天一中学新高一分班考试数学试卷(含答案)
江苏省天一中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷
江苏省天一中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷一、单选题1．已知全集U R =，142A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，{}3B x x =≤-，12C x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，则集合C =A ．()U A BðB ．()U A B ðC ．()U A B ⋂ðD ．()U A Bð2．命题:p x ∃∈R ，221x x x ++≥的否定（）A ．x ∀∈R ，221x x x ++≥B ．x ∀∈R ，221x x x ++<C ．x ∀∈R ，221x x x ++>D ．x ∃∈R ，221x x x++<3．函数2(1)mmy m x -=-为幂函数，则该函数为（）A ．增函数B ．减函数C ．奇函数D ．偶函数4．下列命题为真命题的是（）A ．若0a b >>，0m >.则a a mb b m+>+B ．若0a b >>，则22ac bc >C ．若0a b <<，则22a ab b <<D ．若a b <，则11a b>5．函数31()f x x x=-的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．6．函数31y x =++的值域为（）A ．[)2,+∞B ．(],2-∞C ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．(],3-∞7．德国数学家狄利克雷在1837年时提出：“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，那么y 是x 的函数.”这个定义较清楚地说明了函数的内涵：只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x ，有一个确定的y 和它对应，这个法则可以是公式、图象、表格等形式，例如狄利克雷函数()D x ，当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0，以下关于狄利克雷函数()D x 的性质：①0D=；②()D x 的值域为[]0,1；③()D x 为奇函数；④(1)()D x D x -=，其中表述正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．48．对于函数()y f x =，若存在0x ，使()()00f x f x =--，则称点()()00,x f x 与点()()00,x f x --是函数()f x 的一对“隐对称点”.若函数22,0()2,0x x x f x mx x ⎧-+<⎪=⎨+≥⎪⎩的图象存在三对“隐对称点”，则实数m 的取值可以是（）A ．1-B ．0.9-C ．0.8-D ．0.7-二、多选题9．下列命题中为真命题的是（）A ．“4x >”是“5x <”的既不充分又不必要条件B ．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要而不充分条件C ．“关于x 的方程20(a 0)++=≠ax bx c 有实数根”的充要条件是“240b ac ->”D ．设a ，b ∈R ，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件10．若正数a ，b 满足121a b+=，则（）A ．8ab ≥B ．28a b +≥C ．2112a b +≤D ．21212a b +≥--11．已知函数()()2,f x x ax b a b =-++∈R 的值域为(],0-∞，若关于x 的不等式()1f x c >-的解集为(4,1)m m -+，则下列选项正确的为（）A ．240a b +=B ．3a m =-C ．24(23)0b m +-=D ．214c =-三、填空题12．20.523513105(1)216427--⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-÷+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭13．已知函数()f x 是偶函数，当0x ≥时，()(21)f x x x =--，则当0x <时，()f x =14．已知a ，0b >，若229629180a b ab ++-=，则552a b +的最小值为四、解答题15．已知集合{|17}U x x =<<，{|25}A x x =≤≤，{|47}B x x =≤<.求：(1)A B ⋂；(2)A B ；(3)()C U A B ⋃.16．已知二次函数()f x 的最小值为1，且(0)(2)3f f ==.(1)求()f x 的解析式；(2)0a >，解关于x 的不等式：()230f x ax a +-->；(3)当[1,1]x ∈-时，()221f x x m >++恒成立，试确定实数m 的取值范围.17．已知函数2()16ax bf x x +=-是定义在(4,4)-上的奇函数.且(1)1f =.(1)求实数a ，b 的值；(2)判断函数()f x 在(4,4)-上的单调性，并用定义证明你的结论；(3)若()21(15)0f t f t -+-<，求t 的取值范围.18．如图，已知ABC V 中10AB AC ==，16BC =，点P 从B 点沿线段BC 运动到C 点，过P 作BC 的垂线L ，与折线B A C --交于M 点，记直线L 右侧阴影部分的多边形为Ω.设4BP x =，Ω的面积为()S x ，Ω的周长为()L x .(1)()S x 和()L x 的解析式；(2)记()()()S x F x L x =，求()F x 的最大值.19．我们知道，函数()y f x =为奇函数的充要条件是函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称，有同学发现该结论可以推广为：函数()y f x =的图象关于点(,)a b 成中心对称的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数.(1)已知函数3()5f x mx nx =-+，且(5)3f =，求(5)f -的值.(2)已知函数32()9673g x x x x =--+.（Ⅰ）求()g x 的图象的对称中心；（Ⅱ）若()g x 与5()3x h x x -=-的图象有四个公共点()11,x y ，()22,x y ，()33,x y ，()44,x y ，求1234y y y y +++的值.。
高一新生分班考试数学试卷含答案
高一新生分班考试数学试卷（含答案）满分150分，考试时间120 分钟）、选择题（每题 5 分，共40 分）1．化简 a a2（）A． a B．a C．a D．a22．分式x x 2的值为0，则x 的值为（）| x| 1A．1或2B．2 C ．1D． 23．如图，在四边形ABCD中，E、F 分别是AB、AD的中点。
若EF＝2，BC＝5，CD＝3，则tanC 等于（）A．4B．3 C．3D．435454．如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，AC是直径，∠ P=40°，则∠ BAC=（）0 0 0 0A．400B．800C．200D．100入表格中。
5．在两个袋内， 卡片，则所取 分别装着写有 1、2、3、4 上数字之积为偶数的 6．如图，矩形纸片 AB 处，折痕为 AE ，且 EF=3， 动点，运动路线是 A →D →C →B →A, 设 P 点经过的路程为 x ， D 为顶点的三角形的面积是 y. 则下列图象能大致反映 y 与 x 的是 （） 8.若直角坐标系内两点 P 、Q 满足条件① P 、Q 都在函数 y 的 Q 关于原点对称，则称点对（ P ，Q ）是函数 y 的一个“友好 对（ P ， Q ）与（ Q ，P ）看作同一个“友好点对”）。
已知函 2x 2 ，已知 AD=8，折 则 AB 的长为 （） 如图，正方形 AB （C4D 的题边图长） 为 4， P 为正 4x 1，x 0, 则函数 y 的“友好点对”有（）个D中各任取一张 ，点 B 落在点 F CAD P B C 方形边上一 以点 A 、P 、 的函数关系 图象上② P 、 点对”（点 数A ．.1题号12345678得分评卷人答案C 注意：请 将选择题 的答案填A176 5 C ． 16 P 使 AB 边与对） O E (6 题字的 4A 张卡片，今从每个袋x0y 1，2x二、 填空题（每题 5分，共 50 分）9．已知 a 、b 是一元二次方程 x 22x 1 0的两个 a b a b 2 ab 得分 评卷人实数根，则代数式的值等于10．有一个六个面分别标上数字 1、2、3、4、5、6 的正方体，甲、乙、丙三位同学从不同 的角度观察的结果如图所示． 如果记 2 的对面的数字为 的解 x 满足 k x k 1，k 为整数，则 k m ，3的对面的数字为 n ，则方程m x 1nE11． 1 2 ADy x f (x) y x 2f (x)C)A 3 x 3 25 1 f(1) 1 f (x) 甲 A 1 f (a) f (b) f( O 的直径，四边形 则正方形 CDM 16. 如图， CD 为 C 1 丙 题图 C 1 AB 1,BC 2 AA 1x a |x| F A cb BC 3M BB 1 A 1M 1题M 图C 1 BM 图，AB 是半圆 DEFG 都是正方形， 其中 C ，D ，E 在 AB 上，F ，N 在半圆上。
江苏省天一中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷(物理方向强化班)
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试卷第51 页，共33 页
1．C
参考答案：
【分析】先求出集合 A ，再根据交集的定义求解即可.
