分数裂项法解分数计算
分数裂项法总结.
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2233445566778
1 1 8 若干个分数连加，如果每个分数的分母，
7 8
练习：
都是两个相邻自然数相乘，且分子是1时， 就可以利用裂差公式，把每个分数拆成两 个分数单位的差，消去中间留下两边.
n 2n 1
练习1
Sn
1 1 4
1 47
1 7 10
1
(3n 2)(3n 1)
解：
1 1 11 1 11 1
11
1
Sn
(1 ) ( ) ( 3 4 34 7 37
) 10
(
)
3 3n 2 3n 1
1 (1 1 ) n 3 3n 1 3n 1
n n 1
习
练
题
1 1 1 1 1 1 2 23 3 4 45 56
111111 34 45 56 67 78 89
11 1 1 1 1 1 2 6 12 20 30 42 56
1 ＋ 1 ＋ 1 ＋L ＋
1
1 2 23 3 4
就可以利用裂项法公式： n
1 (n
1)
1 n
1 n 1
把每个分数拆成两个分数单位的差，消 23
L
L
(n
1 1)
n
1 n(n
1)
1
n
1 1
n
n 1
分数裂项的减法形式举例如下:
通分与拆分互逆：
Q 11 3 2 1 2 3 23 23 6
11 2 5 7 35
裂项拆分法巧算
在对有理分式函数求不定积分之前，通常都要对分式进行分解。
因为目前比较常用的分式不定积分公式，只有分母是一次整式的幂，或二次整式的幂两种形式的真分式的不定积分公式。
因此我们要把那些分母在三次以上的分式，分解成一系列符合上面两种形式的真分式的和。
这就是对分式裂项分解的一个过程。
或称为部分分式分解。
为此，我们要先明确有理函数的概念：由两个多项式函数的商所表示的函数，其一般形式为：R(x)=(P(x))/(Q(x))=(α0 x^n+α1 x^(n-1)+…+αn)/(β0 x^m+β1 x^(m-1)+…+βm)，其中n,m∈N，α0,α1,…αn与β0,β1,…βm都是常数，且α0β0≠0.即分子是一个n次多项式P(x)，分母是一个m次多项式Q(x)，构成的函数，就是有理函数R(x)。
如果m>n，即分母的次数更高，就称它为真分式，如果m<=n，即分母的次数不高于分子，就称为假分式。
这两个概念可以类比真分数和假分数。
因此，和分数类似的，假分式可化为整式与真分式的和。
所以我们在进行分式部分分解时，如果原分式是假分式，就要先把这个假分式化为整式与一个真分式的和。
因为我们主要关注的是那些最简的真分式。
即无法继续约分的真分式。
真分式表示为若干个部分分式之和，这个过程就称为部分分式分解。
下面我们来了解一下真分式部分分式分解的一般步骤：第一步：对分母Q(x)在实系数内作标准分解：(分解前先化β0=1)Q(x)=(x-a1)^λ1*(x-a2)^λ2…(x-as)^λs)(x^2+p1x+q1)^μ1…(x^2+ptx+qt)^μt，其中λi,μj(i=1,2,…,s；j=1,2,…,t)均为自然数，【即s个一次整式的幂积，乘以t个二次整式的幂积。
不过并不是所有整式，都可以分解成这样的形式的。
如果分解不了，就不属于这里讨论的范围】而且∑(i=1->s)λi+2∑(j=1->t)μj=m;【只有最高次数保持不变，才能保证分解之后结果恒等】pj^2-4qj<0, j=1,2,…,t.【即每一个二次整式因式都无法继续分解】第二步：根据分母各因式分别写出与之相应的部分分式：(1)对每个形如(x-a)k的因式，对应的部分分式是：A1/(x-a)+A2/(x-a)^2 +…+Ak/(x-a)^k.(2)形如(x2+px+q)k的因式，对应：(B1x+C1)/(x^2+px+q)+(B2 x+C2)/(x^2+px+q)^2+…+(Bkx+Ck)/(x^2+px+q)^k .第三步：运用待定系数法确定系数.下面看一道例题：对R(x)=(2x^4-x^3+4x^2+9x-10)/(x^5+x^4-5x^3-2x^2-4x-8)作部分分式分解.解：Q(x)=x^5+x^4-5x^3-2x^2+4x-8=(x-2)(x+2)^2(x^2-x+1),R(x)=A0/(x-2)+A1/(x+2)+A2/(x+2)^2+(Bx+C)/(x^2-x+1).【通分相加之后，分子恒等】P(x)≡A0(x+2)^2(x^2-x+1)+A1(x-2)(x+2)(x^2-x+1)+A2(x-2)(x^2-x+1)+(Bx+C)(x-2)(x+2)^2=(A0+A1+B)x^4+(3A0-A1+A2+2B+C)x^3+(A0-3A1-3A2-4B+2C)x^2+(4A1+3A2-8B-4C)x+4A0-4A1-2A2-8C.根据分子恒等，列方程组{A0+A1+B=2；3A0-A1+A2+2B+C=-1；A0-3A1-3A2-4B+2C=-1；4A0+3A1-8B-4C=9；4A0-4A1-2A2-8C=-10.解得：(A0=1; A1=2; A2=-1; B=-1; C=1.∴R(x)=1/(x-2)+2/(x+2)-1/(x+2)^2-(x-1)/(x^2-x+1).有时在通分得到分子恒等式之后，可以利用特值法来解决，往往都会比较简便，但不是一定会简便的。
小学奥数分数裂项方法
小学奥数分数裂项方法
