上海市格致中学2017届高三12月月考数学试题(PDF版) (1)

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上海市格致中学2016-2017学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含答案

格致中学二〇一六学年度第一学期期中考试高一年级数学试卷 (共4页)(测试90分钟内完成，总分100分，试后交答题卷)一、填空题：（每小题3分，满分36分）1、若集合{1,2,3}{,,}a b c =，则_______a b c ++=.2、若原命题的否命题是“若,x N ∉则x Z ∉”，则原命题的逆否命题是_____________.3、已知函数3()()f x g x ==则()()f x g x ⋅=___________. 4、不等式3104x x-≤-的解集是 . 5、若21a ≤，则关于x 的不等式412ax x +>-的解集是___________.6、已知集合,A B 满足，集合{|},{||2|2,}A x x a B x x x R =<=-≤∈，若已知“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，则a 的取值范围是______________.7、已知函数()f x 满足：2(1)2f x x x -=-，则函数()__________f x =.8、已知集合,A B 满足，集合{|73,},{|74,}A x x k k N B x x k k Z ==+∈==-∈，则A B ，两个集合的关系：A B ______（横线上填入⊆⊇，或=） 9、已知集合,A B 满足，集合22{|1,},{|1,}A x x y y R B y y x x R =+=∈==-∈，则A B =______________.10、若函数()y f x =的定义域为[2,2]-，则函数(1)(1)y f x f x =+⋅-的定义域是__________.11、已知直角三角形两条直角边长分别为a 、b ，且121a b+=，则三角形面积的最小值为 .12、定义集合运算“*”：{(,)|,}A B x y x A y B ⨯=∈∈，称为,A B 两个集合的“卡氏积”。

若2{|2||0,},A x x x x N =-≤∈{1,2,3}B =，则()()__________A B B A ⨯⨯=.班级____________姓名________________学号____________准考证号______________二、选择题：（每小题4分，满分16分） 13、下列写法正确的是（） A. {0}∅∈B. ({0})⊆∅∅C. 0⊂∅≠D. R∅∉∅14、已知函数()y f x =，则集合{(,)|(),}{(,)|2}x y y f x a x b x y x =≤≤=的子集可能有（） A.0个B. 1个C.1个或2个D.0个或1个15、以下结论正确的是（）A.若a b <且c d <，则ac bd <；B.若22ac bc >，则a b >；C.若a b >，c d <，则a c b d ->-；D.若0a b <<，集合1{|}A x x a ==，1{|}B x x b==，则A B ⊇.16、有限集合S 中元素的个数记做()card S ，设,A B 都为有限集合，给出下列命题： ①A B =∅的充要条件是()()()card A B card A card B =+； ②A B ⊆的必要不充分条件是()()1card A card B <+； ③A B ⊂≠的充分不必要条件是()()1card A card B ≤-； ④A B =的充要条件是()()card A card B =；其中，真命题有（） A. ①②③ B. ①② C. ②③ D.①④三、解答题（本大题共4小题，满分48分）解答下列各题要有必要的解题步骤，并在规定处答题，否则不得分。

2016-2017学年上海市十四校(原十三校)联考高三(上)12月月考数学试卷(解析版)

