分数裂项法总结.
分数裂项求和方法总结
分数裂项求和方法总结一、简单分数裂项法：1.若分数的分母为n，则可将该分数表示为n等分之和，即如下形式：\(\frac{a}{n}=\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+...+\frac{ 1}{n}\)这种情况下，裂项个数为分母的值。
2.若分数的分母为n，且分子a能被n整除，则可以将该分数表示为n等分之和，裂项个数为分子的值，即如下形式：\(\frac{a}{n}=\frac{a}{n}+\frac{a}{n}+...+\frac{a}{n}\)二、特殊分数裂项法：1.若分母为n(n≥2)，分子为1，则可用连续的n-1个分数之和表示，如：\(\frac{1}{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n(n+1)}\)若此时n=2，则该分数可表示为：\(\frac{1}{2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\)2.若分母为n(n≥3)，分子为1，则可用连续的n-1个分数之和表示，如：\(\frac{1}{n}=\frac{1}{(n+1)(n+2)}+\frac{1}{n+1}\)若此时n=3，则该分数可表示为：\(\frac{1}{3}=\frac{1}{12}+\frac{1}{4}\)三、通用分数裂项法：1.若分数的分子是一个较大的整数a，分母是一个较小的整数b，则可以通过转换分母的形式，将该分数表示为分解后的两个分数之和，如：\(\frac{a}{b}=\frac{a+b}{b}+\frac{-b}{b}\)如将 \(\frac{7}{3}\) 进行裂项，可得：\(\frac{7}{3}=\frac{7+3}{3}+\frac{-3}{3}=\frac{10}{3}+\frac{-1}{3}\)2.若分数的分子是一个较大的整数a，分母是一个较小的整数b的平方，则可以通过转换分母的形式，将该分数表示为分解后的两个分数之和，如：\(\frac{a}{b^2}=\frac{a}{b^2}+\frac{a}{b^2}+...+\frac{a}{b^2}\)裂项的个数为分子的值。
分数裂项法基本公式
分数裂项法基本公式首先，我们先来看一个简单的例子：将分数1/2写为两个分数之和。
我们可以设想这个分数的分子是一个未知数x，然后用一个已知数k 来乘以这个未知数，得到kx。
我们希望kx能恰好等于分子1、因此，我们希望找到一个适当的k，使得kx=1显然，当k=2时，kx=2x。
此时，我们可以将分数1/2表示为1=2x。
进一步化简可以得到1=2x，即1/2=x。
根据这个例子，我们可以总结出分数裂项法的基本公式如下：设想分数的分子为未知数x，用一个合适的已知数k乘以x，使得kx 恰好等于分子。
然后，我们可以根据这个公式来解决更复杂的分数拆分问题。
例如，我们要将分数3/4写为两个分数之和。
我们可以设想这个分数的分子为未知数x，然后用一个合适的已知数k乘以x，使得kx恰好等于分子3假设k=2，我们可以设立方程2x=3，进一步求解得到x=3/2因此，我们可以将分数3/4写为3/4=3/2根据这个思路，我们可以将分数3/4但写为两个分数之和的形式。
即3/4=3/2-3/4让我们再来看一个稍复杂一点的例子：将分数7/12写为三个分数之和。
我们可以设想这个分数的分子为未知数x，然后用一个合适的已知数k乘以x，使得kx恰好等于分子7假设k=3，我们可以设立方程3x=7，进一步求解得到x=7/3根据分数裂项法的基本公式，我们可以将分数7/12但写为三个分数之和的形式。
即7/12=7/3-7/4通过这个例子，我们可以发现分数裂项法可以将一个分数拆分为多个分数，从而方便我们进行计算和化简。
同时，分母也可以使用分数关系进行适当的拓展。
除了上述的简单例子，分数裂项法还可以应用于更复杂的分数拆分问题，例如拆分带有方根的分数、拆分带有分数指数的分数等。
这些问题的解决方法也遵循着分数裂项法的基本公式，即设想分数的分子为未知数x，用一个合适的已知数k乘以x，使得kx恰好等于分子。
综上所述，分数裂项法是一种将一个分数表示为多个分数之和的方法，它的基本公式是设想分数的分子为未知数x，用一个合适的已知数k乘以x，使得kx恰好等于分子。
分数裂项法总结.
