高二数学计数原理

2 2 2 1 1 1 2 3 4 C2 C4 C2 3 C1 C 6 + C 6 C 5 C 3 +C 6 A3 2 3 A2 A3
此问也可用 多个分给少个时，采用先分组 隔板法
再分配的策略
例、 从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每 校至少有1人,这样有几种选法?
分析:问题相当于把个30相同球放入6个不同盒子(盒 子不能空的)有几种放法?这类问题可用“隔板法”处 5 理. C29 4095 解:采用“隔板法” 得:
5 1 6 2 3 4
课堂练习： 1、如图，是5个区域，用红、黄、 蓝、白、黑5种颜色涂这些区域，使 每个区域涂一种颜色，且相邻的区 域涂不同的颜色。如果颜色可反复 使用，那么共有多少种涂色方法？
2、将３种作物种植在如图所示的５块试验田里， 每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同 一种作物，不同的种植方法共有多少种？（以 数字作答）
判断一个具体问题是否为组合问题,关键是看取 出的元素是否与顺序有关,有关就是排列,无关便 是组合.判断时要弄清楚“事件是什么”.
排列组合典型例题
排列组合应用题的常用方法
1、基本原理法 3、捆绑法 5、间接法 2、特殊优先法 4、插空法 6、穷举法
1．对有约束条件的排列问题，应注意如下类型： ⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置；⑵某些元素要求连 排（即必须相邻）；⑶某些元素要求分离（即不能相邻）； 2．基本的解题方法： （１）有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元 素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优先法）； 特殊元素,特殊位置优先安排策略
1.3：二项式定理
1、二项定理: 一般地，对于n N*有
0 n 1 n 1 2 n2 ( a b )n C n a Cn a b Cn a b
C a
r n
nr
b C b
r n n
n
通项公式 Tr+1 = C a b
n
1 n 2 n 2
r n-r n
r
A 6(种)
3 3
涂色问题
例3：如图,要给地图A、B、C、D四个区域 分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种 颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色, 不同的涂色方案有多少种？
若用2色、4色、5色 等,结果又怎样呢？
涂色问题 例、某城市在中心广场建造一个花圃， 花圃分为6个部分（如右图）现要栽种4 种不同颜色的花，每部分栽种一种且相 邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的 栽种方法有______种.（以数字作答）
练习： 1、将8个学生干部的培训指标分配给5个不同的班级， 每班至少分到1个名额，共有多少种不同的分配方法？
2、从一楼到二楼的楼梯有17级，上楼时可以一步走 一级，也可以一步走两级，若要求11步走完，则有 多少种不同的走法？
混合问题，先“组”后“排”
例对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品, 一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次 品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法 有种可能？ 解：由题意知前5次测试恰有4次测到次品，且第5 3 1 4 次测试是次品。故有： C C A 576 种可能。
0 n 2 n 4 n 1 n 3 n 5 n n 1
赋值法
x 2 5 1.求： ( ) 的有理项 2 x
( x 1) 4 4( x 1) 3 6( x 1) 2 4( x 1) 1 2.化简：
.
3.(1 x) (1 x)
2
(1 x) (1 x)
排列数公式： A nn 1n 2n m 1
m n
n! n m !
其中：n, m N * , 并且m n.
1.2：排列与组合 组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元 素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素 的一个组合。 组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所 有不同组合的个数叫做从n个不同元素中取出m个 m 元素的组合数。用符号 C 表示 . n nn 1n 2 n m 1 m 组合数公式： C n m! n! m! n m ! 其中：n, m N * , 并且m n.
王新敞
奎屯
新疆
5. ( x 7 y) 展开式的二项式系数之和为128、那么展 开式的项数是 ；各项系数之和为：
第一章：计数原理（补充）
1.1：分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1.2：排列与组合
加法原理和乘法原理
问题 1. 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还 可以乘轮船。一天中，火车有4 班, 汽车有2班，轮船有3 班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多 少种不同的走法?
