数学知识点人教A版高中数学必修四 2.4.2《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》教案-总结
人教新课标A版高中数学(必修4)2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 课件
二、基础知识讲解
c3o、s向ar量,br的夹角rar brr |a||b|
cos x1x2y1y2
x12y12 x22y22
随堂练习
r
rr
rr
3 、 已 知 向 量 a ( 1 ,1 ),2 a b (4 ,2 ),则 a 与 b 的
夹 角 为 ;
4
三、例题分析
例 1 、 已 知 A O B 中 ， O 为 原 点 ， A (2 ,2 ),B (,1 ) 且 A B O 是 钝 角 ， 求 的 取 值 范 围
ar1、 br数量|a r积||b 的r|定co义s
2、向量的模
r rr |a| aa
rr a•bx 1x 2y 1y2
r |a| x12y12
特 别 的 ， 若 A(x1,y1),B(x2,y2),则 uuur |AB| (x2x1)2(y2y1)2
随堂练习
u u u ru u u r u u u r
注：两个向量的数量积是否为零是判断相应的两条直 线是否垂直的重要方法之一。
如证明四边形是矩形，三角形的高，菱形对角 线垂直等。
三、例题分析 例2、已知A（1、2），B（2，3），C（2，5），试 判断ΔABC的形状，并给出证明。
u u u r u u u r 变 式 ： 在 R t A B C 中 ， A B ( 2 , 3 ) , A C ( 1 , k ) , 求 k 的 值
ar1、 br数量|a r积||b 的r|定co义s
rr a•bx 1x 2y 1y2
随堂练习
rr
1 、 已 知 向 量 a (1 ,3 ),b (2 ,5 ),则
rr
rr rr
a b 17 ;(a b )(2 a b ) 8 .
高中数学人教A版必修4讲义：第二章 2.4 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角含答案
2．4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角预习课本P106～107，思考并完成以下问题(1)平面向量数量积的坐标表示是什么？(2)如何用坐标表示向量的模、夹角、垂直？[新知初探]1．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示已知两个非零向量，向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.数量积两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b＝x1x2＋y1y2向量垂直a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0[点睛]记忆口诀：数量积的坐标表示可简记为“对应相乘计算和”．2．与向量的模、夹角相关的三个重要公式(1)向量的模：设a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.(2)两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2.(3)向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量的模等于向量坐标的平方和．()(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.()(3)若两个非零向量的夹角θ满足cos θ＜0，则两向量的夹角θ一定是钝角．()答案：(1)×(2)×(3)×2．已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，则a·b的值是()A．23B．7C．－23D．－7答案：D3．已知向量a＝(x－5,3)，b＝(2，x)，且a⊥b，则由x的值构成的集合是() A．{2,3} B．{－1,6} C．{2} D．{6}答案：C4．已知a＝(1，3)，b＝(－2,0)，则|a＋b|＝________.答案：2平面向量数量积的坐标运算[典例](1)(全国卷Ⅱ)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝()A．－1B．0C．1 D．2(2)(广东高考)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝(1，－2)，AD＝(2,1)，则AD·AC＝()A．5 B．4C．3 D．2[解析](1)a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1.(2)由AC＝AB＋AD＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，得AD·AC＝(2,1)·(3，－1)＝5.[答案](1)C(2)A数量积坐标运算的两条途径进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．[活学活用]已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.(1)求向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(b·c)·a.解：(1)因为a与b同向，又b＝(1,2)，所以a＝λb＝(λ，2λ)．又a·b＝10，所以1·λ＋2·2λ＝10，解得λ＝2>0.因为λ＝2符合a与b同向的条件，所以a＝(2,4)．