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2233445566778
1 1 8 若干个分数连加，如果每个分数的分母，
7 8
练习：
都是两个相邻自然数相乘，且分子是1时， 就可以利用裂差公式，把每个分数拆成两 个分数单位的差，消去中间留下两边.
n 2n 1
练习1
Sn
1 1 4
1 47
1 7 10
1
(3n 2)(3n 1)
解：
1 1 11 1 11 1
11
1
Sn
(1 ) ( ) ( 3 4 34 7 37
) 10
(
)
3 3n 2 3n 1
1 (1 1 ) n 3 3n 1 3n 1
n n 1
习
练
题
1 1 1 1 1 1 2 23 3 4 45 56
111111 34 45 56 67 78 89
11 1 1 1 1 1 2 6 12 20 30 42 56
1 ＋ 1 ＋ 1 ＋L ＋
1
1 2 23 3 4
就可以利用裂项法公式： n
1 (n
1)
1 n
1 n 1
把每个分数拆成两个分数单位的差，消 23
L
L
(n
1 1)
n
1 n(n
1)
1
n
1 1
n
n 1
分数裂项的减法形式举例如下:
通分与拆分互逆：
Q 11 3 2 1 2 3 23 23 6
11 2 5 7 35
分数裂项法则
分数裂项法则分数裂项法则是数学中的一种运算法则，用于将一个分数拆分成若干个分数之和。
这个法则在分数的运算中起到了重要的作用，可以简化运算过程，方便计算。
下面我们来详细介绍一下分数裂项法则的原理和应用。
一、分数裂项法则的原理分数裂项法则是基于分数的加法和分数的乘法运算的基本性质推导出来的。
它的基本思想是将一个分数拆分成若干个部分，然后分别进行运算，最后再将结果相加。
具体来说，分数裂项法则可以分为以下几个步骤：1. 将分数的分子进行裂项，即将一个分数的分子拆分成两个部分。
2. 将分数的分母进行裂项，即将一个分数的分母拆分成两个部分。
3. 将裂项后的分子和分母进行分别相乘，得到两个新的分数。
4. 将两个新的分数相加，得到最终的结果。
分数裂项法则可以应用于各种分数的运算中，包括加法、减法、乘法和除法。
下面我们以加法和乘法为例进行说明。
1. 加法运算：假设有一个分数 a/b，我们可以将其裂项为 (a+c)/b + (a-c)/b，其中 c 是一个任意的数。
然后将两个新的分数相加，得到结果为 2a/b。
这个过程中，我们通过裂项将一个分数拆分成了两个部分，然后再将两个部分相加，得到了原分数的两倍。
2. 乘法运算：假设有两个分数a/b 和c/d，我们可以将其裂项为(a+c)/(b+d)。
然后将新的分数相乘，得到结果为ac/(bd)。
这个过程中，我们通过裂项将两个分数的分子和分母分别相加，然后再将两个新的分数相乘，得到了原分数的乘积。
三、分数裂项法则的优点分数裂项法则的优点在于它可以简化分数的运算过程，使得计算更加方便快捷。
通过裂项，我们可以将一个复杂的分数拆分成若干个简单的分数之和或乘积，从而减少运算的复杂性。
同时，裂项还可以使得运算过程更加灵活，可以根据具体情况选择不同的裂项方式，以便于得到所需的结果。
四、分数裂项法则的应用举例下面我们通过几个具体的例子来展示分数裂项法则的应用。
1. 例题一：计算分数 3/4 + 5/6。
分数裂项 (1)
分数裂项 一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法。
裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 分数裂项计算裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
【例 1】111111223344556++++=⨯⨯⨯⨯⨯。
【例 2】1111 11212312100 ++++++++++【例 3】1111 133******** ++++=⨯⨯⨯⨯【例 4】11111111()128 8244880120168224288+++++++⨯=【例 5】1111 135357579200120032005 ++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯例题精讲【例 6】74.50.1611111813153563 13 3.75 3.23⨯+⎛⎫⨯+++=⎪⎝⎭-⨯【例 7】11111 123420 261220420 +++++【例 8】111 123234789 +++⨯⨯⨯⨯⨯⨯【例 9】11111 123423453456678978910 +++⋅⋅⋅++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【例 10】57191232348910+++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯．