六年级分数-裂项法
六年级第一讲：分数裂项
| 六年级·提高班 教师版 | 第1讲 李斌老师主编暑假 Nice Education分数裂项| 六年级·提高班 教师版 | 第1讲 李斌老师主编暑假 Nice Education例1一、单位分数的拆分：导入课堂 练习：()[]1161+= （）与[ ]中数不同 例1：()()()()()()()()11111111201201101+=+=+=+=+=教学建议：首先要掌握10的因数有哪几个解：分析：分数单位的拆分，主要方法是：从分母N 的约数中任意找出两个m 和n,有：BA n m N n n m N m n m N n m N 11)()()()(11+=+++=++= 本题10的约数有:1,10,2,5 …… 例如：选1和2，有：151301)21(102)21(101)21(10)21(1101+=+⨯++⨯=+⨯+⨯= 本题具体的解有：3011513511416011211101111101+=+=+=+=专题解析典型例题解析| 六年级·提高班 教师版 | 第1讲 李斌老师主编暑假Nice Education练习1(1)()()11121+= 有哪几种情况？ (2)杯望希11161++= （“希” “望” “杯”代表不同的整数，一种情况即可）(3)赛竞克匹林奥11111121+++++= （不同数代表不同的数，一种情况即可）例2求：+⨯+⨯+⨯+⨯541431321211 (31)30130291⨯+⨯的值 教学建议：用裂项法求)1(1+n n 型分数求和分析：因为=+-++=+-)1()1(1111n n n n n n n n )1(1+n n （n 为自然数） 所以有裂项公式：111)1(1+-=+n n n n分析：a n =111)1(1+-=+n n n n所以 原式311301301291514141313121211-+-+-+-+-+-=31303111=-=练习2(1)91901541431321⨯++⨯+⨯+⨯ (2)121＋261＋3121＋4201＋……＋204201| 六年级·提高班 教师版 | 第1讲 李斌老师主编暑假 Nice Education(3)99009899970297017271565542413029201912116521++++++++++ (4)1200520043221=⨯++⨯+⨯xx x(5)?,20052004)1(11216121n n n 求已知=+++++例3求1009711071741411⨯++⨯+⨯+⨯ 的值 教学建议：用裂项法求)(1k n n + 型分数求和分析：)(1k n n +型。
分数裂项法总结.
就可以利用裂项法公式： 1 n(n
1)
1 n
1 n 1
把每个分数拆成两个分数单位的差，消去中间留下两边即：
总结：
1 1 2
1 23
(n
1 1) n
1 n(n
1)
1
1 n 1
n n 1
分数裂项的减法形式举例如下:
通分与拆分互逆：
11 3 2 1 2 3 23 23 6 1＝ 3 2 ＝1 1 6 23 23 2 3
相同的分子提出来，使分子变为1。
1 1 5 7 35
11 2 5 7 35
11 1 5 7 57
1 1（11） 57 2 5 7
求 1和 1： 11111 1 33 55 77 99 11 1 1 11 3 1 35
解 1 ： （ 1 1 ) 1 原 （ 1 1 ) 式 1 （ 1 1 ) 1 （ 1 1 ) 21 323 5 211 1 2 3 11 35
1 1
23 6
1 1 1
1 1 1 23 6
23 6
1 1
78 56 11 1 7 8 56
11 1 7 8 56
注意：分数的分母必
须是相邻的自然数;分
1 1
子必须是1
5 7 35
11 2 5 7 35
11 1 5 6 30
3 3
11 1 5 7 57
11 3 5 6 56
总结： 1 1 1 n(n1) n n1
5 6 30
求 1和 1 ： 11111 1 22 33 44 55 66 77 8
解 1 ： 1 ( 1 1 ) ( 原 1 1 ) ( 1 1 式 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) 1 2 2 33 44 55 66 77 8
六年级分数裂项
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
分数裂项一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：知识点拨教学目标分数裂项计算1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有：裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
