圆综合练习题
中考数学总复习《圆的综合题》练习题(附答案)
中考数学总复习《圆的综合题》练习题（附答案）班级:___________姓名：___________考号：_____________一、单选题1．在平面直角坐标系xOy中以点(3,4)为圆心，4为半径的圆（）A．与x轴相交，与y轴相切B．与x轴相离，与y轴相交C．与x轴相切，与y轴相交D．与x轴相切，与y轴相离2．如图，在平面直角坐标系xOy中以原点O为圆心的圆过点A(13,0)直线y=kx-3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为()A．22B．24C．10√5D．12√33．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=100°，则∠DCB等于（）A．90°B．100°C．130°D．140°4．如图，在正五边形ABCDE中连接AD，则∠DAE的度数为（）A．46°B．56°C．36°D．26°5．如图，PA、PB为∠O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交∠O 于点D．下列结论不一定成立的是（）A．△BPA为等腰三角形B．AB与PD相互垂直平分C．点A，B都在以PO为直径的圆上D．PC为△BPA的边AB上的中线6．如图，四边形ABCD内接于半径为6的∠O中连接AC，若AB＝CD，∠ACB＝45°，∠ACD＝12∠BAC，则BC的长度为（）A．6 √3B．6 √2C．9 √3D．9 √27．如图，点A，B，D，C是∠O上的四个点，连结AB，CD并延长，相交于点E，若∠BOD=20°，∠AOC=90°，则∠E的度数为()A．30°B．35°C．45°D．55°8．∠ABC中∠C=Rt∠，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB，BC分别交于点E，D，则AE的长为()A．95B．125C．185D．3659．如图，AB为∠O的直径，点C在∠O上，若∠B=60°，则∠A等于（）A．80°B．50°C．40°D．30°10．两个圆的半径分别是2cm和7cm，圆心距是5cm，则这两个圆的位置关系是() A．外离B．内切C．相交D．外切11．已知正三角形的边长为12，则这个正三角形外接圆的半径是()A．B．C．D．12．一个扇形的弧长为4π，半径长为4，则该扇形的面积为（）A．4πB．6πC．8πD．12π二、填空题13．在Rt∠ABC中∠C=90°，AB=5，BC=4，求内切圆半径14．如图，∠C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内弧OB上一点，∠BMO=120°，则∠C的半径为．15．一个立体图形的三视图如图所示，根据图中数据求得这个立体图形的侧面积为.16．一个半径为5cm的球形容器内装有水，若水面所在圆的直径为8cm，则容器内水的高度为cm.17．如图，在直角坐标系中以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，已知P（4，2）和A（2，0），则点B的坐标是．18．下面是“作一个30°角”的尺规作图过程．已知：平面内一点A．求作：∠A，使得∠A=30°．作法：如图①作射线AB；②在射线AB取一点O，以O为圆心，OA为半径作圆，与射线AB相交于点C；③以C为圆心，OC C为半径作弧，与⊙O交于点D，作射线AD．则∠DAB即为所求的角．请回答：该尺规作图的依据是．三、综合题19．如图，在△ABC中AC=BC=BD，点O在AC边上，OC为⊙O的半径，AB是⊙O 的切线，切点为点D，OC=2，OA=2√2．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）求阴影部分的面积．20．如图，△ABC内接于⊙O，CD是直径，∠CBG=∠BAC，CD与AB相交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F，过点O作OH⊥AC，垂足为H，连接BD、OA．（1）求证：直线BG与⊙O相切；（2）若BEOD=54，求EFAC的值．21．如图，四边形ABCD 内接于∠O，BD是∠O的直径，过点A作∠O的切线AE交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE∠CD；（2）已知AE=4cm，CD=6cm，求∠O的半径．22．如图，∠O是∠ABC的外接圆，BC为∠O的直径，点E为∠ABC的内心，连接AE并延长交∠O 于D点，连接BD并延长至F，使得BD=DF，连接CF、BE．（1）求证：DB=DE；（2）求证：直线CF为∠O的切线．23．公元前5世纪，古希腊哲学家阿那克萨哥拉因“亵渎神灵罪”而被投人监狱，在狱中他对方铁窗和圆月亮产生了兴趣．他不断变换观察的位置，一会儿看见圆比正方形大，一会儿看见正方形比圆大，于是伟大的古希腊尺规作图几何三大问题之--的化圆为方问题诞生了：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积（1）设有一个半径为√3的圆，则这个圆的周长为，面积为，作化圆为方得到的正方形的边长为(计算结果保留π)（2）由于对尺规作图的限制(只能有限次地使用没有刻度的直尺和圆规进行作图)，包括化圆为方在内的几何三大问题都已被证明是不可能的．但若不受标尺的限制，化圆为方并非难事。
初三数学圆的综合的专项培优练习题(含答案)及答案解析
初三数学圆的综合的专项培优练习题(含答案)及答案解析一、圆的综合1．如图，四边形OABC 是平行四边形，以O 为圆心，OA 为半径的圆交AB 于D ，延长AO 交O 于E ，连接CD ，CE ，若CE 是⊙O 的切线，解答下列问题：（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若BC=4，CD=6，求平行四边形OABC 的面积．【答案】（1）证明见解析（2）24【解析】试题分析：（1）连接OD ，求出∠EOC=∠DOC ，根据SAS 推出△EOC ≌△DOC ，推出∠ODC=∠OEC=90°，根据切线的判定推出即可；（2）根据切线长定理求出CE=CD=4，根据平行四边形性质求出OA=OD=4，根据平行四边形的面积公式=2△COD 的面积即可求解．试题解析：（1）证明：连接OD ，∵OD=OA ，∴∠ODA=∠A ，∵四边形OABC 是平行四边形，∴OC ∥AB ，∴∠EOC=∠A ，∠COD=∠ODA ，∴∠EOC=∠DOC ，在△EOC 和△DOC 中，OE OD EOC DOC OC OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EOC ≌△DOC （SAS ），∴∠ODC=∠OEC=90°，即OD ⊥DC ，∴CD 是⊙O 的切线；（2）由（1）知CD 是圆O 的切线，∴△CDO 为直角三角形，∵S △CDO =12CD•OD ， 又∵OA=BC=OD=4，∴S△CDO=12×6×4=12，∴平行四边形OABC的面积S=2S△CDO=24．2．如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（﹣33，O），C（3，O）．（1）求⊙M的半径；（2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH=FH．（3）在（2）的条件下求AF的长．【答案】（1）4；（2）见解析;（3）4．【解析】【分析】（1）过M作MT⊥BC于T连BM，由垂径定理可求出BT的长，再由勾股定理即可求出BM的长；（2）连接AE，由圆周角定理可得出∠AEC=∠ABC，再由AAS定理得出△AEH≌△AFH，进而可得出结论；（3）先由（1）中△BMT的边长确定出∠BMT的度数，再由直角三角形的性质可求出CG 的长，由平行四边形的判定定理判断出四边形AFCG为平行四边形，进而可求出答案．【详解】（1）如图（一），过M作MT⊥BC于T连BM，∵BC是⊙O的一条弦，MT是垂直于BC的直径，∴BT=TC=123∴124；（2）如图（二），连接AE，则∠AEC=∠ABC，∵CE⊥AB，∴∠HBC+∠BCH=90°在△COF中，∵∠OFC+∠OCF=90°，∴∠HBC=∠OFC=∠AFH，在△AEH和△AFH中，∵AFH AEHAHF AHE AH AH∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEH≌△AFH（AAS），∴EH=FH；（3）由（1）易知，∠BMT=∠BAC=60°，作直径BG，连CG，则∠BGC=∠BAC=60°，∵⊙O的半径为4，∴CG=4，连AG，∵∠BCG=90°，∴CG⊥x轴，∴CG∥AF，∵∠BAG=90°，∴AG⊥AB，∵CE⊥AB，∴AG∥CE，∴四边形AFCG为平行四边形，∴AF=CG=4．【点睛】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、直角三角形的性质及平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．3．如图，⊙O的半径为6cm，经过⊙O上一点C作⊙O的切线交半径OA的延长于点B，作∠ACO的平分线交⊙O于点D，交OA于点F，延长DA交BC于点E．（1）求证：AC∥OD；（2）如果DE⊥BC，求»AC的长度．【答案】（1）证明见解析；（2）2π．【解析】试题分析：（1）由OC=OD，CD平分∠ACO，易证得∠ACD=∠ODC，即可证得AC∥OD；（2）BC切⊙O于点C，DE⊥BC，易证得平行四边形ADOC是菱形，继而可证得△AOC是等边三角形，则可得：∠AOC=60°，继而求得弧AC的长度．试题解析：（1）证明：∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC．∵CD平分∠ACO，∴∠OCD=∠ACD，∴∠ACD=∠ODC，∴AC∥OD；（2）∵BC切⊙O于点C，∴BC⊥OC．∵DE⊥BC，∴OC∥DE．∵AC∥OD，∴四边形ADOC 是平行四边形．∵OC=OD，∴平行四边形ADOC是菱形，∴OC=AC=OA，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC=60°，∴弧AC的长度=606180π⨯=2π．点睛：本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及弧长公式．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．4．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E（BE＞EC），且BD＝23．过点D作DF∥BC，交AB的延长线于点F．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若∠BAC＝60°，DE＝7，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）详见解析；（2）32π．【解析】【分析】（1）连结OD，根据垂径定理得到OD⊥BC，根据平行线的性质得到OD⊥DF，根据切线的判定定理证明；（2）连结OB，连结OD交BC于P，作BH⊥DF于H，证明△OBD为等边三角形，得到∠ODB=60°，3PE，证明△ABE∽△AFD，根据相似三角形的性质求出AE，根据阴影部分的面积=△BDF的面积-弓形BD的面积计算．