高中数学之计数原理

计数原理（讲义）
➢ 知识点睛
一、两个计数原理
1. 全排列：n 个不同元素全部取出的排列，叫做n 个不同元素的一个全排列，
A (1)(2)21n n n n n n =⨯-⨯-⨯⨯⨯=L ！
即正整数1到n 的连乘积叫做n 的阶乘，用n ！表示．
A ()m n n n m =-！！，A !C !()!A m m n n m m n m n m ==-，
规定0!1=，0C 1n =． 2. 组合数的性质
C C m n m n n -=，11C C C m m m n n n
-+=+． ➢ 精讲精练
1. 从A 地到B 地要经过C 地和D 地，从A 地到C 地有3条路，从C 地到D 地有2条路，从D 地
到B 地有4条路，则从A 地到B 地的不同走法共有（ ）种．
A ．3+2+4=9
B ．1
C ．3×2×4=24
D ．1+1+1=3
2. 设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动的方案有a 种，这4名学生在运动会上共同争
夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有b 种，则(a ，b )为（ ）
A ．(34，34)
B ．(43，34)
C ．(34，43)
D ．3344(A A )，
3. 填空：
（1）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有______种．
（2）某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成，若要选出不同年级的两人参加市里组织的某项活动，则不同的选法共有______种．
（3）从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装与组装计算机各两台，则不同的取法有_____种．
（4）在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的为_____种（结果用数值表示）．
4. 填空：
（1）用0到9这10个数字，可组成________个没有重复数字的四位偶数．
（2）6个人从左至右排成一行，若最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有________种．
（3）某运输公司有7个车队，每个车队的车均多于4辆且型号相同，现从这个车队中抽调出10辆车，并且每个车队至少抽调一辆，则不同的抽调方法共有________种．
5.4名男生和3名女生并坐一排，分别回答下列问题：
（1）男生必须排在一起的坐法有多少种？
（2）女生互不相邻的坐法有多少种？
（3）男生相邻、女生也相邻的坐法有多少种？
（4）男女生相间的坐法有多少种？
（5）女生顺序已定的坐法有多少种？
6.6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的情况共有（）种．
A．144B．120C．72D．24
7.市内某公共汽车站有6个候车位（成一排），现有3名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有2
个连续空座位的候车方式共有（）种．
A．48B．54C．72D．84
8.填空：
（1）有形状大小相同的3个红色小球和5个白色小球，排成一排，则不同的排列方法共有________种．
（2）宿舍楼内的走廊一排有8盏灯，为节约用电又不影响照明，要同时熄灭其中3盏，但这3盏灯不能相邻，则不同的熄灯方法共有________种．
9.有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．
（1）共有几种放法？
（2）恰有1个空盒，有几种放法？
（3）恰有2个盒子不放球，有几种放法？
【参考答案】
1．C
2．C
3．（1）75；（2）74；（3）350；（4）120
4．（1）2296；（2）216；（3）84
5．（1）576；（2）1440；（3）288；（4）144；（5）840
6．D
7．C
8．（1）56；（2）20
9．（1）256；（2）144；（3）84
计数原理（随堂测试）
10.7名同学排队照相．
（1）若排成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法？
（2）若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？
（3）若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？
（4）若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不同的排法？
【参考答案】
（1）5040；（2）1440；（3）720；（4）1440
计数原理（习题）
➢例题示范
例1：现有3辆公交车、3位司机和3位售票员，若要求每辆车配1位司机和1位售票员，则车辆、司机、售票员的搭配方案共有多少种？
思路分析：
可以把3辆车看成排了顺序的三个空：，然后把3名司机和3名售票员分别填入．因此可认为事件分两步完成，每一步都是一个排列问题．
第一步，把3名司机安排到3辆车中，有3
A=6种安排方法；
3
第二步，把3名售票员安排到3辆车中，有3
A=6种安排方法．
3
故搭配方案共有3333
A A ⋅=36种．
例2：5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法共有（ ）
A ．480种
B ．240种
C ．120种
D ．96种
思路分析： 首先把5本书转化成4本书，然后分给4个人．
第一步：从5本书中任意取出2本捆绑成一本书，有25C 种方法；第二步：再把4本书分给4个学生，
有44A 种方法．
由乘法原理，共有2454C A ⋅=240种方法，故选B ．
➢ 巩固练习
1. （1）4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有_______种报名方法．
（2）4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有_____种可能的结果．
2. 已知a ∈{0，3，4}，b ∈{1，2，7，8}，r ∈{8，9}，则方程(x -a )2+(y -b )2=r 2表示__________个不同
的圆．
3. 满足a ，b ∈{-1，0，1，2}，且关于x 的方程ax 2+2x+b =0有实数解的有序数对(a ，b )共有（ ）
A ．14个
B ．13个
C ．12个
D ．10个
4. 某校一年级有5个班，二年级有7个班，三年级有4个班，分年级举行班与班之间的篮球单循环
赛，共需进行比赛的场数是（ ）
A ．222574C C C ++
B ．222574
C C C ⋅⋅ C ．222574A A A ++
D ．216C
5. 将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1
名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）
A ．12种
B ．10种
C ．9种
D ．8种
6. 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有（ ）
A ．144个
B ．120个
C ．96个
D ．72个
7. 计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行展出，要求
同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不能放在两端，则不同的展出方式共有（ ）种．
A ．4
545A A ⋅
B ．345345A A A ⋅⋅
C ．1
45345C A A ⋅⋅ D ．2
45245A A A ⋅⋅
8. 现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人不能相邻的排法有（ ）种．
A ．3
565A A ⋅
B ．863863A A A -⋅
C ．3
353A A ⋅ D ．8
486A A -
9. 从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有（ ）
A ．24对
B ．30对
C ．48对
D ．60对
10. 填空： （1）有10个运动员名额，分给7个班，每班至少分1个，共有__________种分配方案．
（2）由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3都不与5相邻的六位偶数，这样的六位偶数共有__________个．
（3）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有__________种．
11.某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种，现在餐厅
准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需准备__________种不同的素菜．
12.3个女生和5个男生排成一排．
（1）如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？
（2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？
（3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？
（4）如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？
13.某街道有十只路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的
两只，且在两端的灯也不能关掉，求满足条件的关灯方法共有多少种？
【参考答案】
1．（1）81；（2）64
2．24
3．B
4．A
5．A
6．B
7．D
8．A
9．C
10．（1）84；（2）108；（3）480
11．7
12．（1）4320；（2）14 400；（3）14 400；（4）36 000 13．20。