高三数学040
高三数学复习教案 第四章《三角函数》(新人教版必修4)40
∴2︒正确解二：对于1︒取x 1=-6π，x 2=3π则有f (x 1)=f (x 2)=0但x 1-x 2不是π的整数倍∴1︒不正确对于2︒ ∵sin(2x+3π)=cos(2x+3π-2π)=cos(2x-6π) 故2︒正确对于3︒点x,y 关于点(-6π,0)的对称点是(-3π-x,-y)，设点A(x,y)是函数y=f (x )的图象上任一点，则由y=4sin(2x+3π)得-y=-4sin(2x+3π)=4 sin(-2x -3π)=4sin[2(-x -3π)+3π]即点A 关于点(-6π,0)的对称点(-3π-x,-y)也在函数y=f (x )的图象上，该函数关于点(-6π,0)对称 故3︒正确对于4︒，点A(0,4sin 3π)是函数y=f (x )的图象上的点，它关于直线x=-6π的对称点为A’(-3π,4sin 3π) 由于f (-3π)=4sin(-32π+3π)=-4sin 3π≠4sin3π∴点A’不在函数y=f (x )的图象上 ∴4︒不正确8．如图半⊙O 的直径为2，A 为直径MN 延长线上一点，且OA=2，B 为半圆周上任一点，以AB 为边作等边△ABC (A 、B 、C 按顺时针方向排列)问∠AOB 为多少时，四边形OACB 的面积最大？这个最大面积是多少？ 解：设∠AOB=θ 则S △AOB =sin θ S △ABC =243AB作BD ⊥AM, 垂足为D, 则BD=sin θ OD=-AD=2-cos θ∴22222)cos 2(sin ϑϑ-+=+=AD BD AB=1+4-4cos θ=5-4cos θ∴S △ABC =43(5-4cos θ)=ϑcos 3435- 于是S 四边形OACB =sin θ-3cos θ+435=2sin(θ-3π∴当θ=∠AOB=65π时四边形OACB 9．如果函数y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=-8π对称，那么a 等于……（D ）(A)2(B)1(C)- 2(D)-1解一：（特殊值法） 点(0,0)与点(-4π,0)关于直线x=-8π对称 ∴f (0)=f (-4π)A即sin0+acos0=sin(-2π)+acos(-2π) ∴a=-1解二：（定义法）∵函数图象关于直线x=-8π对称∴sin2(-8π+x)+acos2(-8π+x)= sin2(-8π-x)+acos2(-8π-x)∴2cos4πsin2x=-2asin 4πsin2x ∴a=-1解三：（反推检验法）当a=2时y=sin2x+2cos2x ∴y max =3 y min =-3 而当x=-8π时 y=1-22≠±3 可排除A ，同理可排除B 、C 10．函数f (x )=Msin(ωx+φ) (ω>0)在区间[a,b]上是增函数，且f (a )=M ，f (b )=-M则函数g (x )= Mcos(ωx+φ))在区间[a,b]上……………………………（C ） (A)是增函数 (B)是减函数 (C)可取得最大值M (D)可取得最小值-M 解一：由已知M>0 -2π+2k π≤ωx+φ≤2π+ (k ∈Z)∴有g (x )在[a,b]上不是增函数也不是减函数，且 当ωx+φ=2k π时 g (x )可取得最大值M 解二：令ω=1, φ=0 区间[a,b]为[-2π,2π] M=1则g (x )为cosx ，由余弦函数g (x )=cosx 的性质得最小值为-M 。
2024年辽宁省高考数学模拟试题04(解析版)
2024年高考数学模拟试题04（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I 卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．某同学坚持夜跑锻炼身体，他用手机记录了连续10周每周的跑步总里程（单位：千米），其数据分别为17，21，15，8，9，13，11，10，20，6，则这组数据的75%分位数是（）A ．12B ．16C ．17D ．18.5【答案】C【分析】将数据从小到大排列，再根据百分位数计算规则计算可得.【详解】依题意这10个数据从小到大排列为：6，8，9，10，11，13，15，17，20，21，又1075%7.5⨯=，所以75%分位数为从小到大排列的第八个数，即为17.故选：C 2．若复数()412i 34iz +=+，则z =（）AB C ．5D ．253．2022年北京冬奥会期间，主办方需从3名高三学生、2名高二学生、1名高一学生中随机抽取两名学生参加接待外宾活动．若抽取的两名学生中必须有一名高三学生，则另一名是高二或高一学生的概率为（）A ．34B ．14C ．25D ．354．已知双曲线()22:10,0x y E a ba b-=>>的左、右焦点分别为12,,F FP 为E 上一点，且124PF PF b +≥，则E的离心率的取值范围为（）A ．B ．2⎤⎦C ．(D ．⎛ ⎝⎦5．已知数列{}n a 满足110a =，2110n n a a +=，若10110s t a a a ⋅=，则s t +的最大值为（）A ．10B ．12C ．16D ．186．已知函数()23log f x x =，正数,a b 满足()()310f a f b +-=，则ab+的最小值为（）A ．6B ．8C ．12D ．247．已知三棱锥,A BCD AB BC E-==为BC中点，A BC D--为直二面角，且AED∠为二面角A BC D--的平面角，三棱锥A BCD-的外接球O表面积为84π5，则平面BCD被球O截得的截面面积及直线AD与平面BCD所成角的正切值分别为（）A．4π5B．4π,55C．16π,55D．16π,55过F 作平面BCD 的垂线，过两垂线的交点即为三棱锥A 则四边形OHEF 是矩形，OF 连接,OB BF ，设BCD △外接圆半径设球O 半径为OB R =，因为球8．某地计划对如图所示的半径为a 的直角扇形区域ABC 按以下方案进行扩建改造，在扇形ABC 内取一点P使得BP =，以BP 为半径作扇形PBE ，且满足22PBE PBC θ∠=∠=，其中0π02θθ<≤<，0cos θ=则图中阴影部分的面积取最小值时θ的大小为（）A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
浙江省台州市2020届高三下学期4月教学质量评估数学试题 Word版含解析
台州市2020年4月高三年级教学质量评估试题数学一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}1,2,3,4,5U =，若集合{}1,2,3A =，{}3,4B =，则()UA B =（ ）A. ∅B. {}4C. {}3D. {}3,4,5【答案】B 【解析】 【分析】先求出{}4,5U C A =,再求(){}4U C A B ⋂=，从而得到答案.【详解】由全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,2,3A =,得{}4,5U C A =. 又{}3,4B =，则(){}4U C A B ⋂= 故选：B【点睛】本题考查求集合的补集和交集运算，属于基础题.2.已知复数z 满足()34i i z -=（其中i 为虚数单位），则z =（ ） A. 25 B. 125C. 5D.15【答案】D 【解析】 【分析】由()34i i z -=先求出复数z ，再求z . 【详解】由()34i i z -=,得()()()344334343425i i i i z i i i +-+===--+ 则224351+=2525255z -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故选：D【点睛】本题考查复数的除法运算和求模长，属于基础题. 3.已知a ，b ∈R ，则“33a b <”是“33a b <”的（ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】由函数33，x y y x ==在R 上是单调递增函数，则3333a b a a b b ⇔<<⇔<可得答案. 【详解】由函数33，x y y x ==在R 上是单调递增函数，所以3333a b a a b b ⇔<<⇔<即当33a b <时，33a b <成立，反之当33a b <时，33a b <成立 所以“33a b <”是“33a b <”的充要条件. 故选：C【点睛】本题考查函数的单调性的应用和充要条件的判断，属于基础题.4.若实数x ，y 满足12,325,x y x y ≤+≤⎧⎨≤+≤⎩则3x y +的最大值为（ ）A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】C 【解析】 【分析】由条件12,325,x y x y ≤+≤⎧⎨≤+≤⎩作出可行域，目标函数中z 表示直线3y x z =-+在y 轴上的截距，根据可行域可以得到直线3y x z =-+在y 轴上截距的最大值，从而得到答案.【详解】由条件12,325,x y x y ≤+≤⎧⎨≤+≤⎩作出可行域，如图.由13=2x y x y =+⎧⎨+⎩得点()2,1A -, 由15=2x y x y=+⎧⎨+⎩得点()4,3B -由23=2x y x y =+⎧⎨+⎩得点()1,1C , 由25=2x y x y =+⎧⎨+⎩得点()3,1D -设目标函数z 3x y =+，则变形为3y x z =-+.所以目标函数中z 表示直线3y x z =-+在y 轴上的截距.根据可行域，可得当直线3y x z =-+过点()4,3B -时，在y 轴上的截距最大. 所以z 的最大值为343=9⨯- 故选：C【点睛】本题考查简单的线性规划问题，注意目标函数的几何意义，属于中档题. 5.函数()y f x =的部分图象如图所示，则（ ）A. ()()()1112121x f x x x =+++-B. ()()()1112121x f x x x =-++-C. ()()()1112121x f x x x =+-+-D. ()()()1112121x f x x x =--++-【答案】A 【解析】【分析】由函数图象的对称性可得，函数为奇函数，再根据当0x >且0x →时，()0f x >，可得答案.【详解】由函数图象的对称性可得，函数()y f x =为奇函数.在选项C 中，()()()21111121211f x x x x x x =+-=-+--,()()111122+2323f f -=--≠-=-不是奇函数，所以排除.在选项D 中，()()()21111121211x x x x f x x=--+=-+--,()()11112+23223f f -=≠-=-不是奇函数，所以排除.在选项B 中. ()()()()2211112121111x x x x x x x x f x =-+=-=+---()()()211x x f x f x -==---是奇函数,由()()211x f x x =-，当0x >且0x →时，()0f x <，不满足条件，所以排除.故选：A【点睛】本题考查根据函数图象选择解析式，考查函数的基本性质，注意在选择题中排除法的应用，属于中档题.6.