江苏省无锡市天一中学2019-2020学年高一下学期期中数学试题
2020-2021学年江苏省无锡市锡山区天一中学高一(下)期中数学试卷(解析版)
2020-2021学年江苏省无锡市锡山区天一中学高一（下）期中数学试卷一、选择题（共8小题）.1．i是虚数，复数＝（）A．﹣1+3i B．C．1+3i D．2．在△ABC中，若||＝||＝|﹣|，则△ABC的形状为（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形3．已知、是不共线的向量，，（λ、μ∈R），当且仅当（）时，A、B、C三点共线．A．λ+μ＝1B．λ﹣μ＝1C．λμ＝﹣1D．λμ＝14．若非零向量，满足||＝3||，（2+3）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．5．已知2+i是关于x的方程x2+ax+5＝0的根，则实数a＝（）A．2﹣i B．﹣4C．2D．46．当复数z满足|z+3﹣4i|＝1时，则|z+2|的最小值是（）A．B．C．D．7．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若c sin C＝a sin A+（b﹣a）sin B，角C的角平分线交AB于点D，且CD＝，a＝3b，则c的值为（）A．B．C．3D．8．以C为钝角的△ABC中，BC＝3，，当角A最大时，△ABC面积为（）A．3B．6C．5D．8二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．已知复数z＝2+i，则下列结论正确的是（）A．B．复数z的共轭复数为2﹣iC．zi2021＝1+2i D．z2＝3+4i10．下列说法中正确的为（）A．已知，且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底C．非零向量，，满足且与同向，则D．非零向量和，满足，则与的夹角为30°11．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（）A．若A＞B，则sin A＞sin BB．若A＝30°，b＝4，a＝3，则△ABC有两解C．若△ABC为钝角三角形，则a2+b2＞c2D．若A＝60°，a＝2，则△ABC面积的最大值为12．如图，△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a＝b，且（a cos C+c cos A）＝2b sin B，D是△ABC外一点，DC＝1，DA＝3，则下列说法正确的是（）A．△ABC是等边三角形B．若AC＝2，则A，B，C，D四点共圆C．四边形ABCD面积最大值为+3D．四边形ABCD面积最小值为﹣3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省无锡市2019-2020年度高一下学期数学期中考试试卷B卷
江苏省无锡市 2019-2020 年度高一下学期数学期中考试试卷 B 卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 直线 3x+4y+5=0 的斜率和它在 y 轴上的截距分别为（ ）A. ，B.，C.，D. ，2. （2 分） (2018 高一下·应县期末) 《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题目：把 100 个面包分给 5 个人，使每个人所得面包成等差数列，且较大的三份之和的 问最小的一份为（ ）等于较小的两份之和，A.B.C.D.3. （2 分） (2019 高二上·兴宁期中) 过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（ ）A.B.C.或D.或第 1 页 共 11 页4. （2 分） (2016 高一下·邯郸期中) 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）A.B.C.D.5. （2 分） (2018 高二上·湖州月考) 已知直线，，则 与 之间的距离是（ ）A.B. C.1D. 6. （2 分） (2018 高二上·北京月考) 若方程 x2+y2+x+y+k=0 表示一个圆,则 k 的取值范围是（ ） A.第 2 页 共 11 页B.C.D.7. （2 分） 一批灯泡 400 只，其中 20 W、40 W、60 W 的数目之比为 4∶3∶1，现用分层抽样的方法产生一个 容量为 40 的样本，三种灯泡依次抽取的个数为（ ）A . 20 ,10 , 10B . 15 , 20 , 5C . 20, 5, 15D . 20, 15, 58. （2 分） 已知回归方程为，则该方程在样本（10，13）处的残差为（ ）A . 10B.2C.3D.49. （2 分） 一次发行 10000 张福利奖券，其中有 1 张特等奖，2 张一等奖，10 张二等奖，100 张三等奖，其 余的不得奖，则购买 1 张奖券能中奖的概率为（ ）A.B.C.D. 10. （2 分） 把黑、红、白 3 张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（ ）第 3 页 共 11 页A . 对立事件 B . 互斥但不对立事件 C . 不可能事件 D . 必然事件11. （2 分） (2016 高一下·鹤壁期末) 若直线 直线 l 的倾斜角的取值范围（ ）与直线 2x+3y﹣6=0 的交点位于第一象限，则A.B.C.D.12. （2 分） (2017·南海模拟) 小李去上班可以搭同事的顺风车，同事经过小李家门口的时间是 8：00 且只 等小李 5 分钟，小李在 7：55 到 8：20 到家门口，小李可以搭上顺风车的概率是（ ）A.B.C.D.二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2019 高二下·温州月考) 已知直线则________；若，则两平行直线间的距离为________．，直线，若，14. （1 分） (2019 高二上·慈溪期中) 圆 C:x2+y2-8x-2y=0 的圆心坐标是________;关于直线 l:y=x-1 对称的圆 C'的方程为________.第 4 页 共 11 页15. （1 分） 如图，圆 O 的弦 AB ， CD 相交于点 E ， 过点 A 作圆 O 的切线与 DC 的延长线交于点 P ， 若 PA=6， AE=9，PC=3，CE:ED=2:1，则 BE=________ 。
2019-2020学年江苏省无锡市锡山区天一中学高一(下)期中数学试卷
2019-2020学年江苏省无锡市锡山区天一中学高一（下）期中数学试卷试题数：22.满分：1501.（单选题.5分）sin20°cos（-10°）+cos20°sin10°=（）A. −12B. 12C. −√32D. √322.（单选题.5分）用数字1、2、3组成没有重复数字的三位数.其中三位数是奇数的概率为（）A. 12B. 13C. 23D. 143.（单选题.5分）用符号表示“点A在直线l上.l在平面α内”.正确的是（）A.A∈l.l∉αB.A⊂l.l⊄αC.A⊂l.l∈αD.A∈l.l⊂α4.（单选题.5分）已知一组数据5.5.5.4.5.1.4.8.4.7.则该组数据的方差为（）A.0.4B.0.3C.0.2D.0.15.（单选题.5分）过三点A（1.3）.B（6.-2）.C（1.-7）的圆交x轴于M、N两点.则MN=（）A.2B. 2√21C.4D. 4√216.（单选题.5分）已知两条直线l1：（m-2）x+3y+1=0.l2：x+my+1=0平行.则m=（）A.3B.-1C.1或-1D.3或-17.（单选题.5分）已知某地区初中水平及以上的学生人数如图所示．为了解该地区学生对新型冠状病毒的了解程度.拟采用分层抽样的方法来进行调查．若高中生需抽取30名学生.则抽取的学生总人数为（）A.40B.60C.90D.1208.（单选题.5分）在平面直角坐标系xOy中.圆C：x2+y2=3.T（2.m）.若圆C上存在以M为中点的弦AB两点.且AB=2MT.则实数m的取值范围是（）A. [−√2，0]B. (0，√2]C. [−√2，√2]D. (−√2，√2)9.（多选题.5分）对于实数a.b.c.下列说法正确的是（）A.若a＞b＞0.则1a ＜1bB.若a＞b.则ac2≥bc2C.若a＞0＞b.则ab＜a2D.若c＞a＞b.则ac−a ＞bc−b10.（多选题.5分）某城市有甲、乙两种报纸供市民订阅.记事件A为“只订甲报纸”.事件B为“至少订一种报纸”.事件C为“至多订一种报纸”.事件D为“不订甲报纸”.事件E为“一种报纸也不订”．下列命题正确的是（）A.A与C是互斥事件B.B与E是互斥事件.且是对立事件C.B与C不是互斥事件D.C与E是互斥事件11.（多选题.5分）设正实数m、n满足m+n=2.则下列说法正确的是（）A. 1m +2n的最小值为3+2√22B. √mn2的最大值为12C. √m+√n的最小值为2D.m2+n2的最小值为212.（多选题.5分）如图A（2.0）.B（1.1）.C（-1.1）.D（-2.0）. CD̂是以OD为直径的圆上一段圆弧. CB̂是以BC为直径的圆上一段圆弧. BÂ是以OA为直径的圆上一段圆弧.三段弧构成曲线Ω．则下面说法正确的是（）A.曲线Ω与x轴围成的面积等于32πB. CB̂与BÂ的公切线方程为：x+y−1−√2=0C. AB̂所在圆与CB̂所在圆的交点弦方程为：x-y=0D.用直线y=x截CD̂所在的圆.所得的弦长为√2213.（填空题.5分）若tan(α+π4)=−6 .则tanα=___ ．14.（填空题.5分）已知变量x.y线性相关.由观测数据算得样本的平均数x=4，y=5 .线性回归方程ŷ=bx+a中的系数b.a满足b+a=4.则线性回归方程为___ ．15.（填空题.5分）在△ABC中.角A.B.C满足sin2A-sin2B=2sinAsinBsinC.则1tanA −1tanB=___ ．16.（填空题.5分）已知实数x.y满足：xy-y=1.且0＜x＜1．则1x +2y−2的取值范围是___ ．17.（问答题.10分）过点M（3.4）作直线l.当l的斜率为何值时．（1）直线l将圆（x+1）2+（y-2）2=4平分？（2）直线l与圆（x+1）2+（y-2）2=4相切？18.（问答题.10分）在锐角△ABC中. a=12.______.求△ABC的周长l的取值范围．① a⃗=(−cos A2，−sin A2)，b⃗⃗=(cos A2，−sin A2) .且a⃗•b⃗⃗=−12．② （c-2b）cosA+acosC=0．③ f(x)=cosxcos(x−π3)+34，f(A)=54．注：这三个条件中选一个.补充在上面的问题中并对其进行求解.如果选择多个条件分别解答.按第一个解答计分．19.（问答题.12分）平面四边形ABCD.点A.B.C均在半径为2的圆上.且∠BAC=π6．（1）求BC的长；（2）若BD=3.∠DBC=2∠BCD.求△BCD的面积．20.（问答题.12分）为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求.某市政府积极鼓励居民节约用水．计划调整居民生活用水收费方案.拟确定一个合理的月用水量标准x （吨）.一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费.超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况.通过抽样.获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨）.将数据按照[0.1）.[1.2）.….[8.9）分成9组.制成了如图所示的频率分布直方图.其中0.4a=b．（1）求直方图中a.b的值.并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）；（2）设该市有40万居民.估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数.并说明理由；（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨）.估计x的值.并说明理由．21.（问答题.12分）在平面直角坐标系xOy 中.已知以M 为圆心的圆M ：x 2+y 2+12x+14y+60=0及其上一点A （-2.-4）．（1）设圆N 与y 轴相切.与圆M 外切.且圆心N 在直线y=-7上.求圆N 的方程； （2）设垂直于OA 的直线l 与圆M 相交于B.C 两点.且 BC =15OA .求直线l 的方程； （3）设点T （0.t ）满足：存在圆M 上的两点P.Q.使得 TQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−TP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=TA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .求实数t 的取值范围22.（问答题.14分）已知函数f （x ）=cosx ． （1）若α.