2016-2017学年上海市十四校（原十三校）联考高三（上）12月月考数学试卷一、填空题（共14题，每题小题4分，共56分）1．已知复数（i为虚数单位），则=．2．已知函数f（x）=，则f（f（x））=．3．若不等式组的解集中的元素有且仅有有限个数，则a=．4．函数y=cos2x+sinxcosx的最小值为．5．设二项式的展开式中各项系数和为p，各项的二项式系数和为s，若p+s=272，则n等于．6．若函数f（x）=﹣x2﹣10x在（﹣∞，λ]上是增函数，则方程组的解的组数为．7．已知arcsin（a2+1）﹣arcsin（b﹣1）≥，则arccos（a2﹣b2）=．8．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=，且对于任意正整数m，n都有=a n•a m．若S n＜a对任意n∈N*恒成立，则实数a的最小值是．a n+m9．已知函数f（x）=asinx﹣（a∈R），若函数f（x）在（0，π）的零点个数为2个，则当x∈[0，]，f（x）的最大值为．10．已知直线f（x）=k0x+b与曲线g（x）=交于点M（m，﹣1），N（n，2），则不等式f﹣1（x）≥g﹣1（x）的解集为．11．已知数列{a n}满足a1=0，|a n|=|a n﹣2|，记数列{a n}的前2016项和为S，+1则S的最大值为．12．已知点，且平行四边形ABCD的四个顶点都在函数f（x）=log2的图象上，设O为原点，已知三角形OAB的面积为S，则平行四边形ABCD的面积为．13．在边长为1的等边△ABC中，O为边AC的中点，BO为边AC上的中线，=2，设∥，若=+λ（λ∈R），则||=．14．已知sinx=x﹣+…，由sinx=0有无穷多个根；0，±π，±2π，±3π，…，可得：，把这个式子的右边展开，发现﹣x3的系统为，即，请由cosx=1﹣+…出现，类比上述思路与方法，可写出类似的一个结论．一、选择题（4*5=20）15．如图中，哪个最有可能是函数的图象（）A．B．C．D．16．若m，n∈N*则a＞b是（a m﹣b m）•（a n﹣b n）＞0成立的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充分必要D．既非充分又非必要17．将函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象向左平移个单位，所得函数图象与f（x）图象关于x轴对称，则ω的值不可能是（）A．2 B．4 C．6 D．1018．若存在实数a，b，对任意实数x∈[0，4]，使不等式﹣m≤ax+b≤+m 恒成立，则m的取值范围为（）A．m≥1 B．m≤1 C．m≤D．m≥三、解答题（12+14+14+16+18）19．如图所示的“相邻塔”形立体建筑，已知P﹣OAC和Q﹣OBD是边长分别为a 和的两个正四面体，底面中AB与CD交于点O，试求出塔尖P，Q 之间的距离关于边长a的函数，并求出a为多少时，塔尖P，Q之间的距离最短．20．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．若，求（1）tanA：tanB：tanC的值；（2）求角A的值．21．某中学为丰富教职工生活，在元旦期间举办趣味投篮比赛，设置A，B两个投篮位置，在A点投中一球得1分，在B点投中一球得2分，规则是：每人按先A后B的顺序各投篮一次（计为投篮两次），教师甲在A点和B点投中的概率分别为和，且在A，B两点投中与否相互独立（1）若教师甲投篮两次，求教师甲投篮得分0分的概率（2）若教师乙与教师甲在A，B投中的概率相同，两人按规则投篮两次，求甲得分比乙高的概率．22．（16分）设f（x）=a x﹣1，g（x）=b x﹣1（a，b＞0），记h（x）=f（x）﹣g （x）（1）若h（2）=2，h（3）=12，当x∈[1，3]时，求h（x）的最大值（2）a=2，b=1，且方程有两个不相等实根m，n，求mn的取值范围（3）若a=2，h（x）=c x﹣1（x＞1，c＞0），且a，b，c是三角形的三边长，求出x的范围．23．（18分）正整数数列{a n}满足，其中S n为数列{a n}的前n项和．（1）若p=1，q=0，求证：{a n}是等差数列（2）若数列{a n}为等差数列，求p的值．（3）证明：a2016=2016a1的充要条件是p=．2016-2017学年上海市十四校（原十三校）联考高三（上）12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14题，每题小题4分，共56分）1．已知复数（i为虚数单位），则=．【分析】根据两个复数代数形式的乘除法法则，化简复数z，从而求出，进而求得的值．解：复数==，∴=，∴=•==，故答案为．【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘法，虚数单位i 的幂运算性质，属于基础题．2．已知函数f（x）=，则f（f（x））=1．【分析】根据函数的不等式代入即可．解：若x≥0，则f（x）=1，则f（f（x））=f（1）=1，若x＜0，则f（x）=0，则f（f（x））=f（0）=1，故答案为：1【点评】本题主要考查函数值的计算，利用条件代入是解决本题的关键．比较基础．3．若不等式组的解集中的元素有且仅有有限个数，则a=2018．【分析】若不等式组的解集中有且仅有有限个数，则a﹣1=2017，进而得到答案．解：解x﹣1≥2016得：x≥2017，解x+1≤a得：x≤a﹣1，若a﹣1＜2017，则不等式的解集为空集，不满足条件；若a﹣1=2017，则不等式的解集有且只有一个元素，满足条件，此时a=2018；若a﹣1＞2017，则不等式的解集为无限集，不满足条件；综上可得：a=2018，故答案为：2018【点评】不等式考查的知识点是集合元素的判断，不等式组的解集，难度不大，属于基础题．4．函数y=cos2x+sinxcosx的最小值为﹣．【分析】利用二倍角公式、两角和的正弦公式化简函数的解析式为y=+sin （2x+），由此求得函数y的最小值．解：函数y=cos2x+sinxcosx=+sin2x=+sin（2x+），故当2x+=2kπ﹣，k∈z 时，函数y取得最小值为﹣1=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查二倍角公式、两角和的正弦公式、正弦函数的最值，属于中档题．5．设二项式的展开式中各项系数和为p，各项的二项式系数和为s，若p+s=272，则n等于4．【分析】各项系数之和为P．即x=1时，P=4n，二项系数和为2n，从而代入条件即可求．解：由题意各项系数之和为P．即x=1时，P=4n，二项系数和为2n，∴4n+2n=272，，∴2n=16，∴n=4，故答案为4【点评】本题主要考查二项式中系数问题，应注意区分各项系数和与二项式系数和．6．若函数f（x）=﹣x2﹣10x在（﹣∞，λ]上是增函数，则方程组的解的组数为1．【分析】利用函数的单调性求出λ，然后求解方程组的解即可．解：函数f（x）=﹣x2﹣10x在（﹣∞，λ]上是增函数，可得λ=﹣=﹣5，则方程组，化为：，解得：，方程组只有一组解．故答案为：1．【点评】本题考查二次函数的性质的应用，方程组的求法，考查计算能力．7．已知arcsin（a2+1）﹣arcsin（b﹣1）≥，则arccos（a2﹣b2）=π．【分析】由题意，求出a=0，b=1，a2﹣b2=﹣1，即可得出结论．解：由题意，sinα=a2+1，sinβ=b﹣1，α﹣β≥，∴a=0，b=1，∴a2﹣b2=﹣1，∴arccos（a2﹣b2）=π，故答案为：π．【点评】本题考查反三角函数的定义，考查学生的计算能力，比较基础．8．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=，且对于任意正整数m，n都有a n=a n•a m．若S n＜a对任意n∈N*恒成立，则实数a的最小值是．+m=a m•a n，令m等于1化简后，由等比数列的定义确定此数列是等【分析】由a m+n比数列，利用等比数列的前n项和的公式表示出S n，利用极限思想和条件求出满足条件a的范围，再求出a的最小值．=a m•a n，解：由题意得，对任意正整数m，n，都有a m+n=a1•a n，所以=a1=，令m=1，得到a n+1则数列{a n}是首项、公比都为的等比数列，所以S n==＜，因为S n＜a对任意n∈N*恒成立，所以a≥，则实数a的最小值是，故答案为：．【点评】本题考查了等比数列关系的确定，等比数列的前n项和的公式，以及不等式恒成立问题，是一道综合题．9．已知函数f（x）=asinx﹣（a∈R），若函数f（x）在（0，π）的零点个数为2个，则当x∈[0，]，f（x）的最大值为a﹣．【分析】讨论a＞0时，函数y=f（x）在区间（0，）上有且只有一个零点，在区间（，π）上有且只有一个零点；求出f（x）在x∈[0，]上的最大值；a≤0时，函数f（x）在x∈（0，π）上无零点，从而求出f（x）的最大值．解：因为函数f（x）=asinx﹣（a∈R），且x∈（0，π）时，sinx∈（0，1]；所以当a＞0时，asinx∈（0，a]，y=f（x）在区间（0，）上单调递增，函数f（x）在（0，）上有且只有一个零点；y=f（x）在区间（，π）上单调递减，函数f（x）在（，π）上有且只有一个零点；所以a﹣＞0，解得a＞；所以f（x）在x∈[0，]上的最大值是f（）=a﹣；a≤0时，f（x）=asinx﹣＜0在x∈（0，π）上恒成立，函数f（x）无零点，不合题意；综上，f（x）在x∈[0，]上的最大值是a﹣．故答案为：a﹣．【点评】本题主要考查了三角函数的单调性与函数零点的判定定理，是基础题目．10．已知直线f（x）=k0x+b与曲线g（x）=交于点M（m，﹣1），N（n，2），则不等式f﹣1（x）≥g﹣1（x）的解集为[﹣1，0）∪[2，+∞）．【分析】根据已知求出两个反函数的解析式，并画出草图，数形结合，可得答案．解：∵直线f（x）=k0x+b与曲线g（x）=交于点M（m，﹣1），N（n，2），故m=﹣k2，n=，故函数f（x）=k0x+b为增函数，k0＞0，由y=k0x+b得：x=y﹣，故f﹣1（x）=x﹣，由y=得：x=，故g﹣1（x）=，两个反函数交于（﹣1，m），（2，n）点；两个函数的草图如下图所示：当x∈[﹣1，0）∪[2，+∞）时，f﹣1（x）≥g﹣1（x），故答案为：[﹣1，0）∪[2，+∞）【点评】本题考查的知识点是反函数，函数的图象和性质，数形结合思想，难度中档．11．已知数列{a n}满足a1=0，|a n+1|=|a n﹣2|，记数列{a n}的前2016项和为S，则S的最大值为2016．【分析】由已知得a n+1=a n﹣2，或a n+1=2﹣a n，由数列{a n}的前2016项和为S，S取最大值时，得a n+1+a n=2，从而得到a n=，由此能求出S的最大值．解：∵数列{a n}满足a1=0，|a n+1|=|a n﹣2|，∴a n+1=a n﹣2，或a n+1=2﹣a n，∵数列{a n}的前2016项和为S，S取最大值时，a n+1+a n=2，∴a n=，∴S max=1008×0+1008×2=2016．故答案为：2016．【点评】本题考查数列的前2016项和的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数列的递推公式的合理运用．12．已知点，且平行四边形ABCD的四个顶点都在函数f（x）=log 2的图象上，设O 为原点，已知三角形OAB 的面积为S ，则平行四边形ABCD 的面积为 4S ．【分析】先判断函数f （x ）为奇函数，则得到C ，D 点的坐标为（﹣3，﹣1），D （﹣，﹣2），即可得到OA=OC ，OB=OD ，则得到S △OCD =S △OAB =S △OBC =S △OCD =S ，问题得以解决．解：f （x ）=log 2，则＞0，解得x ＜﹣1或x ＞1，∵f （﹣x ）=log 2=log 2=﹣log 2=﹣f （x ），∴f （x ）为奇函数， ∵点，平行四边形ABCD 的四个顶点都在函数f （x ）=log 2的图象上，∴C ，D 点的坐标为（﹣3，﹣1）， D （﹣，﹣2）， ∴OA=OC ，OB=OD ，∴S △OCD =S △OAB =S △OBC =S △OCD =S ， ∴平行四边形ABCD 的面积为4S ，故答案为：4S【点评】本题考查了函数的奇偶性以及函数在几何种的应用，属于中档题．13．在边长为1的等边△ABC中，O为边AC的中点，BO为边AC上的中线，=2，设∥，若=+λ（λ∈R），则||=．