离散数学 匹配和点独立集共73页
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《离散数学图论》课件
最短路径问题
实现方法：使用 队列数据结构， 将起始节点入队， 然后依次处理队 列中的每个节点， 直到找到目标节
点或队列为空
Dijkstra算法和Prim算法
Dijkstra算法：用于 求解单源最短路径问 题，通过不断更新最 短路径来寻找最短路 径。
Prim算法：用于求解 最小生成树问题，通过 不断寻找最小权重的边 来构建最小生成树。
图的矩阵表示
邻接矩阵的定义和性质
定义：邻接矩阵是一个n*n的矩阵，其 中n是图的顶点数，矩阵中的元素表示 图中顶点之间的连接关系。
性质：邻接矩阵中的元素只有0和1， 其中0表示两个顶点之间没有边相连， 1表示两个顶点之间有一条边相连。
应用：邻接矩阵可以用于表示图的连通 性、路径长度等信息，是图论中常用的 表示方法之一。
图像处理：优化图像分割， 提高图像质量
物流配送：优化配送路径， 降低配送成本
社交网络：优化社交网络 结构，提高用户活跃度
感谢您的观看
汇报人：PPT
数学：用于图论、组合数 学、代数拓扑等领域
物理学：用于量子力学、 统计力学等领域
生物学：用于蛋白质结构、 基因调控等领域
社会科学：用于社会网络 分析、经济模型等领域
图的基本概念
图的定义和表示方法
图的定义：由节点和边组成的数学结构，节点表示对象，边表示对象之间的关系
节点表示方法：用点或圆圈表示 边表示方法：用线或弧线表示 图的表示方法：可以用邻接矩阵、邻接表、关联矩阵等方式表示
顶点和边的基本概念
顶点：图中的基本元素，表示一个对象或事件 边：连接两个顶点的线，表示两个对象或事件之间的关系 度：一个顶点的度是指与其相连的边的数量 路径：从一个顶点到另一个顶点的边的序列 连通图：图中任意两个顶点之间都存在路径 强连通图：图中任意两个顶点之间都存在双向路径
实现方法：使用 队列数据结构， 将起始节点入队， 然后依次处理队 列中的每个节点， 直到找到目标节
点或队列为空
Dijkstra算法和Prim算法
Dijkstra算法：用于 求解单源最短路径问 题，通过不断更新最 短路径来寻找最短路 径。
Prim算法：用于求解 最小生成树问题，通过 不断寻找最小权重的边 来构建最小生成树。
图的矩阵表示
邻接矩阵的定义和性质
定义：邻接矩阵是一个n*n的矩阵，其 中n是图的顶点数，矩阵中的元素表示 图中顶点之间的连接关系。
性质：邻接矩阵中的元素只有0和1， 其中0表示两个顶点之间没有边相连， 1表示两个顶点之间有一条边相连。
应用：邻接矩阵可以用于表示图的连通 性、路径长度等信息，是图论中常用的 表示方法之一。
图像处理：优化图像分割， 提高图像质量
物流配送：优化配送路径， 降低配送成本
社交网络：优化社交网络 结构，提高用户活跃度
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汇报人：PPT
数学：用于图论、组合数 学、代数拓扑等领域
物理学：用于量子力学、 统计力学等领域
生物学：用于蛋白质结构、 基因调控等领域
社会科学：用于社会网络 分析、经济模型等领域
图的基本概念
图的定义和表示方法
图的定义：由节点和边组成的数学结构，节点表示对象，边表示对象之间的关系
节点表示方法：用点或圆圈表示 边表示方法：用线或弧线表示 图的表示方法：可以用邻接矩阵、邻接表、关联矩阵等方式表示
顶点和边的基本概念
顶点：图中的基本元素，表示一个对象或事件 边：连接两个顶点的线，表示两个对象或事件之间的关系 度：一个顶点的度是指与其相连的边的数量 路径：从一个顶点到另一个顶点的边的序列 连通图：图中任意两个顶点之间都存在路径 强连通图：图中任意两个顶点之间都存在双向路径
第5章 匹配与独立集
图G应满足什么条件才有完美匹配？这是我们关心的主要问 题。 本节先考虑G是二部图的情形（Hall定理），然后考虑一般 图的情形（Tutte定理）。对这些定理有许多不同的证明。 Hall定理是组合数学中最基本的定理之一。它有各种表达形 式，这里给出其图论形式。
2.
