第2章统计数据的描述
医学统计学-第二章 统计描述
1. 首先对资料作分布类型的判定； 2. 针对分布类型先用合适的指标描述：
均值、标准差；常记录为 X S
中位数、四分位间距； 常录为M（Ql, Qu）
一、集中趋势:用于描述一组计量资料的集中位置， 说明这种变量值大小的平均水平（average）表示。
频 数
身高(cm)
图3.1 某市100名8岁男童身高(cm)的频数分布
（三）频数表的用途：
1.揭示频数的分布特征
频 数
分布 特征
身高(cm)
图3.1 某市100名8岁男童身高(cm)的频数分布
集中趋势
（central tendency)
离散趋势
（tendency of dispersion)
集中趋势与离散趋势结合能全面反映频数的分布特征
2.揭示频数的分布类型
对称 分布
频数 分布
正偏
非对称 分布
负偏
集中部位在中部，两 端渐少，左右两侧的
基本对称，为对称 （正态）分布。
集中部位偏于较小 值一侧(左侧)，较大 值方向渐减少，为
正偏态分布。
集中部位偏于较大 值一侧(右侧)，较 小值方向渐减少，
为负偏态分布。
(2) 定量资料的描述指标
描述指标： 集中趋势:
累计频数 (4) 1 6 14 31 54 75 89 96 99 100 100
累计频率 (5) 0.01 0.06 0.14 0.31 0.54 0.75 0.89 0.96 0.99 1.00 1.00
频数分布图（frequency distribution figure） ：
根据频数分布表，以变量值为横坐标，频数为纵坐 标，绘制的直方图。
【统计学】04 第二章 定量资料的统计描述
频率(%)
30
25
直条图
20
15
10
5
0
0
1
2
3
4
5
>5
产前检查次数
图2-1 1998年某地96名孕妇产前检查次数频率分布
8
二、连续型定量变量的频率分布
例2-2 抽样调查某地120名18～35岁健康男性居民血清铁含量(μmmo/L),数 据如下。试编制血清铁含量的频率分布表。
首先，分析资料类型？ 定量数据---连续型
表211998年某地96名孕妇产前检查次数频率分布检查次数检查次数11频数频数22频率频率33累计频数累计频数44累计频率累计频率11132623124273115135271240125112235618496421152293656358751000合计961000图211998年某地96名孕妇产前检查次数频率分布1015202530离散型定量变量的频率分布图可用直条图表达以等宽直条的高度表示各组频率的多少直条图二连续型定量变量的频率分布例22抽样调查某地120名1835岁健康男性居民血清铁含量mmol数据如下
频数
25 20 15 10
5 0
0
20
40
60
80
100
120
140
滴度倒数
25
20
15
f 10
5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
lgX
23
3、计算公式：直接法和频数表法。
（1）直接法 公式：
G n X1 X2 X3 Xn
对数的形式为
G lg 1 lg X1 lg X 2 lg X n lg 1 lg X
2h第二章 定量资料的统计描述
频数与频数分布
对称分布：频数最多的组段在中央，图2-2 正偏峰分布：峰向左侧偏移的分布，右侧的 组段数多于左侧，为右偏峰分布。图2-3 负偏峰分布：峰向右侧偏移的分布，左侧的 组段数多于右侧，称为左偏峰分布。 图21
定量变量的特征数
集中趋势统计指标 对于连续型定量变量，描述集中趋势常 用的统计量为算术均数、几何均数和中位 数。 算术均数：适合描述对称分布资料的集中位 置（也称为平均水平）。其计算公式为
频数与频数分布
数据
7.42 20.38 18.36 14.27 14.89 24.52 17.14 14.77 21.75 12.65 8.65 8.40 23.04 17.40 18.37 19.26 13.77 14.37 19.47 18.48 23.02 17.32 24.22 22.55 19.50 26.13 12.50 24.75 15.51 19.83 21.61 29.64 24.13 17.55 17.08 16.99 20.40 12.73 10.86 23.12 21.31 19.69 21.53 16.10 18.12 18.89 20.30 17.25 27.81 19.22 21.46 21.69 11.09 17.98 26.02 18.46 19.38 19.09 21.65 19.22 9.97 23.90 18.89 20.13 11.34 20.87 23.11 16.79 16.32 16.72 22.73 17.45 18.26 21.00 13.81 17.51 12.67 17.19 20.75 27.90 14.94 19.08 23.29 14.56 10.25 13.12 23.02 19.32 22.11 11.74 20.18 20.52 17.67 19.89 15.94 11.75 24.36 19.59 13.17 24.66 21.62 24.14 15.38 19.82 15.83 17.40 25.61 19.12 17.55 14.18 23.07 23.77 18.61 17.48 18.54 21.36 19.53 15.31 19.26 16.52
