7.1正切
最新7.1正切函数的定义、7.2正切函数的图像和性质(说课稿)
§1.7 正切函数（说课稿）7.1正切函数的定义—7.2正切函数的图像和性质一、教材分析（说教材）：1、教材所处的地位和作用本节内容是北师大版《普通高中课程标准实验教科书 数学必修四》第一章三角函数第7节内容。
本节课是研究了正弦、余弦函数的图像与性质后，又一具体的三角函数。
教材首先根据单位圆得到正切函数的定义，给出正切线的概念，并类比画正弦函数图像的方式，利用正切线画正切函数)2,2(,tan ππ-∈=x x y的图像，根据图像，研究正切函数的性质。
体现了类比思想的应用，体现出数形结合思想在研究函数性质中的重要作用。
本节内容分两个课时，本此说课是第一个课时，由于在前面学习任意角的正弦和余弦时已经对任意角的正切作了说明，所以本节正切函数的定义只进行简单复习。
如果在前面没有讲到正切函数的定义，此节课可以按两个课时来上，根据自己的实际情况进行调整。
我认为如果把函数看成一个人的话，图像就好比他的外表，代数就好比他的内心，一个完整的人是内心和外表的综合体。
前面的指数，对数，幂，正弦，余弦函数都是先看外表，而内心的美才是真正的美！这样处理可以给学生提供研究数学更多的视角，在性质的指导下可以更加有效地作图，研究图象，加强理性思考的成分，并使数形结合的思想体现的更加全面，体会到数学的美！2.学情分析：学生已经掌握了正弦函数的画法和利用正弦函数的图像研究函数性质的方法，这为本节课的学习提供了知识的保障，这是有利的因素。
不足之处在于学生不能独立的运用数形结合思想来研究问题和部分学生初中基础知识很差。
存在综合运用知识的能力不强、作图水平不高且层次不一等情况，需要教师加强引导以及学习小组的探讨与交流，不断优化知识结构，并能把知识归纳、转化、迁移。
3、教学目标： 知识与技能（1）能借助单位圆理解任意角的正切函数的定义；（2）能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像；（3）掌握正切函数的图像的基本性质； 过程与方法通过正切函数的学习，进一步理解和掌握研究三角函数的一般思路和方法，并比较不同函数之间的相同点和不同点。
北师大版高中数学课件第一章 7.1 正切函数的定义 7.2 正切函数的诱导公式
于x轴的下方.过点P作x轴的垂线,与x轴交于点M,那么,不论角α的终
边在第几象限,都有∠AOT与∠MOP的正切值相等.我们称线段AT为
角α的正切线.
-6-
7.1
7.2
正切函数的定义
正切函数的诱导公式
激趣诱思
课前篇自主预习
课堂篇探究学习
-5-
7.1
7.2
正切函数的定义
正切函数的诱导公式
激趣诱思
课前篇自主预习
课堂篇探究学习
知识点拨
微拓展
正切线
如图,在直角坐标系中,设单位圆与x轴正半轴的交点为A(1,0),任意
角α的终边与单位圆交于点P,过点A(1,0)作x轴的垂线,与角的终边
或终边的延长线相交于点T.从图中容易看出:当角α位于第一和第
7.2
正切函数的定义
正切函数的诱导公式
探究一
探究二
探究三
课前篇自主预习
课堂篇探究学习
课堂篇探究学习
当堂检测
3
变式训练 1 若点 P(3,y)是角 α 终边上的一点,且满足 y<0,cos α= ,则
5
tan α=(
)
3
3
A.-
B.
4
解析 cos α=
4
3
32 + 2
4
C.
3
4
D.-
3
3
4
5
3
= ,解得 y=±4,又 y<0,所以 y=-4,故 tan α=- .
