第七节_____旋转体的体积计算
《旋转体的体积》课件
旋转体的性质
深入探讨了旋转体的几何性质，如旋 转体的表面积、质心和转动惯量等。
计算实例
通过具体的计算实例，演示了如何运 用旋转体的体积公式解决实际问题。
未来研究方向和展望
深入研究旋转体的性质
随着几何学的发展，旋转体的 性质将得到更深入的研究，如 探讨旋转体的对称性、稳定性 等。
扩展旋转体的应用领域
条件和范围。
计算中需要注意的事项
单位统一
在计算过程中，确保所有的长度单位都 是统一的，避免因单位不统一导致的误 差。
VS
精确度要求
根据问题的实际需求，合理选择计算方法 和工具，确保计算结果的精确度。
提高计算准确性的技巧和方法
01
02
03
多做练习
通过大量的练习，提高学 生的计算能力和对公式的 熟悉程度。
数学建模
在物理、化学和生物等学科中，旋转 体常被用来建立数学模型，以描述和 分析各种现象。
02
旋转体的体积计算公式
圆柱体的体积计算公式
总结词
圆柱体的体积计算公式是底面积乘以高。
详细描述
圆柱体的体积计算公式是底面积（πr^2）乘以高（h），即V=πr^2h，其中r是 底面圆的半径，h是高。
圆锥体的体积计算公式
随着科技的进步，旋转体在工 程、物理、生物等领域的应用 将更加广泛，如探讨旋转体在 流体动力学、机械工程和生物 学等领域的应用。
探索新的计算方法
随着数学和计算机技术的发展 ，将会有新的计算方法出现， 以更高效、精确地计算旋转体 的体积和其他几何量。
加强与其他学科的交叉研 究
旋转体作为几何学的重要分支 ，将与其他学科如物理学、化 学、生物学等产生更多的交叉 研究，以推动科学的发展。
绕某一直线旋转的旋转体体积的求法
一、概述在数学和物理学中，我们经常会遇到关于旋转体积的问题。
绕某一直线旋转的旋转体是一种常见的几何体，在工程设计、建筑学和动力学等领域都有重要的应用。
了解如何求解绕某一直线旋转的旋转体体积是非常重要的。
二、旋转体积的基本概念旋转体积指的是一个平面图形绕某一条直线旋转而成的立体。
常见的旋转体包括圆锥体、圆柱体和旋转抛物面等。
在求解旋转体积时，我们通常需要根据给定的图形和旋转轴来确定积分的区间，并使用定积分的方法来求解。
三、圆柱体体积的求法圆柱体是一种常见的旋转体，其体积的求法非常简单。
设半径为r的圆绕与半径平行且与圆心距为h的直线旋转，即可得到一个圆柱体。
根据圆柱体的定义，其体积可以表示为V=πr²h。
我们可以直接使用该公式来求解圆柱体的体积。
四、圆锥体体积的求法与圆柱体类似，圆锥体的体积求解也可以通过积分的方法来进行。
设半径为r的圆绕与顶点到底面的距离为h的直线旋转，即可得到一个圆锥体。
根据圆锥体的定义，其体积可以表示为V=1/3πr²h。
我们可以通过积分来求解圆锥体的体积，即∫πr²dy，其中y的区间为0到h。
五、旋转曲面体积的求法对于其他类型的旋转体，如旋转抛物面或旋转曲线体，其体积的求法也是类似的。
我们需要先确定旋转轴以及图形的方程，然后使用定积分的方法来求解体积。
由于旋转曲面的形状多样化，其体积的求解可能会更加复杂，需要根据具体情况来确定积分的区间和方程。
六、典型问题求解1. 求半径为r的圆的绕x轴旋转所得旋转体的体积。
解：根据圆绕x轴旋转所得的旋转体为圆柱体，其体积为V=πr²h，其中h为圆心到x轴的距离。
可以通过积分∫πr²dy来求解。
2. 求y=x²在x轴和直线x=2所围成的区域绕x轴旋转所得旋转体的体积。
解：首先需要确定积分的区间为x=0到x=2，然后根据给定的函数y=x²来求解面积。
然后再通过积分的方法来求解旋转体的体积。
旋转体体积公式绕x轴和绕y轴的公式
