2×2自共轭四元数矩阵空间的保行列式加法映射
四元数法希腊哲学
四元数法希腊哲学1.为什么要用四元数可能四元数的由来大家都看过很多遍。
很久以前，一位老者坐在大桥边上，看着过往船只，突然灵光一闪，在桥边石碑上洋洋洒洒刻上几行大字，四元数诞生了！故事大家都爱听，那么为什么我们需要四元数？一种说法是解决向量乘法，我们知道向量之间乘法有内积和外积，但这两个运算均不完美，即不满足群的条件（当然四元数诞生的时候也还没有内积外积的说法）。
那向量之间是否存在这样一个非常完美的乘法，于是三维空间无法解决的问题就映射到四维空间。
这便是四元数诞生的契机。
那么问题又来了，既然四元数只是为了解决矩阵乘法，那为什么我们现在要用四元数进行旋转，甚至替代了欧拉角、轴角等形式？首先，四元数并不是生来为了解决三维旋转，而是它的性质非常有利于表达旋转信息（后面会详述），所以了解四元数的性质要先于了解四元数在旋转中的应用。
至于四元数替代欧拉角等形式，就需要牵扯到一些别的知识点，我先罗列一下四元数相比其他形式的优点：✧解决万向节死锁（Gimbal Lock）问题✧仅需存储4个浮点数，相比矩阵更加轻量✧四元数无论是求逆、串联等操作，相比矩阵更加高效所以综合考虑，现在主流游戏或动画引擎都会以缩放向量+旋转四元数+平移向量的形式进行存储角色的运动数据。
2.四元数是怎么想出来的平庸的教程会直接提出四元数的定义、运算规则等等，然后读者不知所云。
相反，较为系统的教程一般会从复数（Complex Number）进行引导，逐步提出四元数的定义，这样会让读者更容易理解，在脑中也更好形成画面。
那复数与四元数之间的关系、以及如何从复数这样一个概念扩展到四元数是我们需要理清的一个思路。
2.先说几个概念。
空间中的子空间：一般而言，空间（维度>2）都存在更低维的子空间，比如二维空间中一维子空间，也就是直线；三维空间中的一维子空间和二维子空间，也就是直线和面。
当超过三维的概念我们就很难去想象是什么样子，但四维空间一定会存在三维子空间或二维子空间。
自共轭四元数矩阵特征值的极值原理
第17卷第1期数学研究与评论V o l.17N o .11997年2月JOU RNAL O F M A TH E M A T I CAL R ESEA RCH AND EXPO S IT I ONFeb .1997自共轭四元数矩阵特征值的极值原理Ξ黄 礼 平(湘潭矿业学院基础科学部,湘潭411201)摘 要 本文将H erm ite 算子特征值的两个一般的极值原理推广到自共轭四元数矩阵,并给出了几个推论,同时也去掉了子空间的包含条件.关键词 自共轭四元数矩阵,特征值,极值原理,广义标准正交.分类号 AM S (1991)15A 33 CCL O 151.23本文证明了自共轭四元数矩阵特征值的两个一般的极值原理,从而将[1]-[3]中的重要结果推广到四元数体.设H 为实四元数体,Hm ×n为H 上m ×n 矩阵的集合,S Hn ×n为n 阶自共轭四元数矩阵[4]的集合,A 3为A 的共轭转置矩阵.设A ∈S H n ×n,用tr A =∑ni =1aii表示A 的迹,按照谢邦杰定义[5,6],用 A 表示A 的行列式,用Κ1(A )≥…≥Κn (A )表示A 的n 个特征值,设Hn为H 上n 维列向量构成的右向量空间,其中定义了内积(x ,y )=x 3y (x ,y ∈H n),如果x 3y =0,则称x 与y 广义正交.对于Hn中的一组向量Α1,…,Αk ,如果Α3i Αj =∆ij (k ronecker 符号),1≤i ,j ≤k ,则称Α1,…,Αk 是广义标准正交的.类似可定义广义正交基、广义正交补等概念.设[Α1,…,Αk ]为由Α1,…,Αk 所生成的Hn的子空间,H n ×kU ={A ∈Hn ×kA 3A =I k ,k ≤n }.引理1 设Α1,…,Αk 是H n中任一个右线性无关的向量组,则存在H n中的一个广义标准正交的向量组e 1,…,e k ,使得对于s =1,…,k 都有[Α1,…,Αs ]=[e 1,…,e s ].(1)证明 令Β1=Α1,Βs =Αs -∑s -1i =1Βi Α3sΒi(Β3iΒi )-1,s =2,…,k ,e i =Βi (Β3i Βi )-12,则e 1,…,e k 广义标准正交且(1)成立.证毕.引理2[7] 设V 1,V 2<H n,则di m (V 1+V 2)=di m V 1+di m V 2-di m (V 1∩V 2).