高中数学 2_1_2 余弦定理同步精练北师大版必修51

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高中数学 2.1.2 余弦定理(一)课时作业北师大版必修5

1.2 余弦定理(一)课时目标1.熟记余弦定理及其推论；2.能够初步运用余弦定理解斜三角形．1．余弦定理三角形任何一边的________等于其他两边________的和减去这两边与它们的________的余弦的积的________．即a2＝________________，b2＝________________，c2＝____. 2．余弦定理的推论cos A＝________________；cos B＝______________；cos C＝________________. 3．在△ABC中：(1)若a2＋b2－c2＝0，则C＝________；(2)若c2＝a2＋b2－ab，则C＝________；(3)若c2＝a2＋b2＋2ab，则C＝________.一、选择题1．在△ABC中，已知a＝1，b＝2，C＝60°，则c等于( )A. 3 B．3C. 5 D．52．在△ABC中，a＝7，b＝43，c＝13，则△ABC的最小角为( )A.π3B.π6C.π4D.π123．在△ABC 中，已知a ＝2，则b cos C ＋c cos B 等于( )A ．1B . 2C ．2D ．44．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( ) A .14 B .34 C .24 D .235．在△ABC 中，sin 2A2＝c －b 2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对应边)，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形6．在△ABC 中，已知面积S ＝14(a 2＋b 2－c 2)，则角C 的度数为( )A ．135°B ．45°C ．60°D ．120°二、填空题7．在△ABC 中，若a 2－b 2－c 2＝bc ，则A ＝________.8．△ABC 中，已知a ＝2，b ＝4，C ＝60°，则A ＝________.9．三角形三边长为a ，b ，a 2＋ab ＋b 2(a>0，b>0)，则最大角为________． 10．在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π3，当△ABC 的面积等于3时，tan C ＝________.三、解答题11．在△ABC 中，已知CB ＝7，AC ＝8，AB ＝9，试求AC 边上的中线长．12．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos (A ＋B)＝1.(1)求角C 的度数； (2)求AB 的长；(3)求△ABC 的面积．能力提升13．在△A BC中，AB＝2，AC＝6，BC＝1＋3，AD为边BC上的高，则AD的长是________．14．在△ABC中，a cos A＋b cos B＝c cos C，试判断三角形的形状．1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题： (1)已知两边和夹角，解三角形． (2)已知三边求三角形的任意一角． 2．余弦定理与勾股定理余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．1．2 余弦定理(一)答案知识梳理1．平方平方夹角两倍 b 2＋c 2－2bc cos A c 2＋a 2－2ca cos B a 2＋b 2－2ab cos C 2.b 2＋c 2－a 22bc c 2＋a 2－b 22ca a 2＋b 2－c 22ab 3.(1)90° (2)60° (3)135°作业设计 1．A2．B [∵a>b>c ，∴C 为最小角，由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c22ab ＝72＋432－1322×7×43＝32. ∴C＝π6.]3．C [b cos C ＋c cos B ＝b·a 2＋b 2－c 22ab ＋c·c 2＋a 2－b 22ac ＝2a22a＝a ＝2.]4．B [∵b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b 2＝2a 2，b ＝2a ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a·2a ＝34.]5．B [∵sin 2A 2＝1－cos A 2＝c －b 2c ，∴cos A ＝b c ＝b 2＋c 2－a 22bc⇒a 2＋b 2＝c 2，符合勾股定理．故△ABC 为直角三角形．]6．B [∵S＝14(a 2＋b 2－c 2)＝12ab sin C ，∴a 2＋b 2－c 2＝2ab sin C ，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab sin C.由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴C＝45° .] 7．120° 8．30°解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋42－2×2×4×cos 60°＝12 ∴c＝2 3.由正弦定理：a sin A ＝c sin C 得sin A ＝12.∵a<c，∴A<60°，A ＝30°. 9．120°解析易知：a 2＋ab ＋b 2>a ，a 2＋ab ＋b 2>b ，设最大角为θ，则cos θ＝a 2＋b 2－a 2＋ab ＋b 222ab ＝－12，∴θ＝120°. 10．－2 3解析 S △ABC ＝12ac sin B ＝3，∴c＝4.由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－113，sin C ＝1213，∴tan C ＝－12＝－2 3.11．解由条件知：cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB·AC ＝92＋82－722×9×8＝23，设中线长为x ，由余弦定理知：x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC 22＋AB 2－2·AC 2·AB cos A ＝42＋92－2×4×9×23＝49⇒x ＝7.所以，所求中线长为7.12．解 (1)cos C ＝cos [π－(A ＋B)]＝－cos (A ＋B)＝－12，又∵C∈(0°，180°)， ∴C＝120°.(2)∵a，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴⎩⎨⎧a ＋b ＝23，ab ＝2.∴AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝(a ＋b)2－ab ＝10， ∴AB＝10.(3)S △ABC ＝12ab sin C ＝32.13. 3解析 ∵cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22×BC×AC ＝22，∴sin C ＝22.∴AD＝AC·sin C ＝ 3. 14．解由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c22ab，代入已知条件得a·b 2＋c 2－a 22bc ＋b·a 2＋c 2－b 22ac ＋c·c 2－a 2－b 22ab ＝0，通分得a 2(b 2＋c 2－a 2)＋b 2(a 2＋c 2－b 2)＋c 2(c 2－a 2－b 2)＝0，展开整理得(a 2－b 2)2＝c 4. ∴a 2－b 2＝±c 2，即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2.根据勾股定理知△ABC 是直角三角形．。

【步步高】高中数学北师大版必修5练习：2.1.2余弦定理(二)(含答案解析)

