南航2013年全国高数竞赛模拟测试2
2013考研模考测试卷答案(数学二)
2013考研模考测试卷数学二答案答题注意事项1. 考试要求考试时间：180分钟满分：150分.2. 基本信息学员姓名:____________ 分数: ___________一、选择题(1～8小题,每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.) (1) 设)(x f 在0=x 的某邻域内连续,且当0→x 时,)(x f 与m x 为同阶无穷小.又设0→x 时，dt t f x F nx ∫=)()(与k x 为同阶无穷小,其中m 与n 为正整数.则k = ( )(A) .n m + (B) .2m n + (C) .n mn + (D) .1−+n mn 【答案】(C).【解析】由0→x 时)(x f 与m x 为同阶无穷小,知存在常数0≠A ,当0→x 时mAx x f ~)(,从而nmnAx x f ~)(.于是.0lim )(lim )(lim 01100≠=⋅→−−→→k nnm x k n n x k x xx x k An kx nx x f x x F 洛 故.n nm k +=所以选(C).(2) 设()()f x g x 在0x 处可导,且00()()0f x g x ==,0000()()0,(),()f x g x f x g x ′′′′′′=>存在,则 ( )(A)0x 不是()()f x g x 的驻点. (B)0x 是()()f x g x 的驻点,但不是它的极值点. (C)0x 是()()f x g x 的驻点,且是它的极大值点. (D)0x 是()()f x g x 的驻点,且是它的极小值点. 【答案】(D).【解析】设()()()x f x g x ϕ=,则()()()()()x f x g x f x g x ϕ′′′=+,()()()2()()()()x f x g x f x g x f x g x ϕ′′′′′′′′=++,所以0()0x ϕ′=,0x 是()x ϕ的驻点.又由000()2()()0x f x g x ϕ′′′=>,知()x ϕ在0x 点取得极小值.故答案为(D). (3) 函数222sin y x x π=−的不可导点个数为 ( )(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.【答案】(A).【解析】函数可能的不可导点为x π=±,因为222()sin ()lim 0,x x xy x ππππ−−→−′==− 222()sin ()lim 0,x x xy x ππππ++→−−′==−所以y 在π处可导.又 222()sin ()lim 0,x x xy x ππππ−−→−−−′−==+222()sin ()lim 0,x x xy x ππππ++→−−′−==+所以y 在π−处可导.故y 处处可导.故正确答案为(A). (4) 在下列微分方程中,以xx x x C C y 22221e 21e )(−−++=（其中21,C C 为任意常数）为通解的是 ( ) (A) 244e xy y y −″−′+=. (B) 244e .xy y y −″+′+=(C) 244e x y y y −″+′−=. (D) 244exy y y −″−′−=.【答案】(B).【解析】设所求微分方程为)(x f qy py y =+′+″,其对应齐次微分方程的特征方程的根为221−==r r ,因而特征方程为0)2(2=+r ,即0442=++r r ,故对应的齐次微分方程为044=+′+″y y y ．非齐次微分方程对应的特解为xx 22e 21−,代入微分方程)(44x f y y y =+′+″的左边,得 x x x x x x x x x x x x y y y 2222222222***e e 2)e 4e 4(e 2e 4e 44"−−−−−−−=+−++−=+′+,即得x x f 2e )(−=,所以所求微分方程为x y y y 2e 44−=+′+″．所以选(B).(5) 设),(y x f 有连续的偏导数,且))(,(xdy ydx y x f +−−为函数),(y x u 的全微分,则 ( )(A) 21(,)(,)xf x y yf x y ′′−−=−−. (B) 21(,)(,).xf x y yf x y ′′−−−=−−(C) 21(,)(,).yf x y xf x y ′′−−=−− (D) 21(,)(,)yf x y xf x y ′′−−−=−−. 【答案】(C).【解析】由于dy y x xf dx y x yf du ),(),(−−+−−=,即),,(),,(y x xf y u y x yf x u −−=∂∂−−=∂∂所以222(,)(,)(1)(,)(,),uf x y yf x y f x y yf x y x y∂′′=−−+−−−=−−−−−∂∂ 211(,)(,)(1)(,)(,).uf x y xf x y f x y xf x y y x ∂′′=−−+−−−=−−−−−∂∂由于x y u y x u ∂∂∂∂∂∂22,连续,所以xy u y x u ∂∂∂=∂∂∂22,于是得21(,)(,).yf x y xf x y ′′−−=−−故应选(C). (6) 设222{(,)|,0}D x y x y R R =+≤>,常数0λ≠.则二重积分cos sin ()r r De e rdrd λθλθθ−−∫∫的值 ( ) (A) 为零.(B) 为正. (C) 为负.(D) 当0λ>时为正,当0λ<时为负.【答案】(A).【解析】由极坐标化为直角坐标，及轮换对称性,知()()x y y x DDI e e d e e d λλλλσσ−−=−=−∫∫∫∫, 所以 2()()2()x x y y x xDDDI e e d e e d e e d λλλλλλσσσ−−−=−+−=−∫∫∫∫∫∫. 又因为被积函数是x 的奇函数,区域D 关于y 轴对称,所以()0xx Dee d λλσ−−=∫∫.从而知0I =,故答案为(A).(7) 下列叙述正确的是 ( )(A) 若两个向量组的秩相等，则此两个向量组等价.(B) 若齐次线性方程组0Ax =与0Bx =同解，则矩阵A 与B 的行向量组等价. (C) 若向量组12,,,s ααα"可由向量组12,,,t βββ"线性表示，则必有s t <.(D)若向量组12,,,s ααα"与向量组2,,s αα"均线性相关，则1α必不可由2,,s αα"线性表示. 【答案】(B) .【解析】本题可用排除法，对于(A)选项，例如110α⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，101β⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，1α与1β秩相等，但1α与1β并不等价，可排除A 选项；又如111α⎛⎞=⎜⎟⎝⎠， 212α⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，321α⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，可由110β⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，201β⎛⎞=⎜⎟⎝⎠线性表示，但32>，可排除(C)选项；又如111α⎛⎞=⎜⎟⎝⎠， 201α⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，310α⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，422α⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，则1234,,,αααα与234,,ααα均线性相关，且1α可由234,,ααα线性表示，可排除(D)选项，只有(B)选项为正确答案．事实上，易证方程组0Ax =与0A x B ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠同解，则()A r A r B ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，因此B 的行向量组可由A 的行向量组线性表示，同理可证A 的行向量组可由B 的行向量组线性表示，因此A 与B 的行向量组等价．故选(B)(8) 已知210200120,021001010A B ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠，则A 与B ( ) (A) 等价、相似、合同. (B) 不等价、不相似、不合同.(C) 等价、相似、不合同. (D) 等价、不相似、合同. 【答案】(D).【解析】由于()3,()3r A r B ==，所以A 与B 等价.A 与B 均为实对称矩阵，若特征值相同，则A 与B 相似，否则A 与B 不相似.由于()()()()()()()()2102112011311212002102122(1(1101E A E B −−−−−=−−=+=+−−−−+−−−−=−−=−=−−+−−−−λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ所以A 的特征值为1,3,1A =−λ，B的特征值为2,1B =λ，因此A 与B 不相似.由于A 与B 的正负惯性指数是相同的，正惯性指数为2，负惯性指数为1，所以A 与B 合同. 所以选择 (D).二、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分. 请将答案写在答题纸．．．