微积分 旋转体体积
旋转体体积公式
其实对于曲线()y f x =在[],a b 上与x 所围图形绕x 轴旋转和绕y 轴旋转所形成的旋转体的体积，绕x 轴旋转的话我们一般用()2b a v f x dx π=
⎰这个公式，绕y 轴旋转的话一般用()2b a
v x f x dx π=⎰这个公式来计算，这两个都是用微元法推导出来的，()2b
a v f x dx π=⎰我就不解释了，你应该都记住了，()2b
a v x f x dx π=⎰是按柱体的旋转轴一圈一圈的分割
的，每一小圈的体积()()22dv x dx f x x f x dx ππ=⋅⋅=，总体积就是两边同时积分 如果实在不懂就记住好了
如上图所示，22,22b
b
a a dv x dx y xydx v dv xydx xydx ππππ=⋅⋅=∴===⎰⎰⎰ 其实这里的分割是一圈一圈分割的，就是相当于是一个底面半径为R 的柱体，当半径增大dR 时，体积相应的增大2R dR h π⋅⋅,其中h 是柱体的高，所以这个公式也是这样一圈一圈的分割的然后求每一圈的体积dv ，再积分，就像下图这样的分割法，就是一圈一圈的分割，然后用微元法求每一圈的体积，每一圈的体积你把它咱开的话就是一个长方体，长为这一圈柱体的底面周长2x π，宽为圆柱体的高y ，厚度就是dx。
《经济数学-微积分》旋转体的体积
旋转体定义
一个平面图形绕着它所在的平面 内的一条定直线旋转所形成的曲 面围成的几何体称为旋转体。
旋转体分类
根据旋转轴的不同，旋转体可以 分为绕x轴旋转的旋转体和绕y轴 旋转的旋转体。
体积计算公式推导
01
圆柱体体积公式推导
02
圆锥体体积公式推导
03
圆球体体积公式推导
圆柱体可以看作是一个矩形绕其一边 旋转而成的，因此其体积可以通过矩 形的面积与旋转的高度的乘积来计算 。
多重积分概念与性质
了解多重积分的概念和性质，如二重积分、三重积分等。
在旋转体体积求解中应用
对于复杂形状的旋转体，可以通过多重积分进行求解，如球体、椭 球体等。
求解步骤与技巧
掌握多重积分的求解步骤和技巧，如选择合适的坐标系、确定积分 顺序等。
数值近似解法介绍
01
数值近似解法概念
当无法直接通过积分公式求解旋 转体体积时，可以采用数值近似 解法进行估算。
04 积分法在求解旋转体体积 中应用
定积分求解旋转体体积基本原理
旋转体体积的定积分表示
通过截面面积函数对定区间进行积分，得到旋转体体积的公式。
几何意义与物理应用
定积分求解旋转体体积的方法在几何和物理领域有广泛应用，如计 算圆柱、圆锥等体积。
求解步骤与技巧
掌握定积分的求解步骤和技巧，如确定积分区间、选择合适的积分 变量等。
物理应用
旋转体体积的计算公式在物理学中也 有广泛应用，例如在计算物体的质量 、密度、浮力等方面都需要用到体积 的计算公式。
常见问题及解决方法
问题1
如何判断一个几何体是否为旋转体？
解决方法
观察几何体的形状和特征，看其是否符合旋转体的定义和 性质。
浅析微积分中求旋转体体积的技巧
浅析微积分中求旋转体体积的技巧求旋转体的体积是微积分中的重要内容之一，主要应用于求解如圆锥体、圆柱体、圆盘等等的体积。
在微积分中，常用到的技巧有：用定积分进行求解、套用几何体的公式、使用截面积的方法、用旋转曲线的微元法等等。
一、用定积分进行求解当旋转体的截面是一个薄片，其面积可以表示为一个关于自变量x的函数A(x)，则可以通过定积分来求取旋转体的体积V。
假设旋转体是由曲线y=f(x)与x轴所围成，曲线在区间[a,b]上连续、非负并且可微。
