上海市格致中学2020-2021学年高一上学期10月月考数学试卷 Word版含答案
上海市格致中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题
上海市格致中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题一.填空题1. 已知集合{}3,2,1,0,1,2,3A =---，{}11B x x =-≤，则A B =_____.{}0,1,2求出集合B ，利用交集的定义可求得集合A B .由11x -≤，可得111x -≤-≤，解得02x ≤≤，则{}{}1102B x x x x =-≤=≤≤， 又因为{}3,2,1,0,1,2,3A =---，因此，{}0,1,2A B =. 故答案为：{}0,1,2. 2. 函数2log (1)()2x f x x -=-的定义域为_____.()()1,22,⋃+∞由解析式得出1020x x ->⎧⎨-≠⎩，解出即可.2log (1)()2x f x x -=-，1020x x ->⎧∴⎨-≠⎩，解得1x >且2x ≠， ()f x ∴的定义域为()()1,22,⋃+∞. 故答案为：()()1,22,⋃+∞.3. 若指数函数()y f x =的图象经过点1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，则函数()12x y f x +=-的零点为_____.1x =设()x f x a =（0a >且1a ≠），由122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭可求得a 的值，然后解方程()120x f x +-=即可得解.设()xf x a =（0a >且1a ≠），则12122f a ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，解得4a =，()242x xf x ∴==，解方程()120x f x +-=，即21220x x +-=，可得21x x =+，解得1x =.因此，函数()12x y f x +=-的零点为1x =.故答案为：1x =.4. 不等式1||x x <的解集为_____. ()1,+∞首先将不等式1||x x <等价于1x x >，再分类讨论解不等式即可. 不等式1||x x <，因为0x ≠，所以11x x x x <⇔>.当0x >时，21x >，解得1x >. 当0x <时，21x ->，无解.所以不等式1||x x <的解集为()1,+∞. 故答案为：()1,+∞5. 已知6log 2a =，用a 表示4log 12=_____.12aa+ 由换底公式可得出21log 6a=，进而利用换底公式可将4log 12用a 加以表示. 6log 2a =，21log 6a∴=，所以，()2224211log 26log 121log 61log 12log 42222a a a+⨯++=====. 故答案为：12a a+. 6. 函数()2log xy a =是减函数，则a 的取值范围是__________.()1,2由题意得出20log 1a <<，解出该不等式即可得出实数a 的取值范围. 由于指数函数()2log xy a =是减函数，则20log 1a <<，解得12a <<. 因此，实数a 的取值范围是()1,2. 故答案为()1,2.本题考查利用指数函数的单调性求参数，同时也考查了对数不等式的求解，解题时要了解底数的取值范围与指数函数单调性之间的关系，考查运算求解能力，属于中等题.7. 定义区间[a ，b ](a <b )的长度为b -a ，若关于x 的不等式.240x x m -+≤的解集区间长度为2，则实数m 的值为_____. 3设12,x x 是方程240x x m -+=的两个根，由122x x -==可求.设12,x x 是方程240x x m -+=的两个根， 则12124,x x x x m +==，122x x ∴-===，解得3m =.故答案为：3.8. 设,(1,),x y ∈+∞22log ,log x y 的算术平均值为1，则22x y ，的几何平均值的最小值为________________. 4由22log ,log x y 的算术平均值为1得4xy =为定值，再由基本不等式得22x y ，的几何平均值的最小值.因为,(1,),x y ∈+∞所以22log 0,log 0x y >>，又22log ,log x y 的算术平均值为1，则22log log 2x y +=，所以2log 2xy =，即4xy =；因为22x y ，，由基4==，当x=y=2时取等号，所以22xy ，的几何平均值的最小值为4， 故答案为：49. 已知函数y =f (x )是R 上的奇函数，且是(-∞，0)上的严格减函数，若f (1)=0，则满足不等式(x -1)f (x )≥0的x 的取值范围为_______.[]{}1,01-⋃由数形结合分类讨论1x <和1≥x 即可求解. 如图所示：因为函数y =f (x )是R 上的奇函数，故()00f =，由于()()10x f x -≥故 当1x <时，()0f x ≤，所以10x -≤≤ ；当1≥x 时，()0f x ≥，所以1x =；综上所述x 的取值范围[]{}1,01-⋃ 故答案为：[]{}1,01-⋃10. 已知124{2,1,,,,2},333a ∈--当x ∈(-1，0)∪(0，1)时，不等式||a x x >恒成立，则满足条件的a 形成的集合为_____.22,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【分析】直接利用幂函数的性质和分类讨论的应用求得结果.令()af x x =，由()>f x x 可知，幂函数()f x 的图象在y x =的图像上方，如果函数()f x 为奇函数，则第三象限有图象，所以()f x 不是奇函数，故11,3a =-不符合；由于()0,1x ∈，所以()a f x x x =>整理得11ax -> ，所以10a ->得1a <，故4,23a = 不符合；所以2,23a =-即22,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ ，故答案为：22,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ 11. 函数y =f (x )(x <0)的反函数为1(),y f x -=且函数2()0()log (1)0f x x g x x x <⎧=⎨+≥⎩是奇函数，则不等式1()2f x -≥-的解集为_____.[)2log 3,0-由函数的奇偶性结合反函数的性质得出1()12x f x --=-，0x <，再解指数不等式得出解集.当0x <时，则0x ->，2()log (1)()g x x g x -=-=- 即2()()log (1)y f x g x x ===--，0x <由2log (1),0x y y =--<，解得12x y -=-，由120x --<，解得0x < 即1()12x f x --=-，0x <不等式1()2f x -≥-可化为122x --≥-，解得2log 30x -≤< 故答案为：[)2log 3,0-关键点睛：本题关键是运用函数的奇偶性结合反函数的性质得出()f x 的反函数解析式，最后解不等式得出解集.12. 已知函数()|21|,x f x =-若函数21()()()4g x f x mf x =++有4个零点，则实数m 的取值范围为_____.5,14⎛⎫-- ⎪⎝⎭令()t f x =，画出()|21|x f x =-的函数图象，可得01t <<，得出2104t mt ++=在()0,1t ∈有2个解，即可求出.令()t f x =，要使()g x 有4个零点，则()f x t =有2个解， 画出()|21|x f x =-的函数图象，则观察图形可知，01t <<，则()g x 有4个零点等价于2104t mt ++=在()0,1t ∈有2个解，则2221404100041104012m m m ⎧∆=-⨯>⎪⎪⎪++>⎪⎨⎪++>⎪⎪⎪<-<⎩，解得514m -<<-， 所以m 的取值范围为5,14⎛⎫-- ⎪⎝⎭.本题考查函数与方程的应用，解题的关键是利用()f x 的函数图象得出2104t mt ++=在()0,1t ∈有2个解. 二.选择题13. 已知陈述句α是β的必要非充分条件，集合M ={x |x 满足α}，集合N ={x |x 满足β}，则M 与N 之间的关系为（ ） A. M N B. M NC. M =ND. M N ⋂=∅B根据必要不充分条件可直接判断. α是β的必要非充分条件，N ∴ M .故选：B.14. 若33log log m n <且log 3log 3m n <，则实数m 、n 满足的关系式为（ ） A. 0<m <n <1 B. 0<n <m <1 C. 0<m <1<n D. 1<m <nC由33log log m n <得0m n <<，由log 3log 3m n <得01n m <<<或01m n <<<，结合可得答案. 由33log log m n <得0m n <<， 由log 3log 3m n <得lg 3lg 3lg lg m n<，即，lg lg 0lg lg n mm n -<， lg0lg lg nm m n <，因为0m n <<，所以1n m >，lg 0nm >，所以lg lg 0m n <，得lg 0lg 0m n >⎧⎨<⎩或lg 0lg 0m n <⎧⎨>⎩，即01n m <<<或01m n <<<，而0m n <<， 所以01m n <<<.故选：C.本题考查了由对数运算的性质比较大小，关键点是由log 3log 3m n <得01n m <<<或01m n <<<，考查了对数的基本运算，属于基础题.15. 设121212,,,,,a a b b c c 都是非零实数，不等式21110a x b x c ++>的解集为A ，不等式22220a x b x c ++>的解集为B ，则"A B ="是“1112220a b c a b c ==>”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件B若A B ==∅，分析可得，不能推出1112220a b c a b c ==>成立，若1112220a b c a b c ==>，设1112220a b c a b c t ==>=，代入方程，化简整理，可得两不等式相等，则解集A B =，根据充分、必要条件的定义，即可得答案.若A B ==∅，只需满足221111222240,40b a c b a c ∆=-<∆=-<，不能得到1112220a b c a b c ==>， 若1112220a b c a b c ==>，设1112220a b c a b c t ==>=，即121212,,a ta b tb c tc ===，所以不等式21110a x b x c ++>可化为()2222222200ta x tb x tc t t a x b x c ++=>++>， 因为0t >，所以22220a x b x c ++>，所以两不等式相等，则解集A B =.所以"A B ="是“1112220a b c a b c ==>”的必要非充分条件.故选：B 16. 定义在R 上的函数y =f (x )的表达式为2(),x x Qf x x x Q⎧∈=⎨∈⎩给出下列3个判断: (1)函数y =f (x )是非奇非偶函数； (2)当a <0且a ∈Q 时，方程f (x )=a 无解；(3)当a >0时，方程f (x )=a 至少有一解； 其中正确的判断有（ ） A. 0个 B. 1个C. 2个D. 3个C根据函数的的奇偶性的定义，可判定（1）正确；根据0a <且a Q ∈，结合()f x a =，可判定（2）正确；根据方程()2f x =，无解，可判定（3）不正确.由题意，函数2()x x Qf x xx Q⎧∈=⎨∈⎩的定义域为R ，关于原点是对称的， 当x Q ∈，则x Q -∈，可得()()22()f x x x f x -=-==，此时函数()f x 为偶函数；当x Q ∈，则x Q -∈，可得()()f x x f x -=-=-，此时函数()f x 为奇函数， 综上可得，函数()f x 为非奇非偶函数，所以（1）正确；由函数2()x x Q f x xx Q⎧∈=⎨∈⎩，可得x Q ∈时，()20f x x =≥，x Q ∈时，()f x x = 当0a <且a Q ∈，方程()f x a =， 若x Q ∈时，此时方程2x a =无解；若x Q ∈时，由()f x a =，可得x a =，因为x Q ∈，a Q ∈，所以方程x a =无解， 综上可得当0a <且a Q ∈，方程()f x a =无解，所以（2）正确； 例如：当2a =时，当x Q ∈时，由()2f x =，可得22x =，解答x = 当x Q ∈时，由()2f x =，可得2x =，不符合题意， 综上可得，当2a =时，方程()2f x =无解，所以（3）不正确. 所以正确为（1）（2）.故选：C 三.解答题17. 已知集合{}2A x x a =-≤，不等式2112x x -≥+的解集为B . （1）用区间表示B ；（2）若全集U =R ，且A B A =，求实数a 的取值范围.（1）()[),23,B =-∞-+∞；（2）[)0,1.（1）解分式不等式2112x x -≥+，得其解集，进而可将集合B 用区间加以表示； （2）求出集合A 、B ，由A B A =可得出A B ⊆，可得出关于实数a 的不等式组，进而可解得实数a 的取值范围. （1）解不等式2112x x -≥+，即2131022x x x x ---=≥++，解得2x <-或3x ≥， 因此，()[),23,B =-∞-+∞；（2）解不等式2x a -≤，可得22x a -≤-≤，解得22a x a -≤≤+，[]2,2A a a ∴=-+， 由于U =R ，()[),23,B =-∞-+∞，则[)2,3B =-，因为A B A =，可得A B ⊆，所以，2223a a -≥-⎧⎨+<⎩，解得01a ≤<.因此，实数a 的取值范围是[)0,1. 18. 已知a 、b 都是正实数，且.bb a a=- （1）求证:a >1； （2）求b 的最小值.（1）答案见解析；（2）2a =时，b 的最小值为4. 【分析】（1）把b 用a 表示,根据a 、b 都是正实数可证明a >1;（2）由b b a a =-可得21a b a =-,利用基本不等式可出b 的最小值 （1）1(1)bb a b a aa =-∴-=又a 、b 都是正实数, ∴11>0a-11>01a a a∴>∴>.即证. （2）11(1)()ba b a b ab a a aa-=-∴-=∴= 1a >21a b a ∴=- 令1(0)t a t =->,则22(1)12241a t b t t a t t t+∴===++≥+=- 当且仅当11t a =-=,即2a =时取最小值. 所以2a =时，b 的最小值为4.易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方． 19. 设函数y =f (x )的表达式为2()||,f x x x a =+-其中a 为实常数. （1）判断函数y =f (x )的奇偶性，并说明理由； （2）设a >0，函数()()f x g x x=在区间(0，a ]上为严格减函数，求实数a 的最大值. （1）当0a =时，()y f x =为偶函数，当0a ≠时，()y f x =为非奇非偶函数；（2）1. （1）利用奇偶性的定义，讨论0a =和0a ≠即可；（2）利用单调性的定义得出120x x a -<，进而得出20a a a ⎧≥⎨>⎩即可求出.（1）可得()f x 的定义域为R ，关于原点对称，()22()||||f x x x a x x a -=-+--=++，当0a =时，()()f x f x -=，则()f x 为偶函数，当0a ≠时，()()f x f x -≠且()()f x f x -≠-，则()f x 为非奇非偶函数；（2）当(]0,x a ∈，2()()1x x a f x ag x x x x x+-===+-，任取120x x a <<≤， 则()()()()121212121212x x x x a a a g x g x x x x x x x ---=+--=，120x x a <<≤，120x x ∴-<且2120x x a <<，()g x 在区间(0，a ]上严格减函数，120x x a ∴-<，即12a x x >恒成立，2a a a ⎧≥∴⎨>⎩，解得01a <≤， ∴a 的最大值为1.