【详解】证明：（1）连结OD，∵AD平分∠BAC交⊙O于D，∴∠BAD=∠CAD，∴»»BD CD=，∴OD⊥BC，∵BC∥DF，∴OD⊥DF，∴DF为⊙O的切线；（2）连结OB，连结OD交BC于P，作BH⊥DF于H，∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC，∴∠BAD=30°，∴∠BOD=2∠BAD=60°，∴△OBD为等边三角形，∴∠ODB=60°，3，∴∠BDF=30°，∵BC∥DF，∴∠DBP=30°，在Rt△DBP中，PD=123，3，在Rt△DEP中，∵37∴22(7)(3)=2，∵OP⊥BC，∴BP=CP=3，∴CE=3﹣2=1，∵∠DBE=∠CAE，∠BED=∠AEC，∴△BDE∽△ACE，∴AE：BE=CE：DE，即AE：5=17，∴57∵BE∥DF，∴△ABE∽△AFD，∴BE AE DF AD=，即5757125DF=，解得DF=12，在Rt△BDH中，BH=12BD=3，∴阴影部分的面积=△BDF的面积﹣弓形BD的面积=△BDF的面积﹣（扇形BOD的面积﹣△BOD的面积）=22160(23)3123(23)23604π⨯⨯⨯--⨯ =93﹣2π．【点睛】考查的是切线的判定，扇形面积计算，相似三角形的判定和性质，圆周角定理的应用，等边三角形的判定和性质，掌握切线的判定定理，扇形面积公式是解题的关键．5．如图1，是用量角器一个角的操作示意图，量角器的读数从M点开始（即M点的读数为0），如图2，把这个量角器与一块30°（∠CAB＝30°）角的三角板拼在一起，三角板的斜边AB与量角器所在圆的直径MN重合，现有射线C绕点C从CA开始沿顺时针方向以每秒2°的速度旋转到与CB，在旋转过程中，射线CP与量角器的半圆弧交于E．连接BE．（1）当射线CP经过AB的中点时，点E处的读数是，此时△BCE的形状是；（2）设旋转x秒后，点E处的读数为y，求y与x的函数关系式；（3）当CP旋转多少秒时，△BCE是等腰三角形？【答案】（1）60°，直角三角形；（2）y＝4x（0≤x≤45）；（3）7.5秒或30秒【解析】【分析】（1）根据圆周角定理即可解决问题；（2）如图2﹣2中，由题意∠ACE＝2x，∠AOE＝y，根据圆周角定理可知∠AOE＝2∠ACE，可得y＝2x（0≤x≤45）；（3）分两种情形分别讨论求解即可；【详解】解：（1）如图2﹣1中，∵∠ACB＝90°，OA＝OB，∴OA＝OB＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，∴∠AOE＝60°，∴点E处的读数是60°，∵∠E＝∠BAC＝30°，OE＝OB，∴∠OBE＝∠E＝30°，∴∠EBC＝∠OBE+∠ABC＝90°，∴△EBC是直角三角形；故答案为60°，直角三角形；（2）如图2﹣2中，∵∠ACE＝2x，∠AOE＝y，∵∠AOE＝2∠ACE，∴y＝4x（0≤x≤45）．（3）①如图2﹣3中，当EB＝EC时，EO垂直平分线段BC，∵AC⊥BC，∵EO∥AC，∴∠AOE＝∠BAC＝30°，∠AOE＝15°，∴∠ECA＝12∴x＝7.5．②若2﹣4中，当BE＝BC时，易知∠BEC＝∠BAC＝∠BCE＝30°，∴∠OBE＝∠OBC＝60°，∵OE＝OB，∴△OBE是等边三角形，∴∠BOE＝60°，∴∠AOB＝120°，∠ACB＝60°，∴∠ACE＝12∴x＝30，综上所述，当CP旋转7.5秒或30秒时，△BCE是等腰三角形；【点睛】本题考查几何变换综合题、创新题目、圆周角定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．6．.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝6．D是线段AC上一个动点（不与点A 重合），⊙D与AB相切，切点为E，⊙D交射线．．DC于点F，过F作FG⊥EF交直线．．BC于点G，设⊙D的半径为r．（1）求证AE＝EF；（2）当⊙D与直线BC相切时，求r的值；（3）当点G落在⊙D内部时，直接写出r的取值范围．【答案】(1)见解析,(2)r=3,(3)63 3r<<【解析】【分析】（1）连接DE，则∠ADE=60°=∠DEF+∠DFE，而∠DEF=∠DFE，则∠DEF=∠DFE=30°=∠A，即可求解；（2）如图2所示，连接DE，当圆与BC相切时，切点为F，∠A=30°，AB=6，则BF=3，AD=2r，由勾股定理，即可求解；（3）分点F在线段AC上、点F在线段AC的延长线上两种情况，分别求解即可．【详解】解：设圆的半径为r；（1）连接DE，则∠ADE=60°=∠DEF+∠DFE，而∠DEF=∠DFE，则∠DEF=∠DFE=30°=∠A，∴AE=EF；（2）如图2所示，连接DE，当圆与BC相切时，切点为F∠A=30°，AB=6，则BF=3，AD=2r ，由勾股定理得：（3r ）2+9=36，解得：r=3； （3）①当点F 在线段AC 上时，如图3所示，连接DE 、DG ，333,3933FC r GC FC r =-==-②当点F 在线段AC 的延长线上时，如图4所示，连接DE 、DG ，333,3339FC r GC FC r ===-两种情况下GC 符号相反，GC 2相同，由勾股定理得：DG 2=CD 2+CG 2，点G 在圆的内部，故：DG2＜r2，即：22(332)(339)2r r r +-<整理得：25113180r r -+<6335r <<【点睛】本题考查了圆的综合题：圆的切线垂直于过切点的半径；利用勾股定理计算线段的长．7．如图1，等腰直角△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，过点A ，C 的圆交AB 于点D ，交BC 于点E ，连结DE（1）若AD=7，BD=1，分别求DE ，CE 的长（2）如图2，连结CD ，若CE=3，△ACD 的面积为10，求tan ∠BCD（3）如图3，在圆上取点P 使得∠PCD=∠BCD （点P 与点E 不重合），连结PD ，且点D 是△CPF 的内心①请你画出△CPF ，说明画图过程并求∠CDF 的度数②设PC=a ，PF=b ，PD=c ，若（a-2c ）（b-2c ）=8，求△CPF 的内切圆半径长．【答案】（1）DE=1，CE=322）tan ∠BCD=14；（3）①135°；②2. 【解析】 【分析】（1）由A 、C 、E 、D 四点共圆对角互补为突破口求解；（2）找∠BDF 与∠ODA 为对顶角，在⊙O 中，∠COD=2∠CAD ，证明△OCD 为等腰直角三角形，从而得到∠EDC+∠ODA=45°，即可证明∠CDF=135°；（3）过点D 做DH CB ⊥于点H ，以D 为圆心，DH 为半径画圆，过点P 做D e 切线PF 交CB 的延长线于点F ，结合圆周角定理得出∠CPD=∠CAD=45°，再根据圆的内心是三角形三个内角角平分线的交点，得出∠CPF=90°，然后根据角平分线性质得出114522DCF CFD PCF PFC ∠+∠=∠+∠=︒，最后再根据三角形内角和定理即可求解；证明∠DCF+∠CFD=45°，从而证明∠CPF 是直角，再求证四边形PKDN 是正方形，最后以△PCF 面积不变性建立等量关系，结合已知（2c ）（2c ）=8，消去字母a ，b 求出c 值，即求出△CPF 2c ． 【详解】 （1）由图可知：设BC=x ．在Rt △ABC 中，AC=BC ．由勾股定理得： AC 2+BC 2=AB 2，∵AB=AD+BD ，AD=7，BD=1， ∴x 2+x 2=82， 解得：x=42．∵⊙O 内接四边形，∠ACD=90°， ∴∠ADE=90°， ∴∠EDB=90°， ∵∠B=45°，∴△BDE 是等腰直角三形． ∴DE=DB ， 又∵DB=1， ∴DE=1， 又∵CE=BC-BE ， ∴CE=42232-=． （2）如图所示：在△DCB 中过点D 作DM ⊥BE ，设BE=y ，则DM=12y ， 又∵CE=3，∴BC=3+y ， ∵S △ACB =S ACD +S DCB ，∴()1114242103y y 222⨯=+⨯+⨯， 解得：y=2或y=-11（舍去）． ∴EM=1，CM=CE+ME=1+3=4， 又∵∠BCD=∠MCD ，∴tan ∠BCD=tan ∠MCD ， 在Rt △DCM 中，tan ∠MCD=DM CM =14， ∴tan ∠BCD=14． （3）①如下图所示：过点D 做DH CB ⊥于点H ，以D 为圆心，DH 为半径画圆，过点P 做D e 切线PF 交CB 的延长线于点F ．∵∠CAD=45°， ∴∠CPD=∠CAD=45°， 又∵点D 是CPF ∆的内心， ∴PD 、CD 、DF 都是角平分线，∴∠FPD=∠CPD =45°，∠PCD=∠DCF ，∠PFD=∠CFD ∴∠CPF=90° ∴∠PCF+∠PFC=90°∴114522DCF CFD PCF PFC ∠+∠=∠+∠=︒ ∴∠CDF=180°-∠DCF-∠CFD F=90°+45°=135°， 即∠CDF 的度数为135°． ②如下图所示过点D 分别作DK ⊥PC ，DM ⊥CF ，DN ⊥PF 于直线PC ，CF 和PF 于点K ，M ，N 三点， 设△PCF 内切圆的半径为m ，则DN=m ，∵点D 是△PCF 的内心， ∴DM=DN=DK ，又∵∠DCF+∠CFD+∠FDC=180°，∠FDC=45°， ∴∠DCF+∠CFD=45°，又∵DC ，DF 分别是∠PCF 和∠PFC 的角平分线， ∴∠PCF=2∠DCF ，∠PFC=2∠DFC ， ∴∠PCF+∠PFC=90°， ∴∠CPF=90°．在四边形PKDN 中，∠PND=∠NPK=∠PKD=90°， ∴四边形PKDN 是矩形， 又∵KD=ND ，∴四边形PKDN 是正方形． 又∵∠MBD=∠BDM=45°， ∠BDM=∠KDP ， ∴∠KDP=45°． ∵PC=a ，PF=b ，PD=c ，∴，∴NF=b -，CK=a -， 又∵CK=CM ，FM=FN ，CF=CM+FM ， ∴CF=a b +， 又∵S △PCF =S △PDF +S △PDC +S △DCF ，∴1111ab a b (a b 2222=+++-），化简得：)2a b c c +-------（Ⅰ），又∵若（c ）（c ）=8化简得：()2ab a b 2c 8++=------（Ⅱ），将（Ⅰ）代入（Ⅱ）得：c 2=8，解得：c =c =-∴m=c 222==， 即△CPF 的内切圆半径长为2． 【点睛】本题考查圆的内接四边形性质，圆的内心，圆心角、圆周角，同弧（或等弧）之间的相互关系，同时也考查直角三角形，勾股定理，同角或等角的三角函数值相等和三角形的面积公式，正方形，对顶角和整式的运算等知识点；难点是作辅助线和利用等式求△CPF 的内切圆半径长．8．如图，四边形为菱形，且，以为直径作，与交于点．请仅用无刻度的直尺按下列要求画图．(保留作图痕迹)(1)在如图中，过点作边上的高．(2)在如图中，过点作的切线，与交于点．【答案】(1)如图1所示．(答案不唯一),见解析；(2)如图2所示．(答案不唯一)，见解析.【解析】【分析】（1）连接AC交圆于一点F，连接PF交AB于点E,连接CE即为所求．（2）连接OF交BC于Q，连接PQ即为所求．【详解】(1)如图1所示．(答案不唯一)(2)如图2所示．(答案不唯一)【点睛】本题考查作图-复杂作图，菱形和圆的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．9．如图，△ABC中，AC＝BC＝10，cosC＝35，点P是AC边上一动点（不与点A、C重合），以PA长为半径的⊙P与边AB的另一个交点为D，过点D作DE⊥CB于点E．（1）当⊙P与边BC相切时，求⊙P的半径．（2）连接BP交DE于点F，设AP的长为x，PF的长为y，求y关于x的函数解析式，并直接写出x的取值范围．（3）在（2）的条件下，当以PE长为直径的⊙Q与⊙P相交于AC边上的点G时，求相交所得的公共弦的长.【答案】（1）409R=;（2）25880320xy x xx=-++;（3）50105-.