学第二学期天一中学高一数学期中考试试卷
2020-2021常州市天一中学高一数学下期中第一次模拟试卷(及答案)
解析：B
【解析】
【分析】
依题意由 的面积为 ，解得 ，所以 ， ，根据勾股定理即可求 ．
【详解】
依题意，因为 的面积为 ，
所以 ，解得 ，
所以 ， ，又因为 ，
由勾股定理得： ．
故选B．
【点睛】
本题考查直观图还原几何图形，属于简单题.利用斜二测画法作直观图，主要注意两点：一是与x轴平行的线段仍然与 轴平行且相等；二是与y轴平行的线段仍然与 轴平行且长度减半.
OB: x+2y=0（x≥0），过点P(1,0)作直线分别交射线OA、OB于A、B两点.
（1）当AB中点为P时，求直线AB的方程；
（2）当AB中点在直线 上时，求直线AB的方程.
26．如图，四棱锥 中， 平面 分别为线段 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求证：平面 平面
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
而由于两直线不一定在同一平面内,则b一定大于或等于c,判断a和b时,
因为B是上n任意一点,则a大于或等于b.
故选D.
【点睛】
本题主要考查面面平行的性质以及空间距离的性质，考查了空间想象能力，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.
6．C
解析：C
【解析】
分析：由三视图还原实物图,再根据三角形面积公式求解.
【详解】
设三棱锥 外接球球心为 ，半径为 ，
，故 在平面 的投影为 中点 ， 为 中点，
，故 ，侧面 底面 ，故 底面 .
连接 ，作 于 ，易知 为矩形，设 ，
则 ， ， ， ，解得 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
2020年江苏省无锡市天一中学高一下学期期中数学试题(强化班)(附带详细解析)
（1）判断以下数列 是否为双底数列（只需写出结论不必证明）；
① ； ② ； ③
（2）设 ，若数列 是双底数列，求实数 的值以及数列 的前 项和 ；
（3）设 ，是否存在整数 ，使得数列 为双底数列？若存在，求出所有的 的值；若不存在，请说明理由.
参考答案
A． B．
C． D．
5．如图，在正方体 中，点 分别为棱 的中点，在平面 内且与平面 平行的直线
A．有无数条B．有2条
C．有1条D．不存在
6．已知两个等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为An和Bn，且 ，则使得 为整数的正整数n的个数是( )
A．2B．3C．5D．4
7．一条光线从点 射出，经 轴反射后与圆 相切，则反射光线所在直线的斜率为（）
（Ⅲ）设集合 ， ，等差数列 的任意一项 ，其中 是 中的最小数，且 ，求 的通项公式.
18．为解决城市的拥堵问题，某城市准备对现有的一条穿城公路 进行分流，已知穿城公路 自西向东到达城市中心 后转向 方向，已知 ，现准备修建一条城市高架道路 ， 在 上设一出入口 ，在 上设一出口 ，假设高架道路 在 部分为直线段，且要求市中心 与 的距离为 .
（2）求和 .
16．如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形， 是 中点，过 、 、 三点的平面交 于 .
求证：（1） 平面 ；
（2） 是 中点.
17．已知数列 的前 项和为 ，对一切正整数 ，点 都在函数 的图象上，记 与 的等差中项为 .
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）若 ，求数列 的前 项和 ；
（1）当直线 与圆 相切时，求直线 的方程；
（2）已知直线 与圆 相交于 ， 两点．
高一数学第二学期期中考试试卷含答案(共5套)
高一下学期期中考试数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．某质检人员从编号为1～100这100件产品中，依次抽出号码为3,13,23，…，93的产品进行检验，则这样的抽样方法是( )A ．简单随机抽样B ．系统抽样C ．分层抽样D ．以上都不对 2．将八进制数135(8)化为二进制数为( ) A ．1 110 101(2) B ．1 010 101(2) C ．1 111 001(2)D ．1 011 101(2)3．某产品在某零售摊位上的零售价x (元)与每天的销售量y (个)统计如下表：据上表可得回归直线方程a ˆx b ˆy ˆ+=中的b ˆ＝－4，据此模型预计零售价定为16元时，销售量为( )A ．48B ．45C ．50D ．514．一组数据的平均数是4.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是( )A ．55.2,3.6B ．55.2,56.4C ．64.8,63.6D ．64.8,3.65．某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3 500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按1100的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为( )A ．8B ．11C ．16D ．106.如图是一算法的程序框图，若输出结果为S ＝720，则在判断框中应填入的条件是( )A ．k ≤6B ．k ≤7C ．k ≤8D ．k ≤97.两人的各科成绩如茎叶图所示，则下列说法不正确的是（ ）A ．甲、乙两人的各科平均分相同B ．甲的中位数是83，乙的中位数是85C ．甲各科成绩比乙各科成绩稳定D ．甲的众数是89，乙的众数为878.sin 2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值为( ) A ．1 B ．2sin 2α C ．0 D ．29.利用秦九韶算法求f (x )＝x 5＋x 3＋x 2＋x ＋1当x ＝3时的值为( ) A ．121 B ．283 C ．321 D ．23910．如图，矩形长为8，宽为3，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆为96颗，以此试验数据为依据可以估计椭圆的面积为( ) A ．7.68 B ．8.68 C ．16.32D ．17.3211.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b,其中a,b ∈{1,2,3,4,5,6},若|a-b|≤1,就称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为( )A. 91B. 92C. 187D.9412.《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=21（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为32π，弦长为m 340的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米.（其中3≈π，73.13≈） A ． 15 B ． 16 C ． 17 D ． 18第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归方程：y ∧＝0.234x ＋0.521.由回归方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元． 14．已知sin(π4＋α)＝32，则sin(3π4－α)的值为________． 15.在抛掷一颗骰子的试验中，事件A 表示“不大于4的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则事件B A Y 发生的概率为________．(B 表示B 的对立事件)16．设函数y ＝f (x )在区间[0,1]上的图像是连续不断的一条曲线，且恒有0≤f (x )≤1，可以用随机模拟方法近似计算由曲线y ＝f (x )及直线x ＝0，x ＝1，y ＝0所围成部分的面积S .先产生两组(每组N 个)区间[0,1]上的均匀随机数x 1，x 2，…，x N 和y 1，y 2，…，y N ，由此得到N 个点(x i ，y i )(i ＝1,2，…N )．再数出其中满足y i ≤f (x i )(i ＝1,2，…，N )的点数N 1，那么由随机模拟方法可得到S 的近似值为________． 二、解答题（17题10分，其余均12分）17.(10分) 已知|x|≤2，|y|≤2，点P 的坐标为(x ，y)，求当x ，y ∈R 时，P 满足(x －2)2＋(y －2)2≤4的概率．18．(12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；(2)求出y 关于x 的线性回归方程a ˆx b ˆyˆ+= (3)试预测加工10个零件需要多少小时？(注：b ∧＝∑ni ＝1x i y i －n x － y －∑n i ＝1x i 2－n x －2，a ∧＝y －－b ∧ x －)零件的个数x(个)2345加工的时间y(小时) 2.5 3 4 4.519．(12分)已知α是第三象限角，f (α)＝()()()α-π-•α-π-α-•α-π•α-πsin tan tan )2cos()sin((1)化简f (α)；(2)若⎪⎭⎫ ⎝⎛π-α23cos ＝15，求f (α)的值；20．(12分)某校为了解高三年级学生的数学学习情况，在一次数学考试后随机抽取n 名学生的数学成绩，制成如下所示的频率分布表.(1)求a ，b ，n 的值；(2)若从第三、四、五组中用分层抽样的方法抽取6名学生，并在这6名学生中随机抽取2名与老师面谈，求第三组中至少有1名学生被抽到与老师面谈的概率．21．（12分）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.（1）从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m,将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，求n≥m+2的概率.22．（12分）在育民中学举行的电脑知识竞赛中，将九年级两个班参赛的学生成绩(得分均为整数)进行整理后分成五组，绘制如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30,0.15,0.10,0.05，第二小组的频数是40.(1)求第二小组的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)求这两个班参赛的学生人数是多少？(3)求这两个班参赛学生的成绩的中位数.高一下期期中考试数学试题答案一、选择题B D B D A B D D BCD B二、填空题13. 0.234 14.3215.32 16.N1N三、解答题（17题10分，其余均12分）17.解：如图，点P所在的区域为正方形ABCD的内部(含边界)，满足(x－2)2＋(y－2)2≤9的点的区域为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面(含边界)．∴所求的概率P1＝14π×224×4＝π16.18.解：(1)散点图如图．(2)由表中数据得∑4i＝1x i y i＝52.5，x －＝3.5，y －＝3.5，∑4i ＝1x i 2＝54. ∴b ∧＝0.7，∴a ∧＝1.05. ∴y ∧＝0.7x ＋1.05.(3)将x ＝10代入回归直线方程，得y ∧＝0.7×10＋1.05＝8.05(小时)． ∴预测加工10个零件需要8.05小时．19．解：(1)f (α)＝＝－sin α·cos α·tan α－tan α·sin α＝cos α.(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－32π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝－sin α，又cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－32π＝15，∴sin α＝－15.又α是第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，∴f (α)＝－265.20.解：(1)由表中数据，得5n ＝0.05，a n ＝0.35，20n＝b ，解得n ＝100，a ＝35，b＝0.20.(2)由题意，得第三、四、五组分别抽取的学生人数为3060×6＝3，2060×6＝2，1060×6＝1.第三组的3名学生记为a 1，a 2，a 3，第四组的2名学生记为b 1，b 2，第五组的1名学生记为c ，则从6名学生中随机抽取2名，共有15种不同情况，分别为{a 1，a 2}，{a 1，a 3}，{a 1，b 1}，{a 1，b 2}，{a 1，c }，{a 2，a 3}，{a 2，b 1}，{a 2，b 2}，{a 2，c }，{a 3，b 1}，{a 3，b 2}，{a 3，c }，{b 1，b 2}，{b 1，c }，{b 2，c }．其中第三组的3名学生均未被抽到的情况共有3种，分别为{b 1，b 2}，{b 1，c }，{b 2，c }． 故第三组中至少有1名学生被抽到与老师面谈的概率为1－315＝45.21解：（1）p=3162(2)先从袋中随机取一个球，记下编号m,放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号n,可能的结果为（1,1）（1,2）（1,3）（1,4）（2,1）（2,2）（2,3）（2,4）（3,1）（3,2）（3,3）（3,4）（4,1）（4,2）（4,3）（4,4）共16个，满足条件的事件为（1,3）（1,4）（2,4）共3个所以n ≥m+2的概率为p=16322．解：(1)各小组的频率之和为 1.00，第一、三、四、五小组的频率分别是0.30,0.15,0.10,0.05.∴第二小组的频率为：1．00－(0.30＋0.15＋0.10＋0.05)＝0.40. ∴落在59.5～69.5的第二小组的小长方形的高＝频率组距＝0.4010＝0.04.则补全的直方图如图所示．(2)设九年级两个班参赛的学生人数为x 人．∵第二小组的频数为40人，频率为0.40，∴40x＝0.40，解得x＝100(人)．所以九年级两个班参赛的学生人数为100人．(3)∵（0.03+0.04）×10>0.5所以九年级两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第二小组内．设中位数为x则0.03×10+（x-59.5）×0.04=0.5得x=64.5高一下学期期中数学考试试卷(时间：120分钟满分：150分)第Ⅰ卷 (选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合，，则( )A． B． C． D．2．( )A．0 B．1 C．2 D.43．若，则下列结论正确的是( )A． B．C． D．4．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A．B．C．D．5．函数的定义域是( )A． B． C． D．6．函数过定点( )A． B． C． D．7．已知，，，则＝( )A． B． C． D．8．已知函数为幂函数，则实数的值为( )A．或 B．或 C． D．9．已知函数，若，则实数等于( )A ．2 B. 45 C ．12 D ．910．若，则函数与的图象可能是下列四个选项中的( )11．已知是定义在上的奇函数，当时，,则当时，( )AB ．C ．D ．12．若函数是定义在上的偶函数，在上是增函数，且，则使得的的取值范围是( ) A ．B ． C. D ．第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上) 13．设集合，集合，若，则实数14．若，则＝15．如果函数，的增减性相同，则的取值范围是.16．已知是方程的两个根，则的值是.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)计算下列各式的值（式中字母都是正数）： （1）；（2）已知，求的值.18．(本小题满分12分)已知集合，．（1）若，求；（2）⊆，求的取值范围．19．(本小题满分12分)已知函数+2.（1）求在区间上的最大值和最小值；（2）若在上是单调函数，求的取值范围.20．(本小题满分12分)已知函数是R上的奇函数，(1)求的值；(2)先判断的单调性，再证明．21．(本小题满分12分)已知函数，．(1)求函数的定义域；(2)讨论不等式中的取值范围．22．(本小题满分12分)若二次函数满足且. （1）求的解析式；（2）若在区间上不等式恒成立，求实数的取值范围.高一下学期期中考试试卷数学时量：120分钟 总分：150分一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1．3x cos y =是( )A ．周期为π6的奇函数B ．周期为3π的奇函数C ．周期为π6的偶函数D ．周期为3π的偶函数2.已知sin α＝41，则cos 2α的值为( )A ．21B ．87- C.21- D.873．已知平面向量()()3,2,4,1==→→b a ，则向量=+→→b a 5251（ ）A ．()1,2B ．()5,3 C.()3,5 D.()2,14.已知平面向量a ＝(2，4)，b ＝(－4，m )，且a ⊥b ，则m ＝( )A ．4B ．2C ．－4D ．－25．为得到函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=33sin πx y 的图象，只需将函数y ＝sin 3x 的图象( )A ．向左平移9π个长度单位B ．向右平移9π个长度单位C ．向左平移3π个长度单位D ．向右平移3π个长度单位6.设a ＝(8，－2)，b ＝(－3,4)，c ＝(2,3)，则(a ＋2b )·c 等于( )A ．(4,18)B ．22C ．－6 D.(18,4)7.已知a ·b ＝122，|a |＝4，a 与b 的夹角为45°，则|b |为( )A ．12 A ．3 C ．6 D ．98.若－π2＜α＜0，则点P (sin α，cos α)位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9.已知α∠的终边经过点()31P ，，则=αsin ( )A ．21 B ．10103C ．31D ．3310．若=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧>⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+2,32032sin ππππx x f x x ，，求)32(πf =（ ） A.0 B.23C.21 D.1 11．已知2tan -=α，则αααα22cos sin cos sin 3-的值是( ) A ．2- B ． 3 C ．2 D ．3- 12．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，则AB →·AC→等于( )A ．－3B ．－6C ．9D ．6 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知AB →＝(2，7)，AC →＝(－5,8)，则BC →＝__________________.14．函数()()()R x x x x f ∈-=cos sin 2的最小正周期为________，最大值为________． 15．设a ＝(5,-2)，b ＝(6,2)，则2|a |2－12a ·b ＝______________.16．已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝5，则tan β的值为________． 三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（10分）已知()ππθθ2,,53cos ∈=，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+6sin πθ以及⎪⎭⎫ ⎝⎛-4tan πθ的值．18.（10分）设函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6sin 2πωx x f ，0>ω，最小正周期为2π. (1)求()0f .(2)求()x f 的解析式.(3)求()x f 的单调递增区间．19.（12分）已知向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,3)，c ＝(5,2)．(1)求6a ＋b －2c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)若(a ＋k c )//(2b －a )，求实数k . 20. （12分）已知23παπ<<，211-tan tan -=αα.(1)求αtan 的值。
江苏省无锡市天一中学2020-2021学年高一(强化班)下学期期中数学试题(解析版)
对于B，由题意得 ，若 与 的夹角为锐角，则 代入数据解得 ，故B错误；
对于C，由“复数 是虚数”得 ，因为“ ”是“ ”的必要不充分条件，所以“ ”是“复数 是虚数”的必要不充分条件.故C正确；
对于D，当 时满足 ，此时不满足 .故D错误.