7.1 正切函数的定义
7.2 正切函数的诱导公式
-1-
7.1
7.2
高中数学 第一章 三角函数 7.1正切函数的定义、7.2正切函数的图像与性质、7.3正切函数的诱导公
第一章 三角函数 7.1正切函数的定义、7.2正切函数的图像与性质、7.3正切函数的诱导公式 训练案知能提升 新人教A 版必修4[A.基础达标]1．函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2－3π8，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π8，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2，k ∈Z 解析：选C.由2x ＋π4≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠k π2＋π8(k ∈Z )． 2．若tan θ·sin θ<0，则θ位于( )A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第二、三象限D ．第二、四象限解析：选C.依题意，tan θ·sin θ<0，所以tan θ与sin θ异号．当tan θ>0，sin θ<0时，θ为第三象限角．当tan θ<0，sin θ>0时，θ为第二象限角．3．函数y ＝|tan x |的周期为( )A.π2B ．πC ．2πD ．3π解析：选B.结合函数y ＝|tan x |的图像可知周期为π.4．关于x 的函数f (x )＝tan(x ＋φ)，下列说法不正确的是( )A ．对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数B ．不存在φ，使f (x )既是奇函数，又是偶函数C ．存在φ，使f (x )为奇函数D ．对任意的φ，f (x )都不是偶函数解析：选A.当φ＝k π(k ∈Z )时，f (x )＝tan(x ＋k π)＝tan x 为奇函数．5．在下列函数中，同时满足以下三个条件的是( )(1)在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是递减的． (2)最小正周期为2π.(3)是奇函数．A ．y ＝tan xB ．y ＝cos xC ．y ＝sin(x ＋3π)D ．y ＝sin 2x解析：选C.y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是递增的，不满足条件(1)． B ．函数y ＝cos x 是偶函数，不满足条件(3)．C ．函数y ＝sin(x ＋3π)＝－sin x ，满足三个条件．D ．函数y ＝sin 2x 的最小正周期T ＝π，不满足条件(2)．6．直线y ＝a (a 为常数)与函数y ＝tan x 2的图像相交，两相邻交点间的距离为________． 解析：结合图像可知(图略)，两相邻交点间的距离恰为一个最小正周期．答案：2π7．比较大小：tan 211°________tan 392°.解析：tan 211°＝tan(180°＋31°)＝tan 31°.tan 392°＝tan(360°＋32°)＝tan 32°，因为tan 31°<tan 32°，所以tan 211°<tan 392°.答案：<8．函数f (x )＝tan x －1＋1－x 2的定义域为________．解析：要使函数f (x )有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧tan x －1≥0，1－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧tan x ≥1，x 2≤1.解得⎩⎪⎨⎪⎧k π＋π4≤x <k π＋π2，k ∈Z ，－1≤x ≤1，故π4≤x ≤1. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，1 9．化简：tan （2π－α）sin （－2π－α）cos （6π－α）sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2. 解：原式＝tan （－α）·sin（－α）·cos （－α）sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α ＝（－tan α）·（－sin α）·cos αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α ＝sin 2α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α ＝sin 2α－cos α·sin α＝－sin αcos α＝－tan α. 10．(1)求y ＝tan 2x ＋4tan x －1的值域；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3时，y ＝k ＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的值总不大于零，某某数k 的取值X 围． 解：(1)设t ＝tan x ，则y ＝t 2＋4t －1＝(t ＋2)2－5≥－5，所以y ＝tan 2x ＋4tan x －1的值域为[－5，＋∞)．(2)由y ＝k ＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ≤0， 得k ≤－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3， 所以2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3. 由正切函数的单调性，得0≤tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤3，所以要使k ≤tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3恒成立，只要k ≤0即可． 所以k 的取值X 围为(－∞，0]．[B.能力提升]1．已知f (tan x )＝cos 3x ，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (tan 375°)的值为( ) A.12B ．－22 C.22 D ．－12解析：选C.因为tan 375°＝tan(360°＋15°)＝tan 15°，所以f (tan 375°)＝f (tan 15°)＝cos (3×15°)＝cos 45°＝22. 