思路点睛：利用定义判断函数单调性的步骤：（1）在定义域内任取12x x <；（2）计算()()12f x f x -并化简整理；（3）判断()()12f x f x -的正负；（4）得出结论，若()()120f x f x -<，则()f x 单调递增；若()()120f x f x ->，则()f x 单调递减.20. 已知非空集合S 的元素都是整数，且满足：对于任意给定的x ，y ∈S (x 、y 可以相同)，有x +y ∈S 且x -y ∈S .（1）集合S 能否为有限集，若能，求出所有有限集，若不能，请说明理由；（2）证明：若3∈S 且5∈S ，则S =Z .（1）{}0；（2）证明见解析.（1）若a S ∈，分析0a ≠和0a =可得答案；（2）集合S 的元素都是整数，利用已知得到非空集合S 是所有整数构成的集合.然后再由5S ∈，3S ∈， 532S -=∈得到{}|2,x x k k Z =∈ S ，且{}|21,x x k k Z =+∈ S 可得答案.（1）能，理由如下：若a S ∈，且0a ≠，由题意知a 的所有整数倍的数都是S 中的元素，所以S 是无限集；若a S ∈，且0a =，则{}0S =，,x y S x y S +∈-∈符合题意，且{}0S =是有限集，所以集合S 能为有限集，即{}0S =.（2）证明：因为非空集合S 的元素都是整数，且()(),x y Z x y Z +∈-∈,由5S ∈，3S ∈，所以532S -=∈，所以321S -=∈，所以112S +=∈，123S +=∈，134S +=∈，，110S -=∈，011S -=-∈，112S --=-∈，213S--=-∈，所以非空集合S 是所有整数构成的集合. 由5S ∈，3S ∈，所以532S -=∈，因为,x y S x y S +∈-∈，所以224,220S S +=∈-=∈，246,242S S +=∈-=-∈，268,264S S +=∈-=-∈， ，所以2的所有整数倍的数都是S 中的元素，即{}|2,x x k k Z =∈ S ，且321S -=∈，所以21,x k k Z =+∈也是集合S 中的元素，即{}|21,x x k k Z =+∈ S ， {}|2,x x k k Z =∈{}|21,x x k k Z Z =+∈=，综上所述，S Z =.本题考查对集合性质的理解，关键点是理解,x y S x y S +∈-∈，考查了学生分析问题、解决问题的能力，以及推理能力.。
2022-2023学年上海市格致中学高一上学期10月月考数学试卷含详解
格致中学高一月考数学试卷2022.20一､填空题（本大题满分40分，本大题共有10题）1.不等式11x ≥的解集为___________.2.已知全集{}2,3,4,5,6U =，集合{}{}2,3,3,4A B ==，则A B ⋃=__________．3.已知集合{30}A xx a =->∣，若1A ∉，则实数a 的取值范围是__________．4.集合(){}(){},,,,1,M x y y x y N x y x y ==∈==∈R R ∣∣，则M N ⋂=__________．5.设集合{}{}21,23A x yB y y x x ==+==-++∣∣，则A B ⋂=__________．6.已知集合{}{}260,10A x x x B x mx =+-==+=∣∣，若A B B = ，则实数m 组成的集合为__________．7.已知集合10,{}2x A x B x x a x +⎧⎫=≤=<⎨⎬-⎩⎭∣∣，若A B ⋂≠∅，且A B B ⋃≠，则实数a 的取值范围是__________．8.不等式20ax bx c ++>的解集为()2,1-，则不等式()20ax a b x a c -++-<的解集为__________．9.若关于x 的不等式组2228>02+(2+7)+7<0x x x a x a ⎧--⎨⎩只有一个整数解3-，则实数a 的取值范围是__________．10.已知{}{}21234,,,,A a a a a B a a A ==∈∣，其中1234a a a a <<<，且1234a a a a ､､､均为整数，若{}34,A B a a ⋂=，130a a +=，且A B ⋃中的所有元素之和为270，则集合A 中所有元素之和为__________．二､选择题（本大题满分16分，本大题共有4题）11.若集合{},,M a b c =中的元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是（）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形D.等腰三角形12.下列关系中，可以作为“a b >”的充分非必要条件的是（）A .11a b < B.22a b >C.a c b c > D.2211a b c c >++13.设集合{20}P m m =-<<∣，{2=|+22<0Q m mx mx -对任意的实数x 恒成立}，则下列关系中成立的是（）A.P Q ⊆ B.Q P⊆ C.P Q = D.P Q =∅ 14.已知实数a b <，关于x 的不等式()210x a b x ab -+++<的解集为()12,x x ，则实数a 、b 、1x 、2x 从小到大的排列是()A.12a x x b <<<B.12x a b x <<<C.12a xb x <<< D.12x a x b <<<三､解答题（本大题满分64分，本大题共有5题）15.“关于x 的方程()200ax bx c a ++=≠有实数根”是“0ac <”的什么条件？请证明你的结论．16.已知a 、b 、c ∈R ，若实数x 、y 、z 满足条件221x a b =-+，221y b c =-+，221z c a =-+，用反证法证明：x 、y 、z 中至少有一个数不小于0．17.设集合{}{}225,1,,21,3,1A a a B a a a =--=+--，若{}5A B ⋂=-，试求a 与A B ⋃．18.已知关于x 的不等式()()()2223310k k x k x k +-++->∈R 的解集为M ．（1）若M =∅，求实数k 的取值范围；（2）若存在两个不相等的正实数a b ､，使得(),M a b =，求实数k 的取值范围．19.定义区间()[]][(),,,,m n m n m n m n ､､､的长度均为n m -，其中n m >．（1）不等式组2212133++3-4<0x x tx t ≤≤⎧⎪⎨⎪⎩的解集中各区间的长度和等于8，求实数t 的取值范围；（2）已知常数a b ､，满足a b >，求满足不等式111x a x b+≥--的解集中各区间长度之和．格致中学高一月考数学试卷2022.20一､填空题（本大题满分40分，本大题共有10题）1.不等式11x ≥的解集为___________.【答案】{}01x x <≤【分析】将不等式变形为10x x-≤，利用分式不等式的解法解此不等式即可得解.【详解】原不等式即为1110x x x --=≤，等价于()100x x x ⎧-≤⎨≠⎩，解得01x <≤，因此，原不等式的解集为{}01x x <≤.故答案为：{}01x x <≤.2.已知全集{}2,3,4,5,6U =，集合{}{}2,3,3,4A B ==，则A B ⋃=__________．【答案】{}5,6##{}6,5【分析】根据并集、补集的定义计算可得.【详解】解：因为{}2,3A =，{}3,4B =，所以{}=2,3,4A B ⋃，又{}2,3,4,5,6U =，所以{}=5,6A B ⋃；故答案为：{}5,63.已知集合{30}A xx a =->∣，若1A ∉，则实数a 的取值范围是__________．【答案】[)3,∞+【分析】由1A ∉，所以310a ⨯-≤，解不等式即可得出答案.【详解】因为1A ∉，所以310a ⨯-≤，所以3a ≥.所以实数a 的取值范围是[)3,∞+.故答案为：[)3,∞+.4.集合(){}(){},,,,1,M x y y x y N x y x y ==∈==∈R R ∣∣，则M N ⋂=__________．【答案】({}【分析】求出两函数的交点坐标，即可得解.【详解】解：由=1y x ⎧⎪⎨⎪⎩，解得=1x y ⎧⎪⎨⎪⎩，即(，所以({}M N =；故答案为：({}5.设集合{}{}21,23A xy B y y x x ==+==-++∣∣，则A B ⋂=__________．【答案】[]1,4【分析】分别求出集合,A B ，再由交集的定义即可得出答案.【详解】{}}{==1,A xy x x ≥∣{}{}2234B y y x x y y ==-++=≤∣∣，所以A B ⋂=[]1,4.故答案为：[]1,4.6.已知集合{}{}260,10A xx x B x mx =+-==+=∣∣，若A B B = ，则实数m 组成的集合为__________．【答案】110,,23⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【分析】解方程求得集合A ；分别在0m =和0m ≠两种情况下，根据交集结果构造方程，从而求得结果.【详解】解：因为{}()(){}{}2=+6=0=2+3=0=2,3A x x x x x x ---∣，当0m =时，B =∅，满足A B B = ，当0m ≠时，{}011B mx m x ⎧⎫=-⎨+⎭=⎩=⎬∣，A B B = ，12m∴-=或13m -=-，解得：12m =-或13，∴实数m 组成的集合为110,,23⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，故答案为：110,,23⎧⎫-⎨⎬⎩⎭7.已知集合10,{}2x A x B x x a x +⎧⎫=≤=<⎨⎬-⎩⎭∣∣，若A B ⋂≠∅，且A B B ⋃≠，则实数a 的取值范围是__________．【答案】()1,2-【分析】先解分式不等式，即可得出集合A ，再由A B ⋂≠∅，且A B B ⋃≠，即可求出实数a 的取值范围.【详解】由102x x +≤-可得：()()+1202x x x -≤≠⎧⎨⎩，解得：12x -≤<，所以}{=1<2A x x -≤，因为A B ⋂≠∅，且A B B ⋃≠，所以()1,2a ∈-.故答案为：()1,2-.8.不等式20ax bx c ++>的解集为()2,1-，则不等式()20ax a b x a c -++-<的解集为__________．【答案】R【分析】根据根与系数关系求得,,a b c 的关系式，结合判别式求得不等式()20ax a b x a c -++-<的解集.【详解】由于不等式20ax bx c ++>的解集为()2,1-，所以<02+1=2×1=a b a c a ---⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩，<0==2a b a c a -⎧⎪⎨⎪⎩，所以不等式()20ax a b x a c -++-<可化为22+3<0ax ax a -，而0a <，所以2230x x -+>，其41280∆=-=-<，所以不等式()20ax a b x a c -++-<的解集为R .故答案为：R9.若关于x 的不等式组2228>02+(2+7)+7<0x x x a x a ⎧--⎨⎩只有一个整数解3-，则实数a 的取值范围是__________．【答案】[)5,3-【分析】由已知，先求解不等式2280x x -->的解集，然后再对不等式22(27)70x a x a ++<+进行转化，通过讨论2>7a ，72a <和72a =三种情况，分别列式作答即可.【详解】由已知，不等式2280x x -->的解集为{}|24>x x x <-或，不等式22(27)70x a x a ++<+可转化为7(+)(+)<02x a x ，当2>7a 时，不等式22(27)70x a x a ++<+的解集为7|<<2x a x --⎧⎫⎨⎬⎩⎭，由解集中整数为3-，不合题意；当72a <时，不等式22(27)70x a x a ++<+的解集为7|2x x a ⎧⎫--<⎨⎩<⎬⎭，由解集中整数为3-，得35a -<-≤，解得53a -≤<，当72a =时，不等式22(27)70x a x a ++<+的解集为∅，不满足题意，综上，实数a 的取值范围是[)5,3-.故答案为：[)5,3-.10.已知{}{}21234,,,,A a a a a B a a A ==∈∣，其中1234a a a a <<<，且1234a a a a ､､､均为整数，若{}34,A B a a ⋂=，130a a +=，且A B ⋃中的所有元素之和为270，则集合A 中所有元素之和为__________．【答案】14【分析】通过分析得到13224a a a ==，而2216256270,17289270=<=>，又4a 为某整数的平方，故4a 最大值为16，当416a =时，通过推理可得当{}4,2,4,16A =--时满足要求，当4a 取其他值时，均不合题意，从而求出A 中所有元素之和.【详解】因为130a a +=，所以1322a a =，又因为1234a a a a <<<，且1234a a a a ､､､均为整数，所以13224a a a ==，因为A B ⋃中的所有元素之和为270，而2216256270,17289270=<=>，又4a 为某整数的平方，故4a 最大值为16，当416a =时，则134,4a a =-=，因为{}34,A B a a ⋂=，故224a =，解得：22a =±，当22a =时，{}{}4,2,4,16,4,16,256A B =-=，则{}4,2,4,16,256A B =- ，A B ⋃中的所有元素之和为274，不合题意，舍去；当22a =-时，{}{}4,2,4,164,16,256,A B =--=，则{}4,2,4,16,256A B =-- ，A B ⋃中的所有元素之和为270，满足题意，此时集合A 中所有元素之和为4241614--++=；当49a =，此时33a =，但3不是某个整数的平方，故不合题意，舍去；同理可知，当4a 为其他整数时，均不合要求.故答案为：14二､选择题（本大题满分16分，本大题共有4题）11.若集合{},,M a b c =中的元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形【答案】D【分析】根据集合元素的互异性即可判断.【详解】由题可知，集合{},,M a b c =中的元素是ABC 的三边长，则a b c ≠≠，所以ABC 一定不是等腰三角形．故选：D ．12.下列关系中，可以作为“a b >”的充分非必要条件的是（）A .11a b < B.22a b >C.a c b c> D.2211a b c c >++【答案】C【分析】对于AB ，通过找特殊值举反例即可排除；对于C ，先证明充分性，再举反例说明非必要性即可；对于D ，利用不等式的性质可证得其为充要条件.【详解】根据题意，可知是“选项”为“a b >”的充分非必要条件，对于A ，令1,1a b =-=，则有111,1a b =-=，即11a b<，但a b <，故11a b <不是a b >的充分条件，故A 错误；对于B ，令2,1a b =-=，则有2214,a b ==，即22a b >，但a b <，故22a b >不是a b >的充分条件，故B 错误；对于C ，若a c b c >，则0c ≠且0c >，即10c >，所以11a c b c c c⨯>⨯，即a b >，故a c b c >是a b >的充分条件；若a b >，令0c =，则0a c b c ==，故a c b c >不是a b >的必要条件，综上：a c b c >是a b >的充分非必要条件，故C 正确；对于D ，若2211a b c c >++，因为210c +>，所以()()22221111a b c c c c ⨯+>⨯+++，即a b >，故2211a b c c >++是a b >的充分条件；若a b >，因为210c +>，即2101c >+，所以221111a b c c ⨯>⨯++，即2211a b c c >++，故2211a b c c >++是a b >的必要条件；综上：2211a b c c >++是a b >的充要条件，故D 错误.