β为锐角. f (α+β)=−√55. tanα=43 .求cos2α及tan （β-α）的值；（2）函数g （x ）=f （2x ）-3.若对任意x 都有g 2（x ）≤（2+a ）g （x ）-2-a 恒成立.求实数a的最大值；.α.β∈（0.π）.求α及β的值．（3）已知f(α)+f(β)−f(α+β)=322019-2020学年江苏省无锡市锡山区天一中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22.满分：1501.（单选题.5分）sin20°cos（-10°）+cos20°sin10°=（）A. −12B. 12C. −√32D. √32【正确答案】：B【解析】：由已知利用诱导公式.两角和的正弦函数公式.特殊角的三角函数值即可求解．【解答】：解：sin20°cos（-10°）+cos20°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin（20°+10°）=sin30°．= 12故选：B．【点评】：本题主要考查了诱导公式.两角和的正弦函数公式.特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用.属于基础题．2.（单选题.5分）用数字1、2、3组成没有重复数字的三位数.其中三位数是奇数的概率为（）A. 12B. 13C. 23D. 14【正确答案】：C【解析】：基本事件总数n= A33 =6．其中三位数是奇数包含的基本事件个数m= C21A22 =4.由此能求出其中三位数是奇数的概率．【解答】：解：用数字1、2、3组成没有重复数字的三位数.基本事件总数n= A33 =6．其中三位数是奇数包含的基本事件个数m= C21A22 =4.∴其中三位数是奇数的概率为p= mn =46=23．故选：C．【点评】：本题考查概率的求法.考查列举法等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．3.（单选题.5分）用符号表示“点A在直线l上.l在平面α内”.正确的是（）A.A∈l.l∉αB.A⊂l.l⊄αC.A⊂l.l∈αD.A∈l.l⊂α【正确答案】：D【解析】：根据空间中点、线、面的位置关系的符号语言求解即可．【解答】：解：点与线的位置关系用“∈”或“∉”表示.线与面的位置关系用“⊂”或“⊄”表示. 则“点A在直线l上.l在平面α内”可用A∈l.l⊂α表示．故选：D．【点评】：本题考查空间中点、线、面的位置关系及符号表示.属于基础题．4.（单选题.5分）已知一组数据5.5.5.4.5.1.4.8.4.7.则该组数据的方差为（）A.0.4B.0.3C.0.2D.0.1【正确答案】：D【解析】：先求出平均数.再求出该组数据的方差．【解答】：解：一组数据5.5.5.4.5.1.4.8.4.7. ∴平均数为 x = 15 （5.5+5.4+5.1+4.8+4.7）=5.1． ∴该组数据的方差为：S 2= 15 [（5.5-5.1）2+（5.4-5.1）2+（5.1-5.1）2+（4.8-5.1）2+（4.7-5.1）2]=0.1． 故选：D ．【点评】：本题考查方差的求法.考查平均数、方差的性质等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．5.（单选题.5分）过三点A （1.3）.B （6.-2）.C （1.-7）的圆交x 轴于M 、N 两点.则MN=（ ） A.2 B. 2√21 C.4 D. 4√21 【正确答案】：B【解析】：设出圆的一般方程.由已知可得关于D 、E 、F 的方程组.求得D 、E 、F 的值.得到圆的方程.取y=0得到关于x 的一元二次方程.再由弦长公式及根与系数的关系求解．【解答】：解：设过三点A （1.3）.B （6.-2）.C （1.-7）的圆的方程为： x 2+y 2+Dx+Ey+F=0．则 {1+9+D +3E +F =036+4+6D −2E +F =01+49+D −7E +F =0 .解得D=-2.E=4.F=-20．∴圆的方程为x 2+y 2-2x+4y-20=0. 取y=0.得x 2-2x-20=0.∴MN=|x 1-x 2|= √(x 1+x 2)2−4x 1x 2 = √22−4×(−20)=2√21 ． 故选：B ．【点评】：本题考查圆的一般方程的求法.考查方程组的解法.训练了弦长公式的求法.是基础题． 6.（单选题.5分）已知两条直线l 1：（m-2）x+3y+1=0.l 2：x+my+1=0平行.则m=（ ） A.3 B.-1 C.1或-1 D.3或-1【正确答案】：B【解析】：由题意利用两条直线平行的性质.求得m的值．【解答】：解：∵已知两条直线l1：（m-2）x+3y+1=0.l2：x+my+1=0平行.∴ m−21 = 3m≠ 11.求得m=-1.故选：B．【点评】：本题主要考查两条直线平行的性质.属于基础题．7.（单选题.5分）已知某地区初中水平及以上的学生人数如图所示．为了解该地区学生对新型冠状病毒的了解程度.拟采用分层抽样的方法来进行调查．若高中生需抽取30名学生.则抽取的学生总人数为（）A.40B.60C.90D.120【正确答案】：C【解析】：利用分层抽样.可知从高中生中抽取的比例与从整体中抽取的比例相同.列出关系式.即可解得抽取的总人数．【解答】：解：设抽取的学生总人数为x.则307200=x21600.解得x=90.故选：C．【点评】：本题主要考查分层抽样.属于基础题．8.（单选题.5分）在平面直角坐标系xOy中.圆C：x2+y2=3.T（2.m）.若圆C上存在以M为中点的弦AB两点.且AB=2MT.则实数m的取值范围是（）A. [−√2，0]B. (0，√2]C. [−√2，√2]D. (−√2，√2)【正确答案】：C【解析】：根据条件把问题转化为圆C上存在AB两点.使∠ATB=90°.即过T到向圆引的两条切线的夹角不小于90°.即圆心（0.0）到点T（2.m）的距离不大于√6 .进而得到答案．【解答】：解：本题的实质是圆C上存在AB两点.使∠ATB=90°.即过T到向圆引的两条切线的夹角不小于90°.即圆心（0.0）到点T（2.m）的距离不大于√6 .即√22+m2≤ √6 .解得：m∈[- √2 . √2 ]．故选：C．【点评】：本题考查直线与圆、圆与圆的位置关系.考查轨迹方程.正确转化是关键．9.（多选题.5分）对于实数a.b.c.下列说法正确的是（）A.若a＞b＞0.则1a ＜1bB.若a＞b.则ac2≥bc2C.若a＞0＞b.则ab＜a2D.若c＞a＞b.则ac−a ＞bc−b【正确答案】：ABC【解析】：利用不等式的基本性质即可判断出正误．【解答】：解：A．∵a＞b＞0.∴ aab ＞bab. 1a＜1b.正确．B．∵a＞b.c2≥0.则ac2≥bc2.正确．C．a＞0＞b.则ab＜a2.正确．D．c＞a＞b.则0＜c-a＜c-b.∴ 1c−a ＞1c−b＞0.但是a.b与0的关系不确定.虽然a＞b.无法判断a c−a ＞bc−b的正误．综上可得：ABC正确．故选：ABC．【点评】：本题考查了不等式的基本性质.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．10.（多选题.5分）某城市有甲、乙两种报纸供市民订阅.记事件A为“只订甲报纸”.事件B为“至少订一种报纸”.事件C为“至多订一种报纸”.事件D为“不订甲报纸”.事件E为“一种报纸也不订”．下列命题正确的是（）A.A与C是互斥事件B.B与E是互斥事件.且是对立事件C.B与C不是互斥事件D.C与E是互斥事件【正确答案】：BC【解析】：根据互斥事件和对立事件的概念即可判断．【解答】：解：事件A为“只订甲报纸”.事件B为“至少订一种报纸”.包含为订甲报纸.订乙报纸.订甲乙两种报纸.事件C为“至多订一种报纸”包含订甲报纸或订乙报纸.事件D为“不订甲报纸”.事件E为“一种报纸也不订”．A．A与C不互斥不对立事件.所以A与C是互斥事件.不正确；B．B与E是互斥事件.且是对立事件.正确；C．B与C不互斥不对立事件.所以B与C不是互斥事件正确；D．C与E既不互斥也不对立事件．所以C与E是互斥事件不正确；故选：BC．【点评】：本题考查互斥事件和对立事件.分清互斥事件和对立事件之间的关系.互斥事件是不可能同时发生的事件.对立事件是指一个不发生.另一个一定发生的事件．11.（多选题.5分）设正实数m、n满足m+n=2.则下列说法正确的是（）A. 1m +2n的最小值为3+2√22B. √mn2的最大值为12C. √m+√n的最小值为2D.m2+n2的最小值为2 【正确答案】：ABD【解析】：m.n＞0.m+n=2.利用“乘1法”可得：1m + 2n= 12（m+n）（1m+ 2n）= 12（3+ nm+2mn）.再利用基本不等式的性质可得其最小值．利用基本不等式的性质进而判断出BCD的正误．【解答】：解：m.n＞0.m+n=2.则1m + 2n= 12（m+n）（1m+ 2n）= 12（3+ nm+ 2mn）≥ 12（3+2 √nm •2mn）= 3+2√22.当且仅当n= √2 m=4-2 √2时成立．m+n=2≥2 √mn .解得mn≤1．∴ √mn2≤12. (√m+√n)2 =m+n+2 √mn≤2+2.∴ √m + √n≤2．m2+n2≥ (m+n)22=2.当且仅当m=n=1时取等号．综上可得：ABD正确．故选：ABD．【点评】：本题考查了基本不等式的性质.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．12.（多选题.5分）如图A（2.0）.B（1.1）.C（-1.1）.D（-2.0）. CD̂是以OD为直径的圆上一段圆弧. CB̂是以BC为直径的圆上一段圆弧. BÂ是以OA为直径的圆上一段圆弧.三段弧构成曲线Ω．则下面说法正确的是（）A.曲线Ω与x轴围成的面积等于32πB. CB̂与BÂ的公切线方程为：x+y−1−√2=0C. AB̂所在圆与CB̂所在圆的交点弦方程为：x-y=0D.用直线y=x截CD̂所在的圆.所得的弦长为√22【正确答案】：BC【解析】：首先利用分割法的应用求出曲线Ω与x轴围成的曲变形的面积.进一步利用点到直线的距离和直线的平行的应用求出圆的公切线的方程.最后利用垂径定理的应用和勾股定理的应用求出结果．【解答】：解：根据题意：圆弧AB表示为以（1.0）为圆心.1为半径的圆的周长的14．圆弧BC表示为以（0.1）为圆心.1为半径的圆的周长的12．圆弧CD是以（-1.0）为圆心.1为半径的圆的周长的14．所以把图形进行分割.如图所示：① 所以曲线Ω与x轴围成的图形的面积为S= 12•π•12+14•π•12+14•π•12+1×2=π+2 .故选项A错误．② 由于圆弧AB表示为以（1.0）为圆心.1为半径的圆．圆弧BC表示为以（0.1）为圆心.1为半径的圆．所以AB̂和BĈ所在的圆的公切线平行于经过（1.0）和（0.1）的直线.所以设直线的斜率k=-1.设直线的方程为x+y+b=0.所以（0.1）到直线x+y+b=0的距离d= |1+b|√2=1 .解得b= −√2−1或√2−1 .根据图象得：公切线的方程为x+y- √2−1=0 .故选项B正确．③ 以AB̂和所在的圆的方程为（x-1）2+y2=1. BĈ所在的圆的方程为x2+（y-1）2=1.两圆相减得：x-y=0．④ CD̂所在的圆的方程为（x+1）2+y2=1.所以圆心（-1.0）到直线x-y=0的距离d= 1√2=√22.所以所截的弦长为l=2 √1−(√22)2=√2 .故选项D错误．故选：BC．【点评】：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换.点到直线的距离公式的应用.勾股定理的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题型．13.（填空题.5分）若tan(α+π4)=−6 .则tanα=___ ．【正确答案】：[1] 75【解析】：利用两角和的正切函数公式.特殊角的三角函数值即可化简求值得解．【解答】：解：∵ tan (α+π4)=−6 .即 tanα+11−tanα =-6. ∴解得tanα= 75． 故答案为： 75 ．【点评】：本题主要考查了两角和的正切函数公式.特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用.考查了转化思想.属于基础题．14.（填空题.5分）已知变量x.y 线性相关.由观测数据算得样本的平均数 x =4，y =5 .线性回归方程 y ̂=bx +a 中的系数b.a 满足b+a=4.则线性回归方程为___ ． 【正确答案】：[1] y ̂=13x +113【解析】：根据回归直线方程过样本中心点.结合题意得出关于a 、b 的方程组.求解即可．【解答】：解：线性回归方程 y ̂=bx +a 过样本中心点（4.5）. 所以4b+a=5； 又a+b=4.解方程组 {4b +a =5a +b =4 .得b= 13.a= 113.所以线性回归方程为： y ̂=13x +113． 故答案为： y ̂=13x +113．【点评】：本题考查了线性回归方程的应用问题.是基础题．15.（填空题.5分）在△ABC 中.角A.B.C 满足sin 2A-sin 2B=2sinAsinBsinC.则 1tanA −1tanB =___ ． 