幂函数、指函数与对函数
幂函数、指数函数与对数函数(解析版))
幂函数、指数函数与对数函数知识方法扫描一、指数函数及其性质形如y =a x (a >0,a ≠1)的函数叫作指数函数，其定义域为R ，值域为(0,+∞)．当0<a <1时，y =a x 是减函数，当a >1时，y =a x 为增函数，它的图像恒过定点(0,1)．二、分数指数幂a 1n=na ,a m n=n a m ,a -n=1an ,a -mn =1na m三、对数函数及其性质对数函数y =log a x (a >0,a ≠1)的定义域为(0,+∞)，值域为R ，图像过定点(1,0)．它是指数函数y =a x (a >0,a ≠1)的反函数，所有性质均可由指数函数的性质导出．当0<a <1时，y =log a x 为减函数，当a >1时，y =log a x 为增函数．四、对数的运算性质(M >0,N >0)(1)a log M a =M (这是定义)；(2)log a (MN )=log M a +log a N ；(3)log a MN=log a M -log a N ；(4)log a M n =n log a M ；(5)log a b =log c blog c a (a ,b ,c >0,a ,c ≠1)(换底公式)．由以上性质(4)、(5)容易得到以下两条推论：1)log a mb n =n m log a b ；2)log a b =1log b a．典型例题剖析1已知x 1是方程x +lg x =10的根，x 2是方程x +10x =10的根，求x 1+x 2的值．【解法1】由题意得lg x 1=10-x 110x 2=10-x 2，表明x 1是函数y =lg x 与y =10-x 的交点的横坐标，x 2是函数y =10x 与y =10-x 的交点的横坐标．因为y =lg x 与y =10x 互为反函数，其图像关于y =x 对称，由y =10-x y =x 得，x =5y =5 ，所以x 1+x 22=5，所以x 1+x 2=10．【解法2】构造函数f (x )=x +lg x ，由x 1+lg x 1=10知f x 1 =10，x 2+10x 2=10即10x 2+lg10x 2=10，则f 10x 2 =10，于是f x 1 =f 10x 2 ，又f (x )为(0,+∞)上的增函数，故x 1=10x 2，x 1+x 2=10x 2+x 2=10．【解法3】由题意得x 1=1010-x 110-x 2=10x 2，两式相减有x 1+x 2-10=1010-x 1-10x 2．若x 1+x 2-10>0，则1010-x 1-10x 2>0，得10-x 1>x 2，矛盾；若x 1+x 2-10<0，则1010-x 1-10x 2<0，得10-x 1<x 2，矛盾；而当x 1+x 2=10时，满足题意．【评注】解法1巧妙地利用了数形结合的方法，解法2巧妙地利用了函数的单调性，解法3巧妙地利用了反证法的技巧．2已知a >0，b >0，log9a =log 12b =log 16(a +b )，求ba的值．【解法1】设log 9a =log 12b =log 16(a +b )=k ，则a =9k ，b =12k ，a +b =16k ．由于9k ×16k =12k 2故(a +b )a =b 2，解得：b a =1+52(负根舍去)．【解法2】设log 9a =log 12b =log 16(a +b )=k ，则a =9k ，b =12k ，a +b =16k ．b a =12k 9k =43 k ，而9k +12k =16k，故1+12k 9k =16k 9k ，即43 k 2-43 k -1=0，故b a =43 k =1+52(负根舍去)．【评注】对数运算和指数运算互为逆运算，有关对数的运算和处理，往往可以转化为指数的运算和处理．3已知函数f (x )=1x +1+log 13x 2-x，试解不等式f x x -12 >12．【分析】本题为分式不等式与对数不等式混合．初看不易解决，但可以发现该函数在其定义域内单调递减，这是本题的解题关键．【解】易证函数y =f (x )在其定义域(0,2)内是单调减函数．并且f (1)=12，所以原不等式即为f x x -12 >f (1)等价于x x -12 <10<x x -12 <2⇒ x 12<x <1+174或1-174<x <0 ．【评注】利用函数单调性解决不易入手的不等式是一种常用方法．4设方程lg (kx )=2lg (x +1)仅有一个实根，求k 的取值范围．【分析】本题要注意函数的定义域．【解法1】当且仅当kx >0①x +1>0②x 2+(2-k )x +1=0③时原方程仅有一个实根，对方程③使用求根公式，得x 1,x 2=12k -2±k 2-4k ④Δ=k 2-4k ≥0⇒k <0或k ≥4．当k <0时，由方程③，得x 1+x 2=k -2<0,x 1x 2=1>0,所以x 1，x 2同为负根．又由方程程④知x 1+1>0,x 2+1<0,所以原方程有一个解x 1．当k =4时，原方程有一个解x =k2-1=1．当k >4时，由方程③，得x 1+x 2=k -2>0,x 1x 2=1>0. 所以x 1，x 2同为正根，且x 1≠x 2，不合题意，舍去．综上所述可得k <0或k =4为所求．【解法2】由题意，方程kx =(x +1)2，也即方程k =x +1x+2在满足关于x 的不等式kx >0x +1>0 的范围内有唯一实数根，以下分两种情况讨论：(1)当k >0时，k =x +1x +2在x >0范围内有唯一实数根，则有k =4；(2)当k <0时，k =x +1x+2在-1<x <0范围内有唯一实数根，则有k <0．综上可得k <0或k =4为所求．【评注】本题实质上是一道一元二次方程问题．5解不等式：log 12(x +3x )>log 64x ．【分析】若考虑到去根号，可设x =y 6(y >0)，原不等式变为log 12y 3+ y 2 >log 6446=log 2y ，即2log 12y +log 2(y +1)>log 2y ，陷入困境．原不等式即6log 12(x +3x )>log 2x ⇒2log 12x +log 121+x166>log 2x ，设t =log 2x ，则log 12x =1log x12=12log x 2+log x 3，同样陷入困境．下面用整体代换y =log 64x ．【解】设y =log 64x ，则x =64y，代人原不等式，有log 128y +4y >y ，8y +4y >12y，23 y +13 y >1，由指数函数的单调性知y =log 64x <1，则0<x <64．