标题：旋转体体积公式绕x轴和绕y轴的公式概述旋转体体积公式是数学中的重要概念，它用于计算由曲线或曲面旋转产生的立体图形的体积。
在这篇文章中，我们将重点讨论旋转体体积公式绕x轴和绕y轴的具体公式及推导过程。
一、绕x轴旋转体积公式当曲线y=f(x)在x轴的区间[a,b]上绕x轴旋转一周时，所形成的旋转体的体积Vx可由以下公式计算：Vx = π∫[a,b] f(x)² dx其中，π为圆周率。
推导过程：为了推导该公式，我们可以将曲线y=f(x)绕x轴旋转一周后，得到不同x处的截面面积πf(x)²。
然后利用定积分的性质，将这些截面面积相加，即得到旋转体的体积公式。
举例说明：假设我们有曲线y=x²，要计算其在区间[0,1]上绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积。
根据公式，我们可以得到Vx = π∫[0,1] x^4 dx = π/5二、绕y轴旋转体积公式当曲线x=g(y)在y轴的区间[c,d]上绕y轴旋转一周时，所形成的旋转体的体积Vy可由以下公式计算：Vy = π∫[c,d] g(y)² d y推导过程：同样地，为了推导该公式，我们可以将曲线x=g(y)绕y轴旋转一周后，得到不同y处的截面面积πg(y)²。
然后利用定积分的性质，将这些截面面积相加，即得到旋转体的体积公式。
举例说明：假设我们有曲线x=y²，要计算其在区间[0,1]上绕y轴旋转一周所形成的旋转体的体积。
根据公式，我们可以得到Vy = π∫[0,1] y^4 dy = π/5总结通过本文的讨论，我们可以得出绕x轴和绕y轴旋转体积的计算公式，并了解到其推导过程。
这些公式在数学和工程领域有着广泛的应用，能够帮助我们计算由曲线旋转产生的立体图形的体积，具有重要的理论和实际意义。
为了更深入地理解旋转体体积公式绕x轴和绕y轴的推导过程，我们可以进一步探讨不同类型曲线的旋转体积公式，并应用这些公式解决实际问题。
旋转体体积计算说课
说教学设计
导入 新授 例题分析 课堂练习 课后作业 课时小结
说教学反思
1.对多媒体的使用不够熟练。 2.教学设计存在问题，比如沙漏体积计算我 ห้องสมุดไป่ตู้择的数据不够好，造成计算上存在很大的 难度。 3.师生互动较少。
谢谢大家，欢迎批评指正！
旋转体体积计算说课
基础教育部 艾雪微
说课内容
说课程 说教学目标 说教学设计 说教学反思
说课程
课程分析：我们所选用的教材是 出版社出版 的高等数学。本节课是第五章定积分及定积分 应用的第七节。定积分应用在实际生活中有非 常广泛的用途。
学情分析：底子薄、基础差，学习兴趣不高
说教学目标
1.知识与技能：熟记绕x轴、y轴旋转的旋转体体 积计算公式； 2.能力目标：能够熟练求出绕x轴、y轴旋转的旋 转体体积并能够应用所学知识解决简单的实际 问题； 3.情感态度价值观：培养学生数学建模的思想。
旋转体的体积计算(课堂PPT)
曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的立体，体积为
y
V d [ ( y)]2 dy c d x 2dy c
d
x ( y) c
o
x
3
例1. 求由曲线 y x ,直线x = 1及x轴所围成的平面图形
绕x轴旋转一周所生成的旋转体的体积.
解 如图, 选x为积分变量
y
y x
由旋转体的体积公式,得
1
Vx
(
0
x )2 dx
1
xdx
0
o
x
x2
1
22
0
4
例2. 求由曲线 x 2 4 y,直线y = 1及y轴所围成的图形
分别绕 x 轴, y 轴旋转一周所生成的旋转体的体积.