当点 为线段 的中点时， 与点 重合，此时 ，故 ，同理可得 .
由 ，
又 、 、 三点共线， ，即 ，
延长 交 于点 ，则 为 的中点，且有 ，
又
，
当且仅当 ， 时取得最小值.
故答案为： .
【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：
（1）利用定义：
（2）利用向量的坐标运算；
（3）利用数量积的几何意义．
9.下列说法中错误 是（）
A.若向量 满足 ，则存在唯一的实数λ，使得
B.已知非零向 ，且 与 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是
C.“ ”是“复数 是虚数”的必要不充分条件
D.若复数 ，满足 ，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A举出反例即可；对于B根据向量夹角为锐角时坐标运算公式计算即可；对于C化简复数 根据逻辑命题知识判断即可；对于D举出反例即可.
【详解】解： ，
∴ ，
，
又 ，则 ， ，
∴ ，
∴ .
故答案为： .
15.若满足 的 恰有一个，则实数 的取值范围是_________ .
【答案】 或
【解析】
【分析】根据正弦定理分析解的个数问题.
【详解】由正弦定理 ， ，
当 ，即 时， ，只有一解，
当 时， ，若 ，则 ， 可为锐角也可为钝角，有两解，
无锡市天一中学2021-2022学年高一下学期期中数学(强化班)试题(原卷+解析)
江苏省天一中学2021-2022学年春学期期中考试高一强化班数学一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.22i+1.已知i 为虚数单位，复数z =，则复数z 的模为-i（）．A.2B.C.1D.b 的夹角为30︒2.已知向量a ，， a =2， =b ，则r r 2a +b =（）A.B.3C.D.123.如图，正方形A 'B 'C 'D '的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，原图形的面积为（）A.B 2.C.D.4.已知不重合的直线m 、n 、l 和平面α，下列命题中真命题是（A.如果l 不平行于α，则α内的所有直线均与l 异面B.如果m ⊂α，n ⊄α，m 、n 是异面直线，那么n 与α相交C .如果m ⊂α，n ∥α，m 、n 共面，那么m ∥nD.如果l 上有两个不同的点到平面α的距离相等，则l ∥）απ5.在 ABC 中，B =4，BC 边上的高等于1BC ,则cos A =3（）A.B 10.10C.10D.10-6.直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有棱长均为3，D 为侧棱CC 1的中点，M 为侧棱AA 1上一点，且A 1M =1，N 为B 1C 1上一点，且MN 平面ABD ，则NB 1的长为（）A .1B.2C.3D 2.1217.如图，在平行四边形ABCD 中，AE 3=1AD ，BF 4=BC ，CE 与DF 交于点O .设 A =a B ， A =b D ，若AO =λa +μb ，则λ+μ=（）A.81B 7.191C 7.31D 7.11178.在钝角 ABC 中，a ,b ,c 分别是 ABC 的内角A ,B ,C 所对的边，点G 是 ABC 的重心，若AG ⊥BG ，则cos C 的取值范围是（）,1⎛⎫A. ⎪⎪⎝3⎭40,B.5⎛ ⎫⎭⎝⎪45,3⎡⎫⎪C.⎢⎪⎣⎭4D.5⎡⎢,1⎫⎭⎣⎪二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分；在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设z =a +b i(a ,b ∈R)，则下列命题为真命题的是（）B.若z +i 与2z+iA.若z ⋅z ∈R ，则z ∈RC.若|z |=1，则|z -1-i |的最大值都是实数，则|z |=D.若z 2为纯虚数，则a =b ≠+110.已知 ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列条件中，能使 ABC 的形状唯一确定的有（）A.a =2,b =3,∠C =60︒ B.a =1,b =∠A =30︒C.a =1,∠B =30︒,∠C =45︒D.a =3,b =2,∠A =30︒11.六氟化疏，化学式为SF 6，在常压下是一种无色､无臭､无毒､不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体），如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体E -ABCD -F 的6个顶点.若相邻两个氟原子间的距离为a （不计氟原子的大小），则（）B.平面ADE //平面BCF A.直线AE 与FC 为异面直线C.直线AE 与BC 为异面直线D.八面体外接球体积为a 3312.对于给定的 ABC ，其外心为O ，重心为G ，垂心为H ，则下列结论正确的是（）A.过点G 的直线l 交AB ､AC 于E ､F ，若 A E =λ A B AC ， A F =μ ，则11λ=μ+3B. A H 与||||B CAB cos B AC cos C+A A 共线uu r uu u r uu r uuu r uu u r uuu rC.OA ⋅OB =OA ⋅OC =OB ⋅OCD. O H = O A + O B + O C三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.+λ 与13.已知非零向量a =(1,2)，b r =(1,1)且r a a b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是_____14.已知复数z 对应的点在复平面第一象限内，甲、乙、丙三人对复数z 的陈述如下(i 为虚数单位)：甲：z +z =4；乙：2z ⋅z =3；丙：5z z ，在甲、乙、丙三人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数z =______z =．15.在 ABC 中，∠BAC =120︒，AB =1，AC =2，∠BAC 的平分线交BC 于D ，AE 为BC 边上的高，则 ADE 的面积为______．16.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M ，N 分别为边BC ，CD 上的动点，以MN 为边作等边 PMN ，使得点A ，P 位于直线MN的两侧，则PN ⋅PB 的最小值为______．四､解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.z 2的虚部为817.已知复数z 满足引|z |=.（1）求复数z ；（2）设复数z 、z 2、z -z 2在复平面上对应点分别为A ､B ､C ，若A 在第一象限，求(OA +OB )⋅OC 的值.18.如图所示，已知P 是▱ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，平面PAD ∩平面PBC=l.求证:（1）l ∥BC;（2）MN ∥平面PAD.19.已知 ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2sin2A-2sin2B-sin2C-2sin B sin C=cos2C-cos2C.1）求角A（；（2）若AD是 ABC的中线，且AD=2，求b+c的最大值.20.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，P､Q分别为对角线BD､CD1上的点，且12 3CQ BP QD PD==．（1）求证：PQ//平面A1D1DA；（2）若R是AB上的点，ARB的值为多少时，能使平面PQR//平面A1D1DA？请给出证明A．21.如图所示，有一块等腰直角三角形地块ABC ，∠A =90 ，BC 长2千米，现对这块地进行绿化改造，计划从BC 的中点D 引出两条成45°的线段DE 和DF ，与AB 和AC 围成四边形区域AEDF ，在该区域内种植花卉，其余区域种植草坪；设∠BDE =α，试求花卉种植面积S (α)的取值范围．22.已知平面直角坐标系中，点A (a ,0)，点B (0,b )（其中a ，b 为常数，且ab ≠0），点O 为坐标原点.如图所示，设点P 1,P 2,P 3, ,P n -1是线段AB 的n 等分点，其中n ∈N *,n ≥2，（1）当n =2022时，求 OA +OP 1+OP 2+ +OP n -1+OB 的值（用含a ，b 的式子表示）；（j P 2）当a =b =1,n =10时，求OP i ⋅(P O )(1≤i ,j ≤n -1,i ,j ∈N i +O *)的最小值.n (2n +1),n ∈N *.（说明：可能用到的计算公式：1+2+3+ +n =）江苏省天一中学2021-2022学年春学期期中考试高一强化班数学一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.22i+1.已知i 为虚数单位，复数z =，则复数z 的模为-i（）．A.2B.C.1D.【答案】C 【解析】【分析】根据复数除法运算，先化简z ；再由复数模的计算公式，即可得出结果.234255i 5)(2i +2+【详解】因为复数z ===+i ，所-i 以z ==1．故选：C ．b 的夹角为30︒2.已知向量a ，， a =2， =b ，则r r 2a +b =（）A.B.3C.D.12【答案】C 【解析】【分析】根据向量的模的定义即可求解.b 的夹角为30︒【详解】解： 向量a ，， a =2， =b∴=2a +=b ==故选：C ．3.如图，正方形A 'B 'C 'D '的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，原图形的面积为（）A.B 2.C. D.【答案】C 【解析】【分析】由水平放置的平面图形的直观图的画法，画出原图形，然后根据原图形求面积即可．【详解】解：画出相应的平面直角坐标系xoy ，在x 轴上取OA =O 'A '，在y 轴上取OB =2O 'B '，作BC //x 轴，并且BC =B 'C '，然后连接OC ，AB ，则平行四边形OABC 为原图形，OA =1,OB =，∴原图形的面积为1⨯=故选：C ．4.已知不重合的直线m 、n 、l 和平面α，下列命题中真命题是（A.如果l 不平行于α，则α内的所有直线均与l 异面B.如果m ⊂α，n ⊄α，m 、n 是异面直线，那么n 与α相交C.如果m ⊂α，n ∥α，m 、n 共面，那么m ∥）nD.如果l 上有两个不同的点到平面α的距离相等，则l ∥α【答案】C 【解析】【分析】根据点、线、面的位置关系并结合图形即可判断答案.【详解】对于A ，当l 与α相交时，在平面α内且过交点的直线与l 都是共面的，故A 错；对于B ，如图1，可能是n ∥α，故B错；对于C ，这是线面平行的性质定理的等价说法，故C 正确；对于D ，如图2，由于直线l 与α相交时，也可以有两点到α的距离相等，故D 错．故选：C.π5.在 ABC 中，B =4，BC 边上的高等于1BC ,则cos A =3（）A.B 10.10C.10-D.10-【答案】C 【解析】【详解】试题分析：设2AD =a ⇒AB ,CD =2a ,AC a ⇒sin α=cos α=,sin β⇒cos ,cos βA 1=cos(α+β)=0-,故选C.考点：解三角形.6.直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有棱长均为3，D 为侧棱CC 1的中点，M 为侧棱AA 1上一点，且A 1M =1，N 为B 1C 1上一点，且MN 平面ABD ，则NB 1的长为（）A.1B.2C.3D 2.12【答案】B 【解析】【分析】通过构造面面平行，得到MN 平面ABD ，再利用三角形相似，能求出NB 1的长.【详解】如图所示，过点过点M 作MP //AB 交BB 1于点P ，再过点P 作PN //BD 交B 1C 1于N ，取BB 1中点为Q ，连接C 1Q .因为MP //AB ，MP ⊄平面ABD ，AB Ì平面ABD ,所以MP //平面ABD ，同理，PN //平面ABD ，又MP PN =P .MP ,PN ⊂平面MPN ,所以平面MPN //平面ABD ，又MN ⊂平面MPN ，所以MN 平面ABD ，又由题意知，四边形ABB 1A 1与四边形BCC 1B 1都为边长为3的正方形.因为A 1M =1，MP //AB ，所以B 1P =1，132因为Q 是BB 1中点，所以B 1Q 2=BB 1=，又D 为侧棱CC 1的中点，所以BQ ∥C 1D ，所以四边形BQC 1D 是平行四边形.所以C 1Q //BD ，所以C 1Q //PN ，所以 B 1PN B 1QC 1，1111B P NB 所以B 1QC B =,即132NB 13=，解得NB 1=2.故选：B.17.如图，在平行四边形ABCD 中，AE 3=1AD ，BF 4=BC ，CE 与DF 交于点O .设 A =a B ， A =b D ，若AO =λa +μb ，则λ+μ=（）A.81B 7.191C 7.31D 7.1117【答案】B 【解析】【分析】根据D ,O ,F 和E ,O ,C 三点共线，可得 A O=x A D+y A F和 A O =m A E +n A C，利用平面向量线性运算可用a ,b 表示出 A O，由此可得方程组求得x ,y ，进而得到λ+μ的值.【详解】连接AF，AC，A D ,O ,F 三点共线，∴可设 A =D x O +y A F，则x +y =1，44F AB A 1y D ⎫+y +B ⎛x ++ ⎭⎪=⎝⎛ ⎭⎪⎝b ∴AO =xAD +y ( A B )=x A D1 ⎫ +ya ；E ,O ,C 三点共线，∴可设 A O =m A E +n A C，则m +n =1，33m AD A AO B =+n +⎫ m ⎭⎪⎝b +n ( A D )=⎛+na ；4n 31m ⎧x +y =y 1⎪+=∴⎨⎪x m ⎪+1=⎪⎪⎩y =⎪n 917817x y ⎧=⎪⎪+n ，解得：⎨⎪=⎪⎩8111717AO ，∴=+ a b 8111917171，即λ+μ7=+=.