∈N *)．(1)求f (x )的展开式中含x 2项的系数的最小值；(2)当f (x )的展开式中含x 2项的系数取最小值时，求f (x )的展开式中含x 7项的系数． 考点 二项展开式中的特定项问题题点 求二项展开式特定项的系数解 (1)由题设知m ＋n ＝19，所以m ＝19－n ，含x 2项的系数为C 2m ＋C 2n ＝C 219－n ＋C 2n＝(19－n )(18－n )2＋n (n －1)2 ＝n 2－19n ＋171＝⎝⎛⎭⎪⎫n －1922＋3234. 因为n ∈N *，所以当n ＝9或n ＝10时，x 2项的系数的最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋3234＝81.(2)当n＝9，m＝10或n＝10，m＝9时，x2项的系数取最小值，此时x7项的系数为C710＋C79＝C310＋C29＝156.。
高中数学 第一章 计数原理 1.3.1 二项式定理学案(含解析)新人教A版选修2-3(2021年整
河北省承德市高中数学第一章计数原理1.3.1 二项式定理学案（含解析）新人教A版选修2-3
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1.3.1 二项式定理
后记与
感悟：。
高中数学第一章计数原理 二项式定理学案含解析新人教A版选修2_3
1.3 二项式定理1.3.1二项式定理自主预习·探新知情景引入牛顿善于在日常生活中思考,他取得了科学史上一个个重要的发现．有一次,他在向一位姑娘求婚时思想又开了小差,他脑海中只剩下了无穷量的二项式定理,他抓住姑娘的手指,错误地把它当成通烟斗的通条,硬往烟斗里塞,痛得姑娘大叫,离他而去．那么,什么是二项式定理？二项式定理的无穷魅力在哪里？新知导学二项式定理及相关的概念二项式定理概念公式(a＋b)n＝__C0n a n＋C1n a n－1b＋C2n a n－2b2＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N＋)__称为二项式定理二项式系数各项系数__C r n__(r＝0,1,2,…,n)叫做展开式的二项式系数二项式通项C r n a n－r b r是展开式中的第__r＋1__项,可记作T r＋1＝C r n a n－r b r(其中0≤r≤n,r∈N,n ∈N＋)二项展开式C0n a n＋C1n a n－1b＋C2n a n－2b2＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N＋)备注在二项式定理中,如果令a＝1,b＝x,则得到公式(1＋x)n＝__1＋C1n x＋C2n x2＋…＋C r n x r＋…＋C n n x n__(n∈N＋)预习自测1．(x －1x )5的展开式中含x 3项的二项式系数为( D )A ．－10B ．10C ．－5D ．5[解析] T r ＋1＝C r 5·x 5－r (－1x)r ＝(－1)r C r 5·x 5－2r , 令5－2r ＝3,则r ＝1.∴x 3项的二项式系数为C 15＝5． 2．二项式(x 2＋2x)10的展开式中的常数项是( B ) A ．第10项 B ．第9项 C ．第8项 D ．第7项[解析] 通项T r ＋1＝C r 10·(x 2)10－r ·(2x)r ＝2r ·C r 10·x 20－5r 2 ,令20－5r 2＝0得r ＝8,∴常数项为第9项．3．在(1－2x )6的展开式中,x 2的系数为__60__.(用数字作答)[解析] (1－2x )6的展开式的通项T r ＋1＝C r 6(－2)r x r ,当r ＝2时,T 3＝C 26(－2)2x 2＝60x 2,所以x2的系数为60．4．(浙江高考)设二项式(x －13x)5的展开式中常数项为A ,则A ＝__－10__．[解析] T r ＋1＝C r 5x5-r 2 (－1)r ·x －r 3 ,令5－r 2－r 3＝0得r ＝3,所以A ＝C 35(－1)3＝－10．互动探究·攻重难互动探究解疑求二项展开式中特定的项典例1 (2020·三明高二检测)已知(x －2x)n 展开式中第三项的系数比第二项的系数大162,求：(1)n 的值；(2)展开式中含x 3的项． [解析] (1)因为T 3＝C 2n(x )n －2(－2x)2＝4C 2n x n -62 , T 2＝C 1n (x )n －1(－2x)＝－2C 1n xn -32 , 依题意得4C 2n ＋2C 1n ＝162, 所以2C 2n ＋C 1n ＝81,所以n 2＝81,n ＝9． (2)设第r ＋1项含x 3项,则 T r ＋1＝C r 9(x )9－r (－2x )r ＝(－2)r C r 9x 9-3r2 , 所以9－3r 2＝3,r ＝1,所以第二项为含x 3的项：T 2＝－2C 19x 3＝－18x 3．『规律总结』 运用二项式定理的解题策略(1)正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开,展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂,后一个字母是升幂．形如(a －b )n 的展开式中会出现正负间隔的情况．对较繁杂的式子,先化简再用二项式定理展开．(2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简,对于这类问题的求解,要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数．特别提醒：逆用二项式定理时如果项的系数是正负相间的,则是(a －b )n 的形式． ┃┃跟踪练习1__■在(3x －123x )n 的展开式中,第6项为常数项．(1)求n ；(2)求含x 2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．[思路分析] 首先由第6项为常数求项数n ,再根据通项公式求x 2项的系数和有理项． [解析] T r ＋1＝C r n ·(3x )n －r ·(－123x )r ＝C r n ·(x 13)n －r ·(－12·x －13 )r ＝(－12)r ·C r n ·x n -2r3 ．(1)∵第6项为常数项,∴r ＝5时有n －2r3＝0,∴n ＝10．(2)令10－2r3＝2,得r ＝2,∴所求的系数为C 210(－12)2＝454． (3)根据通项公式,由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧10－2r3∈Z ，0≤r ≤10，r ∈Z .令10－2r3＝k (k ∈Z ),则10－2r ＝3k , 即r ＝10－3k 2＝5－32k ．∵0≤r ≤10,∴0≤5－32k ≤10,∴－103≤k ≤103,又∵k 应为偶数,∴k 可取2,0,－2,∴r ＝2,5,8,∴第3项、第6项与第9项为有理项． 它们分别为C 210·(－12)2·x 2,C 510(－12)5,C 810·(－12)8·x －2． 即454x 2,－638和45256x 2． 命题方向❷二项式定理的正用和逆用典例2 (1)计算：(2020·潍坊高二检测)(x －1)5＋5(x －1)4＋10(x －1)3＋10(x －1)2＋5(x －1)＝__x 5－1__．(2)用二项式定理展开：(2x －32x 2)5． [解析] (1)(x －1)5＋5(x －1)4＋10(x －1)3＋10(x －1)2＋5(x －1)＝(x －1)5＋5(x －1)4＋10(x －1)3＋10(x －1)2＋5(x －1)＋1－1＝[(x －1)＋1]5－1＝x 5－1．(2)(2x －32x 2)5＝C 05(2x )5＋C 15(2x )4(－32x 2)＋C 25(2x )3⎝⎛⎭⎫－32x 22＋C 35(2x )2⎝⎛⎭⎫－32x 23＋C 45(2x )⎝⎛⎭⎫－32x 24＋C 55⎝⎛⎭⎫－32x 25＝32x 5－120x 2＋180x －135x 4＋4058x 7－24332x10． 『规律总结』 1.展开二项式可按照二项式定理进行．展开时注意二项式定理的结构特征,准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件．2．对较复杂的二项式,有时先化简再展开会更简便．3．对于化简多个式子的和时,可以考虑二项式定理的逆用．对于这类问题的求解,要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数．┃┃跟踪练习2__■(1)用二项式定理展开：(3x ＋1x)4； (2)化简：1＋2C 1n ＋4C 2n ＋…＋2n C n n ．[解析] (1)解法一：(3x ＋1x )4＝(3x )4＋C 14(3x )31x ＋C 24(3x )2·(1x )2＋C 34(3x )(1x)3＋C 44·(1x)4＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2．