故原不等式的解集为(0,64)．6已知1<a ≤b ≤c 证明：log a b +log b c +log c a ≤log b a +log c b +log a c ．【证法1】注意到log a b +log b c +log c a -log b a +log c b +log a c=ln b ln a +ln c ln b +ln a ln c -ln a ln b+ln b ln c +ln c ln a =ln 2b ln c +ln 2c ln a +ln 2a ln b -ln 2b ln a +ln 2c ln b +ln 2a ln c ln a lnb ln c=-(ln a -ln b )(ln b -ln c )(ln c -ln a )ln a ln b ln c．【证法2】设log b a =x ，log c b =y ，则log a c =1xy ，于是原不等式等价于x +y +1xy ≤1x +1y+xy ，即x 2y +xy 2+1≤y +x +x 2y 2，即xy (x +y )-(x +y )+1-x 2y 2 ≤0，也即(x +y -1-xy )(xy -1)≤0也即(x -1)(y -1)(xy -1)≥0，由1<a ≤b ≤c 知x ≥1,y ≥1，所以(x -1)(y -1)(xy -1)≥0，得证．因为1<a ≤b ≤c ，所以ln a ln b ln c >0，(ln a -ln b )(ln b -ln c )(ln c -ln a )≥0所以log a b +log b c +log c a -log b a +log c b +log a c ≤0即log a b +log b c +log c a ≤log b a +log c b +log a c °【评注】若令x =ln a ，y =ln b ，z =ln c 则原不等式等价于：设0<x ≤y ≤z ，求证：x 2y +y 2z +z 2x ≤xy 2+yz 2+zx 2．7设函数f (x )=|lg (x +1)|，实数a ，b (a <b )满足f (a )=f -b +1b +2，f (10a +6b +21)=4lg2，求a 、b 的值．【分析】利用已知条件构建关于a 、b 的二元方程组进行求解．【解】因为f (a )=f -b +1b +2 ，所以|lg (a +1)|=lg -b +1b +2+1 =lg 1b +2=|lg (b +2)|所以，a +1=b +2或(a +1)(b +2)=1，又因为a <b ，所以a +1≠b +2，所以(a +1)(b +2)=1又由于0<a +1<b +1<b +2，于是0<a +1<1<b +2，所以(10a +6b +21)+1=10(a +1)+6(b +2)=6(b +2)+10b +2>1，从而f (10a +6b +21)=lg 6(b +2)+10b +2=lg 6(b +2)+10b +2，又f (10a +6b +21)=4lg2，所以lg 6(b +2)+10b +2 =4lg2，故6(b +2)+10b +2=16．解得b =-13或b =-1(舍去)．把b =-13代故(a +1)(b +2)=1，解得a =-25．所以，a =-25,b =-13．同步训练一、选择题1已知a 、b 是方程log 3x 3+log 27(3x )=-43的两个根，则a +b =()．A.1027B.481C.1081D.2881【答案】C ．【解析】原方程变形为log 33log 3(3x )+log 3(3x )log 327=-43，即11+log 3x +1+log 3x 3=-43．令1+log 3x =t ，则1t +t 3=-43，解得t 1=-1,t 2=-3．所以1+log 3x =-1或1+log 3x =-3，方程的两根分别为19和181，所以a +b =1081．故选C ．2已知函数f (x )=1a x -1+12x 2+bx +6(a ,b 为常数，a >1)，且f lglog 81000 =8，则f (lglg2)的值是()．A.8 B.4 C.-4 D.-8【答案】B ．【解析】由已知可得f lglog 81000 =f lg33lg2=f (-lglg2)=8，又1a -x -1+12=a x 1-a x +12=-1+11-a x +12=-1a x -1-12，令F (x )=f (x )-6，则有F (-x )=-F (x )．从而有f (-lglg2)=F (-lglg2)+6=-F (lglg2)+6=8，即知F (lglg2)=-2，f (lglg2)=F (lglg2)+6=4．3如果f (x )=1-log x 2+log x 29-log x 364，则使f (x )<0的x 的取值范围为()．A.0<x <1 B.1<x <83C.x >1D.x >83【答案】B ．【解析】显然x >0，且x ≠1．f (x )=1-log x 2+log x 29-log x 364=1-log x 2+log x 3-log x 4=log x 38x ．要使f (x )<0．当x >1时，38x <1，即1<x <83；当0<x <1时，38x >1，此时无解．由此可得，使得f (x )<0的x 的取值范围为1<x <83．应选B ．4若f (x )=lg x 2-2ax +a 的值域为R ，则a 的取值范围是()．A.0<a <1 B.0≤a ≤1 C.a <0或a >1 D.a ≤0或a ≥1【答案】D ．【解析】由题目条件可知，(0,+∞)⊆y |y =x 2-2ax +a ，故Δ=(-2a )2-4a ≥0，解得a ≤0或a ≥1．选D ．二、填空题5设f (x )=log 3x -4-x ，则满足f (x )≥0的x 的取值范围是．【答案】[3,4]．【解析】定义域(0,4]．在定义域内f (x )单调递增，且f (3)=0．故f (x )≥0的x 的取值范围为[3,4]．6设0<a <1，0<θ<π4，x =(sin θ)log asin θ，y =(cos θ)log atan θ，则x 与y 的大小关系为．【答案】x <y ．【解析】根据条件知，0<sin θ<cos θ<1，0<sin θ<tan θ<1，因为0<a <1，所以f (x )=log a x 为减函数，所以log a sin θ>log a tan θ>0，于是x =(sin θ)log a sin θ<(sin θ)log a tan θ<(cos θ)log a tan θ=y .7设f (x )=12x +5+lg 1-x 1+x ，则不等式f x x -12<15的解集为．