已知数列{}n a 满足：()1211n n n a a n +++-=（n *∈N ），若65a =，则1a =（ ） A. 26- B. 0C. 5D. 26【答案】B 【解析】 【分析】 由递推关系()1211n n n a a n +++-=得21224k k a a k +-=，()222+212+14412k k k k a a k +==+++，将两式相减得22241k k a a k ++=+，由65a =可得44a =，从而得出21a =，进一步得到答案.【详解】由()1211n n n a a n +++-=，当2,n k k Z =∈时，有21224k k a a k +-=……………①当21,n k k Z =+∈时，有()222+212+14412k k k k a a k +==+++……………② 由②－①可得22241k k a a k ++=+所以当2k =时有：649a a +=，又65a =，则44a = 当1k =时有：425a a +=，则21a = 又当1n =时，211a a +=，所以10a =. 故选：B【点睛】本题考查递推数列，由递推数列的递推关系求数列中的项，属于中档题. 7.5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+⎪⎝⎭.它表示：在受噪声干挠的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比.按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN从1000提升至2000，则C 大约增加了（ ） A. 10% B. 30%C. 50%D. 100%【答案】A 【解析】 【分析】由C 大约增加的百分比为()()()22222log 12000log 110001+log 11lg 2log 11000lo 10001000g 3W W W +-+≈-=+，再根据113411lg10lg 2lg1043=<<=，可以估算出答案. 【详解】当1000SN=时，()2log 11000C W =+ 当2000SN=时，()2log 12000C W =+ 则()()()222222220log 12000log 11000log 1+log 111lg 2log 11000log log 011000100110003W W W +-+=-≈-=+又113411lg10lg 2lg1043=<<=，根据选项分析，1lg 20.13≈所以信噪比SN从1000提升至2000，则C 大约增加了10%. 故选：A【点睛】本题考查一个量的增加的百分比的计算方法，考查估算法，属于中档题.8.已知1F ，2F 分别为双曲线221916x y -=的左右焦点，以2F 为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，该圆与双曲线在第一象限的交点为P ，则12F PF ∆的面积为（ ）A. 166B. 6C. 86D. 46【答案】C 【解析】 【分析】根据条件可得24PF =，由双曲线的定义可得110PF =，又1210F F =，所以12F F P 为等腰三角形，可求出其面积.【详解】双曲线221916x y -=的渐近线方程为43y x =±.则焦点()25,0F 到渐近线的距离为2245434d ⨯==+因为以2F 为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，所以4r = 所以24PF =,由双曲线的定义有110PF = 又1210F F =所以12F F P 为等腰三角形，则边2PF ==所以121=42F PF S ∆⨯⨯= 故选：C【点睛】本题考查双曲线的基本性质，求三角形的面积，属于中档题.9.平面向量a ，b ，c ，d 满足2a b -=，3b c -=，4c d -=，5d a -=，则()()a c b d -⋅-=（ ）A. 14-B. 14C. 7-D. 7【答案】D 【解析】 【分析】由()()a cb d a bcd c b a d -⋅-=⋅+⋅-⋅-⋅，将2a b -=，3b c -=，4c d -=，5d a -=，分别平方，然后结合所求可得出答案.【详解】()()a cb d a bcd c b a d -⋅-=⋅+⋅-⋅-⋅由2a b -=可得2224a a b b -⋅+=……………①3b c -=可得2229b b c c -⋅+=……………② 4c d -=可得22216c c d d -⋅+=……………③ 5d a -=可得22225d d a a -⋅+=……………④由②+④-(①+③) 可得()214a b c d c b a d ⋅+⋅-⋅-⋅=所以()()a cb d -⋅-=7 故选: D【点睛】本题考查数量积的运算法则，向量模的处理技巧，属于中档题.10.已知函数()2f x x px q =++，满足022p p f ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭，则（ ）A .函数()()y ff x =有2个极小值点和1个极大值点B. 函数()()y f f x =有2个极大值点和1个极小值点C. 函数()()y ff x a =-有可能只有一个零点D. 有且只有一个实数a ，使得函数()()y f f x a =-有两个零点【答案】A 【解析】 【分析】()()()()222f f x x px q p x px q q =++++++,则()()2222p h x x p x px q ⎛⎫'=++++ ⎪⎝⎭，由022p p f ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭，方程202p x px q +++=有两个不等实数根12,x x ，则设122p x x <-<，可得出函数()()ff x 的单调性，从而可判断出答案.【详解】设()()()()()222h x ff x xpx q p x px q q ==++++++所以()()()()()22222222p h x x px qx p p x p x p xpx q ⎛⎫'=+++++=++++⎪⎝⎭设()22pg x x px q =+++，由022p pf ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭. 所以0222p p pg f ⎛⎫⎛⎫-=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为二次函数()g x 的开口向上，对称轴方程为2p x =-. 所以方程202p x px q +++=有两个不等实数根12,x x ，则设122px x <-<. 则令()0h x '>可得12px x <<-或2x x >.令()0h x '<可得22px x -<<或1x x <.所以函数()()()h x ff x =在()1，x -∞上单调递减，在12，p x ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在22，px ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在()2+，x ∞上单调递增. 又当,x →+∞x →-∞时，()()+ff x →∞，又221122022p p x px q x px q +++=+++=，所以2211222p x px q x px q ++=++=- 由()()()()222ff x x px q p x px q q =++++++，所以()()()()12=f f x f f x所以()()()()()()12=ff x f f x f f x ≥根据单调性可知，函数()()f f x 有2个极小值点和1个极大值点，所以选项A 正确，B 不正确.根据函数的单调性，可画出函数()()f f x 的大致草图如下.当()()1a f f x <时，函数()()y f f x a =-没有零点 当()()1a f f x =时，函数()()y f f x a =-有两个零点当()()12p ff x a f f⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，函数()()y f f x a =-有四个零点 当2p a f f ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，函数()()y f f x a =-有三个零点 当2p a f f ⎛⎫⎛⎫>- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭时，函数()()y f f x a =-有两个零点 由上可知选项C,D 都不正确. 故选：A【点睛】本题考查函数的极值的个数的判断和零点个数的判断，属于难题. 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.在二项式()61x -的展开式中，含3x 项的系数为______；各项系数之和为______.（用数字作答）【答案】 (1). 20- (2). 0 【解析】【分析】二项式()61x -的展开式中的通项公式为()r+16rrT C x =-，可得含3x 项的系数，令1x =可得各项系数之和.【详解】二项式()61x -的展开式中的通项公式为()r+16rr T C x =- 所以含3x 项的系数为()336120C -=-设()62601261x a a x a x a x -=++++令1x =得()60126110a a a a -=++++=所以各项系数之和为0故答案为：(1). 20- (2). 0【点睛】本题考查二项式定理的指定项的系数和所有项的系数之和，属于基础题. 12.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则它的体积是______.93【解析】 【分析】由三视图可知，原几何体为四棱锥,根据锥体的体积公式可求出答案. 【详解】由三视图可知，原几何体为如图所示的四棱锥. 将该四棱锥补成三棱柱，则该三棱柱为正三棱柱过点B 作BO AC ⊥ 交AC 于点O ，则由正三棱柱的性质可得BO ⊥平面1ACC D 则33BO =所以11243393 =3332V Sh+=⨯⨯⨯=故答案为：93 2【点睛】本题考查根据三视图求原几何体的体积问题，属于中档题.13.某同学从家中骑自行车去学校，途中共经过6个红绿灯路口.如果他恰好遇见2次红灯，则这2次红灯的不同的分布情形共有______种：如果他在每个路口遇见红灯的概率均为13，用ξ表示他遇到红灯的次数，则()Eξ=______.（用数字作答）【答案】 (1). 15 (2). 2【解析】【分析】从经过的6个红绿灯路口中取出2个，即2615C=,他遇到红灯的次数ξ满足二项分布，可得答案.【详解】他恰好遇见2次红灯的不同的分布情形共有2615C=他遇到红灯的次数ξ值为0,1,2,3,4,5,6.他在每个路口遇见红灯的概率均为13,他遇到红灯的次数ξ满足二项分布.即163，Bξ⎛⎫⎪⎝⎭所以()1623Eξ=⨯=故答案为：(1). 