统计学 第2章 统计数据的描述
第2章统计数据的描述练习：2.1为评价家电行业售后服务的质量，随机抽取了由100家庭构成的一个样本。
服务质量的等级分别表示为：A.好；B.较好；C.一般；D.差；E.较差。
调查结果如下：B EC C AD C B A ED A C B C DE C E EA DBC C A ED C BB ACDE A B D D CC B C ED B C C B CD A C B C DE C E BB EC C AD C B A EB ACDE A B D D CA DBC C A ED C BC B C ED B C C B C(1) 指出上面的数据属于什么类型；(2)用Excel制作一张频数分布表；(3) 绘制一张条形图，反映评价等级的分布。
2.2某行业管理局所属40个企业2002年的产品销售收入数据如下（单位：万元）：152 124 129 116 100 103 92 95 127 104105 119 114 115 87 103 118 142 135 125117 108 105 110 107 137 120 136 117 10897 88 123 115 119 138 112 146 113 126(1)根据上面的数据进行适当的分组，编制频数分布表，并计算出累积频数和累积频率；(2)如果按规定：销售收入在125万元以上为先进企业，115万～125万元为良好企业，105万～115万元为一般企业，105万元以下为落后企业，按先进企业、良好企业、一般企业、落后企业进行分组。
2.3某百货公司连续40天的商品销售额如下（单位：万元）：41 25 29 47 38 34 30 38 43 4046 36 45 37 37 36 45 43 33 4435 28 46 34 30 37 44 26 38 4442 36 37 37 49 39 42 32 36 35根据上面的数据进行适当的分组，编制频数分布表，并绘制直方图。
统计学第二章
按性别分组 男生 女生 合计
人数 30 20 50
百分比 % 60 40 100
三、按数量标志分组
按照数量或数值等定量指标分组，称为按数量 标志分组。
（1）单变量分组：一个变量值为一组，适合离散 变量，且变量值较少。步骤是先排序再分组。 （2）组距分组：
将全部变量值划分为若干区间，并将这一区间的变量值 作为一组，适用于连续变量或变量值较多的情况。 需要遵循“不重不漏”的原则，可采用等距分组，也可 采用不等距分组。
2.1 统计数据的整理
2.1.0 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 数据的预处理 统计数据的分组 次数分配 次数分配直方图 洛伦茨曲线
2.1.0 数据的预处理
一、数据的审核 对原始数据，审核完整性和准确性。前者指 调查单位是否遗漏、项目是否齐全等；后者 指数据是否真实、是否错误等。方法是逻辑 检查和计算检查。 对二手数据审核完整性和准确性外，着重审 核数据的适用性和时效性。前者应清楚数据 的来源、口径和背景，后者应注意数据的时 间，使用最新的数据。
当f-1=f+1时如图（a），当f-1>f+1时如图（b）， 当f-1<f+1时如图（c）。
（a）
（b）
（c）
②公式计算：
上限公式
f f 1 M0 U ( f f 1) ( f f f f 1 M0 L ( f f 1) ( f f
1
2.1.2 次数分配
对于例2-1采用组距分组，计算组数K=1+1g30/ 1g2=5（组），组距 =（128-84）/ 5=8.8，组距取10件，整理成频数分布表2-3。
统计学习题1
第2章统计数据的描述练习：2.1为了确定灯泡的使用寿命（小时），在一批灯泡中随机抽取100只进行测试，所得结果如下：700 716 728 719 685 709 691 684 705 718706 715 712 722 691 708 690 692 707 701708 729 694 681 695 685 706 661 735 665668 710 693 697 674 658 698 666 696 698706 692 691 747 699 682 698 700 710 722694 690 736 689 696 651 673 749 708 727688 689 683 685 702 741 698 713 676 702701 671 718 707 683 717 733 712 683 692693 697 664 681 721 720 677 679 695 691713 699 725 726 704 729 703 696 717 688(1)利用计算机对上面的数据进行排序；(2)以组距为10进行等距分组，整理成频数分布表，并绘制直方图；(3)绘制茎叶图，并与直方图作比较。