奥数是指奥赛数学，是指以提高学生的数学能力为目的的训练方式。
奥数分数裂项法是一种分类讨论、枚举查找的数学方法，常用于解决小学生的数学问题。
奥数分数裂项法的基本步骤如下：
1.对分数进行裂项：将分数裂成若干个等价的分数，
便于解决问题。
2.列出裂项后的分数：将裂项后的分数按照大小顺
序排列，便于解决问题。
3.解决裂项后的分数：根据裂项后的分数排列，依
次解决裂项后的分数。
4.求解裂项后的分数的和：将裂项后的分数的和求
出，得到最终的答案。
奥数分数裂项法能够帮助小学生解决分数的运算问题，并且能够提高学生的数学能力。
但是，在使用奥数分数裂项法时，要注意：
1.要掌握好裂项的基本方法，便于将分数裂成若干
个等价的分数。
2.要熟练掌握分数的四则运算，才能够解决裂项后
的分数。
3.要注意计算的精确性，避免因计算错误而得出错
误的答案。
在实际使用奥数分数裂项法时，可以运用以下方法来提高解题效率：
1.先将分数裂成若干个尽可能小的分数，这样在解
决裂项后的分数时就会变得更加容易。
2.尽量选择裂成等价的分数，这样在求解裂项后的
分数的和时就会变得更加方便。
3.在解决裂项后的分数时，尽量使用快速的计算方
法，如使用乘法分配律等。
4.在解决裂项后的分数时，要注意分析题目，寻找
能够利用的性质。
奥数分数裂项法是一种非常有效的解决分数运算问题的方法，在小学数学学习中十分重要。
通过熟练掌握奥数分数裂项法，小学生能够更加轻松地解决分数运算问题，并提高自己的数学能力。
分数裂项求和方法总结
分数裂项求和方法总结（一） 用裂项法求1(1)n n +型分数求和 分析：因为111n n -+＝11(1)(1)(1)n n n n n n n n +-=+++（n 为自然数） 所以有裂项公式：111(1)1n n n n =-++ （二） 用裂项法求1()n n k +型分数求和 分析：1()n n k +型。
（n,k 均为自然数） 因为11111()[]()()()n k n k n n k k n n k n n k n n k +-=-=++++ 所以1111()()n n k k n n k =-++（三） 用裂项法求()k n n k +型分数求和 分析：()k n n k +型（n,k 均为自然数） 11n n k -+＝()()n k n n n k n n k +-++＝()k n n k + 所以()k n n k +＝11n n k -+（四） 用裂项法求2()(2)k n n k n k ++型分数求和 分析：2()(2)k n n k n k ++（n,k 均为自然数） 211()(2)()()(2)k n n k n k n n k n k n k =-+++++（五） 用裂项法求1()(2)(3)n n k n k n k +++型分数求和 分析：1()(2)(3)n n k n k n k +++（n,k 均为自然数） 1111()()(2)(3)3()(2)()(2)(3)n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-++++++++ （六） 用裂项法求3()(2)(3)k n n k n k n k +++型分数求和 分析：3()(2)(3)k n n k n k n k +++（n,k 均为自然数） 311()(2)(3)()(2)()(2)(3)k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++记忆方法：1.看分数分子是否为1；2.是1时，裂项之后需要整体×首尾之差分之一；3.不是1时不用再乘；裂项时首尾各领一队分之一相减。
小学六年级数学难题：分数计算(裂项法)
、裂项法小学数学课本在讨论分数加减法时曾指出：两个分母不同的分数相加减，自然数，公分母正好是它们的乘积.把这个例题推广到一般情况，就有一个很有用的等式：下面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题例1 计算：分析与解此题按常规方法先通分后再求和，显然计算起来十分繁杂是 1 ，而分母又都是相邻两个自然数的积，符合上面等式的要求.如果按上面等式把题目中的前12 个加数也分别写成两个单位分数之差的形式，就得到下面12 个等式：上面12 个式子的右面相加时，很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0，这一来问题解起来就十分方便了像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法.例2 计算：分析与解这里的每一项的分子是1，分母不是相邻两个自然数的积，但都是从 1 开始的连续若干个自然数的和，这使我们联想到计算公式：1+当n分别取1，2，3，⋯，100时，就有即题目中的每一项都变成了一个分子为2、分母为相邻两个自然数乘积的形式，略加变形就得到例 1 的形式，仿照例 1 的方法便可求出解来分析与解猛一看，此题似乎无法下手，而且与裂项法也没关系.但小学数学课本上曾说过，减法是加法的逆运算.换句话说，任一加法算式都可以改为这个题的答案是否只有这一个呢？如果不只一个，怎样才能找出所有答案呢？为此，我们来讨论这类问题的一般情况.