故选：C.13.设集合{20}P m m =-<<∣，{2=|+22<0Q m mx mx -对任意的实数x 恒成立}，则下列关系中成立的是（）A.P Q⊆ B.Q P ⊆ C.P Q = D.P Q =∅【答案】A 【分析】首先求出使不等式2220mx mx +-<对任意的实数x 恒成立时参数的取值范围，即可求出集合Q ，再根据集合的包含关系及交集的定义判断即可.【详解】解：若2220mx mx +-<对任意的实数x 恒成立，当0m =时20-<，满足题意，当0m ≠时()()2<0Δ=24×2<0m m m --⎧⎪⎨⎪⎩，解得20m -<<，综上可得20m -<≤，所以{}|20Q m m =-<≤，又{20}P mm =-<<∣，所以P Q ⊆，P Q P = ；故选：A14.已知实数a b <，关于x 的不等式()210x a b x ab -+++<的解集为()12,x x ，则实数a 、b 、1x 、2x 从小到大的排列是()A.12a x x b <<<B.12x a b x <<<C.12a xb x <<< D.12x a x b <<<【答案】A【分析】由题可知12x x a b +=+，再利用中间量m ，根据12x x +与12x x 之间的关系求出的取值范围，即可判断a 、b 、1x 、2x 之间的关系.【详解】由题可得：12x x a b +=+，121x x ab =+.由a b <，12x x <，设1x a m =+，则2x b m =-.所以212()()()1a m b m ab m b a m ab x x =+-=+--=+，所以2()1m b a m --=，21m m b a +=-.又a b <，所以0b a ->，所以0m >.故1x a >，2x b <.又12x x <，故12a x x b <<<.故选：A.三､解答题（本大题满分64分，本大题共有5题）15.“关于x 的方程()200ax bx c a ++=≠有实数根”是“0ac <”的什么条件？请证明你的结论．【答案】必要非充分条件，证明见解析.【分析】根据一元二次函数的判别式和充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】“关于x 的方程()200ax bx c a ++=≠有实数根”是“0ac <”必要非充分条件．证明：先证充分性不成立：取1,2a c b ===，此时方程2210x x ++=有实数根121x x ==-，但此时10ac =>，因此充分性不成立．再证必要性成立：当0ac <时，240b ac ∆=->恒成立，所以方程()200ax bx c a ++=≠有实数根，即必要性成立.所以“关于x 的方程()200ax bx c a ++=≠有实数根”是“0ac <”必要非充分条件．16.已知a 、b 、c ∈R ，若实数x 、y 、z 满足条件221x a b =-+，221y b c =-+，221z c a =-+，用反证法证明：x 、y 、z 中至少有一个数不小于0．【答案】证明见解析【分析】利用反证法证明，假设x 、y 、z 都小于0，再根据不等式的性质及完全平方数的非负性证明即可.【详解】证明：假设x 、y 、z 都小于0．即2210a b -+<，2210b c -+<，2210c a -+<以上三个不等式相加，可得：()()()2222121210a b b c c a -++-++-+<，整理上式可得：222(1)(1)(1)0a b c -+-+-<．这与222(1)(1)(1)0a b c -+-+-≥矛盾，所以假设不成立，因此x 、y 、z 中至少有一个数不小于0．17.设集合{}{}225,1,,21,3,1A a a B a a a =--=+--，若{}5A B ⋂=-，试求a 与A B ⋃．【答案】3a =-，{}6,5,4,8,9A B ⋃=---．【分析】根据交集结果得到5B -∈，结合211a -≥-，分两种情况，215a +=-或35a -=-，求出对应的a ，利用元素互异性排除不合要求的解.【详解】因为{}5A B ⋂=-，所以5B -∈，又因为211a -≥-，所以215a -≠-，所以215a +=-或35a -=-，即3a =-或2a =-．当3a =-时，{}{}5,4,9,5,6,8A B =--=--，满足{}5A B ⋂=-．当2a =-时，{}{}5,3,4,3,5,3A B =--=--，此时{}5,3A B ⋂=--，不满足题意，舍去综上所述，3a =-，此时{}6,5,4,8,9A B ⋃=---．18.已知关于x 的不等式()()()2223310k k x k x k +-++->∈R 的解集为M ．（1）若M =∅，求实数k 的取值范围；（2）若存在两个不相等的正实数a b ､，使得(),M a b =，求实数k 的取值范围．【答案】（1）13,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）1,15⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）对二次项系数是否为零分类讨论，当系数为零时，直接写出不等式进行判断，当系数不为零时，结合二次函数图象得到关于k 的不等式组，解不等式组得到k 的取值范围；（2）根据一元二次不等式的解集得到对应的一元二次方程的根特点，根据根与系数的关系得到关于k 的不等式组，解不等式组得到k 的取值范围.【小问1详解】当2230k k +-=时，=1k 或3k =-，当=1k 时，不等式化为410x ->，解集不是空集，舍去；当3k =-时，不等式化为10->，此时解集为空集；当1k ≠且3k ≠-时，要使M =∅，则需满足()()222+23<0Δ=+3+4+230k k k k k --≤⎧⎪⎨⎪⎩，解得135k -<≤．综上可得，实数k 的取值范围是13,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【小问2详解】要存在两个不相等的正实数,a b ，使得(),M a b =，则2230k k +-<且方程()()2223310k k x k x +-++-=的两个相异正根为a ，b ，则222+23<0+3+=>0+231=>0+23k k k a b k k ab k k -----⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩，解得115k <<，即实数k 的取值范围是1,15⎛⎫ ⎪⎝⎭．19.定义区间()[]][(),,,,m n m n m n m n ､､､的长度均为n m -，其中n m >．（1）不等式组2212133++3-4<0x x tx t ≤≤⎧⎪⎨⎪⎩的解集中各区间的长度和等于8，求实数t 的取值范围；（2）已知常数a b ､，满足a b >，求满足不等式111x a x b +≥--的解集中各区间长度之和．【答案】（1）[)9,9,4∞∞⎛⎤--⋃+ ⎥⎝⎦（2）2【分析】（1）由题意先解分式不等式，再观察二次项的系数带有字母，需要先对字母进行讨论，当=0t 时，看符不符合题意；当0t >时，此时满足题意需9t ≥；当0t <时，此时需满足49t -≥，即可求出实数t 的取值范围；（2）先整理不等式可设方程()()220x a b x a b ab -+++++=的两根为()1212,x x x x <，令()()()22y f x x a b x a b ab ==-+++++，再由()()0,0f a f b <>，结合二次函数图象，解出此不等式解集，即可求出此不等式的解集的区间长度之和.【小问1详解】由12133x ≤≤+可得：1233x ≤+且1213x ≥+，由1233x ≤+即3303x x -≤+解得：1x ≥或3x <-，．由1213x ≥+即903x x -≥+解得：39x -<≤，因此不等式12133x ≤≤+解集为[]1,9，此不等式解集长度恰为8，又因为不等式22340x tx t +-<可化为()()40x t x t +-<当=0t 时，此不等式无解，舍去；当0t >时，此不等式解集为()4,t t -要满足题意，则9t ≥．同理，当0t <时，此不等式解集为(),4t t -，此时需满足49t -≥，可得：94t ≤--因此实数t 的取值范围是[)9,9,4∞∞⎛⎤--⋃+ ⎥⎝⎦．【小问2详解】原不等式等价于()()()()0x b x a x a x b x a x b -+----≥--，整理得：()()()()220x a b x a b ab x a x b -+++++≤--，设方程()()220x a b x a b ab -+++++=的两根为()1212,x x x x <，令()()()22y f x x a b x a b ab ==-+++++，因为()()()220f a a a b a a b ab b a =-+++++=-<．()()()220f b b a b b a b ab a b =-+++++=->．结合二次函数图象，可知：12b x a x <<<．则此不等式解集为(](]12,,b x a x ⋃则此解集的区间长度之和为()()()()211213x a x b x x a b -+-=+-+-，因为122x x a b +=++，所以此不等式的解集的区间长度之和为2．。
上海市高一上学期10月月考数学试题(解析版)
一、填空题1．已知集合A ＝{x |﹣3≤x ＜3}和B ＝{x |x ＝2k ，k ∈N }关系的文氏图如图所示，则阴影部分表示的集合的元素的个数为___个．【答案】3【分析】根据文氏图可知，阴影部分表示的集合为A ∩B ，然后求出元素个数即可．【详解】∵集合A ＝{x |﹣3≤x ＜3}和B ＝{x |x ＝2k ，k ∈N }，∴阴影部分表示的集合A ∩B ＝{﹣2，0，2}．∴阴影部分表示的集合的元素共有3个．故答案为：3．2．已知，全集，则___（用区间表示） {}2|560,{||11}A x x x B x x =-+>=-<∣U =R A B ⋂=【答案】(](),03,-∞+∞ 【分析】解不等式化简集合，进行集合运算即可.【详解】，{}()(){}()()22|50,,6|2303A x x x x x x -∞+∞=-+>=-->=，()2{||11}{10,|11}B x x x x B ∣-=-<-<==<=所以，.(][),02,B ∞∞=-⋃+(](),03,A B =-∞+∞ 故答案为：.(](),03,-∞+∞3．设A ＝，B ＝{x |x ≤10，x ∈Q }，则A ∩B ＝_____．{}|N x x k =∈【答案】{}1,4,6,9【分析】的的取值范围，从而可求得.10,N k ∈k A B ⋂【详解】因为{}|10,Q B x x x =≤∈得10,N k ≤∈019,N k k ≤≤∈由题：{}|19,N x x k k =≤≤∈{4=所以{}1,4,6,9A B = 故答案为：{}1,4,6,94．已知全集中有个元素，中有个元素．若非空，则的元素个数U A B =⋃m A B ⋃n A B ⋂A B ⋂为___个． 【答案】m n -【分析】法一：由韦恩图判断；法二：由及补集概念即可求.A B A B = 【详解】法一：因为中有个元素，如图所示阴影部分，A B ⋃n又中有个元素，故中有个元素；U A B =⋃m A B ⋂m n -法二：因为有个元素，又全集中有个元素，A B A B = n U A B =⋃m 故的元素个数个．A B ⋂m n -故答案为：.m n -5．“若，则”的否定形式为____．220x x --≤12x -≤≤【答案】若，则或220x x --≤1x <-2x >【分析】根据命题的否定形式直接得出答案.【详解】“若，则”的否定形式：220x x --≤12x -≤≤若，则或.220x x --≤1x <-2x >故答案为：若，则或.220x x --≤1x <-2x >6．某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价为每天180元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，假设不考虑其它费用，为使宾馆利润最大，每天的房价定为 _____元．【答案】340【分析】设空闲的房间为x ，则房价为元，定价增加了10x 元，表示出利润的函数关()18010x +系，利用基本不等式求解最值，即可得到答案．【详解】解：设空闲的房间为x ，则房价为元，定价增加了10x 元，()18010x +由题意可得，利润，当且仅当()()()()21850180105010185010115602x x x x x x ++-⎛⎫+-+-≤= ⎪⎝⎭==，即时取等号，此时房价为元，所以为使宾馆利润最大，每天1850x x +-＝16x =1801610340+⨯=的房价定为340元．故答案为：340．7．二次函数的图像如图所示，则下列结论中正确的个数是____．2(0)y ax bx c a =++≠（1）异号；（2）当和时，函数值相等；（3）；（4）当时，的取,a b 1x =3x =40a b +=4y =x 值只能为0.【答案】3【分析】根据二次函数的图象得到对称轴即可结合二次函数的性质求解.【详解】根据图象可知：是二次函数与的两个交点，所以可得对称轴方程为 ()2,0,(6,0)-x ，故对称轴为，故异号且，（1）（3）正确； 2x =22b x a=-=,a b 40a b +=因为对称轴为，故当和时，函数值相等， 22b x a=-=1x =3x =当时，的取值为0和4，故（2）正确，（4）错误；故正确的个数是3.4y =x 故答案为：3.8．若的图像x =1对称，则c =_______．()()223,[,]f x x b x x b c =-+++∈【答案】2【详解】本题考查函数的对称性又的对称轴为 ()()2222223322b b f x x b x x ++⎛⎫⎛⎫=-+++=--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22b x +=则，得； 212b +=0b =由的图象对称知其定义域关于直线对称，则有()()223,[,]f x x b x x b c =-+++∈1x =[],b c 1x =；2b c +=所以2c =9．不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为（﹣2，1），则不等式ax 2+（a +b ）x +c ﹣a ＜0的解集为 ______．【答案】（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．【详解】根据不等式ax 2+bx +c ＞0的解集得出a 与b 、c 的关系，再代入不等式ax 2+（a +b ）x +c ﹣a ＜0中化简求解集即可．【解答】解：不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为（﹣2，1），所以﹣2和1是ax 2+bx +c ＝0的实数根，且a ＜0；所以，可得b ＝a ，c ＝﹣2a ， 2121b a c a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩所以不等式ax 2+（a +b ）x +c ﹣a ＜0可化为ax 2+2ax ﹣3a ＜0，即x 2+2x ﹣3＞0，整理可得()()310x x +->，解得x ＜﹣3或x ＞1，所以不等式的解集为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．10．已知命题“若，，则集合”是假命题，()22f x m x =()22g x mx m =-1()(),12x f x g x x ⎧⎫<≤≤=∅⎨⎬⎩⎭则实数的取值范围是 ______．