六年级分数裂项法
1.2 分数计算（裂项法）知识要点和基本方法分数计算是小学数学的重要内容，也是数学竞赛的重要内容之一。
分数计算同整数计算一样既有知识要求又有能力要求。
法则、定律、性质是进行计算的依据，要使计算快速、准确，关键是掌握运算技巧。
对算式认真观察，剖析算是的特点及个数之间的关系，巧妙、灵活的运用运算定律，合理改变运算顺序，使计算简便易行，这对启迪思维，培养综合分析、推理能力和灵活的运算能力，都有很大的帮助。
公式：（ 1）平方差公式：a2b2( a b) ( a b)（ 2）等差数列求和公式：a1 a2a3an 1a n1a1 a n n2（ 3）分数的拆分公式：①11)＝1－1n(n n n 1②1d)＝1×（1－1）n(n d n n d 裂项法：例1.计算： 1 ＋1＋1＋⋯⋯＋1例3.计算：11111112233499 1002＋6＋12＋20＋30＋42例2.111例4.111计算：10× 11＋11×12＋⋯⋯＋59× 60计算：10×11＋11×12＋⋯⋯＋19× 20例5.计算1＋1＋⋯⋯＋1＋1例 9.计算：111112× 3 3×46×7 7× 814 47 710 1013 1316例6.计算： 1＋1111例 10.计算：22222 2＋6＋12＋20315356399例7.计算：1111111例 11.计算：111111 6＋12＋20＋30＋42＋56＋728244880120168例 8.计算：1＋ 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ 1 315356399143例 12.计算：1＋1＋2＋1＋1＋2＋3＋2＋1＋⋯⋯＋1＋2＋⋯⋯＋100 ＋99＋⋯⋯＋1 122233333100100100100100例 13.计算： 1＋ 1 ＋11＋113＋⋯⋯＋12311223242005例 14．计算： 2×（ 1－12）×（ 1－12）×（ 1－12）×⋯⋯×（1－12）2005200420032综合计算例 1.计算 : 2005120032003 2004例2. 计算:（15 ×11× 6÷ 3 × 6× 5）79111179例 3.计算: 98＋998＋9998＋⋯⋯＋ 9999899999个 9例 4.计算:（1＋1）×（ 1＋1）×（ 1＋1）×（ 1＋1）×（ 1－1）×（ 1－ 1 ）×（ 1－1）×（ 1－1）2 4 6 83 57 9例5. 计算 : 2004 1 －1 1 ＋2002 1 －3 1 ＋2000 1 －5 1 ＋⋯⋯＋ 4 1 －2001 1 ＋2 1 －200312 3 2 3 2 3 2 3 2 3例 6.计算:（ 1＋ 1 ＋1 ＋ 1 ÷ 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ 1）979797979797 97979797868686868686 86868686例 7.计算: 11 1 11 111 111 11 1=.24610359例 8.计算 :567345 566=.567345 222例 9.计算 : 7116 61 1 5 511 4 41 1 3 31 12 = .67 5 6 4 5 3 4 2 3例 10.计算:11 1 1 1 1 1 1 = .36 10 15 21 28 36 451 29 1 291 291 29 1 29例 11.计算 :2330 31 = .1 31 1 311 311 31 1 312 328 29计算:12 3 4 5 6 21 2 3 4 5 6 1例 12.234 56 723456 721 1 234 562345 6=2 3 4 5 6 7 3 4 5 67能力训练：1、分数化成最简分数：12 ＝18 ＝ 4 ＝13 ＝8 ＝ 2 ＝182********2、小数化成最简分数：0.75＝ 4.8＝ 1.25＝0.36＝ 3.2＝ 5.4＝3、计算：1) 512÷12＋71 3÷13＋914÷142005 20052005200533445512＋23＋ 3 4＋⋯⋯＋ 2004 20054)2)111156＋72＋90＋110222225)21 ＋ 77 ＋ 165 ＋⋯⋯＋ 1677 ＋ 20213)111118＋24＋48＋80＋120 1 511191096) 2 ＋ 6＋ 12＋ 20 ＋⋯⋯＋ 110111111117)1＋ 26＋ 312＋ 420＋ 530＋ 642＋ 756＋ 872＋ 990137 1531 631272555118)2＋ 4＋ 8＋16＋ 32＋ 64＋128＋ 256＋ 5121111119) 345＋4 56＋5 67＋6 7 8＋789＋8 9 10。