设n、x、y 都是自然数，且当t=1 时，x=7，y=42，当t=2 时，x=8，y=24，当t=3 时，x=9，y=18，当t=4 时，x=10，y=15，当t=6 时，x=12，y=12，当t=9 时，x=15，y=10，当t=12 时，x=18，y=9，当t=18 时，x=24，y=8，当t=36 时，x=42，y=7.故□和○所代表的两数和分别49、32、27、25.为例 4 已知A、B、C、D、E、F为互不相等的自然数，当A、B、C、D、E、F 各为什么数时，下面等式成立？当A=3 ，B=7，C=43，D=1807，E=3263443，F=10650056950806时，等式成立.即这方法计算量太大，我们试着找另外方便一些的解法在上面两种解法中，后面的解法明显比前面的解法简便.下面我们把后面的那种解题方法一般化.当A 有n个不同的约数a1，a2，a3，⋯，a n时练习一1.计算：2. 计算：4.当A、B、C、D、E、F各是什么不同的自然数时，下式成立？5. 计算：。
分数裂项分子不一样拜 -回复
分数裂项分子不一样拜-回复分数裂项分子不一样拜（又称为分数拆项法）是一种在数学中常被用于化简分式的方法。
它的基本原理是将一个分式的分子进行分解，使得每一项的分子都不相同。
这种方法能够使得求解复杂分式问题变得更加简单，节省时间。
首先，让我们来看一个简单的例子来理解分数裂项分子不一样拜的核心思想。
假设我们需要化简下列分式：A. (2x+4)/(3x+6)要使分数的分子进行裂项，我们需要找到一个合适的数（通常是一个常数或者代数表达式）来将分子相加，并且通过相加得到的结果化简原来的分子。
因此，我们可以选择将分子的两个项分别除以2（2为分子x的系数）来得到：(2x/2 + 4/2)/(3x+6)这样，我们可以得到：(x + 2)/(3x + 6)从上面的例子中可以看出，分子的项被分解为两个不同的项，并且通过化简得到了一个更简单的分式。
现在，我们来看一个稍微复杂一些的例子：B. (2x^2 + 4x + 6)/(3x^2 + 9x)对于这个分式，我们需要找到一个合适的数或者代数表达式来将其分子相加。
在这个例子中，我们可以选择将分子的每一项都除以2x（2x为分子的第一项的系数）来得到：(2x^2/2x + 4x/2x + 6/2x)/(3x^2/2x + 9x/2x)这样，我们可以得到：(x + 2 + 3/x)/(3x + 9)同样的，我们通过分解分子的项，并通过化简得到了一个更简单的分式。
除了上面两个例子，分数裂项分子不一样拜还可以应用于更复杂的分式化简。
例如，分子包含平方项的分式：C. (x^2 + 3xy + 2y^2)/(2x^2 + 4xy + 6y^2)对于这个分式，我们可以选择将分子的第一项除以x，将第二项除以y来得到：(x^2/x + 3xy/y + 2y^2/y)/(2x^2/x + 4xy/y + 6y^2/y)这样，我们可以得到：(x + 3x + 2y)/(2x + 4y + 6y)通过分解分子的项，并通过化简得到了一个更简单的分式。
分数裂项法解分数计算
分数裂项法解分数计算
首先，我们来看一个例子：
计算分数1/5+2/7
传统的方法是先找到两个分数的公共分母，然后进行分子相加、分母相同的运算。
但是这种方法不直观，计算过程繁琐。
对于例子中的1/5+2/7，我们可以这样进行计算：
1/5=(1/6+1/30)
2/7=(1/7+1/14)
将两个分数进行分解，然后合并：
1/5+2/7=(1/6+1/30)+(1/7+1/14)
=1/6+1/30+1/7+1/14
现在，我们需要找到这四个分数的最小公倍数作为新的分母。
最小公倍数是60。
1/6=10/60
1/30=2/60
1/7=8/56
1/14=4/56
现在，我们可以将分数相加：
10/60+2/60+8/56+4/56=24/60+12/60+8/56+4/56
再进行分子相加，分母保持不变：
=(24+12+8+4)/60
=48/60
最后，我们可以将分数简化为最简形式：
48/60=4/5
所以，1/5+2/7=4/5
通过分数裂项法，我们将原本繁琐的计算简化为了几个简单的分数的
相加操作，极大地提高了计算效率。
除了分数求和之外，分数裂项法还可以应用于分数减法、分数乘法和
分数除法等计算中。
通过将分数进行合理的拆分，我们可以简化计算过程，更加直观地理解运算原理。
总而言之，分数裂项法是一种简化分数计算的方法，通过分解分数，
将问题转化为多个简单的分数的求和或相乘运算，从而提高计算效率和准
确性。
它在数学计算中具有重要的应用价值。
裂项法在分数计算中的应用
裂项法在分数计算中的应用裂项法是分数运算中常用的简便方法之一，而且运用裂项法往往会使繁杂的分数计算简单化，所以掌握裂项法的解题要求和思想是十分重要的。
裂项法的原理：我们在进行分数计算使运用了BA B A B A B A A B B A 11,11，我们将此运算逆向思维，则可以得到BA B A B A B A B A A B 11,11 。
即当一个分数的分母是两个正整数的乘积，而分子是这两个正整数的差或和，则我们可以将这个分数写成两个分数的和或差。
裂项法的原理比较简单，但是分数计算中所涉及到的题型的变化和其他数学思想的渗入、结合，使有些问题变得复杂、棘手。
下面就有关于裂项法所涉及到的一些题型和变化进行一番探索。