m 【答案】 ()7,0-【分析】由“”是假命题可知区间上有解，构1()(),12x f x g x x ⎧⎫<≤≤=∅⎨⎬⎩⎭()2220m m x m -+<1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦造函数，结合二次函数的图象可求的范围.()()222h x m m x m =-+m 【详解】∵，，()22f x m x =()22g x mx m =-又∵“”是假命题， 1()(),12x f x g x x ⎧⎫<≤≤=∅⎨⎬⎩⎭∴，即在区间上有解 2222m x mx m <-()2220m m x m -+<1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦令，()()222h x m m x m =-+①当，即或时，或，20m m -=0m =1m =()0h x =()2h x =在区间上无解，不合题意； ()0h x <1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦②当，即且时，20m m -≠0m ≠1m ≠是二次函数，其图象是对称轴为轴的抛物线，()h x y 若要使在区间上有解，则需满足： ()0h x <1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦或 22017024m m m m h ⎧->⎪⎨+⎛⎫=< ⎪⎪⎝⎭⎩()22010m m h m m ⎧-<⎪⎨=+<⎪⎩解得，即的取值范围是.70m -<<m ()7,0-故答案为：.()7,0-【点睛】本题主要考查了复合命题的真假关系的应用，解题的关键是二次函数的性质的应用. 11．对于任意两个数x ，y （x ，y ∈N *），定义某种运算“◎”如下：①当或时，x ◎y ＝x +y ； **2,N 2,N x m m y n n ⎧=∈⎨=∈⎩**21,N 21,N x m m y n n ⎧=-∈⎨=-∈⎩②当时，x ◎y ＝xy ． **2,N 21,N x m m y n n ⎧=∈⎨=-∈⎩则集合A ＝{（x ，y ）|x ◎y ＝10}的子集个数是 _____．【答案】2048【分析】由新定义化简集合，从而确定子集的个数．A 【详解】由新定义知，A ＝{（x ，y ）|x ◎y ＝10}()()()()()()()()()()(){}=19283746556473829125101，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共11个元素，故其子集的个数为，112=2048故答案为：2048．12．若关于的不等式的解集为，且存在实数，使得，x 3|1||1|2x ax +++≥R 0x 003|1||1|2x ax +++=则实数的所有取值是____．a 【答案】或. 12-2-【分析】的图像是一条折线，所以的最小值在折点处，故分类讨论，在折点处建立等式求()f x ()f x 解即可.【详解】令，当时，，不合题意，故.()|1||1|f x x ax =+++0a =()|1|11f x x =++≥0a ≠由的解析式易得，的图像是一条折线，且折点满足或，即或()f x ()f x 10x +=10ax +==1x -， 1x a=-又的最小值为，∴的最小值只能在折点处取得. ()|1||1|f x x ax =+++32()f x 当时，则，解得或， =1x -3|1|2a -+=12a =-52所以或， 13()|1||1|22f x x x =++-+≥53()|1||1|25x f x x =+++≥因为的最小值为，所以； ()f x 3212a =-当时，则，解得或， 1x a =-13|1|2a -+=2a =-25所以或，所以. 3()|1||21|2f x x x =++-+≥23()|1||1|55f x x x =+++≥2a =-综上所述，或． 12a =-2a =-故答案为：或. 12-2-二、单选题13．设不等式的解集为，不等式的解集为，则不等式的解集为()0f x ≥[1,2]()0g x ≥∅()0()0f xg x <⎧⎨<⎩（ ）A ．B ．C ．D ．∅(,1)(2,)-∞⋃+∞(1,2)R 【答案】B【分析】根据集合的补集的含义求解即可.【详解】因为不等式的解集为，不等式的解集为，()0f x ≥[1,2]()0g x ≥∅所以不等式的解集为，不等式的解集为 ()0f x <(,1)(2,)-∞⋃+∞()0g x <R 所以不等式的解集为. ()0()0f x g x <⎧⎨<⎩(,1)(2,)-∞⋃+∞故选：B ．三、多选题14．已知为正常数，则不等式（ ） ,,a b m a m a b m b +>+A ．当时成立 B ．当时成立a b <a b >C ．是否成立与无关D ．一定成立 m 【答案】AC【分析】化简不等式即可判断.【详解】因为为正常数，则，且不等式是否成立与,,a b m ()()a m a a m b a b m b a b m b+>⇔+>+⇔>+无关.m 故选：AC.四、单选题15．俗话说“不到长城非好汉”，这句话的意思是“到长城”是“好汉”的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】B【分析】利用命题与逆否命题的关系判断.【详解】设为不到长城，推出为非好汉，即，p ⌝q ⌝p q ⌝⇒⌝则，即好汉到长城，故“到长城”是“好汉”的必要不充分条件.q p ⇒⇒故选：B ．16．已知，为方程的两根，，为方程的两根，则常数1x 2x 20x px q ++=11x +21x +20x qx p ++=p ，q 分别等于（ ）A ．，B ．3，C ．1，3D ．，1 1-3-1-3-【答案】A【分析】根据已知条件由韦达定理得出，关于p ，q 的式子，消去，求解即可得出答案.1x 2x 1x 2x 【详解】，为方程的两根， 1x 2x 20x px q ++=①， 1212x x p x x q +=-⎧∴⎨⋅=⎩ ，为方程的两根，11x + 21x +20x qx p ++=②， ()()12121111x x q x x p +++=-⎧∴⎨+⋅+=⎩ 由①②式消去，可得：，解得， 1x 2x 21p q q p p -+=-⎧⎨-+=⎩13p q =-⎧⎨=-⎩17．已知条件实数满足，条件实数满足，若是的:p x 28200x x --≤:q x 22210(0)x x m m -+->≤p q 必要而不充分条件，则实数的取值范围是（ ）m A ．B ．C ．D ．3m ≥03m <≤3m >03m <<【答案】B【分析】解不等式，必要而不充分条件等价为集合的包含关系，即可列不等式组求解.【详解】，因为是的必要而不充分条件， [][]:2,10,:1,1p x q x m m ∈-∈-+p q 所以，所以且等号不同时成立，所以， [][]1,12,10m m -+⊂-12110m m -≥-⎧⎨+≤⎩03m <≤故选：B.五、解答题18．解下列不等式： (1)； 25123x x x -<---(2).2(1)(2)0x x -+≥【答案】(1)(1,1)(2,3)-U (2){2}[1,)-+∞【分析】对不等式因式分解，由数轴标根法或分类讨论求解即可.【详解】（1），由数轴标根法得，解集22253210(1)(1)(2)(3)02323x x x x x x x x x x x --+<-⇔<⇔+---<----为；(1,1)(2,3)-U （2）或， 210(1)(2)020x x x x -≥⎧-+≥⇔⎨+≠⎩20x +=易得解集为.{2}[1,)-+∞ 19．解下列不等式： (1)； 132x-<<(2).(0x -≥【答案】(1) 11(,(,)32-∞-⋃+∞【分析】（1）分类讨论解分式不等式；（2）结合因式分解解不等式.【详解】（1）时，解得；时，解得. 0x >12x >0x <13x <-故解集为； 11(,(,)32-∞-⋃+∞（2），故解集为. (2)0(0(00x x x -≥⎧-≥⇔-≥⇔≥[3,)+∞20．已知集合，求：{}2|20A x x x m =-+=(1)若集合至多有1个元素，求实数的取值范围；A m (2)若，求实数的取值范围.(,0)A ⊆-∞m 【答案】(1)m 1≥(2)1m >【分析】（1）由集合元素的个数转化为方程根的个数列不等式即可求得实数的取值范围； m （2）根据集合关系，讨论或只有负根，列不等式即可求得实数的取值范围.A =∅220x x m -+=m 【详解】（1）若集合至多有1个元素，则至多一个实根{}2|20A x x x m =-+=220x x m -+=所以，故；440m ∆=-≤m 1≥（2）由题意得或只有负根，A =∅220x x m -+=当时，，故，A =∅Δ440m =-<1m >当只有负根时，，无解，220x x m -+=1212Δ440200m x x x x m =-≥⎧⎪+=<⎨⎪=>⎩综上，实数的取值范围为.m 1m >21．关于的不等式，其中. x 2282002(1)94x x mx m x m -+<++++R m ∈(1)解集为空集时，求实数的取值范围； m (2)解集为时，求实数的取值范围.R m 【答案】(1)； 1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(2). 1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【分析】(1)由题意可得恒成立，结合一元二次不等式的解法求解即可；22(1)940mx m x m ++++≥(2) 由题意可得恒成立，结合一元二次不等式的解法求解即可；22(1)94mx m x m ++++0<【详解】（1）解：因为恒为正，22820(4)4x x x -+=-+所以解集为空集时，恒成立，22(1)940mx m x m ++++≥当时，不恒成立，舍去；0m =240x +≥当时，，解得， 0m ≠()()20Δ414940m m m m >⎧⎪⎨=+-+≤⎪⎩14m ≥所以实数的取值范围是； m 1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（2）解：因为恒正，所以解集为时，恒成立， 22820(4)4x x x -+=-+R 22(1)94mx m x m ++++0<当时，不恒成立，舍去；0m =240x +<当时，，解得， 0m ≠()()20Δ414940m m m m <⎧⎪⎨=+-+≤⎪⎩12m ≤-所以实数的取值范围是. m 1,2⎛⎤-∞- ⎝⎦22．为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y （单位：毫克/立方米）随着时间x （单位：天）变化的函数关系式近似为.若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时217,0415,4102x x y x x ⎧-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到净化空气的作用．(1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？(2)若第一次喷2个单位的净化剂，6天后再喷洒个单位的药剂，要使接下来的4天中能(14)a a ≤≤够持续有效净化，试求a 的最小值．【答案】(1)8天(2)4【分析】（1）对进行分类讨论，由求得净化的天数.x 44y ≥（2）根据空气中净化剂的浓度不低于4（毫克/立方米）列不等式，分离常数，结合函数的单调a 性求得的取值范围，进而求得的最小值.a a【详解】（1）一次喷洒4个单位的净化剂，故浓度， ()2684,044202,410x x f x y x x ⎧-≤≤==⎨-<≤⎩则当时，由，得；04x ≤≤26844x -≥04x ≤≤当时，由，解得，所以．410x <≤2024x -≥8x ≤48x <≤综上所述，，08x ≤≤故若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达8天．（2）设从第一次喷洒起，经过天，(610)x x ≤≤浓度， 21()2517(6)42g x x a x ⎛⎫⎡⎤=⨯-+--≥ ⎪⎣⎦⎝⎭当时，， 610x <≤2611717(6)(6)6x a x x x -≥=-----因为在上单调递减， 17()(6)6h x x x =---(6,10]所以当时，取得最小值， 10x =()h x 1(10)4h =则的最大值为4，所以； 117(6)6x x ---4a ≥当时，恒成立．6x =()4174g x a =+≥综上所述，a 的最小值为4．23．已知函数，设关于的方程的两实根为，方程()24(0,,)f x ax x b a a b =++<∈R x ()0f x =12,x x 的两实根为．()f x x =,αβ(1)若，求与的关系式；||1αβ-=a b (2)若均为负整数，且，求的解析式；,a b ||1αβ-=()f x (3)若，求证：．12αβ<<<12(1)(1)7x x ++<【答案】(1)；249(0,,)a ab a a b +=<∈R (2)；()242f x x x =-+-(3)证明见解析.【分析】（1）由题意得有两个不等实根为，，根据韦达定理及230(0,,)ax x b a a b ++=<∈R αβ可求解；||1αβ-=（2）由（1）得，结合均为负整数可求解；249a ab +=,a b （3）由韦达定理可得，结合即可证明. 12124,b x x x x a a+=-=12αβ<<<【详解】（1）由题意得有两个不等实根为，，230(0,,)ax x b a a b ++=<∈R αβ所以． 3940,,b ab a aαβαβ∆=->+=-=由得，即， ||1αβ-=()21αβ-=2294()41b a aαβαβ+-=-=所以，即．294ab a -=249(0,,)a ab a a b +=<∈R （2）由（1）得，因为均为负整数，249a ab +=,a b 所以或或， 149a a b =-⎧⎨+=-⎩941a a b =-⎧⎨+=-⎩343a a b =-⎧⎨+=-⎩显然后两种情况不合题意，应舍去，从而有，解得，． 149a a b =-⎧⎨+=-⎩1a =-2b =-故所求函数解析式为．()242f x x x =-+-（3）由题意得， 12124,b x x x x a a+=-=又由，得，故， 12αβ<<<30,2b a a αβαβ+=-<=<11a-<所以． ()()121212*********b x x x x x x a a++=+++=-+<++=。
2020-2021学年上海市格致中学高一上学期10月月考数学试题解析版