解法二：(3x ＋1x )4＝(3x ＋1x)4＝1x2(1＋3x )4 ＝1x 2[1＋C 14(3x )＋C 24(3x )2＋C 34(3x )3＋C 44(3x )4] ＝1x 2(1＋12x ＋54x 2＋108x 3＋81x 4) ＝1x 2＋12x＋54＋108x ＋81x 2． (2)1＋2C 1n ＋4C 2n ＋…＋2n C n n ＝C 0n ＋21C 1n ＋22C 2n ＋…＋2n C n n＝(1＋2)n ＝3n ． 命题方向❸二项式系数与项的系数问题典例3 (1)求二项式(2x －1x)6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；(2)求(x －1x)9的展开式中x 3的系数．[思路分析] 利用二项式定理求展开式中的某一项,可以通过二项展开式的通项公式进行求解．[解析] (1)由已知得二项展开式的通项为T r ＋1 ＝C r 6(2x )6－r ·(－1x)r＝(－1)r C r 626－r ·x 3－32 r ∴T 6＝－12·x －92 ．∴第6项的二项式系数为C 56＝6, 第6项的系数为C 56·(－1)·2＝－12．(2)T r＋1＝C r9x9－r·(－1x)r＝(－1)r·C r9·x9－2r,∴9－2r＝3,∴r＝3,即展开式中第四项含x3,其系数为(－1)3·C39＝－84．『规律总结』 1.二项式系数都是组合数C r n(r∈{0,1,2,…,n}),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等,要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念．2．第r＋1项的系数是此项字母前的数连同符号,而此项的二项式系数为C r n.例如,在(1＋2x)7的展开式中,第四项是T4＝C3717－3(2x)3,其二项式系数是C37＝35,而第四项的系数是C3723＝280．┃┃跟踪练习3__■(1－2x)5(2＋x)的展开式中x3项的系数是__－120__．[解析]由多项式乘法的运算法则可知,(1－2x)5(2＋x)的展开式中x3项的系数是(1－2x)5展开式中x3项的系数的2倍与(1－2x)5展开式中x2项的系数的和．∵(1－2x)5展开式的通项为T r＋1＝(－2)r C r5x r,令r＝3得到x3项的系数为－8C35＝－80令r＝2得到x2项的系数为4C25＝40,所以(1－2x)5(2＋x)的展开式中x3项的系数是－80×2＋40＝－120,故答案为－120．学科核心素养用二项式定理处理整除性问题或求余数问题(1)解决这类问题,必须构造一个与题目条件有关的二项式．如求199510除以8的余数,将1995分解为8×249＋3,即199510＝(8×249＋3)10,它的展开式中除末项310外,其余各项均含有8这个因数,故199510被8除的余数与310被8除的余数相同,而310＝95＝(8＋1)5,(8＋1)5的展开式中除最末一项1外,其余各项均含有8这个因数,故310被8除的余数为1,从而199510被8除的余数也为1．(2)用二项式定理处理整除问题,通常把被除数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式,再用二项式定理展开,只考虑后面(或者是前面)一、二项就可以了．(3)要注意余数的取值范围,a＝c·r＋b,b为余数,b∈[0,r),r是除数,利用二项式定理展开变形后,若剩余部分是负数要注意转换．典例4(1)用二项式定理证明：1110－1能被100整除；(2)求9192被100除所得的余数．[解析](1)证明：∵1110－1＝(10＋1)10－1＝(1010＋C110·109＋C210·108＋…＋C910·10＋1)－1＝1010＋C110·109＋C210·108＋…＋102＝100(108＋C110·107＋C210·106＋…＋1),∴1110－1能被100整除．(2)9192＝(100－9)92＝C092·10092－C192·10091·9＋C292·10090·92－…＋C9292992,展开式中前92项均能被100整除,只需求最后一项除以100的余数．∵992＝(10－1)92＝C092·1092－C192·1091＋…＋C9092·102－C9192·10＋1,前91项能被100整除,后两项和为－919,因余数为正,可从前面的数中分离出1 000,结果为1 000－919＝81,故9192被100除可得余数为81．『规律总结』利用二项式定理可以解决余数和整除性问题,通常需将底数化成两数的和与差的形式,且这种转化形式与除数有密切的关系．整除性问题或求余数问题的处理方法：(1)解决这类问题,必须构造一个与题目条件有关的二项式．(2)用二项式定理处理这类问题,通常把被除数的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式,再用二项式定理展开,只考虑后面(或者是前面)的几项就可以了．┃┃跟踪练习4__■求0.9986的近似值,使误差小于0.001．[解析]把0.998变成1－0.002,然后应用二项式定理展开．因为0.9986＝(1－0.002)6＝1－C16×0.002＋C26×0.0022－C36×0.0023＋…＋C66×0.0026．第三项T3＝15×0.0022＝0.000 06<0.001,以后各项更小,所以0.9986≈1－0.012＝0.998．易混易错警示二项式系数与项的系数问题典例5设(x－2)n展开式中,第二项与第四项的系数之比为1∶2,试求含x2的项．[错解]第二项的系数为C1n,第四项的系数为C3n,故C1nC3n＝12,解得n＝5或n＝－2,所以T r＋1＝Cr5x5－r(－2)r,由5－r＝2得r＝3,即展开式中第四项为含x2的项,所以C35x2(－2)3＝－202x2．[辨析]错误原因：将“二项展开式的某项的二项式系数”与“二项展开式的某项的系数”混淆．防范措施：深刻理解“二项展开式的某项的二项式系数”与“二项展开式的某项的系数”的区别与联系,准确应用．[正解] (x －2)n 展开式的第2项与第4项分别为C 1n x n －1(－2)＝－2nx n －1,C 3n x n －3(－2)3 ＝－22C 3n xn －3． 依题意得－2n －22C 3n＝12⇒n 2－3n －4＝0,解方程并舍去不合题意的负根,得n ＝4．(x －2)4展开式中第r ＋1项为C r 4x 4－r·(－2)r .由4－r ＝2,得r ＝2,即(x －2)4展开式中x 2项为C 24x 2(－2)2＝12x 2．课堂达标·固基础1．若(2x －3x )n ＋3的展开式中共有15项,则自然数n 的值为( A )A ．11B ．12C ．13D ．14[解析] 因为(2x －3x )n＋3的展开式中共n ＋4项,所以n ＋4＝15,即n ＝11,故选A ．2．二项式(x 3－2x 2)5的展开式中的常数项为( B )A ．80B ．－80C ．40D ．－40[解析] 二项式(x 3－2x 2)5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(x 3)5－r (－2x 2)r ＝(－1)r ·2r C r 5x 15－5r ,令15－5r ＝0,解得r ＝3,所以常数项为T 4＝(－1)3×23×C 35＝－80,故选B ．3．若C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n 能被7整除,则x ,n 的值可能为( C )A ．x ＝4,n ＝3B ．x ＝4,n ＝4C ．x ＝5,n ＝4D ．x ＝6,n ＝5[解析] 由C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n ＝(1＋x )n －1,分别将选项A,B,C,D 代入检验知,仅有C 适合．4．(1＋2)5＝a ＋b 2(a ,b 为有理数),则a ＋b 等于__70__．[解析] ∵(1＋2)5＝1＋C 152＋C 25(2)2＋C 35(2)3＋C 45(2)4＋C 55(2)5＝41＋292,∴a ＝41,b ＝29,a ＋b ＝41＋29＝70． 5．求(x ＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数．[解析] ∵(x ＋2)10(x 2－1)＝x 2(x ＋2)10－(x ＋2)10,本题求x 10的系数,只要求(x ＋2)10展开式中x 8及x 10的系数．由T r ＋1＝C r 10x 10－r ·2r ,取r ＝2得x 8的系数为C 210×22＝180,又x 10的系数为C 010＝1,因此所求系数为180－1＝179．。
高中数学 第一章 计数原理 1.3.1 二项式定理学案 新人教A版选修23