【分析】根据题意得出G是△ABC的重心，用、表示出向量，用表示出，写出的表达式，利用向量相等列出方程组求出λ的值，代入=+λ，计算得答案．解：由已知得G是三角形的重心，因此，∵∥，设，∴．∴=．∵=+λ，∴，即λ=2．∴=+2，∴=．∴||=．故答案为：．【点评】本题考查了向量在几何中的应用问题，也考查平面向量的基本定理，是中档题．14．已知sinx=x﹣+…，由sinx=0有无穷多个根；0，±π，±2π，±3π，…，可得：，把这个式子的右边展开，发现﹣x3的系统为，即，请由cosx=1﹣+…出现，类比上述思路与方法，可写出类似的一个结论++…=．【分析】直接利用类比推理，即可得出结论．解：由cosx=0有无穷多个根：±π，±π，…，可得：cosx=（1﹣）（1﹣）…，把这个式子的右边展开，发现x2的系数为++…=，即++…=．故答案为++…=．【点评】本题考查的知识点是类比推理，考查学生的计算能力，难度较大．一、选择题（4*5=20）15．如图中，哪个最有可能是函数的图象（）A．B．C．D．【分析】求出函数的导数，得到函数的单调性，从而判断出函数的大致图象即可．解：y′==，令y′＞0，解得：x＜，令y′＜0，解得：x＞，故函数在（﹣∞，）递增，在（，+∞）递减，而x=0时，函数值y=0，x→﹣∞时，y→﹣∞，x→+∞时，y→0，故选：A．【点评】本题考查了函数的图象，考查函数的单调性问题，是一道基础题．16．若m，n∈N*则a＞b是（a m﹣b m）•（a n﹣b n）＞0成立的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充分必要D．既非充分又非必要【分析】根据充分必要条件的定义判断即可．解：由（a m﹣b m）•（a n﹣b n）＞0，得：a m＞b m且a n＞b n，或a m＜b m且a n＜b n，解得：a＞b＞0或a＜b＜0，故a＞b是（a m﹣b m）•（a n﹣b n）＞0成立的既非充分又非必要条件，故选：D．【点评】本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，是一道基础题．17．将函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象向左平移个单位，所得函数图象与f（x）图象关于x轴对称，则ω的值不可能是（）A．2 B．4 C．6 D．10【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得y=Asin （ωx+ω+φ）的图象，再由Asin（ωx+ω+φ）=﹣Asin（ωx+φ），求得φ满足的条件．解：将函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象向左平移个单位，可得y=Asin[ω（x+）+φ]=Asin（ωx+ω+φ）的图象．再根据所得函数图象与f（x）图象关于x轴对称，可得Asin（ωx+ω+φ）=﹣Asin（ωx+φ），∴ω=（2k+1）π，k∈z，即ω=4k+2，故ω不可能等于4，故选：B．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．18．若存在实数a，b，对任意实数x∈[0，4]，使不等式﹣m≤ax+b≤+m 恒成立，则m的取值范围为（）A．m≥1 B．m≤1 C．m≤D．m≥【分析】不等式﹣m≤ax+b≤+m可化为不等式|ax+b﹣|≤m，等价于任意实数a，b，垂直x∈[0，4]，使不等式|﹣ax﹣b+|＞m，分情况讨论a，即可解决．解：不等式﹣m≤ax+b≤+m可化为不等式|ax+b﹣|≤m，等价于任意实数a，b，存在x∈[0，4]，使不等式|﹣ax﹣b+|＞m，令y=﹣ax﹣b+，则y′=﹣a+在x∈[0，4]上，当y′≥0，即a≤时，单调递增，此时﹣b≤y≤﹣4a﹣b+2，当b≤1﹣2a时，|y|max=﹣4a﹣b+2，当b＞1﹣2a时，|y|max=b，从而当a≤时，b=1﹣2a时|y|取最大值，|y|max=1﹣2a≥，当a＞时，y在[0，）上单调递增，在[，4]上单调递减，在a∈[，]时，﹣b≤y≤﹣b+，当b=时，（|y|max）min=≥，在a∈（，+∞）时，﹣4a﹣b﹣2≤y≤﹣b+，当b=1﹣2a+时，（|y|max）=2a+﹣1＞，min综上所述，（|y|max）min=，∴m≤，故选：C．【点评】本题考查函数的单调性，最值与导数的关系，和存在性问题的转化，属于压轴题，难题．三、解答题（12+14+14+16+18）19．如图所示的“相邻塔”形立体建筑，已知P﹣OAC和Q﹣OBD是边长分别为a 和的两个正四面体，底面中AB与CD交于点O，试求出塔尖P，Q 之间的距离关于边长a的函数，并求出a为多少时，塔尖P，Q之间的距离最短．【分析】过点P作底面OAC的垂线交底面OAC于点O1，过点Q作底面OBD的垂线交底面OBD于点O2，连结O1O2，则四边形PO1O2Q是直角梯形，由此能求出当a=时，塔尖P，Q之间的距离最短．解：如图，过点P作底面OAC的垂线交底面OAC于点O1，过点Q作底面OBD的垂线交底面OBD于点O2，连结O1O2，则O1，O2，O三点共线，且PO1∥QO2，则四边形PO1O2Q是直角梯形，在Rt△OPO1中，OP=a，OO1==，则PO1=，同理，得OO2=，QO2=，则PQ===，PQ=≥=（，当a=时，等号成立），则当a=时，塔尖P，Q之间的距离最短．【点评】本题考查两点间距离最小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．若，求（1）tanA：tanB：tanC的值；（2）求角A的值．【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得，利用同角三角函数基本关系式化简求得tanA：tanB：tanC的值；（2）由（1）可得：tanB=2tanA，tanC=3tanA，利用三角形内角和定理，两角和的正切函数公式可得tanA=，解得tanA，分类讨论可求A的值．【解答】（本题满分为14分）解：（1）∵，∴由正弦定理可得：，…2分∴tanA=tanB=tanC，可得：tanA：tanB：tanC=1：2：3…4分（2）由（1）可得：tanB=2tanA，tanC=3tanA，∵A+B+C=π，∴tanA=﹣tan（B+C）=﹣=，…8分解得：tanA=±1，或tanA=0，…12分当tanA=0，舍去；当tanA=1，A=，当tanA=﹣1，则tanB=﹣2，则A＞，B，矛盾，综上，A=…14分【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的正切函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想、分类讨论思想的应用，属于中档题．21．某中学为丰富教职工生活，在元旦期间举办趣味投篮比赛，设置A，B两个投篮位置，在A点投中一球得1分，在B点投中一球得2分，规则是：每人按先A后B的顺序各投篮一次（计为投篮两次），教师甲在A点和B点投中的概率分别为和，且在A，B两点投中与否相互独立（1）若教师甲投篮两次，求教师甲投篮得分0分的概率（2）若教师乙与教师甲在A，B投中的概率相同，两人按规则投篮两次，求甲得分比乙高的概率．【分析】（1）设“教师甲投篮得分0分”为事件A，利用对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式能求出教师甲投篮得分0分的概率．（2）设“甲得分比乙高”为事件B，记“教师两次投篮得分总数”为X，利用互斥事件概率加法公式能求出甲得分比乙高的概率．解：（1）设“教师甲投篮得分0分”为事件A，则教师甲投篮得分0分的概率：P（A）=（1﹣）（1﹣）=．（2）设“甲得分比乙高”为事件B，记“教师两次投篮得分总数”为X，则P（X=0）=P（A）=，P（X=1）=，P（X=2）=（1﹣）×，P（X=3）=，∴甲得分比乙高的概率P（B）==．【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式的合理运用．22．（16分）设f（x）=a x﹣1，g（x）=b x﹣1（a，b＞0），记h（x）=f（x）﹣g （x）（1）若h（2）=2，h（3）=12，当x∈[1，3]时，求h（x）的最大值（2）a=2，b=1，且方程有两个不相等实根m，n，求mn的取值范围（3）若a=2，h（x）=c x﹣1（x＞1，c＞0），且a，b，c是三角形的三边长，求出x的范围．【分析】（1）根据h（2）=2，h（3）=12，得到关于a，b的方程组，解出即可；（2）求出mn的表达式，结合二次函数的性质求出mn的范围即可；（3）问题等价于存在x使得+=1成立，令f（x）=+，根据函数的单调性求出x的范围即可．解：（1）由已知得：，解得：a=4，b=2，h（x）=f（x）﹣g（x）=4x﹣1﹣2x﹣1=﹣≤﹣=12，故h（x）的最大值是12；（2）由|h（x）|=t，|得：|2x﹣1﹣1|=t，则m=log2（2﹣2t），n=log2（2+2t），m+n=log2（2﹣2t）（2+2t），0＜t＜时，mn≤=＜1，故0＜mn＜1，综上，mn的范围是（0，1）；（3）存在x使得b x﹣1+c x﹣1=2x﹣1成立，等价于存在x使得+=1成立，令f（x）=+，∵b＜2，c＜2，则0＜＜1，0＜＜1，则f（x）是减函数，x＞2，f（x）∈（0，），∵＞1，故必存在x0＞2使得f（x0）=1，即+=1，即+=，综上，x＞2．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查对数函数以及二次函数的性质，考查转化思想，是一道综合题．23．（18分）正整数数列{a n}满足，其中S n为数列{a n}的前n项和．（1）若p=1，q=0，求证：{a n}是等差数列（2）若数列{a n}为等差数列，求p的值．（3）证明：a2016=2016a1的充要条件是p=．【分析】（1）p=1，q=0时，=n，可得S n=na n，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，化为：a n=a n，即可证明．﹣1（2）设等差数列{a n}的公差为d，可得S n=na1+d，a n=a1+（n﹣1）d．又=pn+q，可得na1+d=（pn+q）[a1+（n﹣1）d]（*）．比较两边的系数可得：=pd，对d 分类讨论，进而得出．（3）由=p+q=1，可得q=1﹣p．由S n=（pn+1﹣p）a n，利用递推关系可得：p （n﹣1）a n=（pn+1﹣2p）a n﹣1，即．必要性：当p=时，（n≥2）可得a2016=2016a1．充分性：反证法，当p时，可得，不满足a2016=2016a1．当p时，同理可证明，不满足a2016=2016a1．【解答】（1）证明：p=1，q=0时，=n，可得S n=na n，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=na n ﹣（n﹣1）a n，﹣1化为：a n=a n﹣1，∴a n=a1，∴{a n}是等差数列．（2）解：设等差数列{a n}的公差为d，∴S n=na1+d，a n=a1+（n﹣1）d．则==pn+q，∴na1+d=（pn+q）[a1+（n﹣1）d]（*）．比较两边的系数可得：=pd，当d=0时，na1=a1（pn+q），解得p=1，q=0．此时，S n=na n，由（1）可得：{a n}是等差数列．当d≠0时，p=．由（*）比较常数项可得：0=（a1﹣d）q，则d=a1，a n=nd，{a n}是等差数列．综上可得：p=1或．（3）证明：由=p+q=1，可得q=1﹣p．由S n=（pn+1﹣p）a n，S n﹣1=（pn+1﹣2p）a n﹣1（n≥2），相减可得：p（n﹣1）a n=（pn+1﹣2p）a n﹣1，即．必要性：当p=时，（n≥2）．∴==…=，∴a2016=2016a1．充分性：反证法，当p时，由p（n﹣1）a n=（pn+1﹣2p）a n﹣1=pna n﹣1+（1﹣2p）a n（n≥2），﹣1又数列各项为正数，∴p（n﹣1）a n＜（1﹣2p）a n﹣1（n≥2），即，∴，不满足a2016=2016a1．当p时，同理可证明，不满足a2016=2016a1．【点评】本题考查了充要条件的判定、方程的解法、反证法、分类讨论方法、等差数列的定义通项公式与求和公式，考查了推理能力，属于难题．。