1.2余弦定理(二)课时目标 1.娴熟掌握正弦定理、余弦定理； 2.会用正、余弦定理解三角形的相关问题．1．正弦定理及其变形a b c(1)sin A＝sin B＝sin C＝ ________.(2)a＝ __________， b＝__________ ， c＝ _____________.(3)sin A ＝ __________ ， sin B ＝ __________ ， sin C＝ ____________.(4)sin A ∶ sin B ∶ sin C＝ __________.2．余弦定理及其推论2(1)a ＝ ____________________.(2)cos A ＝ ______________.(3)在△ ABC 中， c2＝ a2＋ b2? C 为 ________； c2>a2＋ b2? C 为 ________； c2<a2＋ b2? C 为 ________．3．在△ ABC 中，边 a、b、 c 所对的角分别为 A 、B 、 C，则有：(1)A ＋B ＋ C＝ ______，A＋B＝________________. 2(2)sin(A ＋ B) ＝ ________，cos(A ＋ B) ＝________， tan(A ＋ B) ＝________.(3)sin A＋B＝ __________， cosA＋B＝ ____________________________________.22一、选择题1．已知 a、b、 c 为△ ABC 的三边长，若知足(a＋ b－ c)(a＋ b＋ c)＝ ab，则∠ C 的大小为()A． 60°B．90°C． 120 °D．150°2．在△ ABC 中，若 2cos Bsin A ＝ sin C，则△ ABC 的形状必定是 ()A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形3.在△ ABC 中，已知 sin A ∶ sin B ∶ sin C＝ 3∶ 5∶ 7，则这个三角形的最小外角为() A． 30°B．60°C． 90°D．120°4．△ABC 的三边分别为 a， b，c 且知足 b2＝ ac,2b＝ a＋ c，则此三角形是 ()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形5．在△ ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边长分别为 a，b，c，若 C＝ 120 °，c＝2a，则 () A． a>bB． a<bC． a＝ bD． a 与 b 的大小关系不可以确立6．假如将直角三角形的三边增添相同的长度，则新三角形的形状是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增添的长度确立二、填空题7．在△ ABC 中，边 a，b 的长是方程x2－ 5x＋2＝ 0 的两个根， C＝ 60°，则边 c＝________. 8．设 2a＋ 1， a,2a－ 1 为钝角三角形的三边，那么 a 的取值范围是 ________．9．已知△ ABC 的面积为23， BC ＝ 5，A ＝60°，则△ ABC 的周长是 ________．10．在△ ABC 中， A ＝ 60°， b＝ 1， S△ABC＝3，则△ ABC 外接圆的面积是________．三、解答题11．在△ABC 中，求证：a2－ b2sin(A － B).2＝sin Cc12．在△ ABC 中， a， b， c 分别是角3→ →A ， B ，C 的对边的长， cos B＝，且 AB ·BC＝－521.(1)求△ ABC 的面积；(2)若 a＝ 7，求角 C.能力提高13．已知△ ABC 中， AB ＝ 1， BC＝ 2，则角 C 的取值范围是 ()πB ．0<C<πA． 0<C≤2 6π ππ πC.6<C< 2D. 6<C≤314．△ABC 中，内角 A 、 B、 C 的对边分别为23a、 b、 c，已知 b ＝ ac 且 cos B＝ .41 ＋1 的值；(1)求tan A tan C→ →3(2)设 BA ·BC＝，求 a＋ c 的值．21．解斜三角形的常有种类及解法在三角形的 6 个元素中要已知三个(起码有一边 )才能求解，常有种类及其解法见下表：已知条件应用一般解法定理一边和两角(如 a， B， C)两边和夹角(如 a， b， C)三边(a， b， c)两边和此中一边的对角如 (a， b，A)正弦由 A ＋B ＋C＝ 180°，求角 A ；由正弦定理求出 b 与 c.在定理有解时只有一解 .余弦c；由正弦定理求出小边所对的角；定理由余弦定理求第三边再由 A ＋B ＋ C＝ 180°求出另一角．在有解时只有一解.正弦定理余弦由余弦定理求出角A、 B；再利用 A ＋ B ＋C＝ 180°，求定理出角 C.在有解时只有一解 .正弦定理由正弦定理求出角B；由 A ＋ B＋ C＝ 180°，求出角 C；余弦再利用正弦定理或余弦定理求 c.可有两解、一解或无解 .定理2.依据所给条件确立三角形的形状，主要有两种门路(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦 )定理实行边、角变换．1． 2 余弦定理 (二 )答案知识梳理1． (1)2R(2)2Rsin A 2Rsin B2Rsin C (3) ab c (4)a ∶ b ∶ c 2.(1)b 2＋ c 2－ 2R 2R2R2bccos A(2) b 2＋ c 2－a 2(3) 直角钝角锐角 3.