【答案】1-174,0 ∪12,1+174．【解析】原不等式即为f x x -12<f (0)．因为f (x )的定义域为(-1,1)，且f (x )为减函数．所以-1<x x -12 <1x x -12 >0.解得x ∈1-174,0∪12,1+174．8设f (x )=11+2lg x +11+4lg x +11+8lg x ，则f (x )+f 1x =．【答案】3．【解析】f (x )+f 1x =11+2lg x +11+4lg x +11+8lg x +11+2-lg x +11+4-lg x +11+8-lg x =3．三、解答题9已知函数f (x )=a x +3a (a >0,a ≠1)的反函数是y =f -1(x )，而且函数y =g (x )的图像与函数y =f -1(x )的图像关于点(a ,0)对称．(1)求函数y =g (x )的解析式；(2)若函数F (x )=f -1(x )-g (-x )在x ∈[a +2,a +3]上有意义，求a 的取值范围．【解析】(1)由f (x )=a x +3a (a >0,a ≠1)，得f -1(x )=log a (x -3a )．又函数y =g (x )的图像与函数y =f -1(x )的图像关于点(a ,0)对称，则g (a +x )=-f -1(a -x )，于是，g (x )=-f -1(2a -x )=-log a (-x -a )，(x <-a )．(2)由(1)的结论，有F (x )=f -1(x )-g (-x )=log a (x -3a )+log a (x -a )．要使F (x )有意义，必须满足x -3a >0,x -a >0. 又a >0，故x >3a ．由题设F (x )在x ∈[a +2,a +3]上有意义，所以a +2>3a ，即a <1．于是，0<a <1．10设f (x )=log a (x -2a )+log a (x -3a )，其中a >0且a ≠1．若在区间[a +3,a +4]上f (x )≤1恒成立，求a 的取值范围．【解析】f (x )=log a x 2-5ax +6a 2=log a x -5a 2 2-a 24．由x -2a >0x -3a >0, 得x >3a ，由题意知a +3>3a ，故a <32，从而(a +3)-5a 2=-32(2-a )>0，故函数g (x )=x -5a 2 2-a 24在区间[a +3,a +4]上单调递增．若0<a <1，则f (x )在区间[a +3,a +4]上单调递减，所以f (x )在区间[a +3，a +4]上的最大值为f (a +3)=log a 2a 2-9a +9 ．在区间[a +3,a +4]上不等式f (x )≤1恒成立，等价于不等式loglog a 2a 2-9a +9 ≤1恒成立，从而2a 2-9a +9≥a ，解得a ≥5+72或a ≤5-72．结合0<a <1，得0<a <1．若1<a <32，则f (x )在区间[a +3,a +4]上单调递增，所以f (x )在区间[a +3,a +4]，上的最大值为f (a +4)=log a 2a 2-12a +16 ．在区间[a +3,a +4]上不等式f (x )≤1恒成立，等价于不等式log a 2a 2-12a +16 ≤1恒成立，从而2a 2-12a +16≤a ，即2a 2-13a +16≤0，解得13-414≤a ≤13+414．易知13-414>32，所以不符合．综上所述，a 的取值范围为(0,1)．11解方程组x x +y=y 12y x +y =x 3，(其中x ,y ∈R * ．【解析】两边取对数，则原方程组可化为(x +y )lg x =12lg y ①(x +y )lg y =3lg x ②把式①代入式②，得(x +y )2lg x =36lg x ，所以(x +y )2-36 lg x =0．由lg x =0，得x =1；代入式①，得y =1．由(x +y )2-36=0x ,y ∈R * 得x +y =6．代入式①得lg x =2lg y ，即x =y 2，所以y 2+y -6=0．又y >0，所以y =2,x =4．所以方程组的解为x 1=1y 1=1 ，x 2=4y 2=2 ．12已知f (x )=lg (x +1)-12log 3x ．(1)解方程f (x )=0；(2)求集合M =n f n 2-214n -1998 ≥0,n ∈Z 的子集个数．【解析】(1)任取0<x 1<x 2，则f x 1 -f x 2 =lg x 1+1 -lg x 2+1 -12log 3x 1-log 3x 2=lgx 1+1x 2+1-12log 3x 1x 2=lg x 1+1x 2+1-log 9x 1x 2，因为x 1+1x 2+1>x 1x 2，所以lg x 1+1x 2+1>lg x 1x 2．故f x 1 -f x 2 =lg x 1+1x 2+1-log 9x 1x 2>lg x 1x 2-lg x1x 2lg9，因为0<lg9<1，lg x 1x 2<0，所以f x 1 -f x 2 >lg x 1x 2-lg x1x 2=0，f (x )为(0,+∞)上的减函数，注意到f (9)=0，当x >9时，f (x )<f (9)=0；当<x <9时，f (x )>f (9)=0，所以f (x )=0有且仅有一个根x =9．(2)由f n 2-214n -1998 ≥0⇒f n 2-214n -1998 ≥f (9)所以n 2-214n -1998≤9n 2-214n -1998>0 ⇔n 2-214n -2007≤0n 2-214n -1998>0⇔(n -223)(n +9)≤0(n -107)2>1998+1072=13447>1152⇔-9≤n ≤223n >222或n <-8 ⇔⇔-9≤n ≤223n ≥223或n ≤-9 ，所以n =223或n =-9,M ={-9,223},M 的子集的个数是4．13已知a >0，a ≠1，试求使得方程log a (x -ak )=log a x 2-a 2 有解的k 的取值范围．【解析】由对数性质知，原方程的解x 应满足(x -ak )2=x 2-a 2x -ak >0x 2-a 2>0(1)(2)(3)若式(1)、式(2)同时成立，则式(3)必成立，故只需要解(x -ak )2=x 2-a 2x -ak >0.