例1、计算200520041431321211 分析：此题是运用裂项法进行分数计算的最基本的运用，分母是两个正整数的乘积，而分子是这两个正整数的差，所以我们可以将每一个分数分裂成两分数的差，即111)1(1 n n n n 20052004200511200512004131212111 解：原式 小结：通过以上的介绍可以看到在分数计算中，有的计算如果运用通分等思想，由于题目过于复杂，不容易计算，而使用裂项法就使解题变得十分的简单。
111111131212111)1(1321211 n n n n n n n 例2、计算561542133011209127311 分析：此题好象不符合裂项法的要求，但是我们仔细分析，发现分母上的 ,5420,4312 ，而分子恰好是这两个正整数的和：3+4=7，4+5=9，…，所以可以运用裂项法的原理来解。
)8171()7161()6151()5141()4131(311 解：原式 87811 例3、计算200520032752532312 分析：此题是分数运用裂项法计算的最基本的变化，但是从题中可以看出，此种类型的题目还是没有脱离裂项法的基本题型：分母是两个正整数的乘积，分子是这两个正整数的差。
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分数裂项计算
本讲知识点属于计算大板块容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
分数裂项
一、“裂差”型运算
将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即
1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b
=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：
1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)
n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)
n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)
n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”
（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
（1）11a b a b a b a b a b b a
+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
【例 1】
11111
1223344556
++++=
⨯⨯⨯⨯⨯。
【巩固】
111
...... 101111125960 +++
⨯⨯⨯
【巩固】
2222 109985443 ++++=⨯⨯⨯⨯
【例 2】1111 11212312100 ++++
++++++
【例 3】
1111 133******** ++++=⨯⨯⨯⨯
【巩固】计算：
1111
25
1335572325
⎛⎫
⨯++++=
⎪
⨯⨯⨯⨯
⎝⎭
【巩固】251251251251251 4881212162000200420042008 +++++
⨯⨯⨯⨯⨯
【巩固】计算：
3245671 255771111161622222929 ++++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【例 4】计算：
11111111
()128 8244880120168224288
+++++++⨯=
【巩固】11111111 612203042567290
+++++++=_______
【巩固】
111111
1
3610152128 ++++++=
【巩固】计算：111111111 2612203042567290
--------＝
【巩固】
11111 104088154238
++++=。
【例 5】计算：
1111 135357579200120032005 ++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【例 6】
7
4.50.16
1111
18
13153563 13 3.75 3.2
3
⨯+
⎛⎫
⨯+++=
⎪
⎝⎭-⨯
【例 7】计算：
11111 123420 261220420 +++++
【巩固】计算：
11111 20082009201020112012
1854108180270
++++= 。
【巩固】计算：11224
26153577
++++=____。
【巩固】计算：1111111 315356399143195 ++++++
【巩固】计算：1511192997019899 2612203097029900
+++++++=．
【例 8】
111 123234789 +++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【巩固】计算：