2020-2021学年上海市格致中学高一上学期10月月考数学试题一、单选题1．若,a b ∈R ，且0ab ≠，则“a b >”是“11a b<”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】根据充分必要条件的定义分别进行判断即可． 【详解】 当0a b >>时，11a b<不成立；当110a b <<时，a b >不成立，所以“a b >”是“11a b<”的既不充分也不必要条件．故选D ． 【点睛】本题考查了充分必要条件，考查了不等式的性质，是一道基础题．2．如图，U 为全集，M 、P 、S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A ．()M P S ⋂⋂B ．()M P S ⋂⋃C ．()()UM P S ⋂⋂D ．()()UM P S ⋂⋃【答案】C【解析】先根据图中的阴影部分是M∩P 的子集，但不属于集合S ，属于集合S 的补集，然后用关系式表示出来即可． 【详解】图中的阴影部分是： M∩P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集,即是C U S 的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P ）∩(∁U S). 故选C ． 【点睛】本题主要考查了Venn 图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题．3．直角坐标平面中除去两点(1,1)A ､(2,2)B -可用集合表示为（ ） A ．{(,)|1,1,2,2}x y x y x y ≠≠≠≠-B ．1{(,)|1x x y y ≠⎧⎨≠⎩或2}2x y ≠⎧⎨≠-⎩C ．2222{(,)|[(1)(1)][(2)(2)]0}x y x y x y -+--++≠D ．2222{(,)|[(1)(1)][(2)(2)]0}x y x y x y -+-+-++≠ 【答案】C【解析】直角坐标平面中除去两点(1,1)A ､(2,2)B -，其余的点全部在集合中，逐一排除法． 【详解】直角坐标平面中除去两点(1,1)A 、(2,2)B -，其余的点全部在集合中，A 选项中除去的是四条线1,1,2,2x y x y ====-；B 选项中除去的是(1,1)A 或除去(2,2)B -或者同时除去两个点，共有三种情况，不符合题意；C 选项2222{(,)|[(1)(1)][(2)(2)]0}x y x y x y -+--++≠，则22(1)(1)0x y -+-≠且22(2)(2)0x y -++≠，即除去两点(1,1)A ､(2,2)B -，符合题意；D 选项2222{(,)|[(1)(1)][(2)(2)]0}x y x y x y -+-+-++≠，则任意点(),x y 都不能2222[(1)(1)][(2)(2)]0x y x y -+-+-++=，即不能同时排除A ，B 两点．故选：C 【点睛】本题考查了集合的基本概念，考查学生对集合的识别，属于中档题．4．已知关于x 的不等式组222802(27)70x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩仅有一个整数解，则k 的取值范围为（ ） A ．(5,3)(4,5)- B ．[5,3)(4,5]-C ．(5,3][4,5)-D ．[5,3][4,5]-【答案】B【解析】求出第一个不等式的解，讨论k 的范围得出第二个不等式的解，根据不等式组只含有一个整数得出第二个不等式解的端点的范围，从而得出k 的范围． 【详解】解：解不等式2280x x -->得2x <-或4x >， 解方程22(27)70x k x k +++=得172x ，2x k =-． （1）若72k -<-即72k >时，不等式22(27)70x k x k +++<的解集是7(,)2k --，若不等式组只有1个整数解，则54k --<-，解得：45k <，（2）若72k ->-即72k <时，不等式22(27)70x k x k +++<的解集是7(2-，)k -，若不等式组只有1个整数解，则35k -<-，解得：53k -<，综上，k 的取值范围是[5-，3)(4⋃，5]，故选：B ． 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，分类讨论思想，借助数轴可方便得出区间端点的范围，属于中档题．二、填空题5．若{}2,2,3,4A =-，{}2|,B x x t t A ==∈，用列举法表示B = .【答案】{}4,9,16【解析】解决该试题的关键是对于t 令值，分别得到x 的值，然后列举法表示. 【详解】因为集合{}2,2,3,4A =-，而集合B 中的元素是将集合A 中的元素一一代入，通过平方得到的集合，即{}2|,B x x t t A ==∈，2,4t x ∴=±=；3,9t x ==；4,16t x ==,{}4,9,16B ∴=，那么用列举法表示B ={}4,9,16.本试题主要是考查了集合的描述法与列举法的准确运用，属于基础题.6．方程组2354x y x y -=⎧⎨+=⎩的解集为___________.【答案】{(1,1)}-【解析】由二元一次方程，应用消元法或逆矩阵解方程组求解即可. 【详解】法一：由2354x y x y -=⎧⎨+=⎩，得231028x y x y -=⎧⎨+=⎩，∴两式相加得：1111x =，1x =， 代入23x y -=，得1y =-，法二：由原方程组知：1251A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，x X y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，34B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，∴12||11051A -==≠，即A 可逆，∴1121111511111A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，有11231111151411111X A B -⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ ∴1x =，1y =- 故答案为：{(1,1)}- 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，分别可用消元法、逆矩阵求解，属于简单题. 7．{|||1,}A y y x x ==-∈R ，2{|28,}B y y x x x ==-++∈R ，A B =___________.【答案】[1,9]-【解析】结合绝对值和二次函数的性质分别求出两函数的值域，从而可求出两集合的交集. 【详解】解：因为0x ≥，所以||11y x =-≥-，即[)1,A =-+∞，因为()2228199y x x x =-++=--+≤，所以(],9B =-∞，所以AB =[1,9]-，故答案为: [1,9]-. 【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题.本题的关键是分别化简两集合.8．写出2a >的一个必要非充分条件___________. 【答案】1a >【解析】根据必要非充分条件的定义，知：21a a >⇒>，而1a >不一定有2a >，即1a >是2a >的一个必要非充分条件. 【详解】∵21a a >⇒>，而2a >⇏1a >， ∴1a >是2a >的一个必要非充分条件. 故答案为：1a > 【点睛】本题考查了必要非充分条件，根据定义法写出一个必要非充分条件，属于简单题. 9．已知全集{4,3,1,2,0,1}U =---，2{,1,3}A a a =+-，2{3,21,1}B a a a =--+，若{3}A B ⋂=-，则UA B =___________.【答案】{3,1,0,1}--【解析】根据集合交集的定义，结合集合元素的互异性、集合并集和补集的定义分类讨论进行求解即可. 【详解】因为{3}A B ⋂=-，所以有33a -=-或213a -=-或213a +=-，当33a -=-时，解得0a =，此时{0,1,3}A =-，{3,1,1}B =--，而{3,1}A B ⋂=-，这与已知矛盾，故不符合题意，舍去；当213a -=-时，解得1a =-，此时{0,1,3}A =-，{4,23,}B =--，符合题意，故1a =-；当213a +=-时，此方程无实根，综上所述：1a =-， 所以UAB ={3,1,0,1}--.故答案为：{3,1,0,1}-- 【点睛】本题考查了已知集合交集的结果求参数问题，考查了集合并集和补集的运算，考查了数学运算能力.10．不等式2117x x+≤-的解集为___________.【答案】(,2](7,)-∞+∞【解析】对不等式移项通分，利用公式可得出不等式的解集． 【详解】2117x x +≤-等价于21-107x x +≤-，即3607x x-≤- 化简得()()270x x x --≥，不等于7 则原不等式的解集为(,2](7,)-∞+∞ 故答案为：(,2](7,)-∞+∞ 【点睛】本题考查分式不等式的解集，考查学生计算能力，属于基础题． 11．已知集合{2,1}A =-，{|2,B x ax ==其中,}x a ∈R ，若A B B =，则a 的取值集合为___________. 【答案】{}1,0,2- 【解析】根据A B B =得到,A B 之间的关系，由此确定出可取的a 的值.【详解】 因为AB B =，所以B A ⊆，当B =∅时，0a =；当B ≠∅时，若{}2B =-，则22a -=，所以1a =-；若{}1B =，则2a =. 综上可知：a 的取值集合为{}1,0,2-， 故答案为：{}1,0,2-. 【点睛】本题考查根据集合间的包含关系求解参数，难度一般.分析集合间的子集关系时，注意分析空集的存在.12．已知关于x 的不等式210ax bx +-≥的解集为11[,]23--，则不等式20x bx a --<的解集为___________. 【答案】(3,2)--【解析】由题意知－12，－13是方程210+-=ax bx 的两根，求出65a b =-⎧⎨=⎩，再解不等式得解. 【详解】 由题意知－12，－13是方程210+-=ax bx 的两根， 所以由根与系数的关系得11()23111()23b aa ⎧-+-=-⎪⎪⎨⎪-⨯-=-⎪⎩,解得65a b =-⎧⎨=-⎩. 不等式20x bx a --<即为2560x x ++<， 所以(2)(3)0x x ++< 所以解集为(3,2)--． 故答案为：(3,2)-- 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，考查根据一元二次不等式的解集求参数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.13．若关于x 的不等式2(2)3m x x m +>-+的解集是(3,)+∞，则m 的值为___________. 【答案】5【解析】由题意可得10m ->，22331m m m --=-，由此求得m 的值．【详解】解：关于x 的不等式2(2)3m x x m +>-+的，即2(1)32m x m m ->--，它解集是(3,)+∞，故10m ->，22331m m m --=-，求得5m =，故答案为：5． 【点睛】本题主要考查含参数的一次不等式的解法，属于中档题．14．已知集合2{|()(1)0}M x x a x ax a =--+-=各元素之和等于3，则实数a =___________.【答案】2或32【解析】由题意知M 中各元素为描述中方程的解，由集合的性质讨论23,x x 是否相等即可求实数a . 【详解】由题意知：2{|()(1)0}M x x a x ax a =--+-=中元素，即为2()(1)0x a x ax a --+-=的解，∴0x a -=或210x ax a -+-=，可知：1x a =或23x x a += ∴当23x x ≠时，23a =；当23x x =时，332a =， ∴2a =或32a =， 故答案为：2或32【点睛】本题考查了集合的性质，根据集合描述及元素之和，结合互异性讨论求参数，属于基础题.15．若三个关于x 的方程24430x x a +-+=，225(1)04a x a x ++-+=，2210x ax ++=中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围为___________.【答案】1(,1][,)4-∞--+∞【解析】结合判别式求出当三个方程都没有实根时的实数a 的取值范围，进而可求出所求答案. 【详解】解：若三个方程都没有实根，则()()2222444316405142404440a a a a a a ⎧∆=--+=+<⎪+⎪∆=--⋅=--<⎨⎪∆=-<⎪⎩，解得114a -<<-，所以当至少有一个方程有实根时，1a ≤-或14a ≥-，故答案为: 1(,1][,)4-∞--+∞. 【点睛】本题考查了方程的实数解的问题，将至少有一个方程转化为都没有实根再求解是解题的关键.16．设数集4{|}5M x m x m =≤≤+，1{|}4N x n x n =-≤≤，且集合M ､N 都是集合{|01}U x x =≤≤的子集，如果把b a -称为非空集合{|}x a x b ≤≤的“长度”，那么集合M N ⋂的“长度”的取值范围为___________. 【答案】11[,]204【解析】根据“长度”定义确定集合,M N 的“长度”，由M N ⋂“长度”最小时，两集合位于集合I 左右两端即可确定结果. 【详解】由“长度”的定义可知：集合M 的长度为45，集合N 的长度为14； 若集合M N ⋂的“长度”最小，则M 与N 分别位于集合I 的左右两端，MN ∴的“长度”的最小值为45411120+-=若集合M N ⋂的“长度”最大，则M 与N 分别重合的部分最多，MN ∴的“长度”的最大值为14则集合M N ⋂的“长度”的取值范围为11[,]204故答案为：11[,]204【点睛】本题考查集合中的新定义运算问题的求解，解题关键是能够确定“长度”最小时，两集合的位置.三、解答题17．已知集合2{|8160,,}A x kx x k x =-+=∈∈R R .（1）若A 只有一个元素，试求实数k 的值，并用列举法表示集合A ； （2）若A 至多有两个子集，试求实数k 的取值范围.【答案】（1）0k =，{2}A =；1k =，{4}A =；（2）{}[)01,+∞．【解析】（1）当0k =时，易知符合题意，当0k ≠时，利用0∆=即可求出k 的值； （2）由A 至多有两个子集，可知集合A 中元素个数最多1个，再分0k =和0k ≠两种情况讨论，即可求出实数k 的取值范围． 【详解】（1）①当0k =时，方程化为：8160x -+=，解得2x =， 此时集合{2}A =，满足题意； ②当0k ≠时，方程28160kx x -+=有一个根，∴∆2(8)4160k =--⨯=，解得：1k =，此时方程为28160x x -+=，解得4x =，∴集合{4}A =，符合题意，综上所述，0k =时集合{2}A =；1k =时集合{4}A =； （2）A 至多有两个子集，∴集合A 中元素个数最多1个，①当0k ≠时，一元二次方程28160kx x -+=最多有1个实数根，∴∆2(8)4160k =--⨯，解得1k ，②当0k =时，由（1）可知，集合{2}A =符合题意， 综上所述，实数k 的取值范围为：{}[)01,+∞．【点睛】本题主要考查了集合的表示方法，考查了集合的元素个数，属于基础题． 18．已知a ∈R ，求关于x 的不等式2(21)20ax a x --->的解集. 【答案】见解析【解析】当0a =时，求解一次不等式，当0a ≠时，求出对应方程的根11x a=-，22x ，从而对a 分类讨论一元二次不等式的解集. 【详解】当0a =时，20x ->，∴2x >，则2(21)20ax a x --->的解集为(2,)+∞ 当0a ≠时，解2(21)20ax a x ---=，得11x a =-，22x ①当0a >时，12a-<，则2(21)20ax a x --->的解集为1(,)(2,)a -∞-+∞. ②当0a <时，（1）12a -=，即12a =-，则2(21)20ax a x --->可化简为()220x -<，无解；（2）12a ->，即102a >>-，则2(21)20ax a x --->的解集为1(2,)a -； （3）12a -<，即12a <-，则2(21)20ax a x --->的解集为1(,2)a-； 综上：（1）0a =时，解集为(2,)+∞；（2）当0a >时，解集为1(,)(2,)a -∞-+∞；（3）当12a =-时，无解； （4）当102a >>-时，解集为1(2,)a -； （5）当12a <-时，解集为1(,2)a-. 【点睛】 本题考查含参不等式的求解，涉及一元一次不等式，含参数的一元二次不等式分类讨论，属于基础题.19．已知集合{|2134}A x m x m =+≤≤+，{|17}B x x =≤≤.（1）若A B ⊂，求实数m 的取值范围；（2）若C B Z =，求C 的所有子集中所有元素的和.【答案】（1）(,3)[0,1]-∞-；（2）1792.【解析】（1）根据集合的包含关系求m 的取值范围即可；（2）首先确定子集的个数为72128=，根据元素与集合的关系判断每一个元素存在于多少个子集中，即可求和.【详解】（1）由A B ⊂，知：当A =∅时，2134m m +>+，解得3m <-；当A ≠∅时，2113473421m m m m +≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥+⎩，解得01m ≤≤；∴综上，有(,3)[0,1]-∞-.