由式(1)可得2kx =a 1+k 2(4)当k =0时，式(4)无解；当k ≠0时，式(4)的解是x =a 1+k 2 2k ，代人式(2)，得1+k 22k>k ．若k <0，则k 2>1，所以k <-1；若k >0，则k 2<1，所以0<k <1．综上所述，当k ∈(-∞,-1)∪(0,1)时，原方程有解．14已知0.301029<lg2<0.301030，0.477120<lg3<0.477121，求20001979的首位数字．【解析】lg20001979=1979lg2000=1979(3+lg2)．所以6532.736391<lg20001979<6532.73837．故20001979为6533位数，由lg5=1-lg2,lg6=lg2+lg3，得0.698970<lg5<0.6989710.778149<lg6<0.778151⇒lg5<0.736391<0.73837<lg6,说明20001979的首位数字是5．15已知3a +13b =17a ，5a +7b =11b ，试判断实数a 与b 的大小关系，并证明之．【解析】令a =1，则13b =14,5+7b =11b ，可见b >1．猜想a <b ．下面用反证法证明：若a ≥b ，则13a ≥13b ,5a ≥5b ，所以17a =3a +13b ≤3a +13a ,11b =5a +7b ≥5b +7b ，即317 a +1317 a ≥1,511 b +711 b ≤1，而函数f (x )=317 x +1317 x和g (x )=511 x +711 x在R 上均为减函数，且f (1)=317+1317=1617<1≤f (a ),g (1)=511+711=1211>1≥g (b )．所以a <1,b >1．这与a ≥b 矛盾，故a <b ．16解不等式log 2x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1 <1+log 2x 4+1 ．【解析】原不等式等价于log 2x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1 <log 22x 4+2 ．由于y =log 2x 为单调递增函数，于是x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1<2x 4+2，两端同时除以x 6，并整理得2x2+1x 6>x 6+3x 4+3x 2+1+2x 4+2=x 2+1 3+2x 2+1 构造函数g (t )=t 3+2t ，则上述不等式转化为g1x2>g x 2+1 .显然g (t )=t 3+2t 在R 上为增函数．于是以上不等式等价于1x2>x 2+1，即x 2 2+x 2-1<0，解得x 2<5-12．故原不等式的解集为-5-12,5-12．。
指数函数幂函数对数函数知识点总结
指数函数幂函数对数函数知识点总结一.指数函数指数函数是一种特殊的函数形式，其中自变量位于指数的上方。
指数函数的一般形式为：$y=a^x$。
在指数函数中，底数$a$是一个正实数，且$a\ne q1$。
1.指数函数的性质指数函数的增长特性-：当底数$a$大于1时，指数函数呈现增长趋势，随着自变量$x$的增大，函数值$y$也随之增大。
当底数$a$在0和1之间时，指数函数则呈现递减趋势。
指数函数的定义域和值域-：指数函数的定义域为所有实数，即$(-\i nf ty,+\i nf ty)$。
根据底数$a$的不同，指数函数的值域也有所不同。
若底数$a>1$，则值域为$(0,+\in ft y)$；若底数$0<a<1$，则值域为$(-\in ft y,+\in fty)$。
指数函数的奇偶性-：当底数$a>0$且$a\n eq1$时，指数函数为奇数函数。
2.指数函数的图像指数函数的图像特点也与底数$a$的取值有关：-当底数$a>1$时，指数函数的图像呈现增长趋势，在原点左侧逐渐接近$y=0$轴，右侧逐渐趋近于正无穷。
-当底数$0<a<1$时，指数函数的图像呈现递减趋势，在原点左侧呈现正无穷，右侧逐渐接近$y=0$轴。
二.幂函数幂函数是指数函数的一种特殊形式，其中底数固定为正整数。
幂函数的一般形式为：$y=x^n$。
1.幂函数的性质幂函数的增长特性-：当指数$n$为正整数时，幂函数呈现增长趋势。
若$n$为奇数，则幂函数随自变量$x$的增大而增加；若$n$为偶数，则幂函数随着自变量$x$的增大或减小而增加。
幂函数的定义域和值域-：幂函数的定义域为所有实数，即$(-\i nf ty,+\i nf ty)$。
幂函数的值域则根据指数$n$的奇偶性而定。
若$n$为奇数，则值域为$(-\i nf ty,+\i nf t y)$；若$n$为偶数，则值域为$[0,+\in ft y)$。
指、对、幂函数
专题：指、对、幂函数一、知识点总结(0,,)()(0,,)()(0,0,)(01)1lo m n a n a r s r s a a a a r s Q r s rs a a a r s Q r r s ab a b a b r Q x y a a a x =+=>∈=>∈=>>∈=>≠=⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩为根指数，为被开方数分数指数幂指数的运算指数函数性质定义：一般地把函数且叫做指数函数。
指数函数性质：见表对数：基本初等函数对数的运算对数函数g ,log ()log log ;log log log ;.log log ;(0,1,0,0)log log (01)1log (,0,1,0)log c a c N a N a M N M N a a a M M N a a a N n M n M a a M N a a y x a a a b b a c a c b a ⋅=+=-=>≠>>=>≠⎧⎧⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪=>≠>⎪⎪⎩⎩⎧⎨⎩⎩为底数，为真数性质换底公式：定义：一般地把函数且叫做对数函数对数函数性质：见表且y x x αα⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧=⎪⎨⎪⎩⎩幂函数定义：一般地，函数叫做幂函数，是自变量，是常数。