2017届上海市格致中学高三上学期第二次月考数学试卷(解析版)

2016-2017学年上海市格致中学高三（上）第二次月考数学试卷一.填空题1．已知复数，则复数z的虚部为．2．已知集合M={y|y=2x，x＞0}，N={y|y=}，则M∩N等于．3．已知||=1，||=，∥，则•=．4．不等式的解集为．5．函数f（x）=sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0）图象的一条对称轴是直线，则φ=．6．已知函数y=f（x）是偶函数，y=g（x）的奇函数，它们的定义域为[﹣π，π]，且它们在x∈[0，π]上的图象如图所示，则不等式的解集为．7．如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为．8．已知动点（x，y）符合条件，则范围为．9．在的展开式中有项为有理数．10．若a，b∈{1，2，3，…，11}，构造方程，则该方程表示的曲线为落在矩形区域{（x，y）||x|＜11，|y|＜9}内的椭圆的概率是．11．若关于x的方程，（a＞0且a≠1）有解，则m的取值范围是．12．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为1，动点P在此正方体的表面上运动，且PA=r，记点P的轨迹长度为f（r），则关于r的方程的解集为．二.选择题13．“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充分必要D．既非充分又非必要14．已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中不一定能成立的是（）A．ab＞ac B．c（b﹣a）＞0 C．cb2＜ca2 D．ac（a﹣c）＜015．如图为从空中某个角度俯视北京奥运会主体育场“鸟巢”顶棚所得的局部示意图，在平面直角坐标系中，下列给定的一系列直线中（其中θ为参数，θ∈R），能形成这种效果的只可能是（）A．y=xsinθ+1 B．y=x+cosθC．xcosθ+ysinθ+1=0 D．y=xcosθ+sinθ16．已知函数f（x）=asinx﹣bcosx（a，b为常数，a≠0，x∈R）的图象关于x=对称，则函数y=f（﹣x）是（）A．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称B．偶函数且它的图象关于点对称C．奇函数且它的图象关于点对称D．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称17．对于正整数n，定义“n!!”如下：当n为偶数时，n!!=n•（n﹣2）•（n﹣4）…6•4•2；当n 为奇数时，n!!=n•（n﹣2）•（n﹣4）…5•3•1；则：①•=2005!；②2004!!=21002•1002!；③2004!!的个位数是0；④2005!!的个位数是5；上述命题中，正确的命题有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个18．在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，若点P（异于点B）是棱上一点，则满足BP与AC′所成的角为45°的点P的个数为（）A．0 B．3 C．4 D．6三.解答题19．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的菱形，其中∠DAB=60°，SD垂直于底面ABCD，；（1）求四棱锥S﹣ABCD的体积；（2）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小．20．函数y=2x和y=x3的图象的示意图如图所示，设两函数的图象交于点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2．（1）设曲线C1，C2分别对应函数y=f（x）和y=g（x），请指出图中曲线C1，C2对应的函数解析式．若不等式kf[g（x）]﹣g（x）＜0对任意x∈（0，1）恒成立，求k的取值范围；（2）若x1∈[a，a+1]，x2∈[b，b+1]，且a，b∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，求a，b的值．21．已知m＞1，直线l：x﹣my﹣=0，椭圆C： +y2=1，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点．（Ⅰ）当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，△AF1F2，△BF1F2的重心分别为G、H．若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围．22．如图一块长方形区域ABCD，AD=2，AB=1，在边AD的中点O处有一个可转动的探照灯，其照射角∠EOF始终为，设∠AOE=α，探照灯照射在长方形ABCD内部区域的面积为S；（1）当时，求S关于α的函数关系式；（2）当时，求S的最大值；（3）若探照灯每9分钟旋转“一个来回”（OE自OA转到OC，再回到OA，称“一个来回”，忽略OE在OA及OC处所用的时间），且转动的角速度大小一定，设AB边上有一点G，且，求点G在“一个来回”中被照到的时间．23．设函数f（x）=x2﹣（3k+2k）x+3k•2k，x∈R；（1）若f（1）≤0，求实数k的取值范围；（2）若k为正整数，设f（x）≤0的解集为[a2k，a2k]，求a1+a2+a3+a4及数列{a n}的前2n﹣1项和S2n；（3）对于（2）中的数列{a n}，设，求数列{b n}的前n项和T n的最大值．2016-2017学年上海市格致中学高三（上）第二次月考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．已知复数，则复数z的虚部为﹣2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：复数===﹣1﹣2i，则复数z的虚部为﹣2．故答案为：﹣2．2．已知集合M={y|y=2x，x＞0}，N={y|y=}，则M∩N等于∅．【考点】交集及其运算．【分析】化简M={y|y＞1}，N={y|0≤y≤1}，利用两个集合的交集的定义求出M∩N．【解答】解：集合M={y|y=2x，x＞0}={y|y＞1}，N={y|y=}={y|0≤y≤1}，故M∩N={y|y＞1}∩{y|0≤y≤1}=∅，故答案为：∅．3．已知||=1，||=，∥，则•=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】直接利用向量的数量积求解即可．【解答】解：||=1，||=，∥，则•=||||cos=．故答案为：．4．不等式的解集为[2，+∞）．【考点】其他不等式的解法．【分析】不等式，可得，即可得出结论．【解答】解：不等式，可得，∴x≥2，∴不等式的解集为[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．5．函数f（x）=sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0）图象的一条对称轴是直线，则φ=．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据三角函数的图象和性质可得对称轴方程为2x+φ=+kπ，（k∈Z）求解即可．【解答】解：函数f（x）=sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0）其对称轴方程为2x+φ=+kπ，（k∈Z）∵图象的一条对称轴是直线，∴φ=+kπ，即φ=kπ，（k∈Z）∵﹣π＜φ＜0，当k=﹣1时，可得φ=．故答案为：．6．已知函数y=f（x）是偶函数，y=g（x）的奇函数，它们的定义域为[﹣π，π]，且它们在x∈[0，π]上的图象如图所示，则不等式的解集为．【考点】函数奇偶性的性质；函数的图象．【分析】由不等式可知f（x），g（x）的函数值同号，观察图象选择函数值同号的部分，再由f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，得到f（x）g（x）是奇函数，从而求得对称区间上的部分，最后两部分取并集．【解答】解：x∈[0，π]，由不等式，可知f（x），g（x）的函数值同号，即f（x）g （x）＞0．根据图象可知，当x＞0时，其解集为：（0，），∵y=f（x）是偶函数，y=g（x）是奇函数，∴f（x）g（x）是奇函数，∴当x＜0时，f（x）g（x）＜0，∴其解集为：（﹣π，﹣），综上：不等式的解集是，故答案为．7．如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为16．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图我们易判断这个几何体是四棱锥，由左视图和俯视图我们易该棱锥底面的长和宽，及棱锥的高，代入棱锥体积公式即可得到答案．【解答】解：由三视图我们易判断这个几何体是一个四棱锥，又由侧视图我们易判断四棱锥底面的宽为2，棱锥的高为4由俯视图，可得四棱锥的底面的长为6，代入棱锥的体积公式，我们易得V=×6×2×4=16，故答案为：16．8．已知动点（x，y）符合条件，则范围为（﹣∞，﹣2）∪[1，+∞）．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=，利用z的几何意义即可得到结论．【解答】解：设z=，则z的几何意义是区域内的点到原点的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：由解得A（1，1）由图象可知≥K OA=1，或．的取值范围：（﹣∞，﹣2）∪[，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣2）∪[1，+∞）．9．在的展开式中有9项为有理数．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用通项公式即可得出．==（﹣1）r××．【解答】解：通项公式：T r+1为有理数，则r=0，6，12，18，24，30，36，42，当与都为整数且25为整数时，T r+148．∴展开式中有9项为有理数．故答案为：9．10．若a，b∈{1，2，3，…，11}，构造方程，则该方程表示的曲线为落在矩形区域{（x，y）||x|＜11，|y|＜9}内的椭圆的概率是．【考点】几何概型．【分析】求出满足题意的椭圆个数，即可求出概率．【解答】解：椭圆落在矩形内，满足题意必须有，a≠b，所以有两类，一类是a，b从{1，2，3，…6，7，8}任选两个不同数字，方法有A82=56一类是a从9，10，两个数字中选一个，b从{1，2，3，…6，7，8}中选一个方法是：2×8=16所以满足题意的椭圆个数是：56+16=72，所以所求概率为，故答案为．11．若关于x的方程，（a＞0且a≠1）有解，则m的取值范围是．【考点】复合函数的单调性．【分析】先换元，分类参数，结合基本不等式，即可求m的取值范围．【解答】解：设a x=t（t＞0）∵∴∵t＞0，∴t+≥2∴∴∴m的取值范围是故答案为：12．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为1，动点P在此正方体的表面上运动，且PA=r，记点P的轨迹长度为f（r），则关于r的方程的解集为．【考点】棱柱的结构特征．【分析】根据条件确定P的轨迹，利用轨迹对应的长度关系即可得到结论．【解答】解：P的轨迹为以A为球心，PA为半径的球面与正方体的交线．当0＜r≤1时，f（r）=3×=，当r∈（1，]时，轨迹长度由减小到增加，之后逐渐减小，由于f（1）=f（）=，∴关于r的方程的解集为，故答案为．二.选择题13．“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充分必要D．既非充分又非必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义，结合直线和抛物线的位置关系进行判断即可．【解答】解：”直线与抛物线相切”能推出“直线与抛物线只有一个公共点”，是充分条件，而“直线与抛物线只有一个公共点”推不出”直线与抛物线相切”，不是必要条件，如图示：，直线和抛物线的对称轴平行时只有1个交点，但不相切，故选：A．14．已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中不一定能成立的是（）A．ab＞ac B．c（b﹣a）＞0 C．cb2＜ca2 D．ac（a﹣c）＜0【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据不等式的基本性质，实数的性质，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案．【解答】解：∵c＜b＜a且ac＜0，故c＜0，a＞0，∴ab＞ac一定成立，又∵b﹣a＜0，∴c（b﹣a）＞0一定成立，b2与a2的大小无法确定，故cb2＜ca2不一定成立，∵a﹣c＞0，∴ac（a﹣c）＜0一定成立，故选：C15．如图为从空中某个角度俯视北京奥运会主体育场“鸟巢”顶棚所得的局部示意图，在平面直角坐标系中，下列给定的一系列直线中（其中θ为参数，θ∈R），能形成这种效果的只可能是（）A．y=xsinθ+1 B．y=x+cosθC．xcosθ+ysinθ+1=0 D．y=xcosθ+sinθ【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由图形分析知转化为：原点到各圆周切线的距离为定值，再利用点到直线的距离公式即可；【解答】解：由图形分析知转化为：原点到各圆周切线的距离为定值．对A：d=，此时d不是固定值，故舍去；对B：d=，此时d不是固定值，故舍去；对C：d=1，正确；对D：d=，此时d不是固定值，故舍去；故选：C16．已知函数f（x）=asinx﹣bcosx（a，b为常数，a≠0，x∈R）的图象关于x=对称，则函数y=f（﹣x）是（）A．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称B．偶函数且它的图象关于点对称C．奇函数且它的图象关于点对称D．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象．【分析】根据函数f（x）的对称性求出b=﹣a，然后求出函数的解析式，根据三角函数的性质进行判断即可．【解答】解：∵函数f（x）的图象关于直线对称，∴f（）=（a﹣b）=，平方得a2+2ab+b2=0，即（a+b）2=0，则a+b=0，b=﹣a，则f（x）=asinx+acosx=sin（x+），又a≠0，则=sin（﹣x+）=sin（π﹣x）=sinx为奇函数，且图象关于点（π，0）对称，故选：D．17．对于正整数n，定义“n!!”如下：当n为偶数时，n!!=n•（n﹣2）•（n﹣4）…6•4•2；当n 为奇数时，n!!=n•（n﹣2）•（n﹣4）…5•3•1；则：①•=2005!；②2004!!=21002•1002!；③2004!!的个位数是0；④2005!!的个位数是5；上述命题中，正确的命题有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】排列及排列数公式．【分析】利用定义“n!!”及其“n!”的定义即可得出．【解答】解：①•=2005!，正确；②2004!!=2004×2002×…10×8×6×4×2=21002•1002!，正确；③2004!!=2004×2002×…10×8×6×4×2的个位数是0，正确；④2005!!=2005×2003×…×9×7×5×3×1的个位数是5；上述命题中，正确的命题有4个．故选：D．18．在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，若点P（异于点B）是棱上一点，则满足BP与AC′所成的角为45°的点P的个数为（）A．0 B．3 C．4 D．6【考点】异面直线及其所成的角．【分析】通过建立空间直角坐标系，通过分类讨论利用异面直线的方向向量所成的夹角即可找出所有满足条件的点P的个数．【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设棱长AB=1，B（1，0，1），C（1，1，1）．①在Rt△AA′C中，=，因此∠AA′C≠45°．同理A′B′，A′D′与A′C所成的角都为．故当点P位于（分别与上述棱平行）棱BB′，BA，BC上时，与A′C所成的角都为，不满足条件；②当点P位于棱AD上时，设P（0，y，1），（0≤y≤1），则，．若满足BP与AC′所成的角为45°，则==，化为y2+4y+1=0，无正数解，舍去；同理，当点P位于棱B′C上时，也不符合条件；③当点P位于棱A′D′上时，设P（0，y，0），（0≤y≤1），则，．若满足BP与AC'所成的角为45°，则==，化为y2+8y﹣2=0，∵0≤y≤1，解得，满足条件，此时点P．④同理可求得棱A′B′上一点P，棱A′A上一点P．而其它棱上没有满足条件的点P．综上可知：满足条件的点P有且只有3个．故选B．三.解答题19．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的菱形，其中∠DAB=60°，SD垂直于底面ABCD，；（1）求四棱锥S﹣ABCD的体积；（2）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小．【考点】异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）求出BD=1，AC=，SD=，由此能求出四棱锥S﹣ABCD的体积．（2）取BC中点E，以D为原点，DA为x轴，DE为y轴，DS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线DM与SB所成角．【解答】解：（1）∵四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的菱形，其中∠DAB=60°，SD垂直于底面ABCD，，∴BD=1，AC==，SD==，S菱形ABCD===，∴四棱锥S﹣ABCD的体积V===．（2）取BC中点E，以D为原点，DA为x轴，DE为y轴，DS为z轴，建立空间直角坐标系，A（1，0，0），S（0，0，），M（），B（，，0），=（），=（，﹣），设异面直线DM与SB所成角为θ，则cosθ===，，∴异面直线DM与SB所成角为．20．函数y=2x和y=x3的图象的示意图如图所示，设两函数的图象交于点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2．（1）设曲线C1，C2分别对应函数y=f（x）和y=g（x），请指出图中曲线C1，C2对应的函数解析式．若不等式kf[g（x）]﹣g（x）＜0对任意x∈（0，1）恒成立，求k的取值范围；（2）若x1∈[a，a+1]，x2∈[b，b+1]，且a，b∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，求a，b的值．【考点】根据实际问题选择函数类型；函数恒成立问题．【分析】（1）由题意，C1对应的函数为f（x）=x3，C2对应的函数为g（x）=2x ，不等式kf[g （x）]﹣g（x）＜0，等价于k•23x＜2x，利用分离参数法，可求k的取值范围；（2）令φ（x）=g（x）﹣f（x）=2x﹣x3，则x1，x2为函数φ（x）的零点，根据零点存在定理，可得两个零点x1∈（1，2），x2∈（9，10），由此可得a，b的值．【解答】解：（1）由题意，C1对应的函数为f（x）=x3，C2对应的函数为g（x）=2x不等式kf[g（x）]﹣g（x）＜0，等价于k•23x＜2x，则k＜4﹣x对任意x∈（0，1）恒成立∵，∴（2）令φ（x）=g（x）﹣f（x）=2x﹣x3，则x1，x2为函数φ（x）的零点，由于φ（1）=1＞0，φ（2）=﹣4＜0，φ（9）=29﹣93＜0，φ（10）=210﹣103＞0，则方程φ（x）=f（x）﹣g（x）的两个零点x1∈（1，2），x2∈（9，10），因此整数a=1，b=9．21．已知m＞1，直线l：x﹣my﹣=0，椭圆C： +y2=1，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点．（Ⅰ）当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，△AF1F2，△BF1F2的重心分别为G、H．若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的应用；直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）把F2代入直线方程求得m，则直线的方程可得．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．直线与椭圆方程联立消去x，根据判别式大于0求得m的范围，且根据韦达定理表示出y1+y2和y1y2，根据，=2，可知G（，），h （，），表示出|GH|2，设M是GH的中点，则可表示出M的坐标，进而根据2|MO|＜|GH|整理可得x1x2+y1y2＜0把x1x2和y1y2的表达式代入求得m的范围，最后综合可得答案．【解答】解：（Ⅰ）解：因为直线l：x﹣my﹣=0，经过F2（，0），所以=，得m2=2，又因为m＞1，所以m=，故直线l的方程为x﹣y﹣1=0．（Ⅱ）解：设A（x1，y1），B（x2，y2）．由，消去x得2y2+my+﹣1=0则由△=m2﹣8（﹣1）=﹣m2+8＞0，知m2＜8，且有y1+y2=﹣，y1y2=﹣．由于F1（﹣c，0），F2（c，0），故O为F1F2的中点，由，=2，可知G（，），H（，）|GH|2=+设M是GH的中点，则M（，），由题意可知2|MO|＜|GH|即4[（）2+（）2]＜+即x1x2+y1y2＜0而x1x2+y1y2=（my1+）（my2+）+y1y2=（m2+1）（）所以（）＜0，即m2＜4又因为m＞1且△＞0所以1＜m＜2．所以m的取值范围是（1，2）．22．如图一块长方形区域ABCD，AD=2，AB=1，在边AD的中点O处有一个可转动的探照灯，其照射角∠EOF始终为，设∠AOE=α，探照灯照射在长方形ABCD内部区域的面积为S；（1）当时，求S关于α的函数关系式；（2）当时，求S的最大值；（3）若探照灯每9分钟旋转“一个来回”（OE自OA转到OC，再回到OA，称“一个来回”，忽略OE在OA及OC处所用的时间），且转动的角速度大小一定，设AB边上有一点G，且，求点G在“一个来回”中被照到的时间．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）根据题意过点O作OH⊥BC于H．再讨论α的范围，可得当0≤α≤时，E在边AB上，F在线段BH上，因此S=S正方形OABH ﹣S△OAE﹣S△OHF；当＜α＜时，E在线段BH上，F在线段CH上，因此S=S△OEF．由此即可得到当0≤α＜时S关于α的函数表达式；（2）利用基本不等式求出S的最大值，注意等号成立的条件；（3）求出在“一个来回”中OE共转动的角度，并求出其中点G被照到时共转的角度，结合题意列式即可求出“一个来回”中点G被照到的时间．【解答】解：（1）过O作OH⊥BC，H为垂足当，E在边AB上，F在线段BH上（如图①），此时，AE=tanα，FH=tan（﹣α），∴S=S正方形OABH ﹣S△OAE﹣S△OHF；当，E在线段BH上，F在线段CH上（如图②），EH=，FH=；（2）当，；即S=2﹣，∴0≤tanα≤1．即1≤1+tanα≤2．，当tanα=﹣1时，S取得最大值为2﹣（3）在“一个来回”中，OE共转了2×=，其中点G被照到时，共转了2×=，∴在“一个来回”中，点G被照到的时间为9×=2分钟；23．设函数f（x）=x2﹣（3k+2k）x+3k•2k，x∈R；（1）若f（1）≤0，求实数k的取值范围；（2）若k为正整数，设f（x）≤0的解集为[a2k﹣1，a2k]，求a1+a2+a3+a4及数列{a n}的前2n 项和S2n；（3）对于（2）中的数列{a n}，设，求数列{b n}的前n项和T n的最大值．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由f（1）≤0，可得1﹣（3k+2k）+3k•2k≤0，化为：（2k﹣1）（3k﹣1）≤0，解出即可得出实数k的取值范围．（2）x2﹣（3k+2k）x+3k•2k≤0，化为（x﹣3k）（x﹣2k）≤0，由于k为正整数，设f（x）≤0的解集为[a2k，a2k]，可得：当k=1时，2≤x≤3，a1=2，a2=3．当k=2时，4≤x≤6，a3=4，﹣1a4=6．当k=3时，8≤x≤9，a5=8，a6=9．当k=4时，12≤x≤16，a7=12，a8=16．当k≥5时，=3k，a2k=2k．（k=4时也成立）．即可得出数列{a n}的前2n项和S2n．2k=（1+1）k＞3k．可得a2k﹣1（3）对于（2）中的数列{a n}，=．可得：T1=，T2=，…，T2n+1＜T2n，而T2n≤T2，即可得出．【解答】解：（1）∵f（1）≤0，∴1﹣（3k+2k）+3k•2k≤0，化为：（2k﹣1）（3k﹣1）≤0，∴，或．解得k∈∅，或．∴实数k的取值范围时．（2）x2﹣（3k+2k）x+3k•2k≤0，化为（x﹣3k）（x﹣2k）≤0，，a2k]，∵k为正整数，设f（x）≤0的解集为[a2k﹣1∴当k=1时，2≤x≤3，∴a1=2，a2=3．当k=2时，4≤x≤6，∴a3=4，a4=6．当k=3时，8≤x≤9，∴a5=8，a6=9．当k=4时，12≤x≤16，∴a7=12，a8=16．当k≥5时，2k=（1+1）k≥2（1++）=k2+k+2＞3k．=3k，a2k=2k．（k=4时也成立）．∴a2k﹣1∴a1+a2+a3+a4=2+3+4+6=15．n≥4时，数列{a n}的前2n项和S2n=a1+a2+…+a8+a9+a10+…+a2n+a2n﹣1=15+8+9+12+16+3（5+6+…+n）+（25+26+…+2n）=60+3×+=+n﹣2+2n+1．经过验证，n=1，2，3时也成立．∴S2n=+n﹣2+2n+1．（3）对于（2）中的数列{a n}，=．∴b1=﹣，b2=，b3=﹣，b4=，…，则T1=，T2=，…，T2n+1＜T2n，而T2n≤T2，∴数列{b n}的前n项和T n的最大值为．2017年4月21日。