3.
4.
返回 结束
第1节 匹 配
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第1节 匹 配
设G是一个图,
4
M⊆E(G) , 满足:对∀ei , ej∈M, ei 与 ej 在G中不相 邻, 则称 M 是G的一个匹配(matching) 。 = uv , 其两端点u和v称为是M饱和点 (saturated vertex) ，反之称为非饱和点(unsaturated vertex) 。 均有 | M′|≤| M | , 则称M是G的一个最大 匹配(maximum matching) 。 number)，记为 α′(G)。
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第1节 匹 配
定理5.1.2
13
( Tutte定理, Tutte,1947)
设图G有完美匹配M。
图G有完美匹配的充要条件是对∀S⊂V (G)，O(G\ S)≤| S |。
证明：必要性
对∀S⊂V (G)，若G\ S无奇分支，则O(G\ S) = 0； 否则，设 G1 ,G2 , ……,Gn 是G\ S 的所有奇分支。 注意每个Gi 中至少有一个顶点 ui 在M 下与S中的某个顶点vi 配对（ i = 1,2,……,n），（因Gi 是奇分支，M是完美匹配）。
思考：该实例问题的数学模型如何建立？
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第1节 匹 配
例
g1
男生 认识的女生 b1
3
b1 b2 b3 b4
g1,g4,g5 g1 g2,g3,g4 g2,g4
2.
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第1节 匹 配
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第1节 匹 配
设G是一个图,
4
M⊆E(G) , 满足:对∀ei , ej∈M, ei 与 ej 在G中不相 邻, 则称 M 是G的一个匹配(matching) 。 = uv , 其两端点u和v称为是M饱和点 (saturated vertex) ，反之称为非饱和点(unsaturated vertex) 。 均有 | M′|≤| M | , 则称M是G的一个最大 匹配(maximum matching) 。 number)，记为 α′(G)。
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第1节 匹 配
定理5.1.2
13
( Tutte定理, Tutte,1947)
设图G有完美匹配M。
图G有完美匹配的充要条件是对∀S⊂V (G)，O(G\ S)≤| S |。
证明：必要性
对∀S⊂V (G)，若G\ S无奇分支，则O(G\ S) = 0； 否则，设 G1 ,G2 , ……,Gn 是G\ S 的所有奇分支。 注意每个Gi 中至少有一个顶点 ui 在M 下与S中的某个顶点vi 配对（ i = 1,2,……,n），（因Gi 是奇分支，M是完美匹配）。
思考：该实例问题的数学模型如何建立？
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第1节 匹 配
例
g1
男生 认识的女生 b1
3
b1 b2 b3 b4
g1,g4,g5 g1 g2,g3,g4 g2,g4
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(3)至于p为0即“我期终考了年级不是前 10”时,无论q为1或为0，即无论"我老妈 奖励1000元"或不奖励，都不能说老妈的 话是假的，故善意的认为pq为1均为1
1.1 命题及联结词
定义1.5双条件:当p与q值相同时,pq为1,不同 为0。 称p当且仅当q
“普通老师赚了100万当且仅当他 中了100万的彩票”， 普通老师赚了100万 普通老师买彩票中了100万大奖
故pq为0
1.1 命题及联结词
定义1.4条件式当p是1 ,q是0时,pq为0,即 10为0,其他情况为1。 p称为前件,q称为后件