1．3.1 二项式定理[学习目标]1．能用计数原理证明二项式定理．2．掌握二项式定理及其展开式的通项公式．3．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．[知识链接]1．二项式定理中，项的系数与二项式系数有什么区别？答二项式系数与项的系数完全是不同的两个概念．二项式系数是指C0n，C1n，…，C n n，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关，而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．2．二项式(a＋b)n与(b＋a)n展开式中第r＋1项是否相同？答不同．(a＋b)n展开式中第r＋1项为C r n a n－r b r，而(b＋a)n展开式中第r＋1项为C r n b n－r a r. [预习导引]1．二项式定理公式(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)叫做二项式定理．2．二项式系数及通项(1)(a＋b)n展开式共有n＋1项，其中各项的系数C k n(k∈{0，1，2，…，n})叫做二项式系数．(2)(a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作T k＋1＝C k n a n－k b k.要点一二项式定理的正用、逆用例1 (1)求(3x＋1x)4的展开式；(2)化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．解(1)法一(3x＋1x)4＝C04(3x)4＋C14(3x)3·1x＋C24(3x)2·(1x)2＋C34(3x)·(1x)3＋C 44·(1x)4＝81x 2＋108x ＋54＋12x＋1x2.法二 (3x ＋1x)4＝（3x ＋1）4x 2＝1x 2[1＋C 14·3x ＋C 24(3x )2＋C 34(3x )3＋C 44(3x )4]＝1x2(81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1) ＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x2.(2)原式＝C 05(x －1)5＋C 15(x －1)4＋C 25(x －1)3＋C 35(x －1)2＋C 45(x －1)＋C 55－1＝[(x －1)＋1]5－1＝x 5－1.规律方法 运用二项式定理展开二项式，要记准展开式的通项公式，对于较复杂的二项式，有时先化简再展开更简捷；要搞清楚二项展开式中的项以及该项的系数与二项式系数的区别．逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数． 跟踪演练1 (1)展开(2x ＋1x)6；(2)化简：1＋2C 1n ＋4C 2n ＋…＋2n C nn . 解 (1)(2x ＋1x)6＝1x3(2x ＋1)6＝1x3[C 06(2x )6＋C 16(2x )5＋C 26(2x )4＋C 36(2x )3＋C 46(2x )2＋C 56(2x )＋C 66]＝64x 3＋192x 2＋240x ＋160＋60x ＋12x 2＋1x3.(2)原式＝1＋2C 1n ＋22C 2n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n. 要点二 二项展开式通项的应用 例2 若(x ＋124x)n展开式中前三项系数成等差数列，求：(1)展开式中含x 的一次项； (2)展开式中的所有有理项．解 (1)由已知可得C 0n ＋C 2n ·122＝2C 1n ·12，即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8，或n ＝1(舍去)．T k ＋1＝C k 8(x )8－k·(124x)k ＝C k 8·2－k·x 4－34k ，令4－34k ＝1，得k ＝4.所以x 的一次项为T 5＝C 482－4x ＝358x .(2)令4－34k ∈Z ，且0≤k ≤8，则k ＝0，4，8，所以含x 的有理项分别为T 1＝x 4，T 5＝358x ，T 9＝1256x2. 规律方法 利用二项式的通项公式求二项展开式中具有某种特征的项是关于二项式定理的一类典型题型．常见的有求二项展开式中的第r 项、常数项、含某字母的r 次方的项等等．其通常解法就是根据通项公式确定T k ＋1中k 的值或取值范围以满足题设的条件． 跟踪演练2 已知二项式(x 2＋12x)10.(1)求展开式中的第5项； (2)求展开式中的常数项．解 (1)(x 2＋12x )10的展开式的第5项为T 5＝C 410·(x 2)6·(12x )4＝C 410·(12)4·x 12·(1x)4＝1058x 10.(2)设第k ＋1项为常数项， 则T k ＋1＝C k10·(x 2)10－k·(12x)k ＝C k 10·x 20－52k ·(12)k (k ＝0，1，2，…，10)，令20－52k ＝0，得k ＝8，所以T 9＝C 810·(12)8＝45256，即第9项为常数项，其值为45256.要点三 二项式定理的应用 例3 (1)用二项式定理证明：34n ＋2＋52n ＋1能被14整除；(2)求9192除以100的余数． (1)证明 34n ＋2＋52n ＋1＝92n ＋1＋52n ＋1＝[(9＋5)－5]2n ＋1＋52n ＋1＝(14－5)2n ＋1＋52n ＋1＝142n ＋1－C 12n ＋1×142n×5＋C 22n ＋1×142n －1×52－…＋C 2n 2n ＋1×14×52n －C 2n ＋12n ＋1×52n ＋1＋52n ＋1＝14(142n－C 12n ＋1×142n －1×5＋C 22n ＋1×142n －2×52－…＋C 2n 2n ＋1×52n)． 上式是14的倍数，能被14整除，所以34n ＋2＋52n ＋1能被14整除．(2)解 法一 9192＝(100－9)92＝10092－C 192×10091×9＋C 292×10090×92－…－C 9192×100×991＋992，前面各项均能被100整除，只有末项992不能被100整除，于是求992除以100的余数． ∵992＝(10－1)92＝1092－C 192×1091＋C 292×1090－…＋C 9092×102－C 9192×10＋(－1)92＝1092－C 192×1091＋C 292×1090－…＋C 9092×102－920＋1＝(1092－C192×1091＋C292×1090－…＋C9092×102－1 000)＋81，∴被100除的余数为81，即9192除以100的余数为81.法二由9192＝(90＋1)92＝C092×9092＋C192×9091＋…＋C9092902＋C9192×90＋1，可知前面各项均能被100整除，只有末尾两项不能被100整除，由于C9192×90＋1＝8 281＝8 200＋81，故9192除以100的余数为81.规律方法利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系．跟踪演练3 求证：5151－1能被7整除．证明∵5151－1＝(49＋2)51－1＝C0514951＋C1514950×2＋…＋C5051×49×250＋C5151×251－1.∴易知除(C5151×251－1)以外各项都能被7整除．又251－1＝(23)17－1＝(7＋1)17－1＝C017×717＋C117×716＋…＋C1617×7＋C1717－1＝7(C017716＋C117715＋…＋C1617)，显然能被7整除，所以(5151－1)能被7整除.1．若(1＋2)4＝a＋b2(a，b为有理数)，则a＋b等于( )A．33 B．29 C．23 D．19答案 B解析∵(1＋2)4＝1＋42＋12＋82＋4＝17＋122＝a＋b2，又∵a，b为有理数，∴a＝17，b＝12.∴a＋b＝29.2．在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x3的项的系数是( )A．－5 B．5 C．－10 D．10答案 D解析(1－x)5中x3的系数－C35＝－10，－(1－x)6中x3的系数为－C36·(－1)3＝20，故(1－x)5－(1－x)6的展开式中x3的系数为10.3．求(2x－32x2)5的展开式．解 先化简再求展开式，得(2x －32x 2)5＝（4x 3－3）532x 10＝132x 10[C 05(4x 3)5＋C 15(4x 3)4(－3)＋C 25(4x 3)3(－3)2＋C 35(4x 3)2(－3)3＋C 45(4x 3)(－3)4＋C 55(－3)5] ＝32x 5－120x 2＋180x －135x 4＋4058x 7－24332x10.1．注意区分项的二项式系数与系数的概念． 2．要牢记C k n an －k b k是展开式的第k ＋1项，不要误认为是第k 项．3．求解特定项时必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为特定值.