(1) ππ (2)sin C － cos C2bc－ C22－ tan C(3)cosCsin C2 2作业设计22 21． C [ ∵ (a ＋ b －c)(a ＋ b ＋c)＝ab ，∴ a 2＋ b 2－ c 2＝－ ab ，即 a ＋ b －c＝－ 1，∴ cos C2ab21＝－，∴∠ C ＝ 120°.]2． C [ ∵ 2cos Bsin A ＝ sin C ＝sin(A ＋ B) ，∴ sin Acos B －cos Asin B ＝0，即 sin(A －B)＝ 0，∴ A ＝ B.]3.B [ ∵ a ∶ b ∶ c ＝ sin A ∶ sin B ∶sin C ＝ 3∶ 5∶ 7，不如设 a ＝3，b ＝ 5，c ＝ 7，C 为最大内角，则 cos C ＝32＋ 52－ 72 1 ＝－.∴ C ＝ 120 °.∴最小外角为 60°.]2×3×524．D[ ∵ 2b ＝a ＋ c ，∴ 4b 2＝ (a ＋ c)2 ，即 (a － c)2＝0.∴ a ＝ c.∴ 2b ＝ a ＋c ＝ 2a.∴ b ＝a ，即 a ＝ b ＝ c.]5．A[ 在 △ABC 中，由余弦定理得，c 2＝a 2 ＋ b 2－2abcos 120 °＝ a 2＋ b 2＋ ab.∵ c ＝ 2a ，∴ 2a 2＝ a 2＋ b 2＋ ab.∴ a 2－ b 2 ＝ ab>0，∴ a 2>b 2，∴a>b.] 6．A [ 设直角三角形三边长为 a ， b ， c ，且 a 2 ＋b 2＝ c 2，则 (a ＋ x)2＋ (b ＋ x)2－ (c ＋ x)2＝ a 2＋ b 2＋ 2x 2＋ 2(a ＋ b)x － c 2－2cx － x 2＝ 2(a ＋ b － c)x ＋2x >0，∴ c ＋x 所对的最大角变成锐角．]7. 19分析由题意： a ＋ b ＝ 5， ab ＝ 2.由余弦定理得： c 2＝ a 2 ＋b 2－ 2abcos C ＝ a 2＋ b 2－ ab ＝ (a ＋ b)2－ 3ab ＝ 52－ 3×2＝19，∴ c ＝ 19. 8． 2<a<8分析∵ 2a － 1>0，∴ a>12，最大边为2a ＋ 1.∵三角形为钝角三角形，∴a 2＋ (2a － 1)2<(2a ＋ 1)2 化简得： 0<a<8.又∵ a ＋2a － 1>2a ＋ 1，∴ a>2，∴ 2<a<8.9． 12分析S △ABC ＝ 1 A B ·AC ·sin A ＝ 1 A B ·AC ·sin 60 ＝°2 3，2 2∴ AB ·AC ＝8，BC 2＝ AB 2＋ AC 2－ 2AB ·AC ·cos A＝ AB 2＋ AC 2 －AB ·AC ＝(AB ＋ AC) 2－3AB ·AC ， ∴ (AB ＋ AC) 2＝ BC 2＋ 3AB ·AC ＝49，∴ AB ＋AC ＝ 7，∴△ ABC 的周长为 12.13π10. 3分析S △ABC ＝ 1 b csin A ＝ 3 c ＝ 3，∴ c ＝ 4，2 4由余弦定理： a 2＝b 2＋ c 2 －2bccos A ＝12＋ 42－ 2×1×4cos 60 °＝ 13，∴ a ＝ 13.∴ 2R ＝ a ＝13＝2 39，sin A3 32∴R ＝39外接圆2＝ 13π3 .∴ S＝ πR 3 .sin Acos B － cos Asin B ＝sin Asin B11．证明右侧＝ sin C sin C ·cos B － sin C ·cos Aa a 2＋ c 2－b 2 b b 2＋c 2－ a 2 a 2＋ c 2－ b 2 b 2＋ c 2－ a 2 a 2－ b 2＝ ·－ ·2bc ＝2c 2－2c 2＝ c 2 ＝左侧．因此c 2ac csin(A － B)sin C .→ →→ → 12．解 (1)∵ AB ·BC ＝－ 21，∴ BA ·BC ＝ 21.→ → → → ∴ BA ·BC ＝ |BA | |BC ·| cos · B ＝ accos B ＝ 21.∴ ac ＝35，∵ cos B ＝ 3，∴ sin B ＝ 4.5 51 1 ×35 4∴ S △ABC ＝ acsin B ＝2 ×＝14.25(2)ac ＝ 35， a ＝7，∴ c ＝ 5.由余弦定理得， b 2＝ a 2＋ c 2－ 2accos B ＝ 32，22a － b∴ b ＝4 2.由正弦定理：c ＝bsin C sin B.c sin B ＝ 5 4 ＝ 2 ∴ sin C ＝ × 2.b 4 2 5∵ c<b 且 B 为锐角，∴ C 必定是锐角． ∴ C ＝ 45°.13．A[方法一 (应用正弦定理 )∵ sin AB C ＝ sin BC A ，∴ sin 1 C ＝ sin 2 A1∴ sin C ＝ 2sin A ，∵ 0<sin A ≤1，1∴ 0<sin C ≤2.∵ AB<BC ，∴ C<A ，∴ C 为锐角，π∴ 0<C ≤6.方法二(应用数形联合 )如下图，以B 为圆心，以 1 为半径画圆，则圆上除了直线 BC 上的点外，都可作为 A 点．从点 C 向圆 B 作切线，设切点为A 1和 A 2，当 A 与 A 1、A 2 重合时，角 C 最大，易知此时： BC ＝ 2，AB ＝ 1，AC ⊥ AB ，∴ Cπ π＝，∴ 0<C ≤ .]6633 2 ＝714．解，得 sin B ＝1－(1)由 cos B ＝444.由 b 2＝ ac 及正弦定理得 sin 2 B ＝ sin Asin C.11cos A cos C sin Ccos A ＋ cos Csin Asin(A ＋ C) sin B 1于是tan A ＋tan C ＝ sin A ＋ sin C ＝ sin Asin C＝sin 2B ＝ sin 2B ＝ sin B ＝4 7 7 .→→＝ 3得 ca ·cos B ＝ 3，(2)由 BA ·BC22由 cos B ＝ 34，可得 ca ＝ 2，即 b 2＝ 2.由余弦定理： b 2＝ a 2＋ c 2 －2ac ·cos B ，得 a 2＋ c 2＝ b 2＋ 2ac ·cos B ＝ 5，∴ (a ＋ c)2＝a 2＋ c 2＋ 2ac ＝ 5＋ 4＝9，∴ a ＋ c ＝ 3.。