故选：B.【点睛】思路点睛：本题考查平面向量基本定理的应用，基本思路是根据O 为两线段交点，利用两次三点共线，结合平面向量基本定理构造出方程组求得结果.8.在钝角 ABC 中，a ,b ,c 分别是 ABC 的内角A ,B ,C 所对的边，点G 是 ABC 的重心，若AG ⊥BG ，则cos C 的取值范围是（）,1⎛⎫A. ⎪ ⎪⎝3⎭40,B.5⎛ ⎫⎭⎝⎪45,3⎡⎫⎪C.⎢⎪⎣⎭4D.5⎡⎢,1⎫⎭⎣⎪332【答案】A 【解析】【分析】由条件可得CD 2=AB =c ，然后根据余弦定理可得a 2+b 2=5c 2、22(25a b ab a 2+b b -c 2cos C ==a )，根据三角形是钝角三角形求+出2b ，+∞)⋃(-∞∈a ，)，然后3利用对勾函数的性质求出cos C 的范围即可．【详解】如图所示：，连接CG ，并延长交AB 于D ，由G 是三角形的重心，得D 是AB 的中点，112 AG ⊥BG ，∴DG 2=AB =c ，332由重心的性质得CD =3DG ，即CD 2=AB =c ，由余弦定理得：AC 2=AD 2+CD 2-2AD ⋅CD ⋅cos ∠ADC ，BC 2=BD 2+CD 2-2BD ⋅CD ⋅cos ∠BDC ，∠ADC +∠BDC =π，AD =BD ，∴AC 2+BC 2=a 2+b 2=2AD 2+2CD 2=5c 2，22(25a bab a 2+b b -c 2则cos C ==a)+，∠AGD >∠ACD ，∠BGD >∠BCD ，∴90︒=∠AGB >∠ACB ，∴∠ACB 为锐角， ABC 是钝角三角形，∴∠BAC 或∠ABC 为钝角，∴b 2+c 2<a 2或a 2+c 2<b 2，将a 2+b 2=5c 2代入得：2b ，+∞)⋃(0∈a，3，∴<cos C <13．故选：A二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分；在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设z=a+b i(a,b∈R)，则下列命题为真命题的是（）B.若z+i与2z +iA.若z⋅z∈R，则z∈RC.若|z|=1，则|z-1-i|的最大值都是实数，则|z|=D.若z2为纯虚数，则a=b≠+10【答案】BC【解析】【分析】根据复数的运算、复数为纯虚数和实数的条件、共轭复数的定义及复数模的运算公式和几何意义逐一判断即可得出答案.【详解】对于选项A：因为z=a+b i(a,b∈R)，所以z=a-b i(a,b∈R)，所以z⋅z=(a+b i)⋅(a-b i)=a2-(b i)2=a2+b2，所以z⋅z∈R.故A选项错.对于选项B：因为z+i=a+(b+1)i为实数，所以b+1=0，所以b=-1.因为()())()i2i2i2i555a bz2a2b+(2a+b)-+(2b-a)i+b-a =(==++i为实数-，所以2+i2b-5a=0，又因为b=-1，所以a=-2.所以z=-2-i，所以z=故B选项正确=.对于选项C：若|z|=1，则a2+b2=1，表示以原点为圆心，半径为1的圆，|z-1-i|表示圆上的动点与点A(1,1)之间的距离，故|z-1-i|的最大值为：OA+r=1，故C正确.对于选项D：因为z=a+b i(a,b∈R)，所以z2=(a+b i)(a+b i)=a2-b2+2ab i.因为z2为纯虚数，所以a2-b2=0且2ab≠0，解得：a=b≠0或a=-b≠0.故D选项错误.故选：BC.10.已知 ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列条件中，能使ABC的形状唯一确定的有（）B.a=1,b= A.a=2,b=3,∠C=60︒C.a=1,∠B=30︒,∠C=45∠A=30︒︒ D.a=3,b=2,∠A=30︒【答案】ACD【解析】【分析】利用余弦定理可判断A；利用正弦定理可判断B、D；利用三角形的内角和以及正弦定理可判断C.【详解】对于A ，由余弦定理可得c 2=a 2+b 2-2ab cos C =7，解得c 7=，故A 正确；对于B ，根据正弦定理：sin a A =sin b B，可得sin B 2=，4π又因为b >a ，所以∠B >∠A ，所以∠B =或34π，故B 不正确；sin sin sin a b cA B =C，可知b ,c 均=有对于C ，由三角形的内角和可知∠A =105 ，又a =1，利用正弦定理唯一值，故C 正确；1对于D ，根据正弦定理：sin a A =sin bB ，可得sin B 3=，又因为a >b ，所以∠A >∠B ，所以ÐB 只能是锐角，故D 正确；故选：ACD11.六氟化疏，化学式为SF 6，在常压下是一种无色､无臭､无毒､不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体），如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体E -ABCD -F 的6个顶点.若相邻两个氟原子间的距离为a （不计氟原子的大小），则（）B.平面ADE //平面BCF A.直线AE 与FC 为异面直线C.直线AE 与BC 为异面直线D.八面体外接球体积为a 33【答案】BCD 【解析】【分析】连接AC 与BD ，设AC BD =O ，连接EF ，依题意可得EF 必过点O ，即可判断A 、C ，再根据面面平行的性质判断B ，再由线段的长度可得O 即为外接球的球心，外接球的半径R 2=a ，根据球的体积公式计算可判断D ；【详解】解：连接AC 与BD ，设AC BD =O ，则O 为正方形ABCD 的中心，连接EF ，根据正棱锥的性质可知EF 必过点O ，即EF AC =O ，所以E 、F 、A 、C 四点共面，所以AE 、CF 共面，故A 错误，显然E 、B 、A 、C 四点不共面，故直线AE 与BC 为异面直线，即C 正确；因为AD //BC ，AD ⊂平面ADE ，BC ⊄平面ADE ，所以BC //平面ADE ，依题意AB =BC =CD =AD =EB =ED =EA =EC =FA =FB =FC =FD =a ，，所以BD 2=DE 2+BE 2，即 BDE 为等腰直角三角形所以AC =BD =，a ，即四边形AFCE 为平行四边形，所以AE //CF 所以OE =OF 2=，AE ⊂平面ADE ，CF ⊄平面ADE ，所以CF //平面ADE ，又BC CF =C ，BC ,CF ⊂平面BCF ，所以平面ADE //平面BCF ，故B正确；显然OE =OF =OB =OD =OC =OA 2=a ，则O 即为外接球的球心，外接球的半径R 2=a，43πR 3所以外接球的体积V 3==πa 3，故D正确；故选：BCD12.对于给定的 ABC ，其外心为O ，重心为G ，垂心为H ，则下列结论正确的是（）A.过点G 的直线l 交AB ､AC 于E ､F ，若 A E =λ A B AC ， A F =μ ，则11λ=μ+3B. A H 与||||B CAB cos B ACcos C+A A 共线uu r uu u r uu r uuu r uu u r uuu rC.OA ⋅OB =OA ⋅OC =OB ⋅OCD. O H= O A + O B + O C【答案】ABD 【解析】【分析】利用平面向量共线定理判断A ，根据数量积的运算律及向量垂直判断B 、C 、D ；【详解】解：对于A ，设BC 的中点为D ，1111((33333AD AB AC AE AF AF λμλ则AG μ==)+=)+= + 2 1 1，因为E ，F ，G 三点共线，则11=133λ+，所以μ11λ=3，故A 正确μ+．|||B Ccos B AC )⋅cos C +BC 对于B ，(| A B A A |AB |cos B |AC |cos C= A B ⋅BC + AC ⋅BC |AB |cos B |AC |cos C =|BC |cos C|AB |⋅| B C |cos(π-B )+|AC | ⋅=-|BC |+|BC |=0，|AB |cos B |AC |cos C所以 AB + AC与B C 垂直，又 A H ⊥C B ，|AB |cos B |AC |cos C则 AB + AC与 A H 共线，故B 正确；对于C ，OA ⋅OB =OA ⋅OC 等价于OA ⋅(OB -OC )=0，等价于OA ⋅CB =0，即OA ⊥BC ，对于一般三角形而言，O 是外心，OA 不一定与BC 垂直，比如直角三角形ABC 中，若B 为直角顶点，则O 为斜边AC 的中点，OA 与BC 不垂直，故C 错误；对于D ，因为 A H ⊥C B，(OB )⊥B +O CC ；OH O ⋅A B =(∴ A H )⋅-B CC =0，(OB OC )⋅+B C =0；两式相减得(OH -OA -OB -OC )⋅BC =0；同理(OH -OA -OB -OC )⋅AC =0；H A B 若 C O - O - O - O ≠0，则该向量同时垂直于B 、 A C C ，显然不可能；∴ O H = O A + O B + O C，故D 正确；故选：ABD三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.+λ 与13.已知非零向量a =(1,2)，b r =(1,1)且r a a b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是_____5【答案】(3-,0) (0,+∞)【解析】【分析】先写出a +λb =(1+λ,2+λ)，再利用a ⋅(+λb a )>0且a+λ 与a b 不共线求λ的取值范围即可.【详解】由题意知，a +λb =(1+λ,2+λ)，a ⋅(+λb a )>0且a+λ 与a b 不共线，即1+λ+2⋅(2+λ)>05且1⋅(2+λ)-2⋅(1+λ)≠0，解得λ>3-且λ≠0.5故答案为：(3-,0) (0,+∞).14.已知复数z 对应的点在复平面第一象限内，甲、乙、丙三人对复数z 的陈述如下(i 为虚数单位)：甲：z +z =4；乙：2z ⋅z =3；丙：5z z ，在甲、乙、丙三人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数z =______z=．【答案】2+i ##i +2【解析】【分析】设z =a +b i ，则z =a -b i ，然后分别求出甲，乙，丙对应的结论，先假设甲正确，则得出乙错误，丙正确，由此即可求解．【详解】解：设z =a +b i ，则z =a -b i ，甲：由z +z =4可得2a =4，则a =2，乙：由z ⋅z =3可得：a 2+b 2=3，丙：由z 5z 2z =可得z 52z 2=，z ⋅z 即2225z z b a 2=，所以a 2+b 2=5+，若a =2，则a 2+b 2=4+b 2=3，则b 2=-1不成立，4+b 2=5，则b 2=1，解得b =1或-1，所以甲，丙正确，乙错误，此时z =2+i 或z =2-i ，又复数z 对应的点在复平面第一象限内，所以z =2+i ，故答案为：2+i ．15.在 ABC 中，∠BAC =120︒，AB =1，AC =2，∠BAC 的平分线交BC 于D ，AE 为BC 边上的高，则 ADE 的面积为______．【答案】#42【解析】1B2D 【分析】由余弦定理求出BC ,使用角平分线及正弦定理得到DC =，求出BD 3=，再利用高线求出AE ,BE ，得到DE ，求出直角三角形面积.【详解】在 ABC 中，由余弦定理得：BC ===，sin AB BDADB =在三角形ABD 中，由正弦定理得：sin ∠BAD∠，AC CDADC =同理在三角形ACD 中，由正弦定理可得：sin ∠CADsin ∠，因为∠ADB +∠ADC =π，又∠BAC 的平分线交BC 于D ，所以sin ∠BAD =sin ∠CAD ，sin ∠ADB =sin ∠ADC ，故AB AC BD DC =1B 2D ，即DC =，所以BD 3=，227B AC C 2AB B AB 2C +-而cos B ==，又AE 为BC 边上的高⋅，所以AE =AB ⋅sin B 7==，BE =AB ⋅cos B 7=，从而372DE =BD -BE 1=-=，所以 ADE 的面积为1122721AE ⋅DE 42=⨯⨯=.故答案为：4216.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M ，N 分别为边BC ，CD 上的动点，以MN 为边作等边 PMN ，使得点A ，P 位于直线MN 的两侧，则PN ⋅PB 的最小值为______．1【答案】4-【解析】【分析】设出边长，通过做辅助线，将PN ⋅PB 转化为PE -E B 2 2，然后利用解三角形的知识，把P E 和BE 表示出来，建立函数关系求解最值即可.【详解】如图，连接BN ，设BN ，MN 中点分别为E ，F ，连接PE ，PF ，EF ．设CM =a ，CN =b (0≤a ≤2,0≤b ≤2)，222P 2N PN B E +PB E ⎛⎫-P =-P PN ⋅PB =-B ⎪ ⎝⎭⎝ ⎭⎛⎫ 2 2，2124B 在Rt BCN 中，由勾股定理得BN 2=BC 2+CN 2=b 2+4，则B N E ⎫=⎛= ⎭⎝⎪2b 2+1，BN ，MN 中点分别为E ，F ，则EF 为△BMN 的中位线，112∴EF ∥BM 且EF 2=BM =1-a ，∴∠EFM =∠CMN，在Rt CMN 中，由勾股定理得MN ==CN MN ∴sin ∠CMN ===sin ∠EFM，2在等边 PMN 中，F 为MN 中点，则PF ⊥MN ，PF 2=MN =⋅π2cos ∠PFE =cos ⎛+∠EFM ⎫⎭⎪=-sin ∠EFM =⎝，在 PEF中，由余弦定理得34PE 2=EF 2+PF 2-2EF ⋅PF cos ∠PFE =a 22+b 2-ab -a ++1，当N 与C 重合时，△BCN ，△CMN ， PEF不存在，但可验证上述等式依然成立，1b 22- PN ⋅PB =a 2-a ++223131216441644⎡⎤⎛1⎫b +b 2-+-b b 2≥-+-=⎢a -⎥ ⎪ ⎪⎢⎝⎥4⎭⎣⎦14当且仅当a 2=+时等号成立．