第六讲_分数裂项求和
六年级上册数学竞赛试题分数裂项求和方法总结_通用版
分数裂项求和方法总结（一） 用裂项法求1(1)n n +型分数求和分析：因为 111n n -+＝11(1)(1)(1)n n n n n n n n +-=+++（n 为自然数） 所以有裂项公式：111(1)1n n n n =-++ 【例1】 求111 (101111125960)+++⨯⨯⨯的和。
（二） 用裂项法求1()n n k +型分数求和：分析：1()n n k +型。
（n,k 均为自然数）因为 11111()[]()()()n k n k n n k k n n k n n k n n k +-=-=++++所以1111()()n n k k n n k =-++【例2】 计算11111577991111131315++++⨯⨯⨯⨯⨯（三） 用裂项法求()k n n k +型分数求和：分析：()k n n k +型（n,k 均为自然数） 11n n k -+＝()()n k n n n k n n k +-++＝()k n n k + 所以()k n n k +＝11n n k -+ 【例3】 求2222 (1335579799)++++⨯⨯⨯⨯的和 （四） 用裂项法求2()(2)k n n k n k ++型分数求和： 分析：2()(2)k n n k n k ++ （n,k 均为自然数）211()(2)()()(2)k n n k n k n n k n k n k =-+++++【例4】 计算：4444......135357939597959799++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ （五） 用裂项法求1()(2)(3)n n k n k n k +++型分数求和分析：1()(2)(3)n n k n k n k +++（n,k 均为自然数）【例5】 计算：111......1234234517181920+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯（六） 用裂项法求3()(2)(3)k n n k n k n k +++型分数求和： 分析：3()(2)(3)k n n k n k n k +++（n,k 均为自然数） 【例6】 计算：333 (1234234517181920)+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【例7】计算：71＋83＋367＋5629＋6337＋7241＋7753＋8429＋883 【分析与解】解答此题时，我们应将分数分成两类来看，一类是把5629、6337、7241、7753这四个分数，可以拆成是两个分数的和。
分数裂项计算
分数裂项计算本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
分数裂项一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 知识点拨教学目标1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
六年级+分数裂项
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
分数裂项一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b形式的，这里我们把较小分数裂项计算教学目标知识点拨的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有：裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
第六讲_分数裂项求和
分数裂项求和分数裂项知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
分数裂项是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
【知识概述】实质：将一个分数裂项，分成几个分数的和与差的形式。
例 3121232361-=⨯-= 41314343127+=⨯+= 目的：将一串分数中的每一个分数适当地裂项，出现一对一对可以抵消的数，从而简化计算。
减法裂项：分母分成两数之积，分子为两数之差。
直接裂项加法裂项：分母分成两数之积，分子为两数之和。
变形裂项：先变形为直接裂项。
【典型例题】例1 计算：3012011216121++++ 观察：直接裂项211121121-=⨯= 312132161-=⨯= 4131431121-=⨯= (201))()=⨯1（ ）-（ ） ()()=⨯=1301（ ）-（ ） 解：原式 =651541431321211⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ = 1-615151414131312121-+-+-+-+ = 1-61 = 65例2 计算：7217561542133011209127651-+-+-+-观察：直接裂项3121323265+=⨯+= 41314343127+=⨯+= 920==⨯+54545141+ ............... ()()115630+==⨯（ ）+（ ）()()136742+==⨯（ ）+（ ）解：原式）（）（）（）（）（）（）（91818171716161515141413131211+-+++-+++-+++-= 91818171716161515141413131211--++--++--++--= 911-= 98=例3.