y
解 如图, 绕 x 轴旋转体的体积,
选x为积分变量
(2, 1)
1
Vx
12 2 2 ( x 2 )2 dx 04
b
左半圆弧方程为 x x2( y) b a2 y2 O A
Bx
体积微元
-a
D
dV
[ x1(
y)]2 dy
[ x2 (
y)]2 dy
[ x12 (
y)
x
2 2
(
y)]dy
环体体积为 V
a
(
a
x12
x22
)dy
a
[(b
a2 y2 )2 (b
a2 y2 )2 ]dy
a
a
y2
2 a 3
2
x3
3
x [a, a]
-a
o
a
x
由旋转体的体积公式，知：
V
a [ f ( x)]2dx
参数方程 旋转体体积公式
参数方程旋转体体积公式在我们学习数学的漫漫征途中，参数方程和旋转体体积公式就像是两座神秘的山峰，等待着我们去攀登和探索。
还记得我读高中那会，有一次数学老师在课堂上讲参数方程和旋转体体积公式，那场面可真是热闹非凡。
老师在黑板上奋笔疾书，嘴里不停地念叨着各种符号和公式，而台下的同学们则是一脸迷茫，有的抓耳挠腮，有的眉头紧锁。
我当时也被这复杂的知识搞得晕头转向。
咱们先来说说参数方程。
参数方程是啥呢？简单来说，就是用一个参数来表示一个曲线或者一个图形上点的坐标。
比如说，一个圆的参数方程可以写成 x = r cosθ，y = r sinθ ，这里的 r 是圆的半径，θ 就是那个参数。
通过改变θ 的值，我们就能得到圆上不同的点的坐标。
这就像是给曲线编了一个密码，只有知道了这个密码（参数），才能解开曲线的秘密。
再来说说旋转体体积公式。
这可是个厉害的家伙！想象一下，一个平面图形绕着一条轴旋转一周，形成的那个立体图形的体积该怎么算呢？这就轮到旋转体体积公式登场啦。
比如说，一个直角三角形绕着一条直角边旋转一周，形成一个圆锥。
如果我们知道三角形的两条直角边的长度，就能用相应的公式算出这个圆锥的体积。
那参数方程和旋转体体积公式有啥关系呢？这就好比是一对好兄弟，相互配合，能解决好多难题。
比如说，我们要计算一个由参数方程表示的曲线绕着某条轴旋转形成的旋转体的体积，这时候就得把参数方程和旋转体体积公式结合起来，一通操作，就能算出体积啦。
我记得有一次做数学作业，就碰到了这么一道题：一个由参数方程x = t，y = t^2 表示的抛物线绕着 x 轴旋转一周，求旋转体的体积。
我一开始看到这道题，脑袋嗡嗡的，完全不知道从哪儿下手。
但是静下心来，仔细回想老师讲的知识点，先把参数方程转化为普通方程，再用旋转体体积公式去计算，费了好大的劲，终于算出了答案。
那一刻，心里那叫一个美啊！在学习参数方程和旋转体体积公式的过程中，可别害怕犯错。
错了就改，改了再错，错了继续改，直到弄明白为止。
旋转体体积公式绕x轴的体积
旋转体体积公式绕x轴的体积在我们学习数学的旅程中，旋转体体积公式绕 x 轴的相关知识可是个重要的“小伙伴”呢！先来说说什么是旋转体体积。
想象一下，有一条曲线在平面上，然后让它绕着 x 轴旋转一圈，所形成的那个像“甜甜圈”一样的空间物体就是旋转体啦。
而计算这个旋转体体积的公式，就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开了解它大小的大门。
比如说，我们有一个简单的函数 y = x，从 x = 0 到 x = 1 这一段。
当它绕着 x 轴旋转一周后，形成的就是一个圆锥。
这时候，我们就可以用旋转体体积公式来算算它的体积。
公式是这样的：V = π∫[f(x)]²dx ，积分的区间就是函数的定义域。
我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，发生了一件特别有趣的事儿。
有个小家伙，瞪着大眼睛，一脸迷茫地问我：“老师，这绕来绕去的，到底是怎么回事呀？”我笑着拿起一支笔，在空中比划着说：“你看啊，就像我们在做陶艺，把这一块泥巴（指着函数曲线），绕着这个轴（比划出 x 轴）这么一转，是不是就出来一个形状啦？那我们要知道这个形状占了多大的空间，就得靠这个公式来帮忙。
”那孩子似懂非懂地点点头，然后自己拿起笔在纸上画了起来。
再举个例子，比如函数y = √x ，从 x = 0 到 x = 4 绕 x 轴旋转一周。
这时候，我们代入公式V = π∫[f(x)]²dx ，经过一番计算就能得出体积啦。
在实际应用中，这个公式可太有用了。
比如说，工程师在设计零件的时候，可能就需要计算某个旋转体的体积，来确定材料的用量和成本。
对于咱们学生来说，掌握这个公式，不仅能在考试中多拿几分，更重要的是，它能培养我们的空间想象力和逻辑思维能力。
学习旋转体体积公式绕 x 轴的体积，就像是一场有趣的探险。
虽然有时候可能会觉得有点难，但只要我们多思考、多练习，就一定能攻克这个难关，发现其中的乐趣和奇妙之处。