【例 11】12349 223234234523410 +++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【例 12】123456121231234123451234561234567+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【例 13】 234501(12)(12)(123)(123)(1234)(12349)(1250)++++⨯++⨯++++⨯+++++++⨯+++【例 14】 22222211111131517191111131+++++=------ .【例 15】 5667788991056677889910+++++-+-+⨯⨯⨯⨯⨯【例 16】 22222222122318191920122318191920++++++⋯⋯++⨯⨯⨯⨯【例 17】111111 23459899515299 +++++++=⨯⨯⨯【例 18】24612 335357357911 ++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【例 19】计算：283411 1222222 1335571719135357171921⎛⎫++++-+++=⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭【巩固】 111 (101111125960)+++⨯⨯⨯【巩固】 2222109985443++++=⨯⨯⨯⨯【巩固】1111251335572325⎛⎫⨯++++= ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭【巩固】 2512512512512514881212162000200420042008+++++⨯⨯⨯⨯⨯【巩固】 3245671255771111161622222929++++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯【巩固】 11111111612203042567290+++++++=_______【巩固】 111111136********++++++=【巩固】 1111111112612203042567290--------＝【巩固】 11111104088154238++++= 。
分数裂项的知识点总结
分数裂项的知识点总结一、分数裂项的定义在数学中，分数裂项指的是将一个分数表达成若干个较小的分数之和的形式。
通俗来讲，就是把一个分数分解成几个更小的分数相加的形式。
分数裂项有两种常见的形式，一种是分母为线性函数的形式，另一种是分母为二次函数的形式。
1. 分母为线性函数的分数裂项当分数的分母为线性函数的形式时，我们可以使用部分分式分解的方法将其分解成若干个较小的分数相加的形式。
具体的步骤如下：首先，对分母进行因式分解，得到一些线性因式和重数为1的线性因式。
然后，将这些线性因式和重数为1的线性因式分别拆分成若干个较小的分数。
最后，将分解后的各个较小的分数相加，就得到了原来的分数。
例如，对于分数$\frac{1}{(x-1)(x-2)}$，我们可以进行部分分式分解，得到$\frac{1}{(x-1)(x-2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2}$的形式，再将其相加即可还原原来的分数。
2. 分母为二次函数的分数裂项当分数的分母为二次函数的形式时，我们可以使用平方配方法将其分解成若干个较小的分数相加的形式。
具体的步骤如下：首先，对分母进行平方配，得到一些平方项。
然后，将这些平方项拆分成若干个较小的分数。
最后，将分解后的各个较小的分数相加，就得到了原来的分数。
例如，对于分数$\frac{1}{x^2-1}$，我们可以进行平方配，得到$\frac{1}{x^2-1} =\frac{1/2}{x-1} - \frac{1/2}{x+1}$的形式，再将其相加即可还原原来的分数。
二、常见的分数裂项技巧在分数裂项的过程中，我们常常会遇到一些特殊的情况，这时需要灵活运用一些分数裂项的技巧来处理。
下面列举一些常见的分数裂项技巧：1. 使用齐次化简：当分母中含有根式或者复杂的二次函数时，我们可以使用齐次化简的方法，将其化为一般的二次函数，便于进行分数裂项。
2. 对待定系数进行适当取值：在进行部分分式分解时，我们可以通过适当取值来简化未知数的计算，例如取特殊值或者代入简单的方程组。
分数裂项求和方法总结
分数裂项求和方法总结（一）用裂项法求n（_i_）型分数求和1 1分析：因为------ -------n n 1n 1 n n(n 1)n(n 1)（n为自然数）n（n 1）所以有裂项公式:1 1 1n(n 1) n n 1【例1】10 11111 12的和。
59 601 110 60丄12（二）用裂项法求乔七型分数求和分析: 型。