2．已知a ＝tan 2，b ＝tan 3，c ＝tan 5，不通过求值，判断下列大小关系正确的是()A ．a >b >cB ．a <b <cC ．b >a >cD ．b <a <c解析：选C.tan 5＝tan[π＋(5－π)]＝tan(5－π)，由正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上为增函数可得tan 3>tan 2>tan(5－π)．3．已知f (x )＝a sin x ＋b tan x ＋1满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5＝7，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫995π＝________． 解析：依题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5＝a sin π5＋b tan π5＋1＝7， 所以a sin π5＋b tan π5＝6， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫995π＝a sin 995π＋b tan 995π＋1＝ a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫995π－20π＋b tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫995π－20π＋1 ＝－a sin π5－b tan π5＋1 ＝－⎝⎛⎭⎪⎫a sin π5＋b tan π5＋1 ＝－6＋1＝－5.答案：－54．给出下列命题：①函数y ＝tan x 的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z )对称； ②函数f (x )＝sin |x |是最小正周期为π的周期函数； ③函数y ＝cos 2x ＋sin x 最小值为－1； ④设θ为第二象限的角，则tan θ2>cos θ2，且sin θ2>cos θ2.其中正确的命题序号是________．解析：①函数y ＝tan x 的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z )对称，正确；②函数f (x )＝sin|x |是最小正周期为π的周期函数，错误，函数f (x )＝sin|x |不是周期函数；③因为函数y ＝cos 2x ＋sin x ＝－sin 2x ＋sin x ＋1，所以其最小值为－1，正确；④设θ为第二象限的角，即π2＋2k π<θ<π＋2k π，k ∈Z ，所以π4＋k π<θ2<π2＋k π，k ∈Z ，即θ2为第一象限或第三象限的角，所以④不对． 答案：①③ 5．已知函数f (x )＝sin x |cos x |. (1)求函数的定义域；(2)用定义判断f (x )的奇偶性；(3)在[－π，π]上作出f (x )的图像；(4)写出f (x )的最小正周期及单调性．解：(1)因为由cos x ≠0，得x ≠k π＋π2(k ∈Z )， 所以函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z . (2)由(1)知函数的定义域关于原点对称．又因为f (－x )＝sin （－x ）|cos （－x ）|＝－sin x |cos x |＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，－π2<x <π2，－tan x ，－π≤x <－π2或π2<x ≤π， 则f (x )在其定义域上的图像如图所示．(4)f (x )的最小正周期为2π，递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )， 递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π＋2k π，－π2＋2k π，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )． 6．(选做题)已知f (x )＝x 2＋2x ·tan θ－1，x ∈[－1，3]，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2. (1)当θ＝－π6时，求函数f (x )的最大值与最小值； (2)求θ的取值X 围，使y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数．解：(1)当θ＝－π6时，f (x )＝x 2－233x －1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －332－43，x ∈[－1，3]， 所以当x ＝33时，f (x )的最小值为－43， 当x ＝－1时，f (x )的最大值为233. (2)因为f (x )＝x 2＋2x ·tan θ－1＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2θ，所以原函数的图像的对称轴方程为x ＝－tan θ.因为y ＝f (x )在[－1，3]上是单调函数，所以－tan θ≤－1或－tan θ≥3，即tan θ≥1或tan θ≤－3，所以π4＋k π≤θ<π2＋k π或－π2＋k π<θ≤－π3＋k π， k ∈Z .又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， 所以θ的取值X 围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，－π3∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2.。
7.1《正切(1)》ppt课件
7.1 正切（1）
尝试与交流
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， AB＝10， tanA＝ 3 ，求AC 、BC和tanB．
4
7.1 正切（1）
畅所欲言
通过这节课的学习，我的收获是…
tanA是tan •A吗
7.1 正切（1）
作业题
1．课本P99习题7.1第1、2题； 2．思考题（选做）：你能判断下面两个楼梯哪一 个更陡吗？
正切的定义
在直角三角形中，我们将∠A的对边与它 的邻边的比称为∠A的正切，记作 tanA
tan
A
A的对边 A的邻边
a b
B
你能写出∠B的正切表达式吗？
试试看.