31164b 2∵关于b 的函数y =4-+在[0,2]上单调递增b -，3111644b 2∴4-+b -，当且仅当b =0时等号成立≥-．1∴PN ⋅PB ≥4- 1，当且仅当a 2=，b =0时等号成立.1故答案为：4-．【点睛】在处理平面向量的应用问题的时候，需要注意的是，动点在线段上，那么该点的横纵坐标是有范围限制的.四､解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.z 2的虚部为817.已知复数z 满足引|z |=.（1）求复数z ；（2）设复数z 、z 2、z -z 2在复平面上对应点分别为A ､B ､C ，若A 在第一象限，求(OA +OB )⋅OC 的值.【答案】（1）z =2+2i 或z =-2-2i （2）-56【解析】【分析】（1）设z =x +y i ，x ,y ∈R ，根据复数的模及复数代数形式的乘运算得到方程组，解得即可；（2）首先判断z =2+2i ，再求出A 、B 、C 的坐标，最后根据向量数量积的坐标表示计算可得；【小问1详解】解：设z =x +y i ，x ,y ∈R ，所以z 2=(x +y i )2=x 2-y 2+2xy i ，z =，z 2的虚部为8由复数z 满足|z |=．⎧x 2+y 2=8可得⎨2xy =8，解得x =y =2或x =y =-2⎩，故z =2+2i 或z =-2-2i ；【小问2详解】解：因为z 在复平面内所对应的点A 位于第一象限，所以z =2+2i ，z 2=(2+2i )2=8i ，z -z 2=2+2i -8i =2-6i ，所以A (2,2)，B (0,8)，C (2,-6)，即OA =(2,2)， B O =(0,8)， C O=(2,-6)，所以OA +OB =(2,2)+(0,8)=(2,10)，所以(OA +OB )⋅OC =2⨯2+10⨯(-6)=-56；18.如图所示，已知P 是▱ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，平面PAD ∩平面PBC=l.求证:（1）l ∥BC;（2）MN ∥平面PAD.【答案】（1）证明见解析；（【解析2）证明见解析.】【分析】（1）先由BC ∥AD 证明BC ∥平面PAD ，再结合平面PBC ∩平面PAD=l ，由线面平行推出线线平行，即得证；（2）取PD 的中点E ，连接AE ，NE ，可证明四边形AMNE 是平行四边形，即MN ∥AE ，由线线平行推线面平行，即得证【详解】（1）∵▱ABCD ∴BC ∥AD ，又BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ∴BC ∥平面PAD.又∵平面PBC ∩平面PAD=l ，BC ⊂平面PBC∴l ∥BC.（2）如图，取PD 的中点E ，连接AE ，NE ，则NE ∥CD ，且NE=1CD 2，又AM ∥CD ，且AM=1CD 2，∴NE ∥AM ，且NE=AM.∴四边形AMNE 是平行四边形.∴MN ∥AE.又∵AE ⊂平面PAD ，MN ⊄平面PAD ，∴MN ∥平面PAD.19.已知 ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足2sin 2A -2sin 2B -sin 2C -2sin B sin C =cos 2C -cos 2C .1）求角A （；（2）若AD 是 ABC 的中线，且AD =2，求b +c 的最大值.【答案】（1）2π（2）8【解析3】【分析】（1）根据已知条件及余弦的二倍角公式，再利用正弦定理的角化边及余弦定理，结合三角函数特殊值对应特殊角及角的范围即可求解；（2）根据已知条件及中线的向量的线性表示，再利用向量的数量积极及基本不等式即可求解.【小问1详解】由2sin 2A -2sin 2B -sin 2C -2sin B sin C =cos 2C -cos 2C 及二倍角的余弦公式，得2sin 2A -2sin 2B -sin 2C -2sin B sin C =cos 2C -(cos 2C -sin 2C )，即2sin 2A -2sin 2B -sin 2C -2sin B sin C =sin 2C ，于是有，sin 2B +sin 2C -sin 2A =-sin B sin C 及正弦定理，得b 2+c 2-a 2=-bc ，2122c bc bc 2b b 2c +-a 2-由余弦定理，得cos A ===-，2π 0<A <π,∴A =【小问2详解3.】1 因为AD 是 ABC 的中线，所以AD 2= ( A B + A C )，两边平方，得()1A 4D A 2B = 2+2 A B ⋅ A C + A C 22π,由（1）知，A 3=，AD =2，2π413⎛所以22=+b 2c 2+2c ⋅b ⋅cos ⎫ ⎭⎪⎝，2212b 4+c ⎫所以16=c 2-bc +b 2=(b +c )2-3⨯2-3bc ≥(b +c )⎛(b +c =) ⎭⎝⎪即(b +c )2≤64，所以b +c ≤8，当且仅当b =c =4时，等号成立，所以b +c 的最大值为8.20.已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P ､Q 分别为对角线BD ､CD 1上的点，且123CQ BP QD PD ==．（1）求证：PQ //平面A 1D 1DA ；（2）若R 是AB 上的点，AR B的值为多少时，能使平面PQR //平面A 1D 1DA ？请给出证明A ．【答案】（1）证明见解析；（2）AR B 的值A 为3，证明见解析5．【解析】【分析】（1）连结CP 并延长与DA 的延长线交于M 点，证明BC //AD ，PQ //MD 1，又MD 1⊂平面/平面A 1D 1DA ，证明PQ //平面A 1D 1DA A 1D 1DA ，PQ ⊂；（2）R 是AB 上的点，当AR B 的值A 为3时，能使平面PQR //平面A 1D 1DA ，通过证明PR //平面A 1D 1DA 5，又PQ ⋂R =P ，PQ //平面A 1D 1DA ．然后证明即可．【详解】（1）连结CP 并延长与DA 的延长线交于M点，因为四边形ABCD 为正方形，所以BC //AD ，故△PBC ~△PDM ，CP BP 23所以PM =D P ，又因为2C 3Q =BP QD 1D ==，所以2C 3Q P CP QD 1PM ==，所以PQ //MD 1．又MD 1⊂平面A 1D 1DA ，PQ ⊄平面A 1D 1DA ，故PQ //平面A 1D 1DA ．（2）当ARB的值A为3时，能使平面PQR//平面A1D1DA5．证明：因为3A5RAB=，即有2B3RRA=故BR BP，RA PD=．所以PR//DA．又DA⊂平面A1D1DA，PR⊄平面A1D1DA，所以PR//平面A1D1DA，又PQ⋂PR=P，PQ//平面A1D1DA．所以平面PQR//平面A1D1DA．【点睛】本题考查直线与平面平行的判定定理，平面与平面平行的判定定理，考查空间想象能力逻辑推理能力．21.如图所示，有一块等腰直角三角形地块ABC，∠A=90 ，BC长2千米，现对这块地进行绿化改造，计划从BC的中点D引出两条成45°的线段DE和DF，与AB和AC围成四边形区域AEDF，在该区域内种植花卉，其余区域种植草坪；设∠BDE=α，试求花卉种植面积S(α)的取值范围．12⎛,1-【答案】⎝4【解析】【分析⎦】利用正弦定理得3sin4αBEπ=sin⎛ -α⎫⎭⎝⎪34sinπsinα⎛-α⎫⎭⎪，求得S∆BDE+S∆DCF，从而，CF⎝=有S (α)=S ∆ABC -(S ∆BDE +S ∆DC F ,42 ⎝ππ)，再根据条件得α∈⎛⎫⎭⎪，从而求出答案．【详解】解：在△BDE 中，∠BED =34π-α，由正弦定理得13sin BE απ=sin ⎛ -α⎫⎭⎝4⎪，∴3sin 4αBE π=sin ⎛ -α⎫⎭⎝⎪，34π在△DCF 中，∠FDC =-α,∠DFC =α，由正弦定理得13sin 4CF π=sin ⎛ α-α⎫⎭⎝⎪，3sin πsin α⎛-α⎫ ⎝4⎭⎪∴CF =，112424ππ∴S ∆BDE +S ∆DCF =⨯BE ⨯BD ⨯sin ⨯CF ⨯CD ⨯si +n (BF +CF 4=)3sin 43sin 4παπα⎛⎫sin ⎛-α⎫ ⎪⎭⎝⎪ ⎪=+4 sin ⎛⎪-α⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭33sin cos sin 443sin cos 4ππcos αα3ππαcos αsin α⎛sin α⎫- ⎪=+ ⎪4 sin ⎪-⎝⎭44si αn α⎛⎫=+ ⎝cos +α2==1sin 2α-cos 2α+2=2sin 2α-cos 2α+1112⎛1=+ sin 2α-cos 2α+1⎫⎭⎝⎪1124π=+⎛⎫2α- ⎭⎪+2⎝，∴S (α)=S ∆ABC -(S ∆BDE +S ∆DCF 1122)4π=-⎛⎫α- ⎭⎪+⎝2,42ππ∴AEDF 为四边形区域，∴α∈⎫⎛ ⎝3,444πππ⎫∈⎭⎪，∴2α-⎛ ⎭⎪⎝，4π⎛⎤∴sin ⎫⎛2α- ⎭⎪⎝∈⎝2⎦14<S (α)≤1⎥，2∴-，1∴花卉种植面积S (α)取值范围是2⎛,1- ⎝4⎦．【点睛】本题主要考查利用正弦定理解三角形面积问题，属于基础题．22.已知平面直角坐标系中，点A (a ,0)，点B (0,b )（其中a ，b 为常数，且ab ≠0），点O 为坐标原点.如图所示，设点P 1,P 2,P 3, ,P n -1是线段AB 的n 等分点，其中n ∈N *,n ≥2，（1）当n =2022时，求OA +OP 1+OP 2+ +OP n -1+OB 的值（用含a ，b 的式子表示）；（j P 2）当a =b =1,n =10时，求OP i ⋅(P O )(1≤i ,j ≤n -1,i ,j ∈N i +O * )的最小值.n (2n +1),n ∈N *.（说明：可能用到的计算公式：1+2+3+ +n =）【答案】（1（2）232【解析5】 uuu r uuuuu r uu r uu u r 【分析】（1）由题意可得OP 1+OP 2021=OA +OB，进而推出OP m +OP n =OA +OB ，代入题中的等式即可；（10101-0i i 2）当a =b =1，n =10时，OP i =⎛ ⎝ ⎫⎭⎪，，101010j j OP -j =⎛ ⎝ ⎫⎭⎪，进而得，到 ij -5i -5j +5OP i ⋅OP j 50=0，从而得j OP P P ⋅( O i + O 25(i -5)j +0i )=-15i +100=，列出i 的取值即可得到对应的函数值.【小问1详解】2021120222022OA O 由题意得OP 1B =uuu +r uu r uu u r 2012021202，2OP A O 9=20122B O u +uuuu r uu r uu u r ，uuu r uuuuu r uu r uu u r所以OP 1+OP 2021=OA +OB，事实上，对任意正整数m ，n ，且m +n =2022，20222022022m m OA OB -有OP m =uuu +r uu r uu u r ，2022202220222n n OA -uuu r OP n +=uu r uu u r ， 所以OP m +OP n =OA +OB所以当n =2022时，(20212OA B B +=O uuuur uu u +O r uu r OA +uu r uu r uuu r uuu uu r u r )uu u r OA +OP 1+OP 2+L +OP n -1+OB 20232|OA B +=O u |=u r uu u r .【小问2详解】当a =b =1，n =10时，10,10101010i i OP i OA O -B i ⎝=10-i + =⎛⎫⎭⎪，同理1010,10101010j j j OP OA OB --j = ⎫⎭⎝⎪ j + =⎛10101010101050j i j -OP i i ij -5i --5j +50j =⋅+ ⋅ O =P 2005i 2-0i 1i +50+⎫⎛OP i == ⎪ ⎝10⎭ 2⎛10-i ⎫⎭⎝1⎪2j i O j P P P P P ⋅( P O i + O )= O 2+ O ⋅ O i 2-10i +50+ij -5i -5j +5500=(i -5)j +i 2-15i +10500=M (j =)50(i -5)⋅1+i 2-15i +10500i 2-14i +95当i =6，7，8，9时，M (j )≥M (1)==，当i =7时，上式有最小值23255525-07+100当i =5时，M (j )==150(i -5)⋅9+i 2-15i +10500i 2-6i +55当i =1，2，3，4时，M (j )≥M (9)==，当i =3时，上式有最小值232综上5，j OP P OP i + i ⋅( O )的最小值是2325.。
2024年天一名校高一数学期中复习卷