15 (2). 2【点睛】本题考查组合问题和将实际问题转化为二项分布并求期望，属于中档题.14.如图，过1,0A ，10,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭两点的直线与单位圆221x y +=在第二象限的交点为C ，则点C 的坐标为______；9sin 4AOC π⎛⎫∠-= ⎪⎝⎭______.【答案】 (1). 34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ (2). 210【解析】 【分析】 过1,0A ，10,2B ⎛⎫⎪⎝⎭两点的直线方程为21x y +=，将直线方程与圆的方程联立可求出点C 的坐标，利用三角函数的定义有4sin 5y AOC r ∠==，3cos 5x AOC r ∠==-，利用诱导公式和正弦的差角公式可得9sin sin cos cos sin 444AOC AOC AOC πππ⎛⎫∠-=∠-∠ ⎪⎝⎭，可得出答案. 【详解】过1,0A ，10,2B ⎛⎫⎪⎝⎭两点的直线方程为21x y +=. 则由22211x y x y +=⎧⎨+=⎩有2540y y -=，解得45y =或0y =(舍) 由21x y +=得431255x =-⨯=- 所以点C 的坐标为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭根据三角函数的定义有4sin 5y AOC r ∠==，3cos 5x AOC r ∠==- 所以9sin sin sin cos cos sin 4444AOC AOC AOC AOC ππππ⎛⎫⎛⎫∠-=∠-=∠-∠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4355⎛⎫=-=⎪⎝⎭故答案为：10【点睛】本题考查直线与圆联立求交点，考查三角函数的定义和诱导公式、正弦函数的差角公式，属于中档题.15.若函数()2lg ,0,2,0,x x f x x x x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩则f f ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______；不等式()()1f x f x +≥的解集为______.【答案】 (1). 34(2). [)30,2⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】由1lg 10102f ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭，则可求出10f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.分段将函数()1f x +，()f x 表达式代出来，然后分段打开绝对值求解.【详解】由12f ==-⎝⎭所以2111322224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭当0x >时，()()()1lg 1lg f x x x f x +=+≥=，显然成立. 当0x =时，()()()1lg 010f x f x +=+≥=，显然成立.当10x -<<时，()()1lg 10f x x +=+<，()220f x x x =+>，此时无解.当1x ≤-时,()222f x x x x x =+=-+, ()()21213f x x x x x +=+=-++由()()1f x f x +≥，即()132x x x x ++≤+. 当3x ≤-时，即()()()132x x x x -++≤-+，解得32x ≥-，所以不成立. 当32x -<<-时，即()()()132x x x x ++≤-+x ≤≤所以此时满足条件的x2x ≤<-, 当21x -≤≤-时,即()()()132x x x x ++≤+，解得32x ≤-， 所以此时满足条件的x 范围是322x -≤≤-综上所述，不等式()()1f x f x +≥的解集为[)30,2⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦.故答案为：[)333,0,422⎡⎤+--+∞⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查求函数值和解含绝对值的不等式，解含绝对值的不等式关键是打开绝对值符号，本题还可以结合函数的图象求解，属于中档题.16.在等差数列{}n a 中，若2211910a a +=，则数列{}n a 的前10项和10S 的最大值为______.【答案】25 【解析】 【分析】 由101109102S S a d ⨯==+，有14510S d a -=，所以1913510S d a +=，代入2211910a a +=，因为{}n a 为等差数列，则其公差d 一定存在，即关于公差d 的方程一定有解.根据0∆≥可得到答案.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d .101109102S S a d ⨯==+，则11094510210S d S a ⨯-=+= 所以1911351810S da a d +=+=由2211910a a +=，得()()()2222222211921804513545135100100100S Sd d S d S d a a +++-++=+= 即2224510+180+210000d Sd S ⨯-= (*)因为{}n a 为等差数列，则其公差d 一定存在，即关于公差d 的方程(*)一定有解. 所以()()22218044510210000S S ∆=-⨯⨯⨯-≥整理即2625S ≤,即25S ≤所以数列{}n a 的前10项和10S 的最大值为25. 故答案为：25【点睛】本题考查等差数列的性质，考查方程思想，属于中档题.17.如下图①，在直角梯形ABCD 中，90ABC CDB DAB ∠=∠=∠=，30BCD ∠=，4BC =，点E 在线段CD 上运动.如下图②，沿BE 将BEC △折至BEC '△，使得平面BEC '⊥平面ABED ，则AC '的最小值为______.【答案】1943- 【解析】 【分析】过点C 作CO BE ⊥交BE 于O ,由平面BEC '⊥平面ABED ，则CO ⊥平面ABED .设C BE α'∠=，060α︒≤≤︒,sin 4sin C O C B αα''==，cos 4cos BO C B αα'==,在三角形AOB中,2222cos AO BO AB BO AB ABO=+-⋅∠,则所以2222216sin 16cos 343sin 2AC C O AO ααα''=+=++-，可得出答案.【详解】由90ABC CDB DAB ∠=∠=∠=，30BCD ∠=，则2,1,3BD AD AB === 过点C 作CO BE ⊥交BE 于O ,由平面BEC '⊥平面ABED ，则CO ⊥平面ABED . 设C BE α'∠=，060α︒≤≤︒则在直角三角形C OB '中，sin 4sin C O C B αα''==，cos 4cos BO C B αα'==在三角形AOB 中, 2222cos AO BO AB BO AB ABO =+-⋅∠216cos 324cos cos 2πααα⎛⎫=+-⨯- ⎪⎝⎭216cos 32αα=+-所以2222216sin 16cos 32AC C O AO ααα''=+=++-192α=-由060α︒≤≤︒，所以当45α=︒时，2AC '有最小值19-所以AC '【点睛】本题考查线面垂直的应用，考查余弦定理解三角形，考查空间线段的长度的最值.属于难题.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.已知函数()22cos cos sin x x x f x x =--.（1）求函数()f x 的最小正周期和最大值； （2）问方程()23f x =在区间11,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有几个不同的实数根？并求这些实数根之和. 【答案】（1）T π=，最大值2；（2）4个不同的实数根，之和为103π【解析】 【分析】(1)将函数()f x 化简得()2sin 26x f x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，再根据周期公式求最小周期，利用三角函数的有界性求最大值. (2)作出函数()f x 在区间11,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的大致图像，可得方程的实数根的个数，再根据对称性可求出这些实数根之和.【详解】（1）因为()cos 222sin 26x x x y f x π⎛⎫==--⎝=⎪⎭，所以22T ππ==， 当2262x k ππ-=π-，k ∈Z ，即6x k ππ=-，k ∈Z 时， 函数()y f x =取得最大值2. （2）由2262x k ππ-=π-，k ∈Z ，可得函数()f x 的对称轴为26k x ππ=-，k ∈Z ， 26x π-2ππ32π 2πx12π3π 712π 56π 1312πy-11作出函数()f x 在11,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的大致图象如下，所以方程()23f x =在区间11,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上共有4个不同的实数根， 且这些实数根关于56x π=对称，所以实根之和103π. 【点睛】本题考查正弦函数的周期性、最值，正弦函数的图象的对称性，属于中档题. 19.如图，ABC 与等边ABD △所在的平面相互垂直，//DE BC ，M 为线段AD 中点，直线AE 与平面CBM 交于点N .22BC BA DE ===，90ABC ∠=.（1）求证：平面CBMN ⊥平面ADE ； （2）求二面角B CN A --的平面角的余弦值. 【答案】（1）见解析；（22【解析】 【分析】(1)由条件可得BC ⊥平面ABD ，则BC AD ⊥，又ABD △为等边三角形可得BM AD ⊥，从而可得AD ⊥平面CBMN ，从而得证. (2)由条件可得DE 平面CBMN ，即得到DEBCMN ，所以N 为AE 的中点，以AB中点O 为坐标原点，,OB OD 为,x z 轴建立空间直角坐标系,用向量法求二面角的余弦值. 【详解】（1）证明：因为平面ABC ⊥平面ABD ，且两平面交于AB ，90ABC ∠=， 所以BC ⊥平面ABD ，则BC AD ⊥.又因为ABD △为等边三角形，M 为线段AD 中点， 所以BM AD ⊥. 因为BCBM B =，所以AD ⊥平面CBMN ，因为AD ⊂平面ADE ，所以平面CBMN ⊥平面ADE（2）解：因为DE BC ∥，DE ⊄平面CBMN ，且BC ⊂平面CBMN ， 所以DE 平面CBMN ，因为平面ADE 平面CBMN MN =，所以DEBCMN ，所以N 为AE 的中点.