指定位置上.) (9) 设四次曲线432y ax bx cx dx f =++++经过点(0,0),并且点(3,2)是它的一个拐点. 过该曲线上点(0,0)与点(3,2)的切线交于点(2,4).则该四次曲线的方程为y = .【答案】4324284227273x x x x −++. 【解析】曲线432y ax bx cx dx f =++++经过点(0,0),所以0.f = (1)又因为经过点(3,2),所以 3812793 2.|x ya b c d f ==++++= (2)又因为点(3,2)是拐点,所以 233(1262)1081820.||x x y ax bx c a b c ==′′=++=++=(3)又因为经过点(0,0)的切线斜率为422=,所以 320(432)2;||x x y ax bx cx d d ==′=+++== (4)经过点(3,2)的切线斜率为42223−=−−,所以 3233(432)108276 2.||x x y ax bx cx d a b c d ==′=+++=+++=−(5)联立(1)-(5),解得0f =,2d =,43c =,2827b =−,427a =.即求得4324284227273y x x x x =−++. (10) 曲线x x x x y −++=sin 22的斜渐近线方程为 .【答案】.12−−=x y【解析】因为lim limx x y xx x →−∞→−∞=xx x x x x x −++−=−∞→2sin 21lim,2−=lim (2)lim )x x y x x →−∞→−∞+=+limx =limx =,1−=所以斜渐近线方程为：.12−−=x y (11)2225x dx x x −=++∫ .【答案】2131ln(25)arctan 222x x x C +++−+.【解析】222221313ln(25)25252(1)2x dx dx x x dx x x x x x +=−=++−++++++∫∫∫原式2131ln(25)arctan 222x x x C +=++−+. (12) 曲线322y x x x =−++与x 轴所围成的图形的面积A = . 【答案】3712. 【解析】令3220y x x x =−++=,得1,0,2x =−. 当10x −<<时,0y <；当02x <<时,0y >,于是021037(0)12A y dx ydx −=−+=∫∫. (13) 设函数()f u 具有连续导数,且函数(,)z z x y =由方程22()y z xf z y +=−确定,则z zx z x y∂∂+=∂∂ . 【答案】y .【解析】对两边求全微分,得2222()()(22).dy dz f z y dx xf z y zdz ydy ′+=−+−−为书写方便,设22u z y =−,并解出dz 得 ()12().12()12()f u xyf u dz dx dy xzf u xzf u ′+=−′′−− 于是()12()z f u x xzf u ∂=′∂− ,12().12()z xyf u y xzf u ′∂+=−′∂− 从而 .z zxz y x y∂∂+=∂∂(14) 设A 是54×矩阵，B 是四阶矩阵，满足2AB A =，*B 是B 的伴随矩阵．若A 的列向量线性无关，则()*r B= ．【答案】4.【解析】由2AB A =可得(2)A B E O −=，故()(2)4r A r B E +−≤． 由于A 的列向量线性无关，所以()4r A =． 由此可得(2)0r B E −=，即2B E O −=，2E B =． 故()4r B =．由矩阵秩和伴随矩阵秩之间的关系，可得()*4r B=．三、解答题(本题共9小题,满分94分. 请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15) (本题满分10分)已知1,0,(),01,1arctan ,1,1x x f x ax b x x x −<⎪⎪⎪=+≤≤⎨⎪⎪>−⎪⎩在它的定义域上连续,求常数a 和b .【解析】000112lim ()lim lim 2x x x axa f x x x−−−→→→−−===−, …… 3分0lim ()x f x b +→=,1lim ()x f x a b −→=+, …… 5分111lim ()lim arctan 12x x f x x π++→→==−,…… 6分(0)f b =,(1)f a b =+.…… 8分所以()f x 在0x =处连续⇔2a b −=；()f x 在1x =处连续2a b π⇔=+. 解之,a π=,2b π=−.…… 10分(16) (本题满分10分)设()f x 是[],a a −上的连续偶函数(0)a >，且()0f x >，()()d aaF x x t f t t −=−∫，求()F x 在[],a a −上的最小值. 【解析】()()()()()d d x aax F x x t f t t t x f t t −=−+−∫∫ ()()()()()()d d d x x aax x x t f t t x t f t t t x f t t −−−=−+−+−∫∫∫ ()()()()()()d d d d xxxaax x x x t f t t x f t t tf t t t x f t t −−−−=−+−+−∫∫∫∫令t u =−，则()()()()()()d ()d d x x xaa a x t f t t x u f u u x u f u u −−−=+−−=−+∫∫∫ ()()()()()()0d 2d d x xxaaF x x t f t t x f t t t x f t t ∴=−++−−∫∫∫()()02d 2d xxax f t t tf t t =−∫∫…… 4分()()()()()02d 222d x xF x f t t xf x xf x f t t ′=+−=∫∫ …… 6分令()0F x ′=得0x =()()0f x >因又()()()()20200F x f x F f ′′′′==>， …… 8分 故()F x 在0x =处取得极小值. 由于()F x 在()a a −，内可导，且只有一个驻点，所以()F x 在0x =处的极小值即函数的最小值. 此最小值为()() 002d aF tf t t =∫． …… 10分(17) (本题满分10分)求微分方程2xy y x ′′′+=满足初始条件(1)1y =,1(1)2y ′=的特解. 【解析】令p y ′=,则有dp y dx ′′=,原方程化为2dpx p x dx+=再化为21,dp p dx x +=…… …… 3分 解得,2221112211.3dx dx x xC x p e dx C e x dx C x x −⎡⎤∫∫⎡⎤=⋅+⋅=+⋅=+⎢⎥⎣⎦⎣⎦∫∫ …… 6分 于是12.3C dy x dx x=+ 再分离变量积分得通解,212.6C x y C x=−+ …… 8分 由(1)1y =,1(1),2y ′=得2121211166|x C x C C C x =⎛⎞=−+=−+⎜⎟⎝⎠,且112111.233|x C x C x =⎛⎞=+=+⎜⎟⎝⎠ 解得116C =,21C =.所以满足初始条件(1)1y =,1(1)2y ′=的特解为21*166x y x =−+. …… 10分(18) (本题满分10分)已知(42)(42),(0,0)0dz x dx y dy z =−−+=，求(z z x y =，）在区域2218D x y +≤：上的最大值与最小值.【解析】 由(42)(42),(0,0)0dz x dx y dy z =−−+=,知242,4()zx z x x y xϕ∂=−=−+∂, 又2()(42),()4zy y y y y C yϕϕ∂′==−+=−−+∂，所以2244z x x y y C =−−−+ 又由(0,0)0,0z C ==，所以2244z x x y y =−−− ……4分420420x yz x z y =−=⎧⎨=−−=⎩得驻点(2,2)−. ……6分 设22(,,)4418(18)F x y x y x y λλ=−−++−，由22()420420180x y F x x F y F x y λλλ=+=⎧⎪=−+=⎨⎪=+−=⎩ 得驻点(3,3),(3,3)−−. ……8分 而(2,2)8,(3,3)6,(3,3)42f f f −=−=−=−，则(,)z z x y =在区域22:18D x y +≤上的最大值为8，最小值为-42. ……10分 (19) (本题满分10分)设()22,,u f x y xyz =,函数(),z g x y =由方程()xyzxy ee z t dt z ϕ+−=∫确定,其中f 可微,ϕ连续,且1ϕ≠.求u u xy x y∂∂−∂∂. 【解析】 因132,u z xf y z x f x x ∂∂⎛⎞′′=++⎜⎟∂∂⎝⎠ 232,u z yf x z y f y y ⎛⎞∂∂′′=++⎜⎟∂∂⎝⎠…… 4分在方程()xyzxy ee z t dt z ϕ+−=∫中,令,xy v e z t =+−则,dv dt =−且当t z =时,;xy v e =当xy t e =时,,v z =则上述方程化为().xyze v dv z ϕ=∫……5分 两边对x 求偏导,得()(),xy xyz z z e e y x x ϕϕ∂∂⋅−⋅=∂∂ ()(),1xy xye e y z x z ϕϕ⋅∂=∂− …… 6分同理可得()().1xy xye e xz y z ϕϕ⋅∂=∂− …… 8分将z x ∂∂,z y ∂∂代入u x ∂∂,u y ∂∂的表达式,得()22122.u u x y x f y f x y∂∂′′−=−∂∂ …… 10分 (20) (本题满分11分)设平面区域{}(,)0,0D x y x y ππ=≤≤≤≤,计算积分cos()DI x y d σ=+∫∫.