(2)因为b·c＝1×2＋2×(－1)＝0，所以(b·c)·a＝0·a＝0.向量的模的问题[典例] (1)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A. 5B.10 C ．2 5D ．10(2)已知点A (1，－2)，若向量AB 与a ＝(2,3)同向，|AB |＝213，则点B 的坐标是________．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ a ⊥c ，b ∥c ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －4＝0，2y ＋4＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.∴a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，a ＋b ＝(3，－1)． ∴|a ＋b |＝10.(2)由题意可设AB ＝λa (λ＞0)， ∴AB ＝(2λ，3λ)．又|AB |＝213，∴(2λ)2＋(3λ)2＝(213)2，解得λ＝2或－2(舍去)． ∴AB ＝(4,6)．又A (1，－2)，∴B (5,4)． [答案] (1)B (2)(5,4)求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算：利用|a |2＝a 2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题． (2)坐标表示下的运算：若a ＝(x ，y )，则a ·a ＝a 2＝|a |2＝x 2＋y 2，于是有|a |＝x 2＋y 2. [活学活用]1．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，0)，则|2a －b |的最大值为________． 解析：2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ)， |2a －b |＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ)2 ＝4cos 2θ－43cos θ＋3＋4sin 2θ ＝7－43cos θ，当且仅当cos θ＝－1时，|2a －b |取最大值2＋ 3. 答案：2＋32．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________.解析：∵a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，∴a·b ＝2×(－1)＋4×2＝6，∴c ＝a －(a·b )b ＝(2,4)－6(－1,2)＝(2,4)－(－6,12)＝(8，－8)，∴|c |＝82＋(－8)2＝8 2. 答案：82向量的夹角和垂直问题[典例] (1)已知a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，(a ＋λb )⊥b ，则实数λ＝________.(2)已知a ＝(2,1)，b ＝(－1，－1)，c ＝a ＋kb ，d ＝a ＋b ，c 与d 的夹角为π4，则实数k 的值为________．[解析] (1)∵a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)， ∴a ＋λb ＝(3－λ，2＋2λ)． 又∵(a ＋λb )⊥b ， ∴(a ＋λb )·b ＝0，即(3－λ)×(－1)＋2×(2＋2λ)＝0， 解得λ＝－15.(2)c ＝a ＋kb ＝(2－k,1－k )，d ＝a ＋b ＝(1,0)， 由cos π4＝22得(2－k )×1＋(1－k )×0(2－k )2＋(1－k )2·12＋02＝22，∴(2－k )2＝(k －1)2，∴k ＝32.[答案] (1)－15 (2)32解决向量夹角问题的方法及注意事项(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a ·b 以及|a ||b |，再由cos θ＝a ·b|a ||b |求出cos θ，也可由坐标表示cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22直接求出cos θ.由三角函数值cos θ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.(2)由于0≤θ≤π，利用cos θ＝a ·b|a ||b |来判断角θ时，要注意cos θ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；cos θ>0也有两种情况：一是θ为锐角，二是θ＝0.[活学活用]已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝(9，x )，c ＝(4，y )，且a ∥b ，a ⊥c . (1)求b 与c ；(2)若m ＝2a －b ，n ＝a ＋c ，求向量m ，n 的夹角的大小． 解：(1)∵a ∥b ，∴3x ＝4×9，∴x ＝12. ∵a ⊥c ，∴3×4＋4y ＝0，∴y ＝－3， ∴b ＝(9,12)，c ＝(4，－3)．(2)m ＝2a －b ＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)， n ＝a ＋c ＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)． 设m ，n 的夹角为θ， 则cos θ＝m ·n |m ||n |＝－3×7＋(－4)×1(－3)2＋(－4)272＋12＝－25252＝－22.