【正确答案】：[1]-2【解析】：sinC=sin[π-（A+B ）]=sin （A+B ）=sinAcoB+cosAsinB.代入化简得（1-1tanB ）2=（1+ 1tanA ）2.结合余弦定理和正弦定理整理得到sin （A-B ）=2sinAsinB.所以 1tanA +1tanB =0 或1tanA −1tanB=-2.由题知sin 2A ＞sin 2B.即 |1tanA | ＜| 1tanB|. ① 当A.B 都是锐角时.1tanA ＜ 1tanB. 1tanA −1tanB＜0 ． ② 当A 是锐角.B 是钝角时. 1tanA ＜- 1tanB . 1tanA +1tanB ＜0. ③ 当A 是钝角.B是锐角时.- 1tanA ＜ 1tanB . 1tanA +1tanB ＞0.所以 1tanA −1tanB =-2.【解答】：解：sin 2A-sin 2B=2sinAsinBsinC. sin 2A-sin 2B=2sinAsinBsin[π-（A+B ）].sin2A-sin2B=2sinAsinBsin（A+B）.sin2A-sin2B=2sin2AsinBcosB+2sinAsin2BcosA.sin2A-sin2B=sin2Asin2B+sin2Bsin2A.sin2A-sin2Asin2B=sin2B+sin2Bsin2A.sin2A（1-sin2B）=sin2B（1+sin2A）.sin2A（sin2B+cos2B-sin2B）=sin2B（sin2A+cos2A+sin2A）. sin2A（sinB-cosB）2=sin2B（sinA+cosA）2(sinB−cosB)2sin2B =(sinA+cosA)2sin2A（1- 1tanB ）2=（1+ 1tanA）2.所以1- 1tanB =1+ 1tanA或1- 1tanB=-（1+ 1tanA）.所以1tanA +1tanB=0或1tanA−1tanB=-2.因为sin2A-sin2B=2sinAsinBsinC＞0. 所以sin2A＞sin2B.即sin 2Asin2A+cos2A =sin2Bsin2B+cos2Bsin2Asin2A+cos2A＞sin2Bsin2B+cos2B11+1tan2A ＞11+1tan2B.|1 tanA |＜| 1tanB|.① 当A.B都是锐角时. 1tanA ＜1tanB. 1tanA−1tanB＜0．② 当A是锐角.B是钝角时. 1tanA ＜- 1tanB. 1tanA+1tanB＜0.③ 当A是钝角.B是锐角时.- 1tanA ＜1tanB. 1tanA+1tanB＞0.所以1tanA −1tanB=-2.故答案为：-2．【点评】：本题考查三角恒等变换的应用.属于中档题．16.（填空题.5分）已知实数x.y满足：xy-y=1.且0＜x＜1．则1x +2y−2的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（1.+∞）【解析】：利用所给的关系式.二元换一元.再由0＜x＜1．解出y的范围.进而求出1x +2y−2的取值范围．【解答】：解：由xy-y=1可知.x=y+1y .所以 1x+2y−2=y y+1+2y−2 =y+1−1y+1+2y−2=1+1−1−y +1y−2 =1+（ 1−1−y+1y−2 ）（-1-y+y-2）（- 13 ）=1+（- 13）（1+1+ y−2−1−y+−1−yy−2）. 由0＜x ＜1.可得y ＜-1.所以令t= y−2−1−y ＜-1.所以 y−2−1−y +−1−yy−2＜-2.所以1+（- 13 ）（1+1+y−2−1−y+−1−yy−2 ）＞1. 即 1x +2y−2 的取值范围为（1.+∞）. 故答案为：（1.+∞）．【点评】：本题考查了不等式的性质、基本不等式的性质、变形转化思想方法.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．17.（问答题.10分）过点M （3.4）作直线l.当l 的斜率为何值时． （1）直线l 将圆（x+1）2+（y-2）2=4平分？ （2）直线l 与圆（x+1）2+（y-2）2=4相切？【正确答案】：【解析】：（1）求出圆心坐标.再由两点求斜率公式求解； （2）设出直线方程.由圆心到直线的距离等于半径列式求解．【解答】：解：（1）圆（x+1）2+（y-2）2=4的圆心坐标为（-1.2）. 若直线l 将圆（x+1）2+（y-2）2=4平分.则直线l 过圆心. 又l 过点M （3.4）.则直线l 的斜率为 4−23−(−1)=12 ；（2）设直线l 的斜率为k.则直线方程为y-4=k （x-3）.即kx-y-3k+4=0． 由 √k 2+1=2 .解得k=0或k= 43．【点评】：本题考查直线与圆位置关系的应用.考查点到直线距离公式的应用.考查计算能力.是基础题．18.（问答题.10分）在锐角△ABC 中. a =12 .______.求△ABC 的周长l 的取值范围． ① a ⃗=(−cos A2，−sin A2)，b ⃗⃗=(cos A2，−sin A2) .且 a ⃗•b ⃗⃗=−12 ． ② （c-2b ）cosA+acosC=0．③ f (x )=cosxcos (x −π3)+34，f (A )=54 ．注：这三个条件中选一个.补充在上面的问题中并对其进行求解.如果选择多个条件分别解答.按第一个解答计分．【正确答案】：【解析】：根据选择的条件.即可选择对应的知识进行转化.即可求出周长的取值范围．【解答】：解：（1）若选择条件 ① . a ⃗=(−cos A 2，−sin A2)，b ⃗⃗=(cos A 2，−sin A 2) .且 a ⃗•b ⃗⃗=−12. 则cos 2 A2 -sin 2 A2 =cosA= 12 . ∵0＜A ＜π.所以A= π3．若选择条件 ② .则（c-2b ）cosA+acosC=0 由正弦定理可得.（sinC-2sinB ）cosA+sinAcosC=0. 即sin （C+A ）-2sinBcosA=0.解得cosA= 12 . ∵0＜A ＜π.所以A= π3 ．若选择条件 ③ . f (x )=cosxcos (x −π3)+34，f (A )=54 ． f （x ）= 12 [cos （2x- π3 ）+cos π3 ]+ 34 = 12 cos （2x- π3 ）+1 由f （A ）= 54 .可得cos （2A- π3 ）= 12 .又A 为三角形内角. ∴2A - π3= π3.所以A= π3．无论选哪个条件.结果都是A= π3 ．（2）由正弦定理可得. asinA=b sinB=c sinC=12√32=√33. 即b= √33 sinB.c= √33 sinC.所以b+c= √33（sinA+sinB）= √33×2sin π3cos A−B2=cos（A- π3）.而0＜A＜π2 .0＜B= 2π3-A＜π2.所以π6＜A＜π2.即−π6＜A- π3＜π6.cos（A- π3）∈（12.1].l=a+b+c∈（1. 32]．故周长l的取值范围为（1. 32]．【点评】：本题主要考查利用正弦定理解三角形.以及利用三角函数的性质求三角形周长的范围.属于中档题．19.（问答题.12分）平面四边形ABCD.点A.B.C均在半径为2的圆上.且∠BAC=π6．（1）求BC的长；（2）若BD=3.∠DBC=2∠BCD.求△BCD的面积．【正确答案】：【解析】：（1）设△ABC外接圆半径为R.则由正弦定理可求得BC=2Rsin∠BAC．（2）由∠DBC=2∠BCD及正弦定理得CD=2BD•cos∠BCD.再根据余弦定理得CD2=15.cos∠CBD=- 16 .sin ∠CBD=√356.由此能求出△BCD的面积．【解答】：解：（1）由题意得△ABC外接圆半径R=2. ∠BAC=π6.由正弦定理得BC=2Rsin∠BAC=4× 12=2.故BC的长为2．（2）在△BCD中.∵∠DBC=2∠BCD.∴sin∠DBC=sin2∠BCD=2sin∠BCDcos∠BCD.则由正弦定理.得CD=2BD•cos∠BCD.由余弦定理.得cos∠BCD= BC 2+CD2−BD2 2•BC•CD.∴CD= BD(BC2+CD2−BD2)BC•CD.又BC=2.BD=3.解得CD2=15.由余弦定理.得cos∠CBD= BD 2+BC2−CD22BD•BC= 9+2−152×3×2=- 16.∴sin∠CBD= √1−(−16)2= √356．∴△BCD的面积S△BCD= 12×BC×BD×sin∠CBD = √352．【点评】：本题考查三角形的边长、三角形面积的求法.正弦定理、余弦定理的应用等基础知识.考查运算求解能力.是中档题．20.（问答题.12分）为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求.某市政府积极鼓励居民节约用水．计划调整居民生活用水收费方案.拟确定一个合理的月用水量标准x （吨）.一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费.超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况.通过抽样.获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨）.将数据按照[0.1）.[1.2）.….[8.9）分成9组.制成了如图所示的频率分布直方图.其中0.4a=b．（1）求直方图中a.b的值.并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）；（2）设该市有40万居民.估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数.并说明理由；（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨）.估计x的值.并说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）由频率分布直方图中小矩形面积之和为1.列出方程组.能求出a.b．由频率分布直方图能估计该市居民用水的平均数．（2）由频率分布直方图先求出全市居民中月均用水量不低于2吨的频率.由此能求出全市居民中月均用水量不低于2吨的人数．（3）前6组的频率之和是0.88＞0.85.而前5组的频率之和为0.73＜0.85.从而5≤x＜6.由0.15×（x-5）=0.85-0.73.能估计月用水量标准为5.8吨时.85%的居民每月的用水量不超过标准．【解答】：解：（1）由题意得： {0.4a =b0.04+0.08+a +0.2+0.26+a +b +0.04+0.02=1 .解得a=0.15.b=0.06．由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数为：0.5×0.04+1.5×0.08+2.5×0.15+3.5×0.20+4.5×0.26+5.5×0.15+6.5×0.06+7.5×0.04+8.5×0.02≈4.07．（2）由频率分布直方图得：全市居民中月均用水量不低于2吨的频率为：1-0.04-0.08=0.88. ∴全市居民中月均用水量不低于2吨的人数为： 400000×（1-0.04-0.08）=352000．（3）∵前6组的频率之和是0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88＞0.85. 而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73＜0.85. ∴5≤x ＜6.由0.15×（x-5）=0.85-0.73.解得：x=5.8.因此.估计月用水量标准为5.8吨时.85%的居民每月的用水量不超过标准．【点评】：本题考查平均数、频数、用水量标准的求法.考查频率分布直方图等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．21.（问答题.12分）在平面直角坐标系xOy 中.已知以M 为圆心的圆M ：x 2+y 2+12x+14y+60=0及其上一点A （-2.-4）．（1）设圆N 与y 轴相切.与圆M 外切.且圆心N 在直线y=-7上.求圆N 的方程； （2）设垂直于OA 的直线l 与圆M 相交于B.C 两点.且 BC =15OA .求直线l 的方程； （3）设点T （0.t ）满足：存在圆M 上的两点P.Q.使得 TQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−TP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=TA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .求实数t 的取值范围【正确答案】：【解析】：（1）根据题意得圆M 的圆心坐标为（-6.-7）.半径r 为 5.设圆N 的圆心的坐标为（a.-7）.a ＜0由题意可得半径为-a.且|a+6|=-a+5.解得a.进而得到圆N 的方程；（2）由题意可得k OA .且|OA|.设直线l 的方程为：y=- 12 x+m.圆M 的圆心坐标到直线l 的距离d.得弦长|BC|=2 √r 2−d 2 .代入 BC =15OA .所以2 √25−(√5)2= 15 •2√5 .解得m.进而得直线l 的方程．