上海市格致中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试卷

A．
é 5p êë 4
, 4p
ù úû
B．[2p , 4p ]
C．
é êë
9p 4
,
4p
ù úû
D．
é11p êë 4
,
4p
ù úû
三、解答题 17．如图，某人打算做一个正四棱锥形的金字塔模型,先用木料搭边框,再用其他材料填
充,已知金字塔的每一条棱和边都相等.
(1)求证:直线 AC 垂直于直线 SD； (2)若搭边框共使用木料 24 米，则需要多少立方米的填充材料才能将整个金字塔内部填满?
答案第61 页，共22 页
由题意得 BC ^ AB ，又因为三棱柱 ABC -A1B1C1 是直三棱柱，所以平面 ABC ^ 平面 ABB1A1 ，且平面 ABC Ç 平面 ABB1A1 = AB ， BC Ì 平面 ABC，所以 BC ^ 平面 ABB1A1 ，又 BC Ì 平面 BCD，所以平面 BCD ^ 平面 ABB1A1 ，所以点 B1 关于平面 BCD 对称点 E 落在 AA1 的延长线上，且 AE = 3 ，即 A1E = 3 3 ，若 B1M + C1M 最小，则 C1, M , E 三点共线，所以 B1M + C1M = EM + C1M ³ EC1 ， = A1C1 2 + A1E 2 = 9 + 9 + 27 = 3 5 ，
2, tan ÐA1AB =
2 ，在三棱柱 ABC -A1B1C1 内放置两个半径相 2
等的球，使这两个球相切，且每个球都与三棱柱的三个侧面及一个底面相切．求三棱
柱 ABC -A1B1C1 的高．
试卷第51 页，共33 页
参考答案：
1．

上海市格致中学高三上10月月考数学试题(无答案)

上海市格致中学高三上10月月考数学试题（无答案）格致中学2019-2019学年度第一学期高三10月月考数学试卷一、填空题1.设集合{}{}，，，，，，A a a x x B A ∈===2|9102则B A 的所有元素之和为________.2.已知，π，π，π⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=⎪⎭⎫⎝⎛-4543554sin αα则=αsin _______.3.若()()，42321lim 2n =+-++-∞→n n b n a 则=+b a ______.4.已知()*212Nn x x n∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-的展开式中各项二项式系数之和为128,则其展开式中含x1项的系数是_______. 5.已知y x 、满足，⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥-0001m y x y x x 若1+x y 的最大值为2,则=m ________.6.已知函数()ax f x--=2,若存在实数()，、2121x x x x ≠使得()()，121-==x f x f 则实数a 的取值范围是____________.7.已知复数z满足zii z -=+1,则=+⋯+++201821z z z ________.8.在平面直角坐标系xOy 中,直线l 经过坐标原四条 D.有无数条14.已知函数()x f 满足:()()()y f x f y x f •=+并且()11=f ,那么：()()()()()()()()()()()()201910105332112222f f f f f f f f +⋯+++的值为 A.2019 B.1010 C.4038 D.303015.对于函数()x f ,若存在实数m ,使得()()m f m x f -+为R 上的奇函数,则称()x f 是位差值为m 的“位差奇函数”。

判断下列函如①()12+=x x f ；②()122++=x xx f ；③()xx f 2=；④()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=43sin πx x f 中是“位差奇函数”的有 A.1 B.2 C.3 D.416.如图,一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动,M 和N 是小圆的一条固定直径的两个端点,那么,当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M 、N 在大圆内所绘出的图形大致是三、解答题17.设().4cos cos sin 2⎪⎭⎫⎝⎛+-=πx x x x f (1)求()x f 的单调递增区间；(2)在锐角三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为，、、c b a 若，，102==⎪⎭⎫ ⎝⎛a A f 求△ABC 面积的最大值. 18.如图所示,在三棱锥ABC P =中，PD ⊥平面ABC,且垂足D 在棱AC 上,AD=1，BC AB == (1)证明:△PBC 为直角三角形；(2)求直线AP 与平面PBC 所成角θ的正弦值。

上海市华师大二附中2017届高三12月月考数学(PDF版)

，若 ABC 不是钝 3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
12、数列 2 1 的前 n 项 1,3,7,..., 2 1 组成集合 An 1,3,7,2 1 ( n N ) ，从集合 An 中任取 k ( k 1,2,3,..., n) 个数，其所有可能的 k 个数的乘积的和为 Tk （若只取一个数，规定乘积为此数本身），记 S n T1 T2 ... Tn ，例如当 n 1 时， A1 {1}, T1 1, S1 1 ；当 n 2 时， A2 {1,3}, T1 1 3, T2 1 3, S 2 1 3 1 3 7 ，试写出 S n ____ 二、选择题（每小题 5 分，共 20 分） 13、如果 a b 0 ，那么下列不等式成立的是 A. a ab
d n maxan , bn , cn ；
（1）求 maxan , bn ；（2）当 k 2 时，求 d n 的最小值；（3）任意 k N 时，求 d n 的最小值；
*
5
21、（本题共 18 分）已知点 P 到圆 ( x 2) y 1 的切线长与到 y 轴的距离之比为 t (t 0, t 1) ；（1）求动点 P 的轨迹 C 的方程；（2）当 t
6
3
19、（本题共 14 分）已知命题 p : 函数 f ( x )
命题 Q : 集合 A x x ( a 2) x 1 0, x R , B x | x 0且 A B ；
2