数学北师大版必修5课时作业2-1-2 余弦定理

课时作业13 余弦定理时间：45分钟 ——基础巩固类——一、选择题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，c ＝7，则角C ＝( C )A.π6B.π4C.π3D.π2解析：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22＋32－(7)22×2×3＝12，∵0<C <π，∴C ＝π3，选C.2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，则最大角的余弦值是( C )A ．－15B ．－16C ．－17D ．－18解析：由余弦定理，得cos C ＝72＋82－c 22×7×8＝1314，解得c ＝3，所以角B 为最大角，则cos B ＝72＋32－822×7×3＝－17.故选C.3．在△ABC 中，B ＝π3，三边长a ，b ，c 成等差数列，且ac ＝6，则b 的值是( D )A. 2B. 3C. 5D. 6解析：由条件得2b ＝a ＋c ， ∴4b 2＝a 2＋c 2＋2ac ＝a 2＋c 2＋12，又cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，∴12＝a 2＋c 2－b 212， ∴a 2＋c 2＝6＋b 2， ∴4b 2＝18＋b 2，∴b ＝ 6.4．在△ABC 中，已知b ＝43，c ＝23，A ＝120°，则a 等于( A ) A ．221 B ．6C ．221或6D ．215＋6 3解析：由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝48＋12－2×43×23×(－12)＝84，∴a ＝221.5．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，设向量m ＝(b －c ，c －a )，n ＝(b ，c ＋a )，若m ⊥n ，则角A 的大小为( B )A.π6B.π3C.π2D.2π3解析：∵m ⊥n ，∴m ·n ＝b (b －c )＋(c －a )(c ＋a )＝b 2－bc ＋c 2－a 2＝0，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12， ∵0<A <π，∴A ＝π3.6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( B )A.π6B.π3或2π3C.π3D.π6或5π6解析：因为(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，所以2ac cos B tan B ＝3ac ，即sin B ＝32，所以B ＝π3或B ＝2π3，故选B.7．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是( A )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度确定解析：设直角三角形的三边长分别为a ，b ，c ，且a 2＋b 2＝c 2.三边都增加x (x >0)，则(a ＋x )2＋(b ＋x )2－(c ＋x )2＝a 2＋b 2＋2x 2＋2(a ＋b )x －c 2－2cx －x 2＝2(a ＋b －c )x ＋x 2>0，所以新三角形中最大边所对的角是锐角，所以新三角形是锐角三角形．8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若b 2＋c 2－a 2＝3bc ，且b ＝3a ，则下列关系一定不成立的是( B )A ．a ＝cB ．b ＝cC ．2a ＝cD ．a 2＋b 2＝c 2解析：因为b 2＋c 2－a 2＝3bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32.又因为A ∈(0°，180°)，所以A ＝30°.因为b ＝3a ，所以sin B ＝3sin A ＝32.又因为B ∈(0°，180°)，所以B ＝60°或B ＝120°.当B ＝60°时，C ＝90°，此时△ABC 为直角三角形，得到a 2＋b 2＝c 2,2a ＝c .当B ＝120°时，C ＝30°，此时△ABC 为等腰三角形，得到a ＝c .综上可知，b ＝c 一定不成立．故选B.二、填空题9．在△ABC 中，a ＝1，b ＝1，C ＝120°，则c ＝ 3.解析：由余弦定理知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋1＋1＝3.∴c ＝3.10．已知△ABC 中，三边a ，b ，c 满足1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c ，则B ＝60°.解析：由1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c 得(a ＋2b ＋c )(a ＋b ＋c )＝3(a ＋b )(b ＋c )，整理得a 2＋c 2－b 2＝ac ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12，故B ＝60°.11．在△ABC 中，三个角A 、B 、C 的对边边长分别为a ＝3、b ＝4、c ＝6，则bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C 的值为612.解析：bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C＝bc b 2＋c 2－a 22bc ＋ca a 2＋c 2－b 22ca ＋ab ·a 2＋b 2－c 22ab ＝b 2＋c 2－a 2＋a 2＋c 2－b 2＋a 2＋b 2－c 22 ＝a 2＋b 2＋c 22＝612. 三、解答题12．在△ABC 中，已知b ＝5，c ＝53，A ＝30°，求a ，B ，C . 解：解法一：由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋75－2×5×53×32＝25.所以a ＝5.由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝25＋75－252×5×53＝75503＝32.因为B ∈(0°，180°)，所以B ＝30°.由A ＋B ＋C ＝180°，得C ＝180°－A －B ＝180°－30°－30°＝120°.综上知，a ＝5，B ＝30°，C ＝120°.解法二：由解法一知a ＝5，由正弦定理，得sin B ＝b sin Aa ＝5×125＝12.因为b <c ，所以B 为锐角．所以B ＝30°.以下同解法一． 13．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若a ＋ba ＝cos B ＋cos Acos B ，试判断三角形的形状．解：化边为角．由正弦定理知，a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，R 为△ABC 外接圆半径．∵a ＋b a ＝cos B ＋cos A cos B ， ∴sin A ＋sin B sin A ＝cos B ＋cos A cos B ，∴sin A cos B ＋sin B cos B ＝sin A cos B ＋sin A cos A ， ∴sin B cos B ＝sin A cos A ，∴sin2B ＝sin2A ，∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．——能力提升类——14．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 为△ABC 的面积，若c ＝2a cos B ，S ＝12a 2－14c 2，则C 的大小为π4.解析：∵c ＝2a cos B ，∴根据正弦定理，可得sin C ＝2sin A cos B ，即sin(A ＋B )＝2sin A cos B ，∴sin(A －B )＝0，∴A ＝B ，∴a ＝b .∵S ＝12a 2－14c 2，∴12ab sin C ＝14a 2＋14a 2－14c 2＝14a 2＋14b 2－14c 2，∴sin C ＝a 2＋b 2－c 22ab .由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，得sin C ＝cos C ，即tan C ＝1.∵C ∈(0，π)，∴C ＝π4.15．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin Aa ＝3cos C c .(1)求角C 的大小；(2)如果a ＋b ＝6，CA →·CB→＝4，求c 的值．解：(1)∵a sin A ＝c sin C ，sin A a ＝3cos Cc ，∴sin C ＝3cos C . ∴tan C ＝ 3.又∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)∵CA →·CB →＝|CA →|·|CB →|cos C ＝12ab ，又CA →·CB→＝4，∴ab ＝8. 又∵a ＋b ＝6，由余弦定理知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ＝12， ∴c ＝2 3.由Ruize收集整理。