【解析】【分析】（1）设⊙P与边BC相切的切点为H，圆的半径为R，连接HP，则HP⊥BC，cosC＝35，则sinC＝45，sinC＝HPCP＝10RR-＝45，即可求解；（2）首先证明PD∥BE，则EB BFPD PF=，即：2024588x yxxx-+--=，即可求解；（3）证明四边形PDBE为平行四边形，则AG＝EP＝BD，即：AB＝DB+AD＝AG+AD＝45，即可求解．【详解】（1）设⊙P与边BC相切的切点为H，圆的半径为R，连接HP，则HP⊥BC，cosC＝35，则sinC＝45，sinC ＝HP CP ＝10R R -＝45，解得：R ＝409； （2）在△ABC 中，AC ＝BC ＝10，cosC ＝35， 设AP ＝PD ＝x ，∠A ＝∠ABC ＝β，过点B 作BH ⊥AC ，则BH ＝ACsinC ＝8，同理可得：CH ＝6，HA ＝4，AB ＝45，则：tan ∠CAB ＝2， BP ＝228+(4)x -＝2880x x -+，DA ＝25x ，则BD ＝45﹣25x ， 如下图所示，PA ＝PD ，∴∠PAD ＝∠CAB ＝∠CBA ＝β，tanβ＝2，则cosβ5，sinβ5， EB ＝BDcosβ＝（525x ）5＝4﹣25x ，∴PD ∥BE ，∴EB BFPD PF=，即：2024588x y x xx -+--=，整理得：y 25xx 8x 803x 20-++（3）以EP 为直径作圆Q 如下图所示，两个圆交于点G，则PG＝PQ，即两个圆的半径相等，则两圆另外一个交点为D，GD为相交所得的公共弦，∵点Q是弧GD的中点，∴DG⊥EP，∵AG是圆P的直径，∴∠GDA＝90°，∴EP∥BD，由（2）知，PD∥BC，∴四边形PDBE为平行四边形，∴AG＝EP＝BD，∴AB＝DB+AD＝AG+AD＝5设圆的半径为r，在△ADG中，AD＝2rcosβ5DG5AG＝2r，5＝52r51+，则：DG550﹣5相交所得的公共弦的长为50﹣5【点睛】本题考查的是圆知识的综合运用，涉及到解直角三角形、勾股定理等知识，其中（3），要关键是根据题意正确画图，此题用大量的解直角三角形的内容，综合难度很大．10．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC为直径，»»BD AD=，DE⊥BC，垂足为E．（1）判断直线ED与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若CE=1，AC=4，求阴影部分的面积．【答案】（1）ED 与O e 相切.理由见解析；（2）2=33S π-阴影. 【解析】 【分析】（1）连结OD ，如图，根据圆周角定理，由»»BD AD =得到∠BAD =∠ACD ，再根据圆内接四边形的性质得∠DCE =∠BAD ，所以∠ACD =∠DCE ；利用内错角相等证明OD ∥BC ，而DE ⊥BC ，则OD ⊥DE ，于是根据切线的判定定理可得DE 为⊙O 的切线；（2）作OH ⊥BC 于H ，易得四边形ODEH 为矩形，所以OD =EH =2，则CH =HE ﹣CE =1，于是有∠HOC =30°，得到∠COD =60°，然后根据扇形面积公式、等边三角形的面积公式和阴影部分的面积=S 扇形OCD ﹣S △OCD 进行计算即可． 【详解】（1）直线ED 与⊙O 相切．理由如下：连结OD ，如图，∵»»BD AD =，∴∠BAD =∠ACD ．∵∠DCE =∠BAD ，∴∠ACD =∠DCE ．∵OC =OD ，∴∠OCD =∠ODC ，而∠OCD =∠DCE ，∴∠DCE =∠ODC ，∴OD ∥BC ． ∵DE ⊥BC ，∴OD ⊥DE ，∴DE 为⊙O 的切线；（2）作OH ⊥BC 于H ，则四边形ODEH 为矩形，∴OD =EH ．∵CE =1，AC =4，∴OC =OD =2，∴CH =HE ﹣CE =2﹣1=1．在Rt △OHC 中，∵OC =2，CH =1，∠OHC =90°，∠HOC =30°，∴∠COD =60°，∴阴影部分的面积=S 扇形OCD ﹣S △OCD26023360π⋅⋅=-•2223=π3-．【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了扇形面积的计算．11．已知四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠DAB ＝120°，BC ＝CD ，AD ＝4，AC ＝7，求AB 的长度．【答案】AB ＝3． 【解析】 【分析】作DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，根据弦、弧、圆周角、圆心角的关系，求得BC CD =u u u r u u u r，进而得到∠DAC ＝∠CAB ＝60°，在Rt △ADE 中，根据60°锐角三角函数值，可求得DE ＝23，AE ＝2，再由Rt △DEC 中，根据勾股定理求出DC 的长，在△BFC 和△ABF 中，利用60°角的锐角三角函数值及勾股定理求出AF 的长，然后根据求出的两个结果，由AB ＝2AF ，分类讨论求出AB 的长即可. 【详解】作DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，∵BC ＝CD ， ∴BC CD =u u u r u u u r， ∴∠CAB ＝∠DAC ， ∵∠DAB ＝120°， ∴∠DAC ＝∠CAB ＝60°， ∵DE ⊥AC ，∴∠DEA ＝∠DEC ＝90°， ∴sin60°＝4DE ，cos60°＝4AE， ∴DE ＝3AE ＝2， ∵AC ＝7，∴CE ＝5，∴DC= ∴BC ，∵BF ⊥AC ，∴∠BFA ＝∠BFC ＝90°，∴tan60°＝BF AF，BF 2+CF 2＝BC 2， ∴BF，∴()2227AF +-=， ∴AF ＝2或AF ＝32， ∵cos60°＝AF AB， ∴AB ＝2AF ，当AF ＝2时，AB ＝2AF ＝4，∴AB ＝AD ，∵DC ＝BC ，AC ＝AC ，∴△ADC ≌△ABC （SSS ），∴∠ADC ＝∠ABC ，∵ABCD 是圆内接四边形，∴∠ADC+∠ABC ＝180°，∴∠ADC ＝∠ABC ＝90°，但AC 2＝49，2222453AD DC +=+=，AC 2≠AD 2+DC 2，∴AB ＝4（不合题意，舍去）， 当AF ＝32时，AB ＝2AF ＝3， ∴AB ＝3．【点睛】 此题主要考查了圆的相关性质和直角三角形的性质，解题关键是构造直角三角形模型，利用直角三角形的性质解题.12．如图，BD 为△ABC 外接圆⊙O 的直径，且∠BAE ＝∠C ．（1）求证：AE 与⊙O 相切于点A ；（2）若AE ∥BC ，BC ＝AC ＝2，求AD 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）23【解析】【分析】（1）根据题目中已出现切点可确定用“连半径，证垂直”的方法证明切线，连接AO并延长交⊙O于点F，连接BF，则AF为直径，∠ABF＝90°，根据同弧所对的圆周角相等，则可得到∠BAE＝∠F，既而得到AE与⊙O相切于点A．（2））连接OC，先由平行和已知可得∠ACB＝∠ABC，所以AC＝AB，则∠AOC＝∠AOB，从而利用垂径定理可得AH＝1，在Rt△OBH中，设OB＝r，利用勾股定理解得r＝2，在Rt△ABD中，即可求得AD的长为3【详解】解：（1）连接AO并延长交⊙O于点F，连接BF，则AF为直径，∠ABF＝90°，∵»»，AB AB∴∠ACB＝∠F，∵∠BAE＝∠ACB，∴∠BAE＝∠F，∵∠FAB+∠F＝90°，∴∠FAB+∠BAE＝90°，∴OA⊥AE，∴AE与⊙O相切于点A．（2）连接OC，∵AE∥BC，∴∠BAE＝∠ABC，∵∠BAE＝∠ACB，∴∠ACB＝∠ABC，∴AC＝AB＝2，∴∠AOC＝∠AOB，∵OC＝OB，∴OA⊥BC，∴CH＝BH＝1BC32在Rt△ABH中，AH＝22AB BH-＝1，在Rt△OBH中，设OB＝r，∵OH2+BH2＝OB2，∴（r﹣1）2+（3）2＝r2，解得：r＝2，∴DB＝2r＝4，在Rt△ABD中，AD＝22BD AB-＝2242-＝23，∴AD的长为23．【点睛】本题考查了圆的综合问题，恰当的添加辅助线是解题关键.13．如图1，D是⊙O的直径BC上的一点，过D作DE⊥BC交⊙O于E、N，F是⊙O上的一点，过F的直线分别与CB、DE的延长线相交于A、P，连结CF交PD于M，∠C＝12∠P．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若∠A＝30°，⊙O的半径为4，DM＝1，求PM的长；（3）如图2，在（2）的条件下，连结BF、BM；在线段DN上有一点H，并且以H、D、C 为顶点的三角形与△BFM相似，求DH的长度．【答案】（1）证明见解析；（2）PM＝32；（3）满足条件的DH的值为632-或122311+． 【解析】【分析】（1）如图1中，作PH ⊥FM 于H ．想办法证明∠PFH=∠PMH ，∠C=∠OFC ，再根据等角的余角相等即可解决问题；（2）解直角三角形求出AD ，PD 即可解决问题；（3）分两种情形①当△CDH ∽△BFM 时，DH CD FM BF =． ②当△CDH ∽△MFB 时，DH CD FB MF=，分别构建方程即可解决问题； 【详解】（1）证明：如图1中，作PH ⊥FM 于H ．∵PD ⊥AC ，∴∠PHM ＝∠CDM ＝90°，∵∠PMH ＝∠DMC ，∴∠C ＝∠MPH ，∵∠C ＝12∠FPM ，∴∠HPF ＝∠HPM ， ∵∠HFP+∠HPF ＝90°，∠HMP+∠HPM ＝90°，∴∠PFH ＝∠PMH ，∵OF ＝OC ，∴∠C ＝∠OFC ，∵∠C+∠CMD ＝∠C+∠PMF ＝∠C+∠PFH ＝90°，∴∠OFC+∠PFC ＝90°，∴∠OFP ＝90°，∴直线PA 是⊙O 的切线． （2）解：如图1中，∵∠A ＝30°，∠AFO ＝90°，∴∠AOF ＝60°，∵∠AOF ＝∠OFC+∠OCF ，∠OFC ＝∠OCF ，∴∠C ＝30°，∵⊙O 的半径为4，DM ＝1，∴OA ＝2OF ＝8，CD 33，∴OD ＝OC ﹣CD ＝43，∴AD ＝OA+OD ＝8+43 ＝123 ，在Rt △ADP 中，DP ＝AD•tan30°＝（12﹣3 ）×33 ＝43 ﹣1， ∴PM ＝PD ﹣DM ＝4 3﹣2． （3）如图2中，由（2）可知：BF ＝12BC ＝4，FM ＝3BF ＝43 ，CM ＝2DM ＝2，CD ＝3 ， ∴FM ＝FC ﹣CM ＝43﹣2，①当△CDH ∽△BFM 时，DH CD FM BF = ， ∴ 3432=- ，∴DH ＝63- ②当△CDH ∽△MFB 时，DH CD FB MF =， ∴34432DH =- ，∴DH ＝1223+ ， ∵DN ＝()22443833--=- ，∴DH ＜DN ，符合题意，综上所述，满足条件的DH 的值为63- 或1223+． 【点睛】本题考查圆综合题、切线的判定、解直角三角形、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题.14．如图，是大半圆的直径，是小半圆的直径，点是大半圆上一点，与小半圆交于点，过点作于点. （1）求证：是小半圆的切线； （2）若，点在上运动（点不与两点重合），设，. ①求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；②当时，求两点之间的距离.【答案】（1）见解析；（2）①，，②两点之间的距离为或.【解析】【分析】（1）连接CO、CM，只需证到CD⊥CM．由于CD⊥OP，只需证到CM∥OP，只需证到CM 是△AOP的中位线即可．（2）①易证△ODC∽△CDP，从而得到CD2=DP•OD，进而得到y与x之间的函数关系式．