1 (1 x) 且 | f (a ) | 2 ； 3

（1）若命题 P, Q 中有且仅有一个为真命题，求实数 a 的取值范围；（2）设 P, Q 皆为真命题时，a 的取值范围为集合 S ，已知 T y y x

上海市实验学校2017届高三第二次月考考试数学试卷 Word版含解析

2016-2017学年上海市实验学校高三第二次月考考试数学一、填空题：共14题1．已知全集,且,则实数________.【答案】3【解析】本题考查了集合的运算之补集运算,属于基础题.由已知得解得a=-2或3.经验证a=3符合题意.2．若,则关于的不等式的解集是_________.【答案】【解析】本题考查了二次不等式的解法,结果要写成集合的形式.原不等式化成,因为所以，故原不等式的解集为3．已知幂函数过点,则的反函数为____________.【答案】【解析】本题考查，幂函数的概念、反函数的求法,要注意不能忽视了反函数的定义域.设,将代入得，所以,所以所以f(x)的反函数4．设,若是的充分条件,则的取值范围是 .【答案】【解析】本题考查了条件的充分性的应用,若是的充分条件，则对应的集合是对应集合的子集，据此列出m的不等式组求解.由题意知,解得5．在等差数列中,若,则=______________.【答案】10【解析】本题考查等差数列的性质，抓住下标之间的关系是此类问题的突破口,属于基础题.由等差数列的性质可知所以6．已知,则_____________.【答案】0【解析】本题考查了反三角函数值的求法，概念性强，要注意理解反函数的概念.由题意知=所以,则7．在平面直角坐标系中,以轴为始边作锐角,它的终边与单位圆相交于点,且点的横坐标为,则的值为____________.【答案】-【解析】本题考查了三角函数的定义,同角间的基本关系式,诱导公式和半角公式，计算量较大.由题意知cos=,因为为锐角，所以8．对于集合,定义函数；对于两个集合、,定义集合.已知,则用列举法写出集合的结果为____________.【答案】【解析】本题是一个新定义问题，关键是正确理解,此题考查了学生理解和接受新信息的能力.由题意知当所以9．要得到函数的图象,可以由函数的图象向左平移得到,则平移的最短长度为______________.【答案】【解析】本题主要考查了三角函数式的化简以及三角函数图像的平移变换方法.属于中档题.易知同理可得，根据“左加右减”的方法知，从到向右至少平移个单位，图象重合,所以由函数的图象向左平移得到,则平移的最短长度为10．已知分别为三个内角的对边,,且,则面积的最大值为____________.【答案】【解析】本题主要考查正弦定理和基本不等式的应用,强调边角互化在解三角形中的应用.由,且得,利用正弦定理得又因为此时三角形为等边三角形，所以S=.11．设为实常数,是定义在R上的奇函数,当时,,若对一切成立,则的取值范围为________. 【答案】【解析】本题考查了函数的奇偶性的应用以及不等式恒成立问题的解题思路，注重转化思想的应用.因为是定义在R上的奇函数，所以当x=0时又设，所以.由基本不等式得由对一切成立，只需,即a,结合a所求a的范围是12．求“方程的解”有如下解题思路：设函数,则函数在上单调递减,且,所以原方程有唯一解.类比上述解题思路,方程的解集为____________.【答案】【解析】本题考查了类比推理，函数的性质在研究函数所对应方程中的应用，属于中档题.可化为,令,易知f(x)在定义域内是增函数,所以,解得x=-1或3,故所求解集为13．已知函数有且仅有三个零点,且它们成等差数列,则实数a的取值集合为___________. 【答案】【解析】本题考查了函数的零点与函数性质之间的关系,同时强调了分类讨论思想、函数思想在解题中的应用.原函数可化为设f(x)=0的三个根分别为,且满足，当,解得x=-1或3；①若a所以,由f(-5)=0得②时，f(x)=0在上有两个不同的解，设为，其中所以是,即方程的两个解.所以再结合它们成等差数列，且，所以解得;③当a>3时显然不符合题意,故所求的a的值为.14．已知函数没有零点,则的取值范围是_ _.【答案】【解析】本题考查了函数零点的判定、以及三角函数的诱导公式等有关知识和方法，能力要求较高.有零点，则即有解，所以即，所以所以，得，所以要使f(x)没有零点，只需二、选择题：共4题15．若集合中三个元素为边可构成一个三角形,则该三角形一定不可能是A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形【答案】D【解析】本题考查集合元素的互异性的性质，基础题.由集合元素的互异性可知，该三角形不可能是等腰三角形.16．下列四类函数中,具有性质“对任意的,函数满足”的是A.幂函数B.对数函数C.指数函数D.余弦函数【答案】C【解析】本题考查对数运算、指数运算的法则及性质,属于基础题.由指数运算的规律易知，故该函数为指数函数.17．已知函数,若存在,使成立,则以下对实数的描述正确的是A. B. C. D.【答案】A【解析】本题考查单调函数的性质、反正切函数的图像以及图像的变换等知识和方法，属于容易题.作出图像如下：，所以该函数在上递减,在上递增.存在,使成立,显然不可能同属于，故.18．给出下列六个命题：(1)若,则函数的图象关于直线对称.(2)与的图象关于直线对称.(3)的反函数与是相同的函数.(4)无最大值也无最小值.(5)的周期为.(6)有对称轴两条,对称中心三个.则正确命题的个数是A.1个B.2个C.3个D.0个【答案】D【解析】本题以抽象函数为载体，考查函数的性质，属于综合题类型，有一定难度.(1)令,则原式化为, 则函数的图象关于直线对称,命题正确；(2)举例说明：令f(x)=x-1,则，显然两函数图像不关于x=0对称; (3)同(2)举例令f(x)=x-1 ,可以说明该命题错误;(4),利用指数函数的单调性和正弦函数的有界性，易知当x=0时,,故命题错误; (5)因为 =tan2x,周期为(6)没有对称轴,对称中心1个，故命题错误;故正确命题的个数为0.三、解答题：共5题19．等差数列{}中,.(Ⅰ)求{}的通项公式；(Ⅱ) 设,求数列的前10项和,其中表示不超过的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.【答案】(Ⅰ)设数列的公差为d,由题意有,解得,所以的通项公式为.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当1,2,3时,；当4,5时,；当6,7,8时,；当9,10时,,所以数列的前10项和为【解析】本题考查等差数列的通项公式和等差数列的性质，属于基础题，因为取整函数使问题变得有点复杂.(Ⅰ)设等差数列{a n}的公差为d,根据已知构造关于首项和公差的方程组，求解即可;(Ⅱ)正确理解的涵义,依此列出数列{}的前10项，相加可求和.20．设全集,关于的不等式)的解集为.(1)求集合；(2)设集合,若中有且只有三个元素,求实数的取值范围.【答案】(1)由可以得到：.当时,解集是；当时,解集是.(2)(i)当时,,不合题意；(ii)当时,.因,由,得,即,所以.当有3个元素时,就满足可以得到.【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法,两角和与差的三角公式,强调了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题，注意计算要准确.(Ⅰ)通过讨论的符号，然后根据“”将绝对值符号去掉解此不等式;(Ⅱ)当a>2时，A=,不合题意;当时,，此时集合B化简后得B=Z,若满足有3个元素时，则，解此不等式组可得a的范围.21．已知函数.(1) 求函数f(x)的最小正周期；(2) 将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,再向下平移a(a>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象,且函数g(x)的最大值为2.①求函数g(x)的解析式；②证明：存在无穷多个互不相同的正整数x0,使得g(x0)>0.【答案】(1) ∵,∴函数f(x)的最小正周期T=2p；(2) ①将f(x)的图象向右平移个单位长度后得到y=10sin x+5的图象,再向下平移a(a>0)个单位长度后得到g(x)=10sin x+5-a的图象,又已知函数g(x)的最大值为2,所以10+5-a=2,解得a=13,∴g(x)=10sin x-8；②要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0,使得g(x0)>0,就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0,使得10sin x0-8>0,即,由知,存在,使得,由正弦函数的性质可知,当时,均有,∵y=sin x的周期为2p,∴当时,均有,∵对任意的整数k,,∴对任意的正整数k,都存在正整数,使得,亦即存在无穷多个互不相同的正整数x0,使得g(x0)>0.注：也可直接如下证明②由,解得∵对任意的整数k,,∴对任意的正整数k,都存在正整数,使得,亦即存在无穷多个互不相同的正整数x0,使得g(x0)>0.【解析】本题考查了三角函数的恒等变换以及最小正周期、最值以及图像的变换等知识方法,难度中等.(Ⅰ)先将函数式化简为然后利用公式求其最小正周期; (Ⅱ)(i)利用三角函数图象的变换规律，求出函数g(x)的解析式，再根据g(x)的最大值为2,求出a的值,最后求出g(x)的解析式;(ii)要证明结论成立，即证明存在无穷多个互不相同的正整数,使得10sin x0-8>0,即,由已知可以取,使得,可得当时,均有，再结合正弦函数的周期性得，当时,均有,所以，对任意正整数k,必有正整数,使得.问题即可证明.22．设函数,函数,其中为常数,且.令函数为函数与的积.(1)求函数的表达式,并求其定义域；(2)当时,求函数的值域；(3)是否存在自然数,使得函数的值域恰为？若存在,试写出所有满足条件的自然数所构成的集合；若不存在,试说明理由.【答案】(1)由条件,函数,因为的定义域为,故的定义域为.(2)令,则有,得.当时,.所以时,递减,于是函数单调递增.所以,.(3)假设存在这样的自然数,满足条件.令,代换可得.因为的定义域为,则有.要满足值域为,则要满足.由于当且仅当等号成立,此时恰好取得最大值,则由,故.又在区间上是减函数,在区间上是增函数,由于.则有,由于,得.故满足条件的所有自然数的集合为.【解析】本题考查函数的定义域和值域的求法，同时也考查了学生分析和解决问题的能力，强化了转化与化归思想、函数思想的应用.(Ⅰ)先由题意求出函数f(x)的解析式，由g(x),h(x)的定义域求出函数f(x)的定义域;(Ⅱ)当时,函数的定义域就确定了，然后利用换元法和基本不等式求出最值，得到函数的值域;(Ⅲ)由(2)知函数f(x)值域，据此可列出关于a的表达式,求出a的范围.23．已知函数,如果存在给定的实数对,使得恒成立,则称为“函数”.(1)判断函数是否是“函数”；(2)若是一个“函数”,求出所有满足条件的有序实数对；(3)若定义域为R的函数是“函数”,且存在满足条件的有序实数对(0,1)和(1,4),当x[0,1]时,的值域为[1,2],求当x[-2016,2016]时函数的值域.【答案】(1)若是“函数”,则存在常数,使得.即时,对恒成立.而最多有两个解,矛盾,因此不是“函数”.若是“函数”,则存在常数使得,即存在常数对满足条件.因此是“函数”；(2)是一个“函数”,有序实数对满足恒成立,当时,,不是常数.∴,当时,有恒成立即恒成立.则,当,时,成立.因此满足是一个“函数”,(3) 函数是“函数”,且存在满足条件的有序实数对和,于是,,.[1,2]时,2-[0,1], (2-)[1,2],,∴[0,2]时,,,x[2,4]时,[4,16],x[4,6]时,[16,64],…以此类推可知：x[2k,2k+2]时,[22k,22k+2],x[2014,2016]时,[22014,22016],因此时,,时,,综上可知当时函数的值域为.(2)另解：恒成立即(b-1)cos2x+(b+1)cos2a=0恒成立,即cos2a=0,b=1,∴.【解析】本题考查了函数的“新定义”问题，关键是能将新定义转化为所学，利用我们学过的函数性质求解.(Ⅰ)先假设是函数，列出方程恒成立，通过判断此时方程解的个数来确定是不是函数;(Ⅱ)根据“”，列出方程恒成立，再利用两角和与差的正切公式展开整理，最后令含未知数的系数为零，求出a,b即可.(Ⅲ)利用题中的新定义，列出两个等式,,恒成立，两个等式相结合，即可得到这样一个递推关系，最后采用不完全归纳的方法求出值域.。