∵θ∈[0，π]，∴θ＝3π4， 即m ，n 的夹角为3π4.求解平面向量的数量积[典例] 已知点A ，B ，C 满足|AB |＝3，|BC |＝4，|CA |＝5，求AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB 的值．[解] [法一 定义法]如图，根据题意可得△ABC 为直角三角形，且B ＝π2，cos A ＝35，cos C ＝45，∴AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝BC ·CA ＋CA ·AB＝4×5cos(π－C )＋5×3cos(π－A ) ＝－20cos C －15cos A ＝－20×45－15×35＝－25. [法二 坐标法]如图，建立平面直角坐标系， 则A (3,0)，B (0,0)，C (0,4)．∴AB ＝(－3,0)，BC ＝(0,4)，CA ＝(3，－4)．∴AB ·BC ＝－3×0＋0×4＝0，BC ·CA ＝0×3＋4×(－4)＝－16， CA ·AB ＝3×(－3)＋(－4)×0＝－9.∴AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝0－16－9＝－25. [法三 转化法]∵|AB |＝3，|BC |＝4，|AC |＝5， ∴AB ⊥BC ，∴AB ·BC ＝0，∴AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝CA ·(AB ＋BC ) ＝CA ·AC ＝－|AC |2＝－25.求平面向量数量积常用的三个方法(1)定义法：利用定义式a ·b ＝|a ||b |cos θ求解； (2)坐标法：利用坐标式a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2解题；(3)转化法：求较复杂的向量数量积的运算时，可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简，然后进行计算．[活学活用]如果正方形OABC 的边长为1，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，那么cos ∠DOE 的值为________．解析：法一：以O 为坐标原点，OA ，OC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则由已知条件，可得OD ＝⎝⎛⎭⎫1，12，OE ＝⎝⎛⎭⎫12，1. 故cos ∠DOE ＝OD ·OE |OD |·|OE |＝1×12＋12×152×52＝45.法二：∵OD ＝OA ＋AD ＝OA ＋12OC ，OE ＝OC ＋CE ＝OC ＋12OA ，∴|OD |＝52，|OE |＝52，OD ·OE ＝12OA 2＋12OC 2＝1， ∴cos ∠DOE ＝OD ·OE |OD ||OE |＝45.答案：45层级一 学业水平达标1．已知向量a ＝(0，－23)，b ＝(1，3)，则向量a 在b 方向上的投影为( ) A.3 B ．3 C ．－ 3D ．－3解析：选D 向量a 在b 方向上的投影为a·b |b |＝－62＝－3.选D.2．设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝( ) A. 5 B.10 C ．2 5 D ．10解析：选B 由a ⊥b 得a·b ＝0， ∴x ×1＋1×(－2)＝0，即x ＝2， ∴a ＋b ＝(3，－1)， ∴|a ＋b |＝32＋(－1)2＝10.3．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k ＝( ) A ．－12 B ．－6 C ．6D ．12 解析：选D 2a －b ＝(4,2)－(－1，k )＝(5,2－k )，由a ·(2a －b )＝0，得(2,1)·(5,2－k )＝0，∴10＋2－k ＝0，解得k ＝12.4．a ，b 为平面向量，已知a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( ) A ．865B ．－865 C ．1665D ．－1665解析：选C 设b ＝(x ，y )，则2a ＋b ＝(8＋x,6＋y )＝(3,18)，所以⎩⎪⎨⎪⎧8＋x ＝3，6＋y ＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝12，故b ＝(－5,12)，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝1665.5．已知A (－2,1)，B (6，－3)，C (0,5)，则△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形解析：选A 由题设知AB ＝(8，－4)，AC ＝(2,4)，BC ＝(－6,8)，∴AB ·AC ＝2×8＋(－4)×4＝0，即AB ⊥AC .∴∠BAC ＝90°， 故△ABC 是直角三角形．6．设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a|＝________. 解析：a ＋c ＝(3,3m )，由(a ＋c )⊥b ，可得(a ＋c )·b ＝0，即3(m ＋1)＋3m ＝0，解得m ＝－12，则a ＝(1，－1)，故|a |＝ 2. 答案：27．已知向量a ＝(1，3)，2a ＋b ＝(－1，3)，a 与2a ＋b 的夹角为θ，则θ＝________. 解析：∵a ＝(1，3)，2a ＋b ＝(－1，3)， ∴|a |＝2，|2a ＋b |＝2，a ·(2a ＋b )＝2， ∴cos θ＝a ·(2a ＋b )|a ||2a ＋b |＝12，∴θ＝π3.