2024-2025学年度上学期高一数学期中复习卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}21A y y x ==+，集合(){}2,1B x y y x ==+，下列关系正确的是（）A ．AB =B ．0A ∈C ．(1,2)B ∈D ．(0,0)B∈2.函数3y =的定义域为（）A ．{}|33x x -≤≤B ．{|33x x -<<且}1x ≠C ．{}|33x x -<<D ．{|3x x <-或}3x >3.已知)1fx =-()f x 的解析式为（）A ．2()1f x x =-B ．2()1(1)f x x x =+≥-C ．2()1(1)f x x x =-≥-D ．2()1f x x =+4.学里有一种证明方法为无字证明，是指仅用图形而无需文字解释就能不证自明的数学命题.在同一平面内有形状、大小相同的图1和图2，其中四边形ABCD 为矩形，BCE 为等腰直角三角形，设AB )0BC b a =≥>，则借助这两个图形可以直接无字证明的不等式是（）A ．2a b+≥B ．2aba b≤+C ．22a b +≥D ．2a b +≤5.幂函数()()233mf x m m x =--在区间()0,∞+上单调递减，则下列说法正确的是（）A ．4m =B ．4m =或1m =-C ．是奇函数D ．是偶函数6.在上定义运算：()1x y x y *=-.若关于x 的不等式()10x x *-≥的解集是集合{}12x a x +≤≤的子集，则实数a 的取值范围（）A. B. C. D.7.已知函数2()2+1,[0,2]f x x x x =-+∈，函数()1,[1,1]g x ax x =-∈-，对于任意1[0,2]x ∈，总存在2[1,1]x ∈-，使得21()()g x f x =成立，则实数a 的取值范围是（）A ．(,3]-∞-B ．[3,)+∞C ．(,3][3,)-∞-+∞ D ．(,3)(3,)-∞-⋃+∞8.记号[]x 表示不超过实数x 的最大整数，若()270x f x ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，则()()()()()1236970f f f f f +++++ 的值为（）A ．B ．C ．D ．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知p ：260x x +-=；q ：10ax +=.若p 是q 的必要不充分条件，则实数的值可以是（）A ．B ．12-C ．13D ．13-10.下列说法正确的有（）A ．若()f x 的定义域为[]22-,，则()21f x -的定义域为13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．()2x f x x=和()g x x =表示同一个函数C．函数2y x =-17,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．函数()f x 满足()()221f x f x x --=-，则()213f x x =+11.定义域为的函数()f x 满足：()()22,,22x y x y x y f x f y f f +-⎛⎫⎛⎫∀∈=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R ，当0x >时，()0f x <，则下列结论正确的有（）A ．()01f =B ．()12y f x =+-的图象关于点()1,2--对称C ．()()()()()()202320252024202220242023f f f f f f +=+D ．()f x 在s +∞上单调递增()f x ()f x R 1a <-2a <-1a ≤-1a ≥-4898489949004901a 2-第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知不等式²0ax bx c ++≤的解集为{|3x x ≤-或}4x ≥,则不等式²230bx ax c b +--≤的解集是______.13.设()2f x ax bx =+是定义在[]1,2a a -上的偶函数，则a b +的值是______；()f a =______.14.若存在常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”.已知函数()()2325,(0)f x x x g x x x=-=<，若函数()f x 和()g x 之间存在隔离直线2y x b =-+，则实数b 的取值范围是______.四、解答题:本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分13分）已知关于x 的不等式()22237320x a x a a +-++-<的解集为．（1）若()7,3M =-，求不等式()22237320x a x a a -----+≤的解集；（2）若中的一个元素是，求实数的取值范围．16.（本小题满分15分）设全集，集合，集合.（1）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围.M M 0a U =R {}|15A x x =≤≤{}122|B x a x a =--≤≤-17.（本小题满分15分）已知函数21()x f x x-=．（1）判断函数()f x 的奇偶性，并证明；（2）用函数单调性的定义证明：在(0,)+∞上为增函数；（3）求函数在区间[]2,4--上的最大值和最小值．18.（本小题满分17分）某企业投资生产一批新型机器，其中年固定成本为万元，每生产x 台，需另投入生产成本()R x 万元.当年产量不足25台时，()23R x x kx =+；当年产量不小于25台时()3200202133010R x x x =+-+，且当年产量为台时需另投入成本万元；若每台设备售价万元，通过市场分析，该企业生产的这批机器能全部销售完.（1）求的值；（2）求该企业投资生产这批新型机器的年利润所()W x （万元）关于年产量（台）的函数关系式（利润＝销售额－成本）；（3）这批新型机器年产量为多少台时，该企业所获利润最大？并求出最大利润.19.（本小题满分17分）若函数()f x 与()g x 满足：对任意的1x D ∈，总存在唯一的2x D ∈，使()()12f x g x m =成立，则称()f x 是()g x 在区间D 上的“m 阶伴随函数”；对任意的1x D ∈，总存在唯一的2x D ∈，使()()12f x f x m =成立，则称()f x 是区间D 上的“m 阶自伴函数”．（1）判断()21f x x =+是否为区间[]0,3上的“阶自伴函数”？并说明理由；（2）若函数()31f x x =-为区间上的“阶自伴函数”，求b 的值；（3）若()42f x x =+是()2221g x x ax a =-+-在区间[]0,2上的“2阶伴随函数”，求实数a的取值范围．()f x ()f x 1000101100200k x 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡b ,211。
常州市天一中学数学高一下期中经典练习(提高培优)
一、选择题1．(0分)[ID ：12422]已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线0l ：220x y --=的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为（ ）A ．4330x y --=B ．3430x y --=C ．3440x y --=D ．4340x y --= 2．(0分)[ID ：12420]若四棱锥的三视图如图，则此四棱锥的四个侧面的面积中最大值为（ ）A ．3B 13C ．32D ．333．(0分)[ID ：12408]已知两点()A 3,4-，()B 3,2，过点()P 1,0的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．()1,1-B ．()(),11,∞∞--⋃+C ．[]1,1-D ．][(),11,∞∞--⋃+ 4．(0分)[ID ：12405]三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，P A =2，AB =BC =1，则其外接球的表面积为（ ）A ．6πB ．5πC ．4πD ．3π 5．(0分)[ID ：12399]设圆C ：223x y +=，直线l ：360x y +-=，点()00,P x y l ∈，若存在点Q C ∈，使得60OPQ ∠=︒（O 为坐标原点），则0x 的取值范围是( ) A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．60,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．[]0,1 D ．16,25⎡⎤-⎢⎥⎣⎦6．(0分)[ID ：12373]已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m ⊥β的是( )A ．α⊥β，且m ⊂αB ．m ⊥n ，且n ∥βC ．α⊥β，且m ∥αD ．m ∥n ，且n ⊥β 7．(0分)[ID ：12353]已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),A m m -，(),B m m -()0m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ） A ．2B ．32C 322D ．228．(0分)[ID ：12344]用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．正方形D ．正六边形9．(0分)[ID ：12340]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．12B ．18C ．24D ．30 10．(0分)[ID ：12396]若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b 11．(0分)[ID ：12393]点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，AB=BC=2，AC=2，若四面体ABCD 体积的最大值为23，则这个球的表面积为（ ） A ．1256π B ．8π C ．2516π D ．254π 12．(0分)[ID ：12391]已知点()1,2-和3,03⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在直线():100l ax y a --=≠的两侧，则直线l 的倾斜角的取值范围是 ( )A ．,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B ．2,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．25,36ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．30,,34πππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13．(0分)[ID ：12388]一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．2π+4D ．3π+414．(0分)[ID ：12386]已知AB 是圆22620x y x y +-+=内过点(2,1)E 的最短弦，则||AB 等于（ ）A 3B ．2C ．23D ．2515．(0分)[ID ：12428]在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30，则该长方体的体积为（ ）A ．8B ．62C ．82D ．83 二、填空题16．(0分)[ID ：12475]如图，在正方体1111—ABCD A B C D 中，M N ，分别为棱111C D C C ，的中点，有以下四个结论：①直线AM 与1CC 是相交直线；②直线AM 与BN 是平行直线；③直线BN 与1MB 是异面直线；④直线AM 与1DD 是异面直线．其中正确的结论的序号为________．17．(0分)[ID ：12525]已知三棱锥P ABC -中，侧面PAC ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，4AB AC ==，23PA PC ==，则三棱锥P ABC -外接球的半径为______.18．(0分)[ID ：12519]已知点1232M N （，），（，），点F 是直线l:3y x =-上的一个动点，当MFN ∠最大时，过点M ，N ，F 的圆的方程是__________.19．(0分)[ID ：12516]已知正三棱锥P -ABC ，点P ，A ，B ，C 都在半径为3的求面上，若PA ，PB ，PC 两两互相垂直，则球心到截面ABC 的距离为________．20．(0分)[ID ：12442]正三棱柱的底面边长为，高为2，则它的外接球的表面积为 ．21．(0分)[ID ：12440]圆台的两个底面面积之比为4：9，母线与底面的夹角是60°，轴截面的面积为1803_____．22．(0分)[ID ：12507]在平面直角坐标系内，到点A （1，2），B （1，5），C （3，6），D （7，﹣1）的距离之和最小的点的坐标是 ．23．(0分)[ID ：12503]在平面直角坐标系xoy 中，ABC ∆的坐标分别为()1,1A --，()2,0B ，()1,5C ，则BAC ∠的平分线所在直线的方程为_______24．(0分)[ID ：12439]三棱锥A BCD -中，E 是AC 的中点，F 在AD 上，且2AF FD =，若三棱锥A BEF -的体积是2，则四棱锥B ECDF -的体积为_______________．25．(0分)[ID ：12434]在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，且三棱锥的最长的棱长为2，则此三棱锥的外接球体积为_____________.三、解答题26．(0分)[ID ：12628]已知点()1,0P ，圆22:6440C x y x y +-++=. （1）若直线l 过点P 且到圆心C 的距离为2，求直线l 的方程；（2）设过点()0,1Q -的直线m 与圆C 交于A 、B 两点（m 的斜率为负），当||4AB =时，求以线段AB 为直径的圆的方程.27．