2022-2023学年上海市格致中学高二年级上册学期12月月考数学试题【含答案】

2022-2023学年上海市格致中学高二上学期12月月考数学试题一、填空题1．若排列数，则____________.101098720m P =⨯⨯=m =【答案】3【分析】利用排列数计算公式即可得出．【详解】解：排列数， 101098720mP =⨯⨯=．3m ∴=故答案为：3．【点睛】本题考查了排列数计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．如图所示，在正方体中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，则异面直线与EF1111ABCD A B C D -1B C 所成的角的大小为_________.【答案】##60︒π3【分析】连接，根据正方体的性质可得：（或其补角）即为所求，进而求解即可.111,B D D C 11D B C ∠【详解】如图，连接，则，111,B D D C 11B D EF ∥故（或其补角）即为所求，11D B C ∠又，所以，1111B D D C B C ==1160D B C ∠=︒故答案为：.60︒3．已知，，若与共线，则_________.3,,32a x ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ()1,,2b y =- a bx y +=【答案】##12-0.5-【分析】由向量共线的坐标表示得出的值.x y +【详解】因为与共线，所以，所以，，则a b ()2321,,2,,3,1,2323y x x ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32x =-1y =.12x y +=-故答案为：12-4．设集合，则集合中有_________个元素.(){},,4,5A x y x y x y =∈∈≤≤Z Z 且A 【答案】99【分析】首先写出的所有可能取值，再根据分步乘法计数原理即可得出结果,x y 【详解】由题意可知，的所以可能取值的集合为，x {}4,3,2,1,0,1,2,3,4----的所以可能取值的集合为，y {}5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5-----即的所有可能取值分别由9种、11种；,x y 所以，组成的点共有种，(),x y 11911C C 99⨯=即集合中有99个元素.A 故答案为：995．在等比数列中，若，，则的值为_________.{}n a 138a a +=574a a +=9111315a a a a +++【答案】3【分析】由题意，根据等比数列的通项，结合等比中项的性质，可得答案.【详解】因为为等比数列，设其公比为，所以{}n a q 2131146571184a a a a q a a a q a q ⎧+=+=⎨+=+=⎩因为，所以，81091111a a a q a q +=+()()()25713911a a a a a a +=++故.()225791113428a a a a a a ++===+同理，是与的等比中项，911a a +57a a +1315a a +所以，故.()()()2911571315a a a a a a +=++()22911131557214a a a a a a ++===+所以.9111315213a a a a +++=+=故答案为：.36．已知圆锥的轴截面是一个顶角为，腰长为2的等腰三角形，则该圆锥的体积为___________.23π【答案】π【分析】利用圆锥轴截面等腰三角形特征求出圆锥的高和底面圆半径，再利用圆锥体积公式计算作答.【详解】因圆锥的轴截面是一个顶角为，腰长为2的等腰三角形，则此等腰三角形底边上的高23π即为圆锥的高h ，因此，，圆锥底面圆半径2cos13h π==r ==所以圆锥的体积为.2211133V r h πππ==⨯⨯=故答案为：π7．如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G 、H 、M 、N 分别为DE 、BE 、EF 、EC 的中点，在这个正四面体中，①GH 与EF 平行；②BD 与MN 为异面直线；③GH 与MN 成60°角；④DE 与MN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是__________．【答案】②③④【详解】还原成正四面体知GH 与EF 为异面直线，BD 与MN 为异面直线，GH 与MN 成60°角，因为正四面体对棱垂直，所以，,//DE AF MN AF ⊥所以DE ⊥MN.故答案为：②③④8．若从1，3中选一个数字，从0，2，4中选两个数字，组成无重复数字的三位数，则组成的三位数共有__________个偶数.【答案】20【分析】根据三位数偶数的性质，以0的位置以及个位的选择，利用乘法原理以及加法原理，可得答案.【详解】组成的三位数为偶数，若三位数的个位为0，则有个；22228A ⨯⨯=若十位为0，个位从2，4中选一个，则有个；1122C C 4⋅=若这个三位数没有0，从2，4中选一个为个位，则有个.112222C C A 8⋅=综上，要求的三位偶数的个数为8+8+4=20个.故答案为：.209．设数列的前项和为，，，则_________.{}n a n n S 12a =1n n a S +=11i ia∞==∑【答案】32【分析】根据的定义，整理其递推公式，利用等比数列的定义，求得其通项，结合n S ，求得数列的通项，利用求和公式以及极限的计算，可得答案.11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩{}n a 【详解】因为，所以，所以，1n n a S +=11n n n n S S a S ++-==12n n S S +=又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，112S a =={}n S 2n n S =当时，，所以，2n ≥112n n n n a S S --=-=12,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩则.111111*********lim lim 122422212n n n n i ia ∞--→∞→∞=⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪=++++=+= ⎪ ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭∑ 故答案为：.3210．已知A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且，则三棱锥,1AC BC AC BC ⊥==的体积为_______.O ABC -【分析】作出直观图，根据几何关系求出球心到平面ABC 的距离即可求解.【详解】∵，∴为等腰直角三角形，∴，,1AC BC ACBC ⊥==ABC AB =则外接圆圆心是AB 中点，半径为ABC 1O 1O B 又球的半径为OB ＝1，设O 到平面的距离为d ＝，则ABC 1OO d=∴．11111332O ABC ABCV Sd -=⋅=⨯⨯⨯=.11．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平A BCD -AB ⊥面，，，点在棱上运动.则面积的最小值为BCD BD CD ⊥2AB BD CD ===P AC PBD △___________.【分析】首先通过作辅助线可得，即转化为求的最小值，设，通过12PBD S BD PM=⨯⨯ PM CQ x =比例关系表示，并求其最值.PM 【详解】如图，作于点，作，交于点，连接.得到，PQ BC ⊥Q QM BD ⊥BD M PM //PQ AB ，平面，，又，，//QM CD PQ ⊥BCD PQ BD ⊥QM BD ⊥QM PQ Q ⋂=所以面PQM ，所以.BD ⊥PM BD ⊥设，，CQ x =CB=2PQ CQ PQ AB CB =⇒=PQx =≤≤在中，，得到，BCD△2BQ QM QMBCCD=⇒=QM =，PM====当且仅当.x =11222PBD S BD PM =⋅≥⨯=△.【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中的垂直关系，以及最值问题，本题的关键是由点引辅P 助线，并得，利用平行关系得比例线段，即可求其最值.12PBD S BD PM=⨯⨯ 12．数列满足，若时，，则的取值范围是__________．{}n a 132n n n a a +=-n N +∈1n n a a +>1a 【答案】[)2,∞+【详解】,111131313,,,1-122222222n n n n n n n n n n na a ab b b b b ++++=⋅-=∴=-∴-=设（）,n-1n-11133{-1}-1=-1-1=-12222n n n n a a b b b ∴∴⋅∴⋅是一个等比数列，（）（），（）（）n-1n-1n-1111-2-2333=-1+1=+1[+1]22222222n n n n a a a a a ∴⋅⋅∴=⋅（）（）（）（），（）（）n 1n-1n-11111-2-22332,[+1]2[+1]2,222234n n n n a a a a a ++->∴⋅>⋅∴> （）（）（）（）（）1120,24a a -∴≤∴≥故填.[)2,+∞点睛：本题的难点在于解题思路，看到这种递推关系，要能确定这种数列可以通过构132nn n a a +=-造求出数列的通项，再利用数列的单调性性质即可得到的取值范围.{}n a 1a 二、单选题13．已知直线在平面内，则“直线”是“直线”的（）a βl a ⊥l β⊥A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合线面垂直的判定和性质分析判断.【详解】当直线在平面内，时，直线有可能在平面内，直线有可能与平行，也有a βl a ⊥l βl β可能相交不垂直，而当直线在平面内，时，一定成立，a βl β⊥l a ⊥所以“直线”是“直线”的必要不充分条件，l a ⊥l β⊥故选：B14．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A ．60种B ．90种C ．120种D ．360种【答案】A【分析】这是一个组合问题，从6同学中选出1人安排到甲场馆是，再安排2人到乙场馆是，16C 25C 最后剩余3人安排到丙场馆，根据分步乘法原理相乘即可.【详解】依题意从6同学中选出1人安排到甲场馆是，再从剩余5人安排2人到乙场馆是，16C 25C 最后剩余3人安排到丙场馆，根据分步乘法原理，不同的安排方法共有种.123653C C C 60=故选：A.15．已知各项均为正项的等比数列，，，其前项和为，下列说法错误的是{}n a 11a >01q <<n n S （）A ．数列为等差数列B ．若，则{}ln n a nn S Aq B =+0A B +=C ．D ．记，则数列有最大值232n n nS S S ⋅=12n n T a a a =⋅⋅⋅⋅⋅⋅{}n T 【答案】C【分析】根据等比数列的性质逐项判断即可．【详解】解：各项均为正项的等比数列，则，{}n a 11n naa q -=⋅对于选项A ：（常数），故正确；11ln ln lnln nn n n a a a q a ---==对于选项B ：，()1111111n n n n a q a aS q A q B qq q -==-⋅=⋅+---所以，故正确；0A B +=对于选项C ：若数列为等比数列，所以，故错误；()()2322n n n n n S S S S S ⋅-=-对于选项D ：，()221212111n n nn n n n T a a a a q q qa q --=⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=由于，有最小值，且，11a >22n n-01q <<所以有最大值，()22n n q -故有最大值，故正确；()221n n n a q -⋅故选：C ．16．在棱长为1的正方体中，为底面ABCD 的中心，是棱上一点，且1111A B C D ABCD -M Q 11A D ，，N 为线段AQ 的中点，则下列命题中正确的是（）111D Q D A λ= ()0,1λ∈A ．CN 与QM 是异面直线B ．三棱锥的体积跟的取值有关A DMN -λC ．当时，14λ=AM QM⊥D ．当时，过A 、Q 、M 13λ=【答案】D【分析】对于A ，根据中位线定理，可得平行，即得共面，可得答案；对于B ，根据正方体的性质，求得点到底面的距离，利用三棱锥体积公式，可得答案；N 对于C ，利用勾股定理，求得的长，根据等腰三角形的性质，可得答案；,AQ CF 对于D ，利用平行的性质，可得平面，根据勾股定理，求得边长，可得答案.【详解】在中，因为M 、N 为AC 、AQ 的中点，所以，所以CN 与QM 共面，A 错ACQ MN CQ ∥误；作，易知，由为的中点，可得，，即到平面1NE AA ⊥1ANE AQA N AQ 12AE =11//EN A D N 的距离为，ABCD 12，则三棱锥的体积跟的取值无关，B 错误；1113224A MND N AMD AMD V V S --==⨯⨯=A DMN -λ当时，得，，，14λ=114D Q =134AQ =222112516AQ AA A Q =+=，2222221111113316CQ D Q CD D Q CC C D =+=++=则，所以不成立，C 错误；AQ CQ ≠AM QM ⊥当时，，过作，则，，13λ=113D Q =Q //QF AC 11D F D Q =QF ==AC ==AQ CF ===过A 、Q 、M 三点的正方体的截面ACEQ 是等腰梯形，所以平面截正方体所截得的周长为D 正确.2l =故选：D.三、解答题17．如图，是圆柱的一条母线，AB 是圆柱的底面直径，C 在圆柱下底面圆周上，M 是线段1AA 的中点.已知，.1A C 14AA AC ==3BC =(1)求圆柱的侧面积；(2)求证：BC AM ⊥【答案】(1)；20π(2)证明见解析.【分析】（1）根据圆柱的侧面积公式进行求解即可；（2）根据圆柱的几何性质，结合线面垂直的判定定理和性质进行证明即可.【详解】（1）因为AB 是圆柱的底面直径，所以，，，所以，AC BC ⊥4AC =3BC =5AB ==所以圆柱的侧面积为.1π20πAA AB ⨯⨯=（2）因为底面，底面，1AA ⊥ABC BC ⊂ABC所以1AA BC⊥又因为，平面，AC BC ⊥11,,AC AA A AC AA ⋂=⊂1AA C 所以平面BC ⊥1AA C因为平面，所以.AM ⊂1AA C BC AM ⊥18．记Sn 为等差数列{an }的前n 项和，已知S 9=－a 5．（1）若a 3=4，求{an }的通项公式；（2）若a 1>0，求使得Sn ≥an 的n 的取值范围．【答案】（1）；210n a n =-+（2）.110()n n *≤≤∈N 【分析】（1）首项设出等差数列的首项和公差，根据题的条件，建立关于和的方程组，求得1a d 和的值，利用等差数列的通项公式求得结果；1a d （2）根据题意有，根据，可知，根据，得到关于的不等式，从而求得结50a =10a >0d <n n S a >n 果.【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，{}n a 1a d 根据题意有，111989(4)224a d a d a d ⨯⎧+=-+⎪⎨⎪+=⎩解答，所以，182a d =⎧⎨=-⎩8(1)(2)210na n n =+-⨯-=-+所以等差数列的通项公式为；{}n a 210n a n =-+（2）由条件，得，即，95S a =-559a a =-50a =因为，所以，并且有，所以有，10a >0d <5140a a d =+=14a d =-由得，整理得，n n S a ≥11(1)(1)2n n na d a n d -+≥+-2(9)(210)n n d n d -≥-因为，所以有，即，0d <29210n n n -≤-211100n n -+≤解得，110n ≤≤所以的取值范围是：n 110()n n *≤≤∈N 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式，等差数列的求和公式，在解题的过程中，需要认真分析题意，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.19．如图，在四棱锥中，底面ABCD 为正方形，平面平面ABCD ，，P ABCD -PAD ⊥PA AD ⊥，是棱的中点.2PA AB ==Q PD(1)求证：平面ACQ ；PB ∥(2)求直线PB 到平面ACQ 的距离.【答案】(1)证明见解析【分析】（1）连接BD 交AC 于O ，连接，首先根据三角形中位线证明，然后根据线OQ PB OQ ∥面平行的判定定理即可证明平面；PB ∥ACQ （2）由于（1）可知由于平面ACQ ，则PB 到平面ACQ 的距离，即B 到平面ACQ 的距离，PB ∥然后建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离公式进行求解即可.【详解】（1）连接BD 交AC 于O ，连接，OQ 因为底面ABCD 为正方形，所以O 为BD 的中点，因为Q 为PD 中点，所以，PB OQ ∥因为平面，平面，所以平面；PB ⊂/ACQ OQ ⊂ACQ PB ∥ACQ （2）因为平面平面，平面PAD ∩平面，PAD ⊥ABCD ABCD AD =，所以平面，所以，PA AD ⊥PA ⊥ABCD PA AB ⊥故AB 、AD 、AP 两两垂直，以A 为原点建立空间直角坐标系，如图所示，，，，，()2,2,0C ()0,1,1Q ()0,0,0A ()0,2,0D 设平面的法向量为，ACQ (),,n x y z = 所以，故可设，0220n AQ y z n AC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ()1,1,1n =-- 由于平面ACQ ，则PB 到平面ACQ 的距离，即B 到平面ACQ 的距离.PB ∥，B 到平面的距离为.()0,2,0BC AD ==ACQ BC nn ⋅== 即直线PB 到平面ACQ 20．设，数列满足，数列的通项公式为.k R ∈{}n a 2n a n k =+{}n b 13n n b -=(1)已知，求的值；1234525a a a a a ++++=k (2)若，以，求数列最大项及相应的值；113k =-nn n a c b ={}n c n (3)设为数列其前项和，令，数列的前项和为.证明：.n S {}n b n 1n n n n b S S d +={}n d n n T 1143n T ≤<【答案】(1)1k =-(2)数列最大项为，相应的序数为57或58{}n c 5613(3)证明见解析【分析】（1）由已知代入即可求解；（2）由题，研究数列的单调性，确定其最大项即可；21133n n n c -=（3）利用裂项相消法求数列的前和，由此结论结论.{}n c n【详解】（1）因为，所以，所以；2n a n k =+12345246810525a a a a a k ++++=+++++=1k =-（2）若，则，所以，113k =-2113na n =-121133n n n n a n cb --==所以，()()()11211132111332113211322843333n n n n n n n n n n n c c +-+-+------=-==所以当时，，即，156n ≤≤10n n c c +->1n n c c +>当时，，即，57n =10n n c c +-=5758c c =当时，，即，58n ≥10n n c c +-<1n n c c +<所以，1257585960c c c c c c <<⋅⋅⋅<=⋅>>⋅⋅>又，所以数列最大项为，相应的序数为57或58.57585613c c =={}n c 5613（3）因为，所以，13n n b -=1331132n n n S --==-所以，()()111132114331313131n n n n n n n n n d b S S -+++⎛⎫==⋅=- ⎪----⎝⎭所以，1211221111112111232882631332313331n n n n n n T d d d +++⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-=- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭-因为，所以，即，*N n ∈2327n +≥23324n +-≥所以，即，22103312n +<≤-21201233n +-≤-<-即，所以.2111213123333n +-≤-<-1143n T ≤<。