（3）根据题意得 PQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = TA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .| PQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=| TA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= √(t +4)2+22 .因为| PQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤10.即 √(t +4)2+22 ≤10.解得实数t 的取值范围．【解答】：解：（1）因为以M 为圆心的圆M ：x 2+y 2+12x+14y+60=0的圆心坐标为（-6.-7）.半径r 为 5.由题意设圆N 的圆心的坐标为（a.-7）.a ＜0由题意可得半径为-a.且|a+6|=-a+5.解得：a=- 12 . 所以圆N 的方程为：（x+ 12 ）2+（y+7）2= 14 ；（2）由题意可得k OA = −4−2=2.且|OA|= √(−2)2+(−4)2 =2 √5 .所以由题意可得直线l 的斜率为- 12 .设直线l 的方程为：y=- 12 x+m.即x+2y-2m=0.圆M 的圆心坐标到直线l 的距离d= √5.所以弦长|BC|=2 √r 2−d 2 =2 √25−(√5)2 . 因为 BC =15OA .所以2 √25−(√5)2= 15•2√5 .解得m=-10± √31 .所以直线l 的方程为：y=- 12x -10+ √31 或y=- 12x -10- √31 ． （3）因为 TQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−TP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=TA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .所以 PQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = TA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 即| PQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=| TA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= √(t +4)2+22 . 又| PQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤10.即 √(t +4)2+22 ≤10.解得-4-4 √6 ≤t≤-4+4 √6 . 故实数t 的取值范围为[-4-4 √6 .-4+4 √6 ．【点评】：本题考查直线.圆的方程.以及直线与圆的相交问题.属于中档题． 22.（问答题.14分）已知函数f （x ）=cosx ． （1）若α.β为锐角. f (α+β)=−√55. tanα=43 .求cos2α及tan （β-α）的值；（2）函数g （x ）=f （2x ）-3.若对任意x 都有g 2（x ）≤（2+a ）g （x ）-2-a 恒成立.求实数a 的最大值；（3）已知 f (α)+f (β)−f (α+β)=32.α.β∈（0.π）.求α及β的值．【正确答案】：【解析】：（1）结合余弦的二倍角公式和弦化切的思想.可得cos2α=cos 2α-sin 2α= cos 2α−sin 2αcos 2α+sin 2α = 1−tan 2α1+tan 2α .代入已知数据计算即可；由于α.β为锐角.所以2α∈（0.π）.α+β∈（0.π）.再结合同角三角函数的平方关系和商数关系.可依次求得tan2α= −247.tan （α+β）=-2.然后利用拼凑角的思想和正切的两角差公式可知tan（β-α）=tan （α+β-2α）= tan (α+β)−tan2α1+tan (α+β)tan2α .代入已得数据进行计算即可；（2）g （x ）=f （2x ）-3=cos2x-3.原问题可转化为（cos2x-4）a≥（cos2x-3）2-2（cos2x-3）+2恒成立.设cos2x-4=t.则t∈[-5.-3].所以at≥（t+1）2-2（t+1）+2=t 2+1.则a≤t+ 1t．令y=t+ 1 t .结合对勾函数的性质即可得函数y 的最小值.从而得解；（3）根据同角三角函数的平方关系.结合配方法对等式 f (α)+f (β)−f (α+β)=32 进行变形.可推出sinα-sinβ=0且cosα+cosβ-1=0.再分α=β和α=π-β两种情况.分类讨论即可．【解答】：解：（1）∵tanα= 43 .∴cos2α=cos 2α-sin 2α= cos 2α−sin 2αcos 2α+sin 2α = 1−tan 2α1+tan 2α = 1−1691+169 = −725 . ∵α.β为锐角.即 α，β∈(0，π2) .∴2α∈（0.π）.α+β∈（0.π）． ∴sin2α= √1−cos 22α = 2425 .∴tan2α= sin2αcos2α=−247. ∵f （x ）=cosx.∴f （α+β）=cos （α+β）= −√55. ∴sin （α+β）= √1−cos 2(α+β) =2√55 .∴tan （α+β）= sin (α+β)cos (α+β)=-2. ∴tan （β-α）=tan （α+β-2α）= tan (α+β)−tan2α1+tan (α+β)tan2α = −2+2471+2×247= 211 ． 综上.cos2α= −725 .tan （β-α）= 211． （2）g （x ）=f （2x ）-3=cos2x-3.∵对任意x 都有g 2（x ）≤（2+a ）g （x ）-2-a 恒成立.∴（cos2x-3）2≤（2+a ）（cos2x-3）-2-a 恒成立.即（cos2x-4）a≥（cos2x-3）2-2（cos2x-3）+2恒成立.设cos2x-4=t.则t∈[-5.-3].∴at≥（t+1）2-2（t+1）+2=t 2+1.则a≤t+ 1t． 设y=t+ 1 t .由对勾函数的性质可知.函数y 在区间[-5.-3]上为增函数. ∴y=t+ 1 t ≥-5- 15 = −265 .∴a≤ −265. 故a 的最大值为 −265． （3）∵ f (α)+f (β)−f (α+β)=32 . ∴cosα+cosβ-cos （α+β）= 32.∴cosα+cosβ= 32 +cos （α+β）= 12 + 12 （sin 2α+cos 2α）+ 12 （sin 2β+cos 2β）+cosαcosβ-sinαsinβ = 12 + 12 （sin 2α-2sinαsinβ+sin 2β）+ 12 （cos 2α+2cosαcosβ+cos 2β） = 12 + 12 （sinα-sinβ）2+ 12 （cosα+cosβ）2.∴ 12 （sinα-sinβ）2+ 12 [（cosα+cosβ）2-2（cosα+cosβ）+1]=0 即 12 （sinα-sinβ）2+ 12 （cosα+cosβ-1）2=0. ∴sinα-sinβ=0且cosα+cosβ-1=0.当α=β时.cosα=cosβ= 12 .∵α.β∈（0.π）.∴α=β= π3；当α=π-β时.cosα=-cosβ与cosα+cosβ-1=0相矛盾.不符合题意．综上所述.α=β= π3．【点评】：本题主要考查三角恒等变换的混合运算.还涉及函数的恒成立问题.用到了拼凑角和弦化切的思想、参变分离法、对勾函数的性质等.覆盖的知识面非常广.有一定的综合性.考查学生灵活运用知识的能力、逻辑推理能力和运算能力.属于难题．。
2019-2020学年江苏省无锡一中高一(下)期中数学试卷(有答案解析)
2019-2020学年江苏省无锡一中高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.两条异面直线是指A. 空间中两条不相交的直线B. 不同在任何一个平面内的两条直线C. 分别在两个平面内的两条直线D. 平面内的一条直线和平面外的一条直线2.如果，，那么直线不通过A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知两条直线m，n和平面，那么下列命题中的真命题为A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则或4.一个球的表面积是，则它的体积是A. B. C. D.5.若三条直线，和相交于一点，则A. B. C. 2 D.6.若三角形三边长分别是4，5，6，则这个三角形的形状是A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定7.平行六面体中，既与AB共面也与共面的棱的条数为A. 3B. 4C. 5D. 68.在中，，则是A. 等边三角形B. 等腰直角三角形C. 等腰三角形或直角三角形D. 两直角边互不相等的直角三角形9.正四棱锥相邻二侧面形成的二面角为，则的取值范围是A. 一定是锐角B. 一定是钝角C. 可能是直角D. 可能是锐角，钝角，但不是直角10.在中，若，，则角C的取值范围是A. B. C. D.11.从点向圆引切线，则切线长的最小值为A. B. 5 C. D. 312.若的三边为a，b，c，它的面积为，则角C等于A. B. C. D.二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13.用一张长8cm、宽4cm的矩形铁皮围成圆柱形的侧面，则这个圆柱的体积为______．14.已知在中，，，，若点D在BC上，且，则AD的长为______．15.在平面直角坐标系xOy中，已知圆：与为圆心的圆相交于，两点，且满足，则实数m的值为______．三、解答题（本大题共7小题，共75.0分）16.直线的倾斜角为______．17.在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知．求角B；若，，求sin C的值．18.如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面平面ABE，，，F为CE的中点，求证：平面BDF；平面平面ACE．19.已知四棱锥中，底面ABCD，，底面ABCD是边长为的正方形，E是PD的中点．求点A到平面PDC的距离；求异面直线AE与PC所成角的余弦值．20.已知直线l经过点．且原点到直线l的距离为2，求直线l的方程；若直线l被两条相交直线和所截得的线段恰被点P平分，求直线l的方程．21.某人沿一条折线段组成的小路前进，从A到B，方位角从正北方向顺时针转到AB方向所成的角是，距离是1km；从B到C，方位角是，距离是1km；从C到D，方位角是，距离是．求出从A到C的方位角；计算从A到D的距离．22.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的圆心在y轴右侧，原点O和点都在圆C上，且圆C在x轴上截得的线段长度为3．求圆C的方程；若M，N为圆C上两点，若四边形MONP的对角线MN的方程为，求四边形MONP面积的最大值；过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B两点，若直线PA，PB的斜率分别为，，且，试判断直线AB的斜率是否为定值，并说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：在A中，空间中的两条平行线不是异面直线，故A错误；在B中，由异面直线的定义得不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线，故B正确；在C中，分别在两个平面内的直线有可能相交，也有可能平行，故C错误；在D中，平面内的一条直线和平面外的一条直线有可能相交，也有可能平行，故D错误．故选：B．利用异面直线的定义和性质求解．本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意异面直线的性质的合理运用．2.答案：B解析：解：直线化为：．，，假设，则，，则直线不通过第二象限．假设，则，，则直线不通过第二象限．故选：B．直线化为：由，，对C分类讨论即可得出．本题考查了直线斜率与截距的意义、分类讨论，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：D解析：解：由两条直线m，n和平面，知：对于A，若，，则或，故A错误；对于B，若，，则m与n相交、平行或异面，故B错误；对于C，若，，则或，故C错误；对于D，若，，则由线面平行的性质定理得或，故D正确．故选：D．对于A，或；对于B，m与n相交、平行或异面；对于C，或；对于D，由线面平行的性质定理得或．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．4.答案：D解析：解：设球的半径为R，则球的表面积，，它的体积故选：D．利用球的表面积公式求出球的半径，代入球的体积公式计算即可．本题考查了球的表面积，体积公式及应用，属于基础题．