总之，旋转体体积公式绕x 轴的体积是数学世界中的一个重要工具，让我们能够更深入地理解和探索空间几何的奥秘。
定积分计算旋转体体积公式
定积分计算旋转体体积公式嘿，大家好！今天咱们聊聊一个看似高大上的话题——定积分计算旋转体体积公式。
听上去有点复杂，但实际上，它就像做一道美味的菜，只要掌握了技巧，没啥难的。
来吧，咱们一步一步来，轻松愉快地搞定这个概念。
1. 什么是旋转体？1.1 旋转体的定义先说说旋转体。
你有没有想过，当你把一个平面图形绕着一条轴旋转一圈，会变成什么？对，就是旋转体！简单来说，旋转体就是由一个平面图形旋转而成的三维物体。
比如说，圆柱、球、锥这些家伙，都是旋转体。
想象一下，把一个圆形的披萨放在桌子上，绕着中心转动，这个披萨的整个形状就是个完美的圆柱，想想是不是挺有趣的？1.2 旋转体的例子再比如，你把一个直角三角形绕着其中一条直角边旋转，哇！你就得到了一个锥体。
说实话，光是想想就让人觉得奇妙无比。
这些几何图形，虽然看起来简单，但它们的体积计算可是有门道的，接下来我们就要揭开这层神秘的面纱啦。
2. 定积分与体积2.1 定积分的基础知识那么，定积分到底是什么呢？简单说，定积分就是把某个区间上的函数“加起来”，其实就像把一块块的蛋糕切成小块，然后一块一块地吃掉，最后得出整块蛋糕的重量。
在数学里，这个过程就可以用定积分来表示。
比如说，你想知道一个曲线下面的面积，那就得用到定积分。
2.2 如何计算旋转体的体积现在咱们来聊聊，如何利用定积分来计算旋转体的体积。
公式是这样的：如果你把一个函数 ( f(x) ) 从 ( a ) 到 ( b ) 这个区间绕 ( x ) 轴旋转，就可以用下面的公式计算体积：V = pi int_a^b f(x)^2 dx。
这里的 ( V ) 就是体积，没错，就是你期待的那一部分！这个公式的意思就是，先把函数值平方，再把这些值累加起来，最后乘个 (pi) 就可以得到旋转体的体积了。
听起来是不是很简单？实际上，计算时要注意范围和函数的形状，否则可就“踩雷”了。
3. 生活中的应用3.1 实际应用示例生活中其实到处都能看到旋转体的影子。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2
3
练习
求以抛物线y 4 x 2及y 0所围成的图形为底， 而垂
直于y轴的所有截面均是高为 2的矩形的立体的体积 .
解 设截面面积为 A( y )
A( y ) 2 4 y 2
y
4 4 y
V 40
4
64 4 y dy 3
o
x
解 绕 x轴旋转的旋转体体积
y
2a
Vx
0 2
0
y 2dx
o
a 2 (1 cos t )2 d [a( t sin t )] a 2 (1 cos t ) 2 a(1 cos t )dt
0
2
2 a
x
a
3
0
2
2 3 5 a . (1 3 cos t 3 cos t cos t )dt
x
R
o
y
垂直于 x 轴的截面为直角三角形
x 2 y 2 R2
1 1 2 截面面积 A( x ) y y tan ( R x 2 ) tan 2 2
立体体积 V
1 R 2 2 A ( x ) dx ( R x ) tan dx R R 2
R
2 3 R tan. 3
小结
V [ f ( x )] dx
2 a b
y
a
b
2
dx
y
d
y o
y f ( x)
x ( y)
c
x x dx
x
o
x
2
V
d
c
[ ( y)] dy
x dy
2 c
d
作业:P118. 1(1)(3)，2
练习
x2 y2 求由椭圆 2 2 1, 绕x轴旋转所成旋转体的体 积. a b 2 b 解 上半椭圆的方程为：y 2 2 (a 2 x 2 ) a a 由公式知：V y 2dx
-a
D
[(b a 2 y 2 )2 (b a 2 y 2 )2 ]dy
a
a
4b
a a
a y dy 8b
2 2
a
0
2 2 a 2 y 2 dy 2a b
2.平行截面面积为已知的立体的体积
A( x ) 设一立体位于 过点 x =a, x =b y 且垂直于 x 轴的两平面之间， 用垂直于 x 轴的任一平面截 此立体所得的截面积 A(x) 是 x 的已知函数， 求这个立体的体积V . x x+dx o a 用微元法： 取 x 为积分变量，在区间 [a, b] 上任取一小区间 [x , x+dx] ，过其端点作垂直 x 轴的平面，
a
b 2 4 2 2 (a x )dx ab2 . a a 3
a
2
同理得椭圆绕y轴旋转所成的旋转体的 a2 2 4 2 2 体积为V ( b y ) dy a b. b b 2 3
b
练习
x a( t sin t ) 求摆线 的一拱与 y = 0所围成的 y a(1 cos t ) 图形绕 x 轴 旋转构成旋转体的体积.