+⨯+⨯+⨯752532312……+1192⨯ 变形裂项：)3121(21311-⨯=⨯ 3111312-=⨯ )5131(21531-⨯=⨯ 5131532-=⨯ .............. 解：原式)11191()7151()51313111-++-+-+-=Λ（）（ 11191715151313111-++-+-+-=Λ 11111-= 1110=例4 1111111248163264128++++++ 观察前一个数是后一个数的2倍，“补一退一” 解：原式128112811281641321161814121-+++++++=）（1281641641321161814121-++++++=）（ 1281321321161814121-+++++=）（ 1281161161814121-++++=）（ 1281221-⨯= 128127=例5110118116114112122222-+-+-+-+- 由)()(22b a b a b a +⨯-=-知，可以将原式变形为： 解：原式1191971751531311⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=[]21)11191()7151()51313111⨯-++-+-+-=Λ（）（ 2111191715151313111⨯-++-+-+-=）（Λ 2111111⨯-=）（ 115=【我能行】1．+⨯+⨯+⨯199919981199819971199719961……+200220011⨯+200212．521⨯+851⨯+1181⨯+……+29261⨯ 3．7217561542133011209127311+-+-+-+4．34313312831073743413⨯+⨯+⨯+⨯+⨯Λ 5. 11011216121+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++6．3512214152127653221---+-+ 7． 256112816413211618141211--------【我试试】1．1431119919631735151513311+++++ 2． 152403187632145245---++3．6432168421214181161321641++++++++++++4．11231631431232222-+⋅⋅⋅+-+-+-。
分数裂项求和方法总结
分数裂项求和方法总结（一） 用裂项法求1(1)n n +型分数求和 分析：因为111n n -+＝11(1)(1)(1)n n n n n n n n +-=+++（n 为自然数） 所以有裂项公式：111(1)1n n n n =-++ （二） 用裂项法求1()n n k +型分数求和 分析：1()n n k +型。
（n,k 均为自然数） 因为11111()[]()()()n k n k n n k k n n k n n k n n k +-=-=++++ 所以1111()()n n k k n n k =-++（三） 用裂项法求()k n n k +型分数求和 分析：()k n n k +型（n,k 均为自然数）11n n k -+＝()()n k n n n k n n k +-++＝()k n n k + 所以()k n n k +＝11n n k-+（四） 用裂项法求2()(2)k n n k n k ++型分数求和 分析：2()(2)k n n k n k ++（n,k 均为自然数）211()(2)()()(2)k n n k n k n n k n k n k =-+++++（五） 用裂项法求1()(2)(3)n n k n k n k +++型分数求和 分析：1()(2)(3)n n k n k n k +++（n,k 均为自然数） 1111()()(2)(3)3()(2)()(2)(3)n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-++++++++ （六） 用裂项法求3()(2)(3)k n n k n k n k +++型分数求和 分析：3()(2)(3)k n n k n k n k +++（n,k 均为自然数）311()(2)(3)()(2)()(2)(3)k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++记忆方法：1.看分数分子是否为1；2.是1时，裂项之后需要整体×首尾之差分之一；3.不是1时不用再乘；4.裂项时首尾各领一队分之一相减。
分数裂项课件
CONTENTS
目录
• 分数裂项简介 • 分数裂项的技巧 • 分数裂项的实例解析 • 分数裂项的练习题及解析 • 分数裂项的总结与展望
CHAPTER
01
分数裂项简介
分数裂项的定义
01
分数裂项是一种数学技巧，用于 将一个分数拆分成两个或多个分 数的和或差，以便于计算或简化 表达式的形式。
绩。
分数裂项在数学竞赛和高考中具 有广泛应用，是数学学习的重要
内容之一。
分数裂项的未来发展方向
随着数学教育的不断发展和改革，分数裂项技巧的教学方法和手段也需要不断更新 和完善。
未来可以探索更多分数裂项在实际问题中的应用，例如在物理、化学等其他学科中 的应用。