【解析】积分区域关于x y π+=对称,被积函数cos()x y +对于u x y =+满足cos()cos()u u ππ+=−, 所以,1cos()2cos()DD I x y d x y d σσ=+=+∫∫∫∫,其中{}1(,)|,0,0D x y x y x y π=+≤≥≥.…… 3分又因为区域1D 被直线2x y π+=分为12σσ和,1(,)|,0,02x y x y x y πσ⎧⎫=+≤≥≥⎨⎬⎩⎭,2(,)|,0,02x y x y x y πσπ⎧⎫=≤+≤≥≥⎨⎬⎩⎭, 在1σ内cos()0x y +>；在2σ内cos()0x y +<.故122[cos()cos()]I x y d x y d σσσσ=+−+∫∫∫∫…… 6分 1122[2cos()cos()]x y d x y d σσσσσ+=+−+∫∫∫∫…… 8分202[2(1sin )sin ]2.x dx xdx πππ=−+=∫∫…… 11分(21) (本题满分11分)(I) 设k为正整数,42()xkxt e F x dt e −=+∫∫,证明()F x 存在唯一的零点,记为k x ；(II) 证明21limnkn k x→∞=∑存在,且其极限值小于2.【解析】(I)(0)0,F =<∫ (1)分41021()0,t k F dt ke −=+>∫∫ …… 2分故至少存在一个零点记为k x ,10k x k<<.…… 3分又4()0,x kx F x eke −′=> …… 4分故至多存在一个零点.所以正好存在唯一零点k x ,且10k x k<<.…… 5分(II)222112211111,(1)nnn nkk k k k x k k k k ====<=+<+−∑∑∑∑ …… 7分所以2211111((1)1nnk k k k k k ==+=+−−−∑∑111 2.n =+−< …… 9分又因为21n k k x =⎧⎫⎨⎬⎩⎭∑随n 而单调增加,由单调有界定理知,21lim nk n k x →∞=∑存在,其极限值小于2. …… 10分(22) (本题满分11分)线性方程组(a)12341234123420233035240x x x x x x x x x x x x ++−=⎧⎪++−=⎨⎪++−=⎩，(b)124123020x x mx x nx x ++=⎧⎨++=⎩(I)求线性方程组(a)的通解；(II),m n 取何值时，方程组(a)与(b)有非零公共解； (III),m n 取何值时，方程组(a)与(b)同解. 【解析】(I)对(a)的系数矩阵做初等行变换：121112112313011135240000−−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟−→⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠令341,0x x ==，解得121,1x x ==−，()11,1,1,0,Tξ=− 令340,1x x ==，解得123,1x x ==−，()23,1,0,1T ξ=−， 基础解系为：()11,1,1,0,Tξ=−()23,1,0,1Tξ=−.则(a)的通解为112212,,x k k k k ξξ=+为任意常数. …… 3分(Ⅱ)对(a)和(b)的联合方程组的系数矩阵做初等行变换：1211121123130111352401111100111120021112111211011101110000003300200020033000m m n n n n m m nn −−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟−−−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟→−−−−⎜⎟⎜⎟−−+⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠−−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟→→−−⎜⎟⎜⎟++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠⎝⎠所以当3n =或2m =−时，联合方程组有非零解，该非零解既满足方程组(a)，又满足方程组(b)，所以该非零解就是方程组(a)与方程组(b)的公共解. …… 7分(Ⅲ)若方程组(a)与(b)同解，则将方程组(a)的基础解系代入(b)中，应该满足(b)中的方程，即110310,2,312030m m n n n −=−+=⎧⎧⇒=−=⎨⎨−+=−=⎩⎩. 因为两方程组系数矩阵秩相等，当2,3m n =−=时，所以方程组(a)与(b)同解. …… 11分 (23) (本题满分11分)设A 为3阶方阵，123,,λλλ是A 的三个不同特征值，对应的特征向量分别为123,,ααα，令123.βααα=++(I)证明2,,A Aβββ线性无关；(II)若3232,AA A βββ=−求A 的特征值，并计算行列式.A E +【解析】(I)令21230k k A k A βββ++=，由22,,1,2,3,i i i i i i A Ai ===αλααλα知()()()2221123211223331122330,k k k ++++++++=αααλαλαλαλαλαλα…… 2分即 ()()()2221213111223221233330,k k k k k k k k k ++++++++=λλαλλαλλα由题设123,,ααα分别是三个不同特征值123,,λλλ的对应特征向量，则必线性无关，即有2121312122322123330,0,0,k k k k k k k k k ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩λλλλλλ…… 4分因其行列式211222233110,1≠λλλλλλ所以1230,k k k ===故2,,A A βββ线性无关. …… 5分 (II) 由()()()()223222,,,,,,32000,,103,012A A A A A A A A A A A A ==−⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠βββββββββββββ令()2,,P A A βββ=，则P 可逆，且1000103,012P AP B −⎛⎞⎜⎟==⎜⎟⎜⎟−⎝⎠即~.A B ……8分因()()()200132331,012E B −=−−=+−=+−−+λλλλλλλλλλ得B 的三个特征值为1230,3, 1.λλλ==−=由~A B 知，A 的三个特征值也为1230,3, 1.λλλ==−=……10分再由()11,PA E P P AP EB E −−+=+=+知100113 4.011A EB E +=+==−−…… 11分。
高考模拟2
1 2 48 16 322013年江苏高考数学模拟试卷（2）第1卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 在复平面内，复数ii-12(i 是虚数单位)对应的点的坐标为 ． 2．设集合},,12|),{(R y x y x y x A ∈=+=，},,2|),{(2R y x a y x a y x B ∈=+=，若φ=B A ，则a = ．3．甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是 ．4. 200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如下图所示，则时速超过70km/h 的汽车数量为 ___________ 辆.5．某程序框图如右上图所示，该程序运行后输出的k 的值是 . 6．如图，斜三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均等于1，且1160A AB A AC ∠=∠= ， 则该斜三棱柱的全面积是 ． 7．双曲线2214yx -=的渐近线被圆226210x y x y +--+= 所截得的弦长 为 ．8．已知函数2l o g ,0()2,0x x xf x x >⎧=⎨≤⎩， 则满足不等式(())1f f x >的x 的取值范围是 ．9．在面积为2的ABC ∆中，E,F 分别是AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，则2+⋅的最小值 是 ．10．已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan :tan :tan 1:2:3A B C =，则bc= ． 11．将首项为1，公比为2的等比数列的各项排列如右表，其中第i 行第j 个数AB CA 1B 1C 1（第6题）表示为*(,)ij a i j N ∈，例如3216a =．若20112ij a =，则i j += ．12．已知,A B 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>和双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的公共顶点。
2013年全国高校自主招生数学模拟试卷及答案
2013年全国高校自主招生数学模拟试卷一 参考答案一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1. 如图，在正四棱锥P −ABCD 中，∠APC =60°，则二面角A −PB −C 的平面角的余弦值为（ B ） A.71 B. 71-C.21 D. 21-解：如图，在侧面PAB 内，作AM ⊥PB ，垂足为M 。