【详解】由 4 - x2 ³ 0 ，解得 -2 £ x £ 2 ，所以 A = {x -2 £ x £ 2} ，
又 B = {x 0 < x < 3} ，
又因为 x -1 > 0 ，即 x > 1 ，
所以函数 g(x) = f (x) 的定义域为 (1, 6) ， x -1
故选：A. 3．D 【分析】根据函数的解析式确定图象. 【详解】由题可得， -x2 +1 ¹ 0 ，解得 x ¹ ±1 ，
所以函数 f (x) 的定义域为 (-¥, -1) È (-1,1) È (1, +¥) ，
B．存在 x1 ¹ 1, x2 ¹ 1 ，且 x1 < x2 ，有 f ( x1 ) < f ( x2 )
C．若函数 g(x) 满足 g(2 - x) + g(x) = 8 ，函数 f (x) 与 g(x) 的图像相交于点
A( x1, y1 )、B ( x2 , y2 ) ，则 x1 + y1 + x2 + y2 = 10
x2
-
f(
x1
x1 )
<
0
，且
f
(3)
=
0
，则不等式 (2x
-1)
f
(x)
>
0
的解集是（
）
A．
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-3,
2023-2024学年江苏省无锡市锡山区天一中学高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省无锡市锡山区天一中学高一（上）期末数学试卷一.单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1．已知集合A＝{x||x|≤2}，B＝{a，0}，且B⊆A，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[﹣2，0）∪（0，2]C．（﹣2，2）D．（﹣2，0）∪（0，2）2．已知点P（tanθ，sinθ）是第二象限的点，则θ的终边位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．若a，b∈R，则“2a﹣b＞1”是“a＞b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知函数f（x）为R上的奇函数，当x＜0时，f(x)=2x−18，则f（x）＜0的解集为（）A．（﹣3，0）∪（0，3）B．（﹣3，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）D．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）5．已知点(3，19)在幂函数f（x）＝xα的图象上，设a＝f（log25），b＝f（ln2），c=f(tanπ3)，则a，b，c 的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a6．函数f(x)=x2lg2+x2−x的大致图象是（）A．B．C．D．7．若关于x的方程2sin x cos x﹣cos2x＝1在[0，π）内有两个不同的解x1，x2，sin（x1+x2）的值为（）A．12B．√22C．√32D．√2+√648．已知函数f（x）＝sin x，若存在x1，x2，…，x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f （x 3）|+…+|f （x m ﹣1）﹣f （x m ）|＝12（m ≥2，m ∈N *），则m 的最小值为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．9二.多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（ ）A ．若角α与角β不相等，则α与β的终边不可能重合B ．若圆心角为π3的扇形的弧长为π，则扇形的面积为3π2C ．终边落在直线y ＝x 上的角的集合是{α|α=π4+kπ，k ∈Z}D ．函数y =tan(2x −π6)的定义域为{x|x ≠π3+kπ2，k ∈Z}10．设正实数x ，y 满足x +y ＝2，则下列说法正确的是（ ） A ．1x +1y的最小值为2B ．xy 的最小值为1C ．√x +√y 的最大值为4D ．x 2+y 2的最小值为211．主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与振幅相同的反相位声波来抵消噪声，已知某噪声的声波曲线f(x)=2sin(2π3x +φ)(|φ|＜π2)，且经过点（1，2）．则下列说法正确的是（ ） A ．函数f(x +14)是奇函数B ．函数f （x ）在区间（1，2）上单调递减C ．∃n ∈N *，使得f （1）+f （2）+f （3）+…+f （n ）＞2D ．∀x ∈R ，存在常数m 使得f （x +1）+f （x +2）+f （x +3）＝m12．若n ∈N *时，不等式(nx −6)ln(nx)≥0恒成立，则实数x 可取下面哪些值（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数f(x)=√x +4+ln(1−x)，则f （2x ）的定义域为 ．14．在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边经过点(35，45)，则tan2α＝ ．15．某杀菌剂每喷洒一次就能杀死某物质上的细菌的80%，要使该物质上的细菌少于原来的0.1%，则至少要喷洒 次．（lg 2≈0.3010）16．已知函数f(x)=sin(2x +π6)，g(x)=f(x 2+π4)，若对任意的a ，b ∈[π﹣m ，m ]，当a ＞b 时，f （a ）﹣f （b ）＜g （2a ）﹣g （2b ）恒成立，则实数m 的取值范围是 ．四.解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知集合A={x|x+1x−5＞0}，B={x|y=√3x−9}，C＝（﹣∞，2m+1]，其中m∈R．（1）若（∁R A）∩B；（2）若A∪C＝R，求m的取值范围．18．（12分）（1）已知tanα是关于x的方程2x2+x﹣1＝0的一个实根，且α是第一象限角，求3sin2α﹣sinαcosα+2cos2α的值；（2）已知sinα+cosα=12，且α∈（0，π），求1sinα−1cosα的值．19．（12分）已知f(x)=2√3sinxcosx−2sin2x．（1）求函数y＝f（x）在R上的单调增区间；（2）将函数y＝f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位，再对图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数y＝g（x）的图象，若函数y＝g（x）的图象关于直线x=π6对称，求m取最小值时的y＝g（x）的解析式．20．（12分）已知函数f(x)=log2(2x)⋅log2x4．（1）当x∈[1，4]时，求该函数的值域；（2）若f（x）＜m log2x对于x∈[2，8]恒成立，求实数m的取值范围．21．（12分）深圳别称“鹏城”，“深圳之光”摩天轮是中国之眼．游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12min，其中心O距离地面40.5m，半径40m．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，经过时间t（单位：min）之后，请解答下列问题．（1）求出你与地面的距离h（单位：m）与时间t之间的函数解析式；（2）当你登上摩天轮2min后，你的朋友也在摩天轮最低处登上摩天轮，求两人距离地面的高度差H （单位：m）关于t的函数解析式，并求高度差的最大值．22．（12分）设函数f（x）＝ax2﹣|x﹣a|，a∈R．（1）当a＝1时，判断f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当﹣1≤a≤2时，若对任意的x∈[1，4]，均有f（x）+bx≤0成立，求a2+b的最大值．2023-2024学年江苏省无锡市锡山区天一中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一.单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1．已知集合A＝{x||x|≤2}，B＝{a，0}，且B⊆A，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[﹣2，0）∪（0，2]C．（﹣2，2）D．（﹣2，0）∪（0，2）解：集合A＝{x||x|≤2}＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{a，0}，B⊆A，则实数a的取值范围是[﹣2，0）∪（0，2]．故选：B．2．已知点P（tanθ，sinθ）是第二象限的点，则θ的终边位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：因为点P（tanθ，sinθ）在第二象限，所以sinθ＞0，tanθ＜0，所以θ为第二象限角．故选：B．3．若a，b∈R，则“2a﹣b＞1”是“a＞b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：根据指数函数y＝2x是R上的增函数，可知2a﹣b＞1等价于2a﹣b＞20，即a﹣b＞0，因为“a﹣b＞0”是“a＞b”的充要条件，所以“2a﹣b＞1”是“a＞b”的充要条件．故选：C．4．已知函数f（x）为R上的奇函数，当x＜0时，f(x)=2x−18，则f（x）＜0的解集为（）A．（﹣3，0）∪（0，3）B．（﹣3，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）D．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）解：因为函数f（x）为R上的奇函数，当x＜0时，f(x)=2x−1 8，当x＞0时，﹣x＜0，所以f（﹣x）=2−x−18=−f（x），所以f（x）=18−12x，又f（0）＝0，则f（x）＜0可转化{x＜02x−18＜0或{x＞018−12x＜0，解得，x＜﹣3或0＜x＜3．故选：C．5．已知点(3，19)在幂函数f（x）＝xα的图象上，设a＝f（log25），b＝f（ln2），c=f(tanπ3)，则a，b，c的大小关系为（ ） A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．b ＞c ＞a解：∵点(3，19)在幂函数f （x ）＝x α的图象上，∴3α=19，∴α＝﹣2，∴f （x ）＝x ﹣2，在（0，+∞）上单调递减，∵log 25＞log 24＝2，0＝ln 1＜ln 2＜lne ＝1，tan π3=√3， ∴0＜ln 2＜tan π3＜log 25，∴f （ln 2）＞f （tan π3）＞f （log 25），即b ＞c ＞a ．故选：D ． 6．函数f(x)=x 2lg2+x2−x的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．解：由2+x 2−x＞0解得﹣2＜x ＜2，所以f （x ）的定义域为（﹣2，2），f(−x)=x 2lg2−x 2+x =x 2lg(2+x 2−x )−1=−x 2lg 2+x2−x=−f(x)， 所以f （x ）是奇函数，图象关于原点对称，由此排除BC 选项． f （1）＝lg 3＞0，由此排除D 选项． 