以AB 中点O 为坐标原点，,OB OD 为,x z 轴，建立空间直角坐标系，如图.根据已知可得：()1,0,0A -，()1,2,0C -，113,,222N ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,3D ， 所以()2,2,0AC =-，113,,222AN ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面ACN 的法向量()1,,n x y z =，由110,0,AC n AN n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得220,1130,222x y x y z -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 取1x =，则1y =，0z =，所以平面ACN 的一个法向量()11,1,0n =， 由（Ⅰ）得AD ⊥平面CBMN ，所以平面CBMN 的一个法向量(23n AD ==， 设二面角B CN A --的大小为θ，所以11222cos 22n n n n θ⋅===⋅ 所以二面角B CN A --的平面角的余弦为24. 【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查求二面角平面角的余弦值，求二面角的平面角多用向量法，属于中档题.20.已知数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且()134n n S a =+，2211n n nS b S -=+.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求证：1117714n n T n <<+. 【答案】（1）113n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2121113173n n n b --+=-；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）由n a 与n S 的递推关系()134n n S a =+可求出113n n a a -=-，得到数列{}n a 是等比数列，从二得到答案.（2）由2121113173n n n b --+=-,知17n b >，故17n T n >,又()21212121212118811141333117777121377733n n n n n n n b ------+-=-=<=⋅-⎛⎫-- ⎪⎝⎭,从而可证11714n T n <+.【详解】（1）解：因为()134n n S a =+，令1n =得11a =， 当2n ≥时，由()134n n S a =+，()11134n n S a --=+两式相减得()()1113344n n n a a a -=+-+，即113n n a a -=-，由此可知数列{}n a 是首项1为公比为13-的等比数列，故113n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭.所以()1131134443n n n S a -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，21222111131173n n n n n S b S --+-==+-.（2）证明：由2121113173n n n b --+=-,结合不等式的性质有212121111133177723n n n n b ---++=>>- 知17n b >，故17n T n >,又()21212121212118811141333117777121377733n n n n n n n b ------+-=-=<=⋅-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以12321111411177721333n n b b b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+-<⋅++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为3211111133113339819n n -⎛⎫++⋯+=⋅-< ⎪⎝⎭-，所以1431721814n T n -<⋅=， 综上，1117714n n T n <<+.【点睛】本题考查求数列的通项公式，利用放缩法证明数列不等式的问题，属于中档题.21.如图，已知椭圆1C ：22221y x a b +=（0a b >>）的离心率为22，并以抛物线2C ：28x y=的焦点F 为上焦点.直线l ：y kx m =+（0m >）交抛物线2C 于A ，B 两点，分别以A ，B 为切点作抛物线2C 的切线，两切线相交于点P ，又点P 恰好在椭圆1C 上.（1）求椭圆1C 的方程； （2）求mk 的最大值；（3）求证：点F 恒在AOB 的外接圆内.【答案】（1）22184y x +=；（2）22；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）由条件有()0,2F ，即2c =，由离心率可得22a =b ，得到椭圆方程.(2) 设()11,A x y ，()22,B x y ,将直线方程与抛物线方程联立，写出韦达定理，PA ：求出直线PA 的方程21148x x y x =-，同理可得PB ：22248x x y x =-，可得到1212,28x x x x P +⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据点P 在椭圆，得到22328m k +=，利用均值不等式可到答案.(3) 因为过原点O ，所以可设AOB 的外接圆方程为220x y Dx Ey +++=,将()11,A x y ，()22,B x y 坐标代入圆的方程，求出288E k m =---，将点()0,2F 代入外接圆方程可得()22428816212k m k m -++=---，从而可证.【详解】【详解】（1）解：由已知得()0,2F ，所以2c =，又因为c e a ==，所以a = 所以椭圆1C 的方程为22184y x +=.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由直线l ：y kx m =+（0m >）与抛物线2C ：28x y =方程联立可得2880x kx m --=，所以121228,8,64320,x x k x x k m +=⎧⎪=-⎨⎪∆=+>⎩因为4x y '=，所以PA ：()211184x x y x x -=-，即PA ：21148x x y x =-，同理可得PB ：22248x x y x =-，由直线PA 的方程与直线PB 的方程联立有2222114848x x y x x xy x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，可得122x x x += 将122x x x +=代入直线21148x x y x =-可得128x x y =所以1212,28x x x x P +⎛⎫⎪⎝⎭，即()4,P k m -， 因为点P 在椭圆22184y x +=上，所以2216184m k +=，即22328m k +=.因为2232m k +≥， 所以当2m =，k =mk（3）证法：因为过原点O ，所以可设AOB 的外接圆方程为220x y Dx Ey +++=，由已知可得2211112222220,x y Dx Ey x y Dx Ey ⎧+++=⎨+++=⎩ 故()()4422122122221221121221212212211221648x x x x x x x x x x y x x x y x E x x x x x y x y --++-+==-- ()331222121212218888x x x x x x x x x x --+++==---， 所以288E k m =---，将点()0,2F 代入外接圆方程可得()22428816212k m k m -++=---，因为0m >，所以2162120k m ---<， 所以点F 恒在AOB 的外接圆内. 证法二：设AOB 的外心为(),Q Q Q x y ，由已知可得OA 的中垂线为21118162x x y x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即31118416x x y x x +=+， 同理OB 的中垂线为32228416x x y x x +=+，联立可得()()33121212416Q x x x x y x x --=+-所以()22222121212113444161624Q x y x x x x x x ⎡⎤⎛⎫=+++=+++>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 又因为()2222Q Q x y FQ =+-，2222Q QR OQ x y ==+， 所以FQ OQ R <=，所以点F 恒在AOB 的外接圆内.【点睛】本题考查求椭圆的方程，抛物线的切线问题和椭圆、抛物线中的最值问题，圆与点的位置关系的证明，属于难题.22.已知函数()2e xf x x =-，()g x ax =.（1）求证：存在唯一的实数a ，使得直线()y g x =与曲线()y f x =相切； （2）若[]1,2a ∈，[]0,2x ∈，求证：()()2e 6f xg x -≤-.（注：e 2.71828=为自然对数的底数.）【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）曲线()y f x =在()(),t f t 处的切线为()()()22tty e te t x t --=--，所以()()2e 2,e e 2,t t ta t t t t ⎧=-⎪⎨--=--⎪⎩只需证明()21e 0t t t --=有唯一解即可. (2) 要证()()2e 6f x g x -≤-，即证2226e e e 6x x ax -≤--≤-,设()2e xax F x a =--，即()()22226e 1e 66e 2e 6F F ⎧-≤≤-⎪⎨-≤≤-⎪⎩，只要证明()()221e 626e F F ⎧≤-⎪⎨≥-⎪⎩，然后构造函数，讨论单调性，分析函数的最值，即可证明.