(1)当p为1即“我期终考了年级前10”
q为0即“我老妈没有奖励1000元” 这时老妈的话为假，即pq为0 (2)当p为1即“我期终考了年级前10” q为1即“我老妈奖励1000元” 这时妈妈的话就对了，即pq为1
由于所有内容(整数，实数，字符，汉字，图片，声 音，视频，网页，……)进入电脑后，全是01组成的字 符串，从而都可以用布尔运算即逻辑运算实现，命题逻 辑成为计算机的基础。
命题逻辑将数学由连续变到离散，由高数进入离散。
Google采用逻辑运算进行搜索：数字之美 吴军 杨圣洪 000100010001110000 两者对应位置与运算。 离散数学 100100000000100001
陈述句(6)的正确性，到2018年12月时能确定的，若届 时建成了则它是对的、为真命题，否为假命题。
1.1 命题及联结词
对错确定的陈述语句称为命题。如：
(7) x与y之和为100，其中x为整数，y为整数 (8)1加1等于10 (7)的对错不确定。当x为50、y为50时是对的，当x为 51、y为52时是错的。 (8)的对错是不确定的，为二进制时正确，当为八进制、 十进制时是错的，因此这两个陈述句不是命题。 (9)青枫峡的红叶真美呀！ (10)动作快点！ (11)你是杨老师吗？ 这三个语句不是陈述语句，因此不是命题。
1.1 命题及联结词
定义1.5双条件:当p与q值相同时,pq为1,不同 为0。 称p当且仅当q
“普通老师赚了100万当且仅当他 中了100万的彩票”， 普通老师赚了100万 普通老师买彩票中了100万大奖
故pq为0
1.1 命题及联结词
定义1.4条件式当p是1 ,q是0时,pq为0,即 10为0,其他情况为1。 p称为前件,q称为后件
(1)当p为1即“我期终考了年级前10”
q为0即“我老妈没有奖励1000元” 这时老妈的话为假，即pq为0 (2)当p为1即“我期终考了年级前10” q为1即“我老妈奖励1000元” 这时妈妈的话就对了，即pq为1
由于所有内容(整数，实数，字符，汉字，图片，声 音，视频，网页，……)进入电脑后，全是01组成的字 符串，从而都可以用布尔运算即逻辑运算实现，命题逻 辑成为计算机的基础。
命题逻辑将数学由连续变到离散，由高数进入离散。
Google采用逻辑运算进行搜索：数字之美 吴军 杨圣洪 000100010001110000 两者对应位置与运算。 离散数学 100100000000100001
陈述句(6)的正确性，到2018年12月时能确定的，若届 时建成了则它是对的、为真命题，否为假命题。
1.1 命题及联结词
对错确定的陈述语句称为命题。如：
(7) x与y之和为100，其中x为整数，y为整数 (8)1加1等于10 (7)的对错不确定。当x为50、y为50时是对的，当x为 51、y为52时是错的。 (8)的对错是不确定的，为二进制时正确，当为八进制、 十进制时是错的，因此这两个陈述句不是命题。 (9)青枫峡的红叶真美呀！ (10)动作快点！ (11)你是杨老师吗？ 这三个语句不是陈述语句，因此不是命题。
29-匹配
匹配
离散数学 第29
上一讲内容的回顾
图的平面嵌入 平面图和非平面图 平面图的必要条件：欧拉公式 适用于简单图的欧拉公式推论 平面图的充分必要条件-Kuratowski定理 图着色 平面图着色与四色定理
匹配
支配集 点覆盖集与独立集 边覆盖集 匹配 最大匹配和完美匹配 二部图中的匹配 Hull定理
支配集与支配数
最小边覆盖与最大匹配的关系
证明W是最小边覆盖，M1是最大匹配．
W显然是边覆盖，所以 |W|≥α1。注意：|M|=β1, 又因为M是最大 ≥α 匹配，N中不可能有一条边的两个端点都是M-非饱和点，∴ |N|=n-2β1，∴|W|=|M|+|N|=n-β1。 β 而M1=W1-N1显然是匹配, |M1|≤β1。W1是最小边覆盖, 所以，构 ≤β 造 M1 时 ， 每 移 去 一 条 边 ， 恰 好 产 生 一 个 M1- 非 饱 和 点 。 而 |W1|=α1, M1-非饱和点数为n-2|M1|，∴|N1|=|W1|-|M1|=n-2|M1|, 即 α1= n-|M1|。 综 上 所 述 可 得 ： α 1= n-|M1|≥n-β1=|W|≥α1, 于 是 ： |W|=α1 且 ≥ β ≥α |M1|=β1，即W是G中的最小边覆盖，且M1是G中的最大匹配。
