综合试题(2)

综合试题（2）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1．“0<x <5”是“不等式|x －2|<3”成立的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．不充分不必要条件 2．准线方程为x ＝3的抛物线的标准方程为（ ）A ．y 2＝－6xB ．y 2＝－12xC ．y 2＝6x D ．y 2＝12x3．已知a >b>0，全集I=R ，M={x |b <x <2a b+}，N ＝{xx ≤a }，则N ∩(ðR M)为( ) A ．2|{b a x b x +≤≤} B ．}2|{ba x ab x +<< C ．}2|{a x b a x x >+<或 D ．}2|{a x ba x ≤≤+ 4．若)621s i n (π--=x y 的图象按向量平移得到)21sin(x y -=的图象，则向量=（ ）A ．（－3π，0） B ．（3π，0） C ．（－6π，0） D ．（6π，0） 5．(2x －1)10的展开式倒数第4项的系数是（ ）A ．－20B ．－180C ．－960D ．180 6．已知311lim21=-++→x bx ax x ，则b 的值为 （ ）A ．4B ．－5C ．－4D ．57．若数列2011,76,)121(12)210(2}{a a a a a a a a n n n n n n 则若满足=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤-<≤=+的值为（ ）A ．76B ．75 C ．73 D ．71 8．设三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，P 为其侧棱BB 1上的任意一点，则四棱锥P —ACC 1A 1的体积等于 （ ）A ．V 32B ．V 31C ．V 43D ．V 219．某圆锥曲线C 是椭圆或双曲线，若其中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点 A （－2，32），B 5,23(-）则 （ ）A ．曲线C 可为椭圆也可为双曲线B ．曲线C 一定是双曲线C ．曲线C 一定是椭圆D ．这样的圆锥曲线C 不存在10．设二面角α―a ―β的大小是60°，P 是二面角内的一点，P 点到α，β的距离分别为1cm 、 2cm ，那么点P 到棱a 的距离是 （ ）12 23 4 34 7 7 45 11 14 11 56 16 25 25 16 6A ．cm 3212 B ．cm 321 C ．cm 32 D ．cm 3214 11．如图，目标函数z ＝ax －y 的可行域为四边形OACB （含边界），若)54,32(是该目标函数z ＝ax －y 的最优解，则a 的取值范围是（ ）A ．)125,310(--B ．)103,512(--C ．)512,103(D ．)103,512(-12．记函数f (x )＝3+x 2sin x 在区间[－2，2]上的最大值为M ，最小值为m ，那么M+m 的值为( ) A ．0 B ．3 C ．6 D ．8二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13．(理)设z 满足z+||z =2+i ，那么z 等于 .(文)不等式x +x 3≥0的解集是 。

14．已知数列{a n }，{b n }都是等差数列，a 1＝－2003，b 1＝2004，S n 、T n 分别表示{a n }，{b n }的前n 项的和(n ∈N ＊)。

若S n ＋T n ＝0，则a n +b n ＝ 。

15．五人排成一排，甲只能排在第一或第二两个位置，乙只能排 在第二或第三两个位置，则不同的排法共有 种。

16．如右图，它满足：⑴第n 行首尾两数均为n ；⑵表中的递推关系类似杨辉三角，则第n 行（2≥n ）第2个数是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知A 、B 是△ABC 的两个内角，BA B A 2sin 2cos2-++=，其中i 、j 为互相垂直的单位向量，若.26||=求B A tan tan ⋅的值.18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，PB 与底面所成的角为45°，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，PA=BC=.21AD ⑴求证：平面PAC ⊥平面PCD ；⑵在棱PD 上是否存在一点E ，使CE//平面PAB ？若存在，请确定E 点位置；若不存在，请说明理由.19．（本小题满分12分）我校承办省第19届青少年科技创新大赛.布置参赛作品展时，甲展厅内有2个科技小制作系列和2个科技小论文系列，乙展厅内有2个科技小制作系列和3个科技小论文系列.现甲乙两展厅须互换一个系列. ⑴求甲展厅内恰有2个小制作系列的概率； ⑵求甲展厅内小制作系列数的期望.20．（本小题满分12分）已知双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x ，B 是右顶点，F 是右焦点，点A 在x 轴的正半轴上，且满足|||,||,|OF OB OA 成等比数列，过F 作双曲线C 在第一、三象限的渐近线的垂线l ，垂足为P. ⑴求证：FP PA OP PA ⋅=⋅；⑵若l 与双曲线C 的左、右两支分别交于点D 、E ，求双曲线C 的离心率e 的取值范围. 21．（本小题满分12分）某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形的高科技工业园区.已知AB ⊥BC ，OA//BC ，且AB=BC=2 AO=4km ，曲线段OC 是以点O 为顶点且开口向上的抛物线的一段.如果要使矩形的相邻两边分别落在AB ，BC 上，且一个顶点落在曲线段OC 上，问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？BCCP A D E并求出最大的用地面积（精确到0.1km 2）。