分析: 从甲地到乙地有3类方法, 第一类方法, 乘火车，有4种方法; 第二类方法, 乘汽车，有2种方法; 第三类方法, 乘轮船, 有3种方法; 所以 从甲地到乙地共有 4+2+3=9 方法。
r r n n n n
2、 (1+ x) 1 + C x + C x + + C x + + C x
一般地， ( a b ) 展开式的二项式系数
n
C , C , C
0 n
1 n
（ 1） C （ 2） C
n n 有如下性质： m nm （对称性） n n
C
m n
C
m 1 n
解法一: 按地图A、B、C、D四个区域依 次分四步完成, 第一步, m1 = 3 种, 第二步, m2 = 2 种, 第三步, m3 = 1 种, 第四步, m4 = 1 种, 所以根据乘法原理, 得到不同的涂色方案 种数共有 N = 3 × 2 ×1×1 = 6 种。 解法二: 3种颜色4块区域，则肯定有两块同色， 只能A、D同色，把它们看成一个整体元素，所 以涂色的方法有：
分组问题
问题1：3个小球分成两堆，有多少种分法？
2 1 C3 C1
问题2：4个小球分成两堆，有多少种分法？
2 2 C C 3 1 C4 C1 + 4 2 2 A2
问题3：6个小球分成3堆，有多少种分法？
平均分成m m 组要除以 Am
2 2 2 1 1 C C C 1 2 3 4 2 1 6 C4 C2 C6 C5 C 3 +C 6 2 + A2 A33
（3）三个女生排在一起；
（4）三个女生两两都不相邻；
例、某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节 省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏 灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两 盏灯，可以熄灭的方法共有（ ） 3 3 3 3 A C C11 种 （A） 8 种（B） 8 种 （C） C 9 种 （ D）
两个计数原理
1、分类加法计数原理：完成一件事，有n类办法，在 第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2 种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法. 那么 完成这件事共有 N m1 m2 mn 种不同的方 法. 2、分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n个步 骤，做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的 方法……，做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件 事共有 N m1 m2 mn 种不同的方法.
（２）某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元 素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法 称为“捆绑法”；相邻问题捆绑处理的策略 （３）某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些 不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”；不相邻问题 插空处理的策略
相邻问题，常用“捆绑法” 不相邻问题，常用 “插空法” 例：有4个男生和3个女生排成一排，按下列要求各有多少种不 同排法： （1）男甲排在正中间； （2）男甲不在排头，女乙不在排尾；
多个分给少个时，采用先分组 再分配的策略
练习： (1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1 件,另一份4件, 有多少种分法? (2) 今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每 人二件有多少种分法?
解: (1) C C C C 3150 2 2 C C C (2) 6 4 C 18900
6 10 6 10 1 2 4 6 1 2 1 1 2 2
分配问题
问题1：3个小球放进两个盒子，每 C 2C 1 A2 个盒子至少一个，有多少种放法？ 3 1 2 2 2 3 1 C4 C2 2 问题2：4本书分给两个同学，每人 C C + A 4 1 2 2 A 2 至少一本，有多少种放法？ 问题3：三名教师教六个班的课，每人 至少教一个班，分配方案共有多少种？
法共有多少种?
解法一：先组队后分校（先分堆后分配）
C C A
6 4
2
2
3 3
540
解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医 生和护士.
1 3 2 6 1 2 2 4
(C C ) (C C ) 1 540
涂色问题
例：如图,要给地图A、B、C、D四个区域分 别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜 色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不 同的涂色方案有多少种？
各步之间是互相关联的。
各类办法是互相独立的。
1.2：排列与组合 排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元 素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元 素中取出m个元素的一个排列。 排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所 有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个 m 元素的排列数。用符号 A 表示 . n
分配问题
问题1：3个小球放进两个盒子，每 C 2C 1 A2 个盒子至少一个，有多少种放法？ 3 1 2 2 2 3 1 C4 C2 2 问题2：4本书分给两个同学，每人 C C + A 4 1 2 2 A 2 至少一本，有多少种放法？ 问题3：三名教师教六个班的课，每人 至少教一个班，分配方案共有多少种？ 2 2 2 1 1 1 2 3 4 C2 C4 C2 3 C1 C 6 + C 6 C 5 C 3 +C 6 A3 2 3 A2 A3