2017-2018学年江苏省徐州市第一中学高一数学上期中考试试题(含答案)

徐州一中2017-2018学年度高一上学期期中考试数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．已知集合{}=12A ，,{}2,4B =,则A B = ▲ ．2．已知(1)f x x -=，则(2)f = ▲ ．3．函数0()(2)f x x =-的定义域为 ▲ ．[1,2)(2,)-+∞4．幂函数的图像经过点1(2,)4，则1()2f 的值为 ▲ ．5．已知集合{}0,1,2M ⊆，且M 中含有两个元素，则符合条件的集合M 有 ▲ 个．6．已知函数()3(,)b f x ax a b R x=++∈，若(2)1f =，则(2)f -= ▲ ．7．已知函数()f x =R ，则实数a 的取值范围是 ▲ ．8．若关于x 的不等式a x ≥则实数a 的取值范围是 ▲ ．9．设2336a b ==，则11a b+= ▲ ． 10．4839(log 3log 3)(log 2log 8)+⋅+= ▲ ．11．已知定义域为()(),00,-∞+∞的偶函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(2)0f =， 则不等式(+1)0f x >的解集为 ▲ ．12．已知()f x 是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，当x ＞0时，2()2f x x x =-+若函数()f x 在区间[t ，2]上的值域为[﹣1，1]，则实数t 的取值范围是 ▲ ．13. 已知定义在R 上的函数2()23f x x x =--，设(),0()|()|,0f x xg x f x x ≤⎧=⎨>⎩ 若函数()y g x t =-有且只有三个零点，则实数t 的取值范围是 ▲ .14． 已知函数()f x 满足()(),11+=+x f x f 当[]1,0∈x 时，()232f x x x =-若对任意实数x ，都有()()f x t f x +<成立，则实数t 的取值范围 ▲ ．二．计算题：本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15．（本题满分14分）已知集合A ＝{}2|x y x x =-，{}21,B y y x x x ==++∈R ． (1)求A ,B ；(2)求A B ，B C A R ．16. （本题满分14分）试分别判断下列函数的奇偶性.（1）21()|2|2x f x x -=+-； （2）41()log (41)2x g x x =+-. 17．（本题满分14分）已知函数()2()2x x f x m x R =+∈为奇函数． (1)求m 的值；(2)求函数()()4,[0,1]4x x g x f x x -=-∈-的值域．18．（本小题满分16分）某投资公司计划投资A 、B 两种金融产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润y 与投资量x 成正比例，其关系如图1，B 产品的利润y 与投资量x 的算术平方根成正比例，其关系如图2，（注：利润与投资量单位：万元）（1）分别将A 、B 两产品的利润表示为投资量的函数关系式；（2）该公司已有10万元资金，并全部投入A 、B 两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？19．（本小题满分16分）已知二次函数()f x 满足(1)(1)42f x f x x +--=-（x R ∈），且(0)1f =．（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()2g x f x tx =-在区间[]0,5上是单调函数，求实数t 的取值范围；（3）若关于x 的方程()f x x m =+有区间(1,2)-上有唯一实数根，求实数m 的取值范围（注：相等的实数根算一个）．20．已知函数2()()21xx f x x R =∈+. （1）试判断函数()f x 的单调性，并用单调性的定义给出证明；（2）求函数()()f x x R ∈的值域；(3) 是否存在正整数m ，n 使114(1)2()14(1)2n n m f m m +--<--成立？若存在，求出所有符合条件的有序数对(m ，n )；若不存在，请说明理由．参考答案1.【答案】{}1,2,42.【答案】33.【答案】4.【答案】45.【答案】36.【答案】57.【答案】[1,)+∞8.【答案】[1,)+∞9.【答案】1210.【答案】251211.【答案】(,3)(1,)-∞-+∞12.【答案】[11]--13.【答案】{}(0,3]414.【答案】2(,)3-∞-15.解 (1)由x (x －1)≥0，解得0x ≤或1x ≥，所以(,0][1,)A =-∞+∞． 由y ＝x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34≥34，得B ＝⎣⎡⎭⎫34，＋∞.……………………………7分 (2)因为∁R B ＝⎝⎛⎭⎫－∞，34， 所以A ∪B ＝(,0][,)34-∞+∞，A ∩(∁R B )＝(,0]A =-∞.………14分 16.