由于当点P与点A重合时x=0，当点P与点B重合时x=4，点P在大半圆O上运动（点P不与A，B两点重合），因此自变量x的取值范围为0＜x＜4．②当y=3时，得到-x2+4x=3，求出x．根据x的值可求出CD、PD的值，从而求出∠CPD，运用勾股定理等知识就可求出P，M两点之间的距离．【详解】（1）连接，如图1所示∵是小半圆的直径，∴即∵∴∵∴∴，∵∴，∴∴.，即∵经过半径的外端，且∴直线是小半圆的切线.（2）①∵，，∴∴∴∽∴∴∵,,，∴当点与点重合时，；当点与点重合时，∵点在大半圆上运动（点不与两点重合），∴∴与之间的函数关系式为，自变量的取值范围是.②当时，解得,Ⅰ当时，如图2所示在中，∵，∴，∴∵，∴是等边三角形∵∴∴.Ⅱ当时，如图3所示，同理可得∵∴∴过点作，垂足为，连接，如图3所示∵，∴同理在中，∵，∴综上所述，当时，两点之间的距离为或.【点睛】考查了切线的判定、平行线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值、勾股定理等知识，综合性比较强．15．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，点E在CB的延长线上，连结AC、AE，∠ACB=∠BAE=45°．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若AB=AD，AC=32，tan∠ADC=3，求BE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）52 BE【解析】试题分析：（1）连接OA、OB，由圆周角定理得出∠AOB=2∠ACB=90°，由等腰直角三角形的性质得出∠OAB=∠OBA=45°，求出∠OAE=∠OAB+∠BAE=90°,即可得出结论；（2）过点A 作AF ⊥CD 于点F,由AB=AD ，得到∠ACD =∠ACB =45°，在Rt △AFC 中可求得AF＝3，在Rt △AFD 中求得DF ＝1，所以AB ＝AD ＝ ，CD = CF +DF =4，再证明△ABE ∽△CDA ，得出BE AB DA CD =，即可求出BE 的长度； 试题解析：（1）证明：连结OA ，OB ，∵∠ACB =45°，∴∠AOB =2∠ACB = 90°，∵OA=OB ，∴∠OAB =∠OBA =45°，∵∠BAE =45°，∴∠OAE =∠OAB +∠BAE =90°，∴OA ⊥AE ．∵点A 在⊙O 上，∴AE 是⊙O 的切线．（2）解：过点A 作AF ⊥CD 于点F ，则∠AFC =∠AFD =90°．∵AB=AD ， ∴AB u u u r =AD u u u r∴∠ACD =∠ACB =45°，在Rt △AFC 中，∵AC =∠ACF =45°，∴AF=CF=AC ·sin ∠ACF =3，∵在Rt △AFD 中， tan ∠ADC=3AF DF =， ∴DF =1，∴AB AD ==且CD = CF +DF =4，∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠ABE =∠CDA ，∵∠BAE =∠DCA ，∴△ABE ∽△CDA ， ∴BE AB DA CD=，∴10=，10∴5BE=．2。
初三数学圆综合练习题
初三数学圆综合练习题1. 题目描述：在平面直角坐标系中，过点A(1,1)和点B(5,1)的直线与圆O的两个切点分别为C和D。
已知圆O的半径为2，请计算：a) 圆心O的坐标；b) 直线AB的方程；c) 直线CD的方程。
解析：a) 圆心O的坐标：由题意可知，直线OA和OB都是圆O的半径，且垂直于直线AB。
因此，直线OA过点A(1,1)且与直线AB垂直，斜率为直线AB的斜率的相反数。
根据点斜式可得直线OA的方程为：y = -1(x-1) + 1 = -x + 2将直线OA与圆O相交的点代入直线OA的方程，可得：-2 = -x + 2x = 4将x = 4代入直线OA的方程，可得：y = -4 + 2 = -2因此，圆心O的坐标为(4,-2)。
b) 直线AB的方程：由题意可知，直线AB过点A(1,1)和点B(5,1)。
直线AB的斜率为：m = (1-1)/(5-1) = 0因此，直线AB的方程为：y = 1c) 直线CD的方程：由题意可知，直线CD是切线，因此直线CD垂直于半径OD，且过点D(5,1)。
根据点斜式可得直线CD的方程为：y - 1 = k(x - 5)其中k为直线CD的斜率，为半径OD的斜率的相反数。
由半径OD的斜率可得：k = -1/(4/2) = -1/2因此，直线CD的方程为：y - 1 = -1/2(x - 5)2y - 2 = -x + 5x + 2y = 7综上所述，答案如下：a) 圆心O的坐标为(4,-2)；b) 直线AB的方程为y = 1；c) 直线CD的方程为x + 2y = 7。
根据题目描述，我们利用直线的定义和圆的相关知识，分别求解圆心坐标、直线AB和直线CD的方程。
通过数学计算，得到了最终的结果。
2023年中考九年级数学高频考点提升练习--圆的综合题(含答案)
2023年中考九年级数学高频考点提升练习--圆的综合题1．如图，在⊙ O中，弦AC，BD相交于点M，且∠OAC=∠OBD．（1）求证：AC=BD；（2）若OA=4，∠OAC=30°，当AC⊥BD时，求：①图中阴影部分面积．②弧CD的长．2．已知⊙O中，弦AB＝AC，⊙BAC＝120°（1）如图①，若AB＝3，求⊙O的半径．（2）如图②，点P是⊙BAC所对弧上一动点，连接PB、PA、PC，试请判断PA、PB、PC之间的数量关系并说明理由．3．如图（1），已知矩形ABCD中，AB=6cm，BC=2√3cm，点E为对角线AC 上的动点.连接BE，过E作EB的垂线交CD于点F.（1）探索BE与EF的数量关系，并说明理由.（2）如图（2），过F作AC垂线交AC于点G，交EB于点H，连接CH.若点E从A出发沿AC方向以2√3cm/s的速度向终点C运动，设E的运动时间为ts.①是否存在t，使得H与B重合？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；②t为何值时，△CFH是等腰三角形；③当CG=GH时，求△CGH的面积.4．如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD＝CB，延长CD交BA的延长线于点E.（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）求证：⊙C＝2⊙DBE.（3）若EA＝AO＝2，求图中阴影部分的面积.（结果保留π）5．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”.如图1，⊙ABC中，点D 是BC边上一点，连结AD，若AD2=BD⋅CD，则称点D是⊙ABC中BC边上的“好点”.（1）如图2，⊙ABC的顶点是4×3网格图的格点，请仅用直尺画出AB边上的一个“好点”.（2）⊙ABC中，BC=9，tanB=43，tanC=23，点D是BC边上的“好点”，求线段BD的长.（3）如图3，⊙ABC是⊙O的内接三角形，OH⊙AB于点H，连结CH并延长交⊙O于点D.①求证：点H是⊙BCD中CD边上的“好点”.②若⊙O的半径为9，⊙ABD=90°，OH=6，请直接写出CHDH的值.6．如图，⊙O为等边⊙ABC的外接圆，半径为2，点D在劣弧上运动（不与点A，B 重合），连接DA，DB，DC.（1）求证：DC是⊙ADB的平分线；（2）设四边形ADBC的面积为S，线段DC的长为x，试用含x的代数式表示S；（3）若点M，N分别在线段CA，CB上运动（不含端点），经过探究发现，点D 运动到每一个确定的位置，⊙DMN的周长有最小值t，随着点D的运动，t的值会发生变化，求所有t值中的最大值.7．在⊙ABC中，D，E分别是⊙ABC两边的中点，如果弧DE（可以是劣弧、优弧或半圆）上的所有点都在⊙ABC的内部或边上，则称弧DE为⊙ABC的中内弧．例如，图1中弧DE是⊙ABC其中的某一条中内弧．（1）如图2，在边长为4 √3的等边⊙ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．画出⊙ABC的最长的中内弧DE，并直接写出此时弧DE的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点A（2 √3，6），B（0，0），C（t，0），在⊙ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．①若t＝2 √3，求⊙ABC的中内弧DE所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；②请写出一个t的值，使得⊙ABC的中内弧DE所在圆的圆心P的纵坐标可以取全体实数值．8．如图，⊙O是⊙ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊙AB于点D，延长DO 交⊙O于点P，过点P作PE⊙AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF．（1）若⊙POC=60°，AC=12，求劣弧PC的长；（结果保留π）（2）求证：OD=OE；（3）求证：PF是⊙O的切线．9．如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，AQ：AB=3：4，作△ABQ的外接圆O.点C在点P右侧，PC=4，过点C作直线m⊥l，过点O作OD⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E.在射线CD上取点F，使DF=32CD，以DE，DF为邻边作矩形DEGF.设AQ=3x.（1）用关于x的代数式表示BQ=，DF=.（2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长.（3）当点P在点A右侧时，作直线BG交⊙O于点N，若BN的弦心距为1，求AP的长.10．如图，⊙ABC中，⊙ACB=90°，D是边AB上一点，且⊙A=2⊙DCB．E是BC边上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若CD的弦心距为1，BE=EO，求BD的长．11．已知：A、B两点在直线l的同一侧，线段AO，BM均是直线l的垂线段，且BM 在AO的右边，AO=2BM，将BM沿直线l向右平移，在平移过程中，始终保持⊙ABP=90°不变，BP边与直线l相交于点P．（1）当P与O重合时（如图2所示），设点C是AO的中点，连接BC．求证：四边形OCBM是正方形；（2）请利用如图1所示的情形，求证：ABPB=OMBM；（3）若AO=2 √6，且当MO=2PO时，请直接写出AB和PB的长．12．（问题情境）如图①，小区A、B位于一条笔直的道路l的同侧，为了方便A，B两个小区居民投放垃圾，现在l上建一个垃圾分类站C，使得C与A，B的距离之比为2：1.（1）（初步研究）在线段AB上作出点C，使CACB=2.如图，做法如下：第一步：过点A作射线AM，以A为圆心，任意长为半径画弧，交AM于点P1；以P1为圆心，AP1长为半径画弧，交AM于点P2；以P2为圆心，AP1长为半径画弧，交AM于点P3.第二步：连接BP3，作∠AP2C=∠AP3B，交AB于点C.则点C即为所求.请证明所作的点C满足CACB=2.（2）（深入思考）如图，点C在线段AB上，点D在直线AB外，且DADB=CACB=2.求证：DC是∠ADB的平分线.（3）（问题解决）如图，已知点A，B和直线l，点C在线段AB上，且CACB=2.用直尺和圆规完成下列作图.（保留作图痕迹，不写作法）（⊙）在直线AB上作出点E（异于点C），使EAEB=2；（⊙）在直线l上作出点F，使FAFB=2.13．在矩形ABCD中，BC=2AB，点E是对角线AC上任意一点，过点E作AD的垂线分别交AD，BC于点F，G，作FH平行AC交CD于点H．（1）证明：EF=CH．（2）连结GH交AC于点K，若AE：CK=3，求AE：EK的值．（3）作⊙FGH的外接圆⊙O，且AB=1．①若⊙O与矩形的边相切时，求CH的长．②作点E关于GH的对称点E'，当E'落在⊙O上时，直接写出⊙FGH的面积。