(2) 引理3[8] 设A ∈S Hn ×n,U k ∈H n ×kU ,则对于1≤i ≤k 有Κn -k +i(A )≤Κi (U 3k A U k )≤Κi (A ).(3) 引理4 设1≤i 1<…<i k ≤n ,R t <H n,di m R t ≥i t ,S k <…<S 1<H n,di m S t ≥n -i t +1,t =1,…,k ,则存在广义标准正交的x t ∈R t ,t =1,…,k 和广义标准正交的y t ∈S t ,t =1,…,k 使得Ξ1994年3月10日收到.国家自然科学基金资助项目.[x 1,…,x k ]=[y 1,…,y k ].(4) 证明 当k =1时显然成立.假设对k -1的情况(k ≥2)命题成立,则对于k ,由归纳假设知存在广义标准正交的x ′t ∈R t ,t =2,…,k 和广义标准正交的y t ∈S t ,t =2,…,k 使得[x ′2,…,x ′k ]=[y 2,…,y k ].令S ′k =[y 2,…,y k ] [y 2,…,y k ]⊥∩S 1,则di m S ′k ≥di m S 1≥n -i 1+1.令P t =S ′k ∩R t ,则di m P t ≥i t -i 1+1≥t ,t =1,…,k 且P 1<…<P k .显然,x ′t ∈P t ,t =2,…,k .不难证明:存在x ″t ∈P t 使得x ″1,…,x ″k 右线性无关且[x ′2,…,x ′k ]<[x ″1,…,x ″k ].由引理1易知存在广义标准正交的x t ∈P t ,使得[x ″1,…,x ″k ]=[x 1,…,x k ].显然,x t ∈R t ,t =1,…,k .因此,取单位化向量y 1∈[y 2,…,y k ]⊥∩[x 1,…,x k ],则y 1,…,y k 广义标准正交且[y 1,…,y k ]=[x 1,…,x k ].因为y 1∈S ′k ∩[y 2,…,y k ]⊥,所以y 1∈S 1.证毕.引理5[8] 设A ∈S Hn ×n,则 A =∏ni =1Κi(A )且tr A =∑ni =1Κi(A ).(5)引理6[9] 设A =(a ij )∈S H n ×n,则(a 11,…,a nn );(Κ1(A ),…,Κn (A )).(6)定理 设A ∈S H n ×n,Κ1≥…≥Κn 为A 的特征值,1≤i 1<…<i k ≤n ,则有:(i ) 如果Υ(t 1,…,t k )是关于每个变量t i ∈R 的增函数,则Υ(Κi 1,…,Κi k )=sup S t <Hndi m S t =i t inf X =(x 1,…,x k )x t ∈S t ,X 3X =I k Υ(Κ′1,…,Κ′k ),(7)其中Κ′1≥…≥Κ′k 为X3A X 的k 个特征值.(ii ) 如果F (t 1,…,t k )是R k 上增的Schu r 2凸函数[10],则F (Κi 1,…,Κi k )=sup S t <Hndi m S t =i t inf x t ∈S tx 3r x t =∆rt F (x 31A x 1,…,x 3k A x k ).(8)证明 由[6]知存在U =(u 1,…,u n )∈H n ×nU使得A =U 3diag (Κ1,…,Κn )U .因此,A u i =Κi u i ,1≤i ≤n.(9)1) 首先证明:存在P t <H n,di m P t =i t ,使得任取广义标准正交的x t ∈P t ,t =1,…,k 都有Υ(Κi 1,…,Κi k )≤Υ(Κ′1,…,Κ′k ).(10)F (Κi 1,…,Κi k )≤F (x 31A x 1,…,x 3k A x k ).(11)事实上,令P t =[u 1,…,u i t ],则di m P t =i t 且P 1<…<P k .任取广义正交的x t ∈P t ,t =1,…,k ,设X =(x 1,…,x k )∈H n ×kU .将x 1,…,x t 扩充为S t 的一组广义标准正交基x 1,…,x t ,v t +1,…,v i t ,令V t =(x 1,…,x t ,v t +1,…,v i t )∈H i t ×it U ,则显然存在Q t ∈H i t×i tU 使得V t =(u 1,…,u i t )Q t .