（n,k均为自然数）n（n k）因为1(1所以【例2】n(nk)] n(n k)n(n k)")1计算5 7 9 11 11 13 13 151勺1(1 9 2'91 1、，1 1 )(丄(丄丄)2 11 131 1)(丄(1 1)2 5 7111-[( )( )( ,、 ,、2 5 7 7 9 9 11 11 13 13 152[515]丄15（三）用裂项法求—「型分数求和n（n k）分析：k- 型（n,k均为自然数）n（n k）1 1 _ n k n kn n k n(n k) n(n k) n(n k)所以k _ 11n(n k) n n k亠2 2 2 2【例3】求2的和1 3 3 5 5 7 97 99（四）用裂项法求仝型分数求和n(n k)(n 2k)分析：2k 均为自然数）分析：n（n k)(n (n,k2k)2k 1 1n(n k)( n 2k) n(n k) (n k)( n 2k)【例4】计算：-4 4 4 4 1 1 1 1(1 3)( ) (-3 5 5 1 1999899(1 1 ) ( 1 1 )(93 9595 97)(95 9797 99)1 1 1 、 “ 1 1 、“ 11 、、[( )()... ...(-)]3 1 2 32 3 4 2 3 4 3 4 5 17 18 19 18 19 20丄[1 1]3 1 2 3 18 19 201139 20520(五)用裂项法求1型分数求和n(n k)(n 2k)(n 3k) 分析：1（n,k 均为自然数）n(n k)( n 2k)(n 3k)1 1 1 n(n k)(n 2k)(n 3k) 3k (n(n k)( n 2k)1(n k)(n 2k)(n3k)【例5】1 1 计算：1234 2 3 4 5117 18 19 203k11n(n k)( n 2k)(n3k) n(n k)( n 2 k) (n k)( n 2k)(n 3k)【例6】计算：-3 3 3分析:(n,k 均为自然数)1 (1 3 1、( 1 1、 3 5) (3 5 5 7)111 3 97 99 32009603(六)用裂项法求 n(n k)(n 2k)(n 3k)型分数求和n(n k)(n 2k)(n 3k)(1 1 ) ( 1 1 )(1 2 3 2 3 4) (2 3 4 3 4 5)1 11 2 3 18 19 2011396840（七）用裂项法求复合型分数和（例题略）( 1 1 )(17 18 19 18 19 20)。
分数裂项知识
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
分数裂项一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：知识点拨教学目标分数裂项计算（1）11a b a ba b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯（2）2222a b a b a ba b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
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就可以利用裂项法公式： 1 n(n
1)
1 n
1 n 1
把每个分数拆成两个分数单位的差，消去中间留下两边即：
总结：
1 1 2
1 23
(n
1 1) n
1 n(n
1)
1
1 n 1
n n 1
分数裂项的减法形式举例如下:
通分与拆分互逆：
11 3 2 1 2 3 23 23 6 1＝ 3 2 ＝1 1 6 23 23 2 3
相同的分子提出来，使分子变为1。
1 1 5 7 35
11 2 5 7 35
11 1 5 7 57
1 1（11） 57 2 5 7
求 1和 1： 11111 1 33 55 77 99 11 1 1 11 3 1 35
解 1 ： （ 1 1 ) 1 原 （ 1 1 ) 式 1 （ 1 1 ) 1 （ 1 1 ) 21 323 5 211 1 2 3 11 35
1 1
23 6
1 1 1
1 1 1 23 6
23 6
1 1
78 56 11 1 7 8 56
11 1 7 8 56
注意：分数的分母必
须是相邻的自然数;分
1 1
子必须是1
5 7 35
11 2 5 7 35
11 1 5 6 30
3 3
11 1 5 7 57
11 3 5 6 56
总结： 1 1 1 n(n1) n n1
5 6 30
求 1和 1 ： 11111 1 22 33 44 55 66 77 8
解 1 ： 1 ( 1 1 ) ( 原 1 1 ) ( 1 1 式 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) 1 2 2 33 44 55 66 77 8
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2233445566778
1 1 100
99 .消去中间留下两边.