5.答案：B解析：解：由得交点为，代入，得．故选：B．先联立已知的两条直线方程求出两直线的交点，然后把交点坐标代入第三条直线中即可求出k的值．考查学生会利用联立两条直线的方程组成方程组求交点坐标，理解直线交点的意义．6.答案：A解析：解：三角形三边长分别是4，5，6，设，，，可得因此，三角形三个角满足，C为最大角，得，而为锐角，从而A、B均为锐角所以三角形ABC的形状是：锐角三角形故选：A．设三角形ABC中，，，，可得，所以满足然后利用余弦定理，计算出角C的余弦为正数，得到角C为锐角，可得三角形的三个角均为锐角，从而证明出为锐角三角形．本题借助于一个三角形形状的证明，着重考查了余弦定理及其应用，和三角函数的定义域、值域等知识点，属于基础题．7.答案：C解析：【分析】根据平行六面体的结构特征和平面的基本性质进行判断，即找出与AB和平行或相交的棱．本题考查了平行六面体的结构特征和平面的基本性质的应用，找出与AB和平行或相交的棱即可，考查了空间想象能力．【解答】解：根据两条平行直线、两条相交直线确定一个平面，可得CD、BC、、、符合条件．故选C．8.答案：C解析：解：在中，，由正弦定理得：，，，，，或，或，为等腰或直角三角形，故选：C．利用正弦定理将中等号两边的边转化为该边所对角的正弦，化简整理即可．本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理与二倍角的正弦的应用，属于中档题．9.答案：B解析：解：如图，为正四棱锥，设AE、CE垂直于SB，则为二面角的平面角为，且，，在正方形ABCD中，由勾股定理得，，，在中，由余弦定理得，．，则的取值范围是，故选：B．正四棱锥中，设AE、CE垂直于SB，则为二面角的平面角，且，，利用余弦定理，即可求得的取值范围．本题主要考查棱锥的结构特征，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力，是中档题．10.答案：A解析：解：因为，，根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可知，根据余弦定理所以故选：A．利用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可求得b的范围，进而利用余弦定理表示出cos C的表达式，根据b的范围求得cos C的范围，进而求得C的范围．本题主要考查了解三角形问题．考查了学生分析问题的基本的推理能力．11.答案：A解析：【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系的判断，掌握切线长问题的一般求解思路．因为过P点的圆的切线长，圆半径，以及P点到圆心距离构成直角三角形，又因为圆半径为定值1，所以要求切线长的最小值，只需求P点到圆心距离的最小值即可．【解答】解：设圆心为C，切点为A，连接PC，PA，AC，为圆C的切线，，，当PC最小时，PA有最小值．，，，即，此时，故选A．12.答案：A解析：【分析】利用余弦定理列出关系式，表示出，利用三角形面积公式表示出面积，根据题意列出关系式，求出tan C的值，即可确定出C的度数．此题考查了余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．【解答】解：由余弦定理得：，即，由三角形面积公式得：，，即，且C为锐角，则角C等于．故选A．13.答案：或解析：解：若圆柱的高为8cm，底面周长为4cm，则圆柱的底面半径为，圆柱的体积；若圆柱的高为4cm，底面周长为8cm，则圆柱的底面半径为，圆柱的体积．故答案为：或．根据圆柱的结构特征分类求得圆柱的底面半径和高，则体积可求．本题考查了圆柱的结构特征，体积计算，考查分类讨论的数学思想方法，是基础题．14.答案：解析：解：因为在中，，，，若点D在BC上，且，利用余弦定理的应用，整理得，解得，在中，设，则，，利用余弦定理，在中，，，，利用余弦定理，由于，所以，解得．故答案为：．首先利用余弦定理的应用求出BC的长，进一步利用余弦定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．15.答案：3解析：解：根据题意，圆：，圆心为，圆的坐标为；两圆相交于A、B两点，则线段AB的垂直平分线为直线，又由A满足，变形可得，则有，即点O在线段AB的垂直平分线上，则有点O在直线上，则有，解可得；故答案为：3．根据题意，由圆与圆相交的性质可得线段AB的垂直平分线为直线，进而由，变形可得，则有，即可得点O在直线上，据此可得，解可得m的值，即可得答案．本题考查圆与圆相交的性质，涉及两圆相交弦的性质，属于中档题．16.答案：解析：解：设直线的倾斜角为．由直线化为，，．故答案为：．把直线方程化为斜截式，再利用斜率与倾斜角的关系即可得出．本题考查了斜截式、斜率与倾斜角的关系，属于基础题．17.答案：解：在中，由，以及正弦定理可得：，，，，，可得．，，，，，在中，由正弦定理，可得，解得．解析：在中，由以及正弦定理可得，求得cos B的值，结合B的范围可求B的值．由条件利用余弦定理可得c的值，进而根据正弦定理即可求解sin C的值．本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.答案：证明：设，连接FG，易知G是AC的中点，是EC中点，由三角形中位线的性质可得，平面BFD，平面BFD，平面BFD．平面平面ABE，，平面平面平面ABE，又平面ABE，，又，，平面BCE，．在中，，F为CE的中点，，，平面ACE，又平面BDF，平面平面ACE．解析：设，由三角形中位线的性质可得，从而证明平面BFD．利用线面垂直的判定定理平面BCE，得到，由等腰直角三角形的性质证明，从而证明平面ACE，即证平面平面ACE．本题考查证明线面平行、面面垂直的方法，线面平行的判定、面面垂直的判定，证明是解题的难点．19.答案：解：底面ABCD，，底面ABCD是边长为的正方形，．由底面ABCD，且平面PAD，得平面平面ABCD，又平面平面，且，得平面PAD，，．设A到平面PDC的距离为h，则，即．点A到平面PDC的距离为；取CD的中点F，连接EF，则，是异面直线AE与PC所成角或其补角．连接AF，由知，则，，．．异面直线AE与PC所成角的余弦值为．解析：由已知求出三棱锥的体积，再求出三角形PCD的面积，利用等体积法求点A 到平面PDC的距离；取CD的中点F，连接EF，则，可得是异面直线AE与PC所成角或其补角，然后求解三角形得答案．本题考查异面直线所成角的求法，训练了利用等体积法求点到面的距离，考查计算能力，是中档题．20.答案：解：当直线斜率不存在时，直线方程为；当直线斜率存在时，设直线方程为，即，由，解得；直线l的方程为．综上，所求直线方程为或；设直线l夹在直线，之间的线段为在上，B在上，A，B的坐标分别设为，，被点P平分，，，于是，；由于A在上，B在上，，解得，，即A的坐标是，直线l的方程的斜率为：；直线l的方程，即．解析：当直线斜率不存在时，直线方程为；当直线斜率存在时，设直线方程为，由点到直线的距离公式列式求得k值，则直线方程可求；设直线m夹在直线，之间的线段为在上，B在上，求出点B的坐标用A 的坐标表示，根据A在上，B在上，求得A的坐标，用两点式求得直线l的方程．本题主要考查用待定系数法求直线方程，直线的两点式方程的应用，属于中档题．21.答案：解：连接AC，在中，，又，故，由余弦定理可得，，中，，，由余弦定理可得，，由正弦定理可得，，故，于是AD的方位角为，所以从A到D的方位角为，距离为．解析：结合已知方位角，然后利用余弦定理可求AC，进而可求AD；结合正弦定理可求，即可求解距离．本题主要考查了正弦定理、余弦定理在求解实际问题中的应用，属于中档试题．22.答案：解：由题意，圆C过点，，，设圆C的方程为．则，解得．圆C的方程为，即；由可知，，半径，C到MN的距离．，当且仅当时取等号．由，解得．由O，P在MN的两侧，得，即．O到MN的距离，P到MN的距离．四边形MONP的面积．时，四边形MONP的面积有最大值为；由题意可设PA：．联立，得．设，则，，．，结合，同理．解析：由题意，圆C过点，，，设出圆的一般方程，把三个点的坐标代入可得关于D，E，F的方程组，求得D，E，F的值，则圆的方程可求；由求得圆心坐标与半径，求得C到MN的距离．由垂径定理求弦长，得到弦长最大值．再由题意求出m的范围，然后利用点到直线的距离公式分别求出O到MN的距离，P到MN的距离弦长四边形MONP的面积，可得时，四边形MONP 的面积有最大值为；由题意可设PA：与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求得A的坐标，同理求得B的坐标，结合及两点求斜率公式可得直线AB的斜率为定值．本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．。
2019学年江苏省高一下期中数学试卷【含答案及解析】
2019学年江苏省高一下期中数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、填空题1. = _______________________ ．2. =_________ ．3. 在中，若，，则=___________ .4. 已知等差数列的前项和为，若，，则公差等于______________________________ ．5. 已知中，，，，则 =________________ ．6. 已知等比数列的各项均为正数，，，则______________ .7. 在中，若，则的形状是______________ 三角形．8. 已知数列是等差数列，是其前项和，且，则使成立的最小值是_________ .9. 若钝角三角形三边长分别是，则____________________ .10. 已知，且，则的值为 .11. 设数列的前项和为，关于数列，下列命题正确的序号是______________ .① 若数列既是等差数列又是等比数列，则；② 若，则数列是等差数列；③ 若，则数列是等比数列.12. 在等差数列中，已知，则 _________ .13. 中，，点在边上，且满足，若，则 =_________________________________ .14. 已知数列为等差数列，满足，则当取最大值时，数列的通项公式为________ ________ .二、解答题15. 设是公比不为1的等比数列，且成等差数列.（1）求数列的公比；（2）若，求的取值范围.16. 在锐角中，已知（1）求的值；（2）若，，求的值.17. 已知函数．（1）求的值；（2）设，，求的值．18. 已知数列满足，且当 , 且时，有，（1）求证：数列为等差数列；（2）已知函数，试问数列是否存在最小项，如果存在，求出最小项；如果不存在，说明理由.19. 如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边 AD 为半圆的直径， O 为半圆的圆心， AB = 2 ， BC = 4 ，现要将此铁皮剪出一个，其中边MN ⊥ BC ，点在曲线上运动.（1）设∠ MOD =30°，若，求的面积；（2）求剪下的铁皮面积的最大值.20. 已知正项数列的前三项分别为，为数列的前项和，满足：（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）若数列满足… ，求数列的前项和 (参考公式：… )参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】。