性质：见表2对数运算公式1、x N N a a x=⇔=log ； 2、a aNa =log . 3、01log =a ，1log =a a .4、当0,0,1,0>>≠>N M a a 时： ⑴()N M MN a a a log log log +=；⑵N M N M a a a log log log -=⎪⎭⎫⎝⎛； ⑶M n M a na log log =. 5、换底公式：abb c c a log log log =()0,1,0,1,0>≠>≠>b c c a a . 6、ab b a log 1log =()1,0,1,0≠>≠>b b a a .二、课前热身1. 计算：33(lg 2)3lg 2lg5(lg5)++=_______________2. 若函数f (x )＝a |x －2|(a >0，a ≠1)满足f (1)＝13，则f (x )的单调递减区间是________3. 设a ＝⎝⎛⎭⎫3525，b ＝⎝⎛⎭⎫2535，c ＝⎝⎛⎭⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是_______________4. 方程|3x－1|＝k 有两解，则k 的范围为________5. 设1a >，函数log a y x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为12，则a =________ 6. 若函数f (x )＝xa －1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a =________7. 已知12,x x-+=则1122x x-+=8. 设)0(2)log (2>=x x f x ,则=)log (232f三、典例分析 例1：计算：（1）11203217(0.027)()(2)1)79----+-；（2）132123321().40.1()a b --- （3）2lg 225lg 5.02161.1230++-+-；（4）2log 43774lg 25lg 327log +++【变式演练】（1）已知1>>b a 且310log log =+a b b a ，求a b lob b a log -的值。
第6节 幂函数、指数函数、对数函数
第6节幂函数、指数函数、对数函数考试要求 1.了解幂函数的概念，掌握幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x12的图象和性质；2.理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用；3.理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象、性质及应用.知识梳理1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.(2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质2.指数函数及其性质(1)概念：函数y＝a x(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.(2)指数函数的图象与性质a >10<a<1 图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数3.对数函数及其性质(1)概念：函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.[常用结论与易错提醒]1.幂函数满足三个条件：(1)幂底是单自变量；(2)指数为常数；(3)系数为1.类似地指数函数、对数函数也分别满足三个条件.2.(1)幂函数图象的分布规律：作一直线x＝t>1，与幂函数交点在上面的幂函数的指数大；(2)指数函数图象的分布规律：作一直线x＝t>0，与指数函数交点在上面的指数函数的底数大；(3)对数函数图象的分布规律：作一直线y＝k>0，与对数函数交点在右边的对数函数的底数大.诊断自测1.判断下列说法的正误.(1)幂函数y＝x0与常值函数y＝1图象相同.()(2)函数y＝2x 13是幂函数.()(3)y＝2x－1是指数函数，y＝log a(x2＋1)(a>0，且a≠1)是对数函数.()(4)函数y＝ln x＋1x－1与y＝ln(x＋1)－ln(x－1)的定义域相同.()解析(1)错误，y＝1的图象去掉点(0，1)才是y＝x0的图象；(2)错误，因为x 13的系数不是1；(3)错误，y＝2x－1＝12·2x，2x前面的系数不为1，y＝log a(x2＋1)(a>0且a≠1)，真数为x2＋1而不是单自变量x.(4)错误，y＝ln x＋1x－1的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，而y＝ln(x＋1)－ln(x－1)的定义域为(1，＋∞)，故函数的定义域不同.答案(1)×(2)×(3)×(4)×2.(2019·浙江卷)在同一直角坐标系中，函数y＝1a x，y＝log a⎝⎛⎭⎪⎫x＋12(a>0，且a≠1)的图象可能是()解析 当0<a <1时，函数y ＝a x 的图象过定点(0，1)，在R 上单调递减， 于是函数y ＝1a x 的图象过定点(0，1)，在R 上单调递增，函数y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12的图象过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上单调递减.因此，选项D 中的两个图象符合.当a >1时，函数y ＝a x 的图象过定点(0，1)，在R 上单调递增， 于是函数y ＝1a x 的图象过定点(0，1)，在R 上单调递减，函数 y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12的图象过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上单调递增.显然A ，B ，C ，D 四个选项都不符合. 故选D. 答案 D3.(一题多解)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，且a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A.a >1，c >1B.a >1，0<c <1C.0<a <1，c >1D.0<a <1，0<c <1解析 法一 由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0<a <1.