考研,线性代数,数学必备2012

Em Am×n = Am×n Am×n En = Am×n
， 或简记为 EA = AE = A 即单位矩阵是矩阵乘法的单位元，作用类似 于乘法中的数1．
定义5 方阵 A 的 n 次幂定义为 n 个方阵 A 连 定义 乘，即 n个 64 8 74 An = A ⋅ A ⋅ L ⋅ A n 为正整数，规定 A0 = E ，其运算规律： 其中 k l k +l （1）A A = A ；
a11 a12 T A = M a1n
a21 L am1 a22 L am 2 M M a2 n L amn
；
其运算规律： T T （1） ( A ) = A ；
（2） ( A + B)T = AT + B T ； （3） (λ A)T = λ AT ； ( AB )T = B T AT ． （4） 例6 已知 2 0 − 1
cij = ai1b1 j + ai 2b2 j + L + ail blj = ∑ aik bkj (i = 1, 2,L , m; j = 1, 2,L , n)
k =1 l
记为
C = AB
例3 设矩阵
1 0 −1 A= , −1 1 3
0 3 4 B = 1 2 1 3 1 − 1
0 0 = M 0
．
Om×n
0 L 0 0 L 0 M M 0 L 0
（4）方阵 行数和列数都等于 n 的矩阵，称 ） 为 n 阶矩阵或 n 阶方阵，记为 An ，
即
a11 a12 L a1n a21 a22 L a2 n A = An = M M M an1 an 2 L ann
b1 a 2 L b1 a n b2 a 2 L b2 a n M M bn a 2 L bn a n
矩阵乘法的运算规律（假设运算都是可行 的）： （1）结合律： ( AB )C = A( BC ) （2）分配律：A(B+C) = AB+ AC, (B+C)A = BA+CA （3）对任意数 λ 有 λ ( AB ) = (λ A) B = A(λ B ) （4）设 A 是 m × n 矩阵 ，则
记为
a1 0 L 0 0 a2 L 0 Λ = diag(a1 , a2 ,L , an ) = M M M 0 0 L an
或
a1 a2 O an
其中未写出的元素全为零．
（6） n 阶单位矩阵 主对角元素全为1，其余 ） 元素全为零的 n 阶方阵称为 n 阶单位矩阵， 即aii = 1 (i = 1, 2,L , n)且 aij = 0 (i ≠ j; i, j = 1, 2,L , n), 记为 1 0 L 0 0 1 L 0 E = En = M M M 0 0 L 1 或
A= 1 3
( AB )T ． 求 解法1 因为 解法
1 7 − 1 , B = 4 2 3 2 2 0 1
1 7 − 1 0 14 − 3 2 0 − 1 AB = 1 3 2 4 2 3 = 17 13 10 2 0 1
4 − 2 4 0 0 2 BA = − 3 − 6 1 − 2 = 0 0
例5 设 A = (a1 a2 L an ) ， = (b1, b2 ,L, bn )T B 求 AB 与 BA ． b1 解 b2
求乘积 AB ． 0 3 4 1 0 −1 解 C = AB = 1 2 1 −1 1 3 3 1 −1 4 + 0 +1 0 + 0 − 3 3 + 0 −1 = 0 + 1 + 9 − 3 + 2 + 3 − 4 + 1 − 3
− 3 2 5 = 10 2 − 6
例4 设矩阵
4 2 − 2 4 ，B = A= − 3 − 6 1 − 2
求 AB 及 BA ． 解
4 − 16 − 32 − 2 4 2 = AB = 1 − 2 − 3 − 6 8 16
(k , l 为正整数)． （2） ( A ) = A 因为矩阵乘法不满足交换律，所以两个 n 阶方 阵 A 与 B ，一般来说
k l kl
( AB) ≠ A B
k k
k
2.2.3 矩阵的转置 定义6 定义 将 m × n 矩阵 A = (aij )的行换成同序数的 列，所得的 n × m 矩阵称为 A 的转置矩阵，记 T 为 A 或 A′ ，即
A = (a1 a2 L an )
或