A 邻边b
对边a C
7.1 正切（1）
例题
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4， AB＝5，求tanA、tanB．
拓展
通过计算tanA、tanB的值，你有什么新的发现吗？
7.1 正切（1）
例题
例2 如图，在等边三角形ABC中，AB＝2，求tanA．
C
拓展
A
D
B
通过计算tanA的值，你对60º的正切值有什么认
识？30º呢？你还能得到其他的吗？
7.1 正切（1）
尝试与交流
1．如图，求下列图中各直角三角形中锐角的正切值．
那么，你有什么发现？
B2 B3 B1
A C1 C2 C3
一般地，如果锐角A的大小确定，我们可以作出无数个
以A为一个顶点的直角三形（如图），那么图中：
BC B1C1 B2C2 成立吗？为什么？
AC AC1 AC2
B
B1 B2
§7.1正切
7.1正切班级________姓名____________一．学习目标：1．理解并掌握正切的定义，会在直角三角形中求出某个锐角的正切值；2. 了解计算一个锐角的正切值的方法.二．学习重点：重点：正切的定义；学习难点：求一个锐角的正切值的方法.三．教学过程导入：1．下列图中的两个台阶哪个更陡？你是怎么判断的？2．思考与探索：除了用∠A的大小来描述倾斜程度，我们还可以（1）可通过测量BC与AC的长度，再算出它们的比，来说明台阶的倾斜程度.（2）可通过测量B1C1与A1C1的长度，再算出它们的比，来说明台阶的倾斜程度.总结：一般地，如果锐角A的大小确定，我们可以作出无数个以A为一个顶点的直角三形（如图），那么图中：成立吗？为什么？结论：.3．正切的定义：.思考：当∠A越来越大时，∠A的正切值如何变化？【典型例题】1.根据下列图中所给条件分别求出下列图中∠A、∠B的正切值.通过上述计算，你有什么发现？2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AC=3，AB=5，求∠ACD、∠BCD的正切值．结论：.变式：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边A B上的高.①tan A＝＿＿＿＿＝＿＿＿＿；②tan B＝＿＿＿＿＝＿＿＿＿；③tan∠ACD＝＿＿＿＿；④tan∠BCD＝＿＿＿＿；课堂练习：1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝，求tan A与tan B的值．2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，tan A＝，求AB的值．3．（11四川乐山）如图，在4×4的正方形网格中，tanα=__________. 4．在直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－4,1)，B(－1，3)，C(－4,3)，则tan B=___________.（先画图再填空）归纳与小结：课时作业：1. 根据下列图中所给条件分别求出下列图中∠A、∠B的正切值.BCA23BAC512B2C3A变式：如果方程x2－4x＋3＝0的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC最小的角为A，求tan A的值.2．如图，在直角△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D，CD=3，AD=4，tan A=_______，tan B=______.3．如图，在正方形ABCD中，点E为AD的中点,连结EB，设∠EBA＝α，则tanα=__________.第2题第3题第6题第8题4．在直角△ABC中，∠C=90°，BC=5，tan A= ，求AB=_____.5.若锐角A，B满足tan A＜tan B，则∠A，∠B的大小关系为__________________.6.如图，长为5m的梯子靠在一堵墙上，梯子的底端距离墙角3m，则梯子的倾斜角的正切值为__________.7．某楼梯每一级台阶的长度为30㎝，高度为15㎝，楼梯的倾斜角的正切值是_______.8．三角形在方格纸中的位置如图所示，则tanα的值是_______.9．如图,在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=12，tan A=2，求AB的值.11．等腰三角形ABC的腰长AB，AC为5，底边长为6，求tan C.中考链接：Ⅰ．正切与生活实际相关.