连结CM 、AC ，则∠AMC 为二面角A −PB −C 的平面角。
不妨设AB =2，则22==AC PA ，斜高为7，故2272⋅=⨯AM ，由此得27==AM CM 。
在△AMC 中，由余弦定理得712cos 222-=⋅⋅-+=∠CM AM AC CM AM AMC 。
2. 设实数a 使得不等式|2x −a |+|3x −2a |≥a 2对任意实数x 恒成立，则满足条件的a 所组成的集合是（ A）A. ]31,31[-B. ]21,21[-C. ]31,41[- D. [−3，3] 解：令a x 32=，则有31||≤a ，排除B 、D 。
由对称性排除C ，从而只有A 正确。
一般地，对k ∈R ，令ka x 21=，则原不等式为2|||34|||23|1|||a k a k a ≥-⋅+-⋅，由此易知原不等式等价于|34|23|1|||-+-≤k k a ，对任意的k ∈R 成立。
由于⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-<≤-≥-=-+-125334121134325|34|23|1|k k k k k k k k ，所以31|}34|23|1{|min R =-+-∈k k k ，从而上述不等式等价于31||≤a 。
3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。
甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b 。
则使不等式a −2b +10>0成立的事件发生的概率等于（ D ） A.8152 B.8159 C.8160 D.8161 解：甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故基本事件总数为92=81个。
2013年浙江高考数学模拟卷理2
秘密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）模拟卷二 数学（理科）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率(1)k kn k n n P C P P -=-（k=0，1，2，…，n ）球的表面积公式24R S π=，球的体积公式334R V π=，其中R 表示球的半径棱柱的体积公式V Sh =，其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高 棱锥的体积公式13V Sh=，其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高棱台的体积公式11221()3V h S S S S =++，其中12,S S 分别表示棱台的上、下底面积，h 表示棱台的高 第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请在答题卡指定区域内作答1．设集合A={x|1≤|x －1|≤2}，集合B ={x|0322≤-+x x }, 则C R A ∩（C R B ）=（） A ．（2，3）B ．[-3，3]C ．(]3,-∞-∪[)+∞,3D ．（－∞，－3）∪（3，+∞）2．已知i 是虚数单位，ai i-+131的共轭复数是－3i ，则实数a=（） A ．3 B ．－3 C ．31 D ．－313．设a ∈R ，则“a ＝－415”是“直线l ：ax+2y －1=0与圆C ：x 2+（y －a ）2=4相切”的（）A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件 4．把函数y=cos （2x －1）的图象向左平移21，再横向伸长2倍后可得函数（）A ．y=cos （x+2π）B ．y=sin （x+2π）C ．y=sinx D ．y=cos （x+23π）5．设a ，b 是两个非零向量， ①.若|a +b |=|a |+|b |，则a ∥b ②.若a ∥b ，则|a +b |=|a |+|b |③若|a +b |=|a |+|b |，则存在实数λ，使得b =λa ④若存在实数λ，使得b =λa ，则|a +b |=|a |+|b |则正确命题是（）A ．①② Ｂ．①③ Ｃ．②③ Ｄ．②④6．从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其积为偶数，则不同的取法共有（）A ．65B ．66C ．121D ．917．若正数x ，y ，a 满足x+3y=axy ，且3x+4y 的最小值为25，则a 为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．F 1，F 2分别是双曲线C ：22a x －22by =1（a ，b ＞0）的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ，若△OBM 的面积为△OBF 1的面积的三倍，则C 的离心率是（） A.23 B ．6C ．2D ．3 9．设实数a>1，b>1，①若lna+2a=lnb+3b ，则a ＞b ②若lna+2a=lnb+3b ，则a ＜b ③若lna －2a=lnb －3b ，则a ＞b ④若lna －2a=lnb －3b 则a ＜b 则下列命题成立的是（）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①③10．已知矩形ABCD ，AB=1，BC=2，将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中（）A.存在某个位置，使得直线AC 与平面ABD 垂直.B.存在某个位置，使得直线AB 与平面ACD 垂直.C.存在某个位置，使得直线AD 与平面ABC 垂直.D.对任意位置，三对直线与平面“AC 与平面ABD ”，“AB 与平面ACD ”，“AD 与平面ABC ”均不垂直第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题 ：本大题共7小题，每小题4分，共28分，请在答题卡指定区域内作答（第13题图）11．直角三角形△ABC 两直角边为AB=3和AC=2，△ABC 围绕AC 所在直线旋转到某一位置△AB 1C ，构成一个三棱锥C —ABB 1（单位：cm ），则该三棱锥的体积的最大值为________cm 3. 12．设公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ， 若S 2=3a 2+2，S 4=3a 4+2，则d=_______13．如右上图，如果执行它的程序框图，输入正整数48==m n 、，那么输出的p 等于14．若将函数f （x ）=x 5表示为f （x ）=a 0＋a 1（1＋x ）＋a 2（1＋x ）2＋……＋a 5（1＋x ）5，其中a 0，a 1，a 2，…a 5为实数，则a 1+a 5=_________15．实数x ，y 满足平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤-+≥+-0,00201y x y x y x ，则覆盖此平面区域的最小圆的方程是______16．设函数f （x ）是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x∈[0，1]时，f （x ）=x ＋1，则 f （0.5）+f （1.5）+f （2.5）+…+f （2013.5）=_____17．如图，AB 为单位圆的直径，E ，F 为半圆上点，弧BE 是弧的三分之一，若AB ·AF=1，则·的值是三、解答题 ：本大题共5小题，共72分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程，请在答题卡指定区域内作答 18．(本小题满分14分)已知函数f （x ）=2asin 2x+2sinxcosx －a （a 为常数）在x=83π处取得最大值 （1）求a 值；（2）求函数f （x ）的最小正周期和单调递增区间； （3）若f （θ）=51，0＜θ＜83π，求cos θ 19． (本小题满分14分)单位正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BC ，CD 中点，平面A 1EF 交BB 1于M ，交DD 1于N（1）画出几何体A 1MEFN —ABEFD 的直观图与三视图； （2）设AC 中点为O ，在CC 上存在一点G ，使CG =λ1CC ，且OG ⊥平面A 1EF ，求λ；（3）求A 1C 与平面A 1EF 所成角的正弦值20． (本小题满分14分) 设单调递增等比数列{a n }满足a 1+a 2+a 3=7，且a 3是a 1，a 2+5的等差中项，（1）求数列{a n }的首项； （2）数列{c n }满足：对任意正整数n ，11a c +22a c +…+n n a c =22+12112--n n 均成立，求数列{c n }的通项FEADBC 1B1D 1A1BOEF21．(本小题满分15分) 已知椭圆C 的方程是12222=+by a x )0(>>b a .（1）如果椭圆C 左焦点为（－2，0），且经过点)2,2(--，求椭圆C 的方程（2）设斜率为k 的直线l ，交椭圆C 于A B 、两点，AB 的中点为M. 证明：当直线l 平行移动时，动点M 在一条过原点的定直线上； 22．(本小题满分15分) 已知函数f(x)=21(x －1)2+lnx ，g(x)=kx －k ． （1）若23=k ，求函数F(x)=f(x)－g(x)的极值； （2）若对任意的)3,1(∈x ，都有f(x)＞g(x)成立，求k 的取值范围．感谢您的阅读，祝您生活愉快。