故选：A ．7．若关于x 的方程2sin x cos x ﹣cos2x ＝1在[0，π）内有两个不同的解x 1，x 2，sin （x 1+x 2）的值为（ ） A ．12B ．√22C ．√32D ．√2+√64解：2sin x cos x ﹣cos2x ＝sin2x ﹣cos2x =√2sin （2x −π4）＝1在[0，π）内有两个不同的解x 1，x 2，等价于sin （2x −π4）=√22在[0，π）内有两个不同的解x 1，x 2，x ∈[0，π）⇒2x −π4∈[−π4，7π4），依题意，得2x 1−π4+2x 2−π4=π，解得x 1+x 2=3π4，sin （x 1+x 2）＝sin 3π4=√22．故选：B ．8．已知函数f （x ）＝sin x ，若存在x 1，x 2，…，x m 满足0≤x 1＜x 2＜…＜x m ≤6π，且|f （x 1）﹣f （x 2）|+|f （x 2）﹣f （x 3）|+…+|f （x m ﹣1）﹣f （x m ）|＝12（m ≥2，m ∈N *），则m 的最小值为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．9解：∵y ＝sin x 对任意x i ，x j （i ，j ＝1，2，3，…，m ）， 都有|f （x i ）﹣f （x j ）|≤f （x ）max ﹣f （x ）min ＝2，要使m 取得最小值，尽可能多让x i （i ＝1，2，3，…，m ）取得最高点，考虑0≤x 1＜x 2＜…＜x m ≤6π，|f （x 1）﹣f （x 2）|+|f （x 2）﹣f （x 3）|+…+|f （x m ﹣1）﹣f （x m ）|＝12， 按下图取值即可满足条件，∴m 的最小值为8． 故选：C ．二.多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（ ）A ．若角α与角β不相等，则α与β的终边不可能重合B ．若圆心角为π3的扇形的弧长为π，则扇形的面积为3π2C ．终边落在直线y ＝x 上的角的集合是{α|α=π4+kπ，k ∈Z}D ．函数y =tan(2x −π6)的定义域为{x|x ≠π3+kπ2，k ∈Z}解：对于A ，由任意角的定义可知，若角α与角β不相等，则α与β的终边也可能重合，例如α=π6，β=13π6，故A 错误；对于B，由扇形的面积公式可得，扇形的面积为12×lα×l=12×ππ3×π=32π，故B正确；对于C，终边落在直线y＝x上的角的集合是{α|π4+kπ，k∈Z}，故C正确；对于D，由正切函数的定义域可得，2x−π6≠π2+kπ，k∈Z，∴x≠π3+kπ2，即函数y=tan(2x−π6)的定义域为{x|x≠π3+kπ2，k∈Z}，故D正确．故选：BCD．10．设正实数x，y满足x+y＝2，则下列说法正确的是（）A．1x+1y的最小值为2B．xy的最小值为1C．√x+√y的最大值为4D．x2+y2的最小值为2解：∵x＞0，y＞0，x+y＝2，∴1x+1y=12(x+y)(1x+1y)=12(2+yx+xy)≥12(2+2√yx⋅xy)=2，当且仅当yx=xy，即x＝y＝1时等号成立，故选项A正确；∵x+y=2≥2√xy，∴xy≤1，当且仅当x＝y＝1时，等号成立，故选项B错误；∵2（a2+b2）﹣（a+b）2＝a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2≥0，则2（a2+b2）≥（a+b）2，∴（a+b）2≤2（a2+b2），∴(√x+√y)2≤2[(√x)2+(√y)2]=4，∴√x+√y≤2，当且仅当x＝y＝1时等号成立，最大值为2，故选项C错误；x2+y2≥(x+y)22=2，当且仅当x＝y＝1时等号成立，故选项D正确．故选：AD．11．主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与振幅相同的反相位声波来抵消噪声，已知某噪声的声波曲线f(x)=2sin(2π3x+φ)(|φ|＜π2)，且经过点（1，2）．则下列说法正确的是（）A．函数f(x+14)是奇函数B．函数f（x）在区间（1，2）上单调递减C．∃n∈N*，使得f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）＞2 D．∀x∈R，存在常数m使得f（x+1）+f（x+2）+f（x+3）＝m解：因为f(x)=2sin(2π3x+φ)(|φ|＜π2)经过（1，2），所以sin （2π3+φ）＝1，即2π3+φ＝2k π+π2，k ∈Z ，解得φ＝2k π−π6，k ∈Z ，又|φ|＜π2，所以φ=−π6，则f （x ）＝2sin （2π3x −π6）．对于A ，f （x +14）＝2sin[2π3（x +14）−π6]＝2sin 2π3x ，故为奇函数，所以A 正确；对于B ，x ∈（1，2）时，结合正弦函数的性质可知x ∈（1，2）时，f （x ）单调递减，所以B 正确； 对于D ，f （x +1）+f （x +2）+f （x +3）＝2sin （2π3x +π2）+2sin （2π3x +7π6）+2sin （2π3x +2π−π6）＝2cos 2π3x﹣2sin （2π3x +π6）+2sin （2π3x −π6）＝2cos 2π3x ﹣2（sin 2π3x cos π6+cos 2π3x sin π6）+2（sin 2π3x cos π6−cos 2π3x sin π6）＝2cos 2π3x ﹣2cos 2π3x ＝0，所以f （x +1）+f （x +2）+f （x +3）恒为0，所以D 正确；对于C ，当n ＝3k ，k ∈N *时，f （1）+f （2）+f （3）+⋯+f （n ）＝0，当n ＝3k +1，k ∈N *时，f （1）+f （2）+f （3）+⋯+f （n ）＝f （n ）＝2sin （2π3n −π6）≤2，当n ＝3k +2，k ∈N *时，f （1）+f （2）+f （3）+⋯+f （n ）＝f （n ﹣1）+f （n ）＝2sin （2π3n −5π6）+2sin （2π3n −π6）＝2（sin 2π3n •cos 5π6−cos 2π3n •sin 5π6）+2（sin 2π3n •cos π6−cos 2π3n •sin π6）＝﹣2cos 2π3n ≤2，所以C 错误．故答案为：ABD ．12．若n ∈N *时，不等式(nx −6)ln(nx)≥0恒成立，则实数x 可取下面哪些值（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解：当x ＝1时，n ＝2时，（n ﹣6）lnn ＝﹣4ln 2＜0，不等式(nx −6)ln(nx )≥0不恒成立，故A 错误；当x ＝2时，不等式即为（2n ﹣6）ln n2≥0，当n ＝1，2，3时，原不等式恒成立；n ≥4时，原不等式恒成立，故B 正确；当x ＝3时，不等式即为（3n ﹣6）ln n3≥0，当n ＝1，2，3时，原不等式恒成立；n ≥4时，原不等式恒成立，故C 正确；当x ＝4时，不等式即为（4n ﹣6）ln n 4≥0，当n ＝2时，8﹣6＝2，ln 12＜0，原不等式不恒成立，故D 错误． 故选：BC ．三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数f(x)=√x +4+ln(1−x)，则f （2x ）的定义域为 [﹣2，12） ．解：由题意得，{x +4≥01−x ＞0，解得﹣4≤x ＜1，令﹣4≤2x ＜1，则﹣2≤x ＜12，故f （2x ）的定义域为[﹣2，12）．故答案为：[﹣2，12）．14．在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边经过点(35，45)，则tan2α＝ −247 ．解：由角终边经过点(35，45)，故tanα=4535=43，则tan2α=2tanα1−tan 2α=2×431−(43)2=−247． 故答案为：−247． 15．某杀菌剂每喷洒一次就能杀死某物质上的细菌的80%，要使该物质上的细菌少于原来的0.1%，则至少要喷洒 5 次．（lg 2≈0.3010）解：设喷洒x 次，则：（1﹣0.8）x ＜0.1%＝10﹣3，∴xlg 0.2＜﹣3，∴x ＞31−lg2，且lg 2≈0.3010，∴31−lg2≈4.3，∴x ≥5，即至少喷洒5次． 故答案为：5．16．已知函数f(x)=sin(2x +π6)，g(x)=f(x 2+π4)，若对任意的a ，b ∈[π﹣m ，m ]，当a ＞b 时，f （a ）﹣f （b ）＜g （2a ）﹣g （2b ）恒成立，则实数m 的取值范围是 (π2，17π24] ．解：g(x)=f(x 2+π4)=sin(x +π2+π6)=cos(x +π6)，所以f （a ）﹣f （b ）＜g （2a ）﹣g （2b ），所以sin(2a +π6)−sin(2b +π6)＜cos(2a +π6)−cos(2b +π6)，所以sin(2a +π6)−cos(2a +π6)＜sin(2b +π6)−cos(2b +π6)，所以√2sin(2a +π6−π4)＜√2sin(2b +π6−π4)⇒sin(2a −π12)＜sin(2b −π12)， 因为对任意的a ，b ∈[π﹣m ，m ]，当a ＞b 时，f （a ）﹣f （b ）＜g （2a ）﹣g （2b ）恒成立 所以对任意的a ，b ∈[π﹣m ，m ]，当a ＞b 时，2a −π12＞2b −π12，sin(2a −π12)＜sin(2b −π12)恒成立， x ∈[π−m ，m]，2x −π12∈[23π12−2m ，2m −π12]． 不妨设2x −π12=t ，则问题转化成h （t ）＝sin t 在t ∈(23π12−2m ，2m −π12)单调递减， 所以{23π12−2m ≥π2+2kπ，2m −π12≤3π2+2kπ，2m −π12＞23π12−2m其中k ∈Z ，解得π2＜m ≤17π24，所以m 的取值范围为(π2，17π24]．故答案为：(π2，17π24]．四.解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知集合A={x|x+1x−5＞0}，B={x|y=√3x−9}，C＝（﹣∞，2m+1]，其中m∈R．（1）若（∁R A）∩B；（2）若A∪C＝R，求m的取值范围．解：（1）集合A={x|x+1x−5＞0}={x|x＜﹣1或x＞5}，B={x|y=√3x−9}={x|x≥2}，∴∁R A＝{x|﹣1≤x≤5}，∴（∁R A）∩B＝{x|2≤x≤5}；（2）∵A∪C＝R，C＝（﹣∞，2m+1]，其中m∈R．∴2m+1≥5，解得m≥2，∴m的取值范围是[2，+∞）．18．（12分）（1）已知tanα是关于x的方程2x2+x﹣1＝0的一个实根，且α是第一象限角，求3sin2α﹣sinαcosα+2cos2α的值；（2）已知sinα+cosα=12，且α∈（0，π），求1sinα−1cosα的值．解：（1）解方程2x2+x﹣1＝0，得x1＝﹣1，x2=12，∵tanα是关于x的方程2x2+x﹣1＝0的一个实根，且α是第一象限角，∴tanα=1 2，∴3sin2α﹣sinαcosα+2cos2α=3sin2α−sinαcosα+2cos2αsin2α+cos2α=3tan2α−tanα+2tan2α+1=3×14−12+214+1=95．（2）∵sinα+cosα=12，且α∈（0，π），∴（sinα+cosα）2＝1+2sinαcosα=1 4，∴2sinαcosα=−3 4，∵α∈（0，π），∴α∈（π2，π），∴cos﹣sinα=−√(cosα−sinα)2=−√1−2sinθcosθ=−√1+34=−√72，∴1sinα−1cosα=cosα−sinαsinαcosα=−√72−38=4√73．