A = (a1 , a2 , L , an )
称为行矩阵或行向量． （2）列矩阵 当 n = 1时，即只有一列的矩阵 ）
b1 b2 B= M b m
称为列矩阵或列向量．
（3）零矩阵 所有元素全为零的矩阵称为零 ） m 矩阵，记为 O ．例如， × n 的零矩阵可记为
AB = (a1 a2 L an ) = a1b1 + a2b2 + L + anbn M bn n
= ∑ ai bi
i =1
，
b1 a1 b1 b2 (a a L a ) = b2 a1 BA = n M M 1 2 b a bn n 1
1 1 O 1
k
（7）n 阶数量矩阵 主对角元素等于同一个数 ） 的 n 阶对角阵，称为 n 阶数量矩阵，记为
k 0 L 0 0 k L 0 kE = M M M 0 0 L k
或k ．来自 k O k2.2 矩阵的运算
2.2.1 矩阵的线性运算 1．矩阵的加法 定义2 定义 两个m´ n 的同型矩阵 A = (aij )和B = (bij ) 的 对应元素相加，所得 m´ n 的矩阵称为矩阵 A与 B 的和,记为 C = A + B ，即
a11 + b11 a12 + b12 L a1n + b1n a21 + b21 a22 + b22 L a2n + b2n C = A+ B = M M M am1 + bm1 am2 + bm2 L amn + bmn
例2 设
11 −1 9 6 2 −7 = − = 2 7 −3 15 5 −8
上式两端同乘
1 2
，得
7 − 2 −4
1 1 2 −7 X= = 2 5 −8 5 2
2.2.2 矩阵与矩阵相乘 定义4 是一个 m ×矩阵， B = (bij ) 是一个 定义 设 A = (aij ) l m× n 矩阵，则规定 与 的乘积是一个 A B l×n 矩阵 C = (cij ) ，其中
第2章 矩阵
2.1 矩阵的概念
2.1.1矩阵的定义 定义1 定义 由 m × n 个数 aij (i = 1, 2,L , m, j = 1, 2,L , n) 按一定顺序排成 m 行 n 列的数表
a11 a21 A= M am1 a12 a22 M am 2 L a1n L a2 n M L amn
= ( aij + bij )
例1 设 3 0 −5 A= , 1 4 7 则
1 3 1 2 B= , C = 2 . 4 3 5 3
3 + 3 0 + 1 − 5 + 2 6 1 − 3 = A+ B = 1 + 4 4 + 3 7 + 5 5 7 12
所以
0 17 T ( AB ) = 14 13 − 3 10
解法2 解法
( AB) = B A
T T
T
1 4 2 2 1 0 17 = 7 2 0 0 3 = 14 13 − 1 3 1 − 1 2 − 3 10
定义7 设 A 为 n 阶方阵，若满足 AT = A ，则 定义 称 A 为对称矩阵，即 a ij = a ji (i, j = 1,2, L , n) 其特点是：关于主对角线对称的元素相等． AT = − A ，则称 A为反对称矩阵，即 若满足 aij = − a ji ，当 i = j 时， ii = 0， a 其特点是：关于主对角线对称的元素相反，主 对角线上的元素全为零．
M M M λ am1 λ am 2 L λ amn
当 λ = −1 时，称 - A = 显然有
(- aij ) 为矩阵 A
的负矩阵，
A + (- A) = O
所以矩阵的减法可定义为 A - B = A + (- B ) 矩阵的加法和数与矩阵的乘法统称为矩阵的线 性运算，其运算规律： （1） A + B = B + A ； （2） ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ； （3） A + O = A ； （4） (λµ ) A = λ ( µ A) ； （5）(λ + µ ) A = λ A + µ A ； （6） λ ( A + B ) = λ A + λ B ．
． ．
3 2 11 −1 A= , B = −1 5 2 7 且 3 A + 2 X = B ，求矩阵 X ． 解 在 3 A + 2 X = B 等式两端同加上 −3A ，得