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题-推荐下载
（C）与 x 同阶但不等价无穷小
（A）2
f
(x)
f x是由方程 cosxy ln y x
sin x, x [0, )
2,
（B）1 （C）-1
，
x [ ,2 ]
３．设
４．设函数
F ( x)
（B）比 x 低阶的无穷小
（D）与 x 等价无穷小
1
确定，则
x
f (t)dt 则（
x
x
e
（B） a 2
５．设函数 z y f xy，其中 f 可微，则 x z z （ ）
x
e
，且反常积分
（A） 2 yf '(xy) （B） 2 yf '(xy) （C） 2 f (xy) （D） 2 f (xy)
y x y
6．设 Dk 是圆域 D (x, y) | x2 y 2 1的第 k 象限的部分，记 I k ( y x)dxdy ，则（ ）
1 a 1
（A） a 0,b 2
（C） a 2,b 0
0 0 0
（B） a 0 ， b 为任意常数
（D） a 2 ， b 为任意常数
二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）
9． lim 2 ln(1 x) x
Aij aij 0(i, j 1,2,3) ，则 A =
三、解答题
15．（本题满分 10 分）
当 x 0 时，1 cos x cos 2x cos 3x 与 ax n 是等价无穷小，求常数 a, n ．
2013年高考理科数学模拟试题
2013年普通高等学校招生全国统一模拟考试数学（理工农医类）注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟。
[来第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1、已知集合2=-+=∈{|210,}P x x x x R，则集合P的子集个数是二、 A．1 B．2 C．4 D．82、已知函数，下面结论错误的是A.函数的最小正周期为B.函数在区间上是增函数C.函数的图像关于直线对称 D.函数是奇函数三、3、已知函数f x()的定义域为[0，1?，则函数-f x(1)的定义域为A．[0,1)B．(0,1]C．-[1,1]D．-[1,0)(0,1]4、函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是（A）（B）（C）（D）5、在ΔABC中，、、a b c分别是三内角、、A B C所对边的长，若b a Csin A sin,则ΔABC的形状A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形6、将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是w_w w. k#s5_u.c o*m（A）（B）w_w_w.k*s 5*u.c o*m（C）（D）7、如图，在半径为3的球面上有三点，，球心到平面的距离是，则两点的球面距离是A.B.C.D.8、已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是A.2B.3C.D.9、设定义在上的函数满足，若，则( )（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）10、已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为( )（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）11、过双曲线22221(0)y x b a a b -=>>的左焦点(,0)(0)F c c ->作圆222x y a +=的切线，切点为 E ,延长FE交抛物线24y cs =于点 P ⋅若1()2OE OF OP =+，则双曲线的离心率为A ．33+B ．15+C ．5D ．13+12、设，则的最小值是w_w w. k#s5_u.c o*m（A）2 （B）4 （C）（D）5第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.13．展开式中的系数为_____________。
2013年全国高中数学联赛试题及其解答
2013 年全国高中数学联题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分。
1、设集合A = 2，0，1，3 ，集合B = x| − x ∈ A，2 − x ∉ A ，则集合B中所有元素 的和为 。 解答：易知集合B = −2， − 3 ，所有集合B中所有元素的和为−5。 ⃑ · OB ⃑ = −4，F是抛 2、在平面直角坐标系xOy中，点 A、B 在抛物线y = 4x上，满足OA 物线的焦点，则S△ · S△ = 。 ⃑ · OB ⃑= 解答：根据抛物线解析式知OF = 1。设点A m ，2m ，点B n ，2n ，则OA m n + 4mn = −4 ⇒ mn = −2。于是知S△ · S△ =
| |·| |
·
|
|·|
|
= |mn| = 2。
3、在△ABC 中，已知sin A = 10 sin B sin C，cos A = 10 cos B cos C，则tan A的值 为 。 解答：根据条件知：sin A − cos A = 10(sin B sin C − cos B cos C) = −10 cos(B + C) = 10 cos A ⇒ sin A = 11 cos A ⇒ tan A = 11。 4、已知正三棱锥P − ABC底面边长为1，高为√2，则其内切球半径为 。 解答：设△ABC 外心为 O，O 在 BC、CA、AB 上的垂足分别为 D、E、F，则OD = OE = OF =
10、（本题满分 20 分） 在平面直角坐标系xOy中，椭圆的方程为 + = 1（a＞b＞0），A 、A 分别为椭圆 的左、右顶点，F 、F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上不同于A 和A 的任意一点。
交流知识
2013年高考数学模拟试题及答案和解析和评分要点(1)
理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数111-++-=iiz ，在复平面内z 所对应的点在（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 2.如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2的正三角形,其俯视图轮廓为正方形，则其体积是 （A（B ）（C（D ） 833.下列命题错误的是（A ）命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠” （B ）若命题2:,10p x R x x ∃∈++=，则2:,10p x R x x ⌝∀∈++≠ （C ）若p q ∧为假命题，则p 、q 均为假命题（D ） “2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件4.如图，该程序运行后输出的结果为（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）165.设γβα,,为两两不重合的平面，,,l m n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若γβγα⊥⊥,，则βα//；②若ββαα//,//,,n m n m ⊂⊂，则βα//； ③若βα//，α⊂l ，则β//l ；④若γαγγββα//,,,l n m l === ，则n m //. 其中真命题的个数为（A ）1（B ）2（C ）3（D ）46.已知n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若12852=++a a a ，则9S 等于（A ）18 （B ）36 （C ）72 （D ）无法确定俯视图7. P 是ABC ∆所在平面内一点，若+=λ，其中R ∈λ，则P 点一定在（A ）ABC ∆内部 （B ）AC 边所在直线上 （C ）AB 边所在直线上 （D ）BC 边所在直线上8. 抛物线212y x =-的准线与双曲线22193x y -=的两条渐近线所围成的三角形的面积等于（A ） （B ） （C ）2 （D 9. 定义行列式运算12212121b a b a b b a a -=，将函数xx x f cos 1sin 3)(=的图象向左平移)0(>t t 个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则t 的最小值为 （A ）6π （B ）3π （C ）65π （D ）32π10. 设方程|)lg(|3x x-=的两个根为21,x x ，则（A ） 021<x x （B ）021=x x （C ） 121>x x （D ） 1021<<x x 11. 王先生购买了一部手机，欲使用中国移动“神州行”卡或加入联通的130网，经调查其收费标准见下表：（注：本地电话费以分为计费单位，长途话费以秒为计费单位.）若王先生每月拨打本地电话的时间是拨打长途电话时间的5倍，若要用联通130应最少打多长时间的长途电话才合算.（A ）300秒 （B ）400秒 （C ）500秒 （D ）600秒12. 两个三口之家，共4个大人，2个小孩，约定星期日乘“奥迪”、“捷达”两辆轿车结伴郊游，每辆车最多只能乘坐4人，其中两个小孩不能独坐一辆车，则不同的乘车方法种数是（A ）40 （B ）48 （C ）60 （D ）68第Ⅱ卷二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13.