【详解】证明：（1）由()e 2xf x x '=-知，在()(),t f t 处的切线为()()()22t t y e t e t x t --=--，当该直线为y ax =时，可得()()2e 2,e e 2,t t ta t t t t ⎧=-⎪⎨--=--⎪⎩所以()21e 0tt t --=，所以1t >，令()()21e th t t t =--，则当1t >时，()()e 20th t t '=->，所以()h t 在()1,t ∈+∞单调递增，而()110h =-<，()22e 40h =->，所以存在唯一的实数t （()1,2t ∈），使得()0h t =，相应的e 2t a t =-也是唯一的，即存在唯一-的实数a ，使得直线()y g x =与曲线()y f x =相切. （2）要证()()2e 6f xg x -≤-，即证2226e e e 6x x ax -≤--≤-，令()2e xax F x a =--，对于确定的x ，()F a 是一次函数，只要证明，()()22226e 1e 6,6e 2e 6,F F ⎧-≤≤-⎪⎨-≤≤-⎪⎩注意到对于同一[]0,2x ∈，()()12F F ≥，所以只要证明()()221e 6,26e ,F F ⎧≤-⎪⎨≥-⎪⎩①② 先证明①：记()()21e xG x F x x ==--，则()e 21xx G x '=--，令e 21xy x =--，因为e 2xy '=-，所以ln 20x y '⇒>>，由此可知()G x '在区间[]0,ln 2递减，在区间[]ln 2,2递增. 又因为()00G '=，()ln2e2l 2l n 10n 2G =--<'，()22e 50G '=->，所以，在区间[]ln 2,2上存在唯一实数0x ，使得()00G x '=. 故在区间[]00,x ，()G x 递减，在区间[]0,2x ，()G x 递增. 于是()()(){}2max max 0,2e 6G x G G ==-.①得证.再证明②：记()()22e 2xH x F x x ==--，当[]0,1x ∈时，利用不等式e 1x x ≥+得，()()22221111116e x x x x H x x --=--+≥--=->-≥+；当[]1,2x ∈时，利用不等式2e 12xx x ≥++（0x ≥）得()()2121e e e e e 11222x x x x -⎛⎫-⋅≥⋅+-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，于是()()222e e e e 2122222x x x x x H x ⎛⎫⎛⎫≥++--=--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中二次函数()2e e 1222x x x ϕ⎛⎫=--+⎪⎝⎭开口向上，对称轴为222x e =>-，当[]1,2x ∈时，()x ϕ最小值()e e 5e41822224ϕ⎛⎫=--+=- ⎪⎝⎭，所以()()()226e H x x ϕϕ≥≥>-. 综上，不等式①②均成立.所以，当[]0,2x ∈，对任意的[]1,2a ∈，总有()()2e 6f xg x -≤-.【点睛】本题考查曲线的切线问题，根据单调性分析方程的解，考查不等式的证明问题，考查构造函数解决问题，属于难题.。
北京市达标名校2020年高考四月仿真备考数学试题含解析
北京市达标名校2020年高考四月仿真备考数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下图是民航部门统计的某年春运期间，六个城市售出的往返机票的平均价格（单位元），以及相比于上一年同期价格变化幅度的数据统计图，以下叙述不．正确的是（ ）A ．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高B ．天津的往返机票平均价格变化最大C ．上海和广州的往返机票平均价格基本相当D ．相比于上一年同期，其中四个城市的往返机票平均价格在增加 2．设()f x x =()00O ，，()01A ，，()()n A n f n ，，*n N ∈，设n n AOA θ∠=对一切*n N ∈都有不等式22223122222sin sin sin sin 123n nθθθθ+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ 222t t <--成立，则正整数t 的最小值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．63．等比数列{},n a 若3154,9a a ==则9a =（ ） A ．±6B ．6C ．-6D ．1324．已知数列{}n a 是公差为()d d ≠0的等差数列，且136,,a a a 成等比数列，则1a d=（ ） A ．4B ．3C ．2D ．15．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的左支交于不同的两点A ，B ，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（ ）． A ．103B ．62C ．33D 36．某人用随机模拟的方法估计无理数e 的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点1,0A 作x 轴的垂线与曲线xy e =相交于点B ，过B 作y 轴的垂线与y 轴相交于点C （如图），然后向矩形OABC 内投入M 粒豆子，并统计出这些豆子在曲线xy e =上方的有N 粒()N M <，则无理数e 的估计值是（ ）A ．NM N-B ．MM N-C ．M NN- D ．M N7．胡夫金字塔是底面为正方形的锥体，四个侧面都是相同的等腰三角形．研究发现，该金字塔底面周长除以2倍的塔高，恰好为祖冲之发现的密率355113≈π．设胡夫金字塔的高为h ，假如对胡夫金字塔进行亮化，沿其侧棱和底边布设单条灯带，则需要灯带的总长度约为A ．24(4h 2π+π+B ．216(2h π+π+C ．2(821)h π+π+D ．2(2216)h π+π+8．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点与圆M ：22(2)5x y -+=的圆心重合，且圆M 被双曲线的一条渐近线截得的弦长为2 ） A ．2B 2C 3D ．39．已知随机变量X 的分布列如下表： X1-0 1P ab c其中a ，b ，0c >.若X 的方差()13D X ≤对所有()0,1a b ∈-都成立，则（ ） A ．13b ≤B ．23b ≤C ．13b ≥D ．23b ≥10．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ）A ．53π B ．2πC ．52π D ．3π11．若双曲线222:14x y C m-=的焦距为45，则C 的一个焦点到一条渐近线的距离为（ ）A ．2B ．4C ．19D ．21912．已知i 为虚数单位，则()2312ii i +=-（ ） A ．7455i + B ．7455i - C ．4755i + D ．4755i - 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高三数学： 应用题
高三数学强化训练应用题（一）函数模型【例1】甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每小时可获得利润是3100(51)x x+-元.（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.【例2】在数学探究活动中，某兴趣小组合作制作一个工艺品，设计了如图所示的一个窗户，其中矩形ABCD 的三边AB ，BC ，CD 由长为8厘米的材料弯折而成，BC 边的长为2t 厘米(04t <<)；曲线AOD 是一段抛物线，在如图所示的平面直角坐标系中，其解析式为23x y =-，记窗户的高(点O 到BC 边的距离)为()f t .（1）求函数()f t 的解析式，并求要使得窗户的高最小，BC 边应设计成多少厘米？（2）要使得窗户的高与BC 长的比值达到最小，BC 边应设计成多少厘米？【例3】为减少人员聚集，某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式上班.分析显示，当S 中有()%0100x x <<的成员自驾时，自驾群体的人均上班路上时间为：()30,0301800290,30100x f x x x x <≤⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩，(单位：分钟)而公交群体中的人均上班路上时间不受x 的影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回家下列问题：（1）当x 取何值时，自驾群体的人均上班路上时间等于公交群体的人均上班路上时间？（2）已知上班族S 的人均上班时间计算公式为：()()()%50100%g x f x x x =⋅+-，讨论()g x 的单调性，并说明实际意义.(注：人均上班路上时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.)1、为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，聊城市环保部门近年来利用水生植物（例如浮萍、蒲草、芦苇等），对国家级湿地公园—东昌湖进行进一步净化和绿化．为了保持水生植物面积和开阔水面面积的合理比例，对水生植物的生长进行了科学管控，并于2020年对东昌湖内某一水域浮萍的生长情况作了调查，测得该水域二月底浮萍覆盖面积为245m ，四月底浮萍覆盖面积为280m ，八月底浮萍覆盖面积为2115m ．若浮萍覆盖面积y （单位：2m ）与月份x （2020年1月底记1x =，2021年1月底记13x =）的关系有两个函数模型(0,1)=>>x y ka k a 与2log (0)y m x n m =+>可供选择．（1）你认为选择哪个模型更符合实际？并解释理由；（2）利用你选择的函数模型，试估算从2020年1月初起至少经过多少个月该水域的浮萍覆盖面积能达到2148m ？（可能用到的数据：2log 15 3.9≈1.37≈66.72≈）2、2011年六月康菲公司由于机器故障，引起严重的石油泄漏，造成了海洋的巨大污染，某沿海渔场也受到污染.为降低污染，渔场迅速切断与海水联系，并决定在渔场中投放一种可与石油发生化学反应的药剂.已知每投放a (14a ≤≤，且a R ∈)个单位的药剂，它在水中释放的浓度y (毫克/升)随着时间x (天)变化的函数关系式近似为()y a f x =⋅，其中()()()161,04815,4102x x f x x x ⎧-≤≤⎪⎪-=⎨⎪-<≤⎪⎩，若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和.根据实验，当水中药剂的浓度不低于4(毫克/升)时，它才能起到有效治污的作用.称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于6(毫克/升)且不高于18(毫克/升)时称为最佳净化.（1）若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？