2.2某百货公司6月份各天的销售额数据如下（单位：万元）：257 276 297 252 238 310 240 236 265 278271 292 261 281 301 274 267 280 291 258272 284 268 303 273 263 322 249 269 295（1）计算该百货公司日销售额的均值、中位数和四分位数；（2）计算日销售额的标准差。
2.3在某地区抽取的120家企业按利润额进行分组，结果如下：按利润额分组（万元）企业数（个）200～300 19300～400 30400～500 42500～600 18600以上11合计120计算120家企业利润额的均值和标准差。
医学统计学 第二章 计量资料的统计描述
肌红蛋白含量
人数
0～
2
5～
3
10～
7
15～
9
20～
10
25～
22
30～
23
35～
14
40～
9
45～50
2
18
人数
25 20 15 10
5 0
2.5 12.5 22.5 32.5 42.5 52.5 血 清 肌 红 蛋 白（μg / m L）
图 2-3 101 名 正 常 人 血 清 肌 红 蛋 白 的 频 数 分 布
医学统计学 第二章 计量资料的统计 描述
计量资料（定量资料、数值变量资料） 总体：有限或无限个（定量）变量值 样本：从总体随机抽取的n个变量值：
X1,X2,X3,……,Xn
n为样本例数（样本大小、样本含量）
2
统计描述——描述其分布规律 1、用频数分布表（图）
要求：大样本 如 n〉30
2、用统计指标 描述 集中趋势 离散趋势
6
➢制表步骤 了解分布
1. 求极差（range） 极差也称全 距，即最大值和最小值之差，记作R。 本例
R 5 .7 1 2 .3 5 3 .3 6 ( m m o l/L )
7
2．确定组距(i) :
组段数通常取组 10-15组 本例组距
i 3 .3 6 /1 0 0 .3 3 6 0 .3 0
累计频率（%） (4)
0
402
402
35.80
1
330
732
65.18
2
232
964
85.84
3
118
1082
96.35
4
27
统计学第2章 统计数据的描述(1)
（4）组中值：上下限之间中点的值。
组中值=（上限+下限）/2=上限-组距/2 =下限+组距/2
“××以上”、“××以下”这样的组叫开口组。一般假 定开口组的组距与其相邻组的组距相等。其组中值计算如下： 缺下限最小组的组中值=上限-相邻组组距/2 缺上限最大组的组中值=下限+相邻组组距/2 见第37页的表2.15
第三节 统计整理
一、统计整理的概念和步骤
概念：统计整理是根据统计研究的目的和要求，把统计调查 从而得到反映事物总体特征资料的过程。
步骤： 第一，统计资料审核。包括及时性(整个工作期限、搜 集资料的时间、资料所属的时间)；准确性(事实求地反映 实际情况、计算正确)；完整性(规定应调查的总体单位、 每个调查单位应调查的内容)等方面的审核。 第二，统计分组 第三，统计汇总 第四，编制统计表或绘制统计图
提供统计数据的部分政府网站
美国政府机构 人口普查局 联邦储备局 预算编制办公室 商务部 网 址 数据内容
人口和家庭等 http://www.bog.frb.fed. 货币供应、信誉、 us 汇率等 http://www.whitehouse. 财政收入、支出、 gov/omb 债券等 商业、工业等
统计数据的来源主要有两个： 一是直接来源，即来源于直接的调查和科学试验， 得到第一手数据。 二是间接来源，即来源于别人调查或试验的数 据，得到第二手数据。
见第8-9页
一、统计数据的直接来源 1、普查
（1）概念 为了某一特定目的而专门组织的一次性全面调查。 （2）特点 ①具有一次性和周期性。
“一次性”是指调查现象在某一时点上的数据。
（1）对称分布：以变量值的中点为对称轴的对称分布。
（2）偏态分布:
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第2章统计数据的描述——练习题●1.为评价家电行业售后服务的质量，随机抽取了由100家庭构成的一个样本。
服务质量的等级分别表示为：A.好；B.较好；C.一般；D.差；E.较差。