一、基础达标1．(x ＋2)6的展开式中x 3的系数是 ( )A ．20B ．40C ．80D ．160答案 D解析 法一 设含x 3的为第r ＋1项，则T r ＋1＝C r 6x 6－r·2r，令6－r ＝3，得r ＝3，故展开式中x 3的系数为C 36×23＝160.法二 根据二项展开式的通项公式的特点：二项展开式每一项中所含的x 与2分得的次数和为6，则根据条件满足条件x 3的项按3与3分配即可，则展开式中x 3的系数为C 36×23＝160. 2．(2013·江西理)(x 2－2x3)5展开式中的常数项为( )A ．80B ．－80C ．40D ．－40答案 C解析 展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 5(x 2)5－k(－2x3)k ＝C k 5x 10－5k (－2)k .由10－5k ＝0，得k ＝2，所以常数项为T 2＋1＝C 25(－2)2＝40.3．(x －2y )10的展开式中x 6y 4项的系数是 ( )A ．840B ．－840C ．210D ．－210答案 A解析 在通项公式T r ＋1＝C r 10(－2y )r x 10－r中，令r ＝4，即得(x －2y )10的展开式中x 6y 4项的系数为C 410·(－2)4＝840. 4．(2013·辽宁理)使得(3x ＋1x x)n (n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 为( ) A ．4B ．5C ．6D ．7答案 B解析 展开式的通项公式为T k ＋1＝C k n (3x )n －k·(1x x)k ＝C k n 3n －kxn －5k 2.由n －5k 2＝0得n ＝5k2，所以当k ＝2时，n 有最小值5.5．求(3b ＋2a )6的展开式中的第3项的系数为________，二项式系数为________． 答案 4 860 156．(2013·四川理)二项式(x ＋y )5的展开式中，含x 2y 3的项的系数是________(用数字作答)． 答案 10解析 设二项式(x ＋y )5的展开式的通项公式为T r ＋1，则T r ＋1＝C r 5x 5－r y r，令r ＝3，则含x 2y 3的项的系数是C 35＝10.7．已知在(x ＋2x2)n的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比为56∶3，求展开式中的常数项． 解 T 5＝C 4n (x )n －424x －8＝16C 4n xn －202，T 3＝C 2n (x )n －222x －4＝4C 2n x n －102.由题意知，16C 4n 4C 2n ＝563，解得n ＝10.T k ＋1＝C k 10(x )10－k 2k x －2k ＝2k C k10x 10－5k2， 令10－5k 2＝0，解得k ＝2，∴展开式中的常数项为C 21022＝180. 二、能力提升8．设S ＝(x －1)3＋3(x －1)2＋3(x －1)＋1，则S 等于 ( )A ．(x －1)3B ．(x －2)3C ．x 3D ．(x ＋1)3答案 C解析 S ＝C 03(x －1)3＋C 13(x －1)2×1＋C 23(x －1)×12＋C 33×13＝[(x －1)＋1]3＝x 3，故选C.9．(2013·新课标Ⅱ)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a 等于( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－1答案 D解析 (1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为C 25＋a ·C 15＝5，解得a ＝－1. 10．对于二项式(1x＋x 3)n (n ∈N *)，有以下四种判断：①存在n ∈N *，展开式中有常数项；②对任意n ∈N *，展开式中没有常数项；③对任意n ∈N *，展开式中没有x 的一次项；④存在n ∈N *，展开式中有x 的一次项．其中正确的是________． 答案 ①与④解析 二项式(1x＋x 3)n 的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k n x 4k －n，由通项公式可知，当n ＝4k (k ∈N *)和n ＝4k －1(k ∈N *)时，展开式中分别存在常数项和一次项． 11．(x ＋23x)n展开式第9项与第10项二项式系数相等，求x 的一次项系数．解 C 8n ＝C 9n ，∴n ＝17，T r ＋1＝C r 17x 17－r 2·2r·x －r 3，∴17－r 2－r3＝1，∴r ＝9，∴T 10＝C 917·x 4·29·x －3＝C 917·29·x ， 其一次项系数为C 91729.12．已知在(12x 2－1x )n的展开式中，第9项为常数项，求：(1)n 的值；(2)展开式中x 5的系数； (3)含x 的整数次幂的项的个数．解 已知二项展开式的通项T k ＋1＝C k n (12x 2)n －k ·(－1x )k ＝(－1)k (12)n －k C kn x 2n －52k .(1)因为第9项为常数项，即当k ＝8时，2n －52k ＝0，解得n ＝10.(2)令2n －52k ＝5，得k ＝25(2n －5)＝6，所以x 5的系数为(－1)6(12)4C 610＝1058.(3)要使2n －52k ，即40－5k2为整数，只需k 为偶数，由于k ＝0，1，2，3，…，9，10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1，3，5，7，9，11项．三、探究与创新13．已知f (x )＝(1＋2x )m ＋(1＋4x )n (m ，n ∈N *)的展开式中含x 项的系数为36，求展开式中含x 2项的系数最小值．解 (1＋2x )m ＋(1＋4x )n展开式中含x 的项为 C 1m ·2x ＋C 1n ·4x ＝(2C 1m ＋4C 1n )x ， ∴2C 1m ＋4C 1n ＝36，即m ＋2n ＝18，(1＋2x )m ＋(1＋4x )n 展开式中含x 2的项的系数为t ＝C 2m 22＋C 2n 42＝2m 2－2m ＋8n 2－8n ，∵m ＋2n ＝18，∴m ＝18－2n ， ∴t ＝2(18－2n )2－2(18－2n )＋8n 2－8n ＝16n 2－148n ＋612＝16(n 2－374n ＋1534)， ∴当n ＝378时，t 取最小值，但n ∈N *，∴n ＝5时，t 即x 2项的系数最小，最小值为272.。
高中数学 第一章 计数原理 1.3.1 二项式定理教案 新人教A版选修2-3(2021年最新整理)
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1.3。
1二项式定理一、教学目标1.知识与技能：（1) 能利用计数原理证明二项式定理；(2）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.2. 过程与方法：通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，体会从特殊到一般的思维方式，并形成从特殊到一般的归纳,然后证明,最后再应用的思想意识。
3。
情感、态度与价值观:通过本节课的学习，可以培养学生观察、分析、归纳、总结的能力。
二、教学重点、难点重点：二项式定理；难点:二项式定理的应。
三、教具：白板四、课型：新课五、教学过程一)新课提问引入课题1、分类计数加法原理与分布乘法计数原理；2、组合与组合数3、今天是星期五，再过7天、15天、810天的那一天分别是星期几?二)讲授新课1、探究发现二项式定理研究的是n)(3=a?+ba(+的展开式，如：?ba))(2=+b?)(4=+b a ?)(100=+b a 那么n b a )(+的展开式是什么？探究一：))(()(2b a b a b a ++=+b b a b b a a a ⨯+⨯+⨯+⨯=222b ab a ++=从上述过程可以看出2)(b a +是2个))((b a b a ++相乘，根据多项式的乘法法则，每个)(b a +在相乘是由两种选择,选a 或b 选,而且每个)(b a +中的a 或b 选定后，才能得到2)(b a +展开式的一项。
高中数学 第一章 计数原理 1.3.1 二项式定理(1)学案新人教A版选修2-3
1.3.1 二项式定理(1)【学习目标】1.能从特殊到一般理解二项式定理；2.熟练运用通项公式求二项展开式中指定的项(如常数项,有理项)；3.能正确区分项,项的系数,项的二项式系数等概念； 【能力目标】提高分析问题和解决问题的能力，会利用二项式定理解决与之相关的问题。
【重点难点】1.能用计数原理证明二项式定理；2.能记住二项式定理和二项展开式的通项公式；3.能解决与二项式定理有关的简单问题； 【学法指导】要耐心和细心的理解二项式定理的内容和作用及应用范围。