(0分)[ID ：12626]如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，//AB CD ，且22,22CD AB BC ===，90ABC ∠=︒，M 为BC 的中点．（1）求证：平面PDM ⊥平面PAM ；（2）若二面角P DM A --为30，求直线PC 与平面PDM 所成角的正弦值．28．(0分)[ID ：12604]已知两直线1l ：240x y -+=和2l ：20x y +-=的交点为P . （1）直线l 过点P 且与直线5360x y +-=垂直，求直线l 的方程；（2）圆C 过点()3,1且与1l 相切于点P ，求圆C 的方程.29．(0分)[ID ：12600]如图所示，四棱锥S ABCD -中，SA ⊥底面ABCD ，090ABC ∠=，23SA AB ==，，1BC =，23AD =，060ACD ∠=，E 为CD 的中点.（1）求证：//BC 平面SAE ；（2）求直线SD与平面SBC所成角的正弦值.30．(0分)[ID：12618]如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2，0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1，1)在AD边所在直线上．求：(1) AD边所在直线的方程；(2) DC边所在直线的方程．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．D2．C3．D4．A5．B6．D7．B8．A9．C10．B11．D12．D13．D14．D15．C二、填空题16．③④【解析】【分析】【详解】试题分析：因为四边不共面所以直线与是异面直线所以①错误的；同理直线与也是异面直线直线与是异面直线直线与是异面直线所以②是错误的；③是正确的④是正确的故填③④考点：空间中直17．【解析】【分析】设三棱锥外接球球心为半径为如图所示作辅助线设则解得答案【详解】设三棱锥外接球球心为半径为故在平面的投影为中点为中点故侧面底面故底面连接作于易知为矩形设则解得故答案为：【点睛】本题考查18．【解析】【分析】【详解】试题分析：根据题意设圆心坐标为C（2a）当∠MFN最大时过点MNF的圆与直线y=x-3相切∴∴a=1或9a=1时r=∠MCN=90°∠MFN=45°a=9时r=∠MCN＜9019．【解析】正三棱锥P-ABC可看作由正方体PADC-BEFG截得如图所示PF为三棱锥P-ABC 的外接球的直径且设正方体棱长为a则由得所以因为球心到平面ABC的距离为考点定位：本题考查三棱锥的体积与球的20．【解析】试题分析：由正三棱柱底面边长为得底面所在平面截其外接球所成圆半径为又由高为则球心到圆的球心距为根据球心距截面圆半径球半径构成的直角三角形满足勾股定理我们易得半径满足：已知求得正三棱柱外接球所21．【解析】【分析】首先通过两个底面面积之比为得到半径比设出上底半径为下底半径为由因为母线与底面的夹角是得到母线长为高为就可以根据轴截面的面积解出代公式求出侧面积即可【详解】圆台的两个底面面积之比为则半22．（24）【解析】【分析】【详解】取四边形ABCD对角线的交点这个交点到四点的距离之和就是最小值可证明如下：假设在四边形ABCD中任取一点P在△APC中有AP＋PC＞AC 在△BPD中有PB＋PD＞BD23．【解析】【分析】设的平分线与交于根据角平分线与面积关系求出利用共线向量坐标关系求出点坐标即可求解【详解】设的角平分线与交于解得所以的平分线方程为故答案为:【点睛】本题考查角平分线方程向量共线坐标应用24．【解析】【分析】以B为顶点三棱锥与四棱锥等高计算体积只需找到三角形AEF与四边形ECDF的面积关系即可求解【详解】设B到平面ACD的距离为h三角形ACD面积为因为是的中点在上且所以所以又=2所以所以25．【解析】【分析】根据题意可得平面所以得出为三棱锥的最长边根据直角三角形的性质边的中点到三棱锥的各顶点距离都相等所以为球心球直径即为【详解】平面平面平面所以三棱锥中最长边为设中点为在中所以三棱锥的外接三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．D解析：D【解析】设直线0l 的倾斜角为α，则斜率01tan 2k α==，所以直线l 的倾斜角为2α，斜率22tan 4tan 21tan 3k ααα===-，又经过点（1,0），所以直线方程为4(1)3y x =-，即4340x y --=，选D.2．C解析：C【解析】【分析】由四棱锥的三视图，还原几何体如图，可证得,CD PD ⊥CB PB ⊥，分别计算四个侧面三角形的面积，比较即得解.【详解】由四棱锥的三视图，还原几何体如图，其中底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD由于,,CD AD CD PA ADPA A CD ⊥⊥=∴⊥平面PAD ，CD PD ∴⊥同理可证：CB PB ⊥ 1111222,2332222PAB PAD S PA AB S PA AD ∆∆∴=⨯=⨯⨯==⨯=⨯⨯= 111122332,213132222PBC PCD S PB BC S CD PD ∆∆=⨯=⨯==⨯=⨯= 故四棱锥的四个侧面的面积中最大值为32故选：C【点睛】本题考查了利用三视图还原几何体，侧面三角形面积的计算，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.3．D解析：D【解析】分析：根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围．详解：∵点A （﹣3，4），B （3，2），过点P （1，0）的直线L 与线段AB 有公共点， ∴直线l 的斜率k≥k PB 或k≤k PA ，∵PA 的斜率为4031--- =﹣1，PB 的斜率为2031--=1， ∴直线l 的斜率k≥1或k≤﹣1，故选：D ．点睛：本题主要考查直线的斜率的求法，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础．直线的倾斜角和斜率的变化是紧密相联的，tana=k,一般在分析角的变化引起斜率变化的过程时，是要画出正切的函数图像，再分析.4．A解析：A【解析】分析：将三棱锥的外接球转化为以,,AP AB BC 为长宽高的长方体的外接球，从而可得球半径，进而可得结果.详解：因为PA ⊥平面AB ，,AB BC ⊂平面ABC ，PA BC ∴⊥，,PA AB AB BC ⊥⊥，所以三棱锥的外接球，就是以,,AP AB BC 为长宽高的长方体的外接球，外接球的直径等于长方体的对角线， 即24116R =++=246R ππ=，故选A.点睛：本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用22224R a b c =++（,,a b c 为三棱的长）；②若SA ⊥面ABC （SA a =），则22244R r a =+（r 为ABC ∆外接圆半径） ③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.5．B解析：B【解析】【分析】圆O 外有一点P ，圆上有一动点Q ，OPQ ∠在PQ 与圆相切时取得最大值．如果OP 变长，那么OPQ ∠可以获得的最大值将变小．因为sin QO OPQ PO∠=，QO 为定值，即半径，PO 变大，则sin OPQ ∠变小，由于(0,)2OPQ π∠∈，所以OPQ ∠也随之变小．可以得知，当60OPQ ∠=︒，且PQ 与圆相切时，2PO =，而当2PO >时，Q 在圆上任意移动，60OPQ ∠<︒恒成立．因此，P 的取值范围就是2PO ，即满足2PO ，就能保证一定存在点Q ，使得60OPQ ∠=︒，否则，这样的点Q 是不存在的．【详解】由分析可得：22200PO x y =+ 又因为P 在直线l 上，所以00(36)x y =--要使得圆C 上存在点Q ，使得60OPQ ∠=︒，则2PO故22220000103634PO x y y y ==+-+ 解得0825y ，0605x 即0x 的取值范围是6[0,]5，故选：B ．【点睛】解题的关键是充分利用几何知识，判断出2PO ，从而得到不等式求出参数的取值范围． 6．D解析：D【解析】【分析】根据所给条件，分别进行分析判断，即可得出正确答案.【详解】解：αβ⊥且m α⊂⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故A 不成立；m n ⊥且//n β⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故B 不成立；αβ⊥且//m α⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故C 不成立；//m n 且n β⊥⇒m β⊥，故D 成立；故选：D【点睛】本题考查直线与平面的位置关系，线面垂直判定，属于基础题.7．B解析：B【解析】【分析】根据使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,再分析轨迹圆与圆C 的关系即可.【详解】由题, 使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,又两点(),A m m -,(),B m m -, 所以圆心为()0,0.半径为()222m m m +-=.故P 的轨迹方程为2222x y m +=. 又由题意知,当圆()()22:341C x y -+-=内切于222x y m +=时m 取最大值. 此时2223416m,故32m =.故选：B【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系,重点是根据90APB ∠=︒求出点P 的轨迹.属于中等题型. 8．A解析：A【解析】【分析】【详解】画出截面图形如图显然A 正三角形C 正方形：D 正六边形可以画出三角形但不是直角三角形；故选A ．用一个平面去截正方体，则截面的情况为：①截面为三角形时，可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形、直角三角形；②截面为四边形时，可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形、矩形，但不可能是直角梯形；③截面为五边形时，不可能是正五边形；④截面为六边形时，可以是正六边形．故可选A ．9．C解析：C【解析】试题分析：由三视图可知，几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图所示，三棱柱的高为5，消去的三棱锥的高为3，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的直角三角形，所以几何体的体积为V =12×3×4×5−13×12×3×4×3=24，故选C ．考点：几何体的三视图及体积的计算．【方法点晴】本题主要考查了几何体的三视图的应用及体积的计算，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答的难点在于根据几何体的三视图还原出原几何体和几何体的度量关系，属于中档试题．10．B 解析：B【解析】试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gc log c ,log c lg a lg b==，01c <<，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c ==,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1lg c改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用c y x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用xy c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.11．D解析：D【解析】试题分析：根据题意知，ABC 是一个直角三角形，其面积为1．其所在球的小圆的圆心在斜边AC 的中点上，设小圆的圆心为Q ，若四面体ABCD 的体积的最大值，由于底面积ABC S 不变，高最大时体积最大，所以，DQ 与面ABC 垂直时体积最大，最大值为12·33ABC S DQ =，即12133DQ ⨯⨯=，∴2DQ =，设球心为O ，半径为R ，则在直角AQO 中，222OA AQ OQ =+，即()22212R R =+-，∴54R =，则这个球的表面积为：2525444S ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭；故选Ｄ． 考点：球内接多面体，球的表面积． 12．D解析：D【解析】设直线l 的倾斜角为θ∈[0,π).点A (1,−2),B (3,0). 直线l :ax −y −1=0(a ≠0)经过定点P (0,−1). ()121,01PA PB k k ---==-==-∵点(1,−2)和在直线l :ax −y −1=0(a ≠0)的两侧，∴k P A <a <k PB ,∴−1<tanθtanθ≠0. 解得30,34ππθθπ<<<<.本题选择D 选项. 13．D解析：D【解析】该几何体为半圆柱，底面为半径为1的半圆，高为2，因此表面积为π×12+12×2π×1×2+2×2=3π+4 ,选D. 14．D解析：D【解析】【分析】求出圆的标准方程，确定最短弦的条件，利用弦长公式进行求解即可．【详解】圆的标准方程为（x ﹣3）2+（y +1）2＝10，则圆心坐标为C （3，﹣1），半径为 10， 过E 的最短弦满足E 恰好为C 在弦上垂足，则CE 22(32)[11]5=-+--=（）， 则|AB |222(10)(5)25=-=，故选D ．【点睛】本题主要考查圆的标准方程的求解，以及直线和圆相交的弦长问题,属于中档题．15．