答案：π38．已知向量a ＝(3，1)，b 是不平行于x 轴的单位向量，且a·b ＝3，则向量b 的坐标为________．解析：设b ＝(x ，y )(y ≠0)，则依题意有⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，3x ＋y ＝3，解得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝32，故b ＝⎝⎛⎭⎫12，32.答案：⎝⎛⎭⎫12，329．已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R. (1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |. 解：(1)若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x ) ＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0，即x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3. (2)若a ∥b ，则1×(－x )－x (2x ＋3)＝0， 即x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2. 当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)， a －b ＝(－2,0)，|a －b |＝2.当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)， a －b ＝(2，－4)，|a －b |＝4＋16＝2 5. 综上，|a －b |＝2或2 5.10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1,4)，B (－2,3)，C (2，－1)． (1)求AB ·AC 及|AB ＋AC |；(2)设实数t 满足(AB －t OC )⊥OC ，求t 的值． 解：(1)∵AB ＝(－3，－1)，AC ＝(1，－5)， ∴AB ·AC ＝－3×1＋(－1)×(－5)＝2. ∵AB ＋AC ＝(－2，－6)， ∴|AB ＋AC |＝4＋36＝210.(2)∵AB －t OC ＝(－3－2t ，－1＋t )，OC ＝(2，－1)，且(AB －t OC )⊥OC ， ∴(AB －t OC )·OC ＝0，∴(－3－2t )×2＋(－1＋t )·(－1)＝0， ∴t ＝－1.层级二 应试能力达标1．设向量a ＝(1,0)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，12，则下列结论中正确的是( ) A ．|a |＝|b | B ．a ·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b解析：选C 由题意知|a |＝12＋02＝1，|b |＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫122＝22，a ·b ＝1×12＋0×12＝12，(a －b )·b ＝a ·b －|b |2＝12－12＝0，故a －b 与b 垂直． 2．已知向量OA ＝(2,2)，OB ＝(4,1)，在x 轴上有一点P ，使AP ·BP 有最小值，则点P 的坐标是( )A ．(－3,0)B ．(2,0)C ．(3,0)D ．(4,0)解析：选C 设P (x,0)，则AP ＝(x －2，－2)，BP ＝(x －4，－1)， ∴AP ·BP ＝(x －2)(x －4)＋2＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1， 故当x ＝3时，AP ·BP 最小，此时点P 的坐标为(3,0)．3．若a ＝(x,2)，b ＝(－3,5)，且a 与b 的夹角是钝角，则实数x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，103 B.⎝⎛⎦⎤－∞，103C.⎝⎛⎭⎫103，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫103，＋∞ 解析：选C x 应满足(x,2)·(－3,5)＜0且a ，b 不共线，解得x ＞103，且x ≠－65，∴x ＞103. 4．已知OA ＝(－3,1)，OB ＝(0,5)，且AC ∥OB ，BC ⊥AB (O 为坐标原点)，则点C 的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫－3，－294 B.⎝⎛⎭⎫－3，294 C.⎝⎛⎭⎫3，294 D.⎝⎛⎭⎫3，－294 解析：选B 设C (x ，y )，则OC ＝(x ，y )． 又OA ＝(－3,1)，∴AC ＝OC －OA ＝(x ＋3，y －1)． ∵AC ∥OB ，∴5(x ＋3)－0·(y －1)＝0，∴x ＝－3. ∵OB ＝(0,5)，∴BC ＝OC －OB ＝(x ，y －5)，AB ＝OB －OA ＝(3,4)． ∵BC ⊥AB ，∴3x ＋4(y －5)＝0，∴y ＝294， ∴C 点的坐标是⎝⎛⎭⎫－3，294. 5．平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝ma ＋b (m ∈R)，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.