注意：极小支配集未必是最大独立集 (甚至未必是独立集)
极小支配集 不是 独立集
点覆盖与点覆盖数
点 覆盖 边
点覆盖数 α0=3
点覆盖数 α0=4
最小点覆盖 极小点覆盖
点覆盖与点独立集的关系
设G是无孤立点的简单无向图，VG的真子集V*是点 覆盖当且仅当V-V*是点独立集。 证明：令V’=V-V* ∈ ⇒ 假 设 V' 不 是 独 立 集 ， 则 存 在 u,v∈V', 满 足 uv∈EG, 注意：V‘=VG-V*, 即u,v∉V*, ∴uv边不可能被 V*所覆盖，矛盾。 ⇐ ∀e∈EG, 假设e=uv, 因为V‘是点独立集，u,v中 至 少 有 一 个 不 在 V' 中 ， 不 妨 设 u∉V', 则 u∈V*, ∴V* 是点覆盖。
离散数学 第29
上一讲内容的回顾
图的平面嵌入 平面图和非平面图 平面图的必要条件：欧拉公式 适用于简单图的欧拉公式推论 平面图的充分必要条件-Kuratowski定理 图着色 平面图着色与四色定理
匹配
支配集 点覆盖集与独立集 边覆盖集 匹配 最大匹配和完美匹配 二部图中的匹配 Hull定理
支配集与支配数
最小边覆盖与最大匹配的关系
证明W是最小边覆盖，M1是最大匹配．
W显然是边覆盖，所以 |W|≥α1。注意：|M|=β1, 又因为M是最大 ≥α 匹配，N中不可能有一条边的两个端点都是M-非饱和点，∴ |N|=n-2β1，∴|W|=|M|+|N|=n-β1。 β 而M1=W1-N1显然是匹配, |M1|≤β1。W1是最小边覆盖, 所以，构 ≤β 造 M1 时 ， 每 移 去 一 条 边 ， 恰 好 产 生 一 个 M1- 非 饱 和 点 。 而 |W1|=α1, M1-非饱和点数为n-2|M1|，∴|N1|=|W1|-|M1|=n-2|M1|, 即 α1= n-|M1|。 综 上 所 述 可 得 ： α 1= n-|M1|≥n-β1=|W|≥α1, 于 是 ： |W|=α1 且 ≥ β ≥α |M1|=β1，即W是G中的最小边覆盖，且M1是G中的最大匹配。
注意：极小支配集未必是最大独立集 (甚至未必是独立集)
极小支配集 不是 独立集
点覆盖与点覆盖数
点 覆盖 边
点覆盖数 α0=3
点覆盖数 α0=4
最小点覆盖 极小点覆盖
点覆盖与点独立集的关系
设G是无孤立点的简单无向图，VG的真子集V*是点 覆盖当且仅当V-V*是点独立集。 证明：令V’=V-V* ∈ ⇒ 假 设 V' 不 是 独 立 集 ， 则 存 在 u,v∈V', 满 足 uv∈EG, 注意：V‘=VG-V*, 即u,v∉V*, ∴uv边不可能被 V*所覆盖，矛盾。 ⇐ ∀e∈EG, 假设e=uv, 因为V‘是点独立集，u,v中 至 少 有 一 个 不 在 V' 中 ， 不 妨 设 u∉V', 则 u∈V*, ∴V* 是点覆盖。
离散数学知识点
离散数学知识点离散数学是计算机科学中一门非常重要的基础课程，它涵盖了众多的知识点。
在本文中，我将为大家介绍离散数学中的几个关键知识点，包括集合论、逻辑、数论和图论。
首先，我们来讨论集合论。
集合是离散数学中最基本的概念之一，它由一组互不相同的元素组成。
在集合论中，有许多重要的操作，如并集、交集和补集。
并集指的是将两个或多个集合的元素合并在一起，交集指的是两个或多个集合中共有的元素，而补集指的是与给定集合不相交的所有元素的集合。
掌握这些操作对于解决实际问题非常关键，例如在数据库中进行查询等。
接下来，逻辑是离散数学中另一个重要的知识点。
逻辑关注的是命题和它们之间的关系。
在逻辑中，常用的连接词有“与”、“或”和“非”。
通过应用逻辑运算，我们能够推导出更复杂的命题，如条件语句和双条件语句。
逻辑还包括谓词逻辑和命题逻辑，它们用于描述和推导具体的命题。
除了集合论和逻辑，数论也是离散数学中的一个重要分支。
数论研究的是整数及其性质。
这个领域的研究对于密码学和安全性技术等领域具有重要意义。
在数论中，有许多重要的概念和定理，如质数、最大公约数和同余等。
研究数论有助于我们理解数字间的关系，并通过运用数学中的方法解决实际问题。