又当x ＝0时，y >0，即log a c >0，所以0<c <1.法二 由图可知，y ＝log a (x ＋c )的图象是由y ＝log a x 的图象向左平移c (c ＞0)个单位而得到的，其中0＜c ＜1，再根据单调性易知0＜a ＜1. 答案 D4.(2019·北京昌平区二模)已知幂函数f (x )＝x α(α是实数)的图象经过点(2，2)，则f (4)的值为________.解析 幂函数f (x )＝x α的图象过点(2，2)， 所以f (2)＝2α＝2，解得α＝12， 所以f (x )＝x 12，则f (4)＝4＝2. 答案 25.若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)x m 2－m －2的图象不经过原点，则实数m 的值为________.解析 由⎩⎨⎧m 2－3m ＋3＝1，m 2－m －2≤0，解得m ＝1或2.经检验m ＝1或2都适合. 答案 1或26.当a >0，且a ≠1时，函数f (x )＝a x －3－2必过定点________，其值域为________. 解析 函数f (x )＝a x －3－2的图象是将函数y ＝a x 的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到的.故函数f (x )＝a x －3－2必过定点(3，－1)，其值域为(－2，＋∞).答案 (3，－1) (－2，＋∞)考点一 幂函数【例1】 (1)(2018·上海卷)已知α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，12，1，2，3.若幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝________. (2)已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)x n 2－3n(n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( ) A.－3 B.1 C.2D.1或2解析 (1)由f (x )为奇函数，所以α＝－1，1，3，又在(0，＋∞)上为递减可知α＝－1.(2)∵幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)x n 2－3n在(0，＋∞)上是减函数，∴⎩⎨⎧n 2＋2n －2＝1，n 2－3n <0，∴n ＝1， 又n ＝1时，f (x )＝x －2的图象关于y 轴对称，故n ＝1. 答案 (1)－1 (2)B规律方法 (1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.【训练1】 (1)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝( )A.12B.1C.32D.2 (2)已知a ＝243，b ＝323，c ＝2513，则( ) A.b <a <c B.a <b <c C.b <c <aD.c <a <b(3)若(2m ＋1)12>(m 2＋m －1)12，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－5－12 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，＋∞C.(－1，2)D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，2解析 (1)由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32.(2)因为a ＝243＝423，b ＝323，c ＝523，又y ＝x 23在(0，＋∞)上是增函数，所以c >a >b . (3)因为函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，且在定义域内为增函数，所以不等式等价于⎩⎨⎧2m＋1≥0，m 2＋m －1≥0，2m ＋1>m 2＋m －1.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－12，m ≤－5－12或m ≥5－12，－1＜m ＜2，即5－12≤m <2.答案 (1)C (2)A (3)D 考点二 指数函数【例2】 已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值. 解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3，令u ＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7.在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的递增区间是(－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2). (2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13h （x ），由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.(3)由f (x )的值域是(0，＋∞)知，ax 2－4x ＋3的值域为R ，则必有a ＝0.规律方法 (1)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.(2)比较指数式的大小的方法是：①能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；②不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小；③当底数a 与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论.【训练2】 (1)(2020·杭州二中检测)已知0<a <b <1，则( ) A.(1－a )1b >(1－a )bB.(1－a )b>(1－a )b2 C.(1＋a )a >(1＋b )bD.(1－a )a >(1－b )b(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 13，x ≥8，2e x －8，x <8，则使得f (x )≤3成立的x 的取值范围是________.