×第二章 统计数据的描述

二、中位数 (median)
中位数（Median），是指将统计总体当中的各个变量值 按大小顺序排列起来，形成一个数列，处于变量数列中 间位置的变量值就称为中位数，用Me表示。
1.排序后处于中间位置上的值
50%
Me
50%
2.主要用于顺序数据，也可用数值型数据，但不能用于分类 数据
数值型数据的中位数
某车间工人周加工零件直方图
用矩形的宽度和高度来表示频数分布的图形，实际 上是用矩形的面积来表示各组的频数分布 在直角坐标中，用横轴表示数据分组，纵轴表示频 数或频率，各组与相应的频数就形成了一个矩形， 即直方图 直方图下的总面积等于1
2. 折线图
1. 折线图也称频数多边形图 2. 是在直方图的基础上，把直方图顶部的中点(组中值) 用直线连接起来，再把原来的直方图抹掉 3. 折线图的两个终点要与横轴相交，具体的做法是
lg( n) K 1 lg( 2)
3. 根据分组整理成频数分布表
组距分组
（几个概念）

1. 2. 3. 4.
下 限：一个组的最小值 上 限：一个组的最大值 组 距：上限与下限之差 组中值：下限与上限之间的中点值
组中值＝
下限值+上限值
2
简单次数分布数列的编制实例
[练习、例]数据资料
10~15年 15~20年 20年以上 数量标志分组
P16，两个分组的概念
二、统计分组的方法
1、品质分组的方法 2、数量分组的方法 （1）单项式分组 就是以一个变量值为一组。如对 居民家庭按家庭人口数进行分组：按家庭人口数 分为：1人，2人，3人，4人，5人及以上。 （2）组距式分组：是以变量值变化的一个区间为一 组的分组方法。 等距分组 异距分组
30 15
90.0
74.0 37.5
45～50 合计
6 40
15.0 100
40 100 －－
6
15.0 －－
四、次数分配直方图
1.直方图 2.折线图 3.次数分配曲线类型
1. 直方图
我一眼就看出 来了，周加工 零 件 在 100 ～ 110 之 间 的 人 数最多!
12
8
4
0 80 90 100 110 120 130
[分析] 根据排序后的变量序列清点各数据区间的频数并计 算比重，也可利用Excel统计软件进行。
简单次数分布数列的编制实例
编制步骤之六——绘制表格
某车间工人日产零件分组表
日产零件数量 （件） 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100 合计 工人数（人） 4 8 13 10 5 40 比重（%） 10.00 20.00 32.50 25.00 12.50 100.00
某车间40名工人日产零件如下：
65 72 66 57 90 86 83 68 75 65 84 66 59 67 70 79 51 81 54 68 78 86 94 64 77 74 76 96 62 76 98 85 71 79 84 65 72 89 75 78
简单次数分布数列的编制实例
编制步骤之一——数据排序并确定全距
某车间工人周加工零件折线图
3. 次数分配曲线的类型
对称分布
右偏分布
左偏分布
正J型分布
反J型分布
几种常见的频数分布
U型分布
五、洛仑兹曲线和基尼系数
洛伦兹曲线（Lorenz curve），也译为“劳 伦兹曲线”。就是，在一个总体（国家、地 区）内，以“最贫穷的人口计算起一直到最 富有人口”的人口百分比对应各个人口百分 比的收入百分比的点组成的曲线。为了研究 国民收入在国民之间的分配问题，美国统计 学家（或说奥地利统计学家）M.O.洛伦兹 （Max Otto Lorenz）1907年（或说 1905年）提出了著名的洛伦兹曲线。
3、种类
简单分组
按分组标志的多少不同 按分组标志的性质不同 复合分组
品质标志分组
数量标志分组
例 1 为了了解某地区银行存款的构成，可以选用 存款性质、期限两个标志分别进行分组： 按存款性质分组 存款同时按其性质及期限分组 企业存款 企业存款 简单 储蓄存款 分组 活期 财政性存款 定期 按存款期限分组 品 储蓄存款 质 活期存款 活期 复合 标 定期存款 志 分组 定期 分 财政性存款 组 例2 企业职工按工龄分组： 活期 5年以下 定期 5~10年
将数据从低到高排列，形成如下变量序列： 51 54 57 59 62 64 65 65 66 66 67 68 70 71 72 72 74 75 75 76 76 77 78 78 79 81 83 84 84 84 85 86 86 88 89 90 93 94 96 98 计算全距=98-51=47
众数
(不惟一性)
无众数 原始数据: 10 5 9 12 6 8
一个众数 原始数据:
6
5
9
8
5
5
多于一个众数 原始数据: 25 28 28 36 42 42
对于分组数据，众数通常采用下面的近似公 式计算：
MO:表示众数 L：表示众数组的下组限 表示众数组次数与前一组次数之差 表示众数组次数与后一组次数之差 i 表示众数组的组距
分组数据中位数的确定
1、可以用中位数所在组的组中值近似作为中位数值； 2、也可以用下面的近似公式计算：
N S m 1 Me L 2 i fm
Me : 表示中位数 L：表示中位数组的下组限 fm: 表示中位数组的次数 Sm-1:表示中位数组以前各组的累积次数 i 表示中位数组的组距
中位数性质
北京师范大学收入分配与贫困研究中心主任 李实牵头的中国社科院居民收入分配研究课 题组在过去20多年间进行了4次关于基尼指 数的大型调查和测算，结果分别为：1988 年0.382，1995年0.455，2002年0.454， 2007年0.48。这也是目前比较权威的数据。 中国国家统计局自从2000年公布中国基尼 系数为0.412之后，就再也没有对这项统计 公布过具体数字。
例1、单项数列：某厂第二季度工人平均日产 量
工人平均日产量 （件）
2 3 4 5 6
工人数
绝对数（人）
10 15 30 40 20 115
比重（%）
8.7 13.0 26.1 34.8 17.4 100
合计
例2、等距组距数列：某工厂工人完成生产定额情 况表
工人按完成生产定额 分组（%）
工人数 绝对数（人）
1：稳健性 中位数是从位置上来确定的，因此个别极 端大值或极端小值的变化不影响中位数数值。
《2011年城乡居民收入增长情况》报告显示，2011年 农村居民人均纯收入中位数为6194元，2011年城镇居 民人均可支配收入中位数为19118元，两者均较上年 有所增长
2：中位数与数据值的距离最短 数据值与中位数之差的绝对值之和最小。
30 40 60 30 20 180
比重（%）
16.7 22.2 33.3 16.7 11.1 100
80~90 90~100 100~110 110~120 120~130
合计
单项式分组
（要点）
1. 2. 3.
将一个变量值作为一组 适合于离散变量 适合于变量值较少的情况