由引理3知 Κt (X 3A X )≥Κt ((x 1,…,x t )3A (x 1,…,x t ))≥Κi t (V 3t A V t )≥Κi t ((u 1,…,u i t )3A (u 1,…,u i t ))=Κi t ,(12)t =1,…,k .所以由Υ的递增性知(10)成立.另一方面,由x t ∈P k 知x t =∑i tj =1u j Αtj,Αtj∈H ,因此对于t =1,…,k 有:x 3t A x t =∑i tj =1Κj (Α3tj Αtj )≥Κi t ∑i tj =1Α3tj Αtj =Κi t.(13)因此由F 的递增性或凸性知(11)成立.2) 再证明:任取S t <H n,di m S t =i t ,存在广义标准正交的x t ∈S t ,t =1,…,k ,使得Υ(Κi 1,…,Κi k )≥Υ(Κ′1,…,Κ′k ).(14)F (Κi 1,…,Κi k )≥F (x 31A x 1,…,x 3k A x k ).(15) 事实上,令N t =[u i t ,u i t +1,…,u n ],则di m N t =n -i t +1且N 1=…=N k .由引理4知存在广义正交的x t ∈S t ,t =1,…,k 和广义标准正交的y t ∈N t ,t =1,…,k ,使得[x 1,…,x k ]=[y 1,…,y k ].设X =(x 1,…,x k ),Y =(y 1,…,y k ),则存在Q k ∈Hn ×kU使得X =YQ k .令i ′t =n -i k -t +1+1,R t =Nk -t +1,则1≤i ′1<…<i ′k ≤n 并且R 1<…<R t ,di m R t =i ′t.仿照1)的证明同理可知 -Κk -t +1(X 3A X )=Κt (X3(-A )X )=Κt (Q 3k Y3(-A )YQ k )≥Κt (Y 3(-A )Y )≥Κi ′k (-A )=-Κi k -t +1.(16)因此有Κ′t ≤Κi t ,t =1,…,k ,由Υ的递增性知(14)成立.另一方面,由引理6知(x 31A x 1,…,x 3k A x k );(Κ′1,…,Κ′k ).(17)因此由F 的Schu r 2凸性与(14)知(注意到F 为增函数): F (Κi 1,…,Κi k )≥F (Κ′1,…,Κ′k )≥F (x 31A x 1,…,x 3k A x k ).结合1)和2),易知(7)和(8)均成立.证毕.特别,因为Υ=∑ki =1ti与Υ=∏ki =1t i(ti≥0)均为增函数,所以由定理与引理5知有:推论1 设A ∈S Hn ×n,1≤i 1<…<i k ≤n ,Κ1≥…≥Κn 为A 的特征值,则∑k t =1Κi t=sup S t <Hndi m S t =i t infX =(x 1,…,x k )x t ∈S t ,X 3X =I ktr (X 3A X ).(18)推论2 设A 为n 阶半正定自共轭四元数矩阵[4],1≤i 1<…<i k ≤n ,Κ1≥…≥Κn 为A 的特征值,则∏kt =1Κi t=sup S t <Hndi m S t =i t infX =(x 1,…,x k )x t ∈S t ,X 3X =I kX 3A X .(19)由(13),(16)与引理6,仿照定理证明的方法,不难验证:推论3 在推论1的条件下,如果c 1≥…≥c k ≥0,∑kt =1c t Κi t=sup S t <Hndi m S t =i t infx t ∈S tx 3r x t =∆rt ∑kt =1c tx3tA x t .(20)参 考 文 献[1] A.R.Am ir2M oéz,D uke M ath.J.,23(1956),463-476.[2] M.M arcu s and R.T homp son,D uke M ath.J.,24(1957),43-46.[3] 王伯英,数学进展,15:4(1986),431—433.[4] 谢邦杰,吉林大学自然科学学报,2(1980),19—35.[5] 谢邦杰,数学学报,23:4(1980),522—533.[6] 谢邦杰,吉林大学自然科学学报,3(1980),1—33.[7] 谢邦杰,抽象代数学,上海科学技术出版社,1982.[8] 黄礼平,数学研究与评论,12:3(1992),449—454.[9] 刘建洲、谢清明,数学研究与评论,12:3(1992),379—384.