六年级+分数裂项
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
分数裂项一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有：裂差型裂项的三大关键特征：知识点拨教学目标分数裂项计算（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
六年级分数计算技巧一 裂项
小学数学六年级数学分数计算技巧1目录1.分数的计算技巧--裂项法1.11n n +1=1n -1n +1分母是两个数乘积，分子为这两个数的差 1.2d n (n +d )=1n -1n +d 分母是两个数的乘积，分子=这两个数的差 1.31n n +d=1d 1n -1n +d 分母是两个数的乘积，分子=1 1.41n n +1 n +2 =121n n +1 -1n +1 n +2分子为1，分母是三个连续自然数乘积 1.51n n +1 n +2 (n +3)=13⋅[1n n +1 n +2 -1n +1 n +2 n +31.6a +b a ×b =a a ×b +b a ×b =1b +1a =1a +1b 例题1.12+16+112+⋅⋅⋅+19900分母是两个数乘积，分子为这两个数的差 =1-12 +12-13 +13-14 +⋅⋅⋅+199-1100=1-12 +12-13 +13-14 +⋅⋅⋅+198-199 +199-1100(通过裂项，除了首位中间的所有项都消去了)=1-1100=99100例题2.31×4+34×7+37×10+⋅⋅⋅+397×100分母是两个数的乘积，分子=这两个数的差 =1-14 +(14-17)+(17-110)+∙∙∙+(194-197)+(197-1100)=1-14 +(14-17)+(17-110)+∙∙∙+(194-197)+(197-1100)=1-1100=99100例题3.215+235+263+⋅⋅⋅+2143有些时候分母不会直接给出两个数相乘，需要你去仔细观察 =23×5+25×7+27×9+⋅⋅⋅+211×13=13-15 +15-17 +17-19 +⋅⋅⋅+19-111 +111-113 =13-15 +15-17 +17-19 +⋅⋅⋅+19-111 +111-113=13-113=13-339=1039例题4.11×2+12×3+23×5+25×7+37×10+310×13这题看上去分子不怎么统一，但每个分数完全符合分子=分母两数的差 过程同学自己动手操作,最后结果为1-113=1213例题5.32×3+33×4+34×5+⋅⋅⋅+349×50提示：把分子3提到前面来就跟我们之前的题目一样的操作了。
六年级分数巧算裂项拆分
思维训练分类为：浓度问题、分数比大小问题、行程问题、分数巧算、逻辑推理、工程问题、牛顿问题、数字的巧算问题。
分数裂项求和方法总结（一）用裂项法求1一型分数求和分析：因为n(n 1)1 n(n 1) n(n 1)（n为自然数）所以有裂项公式: n（n 1）【例1】求丄10 1111 121的和。
59 60【例2】咕右）'111 110 60112用裂项法求1 1k(n计算n(n k)1 1 -[2 5115n(n 1)59 60)型分数求和:k)nn(n k)]分析：n（nk）型。
（n,k均为自然数）因为n(n k) 所以n(n k)k(； n k9 11 11 13 13 157)11)丄(12 71(19) 1(1 却2、111 1 1 11 , 1 1、1(丄丄2(13 15113)1用裂项法求9 11 11 13型分数求和:n（n k）n n k n(n k) n(n k) n(n k)13分析：型（n,k均为自然数）n（n k）k所以一-n(n k) n n k(11 3 97 99 32009603自然数）n(n k)( n 2k)( n 3k)3k (n(n k^(n 2k)1139 20520I(n k)(n 2k)(n 3k)【例3】的和97 9998 99(四)13) (351 1 )(5 1 7)1 11 99 用裂项法求 型分数求和:n （n k ）（n 2k ）分析:2k n(n k)(n 2k)【例4】计算：44 441 3 53 5 793 959795 97 99(1I II 315) (315 517)…(11)(1 