解析：因为向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，所以c ＝ma ＋b ＝(m ＋4,2m ＋2)，所以a ·c ＝m ＋4＋2(2m ＋2)＝5m ＋8，b·c ＝4(m ＋4)＋2(2m ＋2)＝8m ＋20.因为c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，所以c·a |c|·|a|＝c·b |c|·|b|，即a·c |a |＝b·c|b |，所以5m ＋85＝8m ＋2025， 解得m ＝2. 答案：26．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE ·CB 的值为______；DE ·DC 的最大值为______．解析：以D 为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示．则D (0,0)，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，设E (1，a )(0≤a ≤1)． 所以DE ·CB ＝(1，a )·(1,0)＝1，DE ·DC ＝(1，a )·(0,1)＝a ≤1， 故DE ·DC 的最大值为1.答案：1 17．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)．(1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标； (2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ. 解：(1)设c ＝(x ，y )，∵|c |＝25，∴x 2＋y 2＝25，∴x 2＋y 2＝20.由c ∥a 和|c |＝25，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 1·y －2·x ＝0，x 2＋y 2＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－4. 故c ＝(2,4)或c ＝(－2，－4)．(2)∵(a ＋2b )⊥(2a －b )，∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0，即2a 2＋3a ·b －2b 2＝0，∴2×5＋3a ·b －2×54＝0，整理得a ·b ＝－52， ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－1. 又θ∈[0，π]，∴θ＝π.8．已知OA ＝(4,0)，OB ＝(2,23)，OC ＝(1－λ)OA ＋λOB (λ2≠λ)．(1)求OA ·OB 及OA 在OB 上的投影；(2)证明A ，B ，C 三点共线，且当AB ＝BC 时，求λ的值；(3)求|OC |的最小值．解：(1)OA ·OB ＝8，设OA 与OB 的夹角为θ，则cos θ＝OA ·OB | OA ||OB |＝84×4＝12， ∴OA 在OB 上的投影为|OA |cos θ＝4×12＝2.(2)AB ＝OB －OA ＝(－2,2 3 )，BC ＝OC －OB ＝(1－λ)·OA －(1－λ)OB ＝(λ－1)AB ，所以A ，B ，C 三点共线． 当AB ＝BC 时，λ－1＝1，所以λ＝2. (3)|OC |2＝(1－λ)22OA ＋2λ(1－λ)OA ·OB ＋λ22OB＝16λ2－16λ＋16＝16⎝⎛⎭⎫λ－122＋12， ∴当λ＝12时，|OC |取到最小值，为2 3.。
人教A版数学必修四课件：第二章 平面向量 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
注意反向时系数 为负数，正向时
系数为正数
数量 积的 坐标 表示
1.知识结构 向量数量积公式
两点间距离公式
向量的模、夹角、垂直公式
2.三个重要公式 向量模公式：设 a (x1, y1), 则 a x12 y12
三
两点间距离公式：若 A(x1, y1), B(x2, y2 )，
(2)∵ a 与 b 的夹角为锐角，
∴cos θ>0，且 cos θ≠1，∴ a ·b >0 且 a 与 b 不同向． 因此 1＋2λ>0，∴λ>－12.又 a 与 b 共线且同向时，λ＝2. ∴ a 与 b 的夹角为锐角时，λ 的取值范围为－21，2∪(2，
＋∞)．
【方法规律】 1．两非零向量夹角 θ 的范围满足 0°≤θ≤180°，
【即时训练】
已知向量 , , BA
=
1 2
,
3
2
BC
=
3 2
,
1 2
则∠ABC= ( A )
A.30° B.45° C.60° D.120°
例 2 . 设 a ( 5 , 7 ) ,b ( 6 , 4 ) ,求 a b , a 与 b 间 的 夹 角
法；因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
优等生经验谈：听课时应注意学习老师解决问题的思考方法。同学们如果理解了老师的思路和过程，那么后面的结论自然就出现了，学习起来才能够举 一反三，事半功倍。
2019/7/8
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人教A版高中数学必修四2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
探究点二 平面向量模的坐标形式及两点间的距离公式
思考1 若a＝(x，y)，如何计算向量的模|a|? 答 ∵a＝xi＋yj， ∴a2＝(xi＋yj)2＝(xi)2＋2xyi·j＋(yj)2 ＝x2i2＋2xy i·j＋y2j2. 又∵i2＝1，j2＝1，i·j＝0， ∴a2＝x2＋y2，∴|a|2＝x2＋y2， ∴|a|＝ x2＋y2.