最后，让我们来探讨离散数学中的图论。
图论是研究图及其性质的学科。
图由节点和连接节点的边组成。
图可以用来描述各种关系，如社交网络中的朋友关系、城市之间的交通路线等。
在图论中，有许多重要的定理和算法，如欧拉定理、哈密顿定理和最短路径算法等。
通过应用图论的知识，我们可以解决旅行推销员问题、网络优化问题等实际难题。
综上所述，离散数学是计算机科学中不可或缺的一部分。
在这篇文章中，我们简要介绍了离散数学中的几个关键知识点，包括集合论、逻辑、数论和图论。
这些知识点为我们理解和解决实际问题提供了强大的工具和方法。
通过深入学习离散数学，我们能够拓宽思维，提高问题解决能力，并为日后的计算机科学研究打下坚实基础。
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一个简单命题.
13
联结词与复合命题(续)
3.析取式与析取联结词“∨” 定义 设 p,q为二命题，复合命题“p或q”称作p与q 的析取式，记作p∨q. ∨称作析取联结词，并规 定p∨q为假当且仅当p与q同时为假.
例 将下列命题符号化 (1) 2或4是素数. (2) 2或3是素数. (3) 4或6是素数. (4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨. (5) 王晓红生于1975年或1976年.
15
联结词与复合命题(续)
4.蕴涵式与蕴涵联结词“” 定义 设 p,q为二命题，复合命题 “如果p,则q” 称 作p与q的蕴涵式，记作pq，并称p是蕴涵式的 前件，q为蕴涵式的后件. 称作蕴涵联结词，并 规定，pq为假当且仅当 p 为真 q 为假.
16
联结词与复合命题(续)
pq 的逻辑关系：q 为 p 的必要条件 “如果 p，则 q ” 的不同表述法很多：
19
例 求下列复合命题的真值 (1) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 + 3 ＝ 6. (2) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 是偶数. (3) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 太阳从东方升起. (4) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 美国位于非洲. (5) 函数 f (x) 在x0 可导的充要条件是它在 x0
解 令 p：王晓用功，q：王晓聪明，则 (1) p∧q (2) p∧q (3) p∧q.
12
例 (续)
令 r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生 (4) r∧s. (5) 令 t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 .
说明: (1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性. (5) 中“与”联结的是两个名词，整个句子是
若 p，就 q 只要 p，就 q p 仅当 q 只有 q 才 p 除非 q, 才 p 或 除非 q, 否则非 p. 当 p 为假时，pq 为真 常出现的错误：不分充分与必要条件
13
联结词与复合命题(续)
3.析取式与析取联结词“∨” 定义 设 p,q为二命题，复合命题“p或q”称作p与q 的析取式，记作p∨q. ∨称作析取联结词，并规 定p∨q为假当且仅当p与q同时为假.
例 将下列命题符号化 (1) 2或4是素数. (2) 2或3是素数. (3) 4或6是素数. (4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨. (5) 王晓红生于1975年或1976年.
15
联结词与复合命题(续)
4.蕴涵式与蕴涵联结词“” 定义 设 p,q为二命题，复合命题 “如果p,则q” 称 作p与q的蕴涵式，记作pq，并称p是蕴涵式的 前件，q为蕴涵式的后件. 称作蕴涵联结词，并 规定，pq为假当且仅当 p 为真 q 为假.