C解析：C【解析】【分析】首先画出长方体1111ABCD A B C D -，利用题中条件，得到130AC B ∠=，根据2AB =，求得123BC =，可以确定122CC =，之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积.【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，连接1BC ，根据线面角的定义可知130AC B ∠=，因为2AB =，所以123BC =，从而求得122CC =，所以该长方体的体积为222282V =⨯⨯= C.【点睛】该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果.二、填空题16．③④【解析】【分析】【详解】试题分析：因为四边不共面所以直线与是异面直线所以①错误的；同理直线与也是异面直线直线与是异面直线直线与是异面直线所以②是错误的；③是正确的④是正确的故填③④考点：空间中直解析：③④【解析】【分析】【详解】试题分析：因为1,,,A M C C 四边不共面，所以直线AM 与1CC 是异面直线，所以①错误的；同理，直线AM 与BN 也是异面直线，直线BN 与1MB 是异面直线，直线AM 与1DD 是异面直线，所以②是错误的；③是正确的,④是正确的，故填③④．考点：空间中直线与直线的位置关系的判定．17．【解析】【分析】设三棱锥外接球球心为半径为如图所示作辅助线设则解得答案【详解】设三棱锥外接球球心为半径为故在平面的投影为中点为中点故侧面底面故底面连接作于易知为矩形设则解得故答案为：【点睛】本题考查解析：2【解析】【分析】设三棱锥P ABC -外接球球心为O ，半径为R ，如图所示作辅助线，设1OO h =，则()2222221R PD h OH R h CO ⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩，解得答案. 【详解】设三棱锥P ABC -外接球球心为O ，半径为R ，90BAC ∠=︒，故O 在平面ABC 的投影为BC 中点1O ，D 为AC 中点，PA PC =，故PD AC ⊥，侧面PAC ⊥底面ABC ，故PD ⊥底面ABC .连接1O D ，作OH PD ⊥于H ，易知1OO DH 为矩形，设1OO h =，则()2222221R PD h OH R h CO ⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩，PD =，12OH DO ==，122CO，解得R =故答案为：2.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.18．【解析】【分析】【详解】试题分析：根据题意设圆心坐标为C （2a ）当∠MFN 最大时过点MNF 的圆与直线y=x-3相切∴∴a=1或9a=1时r=∠MCN=90°∠MFN=45°a=9时r=∠MCN ＜90解析：22(2)(1)2x y -+-=【解析】【分析】【详解】试题分析：根据题意，设圆心坐标为C （2，a ），当∠MFN 最大时，过点M ，N ，F 的圆与直线y=x-3相切． ()()22232122a a ---+-=，∴a=1或9，a=1时，2，∠MCN=90°，∠MFN=45°，a=9时，r=52MCN ＜90°，∠MFN ＜45°，则所求圆的方程为22(2)(1)2x y -+-=考点：圆的标准方程 19．【解析】正三棱锥P-ABC 可看作由正方体PADC-BEFG 截得如图所示PF 为三棱锥P-ABC 的外接球的直径且设正方体棱长为a 则由得所以因为球心到平面ABC 的距离为考点定位：本题考查三棱锥的体积与球的3【解析】正三棱锥P-ABC 可看作由正方体PADC-BEFG 截得，如图所示，PF 为三棱锥P-ABC 的外接球的直径，且PF ABC ⊥平面,设正方体棱长为a ，则2312,2,22a a AB AC BC =====，1322222322ABC S ∆=⨯⨯⨯= 由P ABC B PAC V V --=，得111••222332ABC h S ∆=⨯⨯⨯⨯，所以233h =，因为球心到平面ABC 的距离为33. 考点定位：本题考查三棱锥的体积与球的几何性质，意在考查考生作图的能力和空间想象能力20．【解析】试题分析：由正三棱柱底面边长为得底面所在平面截其外接球所成圆半径为又由高为则球心到圆的球心距为根据球心距截面圆半径球半径构成的直角三角形满足勾股定理我们易得半径满足：已知求得正三棱柱外接球所 解析：【解析】试题分析：由正三棱柱底面边长为2，得底面所在平面截其外接球所成圆O 半径为33r =，又由高为2，则球心到圆O 的球心距为1d =，根据球心距，截面圆半径，球半径构成的直角三角形满足勾股定理，我们易得半径R 满足：22273R r d =+=，已知求得正三棱柱外接球，所以外接球的表面积为22843S R ππ==． 考点：棱柱的几何特征，球的表面积，空间位置关系和距离． 【方法点晴】解决本题的关键是确定球心的位置，进而确定半径．因为三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，所以过三角形的外心且垂直于此三角形的所在平面的垂线上的任意一点到次三角形三个顶点的距离相等，所以过该三角形的三个顶点的球的球心必在垂线上．所以本题中球心必在上下底面外心的连线上，进而利用球心距，截面圆半径，球半径构成的直角三角形，即可算出．21．【解析】【分析】首先通过两个底面面积之比为得到半径比设出上底半径为下底半径为由因为母线与底面的夹角是得到母线长为高为就可以根据轴截面的面积解出代公式求出侧面积即可【详解】圆台的两个底面面积之比为则半 解析：360π【解析】【分析】首先通过两个底面面积之比为4:9，得到半径比，设出上底半径为2k ，下底半径为3k ，由因为母线与底面的夹角是60，得到母线长为2k 3k .就可以根据轴截面的面积解出6k =，代公式求出侧面积即可.【详解】圆台的两个底面面积之比为4:9，则半径比为2:3所以设圆台的上底半径为2k ，下底半径为3k ，由于母线与底面的夹角是60，所以母线长为2k 3k . 由于轴截面的面积为1803，所以()46332k k k +=6k =.所以圆台的上底半径为12，下底半径为18.母线长为12.所以圆台的侧面积为()121812360ππ+⨯=.故答案为：360π【点睛】本题主要考查圆台的性质以及圆台的侧面积，同时考查了线面成角问题，属于中档题.22．（24）【解析】【分析】【详解】取四边形ABCD 对角线的交点这个交点到四点的距离之和就是最小值可证明如下：假设在四边形ABCD 中任取一点P 在△APC 中有AP ＋PC ＞AC 在△BPD 中有PB ＋PD ＞BD解析：（2，4）【解析】【分析】【详解】取四边形ABCD 对角线的交点，这个交点到四点的距离之和就是最小值．可证明如下： 假设在四边形ABCD 中任取一点P ，在△APC 中，有AP ＋PC ＞AC ，在△BPD 中，有PB ＋PD ＞BD ，而如果P 在线段AC 上，那么AP ＋PC ＝AC ；同理，如果P 在线段BD 上，那么BP ＋PD ＝BD.如果同时取等号，那么意味着距离之和最小，此时P 就只能是AC 与BD 的交点． 易求得P(2,4)．23．【解析】【分析】设的平分线与交于根据角平分线与面积关系求出利用共线向量坐标关系求出点坐标即可求解【详解】设的角平分线与交于解得所以的平分线方程为故答案为:【点睛】本题考查角平分线方程向量共线坐标应用解析：0x y -=【解析】【分析】设BAC ∠的平分线与BC 交于D ，根据角平分线与面积关系求出||||CD DB ，利用共线向量坐标关系，求出D 点坐标，即可求解.【详解】设BAC ∠的角平分线与BC 交于(,)D a b ， 1||||sin ||210||221||||10||||sin 2ACD ABD AC AD CAD S AC CD S AB DB AB AD BAD ⋅⋅∠∴=====⋅⋅∠， 2,(1,5)2(2,)CD DB a b a b ∴=--=--，解得55,33a b ==， 55(,)33D ∴，所以BAC ∠的平分线AD 方程为0x y -=. 故答案为:0x y -=.【点睛】本题考查角平分线方程、向量共线坐标，应用角平分线性质是解题的关键，属于中档题.24．【解析】【分析】以B 为顶点三棱锥与四棱锥等高计算体积只需找到三角形AEF 与四边形ECDF 的面积关系即可求解【详解】设B 到平面ACD 的距离为h 三角形ACD 面积为因为是的中点在上且所以所以又=2所以所以 解析：【解析】【分析】以B 为顶点，三棱锥B AEF -与四棱锥B ECDF -等高，计算体积只需找到三角形AEF 与四边形ECDF 的面积关系即可求解.【详解】设B 到平面ACD 的距离为h ，三角形ACD 面积为S ，因为E 是AC 的中点，F 在AD上，且2AF FD =，所以16AEF ACD S AE AF S AC AD ∆∆⋅==⋅,16AEF S S ∆=，所以56ECDF S S =，又A BEF V -=2，所以⨯=11236Sh ，36Sh =，所以153610318B ECDF ECDF V S h -==⋅=. 故答案为10.【点睛】本题考查空间几何体的体积计算，考查空间想象能力和运算能力，属于基础题. 25．【解析】【分析】根据题意可得平面所以得出为三棱锥的最长边根据直角三角形的性质边的中点到三棱锥的各顶点距离都相等所以为球心球直径即为【详解】平面平面平面所以三棱锥中最长边为设中点为在中所以三棱锥的外接 解析：43π 【解析】【分析】根据题意可得，BC ⊥平面PAC ，所以BC PC ⊥，得出PB 为三棱锥的最长边，PA AB ⊥，根据直角三角形的性质，PB 边的中点到三棱锥的各顶点距离都相等，所以为球心，球直径即为PB .【详解】PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，PA BC ∴⊥,,,AC BC PA AC A BC ⊥=∴⊥平面PAC ，BC PC ⊥，,,,,PB BC PB PC PA AC PC AC PC PA ∴>>⊥∴>>，所以三棱锥中最长边为2PB =，设PB 中点为O ，在,Rt PAB Pt PBC ∆∆中，12AO CO PB ==，所以三棱锥的外接球的球心为O ， 半径为41,3V π∴=.故答案为:43π. 【点睛】 本题考查几何体的“切”“接”球问题，确定球心是解题的关键，考查空间垂直的应用，属于中档题.三、解答题26．（1）1x =或0y =；（2）()()22134x y -++=.【解析】【分析】（1）对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，利用圆心到直线l 的距离等于2可求得直线l 的方程；（2）先通过点到直线的距离及勾股定理可解得直线m 的斜率，然后将直线m 的方程与圆的方程联立，求出线段AB 的中点，作为圆心，并求出所求圆的半径，进而可得出所求圆的方程.【详解】（1）由题意知，圆C 的标准方程为()()22329x y -++=，∴圆心()3,2C -，半径3r =，①当直线l 的斜率k 存在时，设直线的方程为()01y k x -=-，即kx y k 0--=， 则圆心到直线l的距离为2d ==，0k ∴=.∴直线l 的方程为0y =；②当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =，此时圆心C 到直线l 的距离为2，符合题意.综上所述，直线l 的方程为1x =或0y =；（2）依题意可设直线m 的方程为1y kx =-，即()100kx y k --=<，则圆心()3,2C -到直线m的距离d === 22320k k ∴+-=，解得12k =或2k =-， 又0k <，2k ∴=-，∴直线m 的方程为210x y ---=即210x y ++=，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立直线m 与圆C 的方程得()()22210329x y x y ++=⎧⎪⎨-++=⎪⎩， 消去y 得251010x x -+=，122x x ∴+=，则线段AB 的中点的横坐标为1212x x +=，把1x =代入直线m 中得3y =-， 所以，线段AB 的中点的坐标为()1,3-， 由题意知，所求圆的半径为：122AB =， ∴以线段AB 为直径的圆的方程为：()()22134x y -++=.【点睛】本题考查利用圆心到直线的距离求直线方程，同时也考查了圆的方程的求解，涉及利用直线截圆所得弦长求参数，考查计算能力，属于中等题.27．（1）详见解析；（2）3030． 【解析】【分析】（1）在直角梯形ABCD 中，由条件可得222AD AM DM =+，即DM AM ⊥．再由PA ⊥面ABCD ，得DM PA ⊥，利用线面垂直的判定可得DM ⊥平面PAM ，进一步得到平面PDM ⊥平面PAM ；（2）由（1）知，,PM DM AM DM ⊥⊥，则PMA ∠为二面角P DM A --的平面角为30，求得tan301PA AM =⋅︒=．以A 为坐标原点，分别以,,AE AB AP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求出PC 的坐标及平面PDM 的一个法向量，由PC 与n 所成角的余弦值可得直线PC 与平面PDM 所成角的正弦值．【详解】（1）证明：在直角梯形ABCD 中，由已知可得，1,2,2AB CD BM CM ====可得223,6AM DM ==，过A 作AE CD ⊥，垂足为E ，则1,22DE AE ==29AD =，则222AD AM DM =+，∴DM AM ⊥．∵PA ⊥面ABCD ，∴DM PA ⊥，又PA AM A =，∴DM ⊥平面PAM ，∵DM ⊂平面PDM ，∴平面PDM ⊥平面PAM ；（2）解：由（1）知，,PM DM AM DM ⊥⊥，则PMA ∠为二面角P DM A --的平面角为30，则tan301PA AM =⋅︒=．