解（1）由210|2|20x x ⎧-≥⎨+-≠⎩可得函数()f x 的定义域为[1,0)(0,1]-，………2分所以()f x ==，所以()f x x-==-，………4分 所以()()f x f x -=-所以函数()f x 为奇函数.………7分（2）因为x R ∈， 又41()log (41)()2x g x x --=+--， 所以4444411()()log (41)log (41)22(41)(41)4log log log 40(41)(14)x x x x xx x x g x g x x x x x x x x ----=+--+-++⋅=-=-=-=-=++………12分 所以()()g x g x -=，所以函数()g x 为偶函数.…………14分17.解（1）因为函数()2()2x xf x m x R =+∈为奇函数 ， 所以()()0f x f x +-=恒成立．………2分 又11()()22(1)(2)222x x x x x x m f x f x m m +-=+++⋅=++ 因为1202x x+>， 所以10m +=，1m =-．………4分(2)由（1）知函数()22x x f x -=-，所以函数()22x x f x -=-在[0,1]x ∈上为增函数， 所以可得()3[0,]2f x ∈．………6分令()t f x =，则3[0,]2t ∈且2442x x t -+=+，………10分 所以22217(2)2()24y t t t t t =-+=-+-=---因为217()24y t =---在1[0,]2t ∈上单调递增，在13[,]22t ∈上单调递减， 所以当12t =时，217()24y t =---的最大值为74-，当32t =时，217()24y t =---的最小值为114-，………12分 所以可得()[,]11744g x ∈--．………14分 18.解：（1）设投资为x 万元，A 产品的利润为f （x ）万元，B 产品的利润为g （x ）万元． 由题意设f （x ）=k 1x ，．由图知，∴又g （4）=1.6，∴． 从而，………4分………8分（2）设A 产品投入x 万元，则B 产品投入10﹣x 万元，设企业利润为y 万元．（0≤x≤10）令，则=………12分当t=2时，，此时x=10﹣4=6………14分 答：当A 产品投入6万元，则B 产品投入4万元时，该企业获得最大利润，利润为2.8万元． ………16分19．解：（1）设2()(0)f x ax bx c a =++≠，代入(1)(1)42f x f x x +--=-， 得4242ax b x +=-，对于x R ∈恒成立，故44,22a b =⎧⎨=-⎩，……………………………3分 又由(0)1f =，得1c =，解得1,1,1a b c ==-=，∴2()1f x x x =-+．……………………………………………………………………5分 （2）因为2()()2(21)1g x f x tx x t x =-=-++2221(21)()124t t x ++=-+-， 又函数()g x 在[]0,5上是单调函数，故2102t +≤或2152t +≥，…………………8分 截得12t ≤-或92t ≥．故实数t 的取值范围是19(,][,)22-∞-+∞．…………………………………………10分（3）由方程()f x x m =+得2210x x m -+-=，令2()21h x x x m =-+-，(1,2)x ∈-，即要求函数()h x 在(1,2)-上有唯一的零点，……………………………………………11分 ①(1)0h -=，则4m =，代入原方程得1x =-或3，不合题意；……………………12分 ②若(2)0h =，则1m =，代入原方程得0x =或2，满足题意，故1m =成立；……13分 ③若△0=，则0m =，代入原方程得1x =，满足题意，故0m =成立；…………14分 ④若4m ≠且1m ≠且0m ≠时，由(1)40,(2)10,h m h m -=->⎧⎨=-<⎩得14m <<． 综上，实数m 的取值范围是{}[)01,4．……………………………………………16分20.解：（1）函数()f x 在R 上为增函数. ……………1分下面用定义给出证明： 设12x x <，则121211()1,()12121x x f x f x =-=-++， 可得1221121111()()(1)(1)21212121x x x x f x f x -=---=-++++ =121222(21)(21)x x x x -++ 因为12x x <，所以1222x x <，所以1212220(21)(21)x x x x -<++，……………3分 所以12()()f x f x <，所以函数()f x 在R 上为增函数. ……………4分（2）因为20x>，所以211x +>， 所以10121x <<+，……………6分 所以11021x -<-<+所以101121x <-<+， 所以()(0,1)f x ∈.……………8分 （3）因为2()()21xx f x x R =∈+ 所以由114(1)2()14(1)2n n m f m m +--<--可得 ，即，即，因为， 所以， 所以m<4，………10分且因为， 所以m=1或2或3，………12分当m=1时，由（*）得，，所以n=1； 当m=2时，由（*）得，，所以n=1或2； 当m=3时，由（*）得，，所以n=2或3或4，综上可知，存在符合条件的所有有序实数对为：．………16分。