1)3 93 95 95 9/ V 95 9797 99,11（n,k 均为自然数）【例5】 1 1计算：1 2 3 4 2 3 4 51 17 18 19 203[(1 1 1 3[1 2 3 （丘18 19 20]1 17 18 191 18 19 20)]2k n(n k)(n 2k)1 1n(n k) (n k)( n 2k)(五) 用裂项法求型分数求和分析:n(n k)(n 2k)(n 3k)(n,k 均为n(n k)(n 2k)(n 3k)（六）用裂项法求3kn(n k)(n 2k)(n 3k)型分数求和：分析:3kn(n k)(n 2k)( n 3k)(n,k均为自然数）3k 1 1n(n k)(n 2k)( n 3k) n(n k)( n 2k) (n k)( n 2k)(n 3k)【例6】计算： 3 3 31 2 3 4 2 3 4 5 17 18 19 20“ 1 1 1 1 、“ 1 1 、(- ) (—)... ...(- )1 2 3 2 3 4 2 3 4 3 4 5 17 18 19 18 19 201 11 2 3 18 19 2011396840【例7】计算:1 + 3 + 上 + 29 + 37 + 竺 + 兰 + 里 + 27 8 36 56 63 72 77 84 88【分析与解】解答此题时，我们应将分数分成两类来看，一类是把295637634j72这四个分77/ 58 58 59 + — ） + —596060【分析与解】先将题目中分母相同的分数结合在一起相加，再利用乘法分配律进行简便计算。
小学六年级数学难题：分数计算(裂项法)
、裂项法小学数学课本在讨论分数加减法时曾指出：两个分母不同的分数相加减，自然数，公分母正好是它们的乘积.把这个例题推广到一般情况，就有一个很有用的等式：下面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题例1 计算：分析与解此题按常规方法先通分后再求和，显然计算起来十分繁杂是 1 ，而分母又都是相邻两个自然数的积，符合上面等式的要求.如果按上面等式把题目中的前12 个加数也分别写成两个单位分数之差的形式，就得到下面12 个等式：上面12 个式子的右面相加时，很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0，这一来问题解起来就十分方便了像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法.例2 计算：分析与解这里的每一项的分子是1，分母不是相邻两个自然数的积，但都是从 1 开始的连续若干个自然数的和，这使我们联想到计算公式：1+当n分别取1，2，3，⋯，100时，就有即题目中的每一项都变成了一个分子为2、分母为相邻两个自然数乘积的形式，略加变形就得到例 1 的形式，仿照例 1 的方法便可求出解来分析与解猛一看，此题似乎无法下手，而且与裂项法也没关系.但小学数学课本上曾说过，减法是加法的逆运算.换句话说，任一加法算式都可以改为这个题的答案是否只有这一个呢？如果不只一个，怎样才能找出所有答案呢？为此，我们来讨论这类问题的一般情况.设n、x、y 都是自然数，且当t=1 时，x=7，y=42，当t=2 时，x=8，y=24，当t=3 时，x=9，y=18，当t=4 时，x=10，y=15，当t=6 时，x=12，y=12，当t=9 时，x=15，y=10，当t=12 时，x=18，y=9，当t=18 时，x=24，y=8，当t=36 时，x=42，y=7.故□和○所代表的两数和分别49、32、27、25.为例 4 已知A、B、C、D、E、F为互不相等的自然数，当A、B、C、D、E、F 各为什么数时，下面等式成立？当A=3 ，B=7，C=43，D=1807，E=3263443，F=10650056950806时，等式成立.即这方法计算量太大，我们试着找另外方便一些的解法在上面两种解法中，后面的解法明显比前面的解法简便.下面我们把后面的那种解题方法一般化.当A 有n个不同的约数a1，a2，a3，⋯，a n时练习一1.计算：2. 计算：4.当A、B、C、D、E、F各是什么不同的自然数时，下式成立？5. 计算：。
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培养综合分析、推理能力和灵活的运算能力,
都有很大的帮助。
公式:
(1)平方差公式：a2b2
(a
b) (a
b)
(2)等差数列求和公式:
ai
a2
a3
an 1
an
1a1
2
ann
(3)分数的拆分公式:
n(n1)
1
n(n d)
裂项法：
例1.