19．（12分）已知f(x)=2√3sinxcosx−2sin2x．（1）求函数y＝f（x）在R上的单调增区间；（2）将函数y ＝f （x ）的图象向左平移m （m ＞0）个单位，再对图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数y ＝g （x ）的图象，若函数y ＝g （x ）的图象关于直线x =π6对称，求m 取最小值时的y ＝g （x ）的解析式．解：（1）由于f(x)=2√3sinxcosx −2sin 2x =√3sin2x ﹣2•1−cos2x 2=2sin （2x +π6）﹣1， 令2k π−π2≤2x +π6≤2k π+π2，k ∈Z ，求得k π−π3≤x ≤k π+π6，k ∈Z ， 可得函数的增区间为[k π−π3，k π+π6]，k ∈Z ． （2）将函数y ＝f （x ）的图象向左平移m （m ＞0）个单位，可得y ＝2sin （2x +2m +π6）﹣1的图象； 再对图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数y ＝g （x ）＝2sin （x +2m +π6）﹣1的图象．若函数y ＝g （x ）的图象关于直线x =π6对称，则π6+2m +π6=k π+π2，k ∈Z ，即m =12•k π+π12，k ∈Z ． 令k ＝0，求得m 取最小值为π12，此时，y ＝g （x ）＝2sin （x +π3）﹣1． 20．（12分）已知函数f(x)=log 2(2x)⋅log 2x 4． （1）当x ∈[1，4]时，求该函数的值域；（2）若f （x ）＜m log 2x 对于x ∈[2，8]恒成立，求实数m 的取值范围．解：（1）f （x ）＝log 2（2x ）•log 2x 4=（1+log 2x ）（log 2x ﹣2）=log 22x ﹣log 2x ﹣2， 令log 2x ＝t ，则函数化为y ＝t 2﹣t ﹣2，t ∈[0，2]，因此当t =12时，y ＝t 2﹣t ﹣2取得最小值−94， 当t ＝2时，y ＝t 2﹣t ﹣2，t ∈[0，2]取得最大值0，即当x =√2时，函数f （x ）取得最小值−94；当x ＝4时，函数f （x ）取得最大值0， 可得函数的值域为[−94，0]； （2）f （x ）＜m log 2x ，x ∈[2，8]恒成立，即log 22x ﹣（m +1）log 2x ﹣2＜0，x ∈[2，8]恒成立，令log 2x ＝t ，则t 2﹣（m +1）t ﹣2＜0，t ∈[1，3]恒成立，令g （t ）＝t 2﹣（m +1）t ﹣2＜0，t ∈[1，3]，则{g(1)=−2−m ＜0g(3)=4−3m ＜0，解得m ＞43， 所以实数m 的取值范围为（43，+∞）．21．（12分）深圳别称“鹏城”，“深圳之光”摩天轮是中国之眼．游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12min ，其中心O 距离地面40.5m ，半径40m ．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，经过时间t （单位：min ）之后，请解答下列问题．（1）求出你与地面的距离h （单位：m ）与时间t 之间的函数解析式；（2）当你登上摩天轮2min 后，你的朋友也在摩天轮最低处登上摩天轮，求两人距离地面的高度差H （单位：m ）关于t 的函数解析式，并求高度差的最大值．解：（1）由已知可设y ＝40.5﹣40cos ωt ，t ≥0，由周期为12分钟可知，当t ＝6时，摩天轮第一次到达最高点，即函数第一次取得最大值，所以6ω＝π，即ω=π6， 所以y ＝40.5﹣40cos π6t ，t ≥0； （2）由题意，两人距离地面的高度差H ＝40.5﹣40cos π6t ﹣[40.5﹣40cos π6（t ﹣2）] ＝40×[cos π6（t ﹣2）﹣cos π6t ] ＝40×（−12cos π6t +√32sin π6t ） ＝40sin （π6t −π6）， 令π6t −π6=k π+π2，k ∈Z ，可得t ＝4+6k ，k ∈Z ， 所以当t ＝4+6k ，k ∈Z 时，高度差的最大值40（米）．22．（12分）设函数f （x ）＝ax 2﹣|x ﹣a |，a ∈R ．（1）当a ＝1时，判断f （x ）的奇偶性，并说明理由；（2）当﹣1≤a ≤2时，若对任意的x ∈[1，4]，均有f （x ）+bx ≤0成立，求a 2+b 的最大值． 解：（1）由题意得当a ＝1时，函数f （x ）＝x 2﹣|x ﹣1|，且函数f （x ）的定义域为R ，∴f （﹣x ）＝x 2﹣|﹣x ﹣1|＝x 2﹣|x +1|，∵f （﹣x ）≠f （x ），f （﹣x ）≠﹣f （x ），∴f （x ）是非奇非偶函数；（2）因为当﹣1≤a ≤2时，若对任意的x ∈[1，4]，均有f （x ）+bx ＝ax 2﹣|x ﹣a |+bx ≤0成立，∴令g （x ）＝ax 2﹣|x ﹣a |+bx ={ax 2−x +a +bx ，x ≥a ax 2+x −a +bx ，x ＜a ， ①当a ＝0时，g （x ）＝bx ﹣x ＝（b ﹣1）x ≤0，对任意的x ∈[1，3]恒成立，即3（b ﹣1）≤0，解得b ≤1，a 2+b ＝b 的最大值为1；②当﹣1≤a ＜0时，g （x ）＝ax 2﹣（x ﹣a ）+bx ＝ax 2+（b ﹣1）x +a ，x ∈[1，3]，对称轴为x =1−b 2a ， （i ）1−b 2a ≤1，则1﹣b ≥2a ，（a ＜0不等号方向改变），g （1）≤0即a +b ﹣1+a ≤0，所以b ≤1﹣2a ，则a 2+b ≤a 2﹣2a +1＝（a ﹣1）2，a 2+b 的最大值为1；（ii ）1−b 2a≥3时，1﹣b ≤6a ，即b ≥1﹣6a ，所以g （3）≤0，即b ≤1−103a ，无解； （iii ）1＜1−b 2a ＜3时，1﹣2a ＜b ＜1﹣6a ，所以g （1−b 2a）≤0，即a ⋅(1−b 2a )2+(b −1)×1−b 2a +a ≤0， 即4a 2≥（1﹣b ）2，所以1+2a ≤b ≤1﹣2a 无解；③当0＜a ≤1时，g （x ）＝ax 2﹣（x ﹣a ）+bx ＝ax 2+（b ﹣1）x +a ，x ∈[1，3]，对称轴为x =1−b 2a ， （i ）1−b 2a ≤1，则1﹣b ≤2a ，g （3）≤0即b ≤1−103a ，无解； （ii ）1−b 2a≥3时，1﹣b ≥6a ，即b ≤1﹣6a ，g （1）≤0，b ≤1﹣2a ，则b ≤1﹣6a ， 则a 2+b ≤a 2﹣6a +1＝（a ﹣3）2﹣8，∵0＜a ≤1，∴a 2+b 的最大值为1；（iii ）1＜1−b 2a ＜3时，1﹣6a ≤b ≤1﹣2a ，g （3）≤0，g （1）≤0， 则b ≤1−103a 且b ≤1﹣2a ， ∴1﹣6a ≤b ≤1−103a ，则a 2+b ≤a 2+1−103a ，a 2+b 的最大值为1；④当1≤a ≤2时，g(x)={ax 2−x +a +bx ，a ≤x ≤3ax 2+x −a +bx ，1≤x ≤a， g （3）≤0，g （1）≤0，g （a ）≤0，即{a +1−a +b ≤0a 3+ab ≤09a −3+a +3b ≤0，则{b ≤−1b ≤−a 2b ≤1−10a 3， 而1≤a ≤2，∴b ≤1−10a 3，则a 2+b ≤a 2+1−103a ， 令p （a ）＝a 2+1−103a ，1≤a ≤2， 则p '（a ）＝2a −103，即p （a ）在[1，53]上单调递减，在[53，2]上单调递增， 又p （1）=−43，p （2）=−53， 所以p （a ）的最大值为−43． 综上所述，对任意的x ∈[1，3]，均有f （x ）+bx ≤0成立，则a 2+b 的最大值为−43（所有最大值中的最小值）．。
无锡市天一中学2024-2025学年10月份阶段性检测数学试题(含解析)
高二数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．（5分）已知集合A ={x |−2<x <5}，B ={x |1−2x >3}，则A B =( )A ．(−2,−1) B ．(−2,1) C ．(1,5) D ．(−1,5)2．（5分）不等式101xx+− 的解集为( ) A ．{|1x x 或1}− B ．{|11}x x − C ．{|1x x 或1}x <− D ．{|11}x x −<3．（5分）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞上为单调函数，则满足2()()3x f x f x +=+的所有实数x 的和为( ) A ．6−B ．6C ．8D ．8−4．（5分）已知函数()2cos f x x x =，则函数()f x 的部分图象可以为( )A ．B ．C ．D ．5．（5分）等腰三角形的底与腰之比是黄金分割比的三角形称为黄金三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形．如图五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，其中一个黄金ABC ∆中，BCAC=上面可得sin126(°= )ABC D 江苏省天一中学2024-2025学年10月份阶段性检测6．（5分）设ABC ∆的三边长为BC a =，CA b =，AB c =，若tan 2A ab c=+，tan 2B b a c =+，则ABC ∆是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形7．（5分）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C −中．11AA =，AB BC ==1cos 3ABC ∠=，P 是1A B 上的一动点，则1AP PC +的最小值为( )AB C ．1+D ．38．（5分）第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年02月04日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD （如图），且两切线斜率之积等于916−，则椭圆的离心率为( )A ．34B C ．916D 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（5分）在空间四点O ，A ，B ，C 中，若{OA ，OB，}OC 是空间的一个基底，则下列说法正确的是( )A ．O ，A ，B ，C 四点不共线 B ．O ，A ，B ，C 四点共面，但不共线 C ．O ，A ，B ，C 四点不共面D ．O ，A ，B ，C 四点中任意三点不共线10．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的两个顶点分别为1(,0)A a −，2(,0)A a ，P ，Q 的坐标分别为(0,)b ，(0,)b −，且四边形12A PA Q 的面积为12A PA Q ，则双曲线C 的方程为( )A ．2212x y −=B ．2212y x −=C ．22142x y −=D ．22124x y −=11．（5分）如图，在三棱锥P ABC −中，PA PB ⊥，PB PC ⊥，PA PC ⊥，点M 是ABC ∆内的一点，若PM 与平面PAB ，PAC ，PBC 所成的角分别是α，β，γ，PAB ∆，PAC ∆，PBC ∆，ABC ∆的面积分别为PAB S ∆，PAC S ∆，PBC S ∆，ABC S ∆，则以下说法正确的是( )A ．