调查结果如下：B EC C AD C B A ED A C B C DE C E EA DBC C A ED C BB ACDE A B D D CC B C ED B C C B CD A C B C DE C E BB EC C AD C B A EB ACDE A B D D CA DBC C A ED C BC B C ED B C C B C(1) 指出上面的数据属于什么类型；(2)用Excel制作一张频数分布表；(3) 绘制一张条形图，反映评价等级的分布。
解：（1）由于表中的数据为服务质量的等级，可以进行优劣等级比较，但不能计算差异大小，属于顺序数据。
（2）频数分布表如下：服务质量等级评价的频数分布服务质量等级家庭数（频数）频率%A1414B2121C3232D1818E1515合计100100（3）条形图的制作：将上表(包含总标题，去掉合计栏)复制到Excel表中，点击：图表向导→条形图→选择子图表类型→完成(见Excel练习题。
即得到如下的条形图：700716728719685709691684705718706715712722691708690692707701708729694681695685706661735665668710693697674658698666696698706692691747699682698700710722694690736689696651673749708727688689683685702741698713676702701671718707683717733712683692693697664681721720677679695691713699725726704729703696717688(1)利用计算机对上面的数据进行排序；(2)以组距为10进行等距分组，整理成频数分布表，并绘制直方图；(3)绘制茎叶图，并与直方图作比较。
解：（1）排序：将全部数据复制到Excel中，并移动到同一列，点击：数据→排序→确定，即完成数据排序的工作。
(见Excel练习题（2）按题目要求，利用已排序的Excel表数据进行分组及统计，得到频数分布表如下：(见Excel练习题100只灯泡使用寿命非频数分布按使用寿命分组（小时）灯泡个数（只）频率（%）650~66022660~67055670~68066680~6901414690~7002626700~7101818710~7201313720~7301010730~74033740~75033合计100100制作直方图：将上表(包含总标题，去掉合计栏)复制到Excel表中，选择全表后，点击：图表向导→柱形图→选择子图表类型→完成。
即得到如下的直方图：(见Excel练习题（3）制作茎叶图：以十位以上数作为茎，填入表格的首列，将百、十位数相同的数据的个位数按由小到大的顺序填入相应行中，即成为叶，得到茎叶图如下：第5章 参数估计●1.某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额，在为期3周的时间里选取49名顾客组成了一个简单随机样本。
（1） 假定总体标准差为15元，求样本均值的抽样标准误差； （2） 在95%的置信水平下，求允许误差；（3） 如果样本均值为120元，求总体均值95%的置信区间。
解：（1）已假定总体标准差为σ=15元， 则样本均值的抽样标准误差为x σσ15=（2）已知置信水平1－α=95%，得 α/2Z =，于是，允许误差是E =α/2σZ =×=。
（3）已知样本均值为x =120元，置信水平1－α=95%，得 α/2Z =， 这时总体均值的置信区间为±α/2x Z ±=124.2115.8(1)假定总体标准差为15元，求样本均值的抽样标准误差。
x σ=== (2)在95％的置信水平下，求边际误差。
x x t σ∆=⋅，由于是大样本抽样，因此样本均值服从正态分布，因此概率度t=2z α因此，x x t σ∆=⋅2x z ασ=⋅0.025x z σ=⋅=×=(3)如果样本均值为120元，求总体均值 的95％的置信区间。
置信区间为：(),x x x x -∆+∆=()120 4.2,120 4.2-+=（，）可知，如果样本均值为120元，总体均值95%的置信区间为（，）元。
利用下面的信息，构建总体均值µ的置信区间：1） 总体服从正态分布，且已知σ = 500，n = 15， =8900，置信水平为95%。
解： N=15，为小样本正态分布，但σ已知。
则1-＝95%，。
其置信区间公式为∴置信区间为：8900±×500÷√15=（ , ）2） 总体不服从正态分布，且已知σ = 500，n = 35， =8900，置信水平为95%。
解：为大样本总体非正态分布，但σ已知。
则1-＝95%，。
其置信区间公式为∴置信区间为：8900±×500÷√35=（ ）3） 总体不服从正态分布，σ未知，n = 35， =8900，s =500，置信水平为90%。
解：为大样本总体非正态分布，且σ未知，1-＝90%，。