则薄片的面积可以表示为：A(x) = π[f(x)]^2薄片的体积可以表示为：dV = A(x)dx = π[f(x)]^2dx整个旋转体的体积可以通过将所有薄片的体积相加求得：V = ∫[a,b]dV = ∫[a,b]π[f(x)]^2dx二、套用几何体的公式在求解旋转体体积的过程中，有时候可以直接套用几何体的公式，而不需要进行定积分求解。
当旋转曲线是一个直线y=kx时，旋转体是一个圆锥体。
圆锥体的体积公式为：V = 1/3 * 底面积 * 高= 1/3 * πr^2 * h底面积为πr^2，r为底面半径，h为高。
r为圆盘的半径，h为圆盘的厚度。
三、使用截面积的方法对于一些形状复杂的旋转体，可以使用截面积的方法来求解体积。
这种方法的基本思想是将旋转体划分为无数个截面，然后计算每个截面的面积，最后将它们累加起来。
当旋转曲线是一个较复杂的曲线y=f(x)时，可以通过将旋转体划分为无数个微小的扇形截面来计算体积。
将旋转曲线划分为一系列微小的线段，然后将每个微小线段旋转一周，形成一个微小的扇形截面。
根据扇形的面积公式A = 1/2 * θ * r^2，其中θ为扇形的弧度，r为扇形的半径，可以计算每个扇形截面的面积。
然后，将所有扇形截面的面积相加，即可得到旋转体的体积。
四、用旋转曲线的微元法当旋转曲线无法用常规的几何形状表示时，可以用旋转曲线的微元法来求解旋转体的体积。
旋转体体积公式绕x轴和绕y轴的公式
标题：旋转体体积公式绕x轴和绕y轴的公式概述旋转体体积公式是数学中的重要概念，它用于计算由曲线或曲面旋转产生的立体图形的体积。
在这篇文章中，我们将重点讨论旋转体体积公式绕x轴和绕y轴的具体公式及推导过程。
一、绕x轴旋转体积公式当曲线y=f(x)在x轴的区间[a,b]上绕x轴旋转一周时，所形成的旋转体的体积Vx可由以下公式计算：Vx = π∫[a,b] f(x)² dx其中，π为圆周率。
推导过程：为了推导该公式，我们可以将曲线y=f(x)绕x轴旋转一周后，得到不同x处的截面面积πf(x)²。
然后利用定积分的性质，将这些截面面积相加，即得到旋转体的体积公式。
举例说明：假设我们有曲线y=x²，要计算其在区间[0,1]上绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积。
根据公式，我们可以得到Vx = π∫[0,1] x^4 dx = π/5二、绕y轴旋转体积公式当曲线x=g(y)在y轴的区间[c,d]上绕y轴旋转一周时，所形成的旋转体的体积Vy可由以下公式计算：Vy = π∫[c,d] g(y)² d y推导过程：同样地，为了推导该公式，我们可以将曲线x=g(y)绕y轴旋转一周后，得到不同y处的截面面积πg(y)²。
然后利用定积分的性质，将这些截面面积相加，即得到旋转体的体积公式。
举例说明：假设我们有曲线x=y²，要计算其在区间[0,1]上绕y轴旋转一周所形成的旋转体的体积。
根据公式，我们可以得到Vy = π∫[0,1] y^4 dy = π/5总结通过本文的讨论，我们可以得出绕x轴和绕y轴旋转体积的计算公式，并了解到其推导过程。
这些公式在数学和工程领域有着广泛的应用，能够帮助我们计算由曲线旋转产生的立体图形的体积，具有重要的理论和实际意义。
为了更深入地理解旋转体体积公式绕x轴和绕y轴的推导过程，我们可以进一步探讨不同类型曲线的旋转体积公式，并应用这些公式解决实际问题。
微积分计算体积
1 2 二、有一铁铸件，它是由抛物线 y x 、 10 1 2 y x 1 与直线 y 10 围成的图形，绕 y 轴 旋 10 转而成的旋转体，算出它的质量（长度单位是厘 3 米，铁的密度是7.8 克 厘米 ）.