100
一 .分 母是 两 个 相邻 数 裂 项： 若干个分数连加，如果每个分数的分母， 都 是 两 个 相 邻 自 然 数 相 乘 ， 且 分 子 是1时 ， 就可以利用裂项法公式：
1 1 1 n (n 1) n n 1 即：把每个分数拆成两个分数单位的差， 消去中间留下两边.
1 1
2
2
1
3
(n
1 1)
n
n
1 (n
1)
1
n
1
1
n n 1
二.多个数裂项 裂项法总结
一、两个不相邻数裂项方法：若
干个分数连加，如果每个分数的分母，
判断：
都是两个相邻自然数相乘，且分子是1 就可以利用裂项法公式，把每个分数拆 成两个分数单位的差，简便（抵消）计
算。消去中间留下两边. 如果分子不为1且相同时，可以把
一、两个相邻数裂项解析
1 1 23 6
1 1 1 23 6
1 1 78 56
11 1 7 8 56
1 1 1 23 6
11 1 7 8 56
根据上述式子， 你有发现什么 规律吗？
规律分数的分母必须是相邻的 自然数相乘;分子必须是1.
一.两个相邻数裂项解析：分数的分母必
须是相邻的自然数相乘;分子必须是1.
1 1 8 若干个分数连加，如果每个分数的分母，
7
都是两个相邻自然数相乘，且分子是1时，
8
就可以利用裂差公式，把每个分数拆成两
练习：个分数单位的差，消去中间留下两边.
求和 1 1 1 1
12 23
98 9999 100
举例解析：裂项基础之黄金数列
11 1 2 23
1 1 9899 99100
解：
Sn
1 (1 3
1) 4
1 (1 34
1) 7
1 (1 37
1 ) 10
1( 1 3 3n 2
1) 3n 1
1 (1 1 ) n 3 3n 1 3n 1
判断：
判断：
判断：
一.两个相邻数裂项法总结
一、两个相邻数裂项方法：
若干个分数连加，如果每个分数的 分母，都是两个相邻自然数相乘， 且分子是1时，就可以利用裂项法 式，把每个分数拆成两个分数单位
的差，消去中间留下两边.
一、两个相邻数裂项：
一.分母是两个相邻数裂项：若干个分数连加，如果每个分数的分母，
都是两个相邻自然数相乘，且分子是1时，
1＋ 1＋ 1＋ ＋ 1 1 2 2 33 4 2 0 1 0 2 0 1 1
总结：
1 1 1 1
1 2 23
(n 1) n n (n 1)
1 1 n 1
n n 1
一 .分 母 是 两 个 相 邻 数 裂 项 法 总 结 ：
把每个分数拆成两个分数单位的差，
消 去 中 间 留 下 两 边 .即 ：
1 （ 1 1 1 1 1 1 1 1 ) 2 335 11 13 13 15
1（1 1 ) 2 15
7 15
总结：
1 1
3
3
1
5
(2n
1)
1 （2n
1）
1（1 1 ） 2 2n 1
n 2n 1
练习1
Sn
1 1 4
1 47
1 7 10
1 (3n 2)(3n 1)
一 .分 母 是 两 个 相 邻 数 裂 项 法 总 结 ：
把每个分数拆成两个分数单位的差，
消 去 中 间 留 下 两 边 .即 ：
1 1
2
2
1
3
(n
1 1) nn1 (n1)1
n
1
1
n n 1
习
练
题
11 1 1 1 12 23 34 45 56
111111 344556677889
1111111 2 6 12 20 30 42 56