222sin sin sin 1αβγ++=B ．222cos cos cos 1αβγ++=C ．PAB PAC PBC ABC S S S S ∆∆∆∆++>D ．ABC ∆是锐角三角形12．（5分）设1e，2e 为单位向量，满足12|2|e e − ，12a e e =+ ，123b e e =+ ，则a ，b 的夹角为θ，则2cos θ的可能取值为( )A ．1920B ．2029C ．2829D ．1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为715，取得两个绿球的概率为115，则至少取得一个红球的概率为 ．14．（5分）若复数z 满足|32|1z i −+=，则|62|z i −−的最小值为 ．15．（5分）已知一组数据1x ，2x ，3x ，…，n x 的平均数为x ，方差为2.s 若131x +，231x +，331x +，…，31n x +的平均数比方差大4，则22s x −的最大值为 ．16．（5分）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，O 为ABC ∆的外心，且有AB BC AC +，sin (cos cos sin 0C A C A −+=，若AO xAB y AC =+，x ，y R ∈，则2x y −=． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（10分）已知圆C 的方程：22240x y x y m +−−+=． （Ⅰ）求m 的取值范围；（Ⅱ）当圆C 与圆22:(3)(1)16D x y +++=相外切时，求直线:240l x y +−=被圆C 所截得的弦MN 的长． 18．（12分）已知向量(1,2)a =−，||b = （1）若b a λ=，其中0λ<，求b 的坐标；（2）若a 与b 的夹角为23π，求()(2)a b a b −⋅+ 的值． 19．（12分）已知等差数列{}n a ，14a =，前n 项和为n S ，各项为正数的等比数列{}n b 满足：112b =，5342b b b =−，949S b =． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）在空间直角坐标系中，O 为坐标原点，存在一系列的点(2,,1)n n n n P a c +−，(n n Q b ，1−，1)，若n n OP OQ ⊥，求数列{}n c 的前n 项和n T ．20．（12分）“绿水青山，就是金山银山．”从社会效益和经济效益出发，某市准备投入资金进行生态环境建设，促进旅游业的发展．计划本年度投入1200万元，以后每年投入均比上年减少20%，本年度旅游业收入估计为400万元，预计今后旅游业收入的年增长率相同．设本年度为第一年，已知前三年旅游业总收入为1525万元．（Ⅰ）设第n 年的投入为n a 万元，旅游业收入为n b 万元，写出n a ，n b 的表达式； （Ⅱ）至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？ （参考数据：20.301lg ≈，30.477)lg ≈21．（12分）已知三棱锥M ABC −中，MA MB MC AC ====，2AB BC ==，O 为AC 的中点，点N在线BC 上，且23BN BC = ．（1）证明：BO ⊥平面AMC ； （2）求二面角N AM C −−的正弦值．22．（12分）已知圆22:4O x y +=和定点(1,0)A ，平面上一动点P 满足以线段AP 为直径的圆内切于圆O ，动点P 的轨迹记为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）直线:(4)(0)l y k x k =−≠与曲线C 交于不同两点M ，N ，直线AM ，AN 分别交y 轴于P ，Q 两点．求证：||||AP AQ =．天一高二上第一次检测数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．（5分）已知集合{|25}A x x =−<<，{|123}B x x =−>，则(A B = ) A ．(2,1)−−B ．(2,1)−C ．(1,5)D ．(1,5)−【分析】先求出集合B ，然后结合集合的交集运算即可求解． 【解答】解：{|25}A x x =−<<，{|123}{|1}B x x x x =−>=<−， 则{21}A B x =−<<− ． 故选：A ．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 2．（5分）不等式101xx+− 的解集为( ) A ．{|1x x 或1}− B ．{|11}x x − C ．{|1x x 或1}x <− D ．{|11}x x −<【分析】不等式等价于101x x +− ，即(1)(1)0x x +− ，且10x −≠，由此求得不等式的解集． 【解答】解：不等式等价于101x x +− ，即(1)(1)0x x +− ，且10x −≠，解得11x −< ， 故不等式的解集为{|11}x x −< ， 故选：D ．【点评】本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题． 3．（5分）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞上为单调函数，则满足2()()3x f x f x +=+的所有实数x 的和为( ) A ．6−B ．6C ．8D ．8−【分析】利用偶函数的性质，将方程转化为2(||)(||)3x f x f x +=+，再利用()f x 在(0,)+∞上为单调递增函数，从而得到23x x x +=−+或23x x x +=+，然后化简变形，然后由韦达定理求解即可． 【解答】解：因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数， 所以()()(||)f x f x f x =−=，又函数的图象是连续不断的，且在(0,)+∞上为单调递增函数，则2()()3x f x f x +=+等价于2(||)(||)3x f x f x +=+， 所以23x x x +=−+或23x x x +=+，即2420(3)x x x ++=≠−或2220(3)x x x +−=≠−， 设2420(3)x x x ++=≠−的两个根为m ，n ，则4m n +=−， 设2220(3)x x x +−=≠−的两个根为a ，b ，则2a b +=−， 所以满足2()()3x f x f x +=+的所有实数x 的和为426−−=−． 故选：A ．【点评】本题考查了函数与方程的综合应用，函数性质的应用，主要考查了函数奇偶性的应用以及单调性的应用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．4．（5分）已知函数()2cos f x x x =，则函数()f x 的部分图象可以为( )A ．B ．C ．D ．【分析】判断函数的奇偶性，排除选项，然后利用特殊值判断函数的图象上的点即可得到结果． 【解答】解：函数()2cos f x x x =，()2cos ()f x x x f x −=−=−，所以函数是奇函数，排除B 、D ， 当0x →时，函数()2cos 0f x x x =>，函数的图象在第一象限，排除C ， 故选：A ．【点评】本题考查函数的图象的判断与应用，这类问题，一般通过函数的定义域，值域，单调性、奇偶性，以及函数的图象经过的特殊点判断．5．（5分）等腰三角形的底与腰之比是黄金分割比的三角形称为黄金三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形．如图五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，其中一个黄金ABC ∆中，BC AC=上面可得sin126(°= )A BC D 【分析】由顶角是36°的等腰三角形底边与腰的比值可得18°的正弦值，再由诱导公式可得sin126cos36°=°，再由二倍角公式，求出126°的正弦值．【解答】解：由BC AC =ABC ∆为等腰三角形且顶角36°，所以sin18°，2sin126cos3612sin 18°°−° 故选：C ．【点评】本题考查黄金三角形的性质的应用及诱导公式和二倍角公式的应用，属于基础题． 6．（5分）设ABC ∆的三边长为BC a =，CA b =，AB c =，若tan 2A a b c=+，tan 2B ba c =+，则ABC ∆是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形【分析】利用正弦定理可得sin sin 1cos B C A +=+与sin sin 1cos A C B +=+，两式作差后平方，可得sin 2sin 2A B A B =⇒=或2A B π+=，从而可得答案．【解答】解：在ABC ∆中，若tan 2A a b c=+，则sin sin 1cos sin sin A AA B C =++，整理得sin sin 1cos B C A +=+①； 又tan2B ba c=+，同理可得sin sin 1cos A C B +=+② ①−②得，sin sin cos cos B A A B −=−，即sin cos sin cos A A B B +=+， sin 2sin 2A B ∴=，A B ∴=或2A B π+=，则ABC ∆是等腰三角形或直角三角形， 故选：C ．【点评】本题考查正弦定理，两角和的正弦的应用，考查运算求解能力，属于中档题．7．（5分）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C −中．11AA =，AB BC ==1cos 3ABC ∠=，P 是1A B 上的一动点，则1AP PC +的最小值为( )AB C ．1+D ．3【分析】将立体图展开成平面图，设点1C 的新位置为C ′，连接AC ′，即可得到AC ′即为1AP PC +的最小值，解三角形即可．【解答】解：连接1BC ，得△11A BC ，以1A B 所在直线为轴，将△11A BC 所在平面旋转到平面11ABB A ， 设点1C 的新位置为C ′，连接AC ′，则AC ′即为1AP PC +的最小值，由题意可知11AA =，AB BC ==，1cos 3ABC ∠=，得112A B BC A C′′===， 1160AA B BA C ′∠=∠=°，所以在△1AA C ′中，AC ′=故选：B ．【点评】本题考查距离最小值问题，考查学生逻辑推理、数学运算、直观想象能力，属于中档题． 8．（5分）第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年02月04日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD （如图），且两切线斜率之积等于916−，则椭圆的离心率为( )A ．34B C ．916D 【分析】设内层椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，外层椭圆设为22221(1)()()x y m ma mb +=>，设切线的方程为1()y k x ma =+，分别与两个椭圆方程联立，求解42221249()16b k k a −，然后求解离心率即可．