[10] 王伯英,控制不等式基础,北京师范大学出版社,1990.Extrem un Pr i nc iples of E igenvalues forSelf-Con jugate Quatern ion M atr ixH uang L ip ing(D ep t.of Basi.Sciences.,X iangtan M ining Institute,X iangtan411201)AbstractT h is p ap er ex tends tw o general ex trem un p rinci p les of eigenvalues of H erm ite op erato r to the self2con jugate quatern i on m atrix.Keywords self2con jugate quatern i on m atrix,eigenvalues,ex trem un p rinci p le,generalized o rthono rm alizing。
线性代数教案全(同济大学第六版)
线性代数教案第（1）次课授课时间（）1.教学内容: 二、三阶行列式的定义；全排列及其逆序数；阶行列式的定义2.时间安排: 2学时；3.教学方法: 讲授与讨论相结合；4.教学手段: 黑板讲解与多媒体演示.基本内容备注第一节 二、三阶行列式的定义一、二阶行列式的定义从二元方程组的解的公式,引出二阶行列式的概念。
设二元线性方程组 ⎩⎨⎧=+=+22222211212111b x a x a b x a x a用消元法,当021122211≠-a a a a 时,解得211222111212112211222112121221,a a a a b a b a x a a a a b a b a x --=--=令2112221122211211a a a a a a a a -=,称为二阶行列式 ,则如果将D 中第一列的元素11a ,21a 换成常数项1b ,2b ,则可得到另一个行列式,用字母1D 表示,于是有2221211a b a b D =按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和: ,这就是公式（2）中 的表达式的分子。
同理将 中第二列的元素a 12,a 22 换成常数项b1,b2 ,可得到另一个行列式,用字母 表示,于是有2121112b a b a D =按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和: ,这就是公式（2）中 的表达式的分子。
于是二元方程组的解的公式又可写为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==D D x D D x 2211 其中0≠D例1. 解线性方程组 .1212232121⎪⎩⎪⎨⎧=+=-x x x x 同样,在解三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 时,要用到“三阶行列式”,这里可采用如下的定义.二、三阶行列式的定义设三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a用消元法解得定义 设有9个数排成3行3列的数表333231232221131211a a a a a a a a a 记 333231232221131211a a a a a a a a a D =322113312312332211a a a a a a a a a ++=332112322311312213a a a a a a a a a ---,称为三阶行列式,则三阶行列式所表示的6项的代数和,也用对角线法则来记忆: 从左上角到右下角三个元素相乘取正号,从右上角到左下角三个元素取负号,即例2.计算三阶行列式 .(-14) 例3.求解方程 （ ） 例4.解线性方程组 解 先计算系数行列式573411112--=D 069556371210≠-=----+-= 再计算 321,,D D D515754101121-=--=D ,315534011222=--=D ,55730112123=---=D得 23171==D D x ,69312-==D D y ,6953-==D D z第（ 2 ）次课授课时间（）第（ 3 ）次课授课时间（）1.教学内容: 行列式按行（列）展开；2.时间安排: 2学时；3.