在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -内任取一点P ，则点P 到点A 的距离小于a 的概率为 . 14.若等比数列}{n a 的首项为32，且⎰+=4 1 4)21(dx x a ，则公比q 等于 .15. 已知)(x f 为奇函数，且当x >0时, 0)('>x f ，0)3(=f ，则不等式0)(<x xf 的解集为____________. 16. 数列 ，，，，，，，，，，1423324113223112211，则98是该数列的第 项. 三．解答题：本大题共6小题，共74分.17. （本小题满分12分）已知角C B A 、、是ABC ∆的三个内角，c b a 、、是各角的对边，若向量⎪⎭⎫⎝⎛-+-=2cos),cos(1B A B A m , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2cos ,85B A n ,且89=⋅n m .（Ⅰ）求B A tan tan ⋅的值； （Ⅱ）求222sin cb a Cab -+的最大值.18. （本小题满分12分）正ABC ∆的边长为4，CD 是AB 边上的高，E 、F 分别是AC 和BC 的中点（如图（1））.现将ABC ∆沿CD 翻折成直二面角A -DC -B （如图（2））. 在图形（2）中：（Ⅰ）试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由； （Ⅱ）求二面角E -DF -C 的余弦值；（Ⅲ）在线段BC 上是否存在一点P ，使DE AP ⊥?证明你的结论.19. （本小题满分12分）张明要参加某单位组织的招聘面试.面试要求应聘者有7次选题答题的机会（选一题答一题），若答对4题即终止答题，直接进入下一轮，否则则被淘汰.已知张明答对每一道题的概率都为21. （Ⅰ）求张明进入下一轮的概率；（Ⅱ）设张明在本次面试中答题的个数为ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望.20.（本小题满分12分）数列}{n a 满足)2,(122*1≥∈++=-n N n a a nn n ，273=a . （Ⅰ）求21,a a 的值； 21. （本小题满分12分）已知A 为椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上的一个动点，弦AB 、AC 分别过焦点F 1、F 2，当AC 垂直于x 轴时，恰好有13||||21：：=AF AF . （Ⅰ）求椭圆离心率；（Ⅱ）设F AF B F AF 222111λλ==,试判断21λλ+是否为定值？若是定值，求出该定值并证明；若不是定值，请说明理由.22. （本小题满分14分）已知0>a ，）1ln(12)(2+++-=x x ax x f ，l 是曲线)(x f y =在点))0(,0(f P 处的切线. （Ⅰ）求l 的方程；（Ⅱ）若切线l 与曲线)(x f y =有且只有一个公共点，求a 的值；（Ⅲ）证明对任意的n a =)(*N n ∈，函数)(x f y =总有单调递减区间，并求出)(x f 单调递减区间的长度的取值范围.（区间],[21x x 的长度=12x x -）附：答案及评分标准：一．选择题： BCCCB BBACD BB1.解析：B. 21(1)1111(1)(1)i i z i i i i -+--=-=-=-++-，故选B.2. 解析：C.该几何体为正四棱锥，底面边长为22=，其体积1223V =⨯⨯=.3. 解析：C .由“且”命题的真假性知，p 、q 中至少有一个为假命题，则p q ∧为假，故选项C 错误.4. 解析：D.每次循环对应的b a ,的值依次为11,1,2,112a b b a ====+=；22,24,213a b a ====+=；43,4,216,314a b b a =====+=. 5. 解析：B.根据面面平行的判定可知①是假命题；②是假命题； ③是真命题；④是真命题.6. 解析：B. 2585312a a a a ++==，∴54a =,19592993622a a aS +=⨯=⨯=. 7. 解析：B. CB PA PB CB BP PA λλ=+⇒+= CP PA λ⇒=,∴C 、P 、A 三点共线.8. 解析：A. 抛物线212y x =-的准线方程为3x =，双曲线22193x y -=的渐近线为3y x =±，如图，它们相交得OAB ∆，则(3,A B ,∴132OAB S ∆=⨯=.9. 解析：C. 1sin ()sin cos sin )22cos x f x x x x x x==-=-2cos()6x π=+. 函数()f x 向左平移65π后为55()2cos()2cos()2cos 666f x x x x ππππ+=++=+=-，所以5()2c o s 6f x x π+=-为偶函数. 10. 解析：D. 如图，易知231x x =，3120x x x <<<，∴1201x x <<.11. 解析：B. 设王先生每月拨打长途x 秒，拨打本地电话5x 秒，根据题意应满足50.3650.60120.060.076060x x x x ⋅⋅++≤+，解得400x ≥. 12. 解析：B. 只需选出乘坐奥迪车的人员，剩余的可乘坐捷达.若奥迪车上没有小孩，则有2344C C +=10种；若有一个小孩，则有11232444()C C C C ++=28种；若有两个小孩，则有1244C C +=10种.故不同的乘车方法种数为10+28+10=48种. 二．填空题13.6π；14.3；15. {|033x 0}x x <<-<<或；16.128. 13. 解析：6π.易知，在正方体内到点A 的距离小于a 的点分布在以A 为球心，以a 为半径的球的18部分内.故所求概率即为体积之比3341386a P a ππ⋅==.14. 解析：3. 42224 14(12)()44(11)181a x dx x x =+=+=+-+=⎰；123a =，341a a q =⋅得公比3q =.15. 解析：{|033x 0}x x <<-<<或.根据题意，函数()f x 的图象如图，可得0)(<x xf 的解集为{|033x 0}x x <<-<<或.16. 解析：128.分子、分母之和为2的有1项，为3的有2项，…，为16的有15项.而98是分子、分母之和为17的第8项.故共有1511581282+⨯+=项. 三．解答题17. （本题小满分12分）已知角C B A 、、是ABC ∆的三个内角，c b a 、、是各角的对边，若向量⎪⎭⎫⎝⎛-+-=2cos),cos(1B A B A,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2cos ,85B A ,且89=⋅.（Ⅰ）求B A tan tan ⋅的值；（Ⅱ）求222sin c b a Cab -+的最大值.解：（Ⅰ）由(1cos(),cos )2A B m A B -=-+ ,5(,cos )82A Bn -= ，且98m n ⋅= ，即259[1cos()]cos 828A B A B --++=.---------------------------------------------------------------------------2分 ∴4cos()5cos()A B A B -=+,-------------------------------------------------------------------------------------4分即cos cos 9sin sin A B A B =,∴1tan tan 9A B =.--------------------------------------------------------------6分 （Ⅱ）由余弦定理得222sin sin 1tan 2cos 2ab C ab C C a b c ab C ==+-，-------------------------------------------------8分而∵tan tan 9tan()(tan tan )1tan tan 8A B A B A B A B ++==+-9384≥⨯=,即tan()A B +有最小值34.-----------------------------------------------------------------------------------------10分又tan tan()C A B =-+,∴tan C 有最大值34-（当且仅当1tan tan 3A B ==时取等号），所以222sin ab C a b c+-的最大值为38-.-------------------------------------------------------------------------------12分18. （本题小满分12分）正ABC ∆的边长为4，CD 是AB 边上的高，E 、F 分别是AC 和BC 的中点（如图（1））.现将ABC ∆沿CD 翻折成直二面角A -DC -B （如图（2））. 在图形（2）中：（Ⅰ）试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由； （Ⅱ）求二面角E -DF -C 的余弦值；（Ⅲ）在线段BC 上是否存在一点P ，使DE AP ⊥?证明你的结论.解法一：（Ⅰ）如图（2）：在ABC ∆中，由EF 分别是AC 、BC 的中点，得EF//AB ，又⊄AB 平面DEF ，⊂EF 平面DEF . ∴//AB 平面DEF.