（2）若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放a 个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试问a 的最小值(精确到0.1取近似值1.4).3、在研究某市交通情况时发现，道路密度是指该路段上一定时间内用过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量xq v =，x 为道路密度，q 车辆密度，(0,80]x ∈，且801100135(040,3(040)854080x x v k x x k ⎧-<<⎪=⎨⎪--+≤≤>⎩.（1）当交通流量95v>时，求道路密度x 的取值范围；（2）若道路密度80x =时，测得交通流量50v =，求出车辆密度q 的最大值.（二）三角模型【例4】某高档小区有一个池塘，其形状为直角ABC ，90C ∠=︒，2AB =百米，1BC =百米，现准备养一批观赏鱼供小区居民观赏．（1）若在ABC 内部取一点P ，建造APC 连廊供居民观赏，如图①，使得点P 是等腰三角形PBC 的顶点，且2π3CPB ∠=，求连廊AP PC +的长；（2）若分别在AB ，BC ，CA 上取点D ，E ，F ，建造DEF 连廊供居民观赏，如图②，使得DEF 为正三角形，求DEF 连廊长的最小值．r r rr l 【例5】如图，已知某市穿城公路MON 自西向东到达市中心O 后转向东北方向，34MON π∠=，现准备修建一条直线型高架公路AB ，在MO 上设一出入口A ，在ON 上设一出入口B ，且要求市中心O 到AB 所在的直线距离为10km.（1）求A ，B 两出入口间距离的最小值；（2）在公路MO 段上距离市中心O 点30km 处有一古建筑C （视为一点），现设立一个以C 为圆心，5km 为半径的圆形保护区，问如何在古建筑C 和市中心O 之间设计出入口A ，才能使高架公路及其延长线不经过保护区？【例6】某加油站拟造如图所示的铁皮储油罐（不计厚度，长度单位：米），其中储油罐的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，32-=r l （l 为圆柱的高，r 为球的半径，2l ≥）.假设该储油罐的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为c 千元，半球形部分每平方米建造费用为3千元.设该储油罐的建造费用为y 千元.（1）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域；（2）求该储油罐的建造费用最小时的r 的值.1、重庆、武汉、南京并称为三大“火炉”城市，而重庆比武汉、南京更厉害，堪称三大“火炉”之首.某人在歌乐山修建了一座避暑山庄O （如图）.为吸引游客，准备在门前两条夹角为6π（即AOB ∠）的小路之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知弓形花园的弦长3AB =且点A ，B 落在小路上，记弓形花园的顶点为M ，且6MAB MBA π∠=∠=，设OBA θ∠=.（1）将OA ，OB 用含有θ的关系式表示出来；（2）该山庄准备在M 点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何规划花园（即OA ，OB 长度），才使得喷泉M 与山庄O 距离即值OM 最大？2、某城市为发展城市旅游经济，拟在景观河道的两侧，沿河岸直线1l 与2l 修建景观路（桥），如图所示，河道为东西方向，现要在矩形区域ABCD 内沿直线将1l 与2l 接通，已知60m AB =，80m BC =，河道两侧的景观道路修建费用为每米1万元，架设在河道上方的景观桥EF 部分的修建费用为每米2万元.（1）若景观桥长90m 时，求桥与河道所成角的大小；（2）如何设计景观桥EF 的位置，使矩形区域ABCD 内的总修建费用最低？最低总造价是多少？3、如图是一段半圆柱形水渠的直观图，其横断面是所示的半圆弧ACB ，其中C 为半圆弧中点，渠宽AB 为2米.（1）当渠中水深CD 为0.4米时（D 为水面中点），求水面的宽;（2）若把这条水渠改挖（不准填上）成横断面为等腰梯形的水渠，使渠的底面与水平地面平行，则改挖后的水渠底宽为多少米时（精确到0.01米），所挖的土最少?（三）数列模型【例7】某公司自2020年起，每年投入的设备升级资金为500万元，预计自2020年起(2020年为第1年)，因为设备升级，第n年可新增的盈利()()5801,5100010.6,6n nn nan-⎧-≤⎪=⎨-≥⎪⎩(单位：万元)，求：（1）第几年起，当年新增盈利超过当年设备升级资金；（2）第几年起，累计新增盈利总额超过累计设备升级资金总额.【例8】某卫材公司年初投资300万元，购置口罩生产设备，立即投入生产，预计第一年该生产设备的使用费用为36万元，以后每年增加6万元，该生产设备每年可给公司带来121万元的收入.假设第n年该设备产生的利润（利润=该年该设备给公司带来的收入-该年的使用费用）为n a.（1）写出n a的表达式；（2）在该设备运行若干整年后，该卫材公司需要升级产品生产线，决定处置该生产设备，现有以下两种处置方案：①当总利润（总利润=各年的收入之和-各年的使用费用-购置口罩生产设备的成本）最大时，以7万元变卖该生产设备；②当年平均总利润最大时，以72万元变卖该生产设备.请你为该公司选择一个合理的处置方案，并说明理由.1、诺贝尔奖每年发放一次，把奖金总金额平均分成6份，奖励在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类做出最有贡献人．每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息用于增加基金总额，以便保证奖金数逐年递增．资料显示：1998年诺贝尔奖发奖后的基金总额(即1999年的初始基金总额)已达19516万美元，基金平均年利率为 6.24%r =．（1）求1999年每项诺贝尔奖发放奖金为多少万美元(精确到0.01)；（2）设n a 表示()1998n +年诺贝尔奖发奖后的基金总额，其中*n N ∈，求数列{}n a 的通项公式，并因此判断“2020年每项诺贝尔奖发放奖金将高达193.46万美元”的推测是否具有可信度．2、2019年9月1日，小刘从各个渠道融资30万元，在某大学投资一个咖啡店，2020年1月1日正式开业，已知开业第一年运营成本为6万元，由于工人工资不断增加及设备维修等，以后每年成本增加2万元，若每年的销售额为30万元，用数列{}n a 表示前n 年的纯收入．（注：纯收入=前n 年的总收入-前n 年的总支出-投资额）（1）试求年平均利润最大时的年份（年份取正整数）并求出最大值．（2）若前n 年的收入达到最大值时，小刘计划用前n 年总收入的13对咖啡店进行重新装修，请问：小刘最早从哪一年对咖啡店进行重新装修（年份取整数）？并求小刘计划装修的费用．。
2020年福建省福州市市第四十中学高三数学文测试题含解析
2020年福建省福州市市第四十中学高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在复平面内，复数对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限参考答案：B【分析】化简复数为的形式，然后判断复数的对应点所在象限，即可求得答案.【详解】对应的点的坐标为在第二象限故选：B.【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.2. 在区间上任选两个数和，则的概率为A. B. C. D.参考答案：D3. 如图所示，已知椭圆方程为，A为椭圆的左顶点，B、C在椭圆上，若四边形OABC为平行四边形，且，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．参考答案：C知的方程为，与联立，解得，可得，那么，则，则，那么．4. 设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，=16，，则（）A．8 B．4 C．2D．1参考答案：C略5.设数列的前项和为，，则称为数列的“理想数”，若数列的“理想数”为2008，那么数列的“理想数”为A、B、 C、D、参考答案：答案：D解析：∵数列的“理想数”为2008 ∴∴∴数列的“理想数”为故选D6. 复数等于（）A．l B． -1 C．i D．-i参考答案：C7. 命题，函数，则（）A．是假命题；，B．是假命题；，C．是真命题；，D．是真命题；，参考答案：D8. 已知全集U=R,集合P=｛x︱x2≤1｝,那么A．(-∞, -1) B．(1, +∞）C．(-1，1) D．（-∞，-1）∪(1，+∞）参考答案：D本题考查了集合的补集运算，容易题。
因为集合，所以，故选D。
9. 已知函数(a>0,a≠1)的图象如图所示，则a,b满足的关系是 ( ）A．0<a<b<1 B．0<b<a<1 C．0<a<1<b D．0<b<1<a参考答案：A10. 首项为1，公比为2的等比数列的前10项和A．1022 B．1023 C．1024 D．1025参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知复数（为虚数单位），则______________。
吉林省长春市第四十中学2020年高三数学理期末试卷含解析
吉林省长春市第四十中学2020年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合，则满足条件集合C的个数为（）A． 4 B． 3 C． 2 D．1参考答案：A由指数函数的性质可得集合，集合，满足条件集合为：，，共个，故选A.2. 在△ABC中，(＋)·＝||2，则△ABC的形状一定是A.等边三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形参考答案：D3. 若复数z满足iz=2+4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是( )A．（2，4）B．（2，﹣4）C．（4，﹣2）D．（4，2）参考答案：C考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由题意可得z=，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化为 4﹣2i，从而求得z对应的点的坐标．解答：解：复数z满足iz=2+4i，则有z===4﹣2i，故在复平面内，z对应的点的坐标是（4，﹣2），故选C．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．4. 已知集合,集合,则=（）A. B. C. D.参考答案：A5. 函数的零点个数为（）A.2B.3C.4D.5参考答案：B在同一坐标系内画出函数和的图象，可得交点个数为3. 故选B.6. 两个正数的等差中项是,等比中项是,且,则抛物线的焦点坐标( )(A) (B)(C) (D)参考答案：C略7. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于点两点，若，则PQ中点M到抛物线准线的距离为（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：C8. 