【学习过程】 一.【课前预习】 阅读教材P29-P311.当2,3,4n =时,写出()na b +的展开式2()a b +=222a ab b ++ 3()a b += 322333a a b ab b +++ 4()a b += 432234464a a b a b ab b ++++2.二项式定理:①公式()na b +=01122211n n n k n k kn n n nn n n n n n C a C a b C a b C a b C ab C b -----+++++++②012,,,,nn n n nC C C C 叫做二项式系数. ③kn kk n C ab -叫做二项展开式的通项,用1k T +表示,它表示展开式的第1k +项是:1k n k kk n T C a b -+=.3.在二项式定理中,令1,a b x==,,则(1)n x +=122111k kn n n nn n n n n C x C x C x C x C x --+++++++.提示：①二项展开式中的字母a ，b 不能交换位置，虽然()n a b +与()n b a +结果相同，但()n a b +与()n b a +的展开式是有区别的，二者的展开式中的项的排列顺序是不同的.②二项式系数rn C 与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，项的系数与二项式、二项式的指数及项数均有关.二．【课堂学习与研讨】 1.二项式定理内容：()n a b +的展开式是：()n a b +=01122211n n n k n k kn n n nn n n n n n C a C a b C a b C a b C ab C b -----+++++++2.定理的证明：()n a b +是n 个()a b +相乘，每个()a b +在相乘时有两种选择，选a 或选b 。
高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.1二项式定理讲义新人教A版选修2_3
1．3.1 二项式定理知识点二项式定理及其相关概念1．二项式定理二项展开式：(a＋b)n＝□01C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)叫做二项式定理，其中各项的系数□02C k n(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．特别地，(1＋x)n＝□031＋C1n x＋C2n x2＋…＋C k n x k＋…＋C n n x n(n∈N*)．结构特点：(1)各项的次数都□04等于二项式的幂指数n；(2)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零，字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n；05n＋1项．(3)共有□2．二项展开式的通项(a＋b)n的二项展开式中的第k＋1项□06C k n a n－k b k叫做二项展开式的通项，用T k＋1表示，即T k＋1＝□07C k n a n－k b k.(其中0≤k≤n，k∈N，n∈N*)1．注意区分项的二项式系数与系数的概念二项展开式的第r＋1项的二项式系数是C r n，所有的二项式系数是仅与二项式的次数n有关的n＋1个组合数，与a，b的取值无关，且是正数；而第r＋1项的系数则是二项式系数C r n 与数字系数的积，可能为负数．如(2x＋1)5展开式中的第二项的二项式系数是C15，而第二项的系数则是C15·24.注意：当数字系数为1时，二项式系数恰好就是项的系数．2．要牢记C k n a n－k b k是展开式的第k＋1项，不要误认为是第k项．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)(a ＋b )n展开式中共有n 项．( )(2)二项式(a ＋b )n与(b ＋a )n展开式中第r ＋1项相同．( ) (3)C k n an －k b k是(a ＋b )n 展开式中的第k 项．( )答案 (1)× (2)× (3)× 2．做一做(1)⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 16的二项展开式中第4项是________． (2)展开⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x 4为________．(3)二项式(x ＋y )5的展开式中，含x 2y 3的项的系数是________． 答案 (1)－560x 10(2)1＋4x ＋6x 2＋4x 3＋1x4 (3)10解析 (1)展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 16·x16－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r ·C r 16·x 16－2r ， 所以第4项为T 4＝(－1)3C 316·x 10＝－C 316x 10＝－560x 10.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 4＝1＋C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4＝1＋4x ＋6x 2＋4x 3＋1x4.(3)T 4＝C 35x 2y 3含x 2y 3的项的系数是C 35＝10.探究1 二项式定理的正用与逆用例1 (1)若f (x )＝(x －1)4＋4(x －1)3＋6(x －1)2＋4(x －1)＋4，则f (2019)－f (－2019)的值为________；(2)求⎝⎛⎭⎪⎫x －12x 4的展开式．[解析] (1)根据f (x )的解析式，逆用二项式定理，得f (x )＝[(x －1)＋1]4＋3＝x 4＋3.显然f (－x )＝f (x )，即f (x )为偶函数，∴f (2019)－f (－2019)＝0.(2)解法一：⎝⎛⎭⎪⎫x －12x 4＝C 04(x )4－C 14·(x )3·12x＋C 24(x )2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－C 34x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 4＝x 2－2x ＋32－12x ＋116x 2.解法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 4＝116x 2(2x －1)4＝116x 2(16x 4－32x 3＋24x 2－8x ＋1)＝x 2－2x＋32－12x ＋116x2. [答案] (1)0 (2)见解析 拓展提升二项式定理的双向功能(1)正用：将二项式(a ＋b )n展开，得到一个多项式，即二项式定理从左到右使用是展开．对较复杂的式子，先化简再用二项式定理展开．(2)逆用：将展开式合并成二项式(a ＋b )n的形式，即二项式定理从右到左使用是合并，对于化简、求和、证明等问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律．[跟踪训练1] (1)用二项式定理展开⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4；(2)化简1＋2C 1n ＋4C 2n ＋…＋2n C nn .解 (1)解法一：⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝(3x )4＋C 14(3x )3·1x＋C 24(3x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋C 34(3x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2.解法二：⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝1x2(1＋3x )4＝1x 2[1＋C 14(3x )＋C 24(3x )2＋C 34(3x )3＋C 44(3x )4] ＝1x 2(1＋12x ＋54x 2＋108x 3＋81x 4) ＝1x2＋12x＋54＋108x ＋81x 2.(2)1＋2C 1n ＋4C 2n ＋…＋2n C nn ＝C 0n ＋21C 1n ＋22C 2n ＋…＋2n C nn ＝(1＋2)n＝3n.探究2 利用二项式定理求某些特定项例2 已知⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n 的展开式中，第6项为常数项． (1)求n ；(2)求含x 2的项的系数及二项式系数； (3)求展开式中所有的有理项．