教学方法: 讲授与讨论相结合；教学手段: 黑板讲解与多媒体演示.基本内容备注第5节 行列式按行（列）展开定义 在 阶行列式中, 把元素 所处的第 行、第 列划去, 剩下的元素按原排列构成的 阶行列式, 称为 的余子式, 记为；而 称为 的代数余子式.引理 如果 阶行列式中的第 行除 外其余元素均为零, 即: .则： .证 先证简单情形:再证一般情形:定理 行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应的代数余子式乘积之和, 即按行: 按列: 证:（此定理称为行列式按行（列）展开定理）nnn n ini i n a a a a a a a a a D212111211000000+++++++++=nnn n in n nnn n i n nn n n i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 21112112121121121111211000000+++=).,2,1(2211n i A a A a A a in in i i i i =+++=例1 : . 解:例2: 21122112----=n D解: 21122112----=n D 211221100121---=+++nr r)()()()()()21331122213311n n n n n n n x x x x x x x x x x x -----, 并提出因子 ）()2321111--n n n x x x x x x()1-n 阶范德蒙行列式(1n x x -行列式一行（列）的各元素与另一行（列）对应各元素的代数余子式乘积之和为零第（ 4 ）次课授课时间（）1.教学内容: 克拉默法则；2.时间安排: 2学时；教学方法: 讲授与讨论相结合；4.教学手段: 黑板讲解与多媒体演示.4.教学手段：黑板讲解与多媒体演示.基本内容备注第（5）次课授课时间（）1.教学内容: 矩阵；矩阵的运算；2.时间安排: 2学时；3.教学方法: 讲授与讨论相结合；4.教学手段: 黑板讲解与多媒体演示。
四元数群的自同构群-概述说明以及解释
四元数群的自同构群-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述：四元数是一种数学结构，它扩展了复数的概念。
与复数类似，四元数可以用方式a + bi + cj + dk进行表示，其中a、b、c和d分别是实数，而i、j和k是特定的虚数单位。
四元数群是指由四元数构成的数学群，其中群的运算是四元数的乘法。
本文主要研究四元数群的自同构群。
自同构群是指一个数学结构自己到其自身的同构映射所构成的群。
在本文中，我们将探讨四元数群的自同构群的概念和性质，并研究其特点、应用和意义。
了解四元数群的自同构群对于理解四元数的结构和性质具有重要意义。
自同构群可以帮助我们发现四元数群中的对称性质和关系，从而推导出关于四元数的重要性质和结论。
此外，研究四元数群的自同构群还能够为解决一些实际问题提供有力的工具和方法。
因此，深入研究四元数群的自同构群对于数学和工程领域的学者都具有重要的参考价值。
在接下来的正文中，我们将首先介绍四元数群的定义和性质，包括四元数的乘法运算和群的封闭性等。
然后，我们会详细讨论自同构群的概念和性质，并给出一些自同构群的例子和结论。
最后，我们将总结四元数群的自同构群的特点，并探讨其在实际应用中的意义和潜在的发展方向。
希望通过本文的研究，读者能够对四元数群的自同构群有一个清晰的认识，并能够将其应用于相关领域的研究和解决问题中。
1.2文章结构文章结构部分将描述文章的整体结构和各个章节的内容安排。
文章按照以下的结构进行组织和撰写：1. 引言：引言部分主要包括以下内容：1.1 概述：对四元数群和自同构群的基本概念进行简单介绍，强调自同构群对于四元数群的重要性和研究意义。
1.2 文章结构：详细阐述文章的整体结构，即各个章节的内容和组织方式。
1.3 目的：明确本文的研究目的和研究方法，指出本文的创新点和科学价值。
2. 正文：正文部分分为以下几个章节：2.1 四元数群的定义和性质：介绍四元数群的基本定义，包括四元数的表示方法以及群运算的性质，如结合律、单位元等。
四元数 旋转变换-概述说明以及解释
四元数旋转变换-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容可以从以下角度来写：四元数是一种数学对象，广泛应用于旋转变换和姿态控制等领域。