2019-2020学年江苏省无锡市天一中学高一下学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年江苏省无锡市天一中学高一下学期期中数学试题一、单选题1．sin 20cos10cos 20sin10+=o o o o （ ）A ．12-B ．12C ．D ．2【答案】B【解析】利用正弦的和角公式求解即可.【详解】()1sin 20cos10cos 20sin10sin 2010sin 302+=+==o o o o o o o . 故选：B【点睛】本题主要考查了正弦的和角公式运用,属于基础题型. 2．用数字123、、组成没有重复数字的三位数，其中三位数是奇数的概率为( ) A ．12 B ．13 C ．23 D ．14【答案】C【解析】写出所有的三位数，从中找出奇数，即可求得概率.【详解】由1、2、3组成的没有重复数字的三位数有：123，132，213，231，312，321，共6个，其中奇数有：123，213，231，321，共4个， 则三位数是奇数的概率为4263p ==. 故选：C.【点睛】本题考查了等可能事件的概率，用列举法求古典概型的概率问题，属于基础题. 3．用符号表示“点A 在直线l 上，l 在平面α内”，正确的是( ) A ．,A l l α∈∉B ．,A l l α⊂⊄C ．,A l l α⊂∈D ．,A l l α∈⊂ 【答案】D【解析】根据定义，选择正确的符号，即可表示.【详解】由定义：点A 在直线l 上，表示为∈A l ，l 在平面α内，表示为l α⊂.故选：D.【点睛】本题考查了点与线，线与面的位置关系表示方法，属于基础题.4．已知一组数据5.55.45.14.84.7,,,,，则该组数据的方差为( ) A ．0.4B ．0.3C ．0.2D ．0.1【答案】D【解析】根据平均数的计算公式，先求出这组数据的平均数，再根据方差的公式计算即可.【详解】 5.55.45.14.84.7,,,,的平均数为：5.5 5.4 5.1 4.8 4.7 5.15++++=， 则该组数据的方差为：222221[(5.5 5.1)(5.4 5.1)(5.1 5.1)(4.8 5.1)5S =-+-+-+- 2(4.7 5.1)]0.1+-=.故选：D.【点睛】本题考查了平均数，方差的求解，考查了运算能力，属于基础题.5．过三点(1,3)(6,2),(1,7)A B C --,的圆交x 轴于M N 、两点，则=MN ( )A ．2B ．C ．4D ．【答案】B【解析】设圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=，代入点的坐标，求出,,D E F ，令0y =，即可得出结论.【详解】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，将(1,3)(6,2),(1,7)A B C --,代入，得：193036462014970D E F D E F D E F ++++=⎧⎪++-+=⎨⎪++-+=⎩，2,4,20D E F ∴=-==-,∴圆的方程为2224200x y x y +-+-=，令0y =，可得22200x x --=，1x ∴=MN =故选：B.【点睛】本题考查圆的方程，直线与圆的位置关系，考查了学生的计算能力，属于中档题. 6．已知两条直线12:(2)310,:10l m x y l x my -++=++=平行，则m =( ) A ．3B ．1-C ．1或 1-D ．3或1-【答案】B【解析】利用直线与直线平行的系数关系，求出m 的值，经检验，舍去重合的结果，则可得结论.【详解】 12:(2)310,:10l m x y l x my -++=++=Q ，12//l l ，(2)30m m ∴--= ，则3m =或1-，当3m =时，1:310++=l x y 与2:310++=l x y 重合，当1m =-时，1:3310l x y -++=，2:10l x y -+=平行.故选：B.【点睛】本题考查了由直线平行关系求参数，注意代入检验，属于基础题.7．已知某地区初中水平及以上的学生人数如图所示.为了解该地区学生对新型冠状病毒的了解程度，拟采用分层抽样的方法来进行调查.若高中生需抽取30名学生，则抽取的学生总人数为( )A ．40B ．60C ．90D ．120【答案】B 【解析】由题意，利用分层抽样的定义和方法，求出抽取的学生总人数.【详解】 高中生所占的比例为720019600720048003=++， 设抽取的学生总人数为x ， 则2013x =，解得60x =. 故选：B.【点睛】本题考查分层抽样的定义，属于基础题.8．在平面直角坐标系xOy 中，圆22:3,(2,)O x y T m +=，若圆O 上存在以M 为中点的弦AB ，且2AB MT =，则实数m 的取值范围是( )A ．[2,0]B ．2]C ．[2,2]D ．(2,2)- 【答案】C【解析】本题的实质是圆O 上存在,A B 两点，使90ATB ∠=︒.若TA ，TB 为切线，则可求得6OT =过T 向圆引的两条切线的夹角不小于90︒时，6OT ≤进而求得答案.【详解】 M Q 为AB 的中点，且2AB MT =，TAB ∴V 为直角三角形，90ATB ∠=︒，若TA ，TB 为切线，且90ATB ∠=︒，则45OTB ∠=︒，在Rt OBT V 中，45OTB ∠=︒，90OBT ∠=︒，3OB =， 则6OT =∴过点T 向圆引的两条切线的夹角不小于90︒时，满足题意，则圆心(0,0)O 到(2,)T m 6，即2226OT m =+…，解得22m -剟.故选：C.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查了转化的思想，难度较大.二、多选题9．对于实数,,a b c ，下列说法正确的是( )A ．若0a b >>，则11a b <B ．若a b >，则22ac bc ≥C ．若0a b >>，则2ab a <D ．若c a b >>，则a b c a c b>-- 【答案】ABC 【解析】根据不等式的基本性质对各项依次进行判断，即可选出正确答案.【详解】A.在0a b >>三边同时除以ab 得110b a>>，故A 正确； B.由a b >及2c ≥0得22ac bc ≥，故B 正确；C.由0a b >>知a b >且0a >，则2a ab >，故C 正确；D.若1,2,3c a b =-=-=-，则2a c a =--，32b c b =--， 322-<-，故D 错误. 故选：ABC.【点睛】本题考查了不等关系与不等式、不等式的性质，属于基础题.10．有甲、乙两种套餐供学生选择，记事件A 为“只选甲套餐”，事件B 为“至少选一种套餐”，事件C 为“至多选一种套餐”，事件D 为“不选甲套餐”，事件E 为“一种套餐也不选”.下列说法错误的是( )A ．A 与C 是互斥事件B ．B 与E 是互斥事件，且是对立事件C ．B 与C 不是互斥事件D ．C 与E 是互斥事件【答案】AD【解析】根据互斥事件和对立事件的概念，将每个事件的基本事件列出来，对照即可判断.【详解】事件A 为“只选甲套餐”；事件B 为“至少选一种套餐”，包括选甲套餐，选乙套餐，甲乙两种套餐都选；事件C 为“至多选一种套餐”，包括选甲套餐，选乙套餐，甲乙两种都不选；事件D 为“不选甲套餐”，包括选乙套餐，甲乙两种都不选；事件E 为“一种套餐也不选”.A.事件A 与C 既不互斥也不对立，故A 错误；B.事件B 与E 是互斥事件，且是对立事件，故B 正确；C.事件B 与C 不互斥，故C 正确；D.事件C 与E 不互斥，故D 错误.故选：AD.【点睛】本题考查了互斥事件和对立事件，属于基础题. 11．设正实数mn 、满足2m n +=，则下列说法正确的是( )A ．12m n +B 的最大值为12C 2D ．22m n +的最小值为2【答案】ABD 【解析】利用基本不等式，逐一判断个选项，即可.【详解】A. 正实数mn 、满足2m n += 1211212()()(3)22n m m n m n m n m n∴+=++=++12322(32)22n m m n +≥+⋅= 当且仅当2n m m n=时，等号成立，故A 正确； B.由2m n +=且0,0m n >>得12m n mn +≤=， 当且仅当1m n ==时，等号成立，则122mn ≤，故B 正确； C. 由2m n +=且0,0m n >>得22()()2m n +=，222()2[()()]4m n m n ∴+≤+=则2m n +≤ ，故C 错误；D.222()22m n m n ++≥=，故D 正确. 故选：ABD.【点睛】本题考查了基本不等式的应用，化“1”求最值，考查了转化的思想，属于中档题.12．如图()()()()2,0,1,11,12,0A B C D --,,，»CD是以OD 为直径的圆上一段圆弧，»CB是以BC 为直径的圆上一段圆弧，»BA 是以OA 为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线Ω.则下面说法正确的是( )A ．曲线Ω与x 轴围成的面积等于32π B ．»CB与»BA 的公切线方程为：12=0x y +- C ．»AB 所在圆与»CB所在圆的交点弦方程为：0x y -= D ．用直线y x =截»CD所在的圆，所得的弦长为22【答案】BC【解析】由题知曲线Ω与x 轴围成的图形为一个半圆、一个矩形和两个四分之一圆，求面积和，可判断A ；设»CB与»BA 的公切线方程，由直线与圆相切的条件，列方程组，可求得直线方程，即可判断B ；由两圆方程联立相减，则可求出»AB 所在圆与»CB所在圆的交点弦方程，可判断C ；由弦长公式求出弦长，可判断D.【详解】各段圆弧所在圆方程分别为：»CD：22(1)1x y ++=，»CB ：22(1)1y x +-=， »BA：22(1)1x y -+= 曲线Ω与x 轴围成的图形为一个半圆、一个矩形和两个14圆， 面积为22224πππ++⨯=+，故选项A 错误；设»CB与»BA 的公切线方程为：(0,0)y kx b k b =+<>， 则221111b k b k k -++==++，解得1,12k b =-=+，所以»CB与»BA 的公切线方程为：12y x =-++， 即120x y +--=，故选项B 正确；由22(1)1y x +-=及22(1)1x y -+=两式相减得： 0x y -=即为交点弦所在直线方程，故选项C 正确；»CD所在圆的方程为22(1)1x y ++=，圆心为(1,0)-， 圆心到直线y x =的距离为1222d -==， 则弦长为2221()22-=，故选项D 错误. 故选：BC.【点睛】本题考查圆的方程的运用，直线与圆的位置关系，考查数形结合思想和运算能力，综合性较强，运算较繁杂..三、填空题13．若tan()64πα+=-，则tan α=_____________. 【答案】75 【解析】根据两角和的正切公式，列出方程，即可解得tan α.【详解】tan 1tan()641tan πααα++==--Q ， 7tan 5α∴=. 故答案为：75. 【点睛】本题考查了两角和的正切公式，考查了方程的思想，属于基础题.14．已知变量,x y 线性相关，由观测数据算得样本的平均数=4=5x y ，，线性回归方程ˆ=ybx a +中的系数,b a 满足4b a +=，则线性回归方程为___________. 【答案】111ˆ33y x =+ 【解析】根据回归直线过样本点的中心，可列出方程组，即可解得,a b 的值，从而写出回归直线方程.【详解】由题知，点(4,5)在回归直线上，则45b a +=，又4b a +=， 所以111,33a b ==，即回归直线方程为：111ˆ33y x =+. 故答案为：111ˆ33y x =+. 【点睛】本题考查了回归直线过样本点中心这一特征，考查了方程的思想，属于基础题. 15．在ABC ∆中，角,,A B C 满足222s sin sin si i si n n n A B A B C -=，则11tan tan A B-=_________.【答案】2-【解析】先根据正弦定理化角为边，转化为22abc a b R-=，再利用余弦定理，得22(cos cos )a b c a B b A -=-.则可求得(cos cos )abc c a B b A R=-，又利用正弦定理化为2sin sin sin cos sin cos A B A B B A =-.根据同角三角函数的关系，11cos sin sin cos tan tan sin sin A B A B A B A B--=，则可求值. 【详解】222s sin sin si i si n n n A B A B C -=，设外接圆半径为R ， 则由正弦定理得：22abc a b R-=， 又由余弦定理可得： 2222cos a b c bc A =+-，2222cos b a c ac B =+-则22222(cos cos )a b b a c b A a B -=--- 22(cos cos )a b c a B b A -=-， 所以(cos cos )abc c a B b A R =-，即cos cos ab a B b A R=- 又由正弦定理得：2sin sin sin cos sin cos A B A B B A =- 则11cos sin sin cos 2tan tan sin sin A B A B A B A B--==- 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，同角商数关系化切为弦.难度较大.. 16．已知实数,x y 满足:1xy y -=，且01x <<.则122x y +-的最小值是__________.【答案】3【解析】利用1xy y -=，得11y x =-，则12111232x y x x +=+---，将其配凑成基本不等式可应用的式子，求得最小值.【详解】由1xy y -=得11y x =-， 12112111232232x y x x x x∴+=+-=+----121[2(32)]()13232x x x x =+-+-- 12(32)2[3]13232x x x x-=++--1(313≥+-3=，当且仅当2(32)2232x x x x -=-，即32x =-时，等号成立，则122x y +-的最小值是3.. 【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查了转化和化归的思想，属于较难题.四、解答题17．过点()34M ，作直线l ，当l 的斜率为何值时. （1）直线l 将圆22(1)(2)4x y ++-=平分？ （2）直线l 与圆22(1)(2)4x y ++-=相切？ 【答案】（1）12；（2）0或43【解析】（1）由题知，直线l 过圆心(1,2)-，则结合点()34M ，可以求出l 的斜率； （2）设过点()34M ，的切线方程为4(3)y k x -=-，利用直线与圆相切的几何性质，即圆心到切线的距离等于半径，列出方程，即可解得斜率. 