-----------------------------------------------------------------------3分（Ⅱ）CD BD CD AD ⊥⊥,，∴ADB ∠是二面角A -CD -B 的平面角.-------------------------------------------------------------------------------------4分∴BD AD ⊥，∴⊥AD 平面BCD .取CD 的中点M ，则EM //AD ，∴EM ⊥平面BCD .过M 作MN ⊥DF 于点N ，连结EN ，则EN ⊥DF ，MNE ∠是二面角E -DF -C 的平面角.----------------------------------------------------6分在EMN Rt ∆中，EM =1，MN =23，∴721cos =∠MNE .----------------------------------8分 （Ⅲ）在线段BC 上取点P ，使BP =BC 31，过P 作PQ ⊥CD 于点Q ，∴⊥PQ 平面ACD .-----------------11分 ∵，33231==DC DQ ∴ADQ Rt ∆中，33tan =∠DAQ .在等边ADE ∆中， ,30 =∠DAQ ∴DE AP DE AQ ⊥⊥,.------------------------------------------------------12分解法二：（Ⅱ）以点D 为坐标原点，以直线DB 、DC 、DA 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则)0,3,1(),1,3,0(),0,32,0(002(),2,0,0(F E C B A ），，，------------------------------------------4分平面CDF 的法向量)2,0,0(=.设平面EDF 的法向量为n=（x ,y ,z ）.则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00DE n DF ，即⎩⎨⎧=+=+0303z y y x ，取)3,3,3(-=------------------------------------------6分 721||||cos =⋅>=⋅<n DA .二面角E -DF -C 的平面角的余弦值为721.------------------------------------8分 （Ⅲ）在平面坐标系x D y 中，直线BC 的方程为323+-=x y ，设)0,332,(x x P -，则)2,332,(--=x x .--------------------------------------------------------------------------------------------------------10分∵BC BP x DE AP DE AP 31340=⇒=⇒=⋅⇒⊥. ∴在线段BC 上存在点P ，使AP ⊥DE .---------------------------------------------------------------12分.19. （本题小满分12分）张明要参加某单位组织的招聘面试.面试要求应聘者有7次选题答题的机会（选一题答一题），若答对4题即终止答题，直接进入下一轮，否则则被淘汰.已知张明答对每一道题的概率都为21. （Ⅰ）求张明进入下一轮的概率；（Ⅱ）设张明在本次面试中答题的个数为ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望.解法一：（Ⅰ）张明答4道题进入下一轮的概率为161)21(4=；----------------------------------------------------1分 答5道题进入下一轮的概率为812121)21(334=⋅⋅C ；--------------------------------------------------------------------2分答6道题进入下一轮的概率为32521)21()21(2335=⋅⋅C ；--------------------------------------------------------------3分 答7道题进入下一轮的概率为32521)21()21(3336=⋅⋅C ；-------------------------------------------------------------5分 张明进入下一轮的概率为1155116832322P =+++=.---------------------------------------------------------------6分（Ⅱ）依题意，ξ的可能取值为4，5，6，7.当ξ=4时可能答对4道题进入下一轮，也可能打错4道题被淘汰.81)21()21()4(44=+==ξP ；类似有4121)21()21(21)21()21()5(334334=⋅⋅+⋅⋅==C C P ξ；)6(=ξP =+⋅⋅21)21()21(2335C 16521)21()21(2335=⋅⋅C ； )7(=ξP =+⋅⋅21)21()21(3336C 16521)21()21(3336=⋅⋅C .----------------------------------------------10分于是ξ的分布列为161671664584=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ---------------------------------------------------------------------12分解法二：（Ⅱ）设张明进入下一轮的概率为1P ，被淘汰的概率为2P ，则121=+P P ，又因为张明答对每一道题的概率都为21，答错的概率也都为21.所以张明答对4题进入下一轮与答错4题被淘汰的概率是相等的.即21P P =. 所以张明进入下一轮的概率为21.--------------------------------------------------------------------------------------6分20.（本小题满分12分）数列}{n a 满足)2,(122*1≥∈++=-n N n a a nn n ，273=a . （Ⅰ）求21,a a 的值； （Ⅱ）已知))((21*N n t a b n n n ∈+=，若数列}{n b 成等差数列，求实数t ；（Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n S ．解法一：（Ⅰ）由)2,(122*1≥∈++=-n N n a a nn n ，得33222127a a =++=29a ⇒=.2212219a a =++=12a ⇒=.--------------------------------------------------------------3分（Ⅱ）*11221(,2)(1)2(1)2nnn n n n a a n N n a a --=++∈≥⇒+=++*(,2)n N n ∈≥1111122n n n n a a --++⇒=+*(,2)n N n ∈≥---------------------------------------------------------5分 1111122n n n n a a --++⇒-=*(,2)n N n ∈≥，令*1(1)()2n n nb a n N =+∈，则数列}{n b 成等差数列，所以1t =. ---------------------------------------------------------------------------------------------7分（Ⅲ））}{n b 成等差数列，1(1)n b b n d =+-321(1)22n n +=+-=.121(1)22n n n n b a +=+=； 得1(21)21n n a n -=+⋅-*()n N ∈.--------------------------------------------------------------8分n S =21315272(21)2n n n -⋅+⋅+⋅+++⋅- -----------①2n S =23325272(21)22nn n ⋅+⋅+⋅+++⋅- --------------------② ① - ② 得213222222(21)2n n n S n n --=+⋅+⋅++⋅-+⋅+233222(21)2nnn n =++++-+⋅+ 14(12)3(21)212n n n n --=+-+⋅+-=(21)21nn n -+⋅+-.所以(21)21nn S n n =-⋅-+*()n N ∈-------------------------------------------------------------12分.解法二：（Ⅱ）))((21*N n t a b n nn ∈+=且数列}{n b 成等差数列，所以有1()n n b b +-*()n N ∈为常数. 11111()()22n n n n n n b b a t a t +++-=+-+*()n N ∈1111(221)()22n n n n n a t a t ++=+++-+*()n N ∈111112222n n n n n n t ta a ++=++--*()n N ∈ 1112n t+-=+*()n N ∈，要使1()n n b b +-*()n N ∈为常数.需1t =.---------------------------------7分21. （本题小满分12分）已知A 为椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上的一个动点，弦AB 、AC分别过焦点F 1、F 2，当AC 垂直于x 轴时，恰好有13||||21：：=. （Ⅰ）求椭圆离心率；（Ⅱ）设F AF B F AF 222111λλ==,试判断21λλ+是否为定值？