小学六年级圆的练习题综合
小学六年级圆的练习题综合圆单元练题（一）一、完成下表。
圆的半径r | 2cm | 4cm | 8cm |圆的直径d | 4cm | 8cm | 16cm |圆的周长C | 12.56cm | 25.12cm | 50.24cm |圆的面积S | 12.56cm² | 50.24cm² | 201.06cm² |二、想一想，填一填。
1、当圆规两脚间的距离为4厘米时，画出圆的周长是（12.56）厘米。
2、在一张长8厘米，宽12厘米的长方形纸上画一个最大的圆，这个圆的直径是（8cm），面积是（16π）平方厘米，周长是（8π）厘米。
3、一个车轮的直径是55厘米，车轮转动一周，大约前进（172.7）米。
4、一个环形的外圆直径是10cm，内圆直径是8cm，它的面积（9.42）cm²。
5、一个圆的半径扩大2倍，它的周长扩大（2）倍，面积扩大（4）倍。
6、把一个圆分成若干等份，剪开拼成一个近似的长方形。
这个长方形的长相当于（圆的周长），长方形的宽就是圆的（直径）。
因为长方形的面积是（πr²），所以圆的面积是（πr²）。
7、圆的直径是6厘米，它的周长是（18.84）厘米，面积是（28.27）平方厘米。
8、圆的周长是25.12分米，它的面积是（50.24）平方分米。
9、甲圆半径是乙圆半径的3倍，甲圆的周长是乙圆周长的（3）倍，甲圆面积是乙圆面积的（9）倍。
10、一个圆的半径是8厘米，这个圆面积的3/4是（48π）平方厘米。
11、周长相等的长方形、正方形、圆，（圆）面积最大。
12、圆的半径由6厘米增加到9厘米，圆的面积增加了（63π-36π=27π）平方厘米。
13、要在一个边长为10厘米的正方形纸板里剪出一个最大的圆，剩下的面积是（100-25π）平方厘米。
14、用圆规画一个圆，如果圆规两脚之间的距离是7厘米，画出的这个圆的周长是（14π）厘米。
这个圆的面积是（49π）平方厘米。
中考数学《圆的综合题》专项练习题及答案
中考数学《圆的综合题》专项练习题及答案一、单选题1．如图，在一块正三角形飞镖游戏板上画一个正六边形（图中阴影部分），假设飞镖投中游戏板上的每一点是等可能的（若投中边界或没有投中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，则飞镖投中阴影部分的概率为（）A．13B．49C．12D．232．如图，AB为⊙O的直径，弦DC垂直AB于点E，⊙DCB=30°，EB=3，则弦AC的长度为（）A．3 √3B．4√3C．5√3D．6√33．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊙AB于点D，且AB=6cm，OD=4cm。
则DC的长为（）A．cm B．1cm C．2cm D．5cm4．如图，四边形ABCD内接于⊙ O，AB为⊙ O的直径，∠ABD=20∘，则∠BCD的度数是（）A．90°B．100°C．110°D．120°5．如图，点A，B，C，D都在⊙O上，AC，BD相交于点E，则⊙ABD=（）A．⊙ACD B．⊙ADB C．⊙AED D．⊙ACB6．如图，在⊙O中，弦AB⊙CD，若⊙ABC=40°，则⊙BOD=（）A．20°B．40°C．50°D．80°7．下列判断结论正确的有（）（1）直径是圆中最大的弦．（2）长度相等的两条弧一定是等弧．（3）面积相等的两个圆是等圆．（4）同一条弦所对的两条弧一定是等弧．（5）圆上任意两点间的部分是圆的弦．A．1个B．2个C．3个D．4个8．已知如图，PA、PB切⊙O于A，B，MN切⊙O于C，交PB于N；若PA=7.5cm，则⊙PMN的周长是（）A．7.5cm B．10cm C．15cm D．12.5cm9．若小李同学掷出的铅球在场地航砸出一个直径为10厘米，深2厘米的小坑，则该铅球的直径为（）A．20厘米B．19.5厘米C．14.5厘米D．10厘米10．如图，如果从半径为9cm的圆形纸片剪去13圆周的一个扇形，将留下的扇形（阴影部分）围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（）A．6cm B．5√3cm C．8cm D．3√5cm11．如图，△ABC内接于⊙O，∠B=65o，∠C=70o，若BC=2√2，则弧BC长为（）A．πB．√2πC．2πD．√2π12．如下图，点B，C，D在⊙O上，若⊙BCD＝130°，则⊙BOD的度数是（）A．96°B．98°C．102°D．100°二、填空题13．如图，在扇形AOB中，OA＝4，⊙AOB＝90°，点P是弧AB上的动点，连接OP，点C是线段OP的中点，连接BC并延长交OA于点D，则图中阴影部分面积最小值为.14．如图，在边长为√2的正方形ABCD中，分别以四个顶点为圆心，以边长为半径画弧，分别与正方形的边和对角线相交，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）.15．如图，⊙ABC的顶点A，B，C均在⊙O上，若⊙ABC+⊙AOC=90°，则⊙AOC的大小是．16．如图：⊙O为⊙ABC的内切圆，⊙C＝90°，AO的延长线交BC于点D，AC＝4，CD＝1，则⊙O的半径为.17．如图，在正八边形ABCDEFGH中，AC、GC是两条对角线，则tan⊙ACG=．18．如图，菱形ABCD中，已知AB=2，∠DAB=60°将它绕着点A逆时针旋转得到菱形ADEF，使AB与AD重合，则点C运动的路线CE⌢的长为．三、综合题19．如图，AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C，点D为AP的中点，连结AC．求证：（1）⊙P=⊙BAC（2）直线CD是⊙O的切线．20．如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O交AC于点F，点E是BF⌢的中点，连接BE并延长交AC于点D，若∠CBD=12∠CAB．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，cos∠BAC=25，求CD的长．21．如图，⊙O是⊙ABC的外接圆，AC是O的直径，BD＝BA＝12，BC＝5，BE⊙DC，交D的延长线于点E，BD交直径AC于点F．（1）求证：⊙BCA＝⊙BAD．（2）求证：BE是⊙O的切线．（3）若BD平分⊙ABC，交⊙O于点D，求AD的长．22．如图，⊙OAB中，OA=OB=10cm，⊙AOB=80°，以点O为圆心，半径为6cm的优弧弧MN分别交OA，OB于点M，N．（1）点P在右半弧上（⊙BOP是锐角），将OP绕点O逆时针旋转80°得OP′．求证：AP=BP′；（2）点T在左半弧上，若AT与弧相切，求A T的长．23．如图，有一直径是√2米的圆形铁皮，现从中剪出一个圆周角是90°的最大扇形ABC，则：（1）AB的长为米；（2）用该扇形铁皮围成一个圆锥，所得圆锥的底面圆的半径为米.⌢的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．24．如图，AB是⊙O的直径，C是BD（1）求证：CF=BF；（2）若CD﹦5，AC﹦12，求⊙O的半径和CE的长．参考答案1．【答案】D2．【答案】D3．【答案】B4．【答案】C5．【答案】A6．【答案】D7．【答案】B8．【答案】C9．【答案】C10．【答案】D11．【答案】A12．【答案】D13．【答案】4π−8√3314．【答案】4-π15．【答案】60°16．【答案】0.817．【答案】118．【答案】2√33π19．【答案】（1）解：证明：∵AB是⊙O的直径∴⊙ACB=90°∴⊙ACP=90°∴⊙P+⊙CAP=90°∵AP⊙O是切线∴⊙BAP=90°即⊙CAP+⊙BAC=90°∴⊙P=⊙BAC；（2）解：∵CD是Rt⊙PAC斜边PA的中线∴CD=AD∴⊙DCA=⊙DAC连接OC∵OC=OA∴⊙OCA=⊙OAC∴⊙DCO=⊙DAO=90°∴CD是⊙O的切线．20．【答案】（1）证明：连接AE，如图所示：∵AB是⊙O的直径∴∠AEB=90°∴∠BAE+∠ABE=90°．∵点E为弧BF的中点∴EF⌢=EB⌢∴∠BAE=∠DAE=12∠CAB．又∵∠CBD=12∠CAB∴∠BAE=∠CBD∴∠CBD+∠ABE=90°∴AB⊥CB∴BC是⊙O的切线．（2）解：∵∠BAE=∠DAE，∠AED=∠AEB=90°∴∠ADE=∠ABE∴AD=AB=2×2=4．∵cos∠BAC=2 5∴在Rt△ABC中即4AC=25，得AC=10∴CD=AC−AD=10−4=6．21．【答案】（1）证明：∵BD=BA ∴∠BDA=∠BAD．∵∠BCA=∠BDA∴∠BCA=∠BAD．（2）证明：连结OB，如图∵∠BCA=∠BAD又∵∠BCE=∠BAD∴∠BCA=∠BCE∵OB=OC∴∠BCO=∠CBO∴∠BCE=∠CBO∴OB//ED．∵BE⊥ED∴EB⊥BO．∴BE是⊙O的切线．（3）解：∵AC是⊙O的直径∴∠ABC=90°∴AC=√AB2+BC2=√122+52=13．∵∠BDE=∠CAB∴△BED∽△CBA∴BDAC=DEAB，即1213=DE12∴DE=14413∴BE=√BD2−DE2=6013∴CE=√BC2−BE2=2513∴CD=DE−CE=119 13∵BD平分⊙ABC ∴∠CBD=∠ABD∴AD=CD=119 13．22．【答案】（1）证明：∵⊙AOB=⊙POP′=80°∴⊙AOB+⊙BOP=⊙POP′+⊙BOP即⊙AOP=⊙BOP′在⊙AOP 与⊙BOP′中 OA=OB ⊙AOP=⊙BOP OP=OP′∴⊙AOP⊙⊙BOP′ ∴AP=BP′（2）解：∵A T 与弧相切，连结OT ．∴OT⊙A T在Rt⊙AOT 中，根据勾股定理得，A T= √OA 2−OT 2 ∵OA=10，OT=6 ∴AT=823．【答案】（1）1 （2）1424．【答案】（1）证明：∵AB 是 ⊙O 的直径∴∠ACB =90° ∴∠A +∠ABC =90° 又∵CE ⊥AB ∴∠CEB =90° ∴∠BCE +∠ABC =90° ∴∠BCE =∠A∵C 是 BD ⌢ 的中点 ∴CD⌢=CB ⌢ ∴∠DBC =∠A ∴∠DBC =∠BCE ∴CF =BF（2）解：∵CD⌢=CB ⌢，CD =5 ∴∠DBC =∠BDC∴BC=CD=5∵∠ACB=90°∴AB=√AC2+BC2=√122+52=13∴AO=6.5∵∠BCE=∠A，∠ACB=∠CEB=90°∴△CEB⊙ △ACB∴CE=AC⋅BCAB=12×513=6013故⊙O的半径为6.5，CE的长是6013.第11页共11。
苏教版五年级数学(下册)圆的综合练习题
苏教版五年级数学(下册)圆的综合练习题圆单元练习题（一）一、完成下表。
圆的半径r2cm圆的直径d2cm8cm圆的周长C18.84cm圆的面积S二、想一想，填一填。
1、当圆规两脚间的距离为4厘米时,画出圆的周长是（）厘米。
2、在一张长8厘米，宽12厘米的长方形纸上画一个最大的圆，这个圆的直径是（），面积是（），周长是（）。
3、一个车轮的直径是55厘米,车轮转动一周,大约前进（）米。
4、一个环形的外圆直径是10cm,内圆直径是8cm,它的面积（）cm2。
5、一个圆的半径扩大2倍,它的周长扩大（）倍,面积扩大（）倍。
6、把一个圆分成若干等份，剪开拼成一个近似的长方形。
这个长方形的长相当于（），长方形的宽就是圆的（）。
因为长方形的面积是（），所以圆的面积是（）．7、圆的直径是6厘米，它的周长是（），面积是（）。