【详解】解：（1）Q 直线l 将圆22(1)(2)4x y ++-=平分，∴直线l 过圆心(1,2)-，又Q 直线l 过点()34M ，， ∴直线l 的斜率为4213(1)2k -==--；（2）设切线l 的方程为：4(3)y k x -=-，即340kx y k --+=，∴圆心(1,2)-到直线的距离2d ==，解得0k =或43. 【点睛】本题考查了直线的斜率公式，直线与圆的位置关系，考查了运算能力，属于基础题. 18．在锐角ABC ∆中，12a =， _______，求ABC ∆的周长l 的取值范围. ①(cos ,sin )22A A a =--r ，(cos ,sin )22A Ab =-r ，且12a b ⋅=-r r ；②(2)cos 0c b A acosC -+=； ③3()cos cos()34f x x x π=-+，5()4f A =. 注：这三个条件中选一个，补充在上面的问题中并对其进行求解，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】①②③均可填入；13,]22【解析】若填①，则由题设条件及二倍角公式计算a b ⋅r r可解得3A π=，则由12a =及正弦定理得sin 3b B =，2sin()33c B π=-，计算化简得周长1sin()26a b c B π++=++.根据锐角三角形条件可得(,)122B ππ∈，结合三角函数的性质，可求得周长的范围.若填②，则根据正弦定理化简该式，可得1cos 2A =即3A π=，后续解答同①.若填③，则根据恒等变换求得3A π=，后续解答同①.【详解】解：填①，由221cossin cos 222A A a b A ⋅=-+=-=-r r ， 即1cos 2A =，又(0,)A π∈Q ，3A π∴=，由正弦定理有sin sin sin 3b c a B C A ===2,sin()3b Bc B π∴==-，则ABC V 的周长12sin()2333a b c B B π++=++-11sin )22B B B =+11cos 22B B =+ 1sin()26B π=++， 由锐角三角形知2(0,),(0,)232B B πππ∈-∈，则(,)62B ππ∈，2(,)633B πππ∴+∈，sin()6B π+∈故周长3]2a b c ++∈； 若填入②(2)cos 0c b A acosC -+=，由正弦定理可得(sin 2sin )cos sin cos 0C B A A C -+=， 则2sin cos sin()sin B A A C B =+=，sin 0B >Q ，1cos 2A ∴=， 后续解答同填入①；若填入③3()cos cos()34f x x x π=-+，13cos (cos )24x x x =++213cos cos 224x x x =++13(1cos 2)sin 2444x x =+++ 1sin(2)126x π=++， 又15()sin(2)1264f A A π=++=，1sin()62A π∴+=，(0,)2A π∈Q ，72(,)666A πππ∴+∈，则5266A ππ+=，即3A π=，后续解答同填入①. 【点睛】本题考查了向量的数量积运算，三角恒等变换，三角函数的性质以及正弦定理、余弦定理的应用，考查了转化的思想和运算能力，属于中档题.19．平面四边形ABCD ，点,,A B C 均在半径为2的圆上，且6BAC π∠=.（1）求BC 的长；（2）若3BD =，2DBC BCD ∠=∠，求BCD ∆的面积. 【答案】（1）2；（2）352【解析】（1）设外接圆半径为R ，则由正弦定理可求得2sin BC R BAC =∠； （2）由2DBC BCD ∠=∠及正弦定理可得2cos CD BD BCD =⋅∠，再根据余弦定理求得215CD =，1cos 6CBD ∠=-，35sin CBD ∠=，从而计算三角形的面积1sin 2BCD S BC BD CBD =⋅⋅∠V . 【详解】解：（1）设外接圆半径为2R =， 在ABC V 中，6BAC π∠=，由正弦定理得12sin 422BC R BAC =∠=⨯=， 即2BC =；（2）在BCD V 中，2DBC BCD ∠=∠Q ，sin sin 22sin cos DBC BCD BCD BCD ∴∠=∠=∠∠则由正弦定理可得2cos CD BD BCD =⋅∠，又由余弦定理知222cos 2BC CD BD BCD BC CD +-∠=⋅，222()BD BC CD BD CD BC CD+-∴=⋅，又2BC =，3BD =，解得215CD =，由余弦定理2222232151cos 22326BD BC CD CBD BD BC +-+-∠===-⋅⨯⨯，则35sin 6CBD ∠=， BCD ∴△的面积135sin 2BCD S BC BD CBD =⋅⋅∠=V . 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，考查了运算能力，属于中档题.20．为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励居民节约用水.计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x (吨)，一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，1)，[1，2)，…，[8，9)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图,其中0.4a b =.（1）求直方图中,a b 的值，并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数(每组数据用该组区间中点值作为代表)；（2）设该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数，并说明理由； （3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x (吨)，估计x 的值，并说明理由.【答案】（1）0.15a =，0.06b =；4.07（2）35.2万；（3） 5.8x =【解析】（1）由频率之和为1以及0.4a b =列方程组求得,a b 的值，并由频率分布直方图中间值作为代表，计算出平均数；（2）计算不低于2吨人数对应的频率，求出对应的人数；（3）由频率分布直方图计算频率，可判断56x <<，再根据频率列出方程，求出x 的值.【详解】解：（1）由频率分布直方图可得0.04+0.08+0.200.260.040.021a a b ++++++=，又0.4a b =，则0.15a =，0.06b =， 该市居民用水的平均数估计为：0.50.04 1.50.08 2.50.15 3.50.20 4.50.26x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯5.50.156.50.067.50.048.50.02 4.07+⨯+⨯+⨯+⨯=；（2）由频率分布直方图可得，月均用水量不超过2吨的频率为：0.040.080.12+=， 则月均用水量不低于2吨的频率为：10.120.88-=， 所以全市40万居民中月均用水量不低于2吨的人数为： 400.8835.2⨯=（万）； （3）由频率分布直方图知月均用水量不超过6吨的频率为：0.88， 月均用水量不超过5吨的频率为0.73，则85%的居民每月的用水量不超过的标准x （吨），56x <<，0.730.15(5)0.85x ∴+-= ，解得 5.8x =，即标准为5.8吨. 【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用，求平均数，计算频率，总体百分位数的估计，考查了数据处理能力和运算能力，属于中档题.21．在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆22:1214600M x y x y ++++=及其上一点(2,4)A --.（1）设圆N 与y 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线7y =-上，求圆N 的方程； （2）设垂直于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且1=5BC OA ，求直线l 的方程；（3）设点()0,T t 满足：存在圆M 上的两点,P Q ，使得TQ TP TA -=u u u r u u r u u r，求实数t 的取值范围.【答案】（1）2211()(7)24x y ++-=；（2）2200x y +++=或2200x y ++-=；（3）[44---+ 【解析】（1）设出圆的标准方程222:()(7)(0)N x a y r r -++=>，由两圆外切，列出方程65a r +=+.再由圆N 与y 轴相切，得a r =，联立解出,a r ，进而写出圆的方程；（2）先求出OA 的斜率以及OA ，则可设直线:20l x y m ++=，利用直线与圆的相交的弦长公式列方程，解出m 的值，从而写出l 的方程；（3）利用向量的运算，将TQ TP TA -=u u u r u u r u u r 化为PQ TA =u u u r u u r.因,P Q 为圆上的两点，则10PQ ≤u u u r ，即10TA ≤u u r.利用两点间的距离公式，列出不等式，即可解得t 的取值范围.【详解】解：（1）因为圆N 的圆心N 在直线7y =-上， 所以设圆222:()(7)(0)N x a y r r -++=> 又圆M 的标准方程为22(6)(7)25x y +++=， 圆M 与N 外切，则圆心距65a r +=+①， 又因为圆N 与y 轴相切，则a r =②，联立①②解得，11,22a r =-=， 则所求圆N 的方程为2211()(7)24x y +++=；（2）422OA k -==-Q，OA == 又直线l OA ⊥，则可设直线:20l x y m ++=， 圆心(6,7)--到直线l的距离d ==，∴弦长BC =15BC OA ==，2(20)12555m -∴-=，即2402760m m -+=，解得20m =±:2200l x y ∴+++=或2200x y ++-=；（3）由TQ TP TA -=u u u r u u r u u r 可得PQ TA =u u u r u u r，,P Q Q 为圆上的两点，10PQ ∴≤u u u r ，即10TA ≤u u r，又(0,),(2,4)T t A --Q ，10≤，即28800t t +-≤，44t ∴--≤-+即t 的取值范围为[44---+. 【点睛】本题考查了圆的方程，直线与圆的位置关系，弦长公式，两点间的距离公式，考查了转化思想和运算能力.难度较大. 22．已知函数()cos f x x =.（1）若,αβ为锐角，()f αβ+= 4tan 3α=，求cos2α及tan()βα-的值；（2）函数()(2)3g x f x =-，若对任意x 都有2()(2)()2g x a g x a ≤+--恒成立，求实数a 的最大值；（3）已知3()()()=2f f f αβαβ+-+，,(0,)αβπ∈，求α及β的值. 【答案】（1）72cos 2,tan()2511αβα=--=；（2）265-；（3）3παβ==【解析】（1）根据同角三角函数的关系和二倍角的余弦公式可求得cos2α的值，利用二倍角的正切公式、同角三角函数的基本关系以及两角差的正切公式可求解tan()βα-的值；（2）由余弦函数的有界性求得()g x 的值域，再将不等式分离参数，并令()1t g x =-，可得1a t t ≤+对[5,3]t ∈--恒成立.易知函数1y t t=+在[5,3]t ∈--单调递增，求出其最小值，则可得265a ≤-，从而求得a 的最大值； （3）利用和差化积公式（需证明）以及二倍角公式，将该式化简，配凑成22(2coscos)sin 0222αβαβαβ+---+=，再结合,(0,)αβπ∈，即可求出α及β的值.【详解】解：（1）4tan 3α=Q ，且α为锐角， 4sin 5α∴=，3cos 5α=，22tan 24tan 21tan 7ααα==-- 则227cos 2cos sin 25ααα=-=-，又()cos()5f αβαβ+=+=-，,αβ为锐角，sin()5αβ∴+=，tan()2αβ+=-， tan()tan[()2]βααβα∴-=+-242()tan()tan 227241tan()tan 2111(2)()7αβααβα---+-===+++-⨯-； （2）()(2)3cos 23[4,2]g x f x x =-=-∈--，Q 2()(2)()2g x a g x a ≤+--对任意x 恒成立，即2()2()2(()1)g x g x g x a -+≤-对任意x 恒成立，令()1[5,3]t g x =-∈--，211t a t t t+∴≤=+对[5,3]t ∈--恒成立，又Q 函数1y t t=+在[5,3]t ∈--单调递增，∴当5t =-时，min 126()5t t +=-，265a ∴≤-，则a 的最大值为265-；（3）3()()()2f f f αβαβ+-+=，即3cos cos cos()2αβαβ+-+= ，cos cos()22αβαβα+-=+Qcoscossin sin2222αβαβαβαβ+-+-=-，cos cos()22αβαββ+-=-coscos+sinsin2222αβαβαβαβ+-+-=，cos cos 2coscos22αβαβαβ+-∴+=，又2cos()2cos12αβαβ++=-Q ， 232cos cos 2cos 12222αβαβαβ+-+∴-+=，则24cos4cos cos 10222αβαβαβ++--+=， 22(2cos cos )1cos 0222αβαβαβ+---+-=，即22(2cos cos )sin 0222αβαβαβ+---+=， 2cos cos 022sin 02αβαβαβ+-⎧-=⎪⎪∴⎨-⎪=⎪⎩，又0απ<<Q ，0βπ<<，3παβ∴==.【点睛】本题考查了同角三角函数间的关系，两角和与差的三角函数公式，二倍角余弦和正切公式，不等式恒成立问题，考查了运算能力和转化能力，属于综合性较强的题.。