①（10 浙江省温州）如图，已知一商场自动扶梯的长l为10米，该自动扶梯到达的高度h为6米，自动扶梯与地面所成的角为θ，则tanθ的值等于__ _.第①题第②题第③题②（10 山东东营）如图，小明为了测量其所在位置A点到河对岸B点之间的距离，沿着与AB垂直的方向走了m米，到达点C，测得∠ACB＝α，那么AB等于__ _.③（10 广西钦州市）如图，为测量一幢大楼的高度，在地面上距离楼底O点20 m的点A处，测得楼顶B点的仰角∠OAB＝65°，则这幢大楼的高度为__ _.（结果保留3个有效数字）．Ⅱ．正切与网格相关.①（10 湖北孝感）如图，△ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则tan A=_______．CAB第①题第②题第③题②（10 福建晋江）如图，∠BAC位于6×6的方格纸中，则tan∠BAC ＝ .③（11甘肃兰州）如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC’B’，则tan B’的值为 .Ⅲ．正切与几何图形相关.①如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED的正切值等于 ．第①题第②题第③题②（10四川凉山）如第14题图，∠1的正切值等于③（11贵州安顺）如图，点E(0，4)，O(0，0)，C(5，0)在⊙A上，BE是⊙A上的一条弦，则tan∠OBE= ．第④题第⑤题第⑥题第⑦题④（10山东日照）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90o，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为 ．⑤（10江苏南通）如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，M、N两点关于对角线AC对称，若DM=1，则tan∠ADN= ．（10山东潍坊）直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，BC＞AD，AD＝2，AB＝4，点E在AB上，将△CBE沿CE翻折，使得B点与D点重合，则∠BCE的正切值为．⑦（11江苏苏州）如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tan C等于．。
2016高中数学 三角函数 7.1正切函数的定义、7.2正切函数的图像与性质、7.3正切函数的诱导公式课件
1．对正切函数图像的理解 π (1)正切函数的图像是由被互相平行的直线 x＝ ＋kπ (k∈ Z) 2 所隔开的无数多支曲线组成的， 这些直线叫作正切曲线各支的 渐近线． π (2)正切函数的图像向上、向下无限延伸，但永远不和 x＝ ＋ 2 kπ (k∈ Z)相交，与 x 轴交于点(kπ ，0)(k∈ Z)．
π 2tan x， <x≤ π ， 2
正切函数的性质
π 求函数 f(x)＝ tan 2x－ 的定义域、 最小正周期和单调 3 区间． (链接教材 P40 练习 T2)
π π [解 ] 由题意，知 2x－ ≠kπ ＋ (k∈ Z)， 3 2 kπ 5π 所以 x≠ ＋ (k∈ Z)， 2 12
第一章
三角函数
§7
正切函数
7．1 正切函数的定义
7．2 正切函数的图像与性质
7．3 正切函数的诱导公式
1．问题导航 (1)用正切线作正切函数的图像与作哪个三角函数的图像的方 法类似？该方法有什么优缺点？ π π (2)正切函数的定义域能写成 － ＋ kπ ， ＋ kπ (k∈ Z) 2 2 吗？为什么？ (3)正切函数的诱导公式的实质是什么？
(3)正切函数的简图可用“三点两线”画出来， “三点”是指(0， π π π π 0)， － ，－1 ， ， 1 ；“两线”是指 x＝ 和 x＝－ . 2 2 4 4 π 作简图时只需先作出一个周期中的两条渐近线 x＝－ ， x＝ 2 π π π ，然后描出三点 (0，0)， ， 1 ， － ，－1，用光滑的 2 4 4 曲线连接得一条曲线，再平行移动至各个周期内即可．
3π 3π 1． (1)函数 y＝ sin x 与 y＝tan x 在区间 － 上的交点个 ， 2 2 数是( A ) A． 3 C． 5 B．4 D． 6
《7.1 正切》PPT课件 (1)
思考题：
如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=10，若将 矩形沿着CE翻折，点B 正好落在AD边的F处， 求tan∠AEF.