（2）{1,2,3,4,5,6,7}C B Z ==，由C 的所有子集的个数为72128=，而对于任意元素子集：在任意子集中存在或不存在，即每一个元素都存在于64个子集中， ∴(1234567)641792++++++⨯=【点睛】本题考查了根据集合包含关系求参数，由元素个数求所有子集中元素之和，利用元素与集合的关系判断元素存在的子集个数，属于基础题.20．设二次函数2()f x ax bx c =++，其中a ､b ､R c ∈. （1）若2(1)b a =+，94c a =+，且关于x 的不等式28200()x x f x -+<的解集为R ，求a 的取值范围；（2）若a ､b ､c Z ∈，且(0)f ､(1)f 均为奇数，求证：方程()0f x =无整数根； （3）若1a =，21b k =-，2c k =，求证：方程()0f x =有两个大于1的根的充要条件是2k <-.【答案】（1）1(,)2-∞-；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【解析】（1）根据不等式解集为R ，结合分式、二次函数的性质即可求参数a 的范围；（2）利用反证法，分类讨论12,x x 都为整数、1x 为整数，2x 不为整数，结合a 、b 的奇偶性即可证明；（3）根据二次方程根的分布列条件求解证明即可.【详解】（1）由28200()x x f x -+<知：2282000x x ax bx c ⎧-+>⎨++<⎩且解集为R ， ∴2040a b ac <⎧⎨∆=-<⎩即208210a a a <⎧⎨+->⎩，解得：12a <-. （2）(0)f c =，(1)f abc =++均为奇数，知：+a b 为偶数，∴2()0f x ax bx c =++=有两根为12,x x ，则12b x x a +=-，12c x x a=，1、当a 、b 为偶数时，若12,x x 都为整数，则b 、c 必须同时可被a 整除，显然不成立；若1x 为整数，2x 不为整数，211,ax bx 都为偶数，则2110ax bx c ++≠与题设矛盾；2、当a 、b 为奇数时，若12,x x 都为整数，12b x x a +=-必为奇数，则12,x x 必有一奇一偶，12x x 必为偶数，而c a为奇数，不成立；若1x =11()x ax b c +=-，当1x 为奇数时，1ax b +为偶数，则c 为偶数，与题设矛盾；当1x 为偶数时，1ax b +为奇数，则c 为偶数，与题设矛盾；综上，知：方程()0f x =无整数根；（3）由题意，知：22()(21)f x x k x k =+-+，若()0f x =有两个大于1的根时，有2121220k k k -⎧>⎪⎨⎪+>⎩，解得2k <-；若2k <-时，有()f x 开口向上且对称轴为12522k x -=>，2(1)20f k k =+>，22(21)4149k k k ∆=--=->，所以()0f x =有两个大于1的根；综上，有：方程()0f x =有两个大于1的根的充要条件是2k <-.【点睛】本题考查了根据分式不等式、二次函数的性质求参数范围，应用反证法证明存在性问题，以及定义法证明条件间的充要性.。
2020-2021学年高一数学上学期10月月考试题
2020-2021学年高一数学上学期10月月考试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}5,3,0,3,5A =--,集合{}5,2,2,5B =--,则AB = ( ){}.5,3,0,3,5,5,2,2,5A ---- {}.5,5B -{}.5,3,2,0,2,3,5C --- {}.5,3,2,2,3,5D ---2．如果集合{}1->=x x P ，那么( )A ．P ⊆0B ．P ∈}0{C ．P ∈∅D ．P ⊆}0{ 3.函数432x y x +=-的定义域是 ( )A ．3(,]2-∞ B ． 3(,)2-∞ C ． 3[,)2+∞ D ． 3(,)2+∞4.已知函数1(1)()3(1)x x f x x x +≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩ 则5[()]2f f 等于 （ ）A ．21-B ．25C ．29D ．235．下列函数中,在定义域上既是奇函数又是增函数的为（ ） A ．1y x =+B ．2y x =-C ．1y x=D ．||y x x = 6．下列各组函数中，表示同一函数的是( )A ．211x y x -=-与1y x =+ B ．0y x =与l y =C ．y x =与33y x = D ．2y x =与y x =7.如果1()1xf x x=-，则当0,1x ≠时，()f x =（ ） A ．1xB ．11x - C ．11x - D ．11x -8．若二次函数221y x ax =-+在区间[2，+∞）上单调递增，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≥0 B ．a ≤O C.a ≥2 D ．a ≤2 9．函数||y x x =的图像大致是( )A B C D10.某社区要召开群众代表大会，规定各小区每10人推选一名代表，当各小区人数除以10的余数不小于5时再增选一名代表．那么，各小区可推选代表人数y 与该小区人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为 ( )A ．y ＝[x10]B ．y ＝[x ＋310] C ．y ＝[x ＋410] D ．y ＝[x ＋510]11.已知函数1f (x )+是偶函数，当1x (,)∈-∞时，函数f (x )单调递减，设1122a f (),b f (),c f ()=-=-=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c< a<bB ．a< b<cC ．a< c<bD ．c<b<a12.已知函数)(x f 为奇函数，0>x 时为增函数且0)2(=f ，则{}(2)0x f x ->=（ ） A.}{420><<x x x 或 B.{}04x x x <>或C.{}06x x x <>或 D.{}22x x x <->或二、填空题：（本大题共有4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷的相应位置） 13．已知函数2()3f x ax bx a b =+++是偶函数，定义域为[a-l ，2a]，则f(0)=___________. 14．设奇函数)(x f 的定义域为[]5,5-，若当[0,5]x ∈)(x f 的图象如右图,则不等式()f x ≤0解集是 .15.已知函数221()1x f x x -=+，则111973()()()(0)(1)(3)(7)(9)f f f f f f f f +++++++= ．16.给定集合A ，若对于任意,a b A ∈，都有a b A +∈且a b A -∈，则称集合A 为完美集合，给出下列四个论断：①集合{}4,2,0,2,4A =--是完美集合；②完美集合不能为单元素集；③集合{}3,A n n k k Z ==∈为完美集合；④若集合,A B 为完美集合，则集合A B 为完美集合．其中正确论断的序号是 ．三、解答题：（本大题共有6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知集合{|36}A x x =-<≤，{|37}B x b x b =-<<+，{|45}M x x =-≤<，全集U =R ．（1）求A M ；（2）若()UB M =R ，求实数b 的取值范围．18.（本小题满分12分）若函数()f x 为奇函数，当0x ≥时，2()24f x x x =-（如图）． （1）求函数()f x 的表达式，并补齐函数()f x 的图象； （2）写出函数)(x f 单调区间和值域.19.（本小题满分12分）已知函数()af x x x=+，且(1)3f =． （1）求a 的值，并确定函数()f x 的定义域； （2）用定义研究函数()f x 在),2[+∞的单调性； （3）当]2,4[--时，求出函数()f x 的取值范围．20．（本小题满分12分）已知二次函数)(x f 满足x x f x f 2)()1(=-+，且1)0(=f ． （1）求)(x f 的解析式；（2）在区间]1,1[-上，m x x f +>2)(，试确定实数m 的取值范围．21. （本小题满分12分）定义在R 上的函数),(x f y =当0>x 时，1)(>x f ，且对任意的R b a ∈,有)()()(b f a f b a f =+。
上海市格致中学2020-2021学年高一上学期数学周练卷1(答案简答)
2020年上海市格致中学高一上数学周练卷一 2020.09.04一. 填空题1. 方程组20x y x y +=⎧⎨-=⎩的解构成的集合为2. 已知集合2{,2,}A x x x =-且x ∈Z ，若||3x ≤，则满足条件的x 所形成的集合B 用列举法表示为B =3. 已知:x a α≥，:3x β>，若αβ⇒，则实数a 的取值范围是4. 设全集U =R ，{|21}A x x a =>-，{|}B x x a =>，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是5. 已知全集{|010,}U x x x =<<∈N ，若{1}A B =，{2,4,9}A B =，A B ={1,2,4,6,7,9}，则B =6. 若{|2}A x x =>-，{|,}B x x b b =≤∈R ，则AB =R 的充要条件是 ，A B =R 的一个必要 非充分条件是 ，A B =R 的一个充分非必要条件是7. 设集合A 是整数集的一个非空子集，对于任意的k A ∈，如果1k A +∉且1k A -∉，则称k 为集合A 的一个 “孤立元”，给定集合{|09,}M x x x =<≤∈N ，由M 中的3个元素组成的所有集合中，不含有“孤立元” 的集合共有 个8. 定义集合A 与B 的差：{|A B x x A -=∈且}x B ∉，对称差：()()A B A B B A ∇=--，已知集合{(,)|1}A x y y x ==+，5{(,)|1}4y B x y x -==-，则A B ∇= 9. 用符号“⇒”或“⇔”或“⇐”将下列各题中的α、β之间关系连接起来：（1）2:9x α=，:3x β=或3x =-，则α β（2）:α整数k 是3的倍数，:β整数k 是9的倍数，则α β（3）:α集合A ∩B =∅，:A β=∅或B =∅，则α β（4）:0m α≤，:β关于x 的方程220x x m -+=有实根，则α β10. 若规定12310{,,,,}E a a a a =⋅⋅⋅的子集12{,,,}l nl l a a a ⋅⋅⋅为E 的第k 个子集，其中k =12111222n l l l ---++⋅⋅⋅+， 则E 的第211个子集为二. 选择题11. 给出下列说法：（1）{0}是空集；（2）集合6{|,}x x x∈∈N Q 是有限集；（3）空集不存在子集； （4）{|21,}{|21,}x x k k x x k k =+∈==-∈Z Z ； 其中正确的说法个数为（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个12. 设关于x 的不等式110a x b +>的解集为A ，关于x 的不等式220a x b +>的解集为B ，则“A B =”是 “1122a b a b =”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件13.“a 、b 都不为0”的充分非必要条件是（ ）A. 0ab >B. 0ab ≠C. 220a b +>D. 0a b +>14. 集合2{|()()0}S x x a x bx c =+++=，2{|(1)(1)0}T x ax cx bx =+++=，其中a 、b 、c 都是实数， 若||S 、||T 分别为S 、T 的元素个数，则下列结论中一定成立的是（ ）A. 若||0T =，则||1S =B. 若||1S =，则||1T =C. 若||2S =，则||2T =D. 若||3T =，则||2S =三. 解答题15.（1）设:24a x α<≤，:231x a β≤≤+，若α是β的充分非必要条件，求实数a 的取值范围；（2）设集合{|24}A x a x =<≤，集合{|231}B x x a =<<+，若A B ⊂，求实数a 的取值范围.16. 已知U =R ，集合2{|0}A x x px q =++=，2{|10}B x qx px =++=，且集合A 、B 同时满足：（1）A ∩B ≠∅；（2）A ∩B ={−2}；其中p 、q 都为不等于零的实数，求实数p 、q 的值.17.（1）已知,,a b c ∈R ，证明：若1a b c ++<，则a 、b 、c 中至少有一个小于13； （2）已知,,a b c ∈R ，判断“1a b c ++<”是“a 、b 、c 中至少有一个小于13”的什么条件？并说明理由.18. 设集合1234{,,,}A a a a a =，22221234{,,,}B a a a a =，其中1a 、2a 、3a 、4a 都是正整数，且1234a a a a <<<. （1）若A ∩B ={a 1,a 4}且1410a a +=，求1a 与4a 的值；（2）在（1）的条件下，若A B 中所有元素的和为124，求集合A .参考答案一. 填空题1. {(1,1)}2. {3,2,1,3}--3. 3a >4. 1a <5. {3,5,6,7,8}6. 2b ≥-，3b ≥-（答案不唯一），1b ≥-（答案不唯一）7. 78. {(4,5)} 9.（1）⇔；（2）⇐；（3）⇐；（4）⇒ 10. 12578{,,,,}a a a a a二. 选择题11. A 12. D 13. A14. A 三. 解答题15.（1）1a ≥；（2）1a >.16. 1p =，2q =-或3p =，2q =.17.（1）证明略；（2）充分不必要.18.（1）11a =，49a =；（2）{1,3,5,9}A =.。
2020-2021学年上海市黄浦区格致中学高一(上)期中数学试卷