16
联结词与复合命题(续)
pq 的逻辑关系：q 为 p 的必要条件 “如果 p，则 q ” 的不同表述法很多：
19
例 求下列复合命题的真值 (1) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 + 3 ＝ 6. (2) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 是偶数. (3) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 太阳从东方升起. (4) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 美国位于非洲. (5) 函数 f (x) 在x0 可导的充要条件是它在 x0
解 令 p：王晓用功，q：王晓聪明，则 (1) p∧q (2) p∧q (3) p∧q.
12
例 (续)
令 r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生 (4) r∧s. (5) 令 t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 .
说明: (1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性. (5) 中“与”联结的是两个名词，整个句子是
若 p，就 q 只要 p，就 q p 仅当 q 只有 q 才 p 除非 q, 才 p 或 除非 q, 否则非 p. 当 p 为假时，pq 为真 常出现的错误：不分充分与必要条件
《离散数学集合》课件
满射。
双射
03
如果一个映射既是单射又是满射，则称该映射为双射。
函数的基本性质
确定性
对于任意一个输入，函数只能有一个输出。
互异性
函数的输出与输入一一对应，没有重复的输 出值。
可计算性
对于任意给定的输入，函数都能计算出唯一 的输出值。
域和陪域
函数的输入值的集合称为函数的定义域，函 数输出的集合称为函数的陪域。
04
集合的运算性质
并集运算性质
并集的交换律
对于任意集合A和B，有A∪B=B∪A。
并集的幂等律
对于任意集合A，有A∪A=A。
并集的结合律
对于任意集合A、B和C，有 A∪(B∪C)=(A∪B)∪C。
并集的零律
对于任意集合A和空集∅，有A∪∅=ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ。
交集运算性质
交集的交换律
对于任意集合A和B，有A∩B=B∩A。
在数学中的应用
集合论
集合论是数学的基础，它为数学提供了基本的逻辑和概念 框架。通过集合，可以定义和讨论概念、关系和性质等。
概率论
在概率论中，集合用来表示事件，事件发生的概率可以定 义为该事件所对应的集合的元素个数与样本空间所对应的 集合的元素个数之比。
拓扑学
拓扑学是研究几何形状在大范围内变化的学科。在拓扑学 中，集合用来表示空间中的点、线、面等元素，以及它们 之间的关系。
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03
集合的分类
有穷集和无穷集
有穷集
集合中元素的数量是有限的，可以明 确地列举出集合中的所有元素。例如 ，集合{1, 2, 3}是一个有穷集。
无穷集
集合中元素的数量是无限的，无法列 举出集合中的所有元素。例如，自然 数集N={1, 2, 3,...}是一个无穷集。
支配集,覆盖集,独立集与匹配
最小点覆盖: {a, c, e, g}.
e
0 = 4.
f
g
vertex cover, minimal ~, least ~, vertex cover number
离散数学. W&M.
§16.1支配集, 点覆盖集, 点独立集
定理 点覆盖与点独立集互为补集:
C 为 G 的点覆盖 C = V C 为 G 的点独立集.
(3) 1 + 1 = n.
†最大匹配M 最小边覆盖M N, 最小边覆盖W 最大匹配W N.
‡不考虑有孤立点的图, 孤立点无法被饱和或覆盖.
离散数学. W&M.
§16.2边覆盖集与匹配
证 最大匹配 互不相邻, 故
M N
含 有
n1条2边1 条. G边中. W有=nM 2N1 个显非然饱为和边点覆,盖它,们且
推论 设 M 是图中的匹配, W 是边覆盖, 则 |M| |W|, 等号成立 时, M 是完美匹配, W 是最小边覆盖. † 匹配的边数不多于边覆盖的边数.
证 由定理的(1)知 1 1, 而由定义知 |M| 1 1 |W|, 于是
|M| |W|. 等号成立时, 说明 M 是最大匹配, W 是最小边覆盖. 再由定理中的(3)知
a
d W6
离散数学. W&M.
e
§16.1支配集, 点覆盖集, 点独立集
第十八章 支配集, 覆盖集, 独立集与匹配
§18.1支配集, 点覆盖集, 点独立集 §18.2边覆盖集与匹配 §18.3二部图中的匹配 §18.4图中顶点的着色 §18.5地图的着色与平面图的点着色 §17.6边着色
但