它可以用来描述三维空间中的旋转变换，具有很多独特的性质和优势。
在传统的三维空间中，我们通常使用欧拉角或旋转矩阵来描述旋转变换。
然而，欧拉角存在奇异性问题，而旋转矩阵则涉及到复杂的计算和高代数运算。
相比之下，四元数具有简洁、紧凑、可逆和无奇异性等优势，使其成为了一种更为有效的旋转变换描述方法。
四元数的定义在数学上是一种复数扩展，由一个实部和三个虚部组成。
它可以用于表示旋转轴和旋转角度，通过旋转轴和旋转角度的乘积形式来描述旋转变换。
这种形式上的描述使得四元数可以方便地进行数学运算，比如加法、减法和乘法等，从而实现了旋转变换的复合和插值等操作。
本文将从四元数的基本概念开始介绍，包括四元数的定义、表示和运算规则等内容。
然后，我们将详细讨论四元数在旋转变换中的应用，包括如何通过四元数进行旋转变换、如何进行旋转的插值和相对旋转的合成等。
最后，我们将总结四元数旋转变换的优势和应用领域，并给出结论。
通过本文的学习，读者将能够了解四元数在旋转变换中的基本原理和应用方法，掌握四元数的运算规则和操作技巧，进一步提升对旋转变换的理解和应用能力。
同时，本文还将展示四元数相对于其他旋转变换描述方法的优势和特点，为读者在实际应用中选择合适的旋转变换描述方法提供参考。
1.2 文章结构本文分为引言、正文和结论三部分。
引言部分包括概述、文章结构、目的和总结。
在概述中，将简要介绍四元数和旋转变换的背景和重要性。
文章结构部分将详细说明本文的组织结构和每个部分的内容。
目的部分将明确本文的目标和意图。
最后，在总结中将简要回顾本文的主要内容和结论。
正文部分主要包括三个章节：什么是四元数、四元数的定义和性质，以及四元数的旋转变换。
在什么是四元数章节，将解释四元数的基本概念和定义，以及它们在数学和物理中的应用。
南航07-14矩阵论试卷
南航07-14矩阵论试卷南京航空航天大学07-14硕士研究生矩阵论试题2007 ~ 2008学年《矩阵论》课程考试A 卷一、（20分）设矩阵-----=111322211A ，（1）求A 的特征多项式和A 的全部特征值；（2）求A 的行列式因子、不变因子和初等因子；（3）求A 的最小多项式，并计算I A A 236-+；（4）写出A 的Jordan 标准形。
二、（20分）设22?R 是实数域R 上全体22?实矩阵构成的线性空间(按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法)。
（1）求22?R的维数，并写出其一组基；（2）设W 是全体22?实对称矩阵的集合，证明：W 是22?R的子空间，并写出W 的维数和一组基；（3）在W 中定义内积W B A BA tr B A ∈=,),(),(其中，求出W 的一组标准正交基；（4）给出22?R 上的线性变换T ：22,)(?∈?+=R A A A A T T写出线性变换T 在（1）中所取基下的矩阵，并求T 的核)(T Ker 和值域)(T R 。
三、（20分）（1）设-=121312A ，求1A ，2A ，∞A ，F A ；（2）设nn ij C a A ?∈=)(，令ijji a n A ,*max ?=，证明：*是n n C ?上的矩阵范数并说明具有相容性；（3）证明：*2*1A A A n ≤≤。
四、（20分）已知矩阵-=100100011111A ，向量=2112b ，（1）求矩阵A 的QR 分解；（2）计算+A ；（3）用广义逆判断方程组b Ax =是否相容？若相容,求其通解;若不相容,求其极小最小二乘解。
五、（20分）（1）设矩阵=????? ??=15.025.011210,2223235t t B t t A ，其中t 为实数，问当t 满足什么条件时, B A >成立？（2）设n 阶Hermite 矩阵022121211>=A A A A A H，其中k k C A ?∈11，证明：0,012111122211>->-A A A A A H。
2×2自共轭四元数矩阵空间的保行列式加法映射
2×2自共轭四元数矩阵空间的保行列式加法映射
李艳君;郑宝东
【期刊名称】《黑龙江工程学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2007(021)001