【解答】解：设内层椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为内外椭圆离心率相同，所以外层椭圆，可设成，22221(1)()()x y m ma mb +=>，设切线的方程为1()y k x ma =+，切线的方程为1()y k x a =+与22221x y a b +=联立得，22223224222111()20b a k x ma k x m a k a b +++−=， 由△0=，则221221(1)b k a m =×−，同理22222(1)b k m a =−，所以42221249()16b k k a −，因此e =．故选：B ．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，是中档题．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（5分）在空间四点O ，A ，B ，C 中，若{OA ，OB，}OC 是空间的一个基底，则下列说法正确的是( )A ．O ，A ，B ，C 四点不共线B ．O ，A ，B ，C 四点共面，但不共线 C ．O ，A ，B ，C 四点不共面D ．O ，A ，B ，C 四点中任意三点不共线【分析】根据基底的含义，非零向量OA ，OB ，OC不在同一平面内，即O ，A ，B ，C 四点不共面，从而可得结论．【解答】解：因为{OA ，OB ，}OC是空间的一个基底， 所以非零向量OA ，OB ，OC不在同一平面内，即O ，A ，B ，C 四点不共面，所以A 、C 、D 选项说法正确，B 错误． 故选：ACD ．【点评】本题考查空间向量基本定理中基底的含义，属于基础题．10．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的两个顶点分别为1(,0)A a −，2(,0)A a ，P ，Q 的坐标分别为(0,)b ，(0,)b −，且四边形12A PA Q 的面积为12A PA Q ，则双曲线C 的方程为( )A ．2212x y −=B ．2212y x −=C ．22142x y −=D ．22124x y −=【分析】四边形12A PA Q 的面积为∴142a b ×××，再根据内切圆的周长可以求出内切圆的半径，再利用内切圆半径×周长2÷=四边形12A PA Q 的面积，进而得到关于a ，b 的两个方程，求解即可得答案．【解答】解：四边形12A PA Q 的面积为∴142a b ×××ab = 记四边形12A PA Q 内切圆半径为r ，则2r π=，得r =∴2cr =，∴c =，又2223c a b =+= ，得1a b ==，或1a b = =C 的方程为2212x y −= 或2212y x −=． 故选：AB ．【点评】本题考查双曲线方程的求法，本题四边形12A PA Q 的面积用了两种方法计算，进而得到方程，考查了“算两次”思想在解题过程中的应用，属于中档题．11．（5分）如图，在三棱锥P ABC −中，PA PB ⊥，PB PC ⊥，PA PC ⊥，点M 是ABC ∆内的一点，若PM 与平面PAB ，PAC ，PBC 所成的角分别是α，β，γ，PAB ∆，PAC ∆，PBC ∆，ABC ∆的面积分别为PAB S ∆，PAC S ∆，PBC S ∆，ABC S ∆，则以下说法正确的是( )A ．222sin sin sin 1αβγ++=B ．222cos cos cos 1αβγ++=C ．PAB PAC PBC ABC S S S S ∆∆∆∆++>D ．ABC ∆是锐角三角形【分析】选项A ，B ，以PM 为体对角线构造如图所示的长方体DEMI PHGF −，可判断；选项C ，作PO ⊥平面ABC 于O ，PN AB ⊥于N ，连结MN ，可得PAB OAB S S ∆∆>，同理PAC OAC S S ∆∆>，PBC OBC S S ∆∆>，可判断；选项D ，设PA x =，PB y =，PC z =，在ABC ∆中，利用余弦定理表示三个角的余弦，可判断． 【解答】解：如图所示，以PM 为体对角线构造如图所示的长方体DEMI PHGF −，则PM 与平面PAB ，PAC ，PBC 所成的角分别是αβγ，即分别为IPM ∠，EPM ∠，GPM ∠，不妨设DE a =，DI b =，DP c =则222222sin sin sin 1αβγ++=++，故选项A 正确；222222cos cos cos 2αβγ++=++，故选项B 不正确；如图所示，作PO ⊥平面ABC 于O ，PN AB ⊥于N ，连结MN ， 由三垂线定理可得，MN AB ⊥，由于PON ∆为以O ∠为直角的直角三角形，因此PN ON >， 故PAB OAB S S ∆∆>，同理PAC OAC S S ∆∆>，PBC OBC S S ∆∆>， PAB PAC PBC ABC OBC OAC OAB S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∴++>=++，故选项C 正确；不妨设PA x =，PB y =，PC z =，则AB AC BC 在ABC ∆中，cos 0,cos 0,cos 0A BC=>>>，因此ABC ∆为锐角三角形，故选项D 正确． 故选：ACD ．【点评】本题主要考查空间图形的综合问题，考查了学生空间想象，构造，综合分析，数学运算等能力等知识，属于中等题．12．（5分）设1e，2e为单位向量，满足12|2|e e − ，12a e e =+ ，123b e e =+ ，则a ，b 的夹角为θ，则2cos θ的可能取值为( )A ．1920B ．2029C ．2829D ．1【分析】由已知结合向量数量积的性质先求出12e e ⋅的范围，然后结合向量数量积的定义及夹角公式进行求解即可．【解答】解：因为1e ，2e为单位向量，且满足12|2|e e −所以124412e e −⋅+ ，即1234e e ⋅ ，所以121212()(3)44a b e e e e e e ⋅=+⋅+=+⋅，221212||()22a e e e e =+=+⋅ ，221212||(3)106b e e e e =+=+⋅ ， 则22212122212121212(44)4(1)()424228cos (1)(1)33329||||(22)(106)5353534e e e e a b a b e e e e e e e e θ+⋅+⋅⋅====−−=+⋅+⋅+⋅+⋅+×故选：CD ．【点评】本题主要考查了向量数量积性质的综合应用，考查了函数取值范围的求解，属于中档题． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为715，取得两个绿球的概率为115，则至少取得一个红球的概率为【分析】利用对立事件的概率公式求解即可．【解答】解：由题意，取得两个绿玻璃球的概率为115， 所以至少取得一个红球的概率为11411515−=． 故答案为：1415． 【点评】本题考查了对立事件概率公式的理解与应用，属于基础题． 14．（5分）若复数z 满足|32|1z i −+=，则|62|z i −−的最小值为 4 ．【分析】利用复数的几何意义，先确定复数z 对应的点Z 的轨迹是以(3,2)C −为圆心，半径为1的圆，|62|z i −−表示复数z 对应的点Z 与点(6,2)P 之间的距离，然后由圆的几何性质分析求解即可．【解答】解：因为复数z 满足|32|1z i −+=，则复数z 对应的点Z 的轨迹是以(3,2)C −为圆心，半径为1的圆， 又|62|z i −−表示复数z 对应的点Z 与点(6,2)P 之间的距离，所以|62|z i −−的最小值为11514PC −=−=−=．故答案为：4．【点评】本题考查了复数模的几何意义的理解与应用，圆的几何性质的运用，两点间距离公式的应用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于基础题．15．（5分）已知一组数据1x ，2x ，3x ，…，n x 的平均数为x ，方差为2.s 若131x +，231x +，331x +，…，31n x +的平均数比方差大4，则22s x −的最大值为 1− ．【分析】根据已知条件，结合平均数和方差的公式，即可求解．【解答】解：设新数据131x +，231x +，331x +，…，31n x +的平均数为1x ，方差为21s ， 一组数据1x ，2x ，3x ，…，n x 的平均数为x ，方差为2s ，∴131x x =+，2219s s =， 131x + ，231x +，331x +，…，31n x +的平均数比方差大4，∴23194x s +=+， ∴21133s x =−， 222211111()33636s x x x x −=−−=−−−， 又 211033s x =− ，∴1x ，故当1x =时，22s x −取得最大值，最大值为1−．故答案为：1−．【点评】本题主要考查方差与平均数的求解，掌握二次函数的性质是解本题的关键，属于基础题．16．（5分）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，O 为ABC ∆的外心，且有AB BC AC +，sin (cos cos sin 0C A C A −+=，若AO xAB y AC =+，x ，y R ∈，则2x y −=3− ． 【分析】设三角形的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，运用三角函数的和角公式和正弦定理、余弦定理，求得B ，A ，C ，再将AO xAB y AC =+ 的两边点乘AB ，AC，运用向量数量积的定义和性质，可得x ，y 的方程组，解方程组得x ，y 的值，计算即可．【解答】解：设三角形的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AB BC AC +，sin (cos cos sin 0C A C A +=，可得c a +，sin cos cos sin C A C A C +，即为sin()C A C +，即有sin B C =，可得b =，a c =，222222231cos 222c a b c c c B ac c +−+−===−， 可得120B =°，30A C ==°，若AO xAB y AC =+可得2AO AB xAB y AC AB ⋅=+⋅ ，即有22212c xc y =，化为231x y +=，...①又可得2AO AC xAB AC y AC ⋅=⋅+ ， 即有22233322c xc y c =+⋅，化为21x y +=，...② 由①②解得1x =−，1y =， 所以21213x y −=−−×=−． 故答案为：3−．【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了平面向量数量积的定义和性质，以及三角形函数的化简和求值问题，是中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（10分）已知圆C 的方程：22240x y x y m +−−+=． （Ⅰ）求m 的取值范围；（Ⅱ）当圆C 与圆22:(3)(1)16D x y +++=相外切时，求直线:240l x y +−=被圆C 所截得的弦MN 的长． 【分析】（Ⅰ）根据圆的一般方程表示圆的条件即可求m 的取值范围；（Ⅱ）根据圆与圆相切的等价条件求出m 的值，结合直线的弦长公式进行求解即可． 【解答】解：（Ⅰ）圆C 的方程可化为22(1)(2)5x y m −+−=− …（2分） 令50m −>，得5m <．