呈重点、现规律
1.向量的坐标表示简化了向量数量积的运算.为利用向量法解决 平面几何问题以及解析几何问题提供了完美的理论依据和有力 的工具支持. 2.应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长 度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学 问题的能力.
3.注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可 以对比学习、记忆.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).则a∥b⇔x1y2－ x2y1＝0，a⊥b⇔x1b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|＝ ___8___2__. 解析 ∵a＝(2,4)，b＝(－1,2)，∴a·b＝2×(－1)＋4×2＝6， ∴c＝a－6b，∴c2＝a2－12a·b＋36b2＝20－12×6＋36×5＝128. ∴|c|＝8 2.
y2之间的关系如何？反之成立吗？
答 a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
思考2 设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与
b的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？
答
cos θ＝|aa|·|bb|＝
x1x2＋y1y2 .
x21＋y21· x22＋y22
3 例如，(1)若a＝(3,0)，b＝(－5,5)，则a与b的夹角为___4_π____. (2)已知A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则△ABC的形状是_____直__角_三 角形.
人教A版高中数学高一必修4第二章2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
量为 ( 1 , 1 )或(- 1 , - 1 )
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7、RtABC 中，AB (2,3) ，AC (1,k ) ，则k的
值为 ① A = 90o时k = - 2 3
② B = 90o时k = 11
3
③C = 90o时k = 3 13
2
8、以原点和A（5，2）为两个顶点作等腰 直角三角形OAB，B=90，求点B的坐标.
a b ab = 0
设a =（x1 , y1 ), b = (x2 , y 2 ), 则 a b x1x2 + y1y2 = 0
（2）平行
若a =（x1 , y1 ), b = (x2 , y 2 ), 则 a//b x1y2 - x2y1 = 0.
4、两向量夹角公式的坐标运算
设a与b的夹角为θ（0o θ 180o），
AB AC = 1(-3) + 1 3 = 0
AB AC
∴△ABC是直角三角形.
例4:求a = ( 3 - 1, 3 + 1)与向量的夹角为45°的
单位向量．
解： 设所求向量为 b = (cosα,sinα)
∵ a 与 b 成45° ∴ a b = 2 8 = 2 2
另一方面 ( 3 1)cos ( 3 1)sin 2
(2)已知a = (2, 3),b = (-2, 4),求（a + b）（ a - b）.
解： 法一：a + b = (0, 7),a - b = (4, -1) （a + b）（ a - b）= 0 4 + 7 (-1) = -7.
法二
:
(a
+
b）（ a
-
b）=
2
人教A版高中数学必修四2-4-2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角牛老师
已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，则a·b的值是( )
A．23
B．7
C．－23
D．－7
[答案] D
设a＝(2,1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角θ为锐角．求λ的取 值集合．
[答案] {λ|λ>－12，且λ≠2}
[解析]
Байду номын сангаас
cosθ＝|aa|··b|b|＝
2λ＋1 5· λ2＋1
∵θ为锐角，有0<cosθ<1，
∴0<
2λ＋1 5· λ2＋1<1.
∴22λλ＋ ＋11<>0，5· λ2＋1，
解得λ>－12， λ≠2.
解法二：∵a＝(2，－1)，b＝(3，－2)， ∴3a－b＝(6，－3)－(3，－2)＝(3，－1)， a－2b＝(2，－1)－(6，－4)＝(－4,3)． ∴(3a－b)·(a－2b)＝3×(－4)＋(－1)×3 ＝－15.