2020-2021学年上海市黄浦区格致中学高一（上）期中数学试卷试题数：21.满分：1001.（填空题.3分）当a＜b时.化简√(a−b)2 =___ ．2.（填空题.3分）已知全集U={0.1.2.3.4}.集合A={x|x2-3x+2≤0.x∈Z}.则A =___ ．3.（填空题.3分）已知a＞1.比较大小√a√a ___ 1log312+2log122．4.（填空题.3分）命题“设a.b∈R.若a+b＜4.则a＜2或b≤2”是___ 命题．（填“真”或“假”）5.（填空题.3分）已知x＞0.y＞0.且2x+5y=20.则lgx+lgy的最大值为___ ．6.（填空题.3分）设不等式|x-a|＜b的解集为{x|-1＜x＜2}.当m＞0时.用根式表示m ab=___ ．7.（填空题.3分）已知关于x的不等式kx2-kx+1≥0的解集为R.则实数k的取值范围是___ ．8.（填空题.3分）测量地震级别的里氏震级M的计算公式为：M=lgA-lgA0.其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅.常数A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中.测震仪记录的最大振幅是1000.而此次地震的里氏震级恰好为6级.那么里氏9级地震的最大的振幅是里氏5级地震最大振幅的___ 倍．9.（填空题.3分）若关于x的不等式组{(2x−3)(x+1)≤0x＞a没有整数解.则实数a的取值范围是___ ．10.（填空题.3分）已知M= m2+1m−1.其中m＞1.则M的最小值为___ ．11.（填空题.3分）定义：对于非空集合A.若元素x∈A.则必有（m-x）∈A.则称集合A为“m和集合”．已知集合B={1.2.3.4.5.6.7}.则集合B所有子集中.是“8和集合”的集合有___ 个．12.（填空题.3分）研究问题：“已知关于x的不等式ax2-bx+c＞0的解集为（1.2）.则关于x的不等式cx2-bx+a＞0有如下解法：由ax2−bx+c＞0⇒a−b(1x )+c(1x)2＞0 .令y=1x.则y∈(12，1) .所以不等式cx2-bx+a＞0的解集为(12，1)．参考上述解法.已知关于x的不等式k x+a +x+bx+c＜0的解集为（-2.-1）∪（2.3）.则关于x的不等式kxax−1+bx−1cx−1＜0的解集 ___ ．13.（单选题.4分）如果a＜b＜0.那么下列不等式中正确的是（）A. ab＜1B.a2＞abC. 1b2＜1a2D.- 1a ＜ 1b14.（单选题.4分）下列表示图中的阴影部分的是（ ）A.（A∪C ）∩（B∪C ）B.（A∪B ）∩（A∪C ）C.（A∪B ）∩（B∪C ）D.（A∪B ）∩C15.（单选题.4分）已知a.s.t 都是正实数.且a≠1.下列运算一定正确的是（ ） A.a s +a t =a s+t B.a s a t =a s+tC.log a s+log a t=log a （s+t ）D.log a s•log a t=log a （st ）16.（单选题.4分）已知a 1.a 2.b 1.b 2.c 1.c 2均为非零实数.则“ a 1a 2=b 1b 2=c1c 2”是“关于x 的方程a 1x 2+b 1x+c 1=0与a 2x 2+b 2x+c 2=0解集相同”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分又非必要条件17.（问答题.6分）解不等式组 {|4x +1|＞21x≥3 ．18.（问答题.8分）艺术中心要用木料制作如图所示的框架.框架下部是边长分别为x.y （单位：米）的矩形.上部是等腰直角三角形.要求框架围成的总面积为8平方米.问：总用料最省时.用料为多少米？此时x.y 分别为多少米？（最后结果精确到0.01）19.（问答题.10分）已知p：关于x的一元二次方程x2-2 √3 x+|m-2|=0有两个不相等的实数根．q：关于x的一元二次方程x2-mx+|a+1|+|a-3|=0对于任意实数a都没有实数根．（1）若p成立.求实数m的取值范围；（2）若p和q中有且只有一个成立.求实数m的取值范围．20.（问答题.10分）已知有限集A=（a1.a2.…….a n）（n≥2.n∈N）.如果中A元素a i（i=1.2.….n）满足a1+a2+…+a n=a1×a2×……×a n.就称A为“完美集”．（1）如果方程：x2-bx+5=0的解集是一个“完美集”.求log √5 b的值．（2）利用反证法证明：若a1.a2是两个不同的正数.且{a1.a2}是“完美集”.则a1.a2至少有一个大于2．21.（问答题.14分）已知一元二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0.c＞0）的图象与x轴有两个不同的公共点.其中一个公共点的坐标为（c.0）.且当0＜x＜c时.恒有f（x）＞0．时.求出不等式f（x）＜0的解；（1）当a=1. c=12（2）求出不等式f（x）＜0的解（用a.c表示）；（3）若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8.求a的取值范围；（4）若不等式m2-2km+1+b+ac≥0对所有k∈[-1.1]恒成立.求实数m的取值范围．2020-2021学年上海市黄浦区格致中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21.满分：1001.（填空题.3分）当a＜b时.化简√(a−b)2 =___ ．【正确答案】：[1]b-a【解析】：根据a-b的符号.去绝对值求出答案即可．【解答】：解：a＜b即a-b＜0.故√(a−b)2 =|a-b|=b-a.故答案为：b-a．【点评】：本题考查了二次根式的性质.考查转化思想.是一道基础题．2.（填空题.3分）已知全集U={0.1.2.3.4}.集合A={x|x2-3x+2≤0.x∈Z}.则A =___ ．【正确答案】：[1]{0.3.4}【解析】：可求出集合A.然后进行补集的运算即可．【解答】：解：∵全集U={0.1.2.3.4}.A={x|1≤x≤2.x∈Z}={1.2}.∴ A={0，3，4}．故答案为：{0.3.4}．【点评】：本题考查了描述法、列举法的定义.一元二次不等式的解法.补集的运算.考查了计算能力.属于基础题．+2log122．3.（填空题.3分）已知a＞1.比较大小√a√a ___ 1log312【正确答案】：[1]＞+【解析】：根据a＞1及指数函数的单调性可得出√a√a＞1 .根据对数的运算即可得出1log3122log122=1 .然后即可得出答案．【解答】：解：∵a＞1.∴ √a√a=a 34＞a0=1 .1log312+2log122=log33log312+log124=log123+log124=1.∴ √a√a＞1log312+2log122．故答案为：＞．【点评】：本题考查了根式转换成分数指数幂的方法.指数函数的单调性.对数的换底公式.对数的运算性质.考查了计算能力.属于基础题．4.（填空题.3分）命题“设a.b∈R.若a+b＜4.则a＜2或b≤2”是___ 命题．（填“真”或“假”）【正确答案】：[1]真【解析】：根据不等式的性质即可直接判断．【解答】：解：设a.b∈R.若a+b＜4.则a.b至少有一个小于等于2.故若a+b＜4.则a＜2或b≤2是真命题.故答案为：真．【点评】：本题考查了命题的真假判断.属于基础题．5.（填空题.3分）已知x＞0.y＞0.且2x+5y=20.则lgx+lgy的最大值为___ ．【正确答案】：[1]1【解析】：利用基本不等式先求出xy的范围.再根据对数的运算性质进行化简即可求得最大值.注意等号成立的条件．【解答】：解：∵知x＞0.y＞0.且2x+5y=20.∴2x+5y=20≥2 √10xy .即xy≤10．当且仅当2x=5y.即x=5.y=2时.取等号．∴lgx+lgy=lgxy≤lg10=1.即最大值为1．故答案为：1．【点评】：本题主要考查了函数的最值及其几何意义.最值问题是函数常考的知识点.属于基础题．6.（填空题.3分）设不等式|x-a|＜b的解集为{x|-1＜x＜2}.当m＞0时.用根式表示m ab=___ ．【正确答案】：[1] √m34【解析】：先根据|x-a|＜b的解集为{x|-1＜x＜2}.求出a.b的值.再用根式表示m ab即可．【解答】：解：由|x-a|＜b.得-b+a＜x＜a+b.∵|x-a|＜b的解集为{x|-1＜x＜2}.∴-b+a=-1且a+b=2.∴a= 12 .b= 32.∴当m＞0时.m ab= √m34．故答案为：√m34．【点评】：本题考查了绝对值不等式的解法.考查了方程思想.属基础题．7.（填空题.3分）已知关于x的不等式kx2-kx+1≥0的解集为R.则实数k的取值范围是___ ．【正确答案】：[1][0.4]【解析】：根据题意讨论k=0和k≠0时.求出不等式解集为R时实数k的取值范围．【解答】：解：k=0时.不等式为1≥0.解集为R.满足题意；k≠0时.应满足{k＞0△=(−k)2−4k×1≤0.解得0＜k≤4；综上知.实数k的取值范围是[0.4]．故答案为：[0.4]．【点评】：本题考查了含有字母系数的不等式恒成立应用问题.是基础题．8.（填空题.3分）测量地震级别的里氏震级M的计算公式为：M=lgA-lgA0.其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅.常数A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中.测震仪记录的最大振幅是1000.而此次地震的里氏震级恰好为6级.那么里氏9级地震的最大的振幅是里氏5级地震最大振幅的___ 倍．【正确答案】：[1]10000【解析】：根据题意中的假设.可得M=lgA-lgA0=lg1000-lgA0=6；设9级地震的最大的振幅是x.5级地震最大振幅是y.9=lgx+3.5=lgy+3.由此知9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的10000倍．【解答】：解：根据题意.假设在一次地震中.测震仪记录的最大振幅是1000.此次地震的里氏震级恰好为6级.则M=lgA-lgA 0=lg1000-lgA 0=3-lgA 0=6.解得：lgA 0=-3. 设9级地震的最大的振幅是x.5级地震最大振幅是y. 9=lgx+3.5=lgy+3.解得x=106.y=102. ∴ x y=106102=10000． 故答案为：10000．【点评】：本题考查对数的运算法则.解题时要注意公式的灵活运用．9.（填空题.3分）若关于x 的不等式组 {(2x −3)(x +1)≤0x ＞a 没有整数解.则实数a 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]a≥1【解析】：先求出不等式（2x-3）（x+1）≤0的解集.然后确定不等式组的解集.进而确可求a 的范围．【解答】：解：由（2x-3）（x+1）≤0可得-1 ≤x ≤32 .其中有整数-1.0.1. 因为不等式组 {(2x −3)(x +1)≤0x ＞a 没有整数解.故不等式组的解集a ＜x ≤32 且其范围内没有整数. 故a≥1． 故答案为：a≥1．【点评】：本题主要考查了二次不等式的求解.属于基础试题． 10.（填空题.3分）已知M= m 2+1m−1 .其中m ＞1.则M 的最小值为___ ．【正确答案】：[1]2 √2 +2【解析】：M= m 2+1m−1 =（m-1）+ 2m−1 +2.根据基本不等式即可求出．【解答】：解：∵m ＞1 ∴M= m 2+1m−1 =(m−1)2+2(m−1)+2m−1 =（m-1）+ 2m−1 +2≥2 √2 +2.当且仅当m-1= 2m−1 时.即m=1+ √2 时取等号. 故M 的最小值为2 √2 +2.故答案为：2 √2 +2．【点评】：本题考查了基本不等式的应用.关键掌握应用基本不等式的基本条件.一正二定三相等.属于基础题．11.（填空题.3分）定义：对于非空集合A.若元素x∈A.则必有（m-x）∈A.则称集合A为“m和集合”．已知集合B={1.2.3.4.5.6.7}.则集合B所有子集中.是“8和集合”的集合有___ 个．【正确答案】：[1]15【解析】：考察子集的概念以及对数学新概念的理解.由x∈A及（m-x）∈A可以得到两个数之和为m的元素必须同时出现在集合A中．【解答】：解：①含有1个元素的“8和集合”：{4}；② 含有2个元素的“8和集合”：{1.7}.{2.6}.{3.5}；③ 含有3个元素的“8和集合”：{1.4.7}.{2.4.6}.{3.4.5}；④ 含有4个元素的“8和集合”：{1.7.2.6}.{1.7.3.5}.{2.6.3.5}；⑤ 含有5个元素的“8和集合”：{1.7.2.6.4}.{1.7.3.5.4}.{2.6.3.5.4}；⑥ 含有6个元素的“8和集合”：{1.7.2.6.3.5}；⑦ 含有7个元素的“8和集合”：{1.7.2.6.3.5.4}．【点评】：除了列举法解法.还可以把（1.7）.（2.6）.（3.5）和4看成四个元素.把此题看成求含有4个元素集合的非空子集个数的问题.利用含有n个元素的集合非空子集个数为2n-1来求解.即“8和集合”的个数为24-1=15．12.（填空题.3分）研究问题：“已知关于x的不等式ax2-bx+c＞0的解集为（1.2）.则关于x的不等式cx2-bx+a＞0有如下解法：由ax2−bx+c＞0⇒a−b(1x )+c(1x)2＞0 .令y=1x.则y∈(12，1) .所以不等式cx2-bx+a＞0的解集为(12，1)．参考上述解法.已知关于x的不等式k x+a +x+bx+c＜0的解集为（-2.-1）∪（2.3）.则关于x的不等式kxax−1+bx−1cx−1＜0的解集 ___ ．【正确答案】：[1] (−12，−13)∪(12，1)【解析】：先明白题目所给解答的方法：ax2-bx+c＞0化为a−b(1x )+c(1x)2＞0 .类推为cx2-bx+a＞0.解答不等式；然后依照所给定义解答题目即可．【解答】：解：关于x的不等式ka+x + b+xc+x＜0的解集为（-2.-1）∪（2.3）.用−1x 替换x.不等式可以化为：k(−1x)+a+(−1x)+b(−1x)+c=kxax−1+bx−1cx−1＜0可得−1x∈(−2，−1)∪(2，3)可得12＜x＜1或−12＜x＜−13故答案为：(−12，−13)∪(12，1)．【点评】：本题是创新题目.考查理解能力.读懂题意是解答本题关键.将方程问题和不等式问题进行转化是解答本题的关键．13.（单选题.4分）如果a＜b＜0.那么下列不等式中正确的是（）A. ab＜1B.a2＞abC. 1b2＜1a2D.- 1a ＜1b【正确答案】：B【解析】：由不等式的性质逐一判断即可．【解答】：解：若a＜b＜0.则ab＞1.故A错误；若a＜b＜0.则a2＞ab.故B正确；若a＜b＜0.则a+b＜0.a-b＜0.所以1b2 - 1a2= a2−b2a2b2= (a+b)(a−b)a2b2＞0.即1b2＞1a2.故C错误；若a＜b＜0.则- 1a ＞0＞1b.故D错误．故选：B．【点评】：本题主要考查不等式的基本性质.属于基础题．14.（单选题.4分）下列表示图中的阴影部分的是（）A.（A∪C）∩（B∪C）B.（A∪B）∩（A∪C）C.（A∪B）∩（B∪C）D.（A∪B）∩C【正确答案】：A【解析】：由韦恩图分析阴影部分表示的集合.关键是要分析阴影部分的性质.先用自然语言将其描述出来.再根据集合运算的定义.将共转化为集合语言.再去利用集合运算的方法.对其进行变形和化简．【解答】：解：图中阴影部分表示元素满足：是C中的元素.或者是A与B的公共元素故可以表示为C∪（A∩B）也可以表示为：（A∪C）∩（B∪C）故选：A．【点评】：韦恩图是分析集合关系时.最常借助的工具.其特点是直观.要分析韦恩图分析阴影部分表示的集合.要先分析阴影部分的性质.先用自然语言将其描述出来.再根据集合运算的定义.将共转化为集合语言.再去利用集合运算的方法.对其进行变形和化简．15.（单选题.4分）已知a.s.t都是正实数.且a≠1.下列运算一定正确的是（）A.a s+a t=a s+tB.a s a t=a s+tC.log a s+log a t=log a（s+t）D.log a s•log a t=log a（st）【正确答案】：B【解析】：根据指数幂的运算性质以及对数的运算性质判断即可．【解答】：解：根据指数幂的运算性质得：A错误.B正确；根据对数的运算性质得：C.D错误；故选：B．【点评】：本题考查了指数幂的运算性质以及对数的运算性.是一道基础题．16.（单选题.4分）已知a1.a2.b1.b2.c1.c2均为非零实数.则“ a1a2=b1b2=c1c2”是“关于x的方程a1x2+b1x+c1=0与a2x2+b2x+c2=0解集相同”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件 【正确答案】：A【解析】：根据方程的性质.我们可以判断“a 1a 2=b 1b 2=c 1c 2”⇒“关于x 的方程 a 1x 2+b 1x +c 1=0与 a 2x 2+b 2x +c 2=0 解集相同”；根据方程的解集可能为空集.可判断“M=N”⇒“ a1a 2=b1b 2=c1c 2”的真假.进而得到答案．【解答】：解：∵“ a 1a 2=b 1b 2=c 1c 2”时.对应项系数成比例.对应方程的解集相同.即“ a 1a 2=b 1b 2=c1c 2”是“M=N”的充分条件但当“M=N=∅”时.不等式a 1x 2+b 1x+c 1=0和a 2x 2+b 2x+c 2=0可能是不同的方程.则“ a 1a 2=b 1b 2=c1c 2”不一定成立即“ a 1a 2=b 1b 2=c1c 2”是“M=N”的不必要条件.故“a 1a 2=b 1b 2=c 1c 2”是“M=N”的充分不必要条件． 故选：A ．【点评】：本题考查的知识点是充要条件及其判断.属于基础题目． 17.（问答题.6分）解不等式组 {|4x +1|＞21x ≥3 ．【正确答案】：【解析】：由已知结合绝对值不等式及分式不等式分别求解即可．【解答】：解：由题意可得. {4x +1＞21−3x x ≥0 或-4x+1＜-2.即 {x ＞14或x ＜−340＜x ≤13.解得. 14＜x≤13．故不等式的解集（14，13]．【点评】：本题主要考查了分式不等式及绝对值不等式的求解.属于基础试题．18.（问答题.8分）艺术中心要用木料制作如图所示的框架.