2α()28.109,44.10192.336.105251096.136.1052=±=⨯±=±nz x σαx x 2α()28.109,44.10192.336.105251096.136.1052=±=⨯±=±nz x σαx其置信区间为：8900±×500÷√35=（8761 9039）x4）总体不服从正态分布，σ未知，n = 35，=8900，s =500，置信水平为99%。
解：为大样本总体非正态分布，且σ未知，1-＝99%，。
其置信区间为：8900±×500÷√35=（）●3.某大学为了解学生每天上网的时间，在全校7500名学生中采取不重复抽样方法随机抽取36人，调查他们每天上网的时间，得到下面的数据（单位：小时）：求该校大学生平均上网时间的置信区间，置信水平分别为90%、95%和99%。
解：⑴计算样本均值x：将上表数据复制到Excel表中，并整理成一列，点击最后数据下面空格，选择自动求平均值，回车，得到x=，⑵计算样本方差s：删除Excel表中的平均值，点击自动求值→其它函数→STDEV→选定计算数据列→确定→确定，得到s=也可以利用Excel进行列表计算：选定整理成一列的第一行数据的邻列的单元格，输入“＝^2”，回车，即得到各数据的离差平方，在最下行求总和，得到：∑2i （x -x ）=再对总和除以n-1=35后，求平方根，即为样本方差的值s=。
⑶计算样本均值的抽样标准误差： 已知样本容量 n =36，为大样本， 得样本均值的抽样标准误差为 x σs1.6093⑷分别按三个置信水平计算总体均值的置信区间：① 置信水平为90%时：由双侧正态分布的置信水平1－α=90%，通过2β－1=换算为单侧正态分布的置信水平β=，查单侧正态分布表得 α/2Z =，计算得此时总体均值的置信区间为±α/2sx Z ±×= 3.75652.8769可知，当置信水平为90%时，该校大学生平均上网时间的置信区间为（，）小时；② 置信水平为95%时：由双侧正态分布的置信水平1－α=95%，得 α/2Z =，计算得此时总体均值的置信区间为±α/2sx Z ±×= 3.84232.7910可知，当置信水平为95%时，该校大学生平均上网时间的置信区间为（，）小时；③ 置信水平为99%时：若双侧正态分布的置信水平1－α=99%，通过2β－1=换算为单侧正态分布的置信水平β=，查单侧正态分布表得 α/2Z =，计算得此时总体均值的置信区间为±α/2sx Z ±×= 4.00872.6247可知，当置信水平为99%时，该校大学生平均上网时间的置信区间为（，）小时。
●4.某居民小区共有居民500户，小区管理者准备采取一项新的供水设施，想了解居民是否赞成。
采取重复抽样方法随机抽取了50户，其中有32户赞成，18户反对。
（1）求总体中赞成该项改革的户数比率的置信区间，置信水平为95%； （2）如果小区管理者预计赞成的比率能达到80%，应抽取多少户进行调查 解： 已知总体单位数N =500，重复抽样，样本容量n =50，为大样本，样本中，赞成的人数为n 1=32，得到赞成的比率为 p =n 1n =3250=64%（1）赞成比率的抽样标准误差为=%由双侧正态分布的置信水平1－α=95%，得 α/2Z =，计算得此时总体户数中赞成该项改革的户数比率的置信区间为p ±αZ ±×%=77.304%50.696%可知，置信水平为95%时，总体中赞成该项改革的户数比率的置信区间为（%,%）。
（2）如预计赞成的比率能达到80%，即 p =80%，由得样本容量为 n =20.80.2(6.788%)⨯= 取整为35，即可得，如果小区管理者预计赞成的比率能达到80%，应抽取35户进行调查。
5.顾客到银行办理业务时往往需要等待一段时间，而等待时间的长短与许多因素有关，比如，银行业务员办理业务的速度，顾客等待排队的方式等。
为此，某银行准备采取两种排队方式进行试验，第一种排队方式是：所有顾客都进入一个等待队列；第二种排队方式是：顾客在三个业务窗口处列队等待。
为（1） 构建第一种排队方式等待时间标准差的95%的置信区间 （2） 构建第二种排队方式等待时间标准差的95%的知心区间 （3） 根据（1）和（2）的结果，你认为哪种排队方式更好 卷面解答过程： 解：已知n=10（1） 根据抽样结果计算得x =s=又∵α=，由单方差得总体标准差σ的95%的置信区间为, ；（2） 根据抽样结果计算得x =s=又∵α=，由单方差得总体标准差σ的95%的置信区间为, 。
（3） 根据上面两道题目的答案可知，第一种排队方式所需等待的时间较为稳定，更为可取。
MINITAB 操作步骤：（1） 输入数据→统计→基本统计量→单样本t →选择数据→选项：95%MINITAB 显示： 单样本 T: C1平均值变量 N 平均值 标准差 标准误 95% 置信区间 C1 10 ,（2） 同上6.从两个正态总体中分别抽取两个独立的随机样本，它们的均值和标准差如下表：来自总体1的样本 来自总体2的样本141=n 72=n 2.531=x4.432=x8.9621=s0.10222=s（1） 求21μμ-90%的置信区间；（2） 求21μμ-95%的置信区间。