命题方向2 求向量的夹角
(1)已知a＝(1， 3)，b＝( 3＋1， 3－1)，求a与b 的夹角；
►Suffering is the most powerful teacher of life. 苦难是人生最伟大的老师。 ►For man is man and master of his fate. 人就是人，是自己命运的主人。 ►A man can't ride your back unless it is bent. 你的腰不弯，别人就不能骑在你的背上。
人教A版高中数学必修四2.4.2《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》PPT课件
证明:AB (2 1,3 2) (1,1)C(-2,5)
AC (2 1,5 2) (3,3)
B(2,3)
AB AC 1 (3) 1 3 0
A(1,2)
AB AC
x
三角形ABC 是直角三角形.
0
练习2：以原点和A（5，2）为两 个顶点作等腰直角三角形OAB， B=90，求点B的坐标.
4、两向量夹角公式的坐标运算
设a与b的夹角为（0 180）， 则cos a b
ab
设a （x1, y1), b (x2, y2 ),且a与b夹角为， (0 180 )则cos x1x2 y1 y2 .
x12 y12 x22 y22 其中 x12 y12 0，x22 y22 0.
一、复习引入
(1)a b a b cos
2
(2)a a a 或 a
a a；
a b a b 0; cos a b .
ab
我们学过两向量的和与差可以转 化为它们相应的坐标来运算,那么怎 样用 a和b的坐标表示a b呢？
二、新课学习
1、平面向量数量积的坐标表示
如图，i是x轴上的单位向量， j是y
a b (x1i y1 j) (x2i y2 j)
2
2
x1x2 i x1 y2 i j x2 y1i j y1 y2 j
x1x2 y1 y2
故两个向量的数量积等于它们对应
坐标的乘积的和。即
y A(x1,y1)
a b x1x2 y1 y2. B(x2,y2) a
bj
oi x
4
求k的值.
答案：（1）b (3 , 4)或b ( 3 , 4).
55
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（2）（ 2，2 2）或（ 2， 2 2）；（3）k 5.
高一数学(新人教A版必修4)考点清单《2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角命题方向数量积的坐标运算、已知向量∥，＝()，·＝.()求向量的坐标．()若、同向，＝(，－)，求(·)·，(·)·.[解析]()设＝(，)，∴·＝＋.∵∥，∴＝.由(\\(＝，＋＝，))解得(\\(＝，＝))或(\\(＝－，＝－.))∴＝()或＝(－，－)．()∵、同向，∴＝()．∴(·)·＝[×＋×(－)]·＝·＝.(·)·＝(＋×)·＝·(，－)＝(，－)．、已知＝(，－)，＝(，－)，求(－)·(－)．[分析]先求出·，，，再对(－)·(－)展开求解．[解析]解法一：因为·＝×＋(－)×(－)＝，＝＋(－)＝，＝＋(－)＝，所以(－)·(－)＝－·＋＝×－×＋×＝－.解法二：∵＝(，－)，＝(，－)，∴－＝(，－)－(，－)＝(，－)，－＝(，－)－(，－)＝(－)．∴(－)·(－)＝×(－)＋(－)×＝－.命题方向求向量的夹角、()已知＝(，)，＝(＋，－)，求与的夹角；()已知()，()，(－)，求证△是锐角三角形．[解析]()解：由＝(，)，＝(＋，－)，得·＝＋＋×(－)＝，＝，＝. 设与的夹角为θ，则θ＝＝，又≤θ≤π，所以θ＝.()证明：由条件得＝()，＝(－)，＝(，－)，因为·＝－＋＝－<，所以、的夹角是钝角，从而∠为锐角．同理∠，∠也为锐角，所以△是锐角三角形．、设＝(，－)，＝()，若＋与的夹角为°，求实数的值．[解析]＋＝(，－)＋()＝(＋，－)．(＋)·＝(＋，－)·()＝＋.＋＝＝.由(＋)·＝＋°，得＋＝·，即＋－＝.∴＝－或＝，经检验＝－不合题意，舍去，∴＝.命题方向利用平行、垂直求参数、在△中，＝()，＝(，)，且△的一个内角为直角，求的值．[解析]当∠＝°时，·＝，∴×＋×＝.∴＝－.当∠＝°时，·＝，＝－＝(－，－)＝(－，－)，∴×(－)＋×(－)＝.∴＝.。
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2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
教学目的：
1.掌握平面向量数量积运算规律；
2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；
3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.