北师大版数学高二必修五作业 2.1.2余弦定理

一、选择题1．(2012·临沂高二检测)在△ABC 中，已知a 2＋b 2＝c 2＋2ab ，则角C ＝( )A ．30°B ．45°C ． 135°D ．150°解析：由余弦定理知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴a 2＋b 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＋2ab ，即cos C ＝22. ∴C ＝45°.答案：B2．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则△ABC 是( )[]A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形解析：∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 60°，[]∴a 2＋c 2－ac ＝ac .∴(a －c )2＝0.∴a ＝c .∵B ＝60°，∴△ABC 为等边三角形．答案：D3．若三角形三边长的比为5∶7∶8，则它的最大角和最小角的和是( )A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°解析：∵三边长的比为5∶7∶8，∴可设三条边长分别为5t,7t,8t ，令边7t 所对角为θ，则cos θ＝(5t )2＋(8t )2－(7t )22×5t ×8t＝12， ∴θ＝60°.从而它的最大角和最小角的和是120°.答案：B4．(2011·重庆高考)若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )A.43 B ．8－4 3 C ．1D.23 解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋b )2－c 2＝4，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos 60°＝ab 两式相减得ab ＝43. 答案：A二、填空题5．在△ABC 中，若a ＝2，b ＝3，C ＝60°，则sin A ＝________.解析：由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋9－2×2×3×12＝7.∴c ＝7.再由正弦定理得sin A ＝a sin C c ＝2sin 60°7＝217. 答案：2176．在△ABC 中，三个角A ，B ，C 的对边边长分别为a ＝3，b ＝4，c ＝6，则bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C 的值为________．解析：由余弦定理得．bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C ＝bc ·b 2＋c 2－a 22bc ＋ac ·a 2＋c 2－b 22ac ＋ab ·a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2＋c 22＝612. 答案：612三、解答题7．(2011·陕西高考)叙述并证明余弦定理．解：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍．或：在△ABC 中，a ，b ，c 为A ，B ，C 的对边，有a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .证明：法一：如图，a 2＝BC ·BC＝(AC－AB)·(AC－AB)＝2AC－2AC·AB＋2AB＝2AC2AB－2|AC|·|AB|cos A＋2AB＝b 2－2bc cos A＋c2，即a2＝b2＋c2－2bc cos A.同理可证b2＝c2＋a2－2ca cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C.法二：已知△ABC中，A，B，C所对边分别为a，b，c，以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则C(b cos A，b sin A)，B(c,0)，∴a2＝|BC|2＝(b cos A－c)2＋(b sin A)2＝b2cos 2A－2bc cos A＋c2＋b2sin2A＝b2＋c2－2bc cos A.同理可证b2＝c2＋a2－2ca cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C.8．在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bc cos B cos C，试判断三角形的形状．解：法一：由asin A＝bsin B＝csin C＝2R，得4R2·sin2C·sin2B＋4R2·sin2C·sin2B＝8R2·sin B·sin C·cos B·cos C，又sin B·sin C≠0，∴sin B·sin C＝cos B·cos C.即cos (B＋C)＝0.又0°<B＋C<180°，∴B＋C＝90°.∴A＝90°. 故△ABC为直角三角形．法二：将已知等式变形为b 2(1－cos 2C )＋c 2(1－cos 2B )＝2bc cos B cos C ，由余弦定理得b 2＋c 2－b 2·(a 2＋b 2－c 22ab )2－c 2·(a 2＋c 2－b 22ac)2 ＝2bc ·a 2＋c 2－b 22ac ·a 2＋b 2－c 22ab，即b 2＋c 2＝[(a 2＋b 2－c 2)＋(a 2＋c 2－b 2)]24a 2＝4a 44a 2＝a 2. 即b 2＋c 2＝a 2.∴△ABC 是直角三角形．。

2019-2020学年数学北师大版必修5检测：2.1.2 余弦定理

A.60°
B.90°
C.120° D.150°
��2 + ��2 - ��2 3
解析:由已知得,c2=a2+b2+ 3ab,所以 c>a,c>b,故 C 为最大内角.由 cos C= 2�� =- 2 ,得 C=150°,故
选 D.
答案:D
4.在△ABC 中,若 a=1,B=45°,S△ABC=2,则△ABC 外接圆的直径为( )
1.2 余弦定理
课后篇巩固探究
A组
1
1.在△ABC 中,已知 a=2,b=3,cos C=3,则边 c 长为
( )
A.2
B.3
C. 11
D. 17
1
解析:因为 c2=a2+b2-2abcos C=22+32-2×2×3×3=9,所以 c=3.
答案:B
2.在△ABC 中,若 C=60°,c2=ab,则三角形的形状为
��
又 a2-b2= 3bc,所以 cos A= 2��
2��
4 3��2 2 ,又 A∈(0,π),所以 A=6.
��
答案:6
5.已知在△ABC 中,三个内角 A,B,C 所对边分别为 a=3,b=4,c=6,则 bccos A+accos B+abcos C 的值为 .
9.设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a+c=6,b=2,cos B=9.
(1)求 a,c 的值; (2)求 sin(A-B)的值. 解(1)由 b2=a2+c2-2accos B,