三、把星形线 x y a 绕 x 轴 旋转，计算所得旋转 体的体积 .
2
例4 证明由平面图形 0 a b,0 y f ( x ) （f ( x ) 连续） 绕 y 轴旋转而成的立体的体积为
b
V 2 xf ( x )dx
证
[ x , x dx ] [a , b] 对应的部分量 V 可近似看成内径为 x ，外径为 x + dx 高为 f ( x ) 的薄壁圆筒
r ( z ) | MQ | z 2 (1 z )2 1 2 z 2 z 2
例8 已知点A（1,0,1), B(0,1,0) ，线段AB绕 z 轴旋转一周所成的旋转曲面为S，求由S和 两平面 z = 0,z = 1所围立体的体积
截面面积 S ( z ) r 2 ( z ) (1 2z 2z 2 ) 1 2 立体体积 V S ( z )dz 3 0
如果一个立体不是旋转体，但却知道该立 体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这 个立体的体积也可用定积分来计算.
A( x ) 表示过点
x 且垂直于x 轴
的截面面积，
o
a
x x dx
b
x
A( x ) 为x 的已知连续函数
dV A( x )dx ,
立体体积 V
b
a
A( x )dx.
例 7 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心，并 与底面交成角 ，计算这平面截圆柱体所得立体的体 积. 解 取坐标系如图
旋转体体积例题
旋转体体积例题
求旋转体体积的方法有很多种，常见的方法是使用微积分的积分式和几何形状的参数方程。
以下是一些例题:
1. 求由曲线 xy 所围成的图像绕 x 轴旋转所得旋转体的体积。
解：将曲线 xy 看做无数小矩形的组合，然后用矩形面积乘以圆的周长，再通过对 x 求积分即可得到旋转体的体积。
2. 求由曲线 x^2 + y^2 = a^2 绕 x 轴旋转所得旋转体的体积。
解：此题可以使用参数方程求解，设 x = rsint,y = rcost，则绕 x 轴旋转的旋转体体积为:
V = -64(sintsintcost)2(sintcostsint)dt
其中，dt 表示自变量 r 的积分值范围，t 表示角度。
3. 求由抛物线 y = 2x^2 + 1 绕 x 轴旋转所得旋转体的体积。
解：此题可以使用微积分的积分式求解。
可以将抛物线 y = 2x^2 + 1 看做无数个小矩形的组合，然后对这些小矩形的面积进行积分，再乘以圆的周长即可得到旋转体的体积。
4. 求旋转体的体积，其几何形状为锥体，母线为 r，高度为 h。
解：可以将旋转体看做以母线为高的锥体，然后通过对母线和高度进行积分求解。
具体而言，可以分别对母线和高度进行定积分，再将它们相加得到旋转体的体积。
这些例题只是旋转体体积求解的一小部分，实际上还有很多其他类型的旋转体体积求解问题，需要根据具体情况使用不同的求解方法。
积分旋转体体积公式
积分旋转体体积公式
对于曲线y=f(x)，当该曲线绕x轴旋转时，其旋转体的体积V 可以用以下公式表示：
V = π∫[a, b] f(x)^2 dx.
其中，a和b是曲线在x轴上的交点，π是圆周率。
同样地，如果曲线是由x=g(y)给出的，并且绕y轴旋转，那么旋转体的体积V可以用以下公式表示：
V = π∫[c, d] g(y)^2 dy.