【摘要】设Q是一个实四元数体,SCn(Q)是Q上n×n自共轭四元数矩阵空间,f是从SCn(Q)到其自身的映射,如果对任意的A,B∈SCn(Q),都有f(A+B)=f(A)+f(B),且det(f(A))=det(A),则称f是SCn(Q)上的保行列式加法映射.文中刻画n=2时SCn(Q)上的保行列式加法映射的形式.
【总页数】3页(P76-78)
【作者】李艳君;郑宝东
【作者单位】齐齐哈尔大学,理学院,黑龙江,齐齐哈尔,161006;哈尔滨工业大学,理学院,黑龙江,哈尔滨,150001
【正文语种】中文
【中图分类】O151.21
【相关文献】
1.自共轭四元数矩阵空间的保行列式加法映射 [J], 李艳君;任秋萍;张权
2.全矩阵空间保矩阵逆的加法映射 [J], 姚红梅;曹重光
3.实对称矩阵空间到Hermitian矩阵空间保秩1的加法映射 [J], 白山;高翔宇;张显
4.保2×2自共轭四元数矩阵左谱的线性映射 [J], 袁庚;郭艺婉;翟发辉;张淑华
5.剩余类环上二阶对称矩阵模的保行列式的加法映射 [J], 生玉秋;宋丹;许璐珂;杨婷;贺三亭
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eigen 四元数和旋转矩阵
在计算机图形学和机器人领域，常常需要进行旋转变换的操作。
而在进行旋转变换时，我们通常会使用旋转矩阵或者四元数来表示和实现旋转变换。
本文将从数学原理和实际应用两个方面介绍 eigen 四元数和旋转矩阵。
二、eigen 四元数的定义和性质1. 四元数的定义四元数是一种超复数或超二元数，它由一个实部和三个虚部组成。
一般形式为 q = w + xi + yj + zk，其中 w、x、y、z 是实数，i、j、k 是虚数单位，且满足i²=j²=k²=ijk=-1。
2. 四元数的性质(1) 四元数的加法和减法设 q1 = w1 + x1i + y1j + z1k，q2 = w2 + x2i + y2j + z2k，则有 q1+q2 = (w1+w2) + (x1+x2)i + (y1+y2)j + (z1+z2)k，q1-q2 = (w1-w2) + (x1-x2)i + (y1-y2)j + (z1-z2)k。
(2) 四元数的乘法设 q1 = w1 + x1i + y1j + z1k，q2 = w2 + x2i + y2j + z2k，则有 q1*q2 = (w1w2 - x1x2 - y1y2 - z1z2) + (w1x2 + w2x1 +y1z2 - y2z1)i + (w1y2 + w2y1 + z1x2 - z2x1)j + (w1z2 + w2z1 +x1y2 - x2y1)k。
(3) 四元数的模四元数 q = w + xi + yj + zk 的模定义为|q| = √(w² + x² +(4) 四元数的共轭和逆四元数 q = w + xi + yj + zk 的共轭定义为 q* = w - xi - yj - zk，四元数 q 的逆定义为 q⁻¹ = q*/|q|²。
三、eigen 旋转矩阵的定义和性质1. 旋转矩阵的定义旋转矩阵是一个正交矩阵，其行列式为1。
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２×２自共 轭 四元数 矩 阵 空 间的保 行 列 式加 法 映射
李艳君 郑 宝东 ，
（． １ 齐齐哈 尔大学 理 学院， 黑龙江 齐齐哈 尔 １ １０ ； ． 尔滨工业大学 理 学院， ６ ０ ６２ 哈 黑龙江 哈 尔滨 １０ ０ ） ５ ０ １ 摘 要 ： Ｑ 是一 个实 四元数体 ， Ｃ （ 是 Ｑ上 × 自共轭 四元 数矩 阵空 间 ， 设 Ｓ Ｑ） ，是从 Ｓ ． Ｑ） 其 自身 的映射 ， Ｃ（ 到
１０ ０ ， ｈｎ ） ０ １ Ｃ ｉａ
Ａ ｓ ａ ｔＬ ｔＱ ｅａｒ ｌ ｕｔｒ ｉ ｉｉｏ ｉ ， Ｃ （ ｂｔ ｃ： ｅ ｒ ｂ ａ ａｅｎｏ ｄｖ ｉｎｒ ｇ Ｓ ． Ｑ）ｂ ｅｓａｅｏ ｌ × ｓｌｃｎｕ ａ ｕｔｒ ｉ ｅ ｑ ｎ ｓ ｎ ｅｔ ｐ ｃ ｆ ｌ ｅ －ｏ ｊｇ ｔ ｑ ａｅｎｏ ｈ ａ ｆ ｅ ｎ ｍａｒ ｅ ｖｒＱ，ｆ ｐ厂：Ｃ （ 一 （ ｔｉ ｓ ｅ Ｉ ａｍａ ｃ ｏ Ｓ ．Ｑ） Ｑ）ｓｔ ｆ ｇｆ Ａ ＋Ｂ） （ ＋ｆ（ ａｉｉ （ ｓｎ ＝ｆ Ａ） Ｂ）ａ ｄｄ ｔ Ａ） ｏ ｎ ， ｎ ｅ （ ｆｒ ｙＡ Ｂ ａ ∈Ｓ ． Ｑ） ｔｅ ａｌ ｄ ｉｖ ｒｓｒｅ ｆ ｅｅｍｉａ ｔ ｎＳ Ｑ） Ｉ ｈｓｐｐ ｒ， ｈ ｒｃｅｉ ｅ Ｃ （ ， ｎｆ ｉ ｃｌ ｄａａ ｄｔ ｅｐｅｅｖｒ ｔｒ ｎ ｎ Ｃ （ ．ｎｔｉ ａｅ ｗｅｃａａｔｒ ｅｔ ｈ ｓ ｅ ｉ ｏｄ ｏ ｚ ｈ ａｄｔ ｅｐｅｅｖｒ ｆ ｅｅ ｉａ ｔ ｎＳ （ ． ｄ ｉ ｖ ｒ ｒｅｓ ｔｒ ｎｎ Ｃ２ Ｑ） ｉ ｓ ｏｄ ｍ ｏ