设集合，B={x|1<x<5,x∈Ｒ}，若A B=，则实数a的取值范围是A. {a|0≤a≤6}B. {a|a≤2，或a≥4}C. {a|a≤0，或a≥6}D. {a|2≤a≤4}参考答案：C,因为，所以有或，即或，选C.9. 已知为常数，函数有两个极值点，则（）A. B.C. D.参考答案：D略10. 矩形ABCD中，AB=2，AD=2，点E、F分别为线段BC、CD边上的动点，且满足EF=1，则的最小值是（）A．12 B．16 C．20 D．24参考答案：A【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】如图所示，设E（2，a），F（b，2），由EF=1，利用两点之间的距离公式可得（a﹣2）2+（b﹣2）2=1，利用数量积运算可得=2b+2a，令a+b=t与圆的方程联立可得4b2﹣2tb+t2﹣4t+15=0．当直线a+b=t与圆有公共点时，△≥0，解出即可得出．【解答】解：如图所示，设E（2，a），F（b，2）．∵EF=1，∴（a﹣2）2+（b﹣2）2=1．∵=（2，a），=（b，2）∴=2b+2a，令2a+2b=t，联立，化为4b2﹣2tb+t2﹣4t+15=0．当直线a+b=t与圆有公共点时，△=12t2﹣16（t2﹣4t+15）≥0，解得t2﹣10t+60≤0，解得6≤t≤10．∴12≤≤20，∴的最小值为12．故选：A．【点评】本题考查了两点之间的距离公式、向量的数量积运算、直线与圆的位置关系，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在复平面内，复数z=1﹣2i对应的点到原点的距离是．参考答案：【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的几何意义、两点之间的距离公式即可得出．【解答】解：复数z=1﹣2i对应的点（1，﹣2）到原点的距离d==．故答案：．12. 设二次函数（为常数）的导函数为．对任意，不等式恒成立，则的最大值为________．参考答案：【知识点】二次函数的性质B5解析：∵f（x）=ax2+bx+c，∴f′（x）=2ax+b，∵对任意x∈R，不等式f（x）≥f′（x）恒成立，∴ax2+bx+c≥2ax+b恒成立，即ax2+（b﹣2a）x+（c﹣b）≥0恒成立，故△=（b﹣2a）2﹣4a（c﹣b）=b2+4a2﹣4ac≤0，且a＞0，即b2≤4ac﹣4a2，∴4ac﹣4a2＞0，∴c＞a＞0，∴，故≤===≤=2﹣2，故答案为：2﹣2【思路点拨】由已知可得ax2+（b﹣2a）x+（c﹣b）≥0恒成立，即△=（b﹣2a）2﹣4a（c﹣b）=b2+4a2﹣4ac≤0，且a＞0，进而利用基本不等式可得的最大值．13. 已知且，则___________．参考答案：14. 设满足约束条件，则的最大值是参考答案：115. 若函数f（x）=x2+ax﹣1是偶函数，则a= ．参考答案：考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题．分析：由偶函数的定义f（﹣x）=f（x）即可求得a的值．解答：解：∵f（x）=x2+ax﹣1是偶函数，∴f（﹣x）=f（x）．即（﹣x）2﹣ax﹣1=x2+ax﹣1，∴2ax=0，又x不恒为0，∴a=0．故答案为：0．点评：本题考查函数奇偶性的性质，利用偶函数的定义求得2ax=0是关键，属于基础题．16. 二维空间中圆的一维测度（周长），二维测度（面积），观察发现；三维空间中球的二维测度（表面积），三维测度（体积），观察发现．已知四维空间中“超球”的三维测度，猜想其四维测度_________．参考答案：试题分析：∵二维空间中圆的一维测度（周长），二维测度（面积），观察发现；三维空间中球的二维测度（表面积），三维测度（体积），观察发现．∴四维空间中“超球”的三维测度，猜想其四维测度，则；∴．考点：1．新定义问题；2．归纳推理；3．导数计算．17. 已知，则．参考答案：由已知-sinα=-2cosα，即tanα=2，则sin 2α+sin2α=.三、解答题：本大题共5小题，共72分。
吉林省长春市第四十中学高三数学理上学期期末试题含解析
吉林省长春市第四十中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），当x∈（﹣1，3]时，f（x）=，其中t＞0，若方程f（x）=恰有3个不同的实数根，则t的取值范围为（）A．（0，）B．（，2）C．（，3）D．（，+∞）参考答案：B【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的周期性．【分析】确定f（x）的周期为4，x∈（5，6）时，f（x）=t（x﹣5），x∈（6，7）时，f（x）=t（7﹣x），再利用t＞0，f（x）=恰有3个不同的实数根，可得t（2﹣1）＞，t（6﹣1）＜2，即可求出t的取值范围．【解答】解：由f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），故f（x）的周期为4，∵x∈（1，2）时，f（x）=t（x﹣1），x∈（2，3）时，f（x）=t（3﹣x），∴x∈（5，6）时，f（x）=t（x﹣5），x∈（6，7）时，f（x）=t（7﹣x），∵t＞0，f（x）=恰有3个不同的实数根，∴t（2﹣1）＞，t（6﹣1）＜2∴2＞t＞，故选：B．2. 等差数列的前n项和为，若为一确定常数，则下列各式也为确定常数的是（）A. B. C.D.参考答案：C3. 已知幂函数的图象经过点（4，2），则=（）A． B．4 C． D．参考答案：D4. 阅读如图的程序框图．若输入n=6，则输出k的值为( )A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：B考点：循环结构．专题：阅读型．分析：框图是直到型循环结构，输入n的值为6，给k的赋值为0，运行过程中n进行了4次替换，k 进行了3次替换．解答：解：当n输入值为6时，用2×6+1=13替换n，13不大于100，用0+1=1替换k，再用2×13+1=27替换n，27不大于100，此时用1+1=2替换k，再用27×2+1=55替换n，此时55不大于100，用2+1=3替换k，再用2×55+1=111替换n，此时111大于100，算法结束，输出k的值为3．故选B．点评：本题考查了程序框图中的直到型型循环结构，直到型循环结构是先执行在判断直到条件结束，循环结构主要用在一些规律的重复计算，如累加、累积等，在循环结构中框图中，特别要注意条件应用，如计数变量和累加变量等．5. 若某程序框图如图所示，则输出的n的值是（）A.43B. 44C. 45D. 46参考答案：C6. 若复数满足（其中是虚数单位），则的实部为（）（A）6 （B）1 （C）（D）参考答案：A 略7. 若执行右侧的程序框图，当输入的x的值为4时，输出的y的值为2，则空白判断框中的条件可能为（）A．x＞3 B．x＞4 C．x≤4D．x≤5参考答案：B【考点】EF：程序框图．【分析】方法一：由题意可知：输出y=2，则由y=log2x输出，需要x＞4，则判断框中的条件是x＞4，方法二：采用排除法，分别进行模拟运算，即可求得答案．【解答】解：方法一：当x=4，输出y=2，则由y=log2x输出，需要x＞4，故选B．方法二：若空白判断框中的条件x＞3，输入x=4，满足4＞3，输出y=4+2=6，不满足，故A错误，若空白判断框中的条件x＞4，输入x=4，满足4=4，不满足x＞3，输出y=y=log24=2，故B正确；若空白判断框中的条件x≤4，输入x=4，满足4=4，满足x≤4，输出y=4+2=6，不满足，故C错误，若空白判断框中的条件x≤5，输入x=4，满足4≤5，满足x≤5，输出y=4+2=6，不满足，故D错误，故选B．8. 已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，是上的点，且是的一条渐近线，则的方程为（A）（B）（C）或（D）或参考答案：A9. 已知函数f（x）=|log2|1﹣x||，若函数g（x）=f2（x）+af（x）+2b有6个不同的零点，则这6个零点之和为（）A．7 B．6 C．D．参考答案：B【考点】函数零点的判定定理．【分析】先作出函数f（x）=|log2|x﹣1||的图象，令t=f（x），方程[f（x）]2+af（x）+2b=0转化为：t2+at+2b=0，再方程[f（x）]2+af（x）+2b=0有6个不同的实数解，运用图象关于直线x=1对称，这6个解两两关于直线x=1对称，计算即可得到所求和．【解答】解：作出函数f（x）=|log2|x﹣1||的图象，可得图象关于直线x=1对称，∵函数g（x）=f2（x）+af（x）+2b有6个不同的零点，即方程[f（x）]2+af（x）+2b=0有6个不同的实数解，可得这6个解两两关于直线x=1对称，可得它们的和为2×3=6．故选：B．【点评】本题考查函数的零点个数问题的解法，注意运用函数的对称性，考查数形结合思想方法，属于中档题．10. 一个长方体截去两个三棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的三视图为参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知实数满足的最大值为；参考答案：略12. 在等差数列中，，，则等于．参考答案：13.若x、y满足,则的最大值为______________.参考答案：答案:814. 已知函数，若方程有且仅有两个解，则实数的取值范围是.参考答案：略15. 已知函数在内连续，则．参考答案：略16. 已知函数f （x ）=，若f （3﹣2a 2）＞f （a ），则实数a 的取值范围是 ． 参考答案：a ＞1或a ＜﹣．略17. 如图，过抛物线y 2=4x的焦点F 作直线与抛物线及其准线分别交于A ，B ，C 三点，若=4，则= ．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】分别过A ，F ，B 作准线的垂线，垂足分别为A 1，D ，B 1，利用相似三角形计算BB 1，AA 1即可得出AB=AA 1+BB 1．【解答】解：分别过A ，F ，B 作准线的垂线，垂足分别为A 1，D ，B 1， 则DF=p=2，由抛物线的定义可知BF=BB 1，AF=AA 1，∵=4，∴，∴BF=BB 1=．∴CF=4FB=6， ∴cos ∠DFC=，∴cos ∠A 1AC===，解得AF=3，∴AB=AF+BF=3+=． 故答案为：．三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
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三十一 高三理科数学总复习八十五(预习篇)
——数列的极限
【基础知识概要】
1．数列极限的概念
如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限地趋近于某个常数a ，那么就说数列}{n a 以a 为极限，或者说a 是数列}{n a 的极限. 记作：a a n n =∞
→lim . 说明：（1）“n a 无限地趋近于a ”的涵义是||a a n -无限趋近于零，更确切地说是||a a n -能够任意小，并且保持任意小.