可以通过开展跨学科的研究，将分数裂项与其他数学技巧和方法进行结合，以更好 地解决各种复杂的数学问题。
解析：这道题是分数裂项的基础题， 通过将两个分数相乘，得到一个新的
分数。
答案：$frac{1}{4}$
题目：计算 $frac{3}{4} times frac{4}{3}$
解析：这道题同样是分数裂项的基础 题，通过将两个分数相乘，得到一个 新的分数。
答案：$1$
进阶练习题
题目
计算 $frac{1}{2} times frac{3}{5} + frac{2}{3} times frac{4}{7}$
分数裂项在日常生活中的应用
分数裂项不仅仅在数学题目中有应用，在日常生活中也有广泛的应用。
例如，在购物时经常会遇到折扣和优惠券的问题，这时可以通过分数裂项来计算 最优的购买方案。例如，对于折扣$frac{3}{10}$，可以将其拆分为$frac{1}{3} + frac{2}{10}$，分别代表直接折扣和满额折扣，从而帮助消费者更好地理解优惠 方案。
分数裂项六种题型
分数裂项六种题型一、整数裂项整数裂项是一种常见的数学问题，通过将整数拆分成两个整数之和或之差，从而简化计算或证明某些数学关系式。
以下是一些常见的整数裂项例子：1.将整数拆分成两个相邻整数之和或之差，例如：5=2+3，10=3+7。
2.将整数拆分成两个绝对值相等的数之和或之差，例如：10=3+(-3)，20=7+(-7)。
二、分数裂项分数裂项是将分数拆分成两个或多个分数的和或差，以便于计算或证明某些数学关系式。
以下是一些常见的分数裂项例子：1.将分数拆分成两个同分母的分数的和或差，例如：1/2=1/(4)+1/(4)，2/3=1/(3)+1/(3)。
2.将分数拆分成两个异分母的分数的和或差，例如：2/5=3/(15)+(-4)/(15)，4/7=3/(21)+4/(21)。
三、混合数裂项混合数裂项是指将整数、分数等不同类型的数拆分成两个或多个数之和或差。
以下是一些常见的混合数裂项例子：1.将混合数拆分成一个整数和一个分数的和或差，例如：3/2=2+(1/2)，5=3+(2/2)。
2.将混合数拆分成两个分数之和或差，例如：4/3=1/(2)+3/(4)，7/6=1/(3)+1/(2)。
四、裂项相消法裂项相消法是一种常见的数学方法，用于简化分数的计算。
其基本思想是将一个分数拆分成两个或多个分数的和或差，以便于约简分数。
以下是一个裂项相消法的例子：求和：1/2+1/6+1/12+1/20+...的值。
解答：原式=(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5)+...通过约简，我们得到原式=1-1/n（当n趋于无穷大时）。
五、分式裂项相消法分式裂项相消法是一种将分式拆分成多个分式的和或差，然后约简的方法。
以下是一个分式裂项相消法的例子：求分式：(a^2-b^2)/(a^2+b^2)的值。
解答：原式=(a^2-b^2)/(a^2+b^2)=(a-b)(a+b)/(a^2+b^2)=(a-b)/(a+b)+(a+b) /(a-b)。
裂项计算
裂项法在上一学期的第一讲，我们提到古埃及人很喜欢使用单位分数，除了32以外，他们将所有的分数都用若干个分母不同的单位分数和的形式来表达。
以81为例，你能将其分成4个不同的单位分数和的形式吗？在解决这个问题之前，我们先学习和探讨一些分数和整数求和的方法与技巧。
对于某些有一定规律的分数(整数)求和，我们往往使用“裂项”的方法来求解。
所谓“裂项”是指把所需求值的每个数或部分数拆成两个或以上的数和或差的形式。
如：4131121-=。
这样就为后面的相抵消创造了条件。
如：⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=⨯31121311；⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯=⨯⨯431321214321等等。
而这种方法的实质是分数通分的逆运用，我们在验证式子是否正确的时候，也可以通分后再看两边是否相等。
常见的方法有如下两种：1．直接裂项即一般而言先直接裂项，然后才开始计算前面应该乘以多少。
如：6421⨯⨯ ①先确定分成两个数差的形式，641421⨯-⨯；②再确定是否需要在括号⎪⎭⎫⎝⎛⨯-⨯641421前，乘上某个数； 4816421=⨯⨯，641421⨯-⨯＝12124181=-，显然⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯≠⨯⨯6414216421，但是48141241=⨯。
所以，⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯=⨯⨯641421416421； ③最后看看这种形式的分数是否都可以这么拆。
如：10861⨯⨯，按上面的规律应该是⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯=⨯⨯10818614110861； 验证，480110861=⨯⨯，480112014180148141108186141=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯，满足。
于是，我们就可以说，我们上面的拆法是正确的。
当然还可以更一般的证明。