北师大版高中数学必修五1.2 余弦定理

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）1.2 余弦定理双基达标 (限时20分钟)1．在△ABC 中，符合余弦定理的是 ( )．A ．c 2＝a 2＋b 2－2ab cos CB ．c 2＝a 2－b 2＋2bc cos AC ．b 2＝a 2－c 2－2bc cos A D ．cos C ＝a 2＋b 2＋c 22ab 解析注意余弦定理形式，特别是正负号问题．答案 A2．在△ABC 中，b 2＋c 2－a 2＝－bc ，则A 等于 ( )．A ．60°B ．90°C ．120°D ．135°解析 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，∴A ＝120°. 答案 C3．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角的和是 ( )．A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°解析设中间角为θ，则cos θ＝52＋82－722×5×8＝12，θ＝60°，180°－60°＝120°即为所求．答案 B4．△ABC 中，若a ＝5，b ＝3，C ＝120°，则sin B ＝________.解析 c 2＝52＋32－2×5×3×cos 120°＝49，∴c ＝7.∴sin B ＝b sin C c ＝3sin 120° 7＝37×32＝3314.答案 33145．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b 2＝ac ，且c ＝2a ，则cos B 等于________．解析 cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－ac 2ac ＝5a 2－2a 24a 2＝34. 答案 346．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边的边长分别是a ，b ，c .已知c ＝2，C ＝π3.若△ABC 的面积等于3，求a ，b .解由余弦定理，得a 2＋b 2－ab ＝4，又因为△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3，得ab ＝4. 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2. 综合提高（限时25分钟）7．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC 的大小为 ( )． A.2π3 B.5π6 C.3π4 D.π3解析由余弦定理得cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝52＋32－722×5×3＝－12，且∠BAC ∈(0，π)，因此∠BAC ＝2π3，选A. 答案 A8．在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若c 2－a 2－b 22ab>0，则△ABC ( )． A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．是锐角或直角三角形解析 ∵c 2－a 2－b 22ab>0，∴c 2－a 2－b 2>0， ∴a 2＋b 2<c 2，∴△ABC 为钝角三角形，故选C .答案 C9．在△ABC 中，∠A ＝60°，AC ＝1，△ABC 的面积为3，则BC 的长为________．解析 S △ABC ＝12AB ·AC sin A ⇒AB ＝4， ∴BC ＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ＝13. 答案 1310．在△ABC 中，三个角A 、B 、C 所对边长分别为a ＝3，b ＝4，c ＝6，则bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C 的值为________．解析 ∵bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C＝bc ·b 2＋c 2－a 22bc ＋ca ·a 2＋c 2－b 22ac ＋ab ·a 2＋b 2－c 22ab＝12(b 2＋c 2－a 2＋a 2＋c 2－b 2＋a 2＋b 2－c 2) ＝12(a 2＋b 2＋c 2)＝612. 答案 61211．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－2 3x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数．(2)求AB 的长．解 (1)在△ABC 中，cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－12，∴C ＝120°. (2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴a ＋b ＝23，ab ＝2.根据余弦定理，AB 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝(23)2－2＝10.∴AB ＝10.12．(创新拓展)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，tan C ＝37.(1)求cos C ；(2)若C B →·C A →＝52，且a ＋b ＝9求c . 解 (1)因为tan C ＝37，所以sin C cos C＝37，又因为sin 2C ＋cos 2C ＝1，解得cos C ＝±18，由tan C >0知，C 为锐角，所以cos C ＝18. (2)由C B →·C A →＝52，得ab cos C ＝52，∴ab ＝20. 又因为a ＋b ＝9，∴a 2＋2ab ＋b 2＝81，∴a 2＋b 2＝41.由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝41－2×20×18＝36，∴c ＝6.。

(北师大版)2018-19年度高中数学必修5-同步习题-第二章解三角形 2.1.2余弦定理及其推论

1.2余弦定理第1课时余弦定理及其推论课时过关·能力提升1.在△ABC中,已知a=2,b=3,cos C=,则边c的长为()A.2B.3C.D.c2=a2+b2-2ab cos C=22+32-2×2×3×=9,∴c=3.2.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若三边的长为连续的三个正整数,且A>B>C,3b=20a cos A,则sin A∶sin B∶sin C为()A.4∶3∶2B.5∶6∶7C.5∶4∶3D.6∶5∶4a=b+1,c=b-1.∵3b=20a·cos A,∴3b=20(b+1)·---.整理得7b2-27b-40=0,解得b=5,故a=6,b=5,c=4,即sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=6∶5∶4.3.若△ABC的三边满足a2+b2=c2-ab,则△ABC的最大内角为()A.60°B.90°C.120°D.150°cos C=-=-,则C=150°.故选D.4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若-->0,则△ABC()A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.是锐角或直角三角形5.在△ABC中,||=3,||=5,||=7,则的值为()A.-B.C.-D.,得cos C=-· ·-=-,∴=||·||·cos C=3×5×-=-.6.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,已知a=,b=3,C=30°,则A=.,得c2=a2+b2-2ab cos C=3+9-2×3××cos 30°=3,所以c=,即a=c=.所以A=C=30°.7.在△ABC中,C=60°,a,b,c分别是角A,B,C的对边,则=.C=60°,所以a2+b2=c2+ab.所以(a2+ac)+(b2+bc)=(b+c)(c+a).所以==1.8.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=C,2b=a,则cos A=.B=C,2b=a,得c=b=a,所以cos A=--.9.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+c=6,b=2,cos B=,求a,c的值.b2=a2+c2-2ac cos B,得b2=(a+c)2-2ac(1+cos B).因为b=2,a+c=6,cos B=,所以ac=9,解得a=3,c=3.★10.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,tan C=3.(1)求cos C;(2)若,且a+b=9,求c.∵C是△ABC的内角,且tan C=3,∴C为锐角,则cos C>0.由tan C=3及sin2C+cos2C=1,得cos C=-(舍去)或cos C=.(2)∵,∴ab cos C=,∴ab=20.∵a+b=9,∴a2+b2+2ab=81,∴a2+b2=41.由余弦定理,得c2=a2+b2-2ab cos C=41-2×=36,解得c=6或c=-6(舍去).∴c=6.★11.如图所示,A,B是单位圆O上的动点,且A,B分别在第一、二象限,C是圆O与x轴正半轴的交点,△AOB为等边三角形.若点A的坐标为(x,y).记∠COA=α.(1)若点A的坐标为,,求的值;(2)求|BC|2的取值范围.∵点A的坐标为,,根据三角函数定义可知,0<α<,∴sin α=,cos α=,=20.∴-(2)∵△AOB为等边三角形,∴∠AOB=.∴cos∠COB=cos=cos.∴|BC|2=|OC|2+|OB|2-2|OC||OB|cos∠BOC=2-2cos.∵<α<,∴<α+,∴cos<cos<cos,即-<cos<0.∴2<|BC|2<+2.。