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二. 选择题 13. “直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（ A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要）条件
D. 既非充分又非必要）
14. 已知 a, b, c 满足 c b a ，且 ac 0 ，那么下列结论中不一定成立的是（ A. ab ac B. c(b a) 0 C. cb ab
4
时，求 S 关于的函数关系式；时，求 S 的最大值；
（3）若探照灯每 9 分钟旋转“一个来回” （ OE 自 OA 转到 OC ，再回到 OA ，称“一个来回” ，忽略 OE 在 OA 及 OC 处所用的时间），且转动的角速度大小一定，设 AB 边上有一点
G ，且 AOG
到的时间；
18. 在正方体 ABCD ABCD 中，若点 P （异于点 B ）是棱上一点，则满足 BP 与 AC 所成的角为 45 的点 P 的

个数为（ A. 0 三. 解答题
） B. 3 C. 4 D. 6
19. 如图，四棱锥 S ABCD 的底面是边长为1 的菱形，其中 DAB 60 ， SD 垂直于底面 ABCD ， SB 3 ；（1）求四棱锥 S ABCD 的体积；（2）设棱 SA 的中点为 M ，求异面直线 DM 与 SB 所成角的大小；
2 2
D. ac(a c) 0
15. 右图为从空中某个角度俯视北京奥运会主体育场“鸟巢” 顶棚所得的局部示意图，在平面直角坐标系中，下列给定的一系列直线中（其中为参数， R ），能形成这种效果的只可能是（） B. y x cos D. y x cos sin A. y x sin 1 C. x cos y sin 1 0

20. 函数 y 2 x 和 y x3 的图像的示意图如图所示，设两函数的图像交于点 A( x1 , y1 ) ，
B( x2 , y2 ) ，且 x1 x2 ；
（1）设曲线 C1 、 C2 分别对应函数 y f ( x) 和 y g ( x) ，请指出图中曲线 C1 、 C2 对应的函数解析式，若不等式 kf [ g ( x)] g ( x) 0 对任意 x (0,1) 恒成立，求 k 的取值范围；（2）若 x1 [a, a 1] ， x2 [b, b 1] ，且 a, b { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} ，求 a 、 b ；
21. 已知 m 1 ，直线 l : x my 左、右焦点；
x2 m2 0 ，椭圆 C : 2 y 2 1 ， F1 、 F2 分别为椭圆 C 的 m 2
（1）当直线 l 过右焦点 F2 时，求直线 l 的方程；（2）设直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点，△ AF1F2 、△ BF1 F2 的重心分别为 G 、 H ，若原点 O 在以线段 GH 为直径的圆上，求实数 m 的值；

8
，则
f ( x) 0 的解集为 g ( x)
7. 如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为 8. 已知动点 ( x, y) 符合条件围为 9. 在 ( 2 3 3) 的展开式中有
50
y 2x 1 y ，则范 x y 2 x 3
项为有理数
2
x y2 10. 若 a, b {1, 2,3, ,11} ，构造方程 2 2 1 ，则该方程表示的曲线为落在矩形区域 a b {( x, y) || x | 11,| y | 9} 内的椭圆的概率是
16. 已知函数 f ( x) a sin x b cos x （ a, b 为常数， a 0 ， x R ）的图像关于直线
x
3 x) 为（ 4 4 A. 偶函数且图像关于点 ( , 0) 对称

对称，则函数 y f (
） B. 奇函数且图像关于点 ( , 0) 对称 D. 偶函数且图像关于点 (
格致中学高三月考数学试卷
2016.12 一. 填空题 1. 已知复数 z
1 3i ，则复数 z 的虚部为 1 i
2. 已知集合 M { y | y 2x , x 0} ， N { y | y 3. 已知 | a | 1 ， | b | 4. 不等式
2 x x 2 } ，则 M
23. 设函数 f ( x) x (3k 2 ) x 3k 2 ， x R ；
2 k k
（1）若 f (1) 0 ，求实数 k 的取值范围；（2）若 k 为正整数，设 f ( x) 0 的解集为 [a2 k 1 , a2 k ] ，求 a1 a2 a3 a4 及数列 {an } 的前 2n 项和 S 2 n ；（3）对于（2）中的数列 {an } ，设 bn
(1) n ，求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 的最大值； a2 n 1a2 n
参考答案
一. 填空题 1. 2 6. ( , 10. 2. 3. 2 7. 16 4. [2, ) 8. (, 2) 12. {1, 2} 5.
3 4
9. 9

) (0, ) 3 3
N
2 ，且 a ∥ b ，则 a b
( x 1)( x 2) 0 的解集为 x 1
5. 函数 f ( x) sin(2 x ) ( 0) 图像的一条对称轴是直线 x 6. 已知函数 y f ( x) 是偶函数， y g ( x) 的奇函数，它们的定义域为 [ , ] ，且它们在 x [0, ] 上的图像如图所示，则不等式
11. [ , 0)

[1, )
80 121
1 3
二. 选择题 13. A 三. 解答题 19.（1） 14. C 15. C 16. B 17. D 18. B
6 ；（2）； 6 3
3
x
20.（1） f ( x) x ， g ( x) 2 ， k
1 ；（2） a 1 ， b 9 ； 4
C. 奇函数且图像关于点 (
3 , 0) 对称 2
3 , 0) 对称 2
17. 对于正整数 n ，定义“ n !! ”如下：当 n 为偶数时， n!! n (n 2) (n 4) 6 4 2 ；当 n 为奇数时， n!! n (n 2) (n 4) 5 3 1 ；则：① (2005!!) (2004!!) 2005! ； ② 2004!! 21002 1002! ；③ 2004!!的个位数是 0 ；④ 2005!!的个位数是 5 ；上述命题中，正确的命题有（ A. 1 个） B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
21.（1） x 2 y 1 0 ；（2） m 2 ； 22.（1）当 0

4
， S 1
1 1 tan tan( ) ；当， 4 2 2 2 4
1 1 1 （2） 2 2 ；（3）2 分钟； S ( )； 3 2 tan tan( ) 4 1 1 3 2 3 n 1 23.（1） 0 k ；（2） a1 a2 a3 a4 15 ， S2 n n n 2 2 ；（3）； 8 3 2 2
22. 如图一块长方形区域 ABCD ， AD 2 ， AB 1，在边 AD 的中点 O 处有一个可转动的探照灯，其照射角 EOF 始终为区域的面积为 S ；（1）当 0 （2）当 0
，设 AOE ，探照灯照射在长方形 ABCD 内部 4

2
11. 若关于 x 的方程 a
2x
(1
1 x )a 1 0 (a 0, a 1) 有解，则 m 的取值范围是 m 3 的解集为 2
12. 已知正方体 ABCD A1B1C1D1 棱长为 1，动点 P 在此正方体的表面上运动，且 PA r
(0 r 3) ，记点 P 的轨迹长度为 f (r ) ，则关于 r 的方程 f (r )