A F D
E
B C
欢迎使用本课件
祝您桃李满天下
如果一个直角三角形的一个锐角的大小确 定，那么这个锐角的对边与这个锐角的邻 边的比值也确定。
正切的定义：
在Rt△ABC中， ∠C=90°，a,b分别是∠A的 对边和邻边，我们将∠A的对边a与它的邻边b 的比称为∠A的正切，记作 tanA B
A的对边 a tan A A的邻边 b
a
A
b
C
你能写出∠B的正切表达式吗？
B的对边 b tan B B的邻边 a
（1） 如图
D B 1
3
E F
1 tanA=________ 2
tanB=________ 2
A
2
C
3 tanD=________ 3
3 tanF=________
1
通过计算你有什么发现吗？
互余两角的正切值互为倒数
（2）如图，等腰三角形 ABC的腰长AB=AC=5, 4 4 底边长BC=6,则tanB= , tanC= ， 3 3 观察它们之间有什么关系？
3
A
1 C
你能计算一个65°角的正切值的近似值吗?
C 步骤1：构建直角三角形。 步骤2：度量BC，AB的长度。 步骤3：求出BC与AB的比值。
65°
A
B
填一填：
∠A 10° 20° 30° 45° 55° 65° tanA 0.18 0.36 0.58
§7 7.1 正切函数的定义 7.2 正切函数的图像与性质
D.以上都不对
3.解不等式 1+ tanx ≥ 0.
答案：x x k ≤ x k , k Z . 4 2
解：令z x , 那么函数y tan z的定义域 4 是 z z k, k Z . 2 由x z k, 4 2
§7 正切函数
7.1 7.2 正切函数的定义 正切函数的图像与性质
1.了解任意角的正切函数的概念.(重点) 2.能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像.(重点) 3.根据正切函数的图像熟练推导出正切函数的性质.(难点) 4.能熟练掌握正切函数的图像与性质.(重点)
在前两节中，我们学习了任意角的正、余弦函数， 并借助于它们的图像研究了它们的性质. 今天我们类比正弦、余弦函数的学习方法，在直角 坐标系内学习任意角的正切函数.
3 2
2
3 2
2
k , k Z }
⑶ 周期性： 正切函数的最小正周期为. ⑷ 奇偶性：奇函数，图像关于原点对称. ⑸ 单调性：在每一个开区间（
k, k） Z)内都是增函数. (k 2 2
白发无凭吾老矣！青春不再汝知乎？年将 弱冠非童子，学不成名岂丈夫？ ——俞良弼
解:(1)90 167 173 180，
y tan x在 ， 上是增加的， tan167 tan173 2
11 (2) tan( ) tan , 4 4
13 2 tan( ) tan . 5 5
2 0 , 4 5 2
k k， 2 4 4 所以函数y tan(x )的定义域为 4 x x k, k Z . 4 可得x
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A
3
C x
α
6
E 11-x D
本题利用了 方程的思想
例6.如图,等腰三角形的一腰长为5cm,底 边长为8cm,求底角的正切值.
A
5
B
3 D
C
4
求特殊值的正切值:
B B
B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 C
3 tan 30°= 3 tan 60°= 3
3
1 30° A C
60°
3
AC
45°A
tan 45°= 1
怎样求得任意一个锐角的正切值呢?
tan 45°= 1 可利用特殊值的正切值来判断一般角的取值范 围
知识延伸
要求tan30°的值可构造如图的直角三 角形进行计算.作Rt△ABC, 使∠C=90 °,斜边
AB=2,直角边AC=1,那么BC= 3 , ∠ABC=30 °, AC 3 所以tan30°= BC 3 A 在此图的基础上,通过添加适 2 1 当的辅助线,可求出tan15° B 的值.请你就此图添加出辅助 C 线,并求出tan15°的值. 分析:要找出一个15°的角,就要放入一个可求 出各边长的直角三角形中.