其中，c和d是曲线在y轴上的交点。
这个公式的推导涉及到微积分的知识，主要是通过将旋转体切割成无限小的圆柱体，并对这些圆柱体进行求和来得到体积。
这个公式的应用范围非常广泛，涵盖了许多不同类型的曲线和旋转体。
通过积分旋转体体积公式，我们可以精确地计算出由各种曲线
旋转而成的立体体积，这为我们在物理、工程、建筑等领域的实际问题提供了重要的数学工具。
因此，掌握和理解这个公式对于数学学习和实际应用都具有重要意义。
微积分求旋转体体积
微积分求旋转体体积
微积分是一种以微分和积分为基础的数学方法，是研究函数性质、分析函数行为及求解曲线问题的数学工具。
它可以用来求解多种几何体的表面积和体积。
本文主要讨论如何用微积分方法求解旋转体的体积。
二、旋转体的定义
旋转体是以某些曲线为轮廓，将这些曲线绕轴旋转一定的角度，所形成的立体图形。
它由轴、轮廓曲线和旋转角度组成。
三、求解旋转体体积的方法
1.柱状体
旋转体可以用柱体来近似表示，这称为柱状体，柱状体的体积公式为V=πrh，其中r为柱轴上任意点到轴心的距离，h为离心点处的曲线到轴的高度。
2.旋转体体积公式
通过柱体近似，可以用积分公式确定旋转体的体积。
积分公式：V=∫rb(θ)dθ。
其中，b(θ)为某点到轴心的距离，θ为旋转角度，r为轴的半径。
四、例题讲解
例题1：以椭圆y=2x-x为轮廓，绕x轴旋转360°求旋转体的体积
解：椭圆的方程为y=2x-x，令y=0时，可得x=0或1，即椭圆的两端点为(0,0)和(1,0)，则椭圆的半径为1。
将椭圆从(0,0)绕x轴旋转360°，由柱状体体积公式可得，体积V=πrh=π×1×2=2π
再用积分法求解，V=∫rb(θ)dθ=∫01(2θ-θ)dθ，即V=2π以上两种方法求得的体积均为2π，故正确。
五、结论
本文介绍了用微积分求解旋转体体积的方法，可以用柱体近似和积分公式求解旋转体体积。
在求解过程中，需要熟练掌握柱体体积公式和积分公式，准确计算出旋转体的体积。
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其值域不越出[a, b]，则有
b
a f (x)dx f [ (t)] '(t)dt
这个公式叫定积分的换元公式。
证 设F(x)是f (x)的一个原函数，则
b
a f (x)dx F(b) F(a)
另一方面，令 (t) F[ (t)]，有 '(t) dF dx f (x) '(t) f [ (t)] '(t)
设f (x)在[a,b]上连续，x [a,b],考察f (x)在 [a, x]上的定积分
x
a f (t)dt
对于[a, b]上每一个x，都得到定积分的一个
对应值，所以 x f (t)dt是定义在[a,b]上的一 a
个函数，记作
x
(x) a f (t)dt (a x b)
称为积分上限的函数
定理1 如果函数 f (x)在区间[a,b]上连续，则积分上
所以 '(x) f (x) (a x b)
若x
a,取x
0,
可证
'
(a)
f (a);
若x
b,取x
0,
可证
'
(b)
f (b);
故有 '(x) f (x) (a x b)
定理2 如果函数f (x)在区间[a,b]上连续，则函数
x
(x) a f (t)dt
就是f (x)在[a,b]上的一个原函数。
证 因F(x)是f (x)的一个原函数， 又
x
(x) a f (t)dt
也是f (x)的原函数， 所以
F(x) (x) C (a x b)
x
a f (t)dt C
a
F (a) (a) C a f (t)dt C C
于是
b
b
F (b) f (t)dt C f (t)dt F (a)
x
所以
1 1 dx ln | x |
2 x
1 2
ln
1
ln
2
ln
2
例4 计算正弦曲线 y sinx 在[0, π]上与 x 轴所围
成的平面 图形的面积。
解
A sin xdx
0
y y sin x
cos
x
0
cos cos0
2
0
A
x
变上限积分的求导公式
d
(x)
f (t)dt f ((x)) '(x)
1
令 u cos x,则
d 1et2 dt d cosx et2 dt