(3)若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________. 解析 (1)因为0<a <b <1，所以0<1－b <1－a <1，则(1－a )a >(1－a )b >(1－b )b ，故选D.(2)当x ≥8时，f (x )＝x 13≤3，∴x ≤27，即8≤x ≤27； 当x <8时，f (x )＝2e x －8≤3恒成立，故x <8. 综上，x ∈(－∞，27].(3)曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可知：如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1，1].答案 (1)D (2)(－∞，27] (3)[－1，1] 考点三 对数函数【例3】 已知函数f (x )＝log a (ax 2－x ). (1)若a ＝12，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在区间[2，4]上是增函数，求实数a 的取值范围.解 (1)当a ＝12时，f (x )＝log 12⎝⎛⎭⎪⎫12x 2－x ，由12x 2－x >0，得x 2－2x >0，解得x <0或x >2， 所以函数的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)， 结合图象可得函数的单调递减区间为(2，＋∞)， 单调递增区间为(－∞，0). (2)令g (x )＝ax 2－x ，则函数g (x )的图象为开口向上、对称轴为x ＝12a 的抛物线， ①当0<a <1时，要使函数f (x )在区间[2，4]上是增函数， 则g (x )＝ax 2－x 在[2，4]上单调递减，且g (x )min >0， 即⎩⎪⎨⎪⎧12a ≥4，g （4）＝16a －4>0，此不等式组无解. ②当a >1时，要使函数f (x )在区间[2，4]上是增函数， 则g (x )＝ax 2－x 在[2，4]上单调递增，且g (x )min >0， 即⎩⎪⎨⎪⎧12a ≤2，g （2）＝4a －2>0，解得a >12， 又a >1，所以a >1，综上可得a >1. 实数a 的取值范围为(1，＋∞).规律方法 (1)确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行.(2)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.(3)在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.【训练3】 (1)(2019·天津卷)已知a ＝log 52，b ＝log 0.50.2，c ＝0.50.2，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a <c <b B.a <b <c C.b <c <aD.c <a <b(2)(一题多解)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 C.(1，2) D.(2，2)(3)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|ln x |，0<x ≤10，f （20－x ），10<x <20.设方程f (x )＝t (t ∈R )的四个不等实根从小到大依次为x 1，x 2，x 3，x 4，则下列判断中错误的是( ) A.x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝40 B.x 1x 2＝1 C.x 3x 4＝361D.x 3x 4－20(x 3＋x 4)＋399＝0解析 (1)因为y ＝log 5x 是增函数，所以a ＝log 52<log 55＝0.5.因为y ＝log 0.5x 是减函数，所以b ＝log 0.50.2>log 0.50.5＝1.因为y ＝0.5x 是减函数，所以0.5＝0.51<c ＝0.50.2<0.50＝1，即0.5<c <1.所以a <c <b .故选A.(2)法一 由题意得，当0<a <1时，要使得4x <log a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x ≤12，即当0<x ≤12时，函数y ＝4x的图象在函数y ＝log a x 图象的下方.又当x ＝12时，412＝2，即函数y ＝4x 的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.把点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2代入y ＝log a x ，得a ＝22.若函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方，则需22<a <1(如图所示).当a >1时，不符合题意，舍去.所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1.法二 ∵当0＜x ≤12时，1＜4x ≤2，要使4x ＜log a x ， 必须2＜log a x ，∴⎩⎨⎧0＜a ＜1，log a a 2＜log ax ，即⎩⎨⎧0＜a ＜1，a 2＞x 对0＜x ≤12恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，a 2＞12，解得22＜a ＜1. (3)由题意知函数f (x )的图象关于直线x ＝10对称，且x 1＋x 4＝x 2＋x 3＝2×10，ln x 1＝－ln x 2，ln(20－x 3)＝－ln(20－x 4)，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝40，x 1＝1x 2，20－x 3＝120－x 4，化简得x 1x 2＝1，x 3x 4－20(x 3＋x 4)＋399＝0，故选C. 答案 (1)A (2)B (3)C基础巩固题组一、选择题1.已知α∈{－1，1，2，3}，则使函数y ＝x α的值域为R ，且为奇函数的所有α的值为( ) A.1，3 B.－1，1 C.－1，3D.－1，1，3解析 因为函数y ＝x α为奇函数，故α的可能值为－1，1，3.