若是定值，求出该定值并证明；若不是定值，请说明理由.解：（Ⅰ）当AC 垂直于x 轴时，a b 22||=，13||||21：：=，∴ab 213||=∴a ab 242=，∴222b a =，∴22c b =，故22=e .-----------------------------------------3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得椭圆的方程为22222b y x =+，焦点坐标为)0,(),0,(21b F b F -.①当弦AC 、AB 的斜率都存在时，设),(),,(),,(221100y x C y x B y x A ，则AC 所在的直线方程为)(00b x bx y y --=， 代入椭圆方程得0)(2)23(20200202=--+-y b y b x by y bx b .∴02222023bx b y b y y --=，--------------------------------------------------------------5分F AF 222λ=，bx b y y 020223-=-=λ.--------------------------------------------------7分 同理bx b 0123+=λ，∴621=+λλ------------------------------------------------------9分 ②当AC 垂直于x 轴时，则bbb 23,112+==λλ，这时621=+λλ； 当AB 垂直于x 轴时，则5,121==λλ，这时621=+λλ.综上可知21λλ+是定值 6.---------------------------------------------------------------12分22. （本题小满分14分）已知0>a ，）1ln(12)(2+++-=x x ax x f ，l 是曲线)(x f y =在点))0(,0(f P 处的切线.（Ⅰ）求l 的方程；（Ⅱ）若切线l 与曲线)(x f y =有且只有一个公共点，求a 的值；（Ⅲ）证明对任意的n a =)(*N n ∈，函数)(x f y =总有单调递减区间，并求出)(x f 单调递减区间的长度的取值范围.（区间],[21x x 的长度=12x x -）解：（Ⅰ）1)0(),1ln(12)(2=+++-=f x x ax x f ,11)22(21122)(2'+--+=++-=x x a ax x ax x f , 1)0('=f ，切点)1,0(P ，l 斜率为1-.∴切线l 的方程：1+-=x y ------------------------------------------------------３分（Ⅱ）切线l 与曲线)(x f y =有且只有一个公共点等价于方程1)1ln(122+-=+++-x x x ax 有且只有一个实数解.令)1ln()(2++-=x x ax x h ，则0)(=x h 有且只有一个实数解.---------------------------4分 ∵0)0(=h ，∴0)(=x h 有一解0=x .------------------------------------------------------5分1)]121([21)12(21112)(2'+--=+-+=++-=x a x ax x xa ax x ax x h --------------------------------６分 ①)(),1(01)(,212'x h x x x x h a ->≥+==在),1(+∞-上单调递增， ∴0=x 是方程0)(=x h 的唯一解；------------------------------------------------------7分 ②0)(,210'=<<x h a ，0121,021>-==ax x∴0)11ln(11)1(,0)0()121(2>++-⨯==<-a a aa a h h a h ， ∴方程0)(=x h 在),121(+∞-a上还有一解.故方程0)(=x h 的解不唯一；--------------------8分③当0)(,21'=>x h a ，)0,1(121,021-∈-==ax x∴0)0()121(=>-h ah ，而当1->x 且x 趋向-1时，)1ln(,12++<-x a x ax 趋向∞-，)(x h 趋向∞-. ∴方程0)(=x h 在)1211(--a，上还有一解.故方程0)(=x h 的解不唯一.综上，当l 与曲线)(x f y =有且只有一个公共点时，21=a .-------------------------10分（Ⅲ）11)22(2)(2'+--+=x x a ax x f ；∵,1->x ∴0)('<x f 等价于01)22(2)(2<--+=x a ax x k .∵0)1(48)22(22>+=+-=∆a a a ，对称轴12121422->+-=--=aa a x ，011202(2)1(>=---=-a a k ，∴0)(=x k 有解21,x x ，其中211x x <<-.∴当),(21x x x ∈时，0)('<x f .所以)(x f y =的减区间为],[21x x22122121211214)222(4)(aa a a x x x x x x +=⨯+--=-+=---------------------------12分 当)(*N n n a ∈=时，区间长度21211n x x +=-21112=+≤ ∴减区间长度12x x -的取值范围为)2,1(--------------------------------------------------14分。
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求 f ( x, y ) .
六.（12 分）有一形状为 x 2 + y 2 ≤ z ≤ 1 的均匀物体放置在水平的桌面上，当物体处于 稳定平衡状态时，问物体的轴线与桌面的夹角 θ 是多少？
y ,η = x − y 为新的变量，改变方程 x
x2
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + 2 xy + y 2 2 = 0 的形式. ∂x 2 ∂x∂y ∂y
四.（14 分）（1）求 f ( x ) =
x 2 ( x − 3)
( x − 1) (1 − 3x )
3
的幂级数展开式，指其收敛域.
（2）判断级数 ∑
C
y = 2 x − x 上从 A(2, 0) 到 O (0, 0) 的一段弧.
2
二、证明题（每题 10 分，共 20 分） 1、设数列 { xn } 为： x1 = 3, x2 = 3 − 3 , 数列 { xn } 收敛，并求极限.
xn + 2 = 3 − 3 + xn , ( n = 1, 2, , n ) ，求证
f ′(0) .
sin x f ( x ) ) = 2 ，求 f (0) 及 + x x2
2、 z = z ( x, y ) 由方程 x 2 + y 2 + z 2 = xyf ( z 2 ) 确定，f 可微， 设 计算 x
∂z ∂z + y （化成最简形式） . ∂x ∂y
3、求 ∫02
π
dx . 1 + tan1993 x
an (1 + a1 )(1 + a2 )
(1 + an )
（其中正数列 {an } 单调递增）的敛散性.
第4页 （共 4 页） 五．（12 分）设 Σ 为 x 2 + y 2 + z 2 = 1( z ≥ 0 ) 的外侧，连续函数 f ( x, y ) 满足 f ( x, y ) = 2 ( x − y ) + ∫∫ x ( z 2 + e z ) dydz + y ( z 2 + e z ) dzdx + ( zf ( x, y ) − 2e z )dxdy ，
南 京 航 空 航 天 大 学
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第五届全国大学生数学竞赛模拟测试二
考试时间：120 分钟 学院 题号 一 专业 二 三 学号 四 五 姓名 六 总分
得分 一．计算题（每题 6 分，共 30 分） 1、已知函数 f ( x) 在 x = 0 的某个邻域内有连续导数，且 lim( x →0
4、设函数 u = f (r ) 当 0 < r < +∞ 时连续二阶可导，且 f (1) = 0, f ′(1) = 1, 又 u = f ( x 2 + y 2 + z 2 ) 满 足方程
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + + = 0, 求 f (r ) 的表达式. ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
第2页 （共 4 页） 5 、 计 算 曲 线 积 分 I = ∫ (e x sin y − 2( x + y ))dx + (e x cos y − x)dy ， 其 中 C 为 曲 线
2、设 f ( x ) 在 [ a, b] 上具有连续的导数，求证 b b 1 max f ( x ) ≤ ∫a f ( x ) dx + ∫a f ′ ( x ) dx . a ≤ x ≤b b−a
第3页 （共 4 页） 三、（12 分）函数 u ( x, y ) 具有连续的二阶偏导数，算子 A 定义为 A ( u ) = x 1）求 A ( u − A ( u ) ) ；2）利用结论 1),以 ξ = ∂u ∂u +y ， ∂x ∂y