北师大版高中数学必修五练习余弦定理

第1课时余弦定理及其推论课时过关·能力提升1.在△ABC 中,已知a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边,a=2,b=3,cos C =13,c =( )A.2B.3 C .√11 D.√17c 2=a 2+b 2-2ab cos C=22+32-2×2×3×13=9,∴c =3.2.设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若三边的长为连续的三个正整数,且A>B>C ,3b=20a cos A ,则sin A ∶sin B ∶sin C 为( )A.4∶3∶2B.5∶6∶7C.5∶4∶3D.6∶5∶4a=b+1,c=b-1.∵3b=20a ·cos A ,∴3b=20(b+1)·b 2+(b -1)2-(b+1)22b (b -1). 整理得7b 2-27b-40=0,解得b=5,故a=6,b=5,c=4,即sin A ∶sin B ∶sin C=a ∶b ∶c=6∶5∶4.3.若△ABC 的三边满足a 2+b 2=c 2−√3ab,则△ABC 的最大内角为( )A.60°B.90°C.120°D.150°cos C =a 2+b 2-c 22ab =−√32,则C=150°.故选D.4.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若c 2-a 2-b 22ab>0,则△ABC ( ) A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.是锐角或直角三角形5.在△ABC 中,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=5,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=7,则CB⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A.−32 B.32 C.−152 D.152,得cos C =|CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2-|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |22·|CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=52+32-722×5×3=−12, ∴CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |·cos C=3×5×(-12)=−152.6.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 所对的边,已知a =√3,b =3,C =30°,则A =_______________.,得c 2=a 2+b 2-2ab cos C=3+9-2×3×√3×cos 30°=3,所以c =√3,即a=c =√3.所以A=C=30°.°7.在△ABC 中,已知a ,b 是方程x 2-5x+2=0的两个根,C=120°,则c= .a ,b 为方程x 2-5x+2=0的两个根,∴a+b=5,ab=2,c 2=a 2+b 2-2ab cos C=(a+b )2-2ab-2ab cos 120°=25-4-4×(-12)=23,∴c =√23. √238.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知B=C ,2b =√3a,则cos A =_________________.B=C ,2b =√3a,得c=b =√3a, 所以cos A =b 2+c 2-a 22bc =34a 2+34a 2-a 22×32a×32a =13.9.已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a+c=6,b=2,cos B =79.(1)求a ,c 的值;(2)求sin(A-B )的值.∵cos B =79,由余弦定理可得cos B =a 2+c 2-b 22ac =a 2+c 2-42ac =79,又a+c=6,解得a=c=3. (2)∵sin B =4√29,a =3,b =2,∴由正弦定理a =b ,得sin A =2√23,cos A =13. ∴sin(A-B )=sin A cos B-cos A sin B =2√23×79−13×4√29=10√227. ★10.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,tan C=3√7.(1)求cos C ;(2)若CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =52,且a +b =9,求c.∵C 是△ABC 的内角,且tan C=3√7,∴C 为锐角,则cos C>0.由tan C=3√7及sin 2C+cos 2C=1,得cos C=−18(舍去)或cos C =18.(2)∵CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =52,∴abcos C =52,∴ab =20. ∵a+b=9,∴a 2+b 2+2ab=81,∴a 2+b 2=41.由余弦定理,得c 2=a 2+b 2-2ab cos C=41-2×52=36,解得c=6或c=-6(舍去).∴c=6.★11.如图所示,A ,B 是单位圆O 上的动点,且A ,B 分别在第一、第二象限,C 是圆O 与x 轴正半轴的交点,△AOB 为等边三角形.若点A 的坐标为(x ,y ).记∠COA=α.(1)若点A 的坐标为(35,45),求sin 2α+sin2αcos 2α+cos2α的值; (2)求BC 2的取值范围.∵点A 的坐标为(3,4),根据三角函数的定义可知,0<α<π,∴sin α=4,cos α=3,∴sin 2α+sin2αcos 2α+cos2α=sin 2α+2sinαcosα3cos 2α-1=20.(2)∵△AOB 为等边三角形,∴∠AOB =π3.∴cos ∠COB=co s (∠COA +π)=cos (α+π).∴BC2=OC2+OB2-2OC·OB cos∠BOC=2-2co s(α+π3).∵π6<α<π2,∴π2<α+π3<5π6,∴co s5π6<cos(α+π3)<cosπ2,即−√32<cos(α+π3)<0.∴2<BC2<√3+2.。