框架下部是边长分别为x.y（单位：米）的矩形.上部是等腰直角三角形.要求框架围成的总面积为8平方米.问：总用料最省时.用料为多少米？此时x.y分别为多少米？（最后结果精确到0.01）【正确答案】：【解析】：根据三角形和矩形面积公式得出x和y的关系式.确保有意义求出x的范围得到定义域；根据解析式进而表示出框架用料长度为根据均值不等式求得l的最小值.求得此时的x和y．【解答】：解：由题意得：x•y+ 12x•12x =8（x＞0.y＞0）.∴y= 8x −x4.∵y＞0.即8x −x4＞0.∴0＜x＜4 √2 .设框架用料长度为l.则l=2x+2y+ √2x =（32+√2）x+ 16x≥ 2√16(32+√2) = 4√6+4√2 .当且仅当（32+√2）x= 16x.即x=8-4 √2时.取等号.答：故当x为2.343m.y为2.828m时.用料最省．【点评】：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．注意取得最值时的条件是否成立.属于中档题．19.（问答题.10分）已知p：关于x的一元二次方程x2-2 √3 x+|m-2|=0有两个不相等的实数根．q：关于x的一元二次方程x2-mx+|a+1|+|a-3|=0对于任意实数a都没有实数根．（1）若p成立.求实数m的取值范围；（2）若p和q中有且只有一个成立.求实数m的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）由题意利用判别式大于零.求得m的范围．（2）求出命题q正确时.m的范围.再分别求得p成立而q不成立、q成立而p不成立时.m的范围.综合可得结论．【解答】：解：（1）若命题p成立.即关于x的一元二次方程x2-2 √3 x+|m-2|=0有两个不相等的实数根.故△=12-4|m-2|＞0.求得-1＜m＜5．（2）由q：关于x的一元二次方程x2-mx+|a+1|+|a-3|=0对于任意实数a都没有实数根.恒成立.可得△′=m2-4（|a+1|+|a-3|）＜0.即|a+1|+|a-3|＞m24恒成立.-4＜m＜4．∴4＞m24若p成立而q不成立.则4≤m＜5.若q成立而p不成立.则-4＜m≤-1．综上.当p和q中有且只有一个成立时.则4≤m＜5.或-4＜m≤-1．【点评】：本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系.二次函数的性质.属于中档题．20.（问答题.10分）已知有限集A=（a1.a2.…….a n）（n≥2.n∈N）.如果中A元素a i（i=1.2.….n）满足a1+a2+…+a n=a1×a2×……×a n.就称A为“完美集”．（1）如果方程：x2-bx+5=0的解集是一个“完美集”.求log √5 b的值．（2）利用反证法证明：若a1.a2是两个不同的正数.且{a1.a2}是“完美集”.则a1.a2至少有一个大于2．【正确答案】：【解析】：（1）设 x1.x2为方程x2-bx+5=0的两根.然后根据条件得到x1+x2=b.x1x2=5且x1+x2=x1x2.再求出b即可得到log√5b的值；（2）假设0＜a1≤2 且 0＜a2≤2.然后根据条件得到a1+a2＞4 或 a1+a2＜0.得到矛盾结论.从而证明原命题成立．【解答】：解：（1）设 x1.x2为方程x2-bx+5=0的两根.∵x2-bx+5=0的解集是一个“完美集”.∴x1+x2=b.x1x2=5且x1+x2=x1x2.∴b=5.∴ log√5b=2．（2）证明：假设0＜a1≤2 且 0＜a2≤2.由a1.a2是两个不同的正数.且{a1.a2}是“完美集”.可知a1+a2=a1a2＜(a1+a22)2.∴a1+a2＞4 或 a1+a2＜0.∴由0＜a1≤2 且 0＜a2≤2.可得a1+a2≤4与a1+a2＞4 或 a1+a2＜0矛盾.因此假设不成立.原命题成立．【点评】：本题考查了根与系数的关系和利用反正证明不等式.考查了方程思想.属中档题．21.（问答题.14分）已知一元二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0.c＞0）的图象与x轴有两个不同的公共点.其中一个公共点的坐标为（c.0）.且当0＜x＜c时.恒有f（x）＞0．（1）当a=1. c=12时.求出不等式f（x）＜0的解；（2）求出不等式f（x）＜0的解（用a.c表示）；（3）若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8.求a的取值范围；（4）若不等式m2-2km+1+b+ac≥0对所有k∈[-1.1]恒成立.求实数m的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）当a=1. c=12时. f(x)=x2+bx+12.f（x）的图象与x轴有两个不同交点.由此能求出 f（x）＜0的解集．（2）f（x）的图象与x轴有两个交点.由f（c）=0.设另一个根为x2.由此能求出f（x）＜0的解集．（3）由（2）的f（x）的图象与坐标轴的交点分别为(c，0)，(1a，0)，(0，c) .这三交点为顶点的三角形的面积为S=12(1a−c)c=8 .由此能求出a的取值范围．（4）由f（c）=0.知ac2+bc+c=0.由c＞0.知ac+b+1=0.由此能求出实数m的取值范围．【解答】：（本小题满分（14分）.（1）（2）小题每题（3分）.（3）（4）小题每题4分）解：（1）当a=1. c=12时. f(x)=x2+bx+12.f（x）的图象与x轴有两个不同交点.∵ f(12)=0 .设另一个根为x2.则12x2=12.∴x2=1.则 f（x）＜0的解集为(12，1)．…（3分）（2）f（x）的图象与x轴有两个交点.∵f（c）=0.设另一个根为x2.则cx2=ca ∴x2=1a.又当0＜x＜c时.恒有f（x）＞0.则1a＞c .∴f（x）＜0的解集为(c，1a)…（6分）（3）由（2）的f（x）的图象与坐标轴的交点分别为(c，0)，(1a，0)，(0，c)这三交点为顶点的三角形的面积为S=12(1a−c)c=8 .…（8分）∴ a=c16+c2≤2√16c=18故a∈(0， 18]．…（10分）（4）∵f（c）=0.∴ac2+bc+c=0.又∵c＞0.∴ac+b+1=0.…（11分）要使m2-2km≥0.对所有k∈[-1.1]恒成立.则当m＞0时.m≥（2k）max=2当m＜0时.m≤（2k）min=-2当m=0时.02≥2k•0.对所有k∈[-1.1]恒成立从而实数m的取值范围为m≤-2或m=0或m≥2．…（14分）【点评】：本题考查二次函数的性质和应用.综合性强.难度大．解题时要认真审题.注意挖掘题设中的隐含条件.合理地进行等价转化．。
上海市格致中学2020-2021学年第一学期高一期末数学试卷(word版,含答案)
格致中学高一期末数学试卷2021.01一.填空题1.已知集合A={-3,-2,-1,0,1,2,3}, B={x||x -1|≤1},则A∩B=_____.2.函数2log (1)()2x f x x -=-的定义域为_____. 3.若指数函数y=f(x)的图像经过点1(,2),2则函数1()2x y f x +=-的零点为_____. 4.不等式1||x x <的解集为_____. 5.已知6log 2,a =用a 表示4log 12=_____.6.已知函数2(log )x y a =在R 上是严格减函数,则实数a 的取值范围是_____.7.定义区间[a,b](a<b)的长度为b -a,若关于x 的不等式.240x x m -+≤的解集区间长度为2,则实数m 的值为_____.8.设,(1,),x y ∈+∞22log ,log x y 的算术平均值为1,则22x y ，的几何平均值的最小值为_____.9.已知函数y=f(x)是R 上的奇函数,且是(-∞,0)上的严格减函数,若f(1)=0,则满足不等式(x -1)f(x)≥0的x 的取值范围为_____.10.已知124{2,1,,,,2},333a ∈--当x ∈(-1,0)∪(0,1)时,不等式||a x x >恒成立,则满足条件的a 形成的集合为_____.11.函数y=f(x)(x<0)的反函数为1(),y f x -=且函数2()0()log (1)0f x x g x x x <⎧=⎨+≥⎩是奇函数,则不等式1()2f x -≥-的解集为_____.12.已知函数()|21|,x f x =-若函数21()()()4g x f x mf x =++有4个零点,则实数m 的取值范围为_____. 二.选择题13.已知陈述句α是β的必要非充分条件,集合M={x|x 满足α},集合N={x|x 满足β},则M 与N 之间的关系为()A.M ⊂NB.M ⊃NC.M=ND.M N ⋂=∅ 14.若33log log m n <且log 3log 3m n <，则实数m 、n 满足的关系式为()A.0<m<n<1B.0<n<m<1C.0<m<1<nD.1<m<n15.设121221,,,,,b a b c c a 都是非零实数,不等式21110a x b x c ++>的解集为A,不等式22220a x b x c ++>的解集为B,则"A=B"是“1112220a b c a b c ==>”的() A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件16.定义在R 上的函数y=f(x)的表达式为2(),x x f x x x ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩Q Q 给出下列3个判断:(1)函数y=f(x)是非奇非偶函数;(2)当a<0且a ∈Q 时,方程f(x)=a 无解;(3)当a>0时,方程f(x)=a 至少有一解;其中正确的判断有()A.0个B.1个C.2个D.3个三.解答题17.已知集合A={x||x -a|≤2},不等式2112x x -≥+的解集为B. (1)用区间表示B;(2)若全集U=R ,且,A B A ⋂=求实数a 的取值范围.18.已知a ､b 都是正实数,且.b b a a=- (1)求证:a>1;(2)求b 的最小值.19.设函数y=f(x)的表达式为2()||,f x x x a =+-其中a 为实常数.(1)判断函数y=f(x)的奇偶性,并说明理由;(2)设a>0,函数()()f xg xx在区间(0,a]上为严格减函数,求实数a的最大值.20.已知非空集合S的元素都是整数,且满足:对于任意给定的x,y∈S (x､y可以相同),有x+y∈S且x-y∈S.(1)集合S能否为有限集,若能,求出所有有限集,若不能,请说明理由;(2)证明:若3∈S且5∈S,则S=Z.。
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2020-20201学年格致中学高一上数学10月月考卷2020.10 一. 填空题（本大题共12题，1-6每题3分，7-12每题4分，共42分）
1. 若{2,2,3,4}A =-，2{|,}B x x t t A ==∈，用列举法表示B =
2. 方程组2354x y x y -=⎧⎨+=⎩
的解集为 3. {|||1,}A y y x x ==-∈R ，2{|28,}B y y x x x ==-++∈R ，A
B = 4. 写出2a >的一个必要非充分条件
5. 已知全集{4,3,1,2}U =---，2{,1,3}A a a =+-，2{3,21,1}B a a a =--+，若
{3}A B =-，则A B =
6. 不等式2117x x
+≤-的解集为 7. 已知集合{2,1}A =-，{|2,B x ax ==其中,}x a ∈R ，若A
B B =，则a 的取值集合为 8. 已知关于x 的不等式210ax bx +-≥的解集为11
[,]23
--，则不等式20x bx a --<的解集为
9. 若关于x 的不等式2(2)3m x x m +>-+的解集是(3,)+∞，则m 的值为 10. 已知集合2{|()(1)0}M x x a x ax a =--+-=各元素之和等于3，则实数a =
11. 若三个关于x 的方程24430x x a +-+=，22
5(1)04a x a x ++-+=，2210x ax ++=中至少有一个方程有 实根，则实数a 的取值范围为
12. 设数集4{|}5M x m x m =≤≤+，1{|}4
N x n x n =-
≤≤，且集合M 、N 都是集合{|01}U x x =≤≤的子集，如果把b a -称为非空集合{|}x a x b ≤≤的“长度”，那么集合M N 的“长度”的取值范围为 二. 选择题（本大题共4题，每题4分，共16分）
13. 已知,a b ∈R ，且0ab ≠，则“a b >”是“11a b
<”成立的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充分必要条件
D. 既非充分也非必要条件
14. 如图，U 为全集，M 、P 、S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的
集合是（ ）
A. ()M P S
B. ()M P S
C. ()M P S
D. ()M P S
15. 直角坐标平面中除去两点(1,1)A 、(2,2)B -可用集合表示为（ ）
A. {(,)|1,1,2,2}x y x y x y ≠≠≠≠-
B. 1{(,)|1x x y y ≠⎧⎨≠⎩或2}2
x y ≠⎧⎨≠-⎩ C. 2222{(,)|[(1)(1)][(2)(2)]0}x y x y x y -+--++≠
D. 2222{(,)|[(1)(1)][(2)(2)]0}x y x y x y -+-+-++≠
16. 已知关于x 的不等式组222802(27)70x x x k x k ⎧-->⎪⎨+++<⎪⎩
仅有一个整数解，则k 的取值范围为（ ） A. (5,3)(4,5)- B. [5,3)(4,5]- C. (5,3][4,5)- D. [5,3][4,5]-
三. 解答题（本大题共4题，共10+10+10+12=42分）
17. 已知集合2{|8160,,}A x kx x k x =-+=∈∈R R .
（1）若A 只有一个元素，试求实数k 的值，并用列举法表示集合A ；
（2）若A 至多有两个子集，试求实数k 的取值范围.
18. 已知a ∈R ，求关于x 的不等式2(21)20ax a x --->的解集.
19. 已知集合{|2134}A x m x m =+≤≤+，{|17}B x x =≤≤.
（1）若A B ⊂，求实数m 的取值范围；
（2）若C B
=Z ，求C 的所有子集中所有元素的和.
20. 设二次函数2()f x ax bx c =++，其中a 、b 、c ∈R .
（1）若2(1)b a =+，94c a =+，且关于x 的不等式28200()
x x f x -+<的解集为R ，求a 的取值范围； （2）若a 、b 、c ∈Z ，且(0)f 、(1)f 均为奇数，求证：方程()0f x =无整数根；
（3）若1a =，21b k =-，2
c k =，求证：方程()0f x =有两个大于1的根的充要条件是2k <-.
2020-20201学年格致中学高一上数学10月月考卷参考答案
一. 填空题（本大题共12题，1-6每题3分，7-12每题4分，共42分）
1. {4,9,16}
2. {(1,1)}-
3. [1,9]-
4. 1a >
5. {3,1,0,1}--
6. (,2](7,)-∞+∞
7. 1-或0或2
8. (3,2)--
9. 5 10. 2或32
11. 1(,1][,)4-∞--+∞ 12. 11[,]204
二. 选择题（本大题共4题，每题4分，共16分）
13. D 14. A 15. C 16. B
三. 解答题（本大题共4题，共10+10+10+12=42分）
17.（1）0k =，{2}A =；1k =，{4}A =；（2）{0}[1,)+∞.
18. 当0a =，(2,)+∞；
当0a >，1(,)
(2,)a
-∞-+∞； 当0a <且12a ≠-，1(,2)a -； 当12
a =-，∅. 19.（1）(,3)[0,1]-∞-；（2）62821792⨯=.
20.（1）1(,)2
-∞-；（2）略；（3）略.。