dx cos x
dx 1
d du
u 1
e t 2
dt
ucos x
(cosx)'
（复合函数求导法）
eu2 ucos x ( sin x) ecos2 x ( sin x) sin xecos2 x
所以
lim
间[t1,t2 ]上的增量
s(t2 ) s(t1 )
所以
t2 t1
v(t)dt
s(t2
)
s(t1 )
注意到s'(t) v(t)，即位置函数s(t)是速度
函数v(t)的原函数。
猜想：设F(x)是f (x)在区间[a,b]上的原函 数,则
b
a f (x)dx F (b) F (a)
二、积分上限函数及其导数
第四节 微积分基本公式
• 一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的 联系
0
s(t1 )
s(t2 )
s (t )
设位置函数为s(t ), 速度函数为v(t ), 在时间
间隔[t1,t2 ]内物体经过的路程是速度函数
v(t)在[t1,t2 ]上的定积分
t2 v(t)dt
t1
另一方面, 这段路程又是位置函数s(t )在区
dx a
u
F(u) a f (t)dt
u (x)
F(u(x)) d F(u) d u(x)
dx
du dx
例5
1 et2 dt
求 lim x0
cos x
x2
解 因x 0时，分子、分母的极限 均为0，
所以极限为 0 型未定式。 0
又
e1 t2 dt cos x e t2 dt
cos x
（在x与x x之间）
所以 (x x) (x) f ( )
x
x
因f (x)在[a,b]上连续，且在x与x x之间,
当x 0时, x, 于是
lim (x x) (x) lim f ( ) lim f ( ) f (x)
x0 x
x
x0
x
而 lim '(x) x0 x
这个定理一方面证明了连续函数的原函数的存 在性：任何连续函数都存在原函数。另一方面揭示 了定积分与原函数（不定积分）之间的联系，即可 通过原函数来计算定积分。
三、牛顿 莱布尼茨公式（微积分学基本定理） 定理3 如果函数f (x)在区间[a,b]上连续，F (x)是
f (x)的任一原函数，则
b
a f (x(dx F (b) F (a)
限的函数
x
(x) a f (t)dt
在[a, b]上具有导数，且
'(x) d
x
f (t)dt
dx a
f (x)
(a x b)
即：积分对其上限的导 数等于被积函数在其上 限 处的值。
证 设x (a,b), x是增量，且 x x (a,b), 则
x x
(x x) a f (t)dt
于是
(x x) (x)
y
y f (x)
x x
x
a f (t)dt a f (t)dt
x
x x
x
a f (t)dt x f (t)dt a f (t)dt
x x
x f (t)dt
0
(x)
a
x
f ( )
x x b x
f ( )[(x x) x] （积分中值定理）
f ( )x
a
a
即有
b
f (t)dt F (b) F (a)
a
公式
b
a f (x)dx F (b) F (a)
叫做牛顿 莱布尼茨公式，也叫微积分基本公式。
公式可简记为
b a
f
(x)dx
[F (x)]
b a
例1 求 1 x2dx 0
解 因1 x3是x2的一个原函数, 所以
3
1 x 2dx 0
1 3
x3
1et2 dt
cos x
lim
sin xecos2 x
x x0
2
x0
2x
1 lim sin x lim ecos2 x 2 x0 x x0
1 2e
定积分的换元法
定理 设函数f (x)在区间[a,b]上连续，函数x (x)
满足条件：
(1) ( ) a, ( ) b；
(2) (t)在[ , （] 或[ , ]上具有连续导数，且
1 0
1 3
例 2
求 3 dx 1 1 x 2
解
因arctanx是 1 的一个原函数, 所以 1 x2
3 dx
1 1 x 2
arctanx
3 1
arctan
3 arctan(1)
( ) 7
3 4 12
例 3
计算
1 1 dx
2 x
解 当x 0时，1 的一个原函数是ln | x | ，