（2）只有无穷数列才讨论它的极限，但并不是所有的无穷数列都有极限，有极限的无穷数列的极限只有一个.
（3）一个数列的极限是否存在，与这个数列前面的有限个项是什么数值无关，只与它后面无穷多项的变化趋势有关. 把数列}{n a 的各项表示在数轴上，设a 是数列}{n a 的极限，那么当n 无限增大时，数列}{n a 的第n 项n a 所表示的点无限地趋近点x =a .
2．几个常见的数列极限
（1）C C n =∞
→lim （C 是常数） （2）01lim =∞→k n n
（*∈N k ,k 是常数） （3）0lim =∞→n n a （a 为常数，|a |＜1)
注：当a =1时，1lim =∞→n n a ；当a =－1或|a |＞1时，n n a ∞
→lim 不存在. 【典型例题解析】
例1 设无穷数列n a 为：0，1，0，1，…，2
)1(1n
-+，…，其前n 项和为n S ；无穷数列}{n b 为：0，－1，0，－1，…，2
)1(1n
-+-，…，其前n 项和为n T ，则下列判断正确的是（ ） A ．数列}{n a 的极限是0和1 B ．数列}{n n b a +的极限不存在
C ．数列}{n S 的极限存在
D ．数列}{n T 的极限不存在
分析：首先求得}{n n b a +、}{n S 、}{n T ，然后逐一考察数列}{n a 、}{n n b a +、}{n S 、}{n T 的极限是否存在，从而得出结论.
解：随着n 无限增大，}{n a 的项始终在0和1两个数中摆动，不能无限趋近于一个常数，因此数列}{n a 的极限不存在，选项A 是错误的.
数列}{n n b a +为：0，0，0，…，0，…，极限存在，因此，选项B 也是错误的.
数列}{n S 是：0，1，1，2，2，3，3，…，显然它的极限不存在，因此，选项C 也是错误的.
数列}{n T 是：0，－1，－1，－2，－2，－3，…，它的极限不存在，答案为D.
评析：一个数列的极限如果存在，它的极限是唯一的，不能是两个或更多个. 两个数列}{n a 、}{n b 的极限都不存在，它们的和数列}{n n b a +的极限不一定不存在.
例2 若021lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→n
n a a ，则a 的取值范围是（ ） A ．a =1 B ．a ＜1或31>
a C ．－1＜a 3
1< D ．a 31-<或a ＞1 解：由021lim =⎪⎭
⎫ ⎝⎛-∞→n n a a ，得a a 21-＜1， 所以|1－a |＜|2a |，两边平方，得：
0)1)(13(,0123,4)1(222>+->-+<-a a a a a a ，
所以a ＜1或3
1>a ，应选B. 评析：解题过程容易误认为只有
a a 21-=0，得a =1，错选A. 解决含有涉及到求字母取值范围的问题时，常常要利用集合的包含关系，充要条件来考虑问题.
例3 讨论数列 ,2
11,,87,43,21n -的极限. 解：因为n n a 211-=，当∞→n 时，n 21无限趋向于确定数0，所以数列n n a 2
11-=无限趋向于1，即1211lim =⎪⎭
⎫ ⎝⎛-∞→n n . 例4 讨论数列1)1(+-=n n a 的极限.
解：分析数列1)1(+-=n n a 的变化情况. 当n 为奇数时，n a =1; 当n 为偶数时，n a =－1,因此，当∞→n 时，它始终在1和－1两数上来回跳动，显然不趋向于一个确定的常数，所以数列1)1(+-=n n a 没有极限.
评析：不能认为数列{}1)1(+-n 的极限是1或－1，一个数列的极限是唯一确定的常数. 例5 讨论数列2n a n =的极限.
解：给定数列2n a n =，即：1，4，9，16，…，100，…，10000，…
当∞→n 时，n a 的数值无限增大，它没有趋向于一个确定的常数. 所以数列2n a n =没有极限.
【强化训练】
同步落实[※级]
一、选择题
1．数列：1,－1,1,－1,…，1)1(⋅-n ，…的极限为（ ）
A ．1
B ．－1
C ．1和－1
D ．不存在
2．数列： ,3211,,3211,211,1n
+++++++的极限为（ ） A ．1 B ．0 C ．n
n +22 D ．不存在 3．下列无穷数列中，存在极限的数列是（ ）
A ．})1{(n -
B ．⎭
⎬⎫⎩⎨⎧--22)1(n n n C ．⎭⎬⎫⎩
⎨⎧2sin πn D ．{}12-n 二、填空题
4．无穷数列⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n 515的极限是________. 5．数列7，7，7，…，7，…的极限是_______.
同步检测[※※级]
一、选择题
1．下列无穷数列中，极限不存在的数列是（ ）
A ． ,2
1,)1(,,81,41,21,11n n +--- B ．3，3，…，3…
C ． ,2
sin
,,0,1,0,1πn - D ． ,12,,37,25,3n n + 2．“数列}{n a 是无穷数列”是“}{n a 有极限”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．已知无穷数列}{n a 、}{n b 的通项公式分别是3,3n b a n n ==，由它们构成四个新数列： ① ,,,,,,,,321321n a a a a b b b
② ,,,,,,,,321321n b b b b a a a ③ ,,,,,332211n
n b a b a b a b a ④ ,,,,,332211n n b a b a b a b a
其中极限存在的数列的序号是（ ）
A ．①和②
B ．①和③
C ．②和③
D ．②和④
二、填空题
4．若数列(){}
n αtan 的极限存在，则角α的取值范围是_______. 5．已知数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-+11222n n ，则|2|-n a =_______. 三、解答题
6．满足什么条件的等差数列有极限？满足什么条件的等比数列有极限？满足什么条件的等差数列的前n 项和n S 有极限？满足什么条件的等比数列的前n 项和n S 的极限存在？
7．数列}{n a 的前n 项和为n S ，且)(3
21*∈-=N n a S n n ，求n n a ∞→lim 的值.
同步落实[※级]
一、1．D 2．B 3．B
二、4．5 5．7
同步检测[※※级]
一、1．C 2．B 3．B
二、4．)](4,4(Z k k k ∈+-ππππ 5．1
32-n 三、6．解：公差为0的等差数列有极限；公比q 满足0＜|q |＜1或q =1的等比数列有极限；首项为0，公差为0的等差数列的前n 项和n S 有极限；公比q 满足0＜|q |＜1的等比数列的前n 项和n S 的极限存在.
7．解：当n =1时，,321111a S a -== ∴5
31=a ， 当n ≥2，*∈N n 时，⎪⎭
⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=--11321321n n n n n a a S S a ，得 521=-n n a a ，即}{n a 是以531=a 为首项，5
2=q 的等比数列. ∴15253-⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅=n n a ，∴0lim =∞→n n a .。