运用上面的三步走，我们还可以写出：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯=+⨯d k k d d k k 111)(1；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯+-+⨯⨯=+⨯+⨯)2()1(1)1(121)2()1(1k k k k k k k ； ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⋯⨯+⨯+⨯+--+⋯++⨯=+⨯⋯⨯+⨯+⨯)()3()2()1(1)1()2)(1(11)()2()1(1n k k k k n k k k k n n k k k k2．利用通项裂项对于那些不易直接裂项的求值问题，可以试试通项法。
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分数裂项求和
分数裂项知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
分数裂项是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
【知识概述】
实质：将一个分数裂项，分成几个分数的和与差的形式。
例 3121232361-=⨯-= 4
1314343127+=⨯+= 目的：将一串分数中的每一个分数适当地裂项，出现一对一对可以抵消的数，从而简化计算。
减法裂项：分母分成两数之积，分子为两数之差。
直接裂项
加法裂项：分母分成两数之积，分子为两数之和。
变形裂项：先变形为直接裂项。
【典型例题】
例1 计算：
30
12011216121++++ 观察：直接裂项2
11121121-=⨯= 312132161-=⨯= 4
131431121-=⨯= ............. =201()()
=⨯1（ ）-（ ） (
)()=⨯=1301（ ）-（ ） 解：原式 =6
51541431321211⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ = 1-6
15151414131312121-+-+-+-+ = 1-6
1 = 6
5 例2 计算：7217561542133011209127651-+-+-+-
观察：直接裂项
3121323265+=⨯+= 4
1314343127+=⨯+= 920==⨯+54545
141+ ............... ()()115630+==⨯（ ）+（ ）
()()136742+==⨯（ ）+（ ）
解：原式）（）（）（）（）（）（）（91818
1
71716161515141413131211+-+++-+++-+++-= 9
1818171716161515141413131211--++--++--++--= 9
11-= 9
8=
例3.+⨯+⨯+⨯752532312……+11
92⨯ 变形裂项：
)3121(21311-⨯=⨯ 3
111312-=⨯ )5131(21531-⨯=⨯ 5131532-=⨯ .............. 解：原式)1119
1
()7151()51313111-++-+-+-= （）（ 11
191715151313111-++-+-+-= 11
111-= 11
10=
例4 1111111248163264128
++++++ 观察前一个数是后一个数的2倍，“补一退一” 解：原式128
112811281641321161814121-+++++++=
）（ 128
1641641321161814121-++++++=）（ 1281321321161814121-+++++=）（
128
1161161814121-++++=
）（ 128
1221-⨯= 128127=
例5
110118116114112122222-+-+-+-+- 由)()(22
b a b a b a +⨯-=-知，可以将原式变形为： 解：原式11
91971751531311⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
[]2
1)11191()7151()51313111⨯-++-+-+-= （）（ 2
111191715151313111⨯-++-+-+-=）（ 2
111111⨯-=）（ 115=
【我能行】
1．
+⨯+⨯+⨯199919981199819971199719961……+200220011⨯+20021
2．
521⨯+851⨯+1181⨯+……+29261⨯ 3．7217561542133011209127311+-+-+-+
4． 34313312831073743413⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 5. 110
11216121+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++
6．
3512214152127653221---+-+ 7． 256112816413211618141211--------
【我试试】
1．1431119919631735151513
311+++++ 2． 152403187632145245---++
3．
64321684212
14181161321641++++++++++++
4．1
1231631431232222-+⋅⋅⋅+-+-+-。