8、圆的周长是25.12分米，它的面积是（）。
10、周长相称的长方形、正方形、圆，（）面积最大。
11、圆的半径由6厘米增加到9厘米，圆的面积增加了（）平方厘米。
12、要在一个边长为10厘米的正方形纸板里剪出一个最大的圆，剩下的面积是（）。
13、要在底面半径是12厘米的圆柱形水桶表面打上一个铁丝箍，接头部分是8厘米，需用铁丝（）厘米。
14、用圆规画一个圆，假如圆规两脚之间的距离是7厘米，画出的这个圆的周长是（）厘米。
这个圆的面积是（）平方厘米。
15、有大小两个圆，大圆直径是小圆半径的4倍，小圆与大圆周长的比是（），小圆与大圆面积的比是（）。
16、一个半圆半径是r，它的周长是（）。
三、请你来当小裁判。
1、圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。
（）2、当圆的半径等于2分米时，这个圆的周长和面积相等。
（）3、一个圆的面积和一个正方形的面积相等,它们的周长一定也相等. ()4、同一个圆的直径一定是半径的2倍。
（）5、两端都在圆上的线段，直径是最长的一条。
（）6、半圆的周长是圆周长的一半。
（）四、选一选。
（挑选精确答案的序号填在括号里）1、圆周率π（）3.14。
圆综合练习(提优)-2020-2021学年九年级数学上册同步课堂帮帮帮(苏科版)(解析版)
圆综合练习（提优）一．选择题1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为2cm，若BC＝2cm，则∠A的度数为（）A．30°B．25°C．15°D．10°【解答】A【解析】连接OB和OC，∵圆O半径为2，BC＝2，∴△OBC为等边三角形，∴∠BOC＝60°，∴∠A＝30°，故选A．2．刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O的半径为1，若用圆O的外切正六边形的面积来近似估计圆O的面积，那么圆O的面积估计值是（）A．√3B．2√3C．πD．2π【解答】B【解析】根据题意画出图形，如图所示，∵六边形ABCDEF为正六边形，∴△ABO是等边三角形，∵圆O的半径为1，∴OM＝1，∴BM＝AM=√33，∴AB=2√33，∴S＝6S△ABO＝6×12×2√33×1＝2√3．答：圆O的面积估计值是2√3．故选B．3．如图，将边长为3的正方形铁丝框ABCD，变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形ADB的面积为（）A．3 B．6 C．9 D．3π【解答】C【解析】∵正方形ABCD的边长为3，∴AB＝BC＝CD＝AD＝3，即DCB̂的长是3+3＝6，∴扇形DAB的面积是12×6×3＝9，故选C．4．如图，⊙O中，若OA⊥BC、∠AOB＝66°，则∠ADC的度数为（）A．33°B．56°C．57°D．66°【解答】A【解析】如图，连接OC，OB．∵OA⊥BC，̂=AĈ，∴AB∴∠AOC＝∠AOB＝66°，∠AOC＝33°，∴∠ADC=12故选A．5．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB、CD所对的圆心角分别是∠AOB、∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝6，则点O到弦AB的距离为（）A．6 B．8 C．3 D．4【解答】C【解析】延长CO交⊙O于E，连接DE，过O作OF⊥DE于F，OH⊥CD于H，OG⊥AB于G，线段OG的长是点O 到弦AB的距离，∵∠COD和∠DOE互补，∠COD和∠AOB互补，∴∠DOE＝∠AOB，∴DE＝AB，OF＝OG，∵OH⊥DC，CD＝6，OH过O，DC＝3，∠OHD＝∠OHC＝90°，∴DH＝HC=12由勾股定理得：OH=√OD2−DH2=√52−32=4，∵OC＝OE，DH＝HC，OH＝4，∴DE＝2OH＝8，∵OF⊥DE，OF过O，DE＝4，∴DF＝EF=12在Rt△DFO中，由勾股定理得：OF=√OD2−DF2=√52−42=3，∴OG＝OF＝3，即点O到AB的距离是3，故选C．6．如图，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝2，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC、BC相切于点E、F，与AB分别相交于点G、H，且EH的延长线与CB的延长线交于点D，则CD的长为（）A．2√2−1 B．2√2C．√2+1 D．2√2−12【解答】C【解析】如右图所示，连接OE、OF，∵⊙O与AC、BC切于点E、F，∴∠OEC＝∠OFC＝90°，OE＝OF，又∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠C＝90°，∴四边形CEOF是正方形，∴OE∥BC，又∵以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC、BC相切于点E、F，OE＝OF，∴O在∠ACB的角平分线上，∵AC＝BC，∴O是AB中点，∴AE＝CE，又∵AC＝2，∴AE＝CE＝1，∴OE＝OF＝CE＝1，∴OH＝1，∵OE∥CD，∴△OEH∽△BDH，∴OEOH =DBBH，又∵AB=√AC2+BC2=2√2，∴OB=√2，∴11=√2−1，∴BD=√2−1，∴CD＝2+BD=√2+1，故选C．7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝CB，∠BAC＝30°，BD=√3，则AD+CD的值为（）A ．3B ．2√3C ．√3+1D ．不能确定【解答】A【解析】如图，过点B 作BE ⊥AD 于E ，BF ⊥DC 交DC 的延长线于F ．∵AB ＝BC ，∴AB̂=BC ̂， ∴∠BDE ＝∠BDF ，∵∠DEB ＝∠DFB ＝90°，DB ＝DB ，∴△BDE ≌△BDF （AAS ），∴BE ＝BF ，DE ＝DF ，∵∠AEB ＝∠F ＝90°，BA ＝BC ，BE ＝BF ，∴Rt △BEA ≌Rt △BFC （HL ），∴AE ＝CF ，∴AD +DC ＝DE +AE +DF ﹣CF ＝2DF ，∵∠BDF ＝∠BAC ＝30°，BD =√3，∴BF =12BD =√32， ∴DF =√BD 2−BF 2=√(√3)2−(√32)2=32，∴DA +DC ＝3，故选A ．8． 如图，Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，半径为1的⊙O 与AC ，BC 相切，当⊙O 沿边CB 平移至与AB 相切时，则⊙O 平移的距离为（ ）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】B【解析】∵Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝10，设⊙O与AC相切于D，与BC相切于H，平移后的⊙O′与AB相切于F，与BC相切于E，连接OH，O′D，则点O在O′D上，连接O′F，EO′并延长交AB于G，∴四边形CDOH是正方形，四边形OHEO′是矩形，∴OD＝OH＝O′E＝O′F＝CD＝CH＝1，OO′＝HE，∴EG⊥BC，∵∠C＝90°，∴EG∥AC，∴∠FGE＝∠A，∵∠GFO′＝∠C＝90°，∴∠O′FG∽∠BCA，∴O′FBC =O′GAB，∴18=O′G10，∴O′G=54，∴EG=94，∵GE∥AC，∴△BGE∽△BAC，∴BEBC =EGAC，∴BE8=946，∴BE＝3，∴OO′＝HE＝BC﹣CH﹣BE＝8﹣1﹣3＝4，∴⊙O平移的距离为4，故选B．9．如图，已知⊙O的半径为10，A、B是⊙O上的两点，∠AOB＝90°，C是射线OB上一个动点，连结AC 并延长交⊙O于点D，过点D作DE⊥OD交OB的延长线于点E．当∠A从30°增大到60°时，弦AD在圆内扫过的面积是（）A．100π3−25√3B．50π3C．64π3−16√3D．50π3−25√3【解答】B【解析】过点D作AO的垂线，交AO的延长线于F．当∠A＝30°时，∠DOF＝60°，DF＝OD•sin60°＝10×√32=5√3，S弓形ABD=120π⋅102360−12×10×5√3=1003π﹣25√3，当∠A＝60°时，过点D'作D'F⊥OA于F'，连接OD'，∠D 'OF '＝60°，D 'F '＝5√3，S 弓形ABD '=60⋅π⋅102360−12×10×5√3=503π﹣25√3， ∴S =1003π﹣25√3−（503π﹣25√3）=503π．故选B ．10．如图，在 O 中，AB̂=AC ̂，BC ＝6．AC ＝3√10，I 是△ABC 的内心，则线段OI 的值为（ ）A ．1B ．√10−3C ．5−√10D ．13√10【解答】C【解析】如图，连接AO ，延长AO 交BC 于H ，连接OB ．∵AB ̂=AC ̂，∴AB ＝AC ，AH ⊥BC ，∴BH ＝CH ＝3，∴AH =√AC 2−CH 2=√(3√10)2−32=9，设OA ＝OB ＝x ，在Rt △BOH 中，∵OB 2＝OH 2+BH 2，∴x 2＝（9﹣x ）2+32，∴x ＝5，∴OH ＝AHAO ＝9﹣5＝4，∵S △ABC =12•BC •AH =12•（AB +AC +BC ）•IH ，=√10−1，∴IH=6+6√10∴OI＝OH﹣IH＝4﹣（√10−1）＝5−√10，故选C．11．如图，在等腰直角△ABC中，斜边AB的长度为8，以AC为直径作圆，点P为半圆上的动点，连接BP，取BP的中点M，则CM的最小值为（）A．3√5B．2√5−√3C．√10−√2D．3√2−√5【解答】C【解析】如图，连接PA、PC，取AB、BC的中点E、F，连接EF、EM、FM，取EF的中点O，连接OM，OC，CM．∵AC是直径，∴∠APC＝90°，∵BE＝EA，BM＝MP，∴EM∥PA，同理FM∥PC，∴∠BME＝∠BPA，∠BMF＝∠BPC，∴∠BME+∠BMF＝∠BPA+∠BPC＝90°，∴∠EMF＝90°，̂，（EF为直径的半圆，图中红线部分）∴点M的轨迹是EF∵BC＝AC，∠ACB＝90°，AB＝8，∴AC＝BC＝4√2，∵AE＝EB，BF＝CF＝2√2，∴EF=12AC＝2√2，EF∥AC，∴∠EFB＝∠EFC＝∠ACB＝90°，OE＝OF＝OM=√2，∴OC=√OF2+CF2=√(√2)2+(2√2)2=√10，∵CM≥OC﹣OM，∴CM≥√10−√2故选C．12．如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，∠DOC＝90°，AD=√2，BC＝1，则⊙O的半径为（）A．√3B．√52C．√102D．√2+12【解答】C【解析】如图延长DO交⊙O于E，作EF⊥CB交CB的延长线于F，连接BE、EC．∵∠AOD＝∠BOE，∴AD̂=BÊ，∴AD＝BE=√2，∵∠DOC＝∠COE＝90°，OC＝OB＝OE，∴∠OCB＝∠OBC，∠OBE＝∠OEB，∴∠CBE=12（360°﹣90°）＝135°，∴∠EBF＝45°，∴△EBF是等腰直角三角形，∴EF＝BF＝1，在Rt△ECF中，EC=√EF2+CF2=√12+22=√5，∵△OCE 是等腰直角三角形，∴OC =√2=√102． 故选C ．二．填空题13．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD =√3，连接BD ，以点C 为圆心，CD 为半径作弧DF ，与BD 交于点E ，则图中阴影部分的面积是 ．