~ ~ ~ ~ ~
组距分组
（步骤）
1. 确定组数：组数的确定应以能够显示数据的分布特征和规 律为目的。在实际分组时，可以按 Sturges （斯特吉斯组 数公式）提出的经验公式来确定组数K
2. 确定各组的组距：组距(Class Width)是一个组的上限 与下限之差，可根据全部数据的最大值和最小值及 所分的组数来确定，即 组距＝( 最大值 - 最小值）÷ 组数
第一个矩形的顶部中点通过竖边中点（即该组频数一半 的位置）连接到横轴，最后一个矩形顶部中点与其竖边 中点连接到横轴 折线图下所围成的面积与直方图的面积相等，二者所表 示的频数分布是一致的

分组数据的图示
(折线图的绘制)
折线图与直方图 下的面积相等！
12
8
4
0 80 90 100 110 120 130
单变量值分组表
（实பைடு நூலகம்）
表
零件数 (个)
107 108 110 112 113 114 115 117 118
某车间50名工人日加工零件数分组表
频数 (人)
1 2 1 2 1 1 1 3 3
零件数 (个)
119 120 121 122 123 124 125 126 127
频数 (人)
1 2 1 4 4 3 2 2 3
中位数 1080
数值型数据的中位数
(10个数据的算例)
【例】：10个家庭的人均月收入数据
排 序: 位置: 660 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

n 1 10 1 位置 5 .5 2 2
960 1080 中位数 1020 2
(9个数据的算例)
【例】

9个家庭的人均月收入数据
1 2 3 4 5 6 7 8 9
原始数据: 1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630 排 序: 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000 位 置:

n 1 9 1 位置 5 2 2
零件数 (个)
128 129 130 131 133 134 135 137 139
频数 (人)
2 1 1 1 2 2 1 1 2