计算:
例2.
计算:
10X11
1
2 3
_1
+11X12
1
3 499
知识要点和基本方法
1.2
分数计算是小学数学的重要内容，也是数学竞赛的重要内容之一。
分数计算同整数计算一样既有知识要求又有能力要求。法则、定律、性质是进行计算的依据，要使计算快
速、准确，关键是掌握运算技巧。对算式认真观察，剖析算是的特点及个数之间的关系，巧妙、灵活的运用运
算定律，合理改变运算顺序，使计算简便易行，
矗+
56+72
1
1
1
1
1
1
+
—+
+ —-
+ —
+
3
15
35
63
99
143
1
1
1
1
1
4
4
7
7 10
10
13 13
2
2
2
2
2
3
15
35
63
99
1
丄
丄
丄
1
1
8
24
48
80
120
168
计算:
1
计算:
计算:
计算:
计算:
16
例6.
计算:
例12.
计算:
例13.
计算:
112 11
+丄+土+丄+丄+
1 2 2
1+ — +
1 2
23
1
F
1 23
2321
+Y+仝+丄
3333
1
例14.
计算:
2X(1—
丄)X
2丿
20052
+……+
12 3 4
「-亠)
20042
100
+……+ +
100 100
1
旦+……+
100
1
100
X(
1 2 32005
11
1—2)XX(1)
2003222
综合计算
例2.计算：(15X1丄X — )-(—X6X5)
9)3 4 5+4 5 6+5 6 7+6 7 8+7 8 9+8 9 10
31
’ 31
31
31
1 —
1 -
-1
2
3
28
29
例12.计算:
2
,123456
1
234567
能力训练：ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1、计算：
2
2
“ 3
3亠
4
4
1)
51 -
+1 -
+71 -
*1一 +91
3
3
4
4
5
5
1
1
1
1
2)
56
+72
十90
十110
11111
3)8+24+48+80+120
2005200520052005
4)1 2+2 3+3 4+……+2004 2005
2 2 222
5)21+77+165+……+1677+2021
6)
151119
2+6+12+20+
109
+110
7)
1
1+26
111111
+3正 +420+530+642+756+872+990
137153163127255511
8)2+4+8+16+32+64+128+256+512
11111 1
1
+……+59X60
1
100
例7.
例8.
例3.
1111
计算：2+6+ / +20
1 1
+ — + —
+30+42
例9.
例4.
计算:—1——+-——
10X1111X12
1
+……+19X20
例10.
例5.
1 1
计算2X3+3x4+
1 1
+6X7+7X8
例11.
1
1
1
1
1
1 1
6
+'
—+— +— +
12+20+30+
—2001一
+2-—2003-
2
32
3
2
3
2
3
23
例6.
计算:
:(丄+
1+1
+
1)
-(丄+
1+
1+
1
97
9797979797
97979797
86
8686
868686
86868686
111
例7.计算：1一1-1-
246
1 29 1
29
’ 29
29
29
1 -
1 -
1
例11.计算：
2
3
30
31
1 31 1
例3.计算：98+998+999—++9999 —
9999
9个9
例4.
计算:
:(1+-)
1
)X(1+) X
1
(1+一)X(
1
1+ - ) XI
1 1
:1—-)X(1—一
1 1
)X(1—丄)X(1—丄)
2
4
6
8
3
5
79
例5.
计算:
1
2004一-
-1-+2002--
-3一
1
+2000-
—5-+…
…+4-