以A 为坐标原点，分别以,,AE AB AP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 则()0,0,1P ，(22,1,0)D -，(22,1,0)C ，(2,1,0)M ，(22,1,1),(22,1,1),(2,1,1)PC PD PM =-=--=-． 设平面PDM 的一个法向量为(,,)n x y z =，由22020n PD y z n PM x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，取1x =，得21,,22n ⎛= ⎝⎭． ∴直线PC 与平面PDM 所成角的正弦值为：|||cos ,|30||||10PC n PC n PC n ⋅<>===⋅． 【点睛】 向量法是求立体几何中的线线角、线面角、面面角时常用方法.28．（1）35100x y -+=；（2）()2215x y -+=.【解析】【分析】（1）联立方程组，求出直线1:240l x y -+=和2:20l x y +-=的交点，再求出直线l 的斜率，可得直线l 的方程；（2）设出圆的标准方程，求出圆心与半径，即可求得圆的方程．【详解】（1）联立方程组24020x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得02x y =⎧⎨=⎩， ∴直线240x y -+=和20x y +-=的交点()0,2P ， 又∵直线5360x y +-=的斜率为53-，∴直线l 的斜率为35， ∴直线l 的方程为()3205y x -=-，化为一般式可得35100x y -+=. （2）设圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，2222(3)(1)a b r ∴-+-==，1a ，0b =，∴圆的方程为22(1)5x y -+=．【点睛】本题考查直线、圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．29．（1）见解析； （2）7. 【解析】【分析】（1）在ACD ∆中，由余弦定理可解得：4CD =所以222AC AD CD +=，所以ACD ∆是直角三角形，又ACE ∆可证为等边三角形，所以060CAE BCA ∠==∠，所以//BC AE ，即可证明//BC 平面SAE ；（2）：由（1）可知090BAE ∠=，以点A 为原点，以AB ,AE ，AS 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量可求直线SD 与平面SBC 所成角的正弦值.【详解】（1）证明：因为AB =1BC =，090ABC ∠=，所以2AC =，060BCA ∠=，在ACD ∆中，AD =2AC =，060ACD ∠=，由余弦定理可得：2222?cos AD AC CD AC CD ACD =+-∠解得：4CD =所以222AC AD CD +=，所以ACD ∆是直角三角形，又E 为CD 的中点，所以12AE CD CE == 又060ACD ∠=，所以ACE ∆为等边三角形，所以060CAE BCA ∠==∠，所以//BC AE ，又AE ⊂平面SAE ，BC ⊄平面SAE ，所以//BC 平面SAE .（2）解：由（1）可知090BAE ∠=，以点A 为原点，以AB ,AE ，AS 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,2S ，)B ，)C ，()D .。
2020-2021学年江苏省无锡市锡山区天一中学高一(下)期中数学试卷(解析版)
2020-2021学年江苏省无锡市锡山区天一中学高一（下）期中数学试卷一、选择题（共8小题）.1．i是虚数，复数＝（）A．﹣1+3i B．C．1+3i D．2．在△ABC中，若||＝||＝|﹣|，则△ABC的形状为（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形3．已知、是不共线的向量，，（λ、μ∈R），当且仅当（）时，A、B、C三点共线．A．λ+μ＝1B．λ﹣μ＝1C．λμ＝﹣1D．λμ＝14．若非零向量，满足||＝3||，（2+3）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．5．已知2+i是关于x的方程x2+ax+5＝0的根，则实数a＝（）A．2﹣i B．﹣4C．2D．46．当复数z满足|z+3﹣4i|＝1时，则|z+2|的最小值是（）A．B．C．D．7．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若c sin C＝a sin A+（b﹣a）sin B，角C的角平分线交AB于点D，且CD＝，a＝3b，则c的值为（）A．B．C．3D．8．以C为钝角的△ABC中，BC＝3，，当角A最大时，△ABC面积为（）A．3B．6C．5D．8二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．已知复数z＝2+i，则下列结论正确的是（）A．B．复数z的共轭复数为2﹣iC．zi2021＝1+2i D．z2＝3+4i10．下列说法中正确的为（）A．已知，且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底C．非零向量，，满足且与同向，则D．非零向量和，满足，则与的夹角为30°11．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（）A．若A＞B，则sin A＞sin BB．若A＝30°，b＝4，a＝3，则△ABC有两解C．若△ABC为钝角三角形，则a2+b2＞c2D．若A＝60°，a＝2，则△ABC面积的最大值为12．如图，△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a＝b，且（a cos C+c cos A）＝2b sin B，D是△ABC外一点，DC＝1，DA＝3，则下列说法正确的是（）A．△ABC是等边三角形B．若AC＝2，则A，B，C，D四点共圆C．四边形ABCD面积最大值为+3D．四边形ABCD面积最小值为﹣3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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2016-2017学年第二学期天一中学高一数学期中考试试
卷
必修 2
试卷满分：150分 考试时间：120分钟
卷I
一、选择题（本大题共2道小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．直线x ＝3的倾斜角是( )
A ．90°
B ．60°
C ．30°
D ．不存在 2．圆(x ＋2)2＋y 2＝5的圆心为( )
A ．(2，0）
B ．（0，2）
C ．(-2，0）
D ．（0，-2）
3、已知,a b αα⊂//，则直线a 与直线b 的位置关系是 （ ）
A 、平行；
B 、相交或异面；
C 、异面；
D 、平行或异面。
4.如图，水平放置的圆柱形物体的三视图是（ ）
5、在右图的正方体中，M 、N 分别为棱BC 和棱CC1的中点， 则异面直线AC 和MN 所成的角为（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．90°
D ． 60°
6．直线2x-y ＋4＝0同时过第（ ）象限
A ．一，二，三
B ．二，三，四
C ．一，二，四
D ．一，三，四
7．若三点A(3,1)，B(－2，b)，C(8,11)在同一直线上，则实数b 等于( )
A ．2
B ．3
C ．9
D ．－9
8．以A(1,3)，B(－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( )
A ．3x －y －8＝0
B ．3x ＋y ＋4＝0
C ．3x －y ＋6＝0
D ．3x ＋y ＋2＝0 9．两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为
( )
A ．1∶9
B ．1∶27
C ．1∶3
D ．1∶1
10．已知以点A (2，－3)为圆心，半径长等于5的圆O ，则点M (5，－7)与圆O 的位置关系是( )
A ．在圆内
B ．在圆上
C ．在圆外
D ．无法判断 11．在同一直角坐标系中，表示直线y ＝ax 与直线y ＝x ＋a 的图象(如图所示)正确的是( )
12．圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线l ：x ＋y ＋1＝0的距离为2的点有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
1 D 1 B 1
A 1
M
D
B A
二、填空题（本大题共4道小题，每小题5分，共20分。
把答案填在题中横线上）
13、已知l 1：2x ＋my ＋1＝0与l 2：y ＝3x －1，若两直线平行，则m 的值为________． 14．已知直线5x ＋12y ＋a ＝0与圆x 2－2x ＋y 2＝0相切，则a 的值为________． 15、过点（1，2）且在两坐标轴上截距相等的直线方程是 16、已知,a b 为直线，,,αβγ为平面，有下列三个命题： （1） a b αβ////,，则a b //； （2） ,a b γγ⊥⊥，则a b //； （3） ,a b b α⊂//，则a α//； （4） ,a b a α⊥⊥，则b α//；
其中正确命题是 。
三、解答题（本大题共6道小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17、（本小题满分10分）如下图(2),建造一个容积为3
16m ，深为2m ，宽为2m 的长方体无盖水池，如果池底的造价为120m 2
/元，池壁的造价为80m 2
/元，求水池的总造价。
18．（本小题满分12分）已知直线2x ＋(t －2)y ＋3－2t ＝0，分别根据下列条件，求t 的值：
(1)过点(1,1)；
(2)直线在y 轴上的截距为－3．
19、（本小题满分12分）求经过M （-1，2），且满足下列条件的直线方程 （1）与直线2x + y + 5 = 0平行 ；
（2）与直线2x + y + 5 = 0垂直； 20．（本小题满分12分）求圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)的圆的方程． 21．（本小题满分12分）直线l 经过点P (5,5)，且和圆C ：x 2＋y 2＝25相交，截得的弦长为45，求l 的方程．
22、（本小题满分12分）如下图（4），在正方体1111ABCD A B C D -中， （1）求证直线BD 与平面1111D C B A ； （2）求证：面11BB DD ⊥面1AB C （2）求二面角11A B C C --的大小；
图2
图（4）
图（2）
2016-2017学年第二学期天一中学高一数学期中考试
试卷答案必修2
（非选择题 共90分）
一、选择题（本大题共2道小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
二、填空题（本大题共4道小题，每小题4分，共16分。
把答案填在题中横线上） 13、3
2
-
14、 15、3,2+==x y x y 16、（2）。
17、（本小题满分12分）如下图(2),建造一个容积为3
16m ，深为2m ，宽为2m 的长方体无盖水池，如果池底的造价为120m 2
/元，池壁的造价为80m 2
/元，求水池的总造价。
解：分别设长、宽、高为,,am bm hm ；水池的总造价为y 元
16,2,2V abh h b ====Q ，
4a m ∴=———————————
则有2
428S m =⨯=底————————6分
()2224224S m =⨯+⨯=壁—————9分
12080120880242880y S S =⨯+⨯=⨯+⨯=底壁（元）———————10分
18. (1)过点(1,1) 所以当x=1，y=1时 2+t-2+3-2t=0 t=3
2)直线在y 轴上的截距为-3 所以过点（0，-3） -3(t-2)+3-2t=0 5t=9
t=9/5
19.（本小题满分12分）Q点M（-1，2）
（1）2
-
=
k-----3分直线方程为0
2=
+y
x--------5分
（2）
2
1
=
k---------6分直线方程为0
5
2=
+
-y
x--------8分
20（本小题满分12分）求圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)的圆的方程．
（x-1）2+（y+4）2=8．
21．（本小题满分12分）直线l经过点P(5,5)，且和圆C：x2＋y2＝25相交，截得的弦长为45，求l的方程．
解：由题意易知直线的斜率ｋ存在，设直线的方程为
由题意知，圆C：的圆心为(0，0)，半径为5，圆心到直线的距离
在中，即解得
所以的方程为
22. 19、（本小题满分12分）如下图（4），在正方体
1111
ABCD A B C D
-中，
∴
1
AEC
∠为二面角
11
A B C C
--的平面角。
———————————4分
（2）证明：
1
D D ABCD
⊥
Q面，AC ABCD
⊂面
1
D D AC
∴⊥——6分
又Q在正方形ABCD中AC BD
∴⊥
—————————————8分
1
D D BD D
=
Q I
11
AC DD B B
∴⊥面————————————10分
图
又1AC AB C ⊂Q 面 ∴面11BB DD ⊥面1AB C ———————————12分 （3）画出二面角11A B C C --的平面角； （2）求证：面11BB DD ⊥面1AB C 解：（1）如图，取1B C 的中点E ,连接1,AE EC 。
11,,AC AB B C Q 分别为正方形的对角线
E Q 是1B C 的中点 1AE B C ∴⊥ ——————2分
又Q 在正方形11BB C C 中 11EC B C ∴⊥ ——————————3分。