B1
A
B
B1
C
A
B2
B
C1 C 2 数学问题 根据相似三角形的性质: B1C1 B 2 C2 B3C3 AC1 AC2 AC 3
在直角三角形中, ∠A的大小确定,则它的对边与 这个角的邻边的比值也确定.与三角形的大小无关. 在直角三角形中, 如果一个锐角的大小确定,那么 这个锐角的对边与这个角的邻边的比值也确定.
例3.如图,某楼梯每一级台阶的宽度为30cm, 高度为15cm.求楼梯的倾斜角的正切值.
15
15n
30
A
30n
1 tanA= 2
练习:书第40页习题第2题
例4.如图,在Rt△ABC中, ∠C=90°,CD是AB边
上的高,AD=3,CD=
C
6 ,求tan ∠BCD的值.
6
A
tan ∠BCD=tan A
C1 实际问题
C
B
c
a
A
b
C
在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A的对边a与邻边b 的比叫做∠A的正切,记作tanA
∠B的正切呢?
∠A的对边 tanA= ∠A的邻边
a b
∠B的对边 tanB= ∠B的邻边
b a
例1.计算下列直角三角形中锐角的正切值
B
tan A
12 A C
BC AC
12 5
B
3
D
CD = AD
本题体现的思想是: 转化.
6 = 3
例5.如图,CD是平面镜,光线从A点出发经CD 上的点E反射到B点.若入射角为α(入射角等 于反射角),AC⊥CD,BD⊥CD,垂足分别为C、 D,且AC=3,BD=6,CD=11,则tan α的值 11 为 . 9 CE ? B tan α= tan A=
正
切
某体育馆为了方便不同需求的观众,设计了不 同坡度的台阶.
问题1.上图中的哪个台阶更陡? 你是怎么判断的?
问题2.如何描述下图中台阶的倾斜程度? 除了用 ∠A的大小来描述,还可以用什么方 法?
B1
A B
他们说的对 吗?
C1
C
甲回答:通过测量BC与AC的长度,算出它们的比, 来说明台阶的倾斜程度. 乙回答:在台阶的斜坡上另找一点B1,测出B1C1与 AC1的长,算出它们的比,也能说明台阶的倾 斜程度.
5
C 3
B
AC 5 tan B BC 12 A
5
说明:1.公式中的对边和邻边一定是直角三角形的 两条直角边.
2.正切值是一个比值,它没有单位.
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB= 6 cm,
BC= 3 cm ,tanA= 1 . 2.在Rt△ABC中,∠C=90°, BC = 3, 5 5 . tanB= .则AC= 3 AC tan B AC BC tan B BC 正切值计算公式的三个量中,只要知道其中的任意 两个量,就能求出第三个量.
E D
1.如图,你能比较图中的锐角
A
锐角越大,它的正切值越大.
已知α是锐角,且tan α= 确的是 A. 60°＜ α＜ 90° B. 45°＜ α＜ 60 ° C. 30°＜ α＜45 ° D. 0°＜ α＜ 30 °
2 ,则下列各式中正
( B 3 tan 30°= 3 tan 60°= 3 )
A 1 C 2
本题利用了 构造的数学 思想
B
3
2
D
延长CB到点D.使BD=AB,连结AD.如图,
AC 1 tan D 2 3 DC 2 3
小结与回顾
自学课本39页
例2.用计算器求正切值.
请大家自学课本第40页例题并完成练习1.
当锐角越来越大时,它的正切值有什么变化?
锐角越大,它的正切值越大.
P1
P2
P3 P4 O α
∠BOA 、∠COA 、∠DOA、 C ∠EOA的正切值的大小吗？为 什么? B tan ∠BOA ＜ tan ∠COA ＜ tan ∠DOA ＜ tan ∠EOA