22．（本小题满分14分）已知奇函数f (x )，偶函数g (x )满足f (x )+ g (x )＝a x(a >0且a ≠1)。

⑴求证：f (2x )＝2f (x )g (x )； ⑵设f (x )的反函数12),(1-=-a x f 当时，试比较)]([1x g f -与－1的大小，并证明你的结论；⑶若2*,,1≥∈>n N n a 且，比较f (n )与nf (1)的大小，并证明你的结论.综合试题（2）参考答案及评分标准一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分60分. ABDBC BBABA BC二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分.13．（理）i +43 （文）{x |x ≥0} 14．－1 15．18 16．222+-=n n a n三、解答题：17．解：,23)2(sin )2cos 2(,23||222=-++∴=B A B A 2分 即,232sin 2cos222=-++B A B A 即232)cos(11)cos(=--+++B A B A ，6分 ,s i n s i n 3c o s c o s ,0)c o s (21)c o s (B A B A B A B A=∴=--+∴ 10分 .31c o s c o s s i n s i n t a n t a n ==⋅∴B A B A B A 12分18．解⑴由题意PA=BC=a ，AD=2 a （a ≠0）.∵PA ⊥面ABCD ，∴PB 与面ABCD 所成的角为∠PBA=45° ∴AB= a ，由∠ABC=∠BAD=90°，易得CD=AC=a 2.由勾股定理逆定理得AC ⊥CD. 2分 又∵PA ⊥CD ，PA ∩AC=A ，∴CD ⊥面PAC ，CD ⊂面PCD ，∴面PAC ⊥面PCD. 5分⑵分别以AB 、AD 、AP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.∴P （0，0，a ），C （a ，a ，0），D （0，2 a ，0）.设E （0，y ，z ），则).,2,0(),,,0(a a PD a z y PE -=-= 7分0)(2)(,//=---⋅∴a z a y ……① 9分 )0,2,0(=是平面PAB 的法向量，又),,,(z a y a --=由CE//面PAB ，.⊥∴10分.2,,0)0,,0(),,(az a y a z a y a ==∴=⋅--∴代入得11分 ∴E 是PD 中点，∴存在E 点使得CE//面PAB. 12分 19．解：⑴甲乙两个展厅各有一个系列交换后，甲展厅恰有2个小制作系列有下面几种情况：①两展厅交换的都是小制作系列，则此时甲展厅恰有2个小制作系列为事件A 1，其概率P （A 1）=.51C C C C 15141212=…………2分②两展厅交换的是小论文系列，则此时甲展厅恰有2个小制系列为事件A 2，其概率P （A 2）=.103C C C C 15141312=…………4分故甲展厅内恰有2个小制作系列的概率为：P （A 1）+ P （A 2）=.2110351=+………6分⑵设甲展厅内小制作系列数为ξ，则ξ的所有可能取值分别为1、2、3，其中P （ξ=1）=,103 P （ξ=2）=,21 P （ξ=3）=,51∴ξ的分布列为：E ξ=.10193512211103=⨯+⨯+⨯…………12分 20．证⑴),(:c x bay l --=由).,()(2c ab c a x b a y c x ba y 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=2分 |||,||,| 成等比数列，),,0(),0,(2c ab c a A -=∴).,(),,(22cabc b c ab c a -== 4分.,222222cb ac b a ⋅=⋅∴-=⋅-=⋅∴ 6分⑵2222422222222)()(b a c x b a x b b a y a x b c x ba y =--⇒⎪⎩⎪⎨⎧=---=， 即.0)(2)(22224242242=+-⋅+-b a bc a cx b a x b a b 8分.,,,0)()(22222442422222421a a c a b a b ba b b a b c a x x >->>∴<-+-=即 10分.2,22>∴=∴e e 12分21．解：以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立直角坐标系（如图）依题意可设抛物线的方程为.21,422).4,2(,222=∴⋅=∴=p p C py x 且 故曲线段OC 的方程为).20(2≤≤=x x y 3分设P （2,x x ）)20(<≤x 是曲线段OC 上的任意一点，则|PQ|=2+x ，|PN|=4－x 2. 5分∴工业园区面积S=|PQ|·|PN|=（2+x ）（4－x 2）=8－x 3－2x 2+4x . 6分 ∴S ′=－3x 2－4x +4，令S ′=0,2,3221-==⇒x x 又.32,20=∴<≤x x 7分 当)32,0[∈x 时，S ′>0，S 是x 的增函数；8分当2,32(∈x ）时，S ′<0，S 是x 的减函数. 9分 32=∴x 时，S 取到极大值，此时|PM|=2+x =,8324||,382=-=x PN).(5.927256932382km S ≈=⨯=10分当.8,0==S x 时 ).(5.92max km S =∴ 11分 答：把工业园区规划成长为,932km 宽为km 38时，工业园区的面积最大，最大面积为9.5km 2. 12分22．⑴证：∵f (x )+g (x )＝a x，∴f (－x )+ g (－x )＝a －x∵f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，∴－f (x )+g (x )＝a －x。