111 1232349899100 +++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【巩固】计算：
1111 135246357202224 ++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【巩固】
4444
...... 135357939597959799 ++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【巩固】
9998971 12323434599100101 ++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【例 9】
11111 123423453456678978910 +++⋅⋅⋅++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【巩固】
333
...... 1234234517181920 +++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【例 10】计算：
5719
1232348910
+++=
⨯⨯⨯⨯⨯⨯
．
【巩固】计算：
571719 1155
234345891091011⨯++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯（）
【巩固】计算：
34512 12452356346710111314 ++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【例 11】12349 223234234523410 +++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【例 12】
123456 121231234123451234561234567 +++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【巩固】计算：2399
3!4!100!
+++=.
【例 13】
23450
1(12)(12)(123)(123)(1234)(12349)(1250) ++++
⨯++⨯++++⨯+++++++⨯+++
【巩固】
234100
1(12)(12)(123)(123)(1234)(1299)(12100) ++++
⨯++⨯++++⨯++++++⨯+++
【巩固】 23101112(12)(123)(1239)(12310)----⨯++⨯++++++⨯++++（）
【例 14】 222222111111
31517191111131+++++=------ .
【巩固】 计算：2222221
11
111
(1)(1)(1)(1)(1)(1)23454849-⨯-⨯-⨯-⨯⨯-⨯-=
【巩固】 计算：2222222235715
12233478++++⨯⨯⨯⨯
【巩固】 计算：22222222223151711993119951
3151711993119951++++++++++=----- ．
【巩固】 计算：22222222
222213243598100213141991++++++++=---- ．
【巩固】 计算：22
2
2
1235013355799101++++=⨯⨯⨯⨯ ．
【例 15】 56677889910
56677889910+++++-+-+⨯⨯⨯⨯⨯
【巩固】 365791113
57612203042++++++
【巩固】计算：132579101119 3457820212435 ++++++++=
【巩固】12379111725 3571220283042 +++++++
【巩固】111112010263827 2330314151119120123124 +++++++++
【巩固】
354963779110531
1 6122030425688⎡⎤
⎛⎫
-+-+--÷ ⎪
⎢⎥
⎝⎭
⎣⎦
【巩固】计算：
5791113151719 1
612203042567290 -+-+-+-+
【巩固】11798175 451220153012 ++++++
【例 16】
22222222 122318191920 122318191920 ++++ ++⋯⋯++
⨯⨯⨯⨯
【巩固】
11112007111 (......)(......) 120072200620062200712008120062200520061 ++++-+++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【例 17】计算：
111111 23459899515299 +++++++=⨯⨯⨯
【例 18】计算：24612 335357357911 ++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【例 19】计算：
283411 1222222 1335571719135357171921
⎛⎫++++-+++=
⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
⎝⎭。