[解] (1)由题意得，T r ＋1＝C rn(3x )n －r·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－123x r ＝(－1)r ⎝ ⎛⎭⎪⎫12r C r n x n －2r 3(r ＝0,1,2，…，n )．∴T 6＝T 5＋1＝(－1)5·⎝ ⎛⎭⎪⎫125C 5n ·xn －103， 又第6项为常数项，∴n －103＝0，∴n ＝10.(2)由(1)知T r ＋1＝(－1)r ⎝ ⎛⎭⎪⎫12r ·C r10·x 10－2r 3，令10－2r3＝2，得r ＝2. ∴x 2的系数为(－1)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·C 210＝454.含x 2这一项的二项式系数为C 210＝45.(3)由题意得，10－2r3为整数，其中0≤r ≤10，r ∈Z .∵T r ＋1为有理项， ∴10－2r3为有理数，∴10－2r ＝0， 或10－2r ＝6，或10－2r ＝－6， 得r ＝5或r ＝2或r ＝8. ∴有理项为T 3＝C 210⎝ ⎛⎭⎪⎫122x 2＝454x 2，T 6＝C 510⎝ ⎛⎭⎪⎫－125＝－638， T 9＝C 810⎝ ⎛⎭⎪⎫－128·x －2＝45256x －2. 拓展提升求二项展开式的特定项问题，一般需要建立方程求k ，再将k 的值代回通项求解，注意k 的取值范围(k ＝0,1,2，…，n )．(1)第m 项：此时k ＋1＝m ，直接代入通项；(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程； (3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程． 特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解．[跟踪训练2] (1)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x 9的展开式中x 3的系数是－84，则a ＝________；(2)⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x 8的展开式中的常数项是________． 答案 (1)1 (2)7解析 (1)展开式的通项为T r ＋1＝C r 9x9－r(－a )r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1xr ＝C r 9·(－a )r x 9－2r(0≤r ≤9，r ∈N )．当9－2r ＝3时，解得r ＝3，代入得x 3的系数，根据题意得C 39(－a )3＝－84，解得a ＝1. (2)展开式的通项为T r ＋1＝C r8⎝ ⎛⎭⎪⎫x 28－r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13x r ＝(－1)r ⎝ ⎛⎭⎪⎫128－r C r 8x 8－r －13r ＝(－1)r ⎝ ⎛⎭⎪⎫128－r C r 8x 8－43r (0≤r ≤8，r ∈N )． 令8－43r ＝0，得r ＝6，则T 7＝(－1)6⎝ ⎛⎭⎪⎫128－6C 68＝7.探究3 整除及余数问题例3 (1)用二项式定理证明：1110－1能被100整除； (2)求9192被100除所得的余数． [解] (1)证明：∵1110－1＝(10＋1)10－1 ＝(1010＋C 110·109＋C 210·108＋…＋C 910·10＋1)－1 ＝1010＋C 110·109＋C 210·108＋…＋102＝100(108＋C 110·107＋C 210·106＋…＋1)， ∴1110－1能被100整除．(2)9192＝(100－9)92＝C 092·10092－C 192·10091·9＋C 292·10090·92－…＋C 9292992，展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数．∵992＝(10－1)92＝C 092·1092－C 192·1091＋…＋C 9092·102－C 9192·10＋1，前91项均能被100整除，后两项和为－919，因余数为正，可从前面的数中分离出1000，结果为1000－919＝81，故9192被100除可得余数为81.拓展提升利用二项式定理可以解决余数和整除性问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系．整除性问题或求余数问题的处理方法：(1)解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式．(2)用二项式定理处理这类问题，通常把被除数的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者是前面)的几项就可以了．[跟踪训练3](1)求证32n＋2－8n－9(n∈N*)能被64整除；(2)求230－3除以7的余数．解(1)证明：32n＋2－8n－9＝(8＋1)n＋1－8n－9＝C0n＋18n＋1＋C1n＋18n＋…＋C n＋1n＋1－8n－9＝C0n＋18n＋1＋C1n＋18n＋…＋C n－1n＋182＋C nn＋1·8＋1－8n－9＝C0n＋18n＋1＋C1n＋18n＋…＋C n－1n＋182.该式每一项都含因式82，故能被64整除．(2)230－3＝(23)10－3＝810－3＝(7＋1)10－3 ＝C010710＋C11079＋…＋C9107＋C1010－3＝7×(C01079＋C11078＋…＋C910)－2.又∵余数不能为负数(需转化为正数)，∴230－3除以7的余数为5.1．若(2x －3x )n ＋3的展开式中共有15项，则自然数n 的值为( )A ．11B ．12C ．13D ．14 答案 A解析 因为(2x －3x )n ＋3的展开式中共n ＋4项，所以n ＋4＝15，即n ＝11.选A.2．二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 3－2x 25的展开式中的常数项为( )A ．80B ．－80C ．40D ．－40 答案 B解析 二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－2x 25的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(x 3)5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x2r ＝(－1)r ·2r C r 5x 15－5r，令15－5r ＝0，得r ＝3，所以常数项为T 4＝(－1)3×23×C 35＝－80.选B.3．若C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n能被7整除，则x ，n 的值可能为( ) A ．x ＝4，n ＝3 B ．x ＝4，n ＝4 C ．x ＝5，n ＝4 D ．x ＝6，n ＝5 答案 C解析 由C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n ＝(1＋x )n－1，分别将选项A ，B ，C ，D 代入检验知，仅有C 适合．4．(1＋2)5＝a ＋b 2(a ，b 为有理数)，则a ＋b 等于________． 答案 70解析 ∵(1＋2)5＝1＋C 152＋C 25(2)2＋C 35(2)3＋C 45(2)4＋C 55(2)5＝41＋292，∴a ＝41，b ＝29，a ＋b ＝41＋29＝70.5．求(x ＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数．解 ∵(x ＋2)10(x 2－1)＝x 2(x ＋2)10－(x ＋2)10，本题求x 10的系数，只要求(x ＋2)10展开式中x8及x10的系数．由T r＋1＝C r10x10－r·2r，取r＝2得x8的系数为C210×22＝180，又x10的系数为C010＝1，因此所求系数为180－1＝179.。
