旋转体体积

R
截面积 S(y)
= y R - y tan

A
= 2 y R 2 - y 2 tanα Байду номын сангаасy
0
R
–R
D
= R tan
S(y)
B
o

R
. . . .
R
C (x, y)
y
.
x
例2 求以半径为R的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶， 高为h的正劈锥体的体积。
y
h
–R
dV= 2 x f (x)dx
y
f (x)
2π xf ( x )
.
0
dx a
.
x
b
x
求旋转体体积— 柱壳法
曲边梯形 y= f (x) ，x=a,x=b,y=0 绕 y 轴
dV= 2 x f (x)dx
y
f (x)
.
0
a
b
x
求旋转体体积— 柱壳法 曲边梯形 y= f (x) ，x=a,x=b,y=0 绕 y 轴
一、已知平行截面面积的立体的体积
设一立体在x轴上的投影区间为[a, b] ，过x点垂直于x轴 的截面面积S(x)是x的连续函数，求此立体的体积。 (1) 在[a, b]内插入分点： a=x0<x1<x2< <xn-1<xn=b，
O a
x1
xi-1 xi
xn b
x
(2)过xi(i=1, 2, , n-1)且垂直于x轴的平面，把立体分割成 n个小薄片，第i个小薄片体积的近似值S(xi)xi。 将n个小薄片体积的近似值相加得立体体积的近似值
x
半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的 平面所截，得一圆柱楔。求其体积。 方法2
–R
o
R
y
.
R
x
半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的 平面所截，得一圆柱楔。求其体积。
2 2 方法2 DC = 2x = 2 R - y BC = ytan
V = S ( y )dy
y( x )
a
2a
y 2 ( x )dx
= a 2 (1 - cos t ) 2 a(1 - cos t )dt = a
3
2
0
2
(1 - 3 cos t 3 cos 2 t - cos 3 t )dt = 5 2 a 3 .
绕 y轴旋转的旋转体体积
可看作平面图OABC 与OBC
dV= 2 x f (x)dx
y
f (x)
.
0
a
b
x
求旋转体体积— 柱壳法 曲边梯形 y= f (x) ，x=a,x=b,y=0 绕 y 轴
dV= 2 x f (x)dx
y
f (x)
0 0
dx
.
a
x
b
x
求旋转体体积— 柱壳法 曲边梯形 y= f (x) ，x=a,x=b,y=0 绕 y 轴
dV=2 x f (x)dx
V y = 2 x | f ( x ) | dx
a b
利用这个公式，可知上例中
V y = 2
2 a 0 2 0
x | f ( x ) | dx
= 2 a( t - sin t ) a(1 - cos t )d [a( t - sin t )] = 2a
3
0
2
( t - sin t )(1 - cos t ) 2 dt = 6 3 a 3 .
V
b
x
以下是几个例子
例1
半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的 平面所截，得一圆柱楔。求其体积。
y
R2 - x 2
o
R
y
x
半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的 平面所截，得一圆柱楔。求其体积。
–R
o
R
y
.
R
x
半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的 平面所截，得一圆柱楔。求其体积。
3
求旋转体体积
曲边梯形：x=g(y)，x=0, y=c, y=d 绕 y轴
y
d
x=g(y)
c
x 0
求旋转体体积
曲边梯形：x=g(y)，x=0, y=c, y=d 绕 y轴
y
d
.
x=g(y)
c
x 0
求旋转体体积
曲边梯形：x=g(y)，x=0, y=c, y=d 绕 y轴
y
V =

d
c
d
A( y )dy
2a 2a
y
分别绕 y 轴旋转构成旋转体的体积之差.
V y = x 2 ( y )dt - x 12 ( y )dt
2 0 0
B x = x2 ( y ) 2a C x = x1 ( y ) A o 2a x
= a 2 ( t - sin t ) 2 a sin tdt
2

.
b
.
例3
连接坐标原点O 及点 P ( h, r )的直线、直线
将它绕 x 轴旋 x = h及 x 轴围成一个直角三角形． 转构成一个底半径为 r 、高为 h 的圆锥体，计 算圆锥体的体积．
y
P
解 直线 OP方程为
r
o
r y= x h
h
x
取积分变量为x ， x [0, h]
在[0, h]上任取小区间[ x , x dx ] ，
截面积

V = A( x )dx = - R
R
R
-R
A(x) = ( R - x )tan
( R - x )tan dx
= R tan
–R
o

R y tan x R
y
.
问题： 还有别的方法吗？
. . . .
(x, y), y = R 2 - x 2
2
3
= 12 4 - ydy ,
V = 12
4 0
4 - ydy = 64.
Y y
V = xf ( x )dx
.
b
a
f (x)
0 0
dx
.
a
b
x
z
例5
求摆线 x = a( t - sin t )，y = a(1 - cos t ) 的
一拱与 y = 0 所围成的图形分别绕 x 轴、 y 轴 旋转构成旋转体的体积.
解 绕 x 轴旋转的旋转体体积
Vx =
0 2 a 0
0

y
h
A(x) –R
y R x
o
x
. .
二、旋转体体积
曲边梯形： y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕 x轴旋转
f(x)
a
b
x
求旋转体体积 曲边梯形： y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕 x 轴旋转
A( x ) = f 2 ( x ) 111111111
.
f(x)
a
x
b
x
V = a f ( x )dx

- a 2 ( t - sin t ) 2 a sin tdt
0

= a
3
0
2
( t - sin t ) 2 sin tdt = 6 3 a 3 .
补充 如果旋转体是由连续曲线 y = f ( x )、 直线 x = a 、 x = b 及 x 轴所围成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的立体，体积为
o
R
x
求以半径为R的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶， 高为h的正劈锥体的体积。 R R V = - R A( x ) dx = h- R R - x dx π A(x) = h y = h R - x 2 2 2 = Rh = 2 R h cos θ dθ
d
. V = g ( y )dy .
c
y
A( y ) = g 2 ( y )
x=g(y)
.
c
x 0
.
求旋转体体积— 柱壳法 曲边梯形 y= f (x) ，x=a,x=b,y=0 绕 y 轴
y
f (x)
0
dx a
x
b
x
求旋转体体积— 柱壳法
曲边梯形 y= f (x) ，x=a,x=b,y=0 绕 y 轴 内表面积
以 dx 为底的窄边梯形绕 x 轴旋转而成的薄片 的体积为
r x dx dV = h
圆锥体的体积
2
y
P
r
o
h
x
V =
h
0
hr 2 r x dx r x = 2 = . 3 h 3 0 h
2
2 3
h
例 4 求星形线 x y = a (a 0) 绕 x 轴旋转 构成旋转体的体积.
V S(i)xi。
i =1 n
(3)令l=max{xi}，则立体体积为
V = lim S(xi)xi = S(x)dx。
b
n
l 0
i =1
a
平行截面面积为已知的立体的体积 已知平行截面面积为 S(x)的立体
V = S ( x )dx
a
b
.
dV=S(x)dx
A(x)
a
x
例 6 求由曲线 y = 4 - x 及 y = 0 所围成的图形 绕直线 x = 3旋转构成旋转体的体积.
2
解
取积分变量为y , y [0,4]