…（4分）（Ⅱ）圆22:(1)(2)5C x y m −+−=−，圆心(1,2)C ，半径r=圆22:(3)(1)16D x y +++=，圆心(3,1)D −−，半径4R =…（6分） 圆C 与圆D 相外切∴4=+，解得4m = …（8分）圆心(1,2)C 到直线:240l x y +−=的距离为d =…（10分）||MN ∴= …（12分） 【点评】本题主要考查圆与圆的位置关系的应用以及直线和圆相交的弦长公式的计算，考查学生的计算能力．18．（12分）已知向量(1,2)a =−，||b = （1）若b a λ=，其中0λ<，求b 的坐标；（2）若a 与b 的夹角为23π，求()(2)a b a b −⋅+ 的值． 【分析】（1）根据题意，可得(,2)b a λλλ==−，由向量模的计算公式可得λ的值，即可得答案； （2）根据题意，求出a b ⋅的值，又由数量积的运算性质计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，若b a λ=，则(,2)b a λλλ==− ，又由||b =2520λ=，解可得2λ=±，又由0λ<，则2λ=−，则(2,4)b −；（2）根据题意，向量(1,2)a =−，则||a = ，又由||b = a 与b 的夹角为23π，则2cos 53a b π⋅=− ，22()(2)2102055a b a b a b a b −⋅+=−−⋅=−+=− ．【点评】本题考查向量数量积性质以及运算，涉及向量数量积的计算，属于基础题． 19．（12分）已知等差数列{}n a ，14a =，前n 项和为n S ，各项为正数的等比数列{}n b 满足：112b =，5342b b b =−，949S b =．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）在空间直角坐标系中，O 为坐标原点，存在一系列的点(2,,1)n n n n P a c +−，(n n Q b ，1−，1)，若n n OP OQ ⊥，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【分析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得所求；（2）由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和． 【解答】解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，5342b b b =− ，221q q ∴=−，得12q =，1q =−（舍)，又112b =，∴1112n n n b b q −==． 949S b = ，∴541992a ×=，解得516a =， 又14a =，∴51123514a a d−===−， 4(1)331n a n n ∴=+−×=+．（2）由（1）得31na n =+，12n nb =． n n OP OQ ⊥ ，∴210n n n n n a b bc +−−=，∴312n n n c +=． ∴234710312222n n n T +=+++…+，① ①式等号两边同乘以12，得234147103122222n n T n ++=+++…+，②①−②得2312311111(1)4333311111131131737223()31222222222222222212n n n n n n n n T n n n n ++++−++++=+++…+−=++++…+−=+×−=−−． ∴3772n nn T +=−． 【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，错位相减法求和，属于 中档题． 20．（12分）“绿水青山，就是金山银山．”从社会效益和经济效益出发，某市准备投入资金进行生态环境建设，促进旅游业的发展．计划本年度投入1200万元，以后每年投入均比上年减少20%，本年度旅游业收入估计为400万元，预计今后旅游业收入的年增长率相同．设本年度为第一年，已知前三年旅游业总收入为1525万元．（Ⅰ）设第n 年的投入为n a 万元，旅游业收入为n b 万元，写出n a ，n b 的表达式； （Ⅱ）至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？ （参考数据：20.301lg ≈，30.477)lg ≈【分析】（Ⅰ）由题意知{}n a ，{}n b 均为等比数列，根据条件中的数列{}n a 的首项和公比直接写出通项公式，设数列{}n b 的公比为q ，根据三年内旅游业总收入求得q ，从而求得{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设至少经过n 年，旅游业的总收入才能超过总投入．分别计算出经过n 年，总投入和旅游业总收入，根据不等关系列出表达式，解得n 的最小值即可． 【解答】解：（Ⅰ）由题意知{}n a ，{}n b 均为等比数列， 数列{}n a 的首项为1200，公比为4120%5−=，所以141200()5n n a −=⋅，设数列{}n b 的公比为q ，显然q 0>，q ≠1．所以三年内旅游业总收入为3400(1)15251q q−=−，即261116q q ++=，所以21616450q q +−=，解得54q =或94q =−（舍) 所以15400()4n n b −=⋅．（Ⅱ）设至少经过n 年，旅游业的总收入才能超过总投入． 则经过n 年，总投入为41200[1()]456000[1()]4515n n −=−−，经过n 年，旅游业总收入为5400[1()]541600[()1]5414n n −=−−，所以541600[()1]6000[1()]45n n −>−，化简得4515()4()19054n n ⋅+⋅−>，设4()(01)5n tt <<，代入上式得2151940t t −+>， 解此不等式，得t 1>（舍去）或t 415<， 即44()515n <，解得45422(35)3231 5.915225321lg lg lg lg lg n log lg lg lg −+−−>==≈−−， 由此得n 6 ．所以至少经过6 年，旅游业的总收入才能超过总投入．【点评】本题考查等比数列及其前n 项和的实际应用，考查学生的应用数列模型的能力和运算能力，属中档题．21．（12分）已知三棱锥M ABC −中，MA MB MC AC ====，2AB BC ==，O 为AC 的中点，点N 在线BC 上，且23BN BC =．（1）证明：BO ⊥平面AMC ； （2）求二面角N AM C −−的正弦值．【分析】（1）只需证明OB AC ⊥及OB OM ⊥即可；（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量公式求解即可． 【解答】解：( 1)如图所示：连接OM ，AC ，OM 相交于O ，在ABC ∆中：2,ABBC AC ===90,ABC BO ∠=°，OB AC ⊥． 在MAC ∆中：MA MC AC ===，O 为AC 的中点，则OM AC ⊥，且OM =在MOB ∆中：BO OM MB =，满足：222BO OM MB +=根据勾股定理逆定理得到OB OM ⊥，故OB ⊥平面AMC ；（2）因为OB ，OC ，OM 两两垂直，建立空间直角坐标系O xyz −如图所示．因为MA MB MC AC ====，2ABBC ==则(0,A B C M ， 由23BN BC =所以，N 设平面MAN 的法向量为(,,)m x y z =，则(,,)0,(,,)0AN m x y z x y AM m x y z ⋅=⋅= ⋅=⋅=+令y =(1)m −− ，因为BO ⊥平面AMC，所以OB = 为平面AMC 的法向量，所以(1)m −− 与OB = 所成角的余弦为cos ,m OB <>= ．所以二面角的正弦值为2|sin ,|m OB <>== ． 【点评】本题考查线面垂直的判定及二面角正弦值的求法，考查空间向量在立体几何中运用，属于常规题目．22．（12分）已知圆22:4O x y +=和定点(1,0)A ，平面上一动点P 满足以线段AP 为直径的圆内切于圆O ，动点P 的轨迹记为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）直线:(4)(0)l y k x k =−≠与曲线C 交于不同两点M ，N ，直线AM ，AN 分别交y 轴于P ，Q 两点．求证：||||AP AQ =．【分析】（1）由两圆内切的条件和椭圆的定义，可得所求轨迹方程；（2）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立直线l 的方程和椭圆方程，运用韦达定理，计算MA NA k k +，可判断三角形APQ 的形状，即可得到证明．【解答】解：（1）设以线段AP 为直径的圆的圆心为C ，取(1,0)A ′−．依题意，圆C 内切于圆O ，设切点为D ，则O ，C ，D 三点共线，因为O 为AA ′的中点，C 为AP 中点，所以||2||A P OC ′=．所以||||222224||2PA PA OC AC OC CD OD AA ′+=+=+==>′=，所以动点P 的轨迹是以A ，A ′为焦点，长轴长为4的椭圆， 设其方程为22221(0)x y a b a b+=>>， 则24a =，22c =，所以2a =，1c =，所以2223b a c =−=，所以动点P 的轨迹方程为22143x y +=； （2）证明：设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，由22(4)3412y k x x y =− +=，得2222(34)3264120k x k x k +−+−=，依题意△2222(32)4(34)(6412)0k k k =−−+−>，即2104k <<， 21223234k x x k +=+，2122641234k x x k −=+， 为12121212121212(4)(4)[5()8]1111(1)(1)MA NA y y k x k x k x x x x k k x x x x x x −−−+++=+=+=−−−−−− 222212641232[2()5()8]34340(1)(1)k k k k k x x −⋅−⋅+++=−−， 所以直线MP 倾斜角与直线NQ 倾斜角互补，即OAP OAQ ∠=∠．因为OA PQ ⊥，所以||||AP AQ =．【点评】本题考查轨迹方程的求法，以及直线和椭圆的位置关系，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．。
江苏省天一中学2023-2024学年12月阶段测试卷(高一数学试卷)答案解析