【解答】112π−2−√34【解析】连接CE ，过C 作CF ⊥DE 于F ，∵在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD =√3，∴∠A ＝∠DCF ＝90°，DC ＝AB ＝1，BC ＝AD =√3，∴tan ∠BDC =BC CD =√31=√3，∴∠BDC ＝60°，∵CD ＝CE ，∴△DCE 是等边三角形，∴∠DCE ＝60°，DE ＝CD ＝CE ＝1，∵CF ⊥DE ，∴DF ＝EF =12DE =12×1=12，由勾股定理得：CF =√CD 2−DF 2=√12−(12)2=√32， ∴扇形DCE 和△DCE 围成的弓形的面积S ＝S 扇形DCE ﹣S △DCE =60π×12360−12×1×√32=16π−√34，∴阴影部分的面积＝S 扇形DCF ﹣S △DCF ﹣S 弓形=90π×12360−12×1×1−（16π−√34）=112π−2−√34， 故答案为112π−2−√34．14．如图，在正方形ABCD 中，AB ＝2，分别以B 、C 为圆心，以AB 的长为半径作弧，则阴影部分的面积为 ．【解答】2√3−23π【解析】∵在正方形ABCD 中，AB ＝2，分别以B 、C 为圆心，以AB 的长为半径作弧，∴∠DCB ＝90°，BC ＝AB ＝2，弧对应的半径是2，如图，连接BE 、CE ，∵BC ＝CE ＝BE ＝2，∴△BEC 是等边三角形，∴∠EBC ＝∠ECB ＝60°，∴∠DCE ＝30°，S 弓形＝S 扇形EBC ﹣S △EBC =60π×22360−12×2×√3=23π−√3， ∴阴影部分的面积S ＝2（S 扇形DCE ﹣S 弓形）＝2×[30π×22360−（23π−√3）]＝2√3−23π．15．如图，点P 为⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的切线PA 、PB ，点A 、B 为切点，连接AO 并延长交PB 的延长线于点C ，过点C 作CD ⊥PO ，交PO 的延长线于点D ．已知PA ＝6，AC ＝8，则CD 的长为 ．【解答】2√5【解析】连接OB，如图，∵PA、PB为⊙O的切线，∴PB＝PA＝6，OB⊥PC，OA⊥PA，∴∠CAP＝∠CBO＝90°，在Rt△APC中，PC=√62+82=10，∴BC＝PC﹣PB＝4，设⊙O的半径为r，则OA＝OB＝r，OC＝8﹣r，在Rt△BCO中，42+r2＝（8﹣r）2，解得r＝3，∴OA＝3，OC＝5，在Rt△OPA中，OP=√32+62=3√5，∵CD⊥PO，∴∠CDO＝90°，∵∠COD＝∠POA，∠CDO＝∠PAO，∴△COD∽△POA，∴CD：PA＝OC：OP，即CD：6＝5：3√5，∴CD＝2√5．故答案为2√5．16．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E都在⊙O上，∠1＝55°，则∠2＝°．【解答】35【解析】如图，连接AD．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∵∠1＝∠ADE，∴∠1+∠2＝90°，∵∠1＝55°，∴∠2＝35°，故答案为35．17．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB边上一个动点，点F是CD边上一个动点，且AE＝CF，过点B作BG⊥EF于点G，连接AG，则AG长的最小值是．【解答】√10−√2【解析】设正方形的中心为O，可证EF经过O点．连结OB，取OB中点M，连结MA，MG，则MA，MG为定长，过点M作MH⊥AB于H．则MH＝BH＝1，AH＝3，OB=√2，由勾股定理可得MA=√10，MG=12∵AG≥AM﹣MG=√10−√2，当A，M，G三点共线时，AG最小=√10−√2，故答案为√10−√2．18．如图，正五边形ABCDE内接于半径为4的圆O，作OF⊥BC交⊙O于点F，连结FA，FB，则FA•FB的值为．【解答】16【解析】连接OA，OB，OB交AF于J．∵OF⊥BC，̂=CF̂，∴BF∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠AOB＝72°，∠BOF＝36°，∴∠AOF＝108°，∵OA＝OF，∴∠OAF＝∠OFA＝∠FOJ＝36°，∴OJ＝JF，∵AO＝AJ，OB＝OF，∠OAJ＝∠FOB，∴△AOJ≌△OFB（SAS），∴OJ＝BF，∵∠OFJ＝∠AFO，∠FOJ＝∠OAF，∴△FOJ∽△FAO，∴FOFA =FJOF，∴OF2＝FJ•FA，∵FJ＝OJ＝FB，∴FA•FB＝OF2＝16．故答案为16．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，与y轴相切的⊙M与x轴交于A、B两点，AC为⊙M直径，AC＝10，AB＝6，连结BC，点P为劣弧BĈ上点，点Q为线段AB上点，且MP⊥MQ，MP与BC交于点N．则当NQ平分∠MNB时，点P坐标是．【解答】（495，135）【解析】设⊙M与y轴相切于E，连接EM并延长交BC于H，过P作PF⊥x轴于F，延长FP交EH于D，∵AC为⊙M直径，∴BC⊥AB，∵AC＝10，AB＝6，∴BC＝8，∵⊙M与y轴相切，∴EM⊥y轴，∴四边形OEDF是矩形，∴OE ＝BH ＝DF ，ED ＝OF ，ED ∥OF ，∵AM ＝CM ，∴MH =12AB ＝3，BH ＝DF ＝4，∵MP ⊥MQ ，NQ 平分∠MNB ，∴MN ＝BN ，设MN ＝BN ＝x ，∴NH ＝4﹣x ，∵MH 2+HN 2＝MN 2，∴x 2＝32+（4﹣x ）2，解得：x =258，∴MN ＝BN =258， ∴HN =78， ∵HN ∥PD ，∴△MHN ∽△MDP ，∴MH MD =HN PD =MN MP ， ∴3MD =78PD =2585， ∴MD =245，PD =75， ∴DE ＝EM +MD =495，PF ＝DF ﹣PD =135， ∴点P 坐标是（495，135），故答案为（495，135）．20．如图，PA 、PB 切⊙O 于A 、B 两点，连接OP 交AB 于点C ，交弧AB 于点D ，∠APB ＝70°，点Q 为优弧AmB上一点，OQ∥PB，则∠OQA的大小为．【解答】10°【解析】如图，连接OA．∵PA，PB是⊙O的切线，∴∠OPB＝∠OPA=1∠APB＝35°，PA⊥OA，2∴∠OAP＝90°，∴∠POA＝90°﹣35°＝55°，∵OQ∥PB，∴∠POQ＝180°﹣∠OPB＝145°，∴AOQ＝360°﹣145°﹣55°＝160°，∵OQ＝OA，（180°﹣∠AOQ）＝10°，∴∠OQA＝∠OAQ=12故答案为10°．21．如图，等边△ABC中，AB＝2，点D是以A为圆心，半径为1的圆上一动点，连接CD，取CD的中点E，连接BE，则线段BE的最大值与最小值之和为．【解答】2√3【解析】延长CB到T，使得BT＝BC，连接AT，DT，AD．∵△ABC是等边三角形，∴BA＝BC＝AC＝BT＝2，∠ACB＝60°，∴∠CAT＝90°，∴AT＝CT•sin60°＝2√3，∵AD＝1，∴2√3−1≤DT≤2√3+1，∵CB＝BT，CE＝DE，∴BE=12DT，∴2√3−12≤BE≤2√3+12，∴线段BE的最大值与最小值之和为2√3，故答案为2√3．22．如图，等腰△ABC中，底边BC长为8，腰长为6，点D是BC边上一点，过点B作AC的平行线与过A、B、D三点的圆交于点E，连接DE，则DE的最小值是．【解答】2√5【解析】如图，连接AE，AD，OE，OD，作AJ⊥BC于J，OK⊥DE于K．∵BE∥AC，∴∠EBC+∠C＝180°，∵∠EBC+∠EAD＝180°，∴∠EAD＝∠C，∵∠EOD＝2∠EAD，∴∠EOD＝2∠C＝定值，∴⊙O的半径最小时，DE的值最小，∴当AB是⊙O的直径时，DE的值最小，∵AB＝AC＝6，AJ⊥BC，∴BJ＝CJ＝4，∴AJ=√AC2−CJ2=√62−42=2√5，∵OK⊥DE，∴EK＝DK，∵AB＝6，∴OE＝OD＝3，∵∠EOK＝∠DOK＝∠C，∴sin∠EOK＝sin∠C=√53，∴EK3=√53，∴EK=√5，∴DE＝2√5，∴DE的最小值为2√5．故答案为2√5．三．解答题23．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，交BC于F．（1）若∠ABC＝40°，∠C＝80°，求∠CBD的度数；（2）求证：DB＝DE；（3）若AB＝6，AC＝4，BC＝5，求DE的长．【解答】（1）30°；（2）见解析；（3）2√2【解析】（1）∵∠ABC＝40°，∠C＝80°，∴∠BAC＝180°﹣40°﹣80°＝60°，∵点E是△ABC的内心，∠BAC＝30°，∴∠CAD＝∠BAD=12∴∠CBD＝∠CAD＝30°．答：∠CBD的度数为30°；（2）证明：如图，连接BE，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠2＝∠6，∴∠1＝∠6，∵∠5＝∠1+∠3，∠DBE＝∠6+∠4＝∠1+∠3，∴∠5＝∠DBE，∴DB＝DE；（3）∵∠1＝∠2，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∴ABAC =BFCF=32，∴BF＝3，CF＝2，∵∠6＝∠2，∠D＝∠C，∴△BDF∽△ACF，∴BDDF =ACCF=42=2，BFAF=DFCF，∴DF=12BD，DF•AF＝BF•CF＝6，∵∠1＝∠2＝∠6，∠BDF＝∠ADB，∴△DBF∽△DAB，∴BDDA =DFBD，∴BD2＝DF•DA＝DF（AF+DF）＝DF•AF+DF2＝6+（12BD）2，解得BD＝2√2，∴DE＝BD＝2√2．答：DE的长为2√2．24．如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延长线上有一点F，使DF＝DA，AE ∥BC交CF于E．（1）求证：EA是⊙O的切线；（2）判断BD与CF的数量关系？说明理由．【解答】（1）见解析；（2）BD＝CF 【解析】（1）证明：如图，连接AO，∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，∴AO平分∠BAC，∴∠OAC=12∠BAC=30°，∵AE∥BC，∴∠CAE＝∠BCA＝60°，∴∠OAE＝∠OAC+∠CAE＝90°，∴OA⊥AE，∴EA为⊙O的切线；（2）BD＝CF，理由如下：∵△ABC为正三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠ABC＝60°；∵A、B、C、D四边共圆，∴∠ADF＝∠ABC＝60°，∵DF＝DA，∴△ADF为正三角形，∴∠DAF＝60°＝∠BAC，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAF+∠CAD，即∠BAD＝∠CAF，在△BAD与△CAF中，{BA=CA∠BAD=∠CAF AD=AF，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴BD＝CF．所以BD与CF的数量关系为相等．25．如图，AB为⊙O的直径，C、D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD与BC，OC分别交于E、F．（1）求证：AĈ=CD̂；（2）若CE＝1，EB＝3，求⊙O的半径．【解答】（1）见解析；（2）√5【解析】（1）证明：∵AB是圆的直径，∴∠ADB＝90°，∵OC∥BD，∴∠AFO＝∠ADB＝90°，∴OC⊥AD∴AĈ=CD̂．（2）连接AC，如图，∵AĈ=CD̂，∴∠CAD＝∠ABC，∵∠ECA＝∠ACB，∴△ACE∽△BCA，∴ACBC =CEAC，∴AC2＝CE•CB，即AC2＝1×（1+3），∴AC＝2，∵AB是圆的直径，∴∠ACB＝90°，∴AB=√AC2+BC2=√22+42=2√5，∴⊙O的半径为√5．26．