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1．3.1 二项式定理预习课本P29～31，思考并完成以下问题1．二项式定理是什么？2．通项公式又是什么？3．二项式定理有何结构特征，二项展开式中某项的二项式系数与某项的系数有区别吗？[新知初探]二项式定理[点睛] 应用通项公式要注意四点(1)T k＋1是展开式中的第k＋1项，而不是第k项；(2)公式中a，b的指数和为n，且a，b不能随便颠倒位置；(3)要将通项中的系数和字母分离开，以便于解决问题；(4)对二项式(a－b)n展开式的通项公式要特别注意符号问题．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)(a＋b)n展开式中共有n项．( )(2)二项式(a＋b)n与(b＋a)n展开式中第r＋1项相同．( )(3)C k n an －k b k是(a ＋b )n 展开式中的第k 项．( )答案：(1)× (2)× (3)×2.⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 5的展开式中含x 3项的二项式系数为( ) A ．－10 B ．10 C ．－5 D ．5答案：D3.⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 35展开式中的常数项为( ) A ．80 B ．－80 C ．40 D ．－40答案：C4．(1＋2x )5的展开式的第3项的系数为________，第三项的二项式系数为________． 答案：40 10[典例] (1)求⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4的展开式；(2)化简：(x －1)5＋5(x －1)4＋10(x －1)3＋10(x －1)2＋5(x －1)．[解] (1)法一：⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝C 04(3x )4＋C 14(3x )3·1x＋C 24(3x )2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋C 34·3x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＋C 44·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x2.法二：⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝(3x ＋1)4x 2＝1x2(81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1)＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x2.(2)原式＝C 05(x －1)5＋C 15(x －1)4＋C 25(x －1)3＋C 35(x －1)2＋C 45(x －1)＋C 55(x －1)0－1 ＝[(x －1)＋1]5－1＝x 5－1.运用二项式定理的解题策略(1)正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a －b )n的展开式中会出现正负间隔的情况．对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开．(2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数．[活学活用]1．化简(x ＋1)4－4(x ＋1)3＋6(x ＋1)2－4(x ＋1)＋1的结果为( ) A ．x 4B ．(x －1)4C ．(x ＋1)4D ．x 4－1解析：选A (x ＋1)4－4(x ＋1)3＋6(x ＋1)2－4(x ＋1)＋1＝C 04(x ＋1)4＋C 14(x ＋1)3(－1)1＋C 24(x ＋1)2(－1)2＋C 34(x ＋1)(－1)3＋C 44(x ＋1)0(－1)4＝[(x ＋1)－1]4＝x 4，故选A ．2．设n 为自然数，化简C 0n ·2n －C 1n ·2n －1＋…＋(－1)k ·C k n ·2n －k＋…＋(－1)n ·C nn ＝________.解：原式＝C 0n ·2n ·(－1)0＋C 1n 2n －1·(－1)1＋…＋(－1)k ·C k n 2n －k＋…＋(－1)n ·C n n ·2＝(2－1)n＝1.答案：1二项式系数与项的系数问题[典例] (1)求二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －x 6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；(2)求⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 9的展开式中x 3的系数．[解] (1)由已知得二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 6(2x )6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝26－r C r 6·(－1)r·x 3－3r 2， ∴T 6＝－12·x －92.∴第6项的二项式系数为C 56＝6， 第6项的系数为C 56·(－1)5·2＝－12. (2)设展开式中的第r ＋1项为含x 3的项，则T r ＋1＝C r 9x9－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r ·C r 9·x 9－2r，令9－2r ＝3，得r ＝3，即展开式中第四项含x 3，其系数为(－1)3·C 39＝－84. [一题多变]1．[变设问]本例问题(1)条件不变，问题改为“求第四项的二项式系数和第四项的系数”．解：由通项T r ＋1＝(－1)r ·C r 6·26－r·x 3－32r ，知第四项的二项式系数为C 36＝20， 第四项的系数为C 36·(－1)3·23＝－160.2．[变设问]本例问题(2)条件不变，问题改为“求展开式中x 5的系数”，该如何求解． 解：设展开式中第r ＋1项为含x 5的项，则T r ＋1＝(－1)r ·C r 9·x9－2r ， 令9－2r ＝5，得r ＝2.即展开式中的第3项含x 5，且系数为C 29＝36.求某项的二项式系数或展开式中含x r的项的系数，主要是利用通项公式求出相应的项，特别要注意某项二项式系数与系数两者的区别．1．(四川高考)设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( ) A ．－15x 4B ．15x 4C ．－20i x 4D ．20i x 4解析：选A 二项式的通项为T r ＋1＝C r 6x 6－r i r，由6－r ＝4得r ＝2.故T 3＝C 26x 4i 2＝－15x 4.故选A ．2．(1＋2x )3(1－3x )5的展开式中x 的系数是________．解析：(1＋2x )3(1－3x )5的展开式的通项为2r C r 3·(－1)s C s 5x 3r ＋2s 6(其中r ＝0,1,2,3；s ＝0,1,2,3,4,5)，令3r ＋2s6＝1，得3r ＋2s ＝6，所以⎩⎪⎨⎪⎧r ＝0，s ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，s ＝0.所以x 的系数是－C 35＋4C 23＝2.答案：2题点二：由二项展开式某项的系数求参数问题3．(山东高考)若⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝________.解析：T r ＋1＝C r5·(ax 2)5－r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 5·a 5－rx 10－52r .令10－52r ＝5，解得r ＝2.又展开式中x 5的系数为－80，则有C 25·a 3＝－80，解得a ＝－2.答案：－2求展开式中特定项的方法求展开式特定项的关键是抓住其通项公式， 求解时先准确写出通项， 再把系数和字母分离， 根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征， 列出方程或不等式即可求解．有理项问题的解法，要保证字母的指数一定为整数．层级一 学业水平达标1．(x ＋2)n的展开式共有12项，则n 等于( ) A ．9 B ．10 C ．11D ．8解析：选C ∵(a ＋b )n的展开式共有n ＋1项，而(x ＋2)n的展开式共有12项，∴n ＝11.故选C ．2．设n 为正整数，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x x 2n展开式中存在常数项，则n 的一个可能取值为( )A ．16B ．10C ．4D ．2解析：选B ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x x 2n展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 2n x 2n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x x r ＝C r2n (－1)r x 4n －5r2，令4n －5r 2＝0，得r ＝4n5，∴n 可取10.3．已知⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 7的展开式的第4项等于5，则x 等于( )A ．