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高中数学 2.1.2 余弦定理同步精练北师大版必修5
基础巩固
1在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .下列等式不成立的是( )
A ．a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A
B ．b 2＝c 2＋a 2－2ac cos B
C ．cos A ＝b 2＋c 2－a 2
2bc D ．cos C ＝a 2＋b 2＋c 2
2ab
2在△ABC 中，a ＝4，b ＝4，C ＝30°，则c 2等于( )
A ．32－16 3
B ．32＋163
C ．16
D ．48
3在△ABC 中，a ＝2，b ＝5，c ＝6，则cos B 等于( )
A.1524
B.6524
C.5760 D ．－720
4在△ABC 中，B ＝π3
且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为______． 5在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin B
sin C
＝______. 6在△ABC 中，已知b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B ·cos C ，试判断三角形的形状．
7设锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝2b sin A .
(1)求角B 的大小；
(2)若a ＝33，c ＝5，求边b . 8小明是乐清市的一位初中生，他在家里在比例尺为1∶4 300 000的中国地图上量得浙江乐清市距台湾基隆市约7.9 cm ，基隆市距钓鱼岛约4.4 cm ，还测得乐清到基隆的直线与基隆到钓鱼岛的直线夹角为81°.现小明想知道乐清市到钓鱼岛的实际距离，你能帮他算一算吗？
9在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝
13，AC ＝4，则AC 边上的高为( ) A.322 B.332
C.32 D ．33
10如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形形状为( )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．由增加的长度决定
11在△ABC 中，边a ，b 的长是方程x 2－5x ＋2＝0的两个根，C ＝60°，求边c 的长．
能力提升
12如图，已知在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求BC 的长．
参考答案
1解析：由余弦定理的推论，得cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab ，所以D 不成立．
2答案：A
3解析：cos B ＝
a 2＋c 2－
b 22a
c ＝1524. 答案：A
4解析：在△ABD 中，B ＝π3
，BD ＝2，AB ＝1，则AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos
π3＝3. 所以AD ＝
3. 答案：3
5解析：由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，则49＝b 2＋25＋5b ，解得b ＝3或b
＝－8(舍去)，所以sin B sin C ＝b c ＝35
. 答案：35
6分析：解决本题，可分别利用正弦定理或余弦定理，把问题转化成角或边的关系求解．解法一：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c
sin C
＝2R ，R 为△ABC 外接圆的半径，将原式转化为8R 2sin 2B sin 2C ＝8R 2sin B sin C cos B cos C .
∵sin B sin C ≠0，∴sin B sin C ＝cos B cos C ，
即cos(B ＋C )＝0.
∴B ＋C ＝90°，A ＝90°.
故△ABC 为直角三角形．
解法二：将已知等式变为 b 2(1－cos 2C )＋c 2(1－cos 2B )＝2bc cos B cos C .
由余弦定理可得：
b 2＋
c 2－b 2·(a 2＋b 2－c 2
2ab )2－c 2(a 2＋c 2－b 22ac )2 ＝2bc ·a 2＋b 2－c 22ab ·a 2＋c 2－b 2
2ac ，
即b 2＋c 2＝[a 2＋b 2－c 2＋a 2＋c 2－b 2
]24a 2，
也即b 2＋c 2＝a 2，故△ABC 为直角三角形．
7分析：(1)利用正弦定理求角B ；(2)利用余弦定理求边b .
解：(1)由a ＝2b sin A ，根据正弦定理，得
sin A ＝2sin B sin A ，所以sin B ＝12
. 又△ABC 为锐角三角形，则角B 为锐角，
所以B ＝π6
. (2)根据余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝27＋25－45＝7，所以b ＝
7.
8解：如图所示．
在△ABC 中，由余弦定理得
AB 2＝CA 2＋CB 2－2CA ×CB cos C
＝7.92＋4.42－2×7.9×4.4×cos81°≈70.89，
∴AB ＝8.42(cm)．
∴乐清到钓鱼岛的实际距离为
8.42×4 300 000÷100 000＝362.76(km)．
9解析：由余弦定理，得cos A ＝9＋16－132×3×4＝1224＝12
， ∴A ＝60°
∴AC 边上的高＝AB ·sin A ＝3×32＝332
. 答案：B
10解析：设三边长分别为a ，b ，c ，且a 2＋b 2＝c 2.
设增加的长度为m ，
则c ＋m ＞a ＋m ，c ＋m ＞b ＋m ，
又(a ＋m )2＋(b ＋m )2＝a 2＋b 2＋2(a ＋b )m ＋2m 2＞c 2＋2cm ＋m 2＝(c ＋m )2，
∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形．
答案：A
11分析：利用一元二次方程得a ＋b 与ab 的值，从而求得a 2＋b 2的值，由余弦定理求得边c .
解：由题意得a ＋b ＝5，ab ＝2，
∴a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝25－4＝21.
∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C
＝a 2＋b 2－ab ＝21－2＝19.
∴c ＝19.
12分析：本题图形是由两个三角形组成的四边形，在△ABD 中，已知两边和一边的对角，用正弦定理可求出另一边的对角，但得不到其与△BCD 的联系．可再考虑用余弦定理求出BD ，其恰是两个三角形的公共边，这样可在△BCD 中应用正弦定理求BC .
解：在△ABD 中，由余弦定理有
AB 2＝AD 2＋BD 2－2·AD ·BD ·cos∠ADB ，
设BD ＝x ，有142＝x 2＋102－2·10x cos60°， x 2－10x －96＝0，∴x 1＝16，x 2＝－6(舍去)．即BD ＝16，
∵AD ⊥CD ，∴∠ADC ＝90°.
又∠BDA ＝60°，
∴∠BDC ＝30°.
在△BCD 中，由正弦定理BC sin ∠CDB ＝BD
sin∠BCD ，可得BC ＝
16sin135°·sin30°＝8 2.。