b
x
作体积微元： 以A(x) 为底，dx 为高作柱体， b 体积微元为dV A( x )dx , 从而 V A( x )dx .
a
例6 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心，
并与底面交成角 ，计算这平面截圆柱体所得立 体的体积.
解 取坐标系如图 底半圆方程为
y R2 x 2
R
32 3 a . V a [ f ( x )] dx a a x dx 105
2
a 2 3 2 3
4
3
例5 求圆 ( x a)2 y 2 a 2 (0 a b) 绕 y 轴旋转一周所
y
成的旋转体（环体）的体积
a
C
解 右半圆弧方程为 x x1 ( y ) b a 2 y 2
取积分变量为 x x [a , b ]
在[a , b]上任取小区 间[ x , x dx ]，
y
y f ( x)
o
x x dx
x
取以 dx 为底的窄边梯形绕 x 轴旋转而成的薄片的体积 为体积元素，dV [ f ( x ) x )] dx
2 a
b
y dx a
2
b
类似地，如果旋转体是由连续曲线
x ( y ) 、直线 y c 、 y d 及 y 轴所围成的
曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的立体，体积为
y
V
c
d
d
2 [ ( y )] dy
d
c
x dy
2
x ( y)
c
o
x
例1. 求由曲线 y
1 2 1
2 1
2
0
例4 求星形线 x y a (a 0) 绕 x 轴旋转
构成旋转体的体积 . 解 y a x ,
2 3 2 3 2 3
y
2 3
2 3
2 3
y a x
2 2 3
a
2 3
3
x [ a , a ]
-a
o
a
x
由旋转体的体积公式，知：
第七节
• 内容提要
旋转体的体积计算
1.旋转体的体积； 2.平行截面面积为已知的立体的体积. 教学要求 熟练掌握应用元素法求体积的方法。
1.旋转体的体积
旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直 线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．
圆柱
圆锥
圆台
一般地，如果旋转体是由连续曲线 y f ( x ) 、直 线 x a 、 x b 及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋 转一周而成的立体，体积为多少？
x ,直线x = 1及x轴所围成的平面图形
绕x轴旋转一周所生成的旋转体的体积. 解 如图, 选x为积分变量 由旋转体的体积公式,得
Vx
y
y
x
1
0
( x ) 2 dx xdx
0
2 1
1
o
x
x 2
2 0
例2. 求由曲线 x 2 4 y,直线y = 1及y轴所围成的图形 分别绕 x 轴, y 轴旋转一周所生成的旋转体的体积. y 解 如图, 绕 x 轴旋转体的体积, ( 2, 1) 选x为积分变量
左半圆弧方程为 x x2 ( y ) b a 2 y 2
O
A
b
B
x
体积微元 2 2 dV [ x1 ( y)]2 dy [ x2 ( y)]2 dy [ x1 ( y) x2 ( y)]dy
2 环体体积为 V ( x12 x2 )dy a a
Vx 1 2
2
2
1
2
0
8 x 4 2 x dy 2 16 0 16 5 0 5
x 2 ( ) dx 4
2
y2 4x
5 2
o
x
绕 y轴旋转体的体积, 选y为积分变量
y V y ( 4 y ) dy 4 ydy 4 0 0 2