17B ．－17C ．7D ．－7解析：选B T 4＝C 37x 4⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 3＝5，∴x ＝－17.4．若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x n 的展开式中第5项是常数项，则自然数n 的值可能为( )A ．6B ．10C ．12D ．15解析：选C ∵T 5＝C 4n (x )n －4·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 4＝24·C 4n xn －122是常数项，∴n －122＝0，∴n ＝12.5．在⎝⎛⎭⎪⎫ax 6＋b x4的二项展开式中，如果x 3的系数为20，那么ab 3＝( )A ．20B ．15C ．10D ．5解析：选D T r ＋1＝C r 4a4－r b r x24－7r，令24－7r ＝3，得r ＝3，则4ab 3＝20，∴ab 3＝5.6．(全国卷Ⅰ)(2x ＋x )5的展开式中，x 3的系数是______．(用数字填写答案) 解析：(2x ＋x )5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(2x )5－r(x )r ＝25－r·C r5·x 5－r2.令5－r2＝3，得r ＝4.故x 3的系数为25－4·C 45＝2C 45＝10.答案：107．若(1＋2x )6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x 的取值范围是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧T 2＞T 1，T 2＞T 3，得⎩⎪⎨⎪⎧C 162x ＞1，C 162x ＞C 26(2x )2.解得112＜x ＜15.答案：⎝⎛⎭⎪⎫112，158．若(x ＋a )10的展开式中，x 7的系数为15，则a ＝______.(用数字填写答案) 解析：二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r10x10－r a r，当10－r ＝7时，r ＝3，T 4＝C 310a 3x 7，则C 310a 3＝15， 故a ＝12.答案：129．若二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 6(a ＞0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B ，且B ＝4A ，求a 的值．解：∵T r ＋1＝C r 6x6－r⎝⎛⎭⎪⎫－a x r ＝(－a )r C r 6x 6－3r 2，令6－3r 2＝3，则r ＝2，得A ＝C 26·a 2＝15a 2；令6－3r 2＝0，则r ＝4，得B ＝C 46·a 4＝15a 4.由B ＝4A 可得a 2＝4，又a ＞0，所以a ＝2.10．已知m ，n ∈N *，f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n 展开式中x 的系数为19，求x 2的系数的最小值及此时展开式中x 7的系数．解：由题设m ＋n ＝19，∵m ，n ∈N *.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1 ，n ＝18，⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝17，…，⎩⎪⎨⎪⎧m ＝18，n ＝1.x 2的系数C 2m ＋C 2n ＝12(m 2－m )＋12(n 2－n )＝m 2－19m ＋171＝⎝⎛⎭⎪⎫m －1922＋3234.∴当m ＝9或10时，x 2的系数取最小值81， 此时x 7的系数为C 79＋C 710＝156.层级二 应试能力达标1．在(1－x 3)(1＋x )10的展开式中x 5的系数是( ) A ．－297 B ．－252 C ．297D ．207解析：选D x 5应是(1＋x )10中含x 5项与含x 2项． ∴其系数为C 510＋C 210(－1)＝207.2．使⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x x n (n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选B 由二项式定理得，T r ＋1＝C rn (3x )n －r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x r ＝C r n 3n －rxn －52r ，令n －52r ＝0，当r ＝2时，n ＝5，此时n 最小．3．在二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 3－1x n (n ∈N *)的展开式中，常数项为28，则n 的值为( )A ．12B ．8C ．6D ．4解析：选B 展开式中第r ＋1项是C rn (x 3)n －r·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝C r n (－1)r x 3n －4r ，令(－1)r C r n x 3n －4r＝28，则⎩⎪⎨⎪⎧3n －4r ＝0(－1)r＝1C r n ＝28，∴n ＝8.4．在⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x n的展开式中，常数项为15，则n 的一个值可以是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选D 通项T r ＋1＝C rn (x 2)n －r⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r C r n x 2n －3r ，常数项是15，则2n ＝3r ，且C rn ＝15，验证n ＝6时，r ＝4合题意，故选D ．5．x ⎝⎛⎭⎪⎫x －2x 7的展开式中，x 4的系数是________．(用数字作答)解析：x 4的系数，即⎝⎛⎭⎪⎫x －2x 7展开式中x 3的系数，T r ＋1＝C r 7·x7－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x r ＝(－2)r ·C r 7·x 7－2r， 令7－2r ＝3得，r ＝2，∴所求系数为(－2)2C 27＝84. 答案：846．在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3的项的系数是________． 解析：展开式中含x 3项的系数为C 35(－1)3＋C 36(－1)3＋C 37(－1)3＋C 38(－1)3＝－121. 答案：－1217．记⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x n 的展开式中第m 项的系数为b m .(1)求b m 的表达式；(2)若n ＝6，求展开式中的常数项； (3)若b 3＝2b 4，求n .解：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x n 的展开式中第m 项为C m －1n ·(2x )n －m ＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x m －1＝2n ＋1－m·C m －1n ·xn ＋2－2m，所以b m ＝2n ＋1－m·C m －1n .(2)当n ＝6时，⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x n 的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6·(2x )6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝26－r ·C r 6·x 6－2r.依题意，6－2r ＝0，得r ＝3，故展开式中的常数项为T 4＝23·C 36＝160. (3)由(1)及已知b 3＝2b 4，得2n －2·C 2n ＝2·2n －3·C 3n ，从而C 2n ＝C 3n ，即n ＝5.8．求证：1＋2＋22＋…＋25n －1(n ∈N *)能被31整除．证明：∵1＋2＋22＋…＋25n －1＝25n－12－1＝25n－1＝32n －1＝(31＋1)n－1 ＝C 0n ·31n ＋C 1n ·31n －1＋…＋C n －1n ·31＋C nn －1＝31(C 0n ·31n －1＋C 1n ·31n －2＋…＋C n －1n )，显然C 0n ·31n －1＋C 1n ·31n －2＋…＋C n －1n 为整数，∴原式能被31整除．。