教学重点：平面向量数量积及运算规律.
教学难点：平面向量数量积的应用
教学过程：
一、复习引入：
1．平面向量数量积（内积）的定义：
2．两个向量的数量积的性质： 设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量.
1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ； 2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 0
3︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2
或a a a ⋅=||
4︒cos θ =
||||b a b a ⋅ ； 5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b | 3．练习：
（1）已知|a |=1，|b |=2，且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ）
A.60° B .30° C.135° D.４５°
（2）已知|a |=2，|b |=1，a 与b 之间的夹角为
3π，那么向量m =a -4b 的模为（ ） A.2 B .2
3 C.6 D.12 二、讲解新课：
探究：已知两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，怎样用a 和b 的坐标表示b a ⋅？.
1、平面两向量数量积的坐标表示 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即b a ⋅2121y y x x += 2. 平面内两点间的距离公式
（1）设),(y x a =，则222||y x a +=或22||y x a +=.
（2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，
那么221221)()(||y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式)
3． 向量垂直的判定
设),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⊥ ⇔02121=+y y x x
4． 两向量夹角的余弦（πθ
≤≤0） co s θ =||||b a b a ⋅⋅222221212
121y x y x y y x x +++=
二、讲解范例：
例1 已知A (1， 2)，B (2， 3)，C (-2， 5)，试判断△ABC 的形状，并给出证明.
例2 设a = (5， -7)，b = (-6， -4)，求a ·b 及a 、b 间的夹角θ(精确到1o )
分析：为求a 与b 夹角，需先求a ·b 及｜a ｜·｜b ｜，再结合夹角θ的范围确定其值.
例3 已知a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１），则a 与b 的夹角是多少?
分析：为求a 与b 夹角，需先求a ·b 及｜a ｜·｜b ｜，再结合夹角θ的范围确定其值.
解：由a ＝（１，
3），b ＝（3＋１，3－１） 有a ·b ＝3＋１＋3（3－１）＝４，｜a ｜＝２，｜b ｜＝２2．
记a 与b 的夹角为θ，则ｃｏｓθ＝22=⋅⋅b a b a 又∵０≤θ≤π，∴θ＝4
π 评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.
三、课堂练习：1、P107面1、2、3题
2、已知A (3，2)，B (-1，-1)，若点P (x ，-
21)在线段AB 的中垂线上，则x = . 四、小结： 1、b a ⋅2121y y x x +=
2、平面内两点间的距离公式 221221)()(||y y x x a -+-=
3、向量垂直的判定：
设),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⊥ ⇔02121=+y y x x
五、课后作业：《习案》作业二十四。
思考： 1、如图，以原点和A (5， 2)为顶点作等腰直角△OAB ，使∠B = 90︒，求点B 和向量AB 的坐标.
解：设B 点坐标(x ， y )，则OB = (x ， y )，AB = (x -5， y -2)
∵OB ⊥AB ∴x (x -5) + y (y -2) = 0即：x 2 + y 2
-5x - 2y = 0 又∵|OB | = |AB | ∴x 2 + y 2 = (x -5)2 + (y -2)2
即：10x + 4y = 29 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧==-==⇒⎩⎨⎧=+=--+27
2323272941002522112
2y x y x y x y x y x 或
∴B 点坐标)23,27
(-或)27,23(；AB =)27,23(--或)2
3,27(- 2 在△ABC 中，AB =(2， 3)，AC =(1， k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 值. 解：当A = 90︒时，AB ⋅AC = 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k =2
3- 当B = 90︒时，AB ⋅BC = 0，BC =AC -AB = (1-2， k -3) = (-1， k -3)
∴2×(-1) +3×(k -3) = 0 ∴k =311
当C = 90︒时，AC ⋅BC = 0，∴-1 + k (k -3) = 0 ∴
k =2133±。