江苏省天一中学2023-2024学年12月阶段测试卷高一数学试卷答案与解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1.已知集合{}|02M x x =≤≤，(){}2|log 1N x y x ==−，则M N ∩为（ ）A.[]0,1B.[)0,1C.(]1,2D.[]1,2【答案】B 【解析】(){}2|log 1Nx y x ==− ，10x ∴−>，{}|1N x x ∴=<，[)0,1M N ∴∩=.2.已知条件p ：240x −<，条件q ：25631x x −+>，则p 是q 的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.设α是第二象限角，(),1P x 为其终边上一点，且1cos 3x α=，则tan α=（ ）A. B. C. D.−4.若函数()f x 是R 上的奇函数，当0x >时，()12xf x=，则()f x 的值域为（ ）A.()()1,00,1−∪B.()(),11,−∞−∪+∞C.()1,1−D.()(),00,−∞∪+∞【答案】C【解析】当0x =时，()0f x =；当0x >时，()()0,1f x ∈； 当0x <时，()()1,0f x ∈−； 综上，()f x 的值域为()1,1−.5.已知()()3cos sin 5x x π−+−=，则sin sin 2x x π⋅+=（ ） A.1625 B.1625− C.825D.825−6.设0.1log 0.2a =， 1.1log 0.2b =，0.21.2c =，则（ ） A.b a c >> B.c a b >> C.c b a >> D.a c b >>7.若存在正实数x ，y 满足于411y x +=，且使不等式234y x m m +<−有解，则实数m 的取值范围是（ ） A.()4,1− B.()1,4− C.()(),14,−∞−∪+∞ D.()(),41,−∞−∪+∞8.已知0a >，且1a ≠，函数()2,2,2xa x x f x a a x −> = −≤，若关于x 的方程()1f x =有两个不相等是实数根，则a 的取值范围是（ ）A.B. C.31,2D.32二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高一入学分班考数学试题含答案
高一入学分班考试一、选择题：本大题共10小题，每小题6分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.下列运算正确的是(）A 、932=-B、()842=-C 、()932-=-D、16214=⎪⎭⎫ ⎝⎛--2.函数x y 2=与xy 18=的的图象相交于A 、B 两点(其中A 在第一象限)，过A 作AC 垂直于x 轴，垂足为C ，则△ABC 的面积等于()A 、18B、9C、12D、63.若a，b 为实数，满足b b a a +-=-+1111，则(1+a +b）（2-a-b)的值是(）A 、-1B、0C、1D、24.如图1所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得的图形是()5.如图，己知直角三角形ABC 中，斜边AB=35，一个边长为12的正方形CDEF 内接于△ABC，则△ABC 的周长为(）A 、81B、84C、85D、886.有20个同学排成一行，若从左往右隔1人报数，小李报8号，若从右往左隔2人报数，小陈报6号，那么，小陈开始向小李逐一报数，小李报的号数是()A 、11B、12C、13D 、147.图中不是正方形的侧面展开图的个数为（）A 、l B、2C、3D、48.张华同学从家里去学校，开始选匀速步行，走了一段路后，发觉照这样走下去会迟到，于是匀速跑完余下的路程，下面坐标系中，横轴表示该同学从家出发后的时间t ，纵轴表示张华离学校的路程S ，则S 与t 之间函数关系的图像大致是(）9.令a=0.12345678910111213……998999，其中的数字是由依次写下正整数1至999得到的，则小数点右边第2008位数字是(）A、0B、5C、7D、910.若不等式ax2+7x -1>2x +5对11≤≤-a 恒成立，则x 的取值范围是(）A 、-1＜x＜1B、-1≤x≤1C、2＜x＜3D、2≤x≤3二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分.把答案填在题中横线上.11.计算：()()202260tan 13321---+-=。
江苏省无锡市天一中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题
D．若 a - b Î[0] ，则整数 a ， b 属同一类
四、多选题
12．已知函数 f ( x), g ( x) 是定义在 R 上的函数，其中 f（x）是奇函数，g（x）是偶函
数，且
f（x）+g（x）＝ax2﹣x，若对于任意
x1
>
x2
>
1，都有
g
( x1 )
x1
-
g ( x2
x2
)
>
4
，则实
数 a 可以为（ ） A．3
数不是同一函数，故 A 错误；
B.两个函数的定义域为 R ,且 y = x2 = x ，所以两个函数是同一函数，故 B 正确；
C. y =
x
5 +
3
x2 -2
的定义域为
ìï5 - x2
í ïî
x
+
3
³0 -2¹
0
，解得：
-
5£x£
5 ，且 x ¹ -1 ，与 y =
5- x2 x +1
的定义域相同，并且在定义域下去绝对值得
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1．C 【分析】利用交集的定义即可求解.
参考答案：
【详解】由题意可知， A Ç B = {x -1 £ x < 3} Ç{0,1, 2,3} = {0,1, 2} .
故选：C. 2．A 【分析】写出该命题的否定即可.
【详解】“ "x Î Z ， x2 + 2x + m £ 0 ”的否定是“ $x Î Z ， x2 + 2x + m > 0 ”. 故选：A 3．B 【解析】利用函数奇偶性的定义和单调性的性质分别对各个选项分析判断即可.
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天一中学新高一分班考试试卷
数学
一．选择题（共20小题）
1．若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n=0的根，则m+n的值为（）
A．《
1
B．2C．﹣1D．﹣2
【
2．如图，抛物线y=x2﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点（点A在点B的左侧），动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点B．若使点P运动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为（）
A．B．C．》D．
3．如图，抛物线m：y=ax2+b（a＜0，b＞0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1．若四边形AC1A1C为矩形，则a，b应满足的关系式为（）
A．。
ab=﹣2
B．a b=﹣3C．a b=﹣4D．a b=﹣5
>
4．如图，△ABD是等边三角形，以AD为边向外作△ADE，使∠AED=30°，且AE=3，DE=2，连接BE，则BE的长为（）
A．4B．C．,
5
D．
5．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A旋转得到正方形AB1C l D1，若AB1落在对角线AC上，连接A0，则∠AOB1等于（）
A．、
°
B．45°C．°D．75°
】
6．正方形ABCD中，对角线AC、BD交于O，Q为CD上任意一点，AQ交BD于M，过M作MN⊥AM交BC于N，连AN、QN．下列结论：
①MA=MN；②∠AQD=∠AQN；③S△AQN=S五边形ABNQD；④QN是以A为圆心，以AB为半径的圆的切线．
其中正确的结论有（）
A．①②③④B．)
只有①③④
C．只有②③④D．只有①②
7．如图，直线y=k和双曲线相交于点P，过点P作PA0垂直于x轴，垂足为A0，x轴上的点A0，A1，A2，…A n的横坐标是连续整数，过点A1，A2，…A n：分别作x轴的垂线，与双曲线（k＞0）及直线y=k分别交于点B1，B2，…B n和点C1，C2，…C n，则的值为（）
<A．B．C．D．—
8．如图，点A在半径为3的⊙O内，OA=，P为⊙O上一点，当∠OPA取最大值时，PA的长等于（）
A．B．-C．D．
9．在平面直角坐标系中，菱形OABC的OC边落在x轴上，∠AOC=60°，OA=．若菱形OABC内部（边界及顶点除外）的一格点P（x，y）满足：x2﹣y2=90x﹣90y，就称格点P为“好点”，则菱形OABC内部“好点”的个数为（）
（注：所谓“格点”，是指在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点．）
)
A．145B．146C．147?
D．
148
10．梯形ABCD中AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，以AD、AB、BC为斜边向外作等腰直角三角形，其面积分别是S1、S2、S3，且S1+S3=4S2，则CD=（）
A．…3AB C．D．4AB
B．
11．《歌词古体算题》记载了中国古代的一道在数学史上名扬中外的“勾股容圆”名题，其歌词为：“十五为股八步勾，内容圆径怎生求有人算得如斯妙，算学方为第一筹．”当中提出的数学问题是这样的：今有股长15步，勾长8步的直角三角形，试求其内切圆的直径．正确的答案是（）》A．3步B．4步C．5步D．。
6步
12．图①是一块边长为1，周长记为P1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪如图掉正三角形纸板边长的）后，得图③，④，…，记第n（n≥3）块纸板的周长为Pn，则P n﹣P n﹣1
的值为（）
A．B．:C．D．
13．在一平直河岸l同侧有A、B两村庄，A、B到l的距离AM、BN分别是3km，2km，且MN为3km，现计划在河岸上建一抽水站P，用输水管向两个村庄A、B供水，则水管长度最少为（）km（精确到）
;A．B．C．D．、
14．学校小卖部货架上摆放着某品牌方便面，它们的三视图如图，则货架上的方便面至少有（）
A．7盒B．\
8盒
C．9盒D．10盒
15．如图，在5×5的正方形方格中，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，作一个与△ABC 相似的△DEF，使它的三个顶点都在小正方形的顶点上，则△DEF的最大面积是（）
(A．
5B．10C．D．)
16．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=7，CD=1，AD=BC=5．点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为E，F．四边形MEFN面积的最大值是（）
A．B．·C．D．
17．如图，OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y=ax2（a＜0）的图象上，则a的值为（）
(A．B．C．﹣2D．?
18．如图，已知点A（12，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O 两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=8时，这两个二次函数的最大值之和等于（）
A．5B．>
2
C．8D．6
19．已知函数，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（）
<
A．
2B．3C．8D．9
~
20．如图，A0（0，0），A1（1，1），A2（2，4），A3（3，9），…A n（n，n2）（n是非负整数）是抛物线一组横坐标相隔为单位1的点，过A0作x轴的垂线与过点A1作y轴的垂线得交点B0，依次而作得
B0，B1，…B n﹣1．若记△A1B0A0面积为S1，△A2B1A1面积为S2，…则△A6B5A5面积S6面积为（）
A．B．)
C．
11D．18
|
12345678）
9
10
D A B B C A C B A B 11121314151617181920 D C C A A C B B C B。