江苏省无锡市2019年高一下学期期中数学试卷A卷
江苏省无锡市2019年高一下学期期中数学试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）在区间[0,]上随机取一个数x,则事件“sinx cosx”发生的概率为（）A .B .C .D . 12. （2分）点A（sin2016°，cos2016°）在直角坐标平面上位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分） (2019高一上·哈尔滨月考) 已知，则角的终边在（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限4. （2分） (2015高三上·承德期末) 已知α∈（﹣π，﹣），且sinα=﹣，则cosα等于（）A . ﹣B .C . ±D .5. （2分）已知A={锐角}，B={第一象限角}，C={小于90°的角}，那么A，B，C的关系式（）A . A=B∩CB . B⊆CC . A∪C=CD . A=B=C6. （2分）甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高一下·永年期末) 已知sin（π+α）= ，且α是第四象限角，则cos（α﹣2π）的值是（）A . ﹣B .C . ±D .8. （2分） (2016高一上·成都期中) 设f（x）= ，则f（5）的值是（）A . 24B . 21C . 18D . 169. （2分） (2018高一下·商丘期末) 袋内分别有红、白、黑球3，2，1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（）A . 至少有一个白球；都是白球B . 至少有一个白球；红、黑球各一个C . 恰有一个白球；一个白球一个黑球D . 至少有一个白球；至少有一个红球10. （2分）本式的值是（）A . 1B . ﹣1C .D .11. （2分）四位二进制数能表示的最大十进制数是（）A . 4B . 15C . 64D . 12712. （2分）如图的程序框图，能判断任意输入的整数x的奇偶性：其中判断框内的条件是（）A . m='0'B . x='0'C . x='1'D . m=1二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）855°角的终边在第1 象限．14. （1分） (2016高一下·珠海期末) 从编号为0，1，2，…，89的90件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是9的样本．若编号为36的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为________．15. （1分）855°转化为弧度数为116. （1分） (2016高一下·汉台期中) 下列说法中正确的有________①刻画一组数据集中趋势的统计量有极差、方差、标准差等；刻画一组数据离散程度统计量有平均数、中位数、众数等．②抛掷两枚硬币，出现“两枚都是正面朝上”、“两枚都是反面朝上”、“恰好一枚硬币正面朝上”的概率一样大．③有10个阄，其中一个代表奖品，10个人按顺序依次抓阄来决定奖品的归属，则摸奖的顺序对中奖率没有影响．④向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，则该随机试验的数学模型是古典概型．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分）甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为求：（1）乙至少击中目标2次的概率；（2）乙恰好比甲多击中目标2次的概率．18. （10分）已知tan（π+α）=﹣，tan（α+β）= ．（1）求tan（α+β）的值；（2）求tanβ的值．19. （5分） (2016高二上·玉溪期中) 20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；（Ⅱ）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；（Ⅲ）从成绩在[50，70）的学生任选2人，求此2人的成绩都在[60，70）中的概率．20. （10分）(2018·兴化模拟) 已知向量，，，若，（1）求的值；（2）若，求角的大小．21. （5分）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为1﹣0.999104 ．（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率p；（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．22. （10分）(2018·安徽模拟) 近年电子商务蓬勃发展，年某网购平台“双”一天的销售业绩高达亿元人民币，平台对每次成功交易都有针对商品和快递是否满意的评价系统.从该评价系统中选出次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为，对快递的满意率为，其中对商品和快递都满意的交易为次.附：（其中为样本容量）（1）根据已知条件完成下面的列联表，并回答能否有的把握认为“网购者对商品满意与对快递满意之间有关系”？对快递满意对快递不满意合计对商品满意对商品不满意合计（2）为进一步提高购物者的满意度，平台按分层抽样方法从中抽取次交易进行问卷调查，详细了解满意与否的具体原因，并在这次交易中再随机抽取次进行电话回访，听取购物者意见.求电话回访的次交易至少有一次对商品和快递都满意的概率.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、第11 页共11 页。
江苏省无锡市第一中学2019_2020学年高一数学下学期期中试题含解析
【详解】对于A选项，若 ， ，则 或 ，A错误
对于B选项，若 ， ,则 或 与 相交或异面，B错误
对于C选项，若 , ，则 或 ,C错误
对于D选项，若 , ，则 或 ，D正确
故选：D
【点睛】本题考查线面平行的判定与性质，属于基础题
4。一个球的表面积是 ，则它的体积是（ ）
【答案】B
【解析】
【分析】
根据异面直线的定义，可得选项.
【详解】根据异面直线的定义，对于A：空间中不相交的直线可以是平行的，也可以是异面的,故A错误；
对于C:分别在两个平面内的两条直线，可以是相交的，可以是平行的，也可以是异面的,故C错误；
对于D：平面内的一条直线和平面外的一条直线，这两条可以相交的，可以是平行的，也可以是异面的，故D错误；
（2）设 的中点为 ，连接 、 ，根据三角形中位线的性质得出 ，得出 是异面直线 与 所成角或其补角，利用余弦定理求出 ,从而得出结果。
【详解】解：（1）由题可知, 底面 ， ,
且底面 是边长为 的正方形，
由于 ，
而 ，
，
在 中，有 ，则 ，
所以 ,
设点 到平面 的距离为 ，
由于 ，则 ，
则 ,
解得： ,
6.若三角形三边长分别是4，5，6，则这个三角形的形状是（ )
A。 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D。 不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】
不妨设 ，由边的大小知C为最大角，利用余弦定理求 ,由 可得三角形的三个角均为锐角，即可得出结论。
【详解】不妨设 , , ,C为最大角，
，又 ,
为锐角,则A、B均为锐角，所以这个三角形是锐角三角形.
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江苏省无锡市天一中学2019-2020学年高一下学期
期中数学试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. （）
A．B．C．D．
2. 用数字组成没有重复数字的三位数，其中三位数是奇数的概率为
( )
A．B．C．D．
3. 用符号表示“点在直线上，在平面内”，正确的是( ) A．B．C．D．
4. 已知一组数据，则该组数据的方差为( ) A．B．C．D．
5. 过三点的圆交轴于两点，则( ) A．B．C．D．
6. 已知两条直线平行，则( ) A．B．C．1或D．或
7. 已知某地区初中水平及以上的学生人数如图所示.为了解该地区学生对新型冠状病毒的了解程度，拟采用分层抽样的方法来进行调查.若高中生需抽取30
名学生，则抽取的学生总人数为( )
A．B．C．D．
8. 在平面直角坐标系中，圆，若圆上存在以为中点的弦，且，则实数的取值范围是( )
A．B．C．D．
二、多选题
9. 对于实数，下列说法正确的是( )
B．若，则
A．若，则
C．若，则
D．若，则
10. 有甲、乙两种套餐供学生选择，记事件A为“只选甲套餐”，事件B为“至少选一种套餐”，事件C为“至多选一种套餐”，事件D为“不选甲套餐”，事件E为“一种套餐也不选”.下列说法错误的是( )
A．A与C是互斥事件B．B与E是互斥事件，且是对立事件C．B与C不是互斥事件D．C与E是互斥事件
11. 设正实数满足，则下列说法正确的是( )
A．的最小值为B．的最大值为
C．的最小值为2 D．的最小值为2
12. 如图，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，
三段弧构成曲线.则下面说法正确的是( )
A．曲线与轴围成的面积等于
B．与的公切线方程为：
C．所在圆与所在圆的交点弦方程为：
D．用直线截所在的圆，所得的弦长为
三、填空题
13. 若，则_____________.
14. 已知变量线性相关，由观测数据算得样本的平均数，线性回归方程中的系数满足，则线性回归方程为___________.
15. 在中，角满足，则
_________.
16. 已知实数满足:，且.则的最小值是
__________.
四、解答题
17. 过点作直线，当的斜率为何值时.
（1）直线将圆平分？
（2）直线与圆相切？
18. 在锐角中，， _______，求的周长的取值范围.
①，，且；
②；
③，.
注：这三个条件中选一个，补充在上面的问题中并对其进行求解，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
19. 平面四边形，点均在半径为2的圆上，且.
（1）求的长；
（2）若，，求的面积.
20. 为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励居民节约用水.计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准(吨)，一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，1)，[1，2)，…，[8，9)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图,其中.
（1）求直方图中的值，并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数
(每组数据用该组区间中点值作为代表)；
（2）设该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数，并说明理由；
（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准(吨)，估计的值，并说明理由.
21. 在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆
及其上一点.
（1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的方程；
（2）设垂直于的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程；
（3）设点满足：存在圆上的两点，使得，求实数的取值范围.
22. 已知函数.
（1）若为锐角，，，求及的值；
（2）函数，若对任意都有恒成立，求实数的最大值；
（3）已知，，求及的值.。