如图，在△ABC中，AC＝BC，以BC为直径作⊙O，交AC于点M，作CD⊥AC交AB延长线于点D，E为CD 上一点，且BE＝DE．（1）证明：BE为⊙O的切线；（2）若AM＝8，AB＝8√5，求BE的长．【解答】（1）见解析；（2）BE＝15【解析】（1）证明：∵CD⊥AC，∴∠ACD＝90°，∴∠A+∠D＝90°，∵AC＝BC，BE＝DE，∴∠A＝∠ABC，∠D＝∠DBE，∴∠ABC+∠DBE＝90°，∴∠CBE＝180°﹣90°＝90°，∴CB⊥BE，∴BE为⊙O的切线；（2）连接BM，∵BC为⊙O的直径，∴BM⊥AC，∵AM＝8，AB＝8√5，∴BM=√AB2−AM2=16，∵AC＝BC，∴CM＝BC﹣AM＝BC﹣8，∵BC2＝BM2+CM2，∴BC2＝162+（BC﹣8）2，∴BC＝20，∴AC＝BC＝20，∵BM⊥AC，AC⊥CD，∴BM∥CD，∴∠MBC＝∠BCE，∵∠BMC＝∠CBM＝90°，∴△BMC∽△CBE，∴CMBE =BMBC，∴12BE =1620，∴BE＝15．27．如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠CAB＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE．（1）求证：DE与⊙A相切；（2）若∠ABC＝60°，AB＝4，求阴影部分的面积．【解答】（1）见解析；（2）4√3−4π3【解析】（1）证明：连接AE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC ，∴∠DAE ＝∠AEB ，∵AE ＝AB ，∴∠AEB ＝∠ABC ，∴∠DAE ＝∠ABC ，∴△AED ≌△BAC （SAS ），∴∠DEA ＝∠CAB ，∵∠CAB ＝90°，∴∠DEA ＝90°，∴DE ⊥AE ，∵AE 是⊙A 的半径，∴DE 与⊙A 相切；（2）∵∠ABC ＝60°，AB ＝AE ＝4，∴△ABE 是等边三角形，∴AE ＝BE ，∠EAB ＝60°，∵∠CAB ＝90°，∴∠CAE ＝90°﹣∠EAB ＝90°﹣60°＝30°，∠ACB ＝90°﹣∠B ＝90°﹣60°＝30°，∴∠CAE ＝∠ACB ，∴AE ＝CE ，∴CE ＝BE ，∴S △ABC =12AB •AC =12×4×4√3=8√3，∴S △ACE =12S △ABC =12×8√3=4√3， ∵∠CAE ＝30°，AE ＝4，∴S 扇形AEF =30π×AE 2360=30π×42360=4π3，∴S 阴影＝S △ACE ﹣S 扇形AEF ＝4√3−4π3．28．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝60°，⊙O过点D，与AB相切于点A，与CD相交于点E，且AB＝DE．（1）求证：BC与⊙O相切；（2）若⊙O的半径为5，求四边形ABCD的面积．【解答】（1）见解析；（2）50+50√33【解析】（1）连接AE，∵∠D＝90°，∴AE是⊙O的直径，过O作OF⊥BC于F，∵AB是⊙O的切线，∴∠OAB＝90°，∵∠B＝90°，∴∠OAB＝∠B＝∠OFB＝90°，∴四边形ABFO是矩形，∴AB＝OF，∵∠B＝∠D＝90°，∠C＝60°，∴∠DAB＝120°，∴∠DAE＝30°，∴DE =12AE ＝AO ， ∵AB ＝DE ，∴OF ＝OA ，∴BC 与⊙O 相切；（2）由（1）知，AB ＝AO ＝5，AE ＝10，过E 作EH ⊥BC 于H ，则BH ＝AE ＝10，EH ＝AB ＝5，∵∠C ＝60°，∴CH =√33EH =5√33， ∴BC ＝10+5√33， 在Rt △ADE 中，∵DE ＝AB ＝5，∴AD =√3DE ＝5√3，∴四边形ABCD 的面积=12×5√3×5+12（10+10+5√33）×5＝50+50√33．29．如图，Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，E 是BC 的中点，连接DE 、OE ．（1）判断DE 与⊙O 的位置关系并说明理由．（2）若⊙O 半径r ＝3，DE ＝4，求AD 的长．【解答】（1）相切；（2）AD =185【解析】（1）连接OD 、BD ，如图所示．∵点O 为AB 的中点，点E 为BC 的中点，∴OE∥AC，且AC＝2OE，∴∠A＝∠BOE．又∵∠BOD＝2∠A，∴∠DOE＝∠A＝∠BOE．在△BOE和△DOE中，{OB=OD∠BOE=∠DOE OE=OE，∴△BOE≌△DOE（SAS），∴∠ODE＝∠OBE＝90°，∴DE与⊙O相切；（2）∵AB为⊙O的直径，∴BD⊥AC，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，∴∠ADB＝∠ABC，∴∠A+∠ABD＝∠A+∠C＝90°，∴∠ABD＝∠C，∴△ABD∽△ACB，∴ABAD =ACAB，∵AB＝6，BC＝2DE＝8，∴AC＝10，∴AB2＝AD•AC，∴62＝AD×10，∴AD=185．30．如图，⊙O为△ABC的外接圆，D为OC与AB的交点，E为线段OC延长线上一点，且∠EAC＝∠ABC．（1）求证：直线AE是⊙O的切线．（2）若D为AB的中点，CD＝6，AB＝16①求⊙O的半径；②求△ABC的内心到点O的距离．【解答】（1）见解析；（2）①25；②53【解析】（1）证明：连接AO，并延长AO交⊙O于点F，连接CF∵AF是直径∴∠ACF＝90°∴∠F+∠FAC＝90°，∵∠F＝∠ABC，∠ABC＝∠EAC∴∠EAC＝∠F∴∠EAC+∠FAC＝90°∴∠EAF＝90°，且AO是半径∴直线AE是⊙O的切线．（2）①如图，连接AO，∵D为AB的中点，OD过圆心，∴OD⊥AB，AD＝BD=12AB＝8，∵AO2＝AD2+DO2，∴AO2＝82+（AO﹣6）2，∴AO=253，∴⊙O的半径为253；②如图，作∠CAB的平分线交CD于点H，连接BH，过点H作HM⊥AC，HN⊥BC，∵OD⊥AB，AD＝BD∴AC＝BC，且AD＝BD∴CD平分∠ACB，且AH平分∠CAB∴点H是△ABC的内心，且HM⊥AC，HN⊥BC，HD⊥AB∴MH＝NH＝DH在Rt△ACD中，AC=√AD2+CD2=√82+62=10=BC，∵S△ABC＝S△ACH+S△ABH+S△BCH，∴12×16×6=12×10×MH+12×16×DH+12×10×NH，∴DH=83，∵OH＝CO﹣CH＝CO﹣（CD﹣DH），∴OH=253−（6−83）═5．。
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一、选择题
1.下列说法中，不正确的是( )
A．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点
B．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部
C．垂直于半径的直线是圆的切线
D．三角形的内心到三角形的三边的距离相等
2．给出下列说法：
①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；
②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；
③任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；
④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形．
其中正确的有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
3.一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于( ) A．21 B．20 C．19 D．18
4. 如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，AC是⊙O的直径，连结AB、BC、OP，
则与∠PAB相等的角(不包括∠PAB本身)有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
第4题图第5题图
5．如图，已知△ABC的内切圆⊙O与各边相切于点D、E、F，则点O是△DEF的( ) A．三条中线的交点B．三条高的交点
C．三条角平分线的交点D．三条边的垂直平分线的交点
二、填空题
6．如图，⊙I是△ABC的内切圆，切点分别为点D、E、F，若∠DEF=52o，
第6题图第7题图第8题图
7．如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD的周长为________．8．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，∠BAC=50o，则∠BOC为____________度．
9.如图所示，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点,且∠AOC=800，点D在⊙O 上(不与B、C重合),
则∠BDC的度数是______.
10．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于E点，若AB=2DE，∠E=18°，则∠AOC的度数为度．
第9题图第10题图
二．解答题
1．如图，△ABC内接于⊙O，D点在⊙O上，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC交AC 延长线于F．求证：BE=CF．
2．如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD 是∠ABC 的角平分线，△ABD 的外接圆交BC 于E ．求证：AD=EC ．
3. 如图，AE 、AD 、BC 分别切⊙O 于点E 、D 、F ，若AD=20，求△ABC 的周长．
4．已知：如图，⊙O 内切于△ABC ，∠BOC =105°，∠ACB =90°，AB =20cm ．求BC 、AC 的长．
5. 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为点A、B，若直径AC= 12，∠P=60o，
求弦AB的长．
6.如图，在△ABC中，∠C=60°，以AB为直径的半圆O分别交AC，BC于点D，E，已知⊙O
的半径为
（1）求证：△CDE∽△CBA；
（2）求DE的长．
7.已知：如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，以AC 为直径作⊙O 交AB 于点D.
（1）若3tan ,64ABC AC ∠==，求线段BD 的长. （2）若点E 为线段BC 的中点，连接DE. 求证：DE 是⊙O 的切线.
8．如图，在△ABC 中，AB =BC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，DE ⊥BC ，垂足为E ．
（1）求证：DE 是⊙O 的切线；
（2）若DG ⊥AB ，垂足为点F ，交⊙O 于点G ，∠A =35°，⊙O 半径为5，求劣弧DG 的长． （结果保留π）
E C D B
A
O
9．如图，AB ，CD 是⊙O 的直径，点E 在AB 延长线上，FE ⊥AB ，BE=EF=2，FE 的延长线交CD 延长线于点G ，DG=GE=3，连接FD ．
（1）求⊙O 的半径；
（2）求证：DF 是⊙O 的切线．
10.如图，⊙O 的直径AB 的长为10，直线EF 经过点B 且∠CBF=∠CDB.连接AD.
（1）求证：直线EF 是⊙O 的切线； （2）若点C 是弧AB 的中点，sin ∠DAB= ,求△CBD 的面积.
5
3。