实四元数矩阵有许 多行列式 的定义， 比如谢邦 杰教授给出的定义和陈龙玄教授给出的定 义， 在一 般情况 下 ， 些 定 义 是 不 等 同 的 ， 对 于 自共 轭 矩 这 但
阵， 这些 定 义是一 致 的 。 定义 １１ 设 Ａ ＝（ ） ＿ ａ ∈Ｑ ， 规定
特ｕ，ｔ ｌａＪ： 口口． 另 ｄｌ１ ａ ２ 口口一 地 ｅａ １ ２ ２１ ｌ Ｌ ２ ａ
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第 ２ 卷第 １ １ 期 ２０ ０ ７年 ３月
黑
龙
江
工
程
学
院
学
报（ 自然科 学 版 ）
Ｖｏ ． １ Ｎ ． Ｉ２ ｏ １
Ｍ ａ ．２ ０ ｒ ，０ ７
Ｊ ｕｎ ｌ ｆ ｉ ｎ ｊ ｎ ｎ ｔｕｅｏ ｃ ｎ ｌ ｙ ｏ ｒａ ｏ ｌ ｇｉ ｇ Ｉｓ ｔｔ ｆ ｈ ｏ ｇ Ｈｅ ｏ ａ ｉ Ｔｅ ｏ
如果对任意的 Ａ， Ｂ∈Ｓ Ｑ）都有 ｆ Ａ＋Ｂ） （ 十ｆ Ｂ）且 ｄｔｆ Ａ） ＝ｄｔＡ）则 称 ，是 Ｓ ． Ｑ） Ｃ（ ， （ ：ｆ Ａ） （ ， ｅ（ （ ） ｅ（ ， Ｃ （ 上的保行 列式加法映射 。文 中刻画 ＝２时 Ｓ Ｑ） 的保行 列式 加法 映射 的形式 。 Ｃ（ 上 关键 词 ： ； 持 ； 秩 保 自共轭矩阵 ； 列式 ； 行 四元数
中图分类号 ： ５ ．１ Ｏ１ １２ 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ：６ １ ６９ ２ ０ ） １ ０ ６ ３ １７ —４ ７ （０ ７０ —０ ７ —０
Ａｄ ｉ ｖ ｒｓｒ ｅｓｏ ｅｅｍｉａ ｔ ｎ２×２ｓｌ ｃ ｎ ａｅ ｄｔ ｅｐ ｅｅ ｖｒ ｆｄ ｔｒ ｎ ｎ ｉ ｏ ｅｆ ｏ ｊ ｇ ｔ － ｕ
ｑｕ ｔ ｒ ｏ ａ ｒ ｘ ｓ ａ ｅ ａ ｅ ｎｉ ｎ ｍ ｔ ｉ ｐ ｃ ｓ Ｌ ｎｊｎ ， Ｉ ＮＧ ａ －ｏ ｇ Ｉ Ｙａ — Ｚ－ ｕ Ｉ Ｅ Ｂ ｏｄ ｎ ２
（ ． ｃｏｌ ｆｓ ｅｃ ， ｑ ａ ｎｖｒｉ ， ｑ ａ ６ ０ ６ Ｃ ｉａ ２ Ｓｈ ｏ ｏ ｃ ｎｅ ａｂｎ Ｉｓ ｔｔ ｏ ｃｎ ｌ ｙ Ｈ ｒｉ １ Ｓｈ ｏ ｏ ｃ ｎｅ Ｑｉｈ ｒＵ ｉｅ ｔ Ｑｉｈｒ １ １０ ， ｈ ； ． ｃｏｌ ｆＳｉ ｃ，Ｈ ｒｉ ｎｔ ｕｅ ｆＴｅｈ ｏ ｇ ， ａｂｎ ｉ ｉ ｓｙ ｉ ｎ ｅ ｉ ｏ
口‘ １ｉ ａ ｉ
一
口
ｌ ２ ２
…
口Ｊ
２
…
口 ｋ …
２
口
‘
ｓ
其 中： ５ 为 元对称群 ， ∈Ｓ ， 的不交循环分解
为
＝
ｑｋｑ・ ＝ｑ ＝ｑ ＋ｑ 十ｑ ＋ｑ 二｝ ＝Ｎ（ ） ３ ， ｑ ・ ２ ｑ ｆ ｑ，
Ｑ 上 × 矩阵全体记为 Ｑ 。对任意 Ａ＝（ ａ）
∈Ｑ ， Ａ ＝（ ， ＝（ ）Ａ ：（ 分别 表 用 ａ ）Ａ ａ ， ａ）
（ ２３ ｉ） ２２ … （ ｒ２ ， １ … （ …Ｊ ） ｎｋ …ｋ ） ｉｉ
１
＞ ｉ ，３ … ， ； ２＞ Ｊ ，３ … ， ； ２ ｉ， ｉ ２Ｊ ， Ｊ
Ｋ ｙｗ ｒ ｓｒｎ ；ｐｅ ｒｉｇ ｓｌｃｎｕ ａｅｑ ａｅｎｏ ｔ ｘ ｄ ｔｒ ｉａ ｔｑ ａｅｎｏ ｅ ｏｄ ： ｋ ｒｓ ｖｎ ； ｆ ｏ ｊｇｔ ｕ ｔ ｉ ｍａｒ ；ｅｅ ｎ ｎ ；ｕｔｒ ｉ ａ ｅ ｅ － ｒ ｎ ｉ ｍ ｎ
设 Ｑ 是 一 个 实 四 元 数 体 ， ＝ ｛ 。＋ａ ｉ＋ Ｑ ａ ａｊ＋ａ ｋＪ ０ ａ ， ２ ａ ∈ Ｒ｝ Ｑ 中 元 ｇ＝ ｇ ２ ３ ａ ， １ 口 ， ３ ， ０＋ ｇ ＋ｑ ＋ｑｋ的共 轭 表示 为ｑ＝ｑ 一ｑ ｉ ２ １ ｉ ２ ３ ０ 。 —ｑＪ—
，
＞ ｋ２， ， ， … ｋ
示 Ａ 的共轭矩 阵、 置矩阵 和共 轭转置矩 阵。若 转
Ａ ＝Ａ ， 则称 Ａ 为 自共 轭 矩 阵 。全 体 阶 自共 轭 矩 阵记 为 ５ （ 。 Ｑ）
＝ １＞ ２＞ … ＞ ，≥ ， ≥１
ｅ ）： （ ） （ 一１ ‘
‘
‘ 川 ＝ （ ） ． 一１