又y ＝x －1的值域为{y |y ≠0}，函数y ＝x ，y ＝x 3的值域都为R .所以符合要求的α的值为1，3. 答案 A2.(2019·浙江新高考仿真卷五)已知x ，y ∈R ，且x ＞y ＞0，若a ＞b ＞1，则一定有( )A.log a x ＞log b yB.sin a x ＞sin b yC.ay ＞bxD.a x ＞b y解析 当x ＞y ＞0，a ＞b ＞1时，由指数函数的性质易得a x ＞a y ＞b y ，故选D. 答案 D3.(一题多解)(2019·全国Ⅱ卷)若a >b ，则( ) A.ln(a －b )>0 B.3a <3b C.a 3－b 3>0D.|a |>|b |解析 法一 由函数y ＝ln x 的图象(图略)知，当0<a －b <1时，ln(a －b )<0，故A 不正确；因为函数y ＝3x 在R 上单调递增，所以当a >b 时，3a >3b ，故B 不正确；因为函数y ＝x 3在R 上单调递增，所以当a >b 时，a 3>b 3，即a 3－b 3>0，故C 正确；当b <a <0时，|a |<|b |，故D 不正确.故选C.法二 当a ＝0.3，b ＝－0.4时，ln(a －b )<0，3a >3b ，|a |<|b |，故排除A ，B ，D.故选C. 答案 C4.(2019·诸暨期末)若函数f (x )满足f (x )≤x 2且f (x )≤2x (x ∈R )，则( ) A.若f (a )≤b 2，则a ≥b B.若f (a )≤2b ，则a ≤b C.若f (a )≥b 2，则a ≤bD.若f (a )≥2b ，则a ≥b解析 若f (a )≥2b ，则由f (x )≤2x 得f (a )≤2a ，则2b ≤2a ，则a ≥b ，故选D. 答案 D5.若函数f (x )＝log a x (0＜a ＜1)在[a ，2a ]上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为( ) A.14B.22C.24D.12解析 因为0＜a ＜1，所以f (x )在[a ，2a ]上是减函数.所以f (x )max ＝f (a )＝log a a ＝1，f (x )min ＝f (2a )＝log a (2a )＝1＋log a 2，由题意知1＝3(1＋log a 2)，即log a 2＝－23， 所以a ＝24. 答案 C6.若a －2>a 2(a >0，且a ≠1)，则函数f (x )＝log a (x －1)的图象大致是( )解析 因为a －2>a 2(a >0且a ≠1)，所以0<a <1，则函数f (x )＝log a (x －1)的图象可以看作是由函数y ＝log a x 的图象向右平移一个单位长度得到的，观察各选项，只有C 选项符合，故选C.答案 C7.已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x).若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c ＝g(3)，则a，b，c的大小关系为()A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a解析因为f(x)是奇函数且在R上是增函数，所以当x>0时，f(x)>0，从而g(x)＝xf(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，20.8<2，又4<5.1<8，则2<log25.1<3，所以0<20.8<log25.1<3，g(20.8)<g(log25.1)<g(3)，所以b<a<c，故选C.答案 C8.(一题多解)(2018·全国Ⅲ卷)下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是()A.y＝ln(1－x)B.y＝ln(2－x)C.y＝ln(1＋x)D.y＝ln(2＋x)解析法一设所求函数图象上任一点的坐标为(x，y)，则其关于直线x＝1的对称点的坐标为(2－x，y)，由对称性知点(2－x，y)在函数f(x)＝ln x的图象上，所以y＝ln(2－x).故选B.法二由题意知，对称轴上的点(1，0)在函数y＝ln x的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A，C，D，选B.答案 B9.下列命题正确的是()A.若ln a－ln b＝a－3b，则a>b>0B.若ln a－ln b＝a－3b，则0<a<bC.若ln a－ln b＝3b－a，则a>b>0D.若ln a－ln b＝3b－a，则0<a<b解析若ln a－ln b＝3b－a，则a>0，b>0，所以ln a＋a＝ln b＋3b>ln b＋b，设f(x)＝ln x＋x，则易得函数f(x)＝ln x＋x在(0，＋∞)上单调递增，所以a>b>0，C正确，故选C. 答案 C 二、填空题10.(2018·上海卷)设常数a ∈R ，函数f (x )＝log 2(x ＋a ).若f (x )的反函数的图像经过点(3，1)，则a ＝________.解析 由题意可知f (x )经过(1，3)，log 2(1＋a )＝3，a ＝7. 答案 711.方程2x ＝2－x 的解的个数是________.解析 方程的解可看作函数y ＝2x 和y ＝2－x 的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象(如图).由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解. 答案 112.已知max{a ，b }表示a ，b 两数中的最大值.若f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}，则f (x )的最小值为________. 解析 f (x )＝⎩⎨⎧e x ，x ≥1，e |x －2|，x <1.当x ≥1时，f (x )＝e x ≥e(x ＝1时，取等号)， 当x <1时，f (x )＝e |x －2|＝e 2－x >e ， 因此x ＝1时，f (x )有最小值f (1)＝e. 答案 e13.设f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是________.解析 由f (x )是奇函数可得a ＝－1， ∴f (x )＝lg 1＋x1－x ，定义域为(－1，1).由f (x )<0，可得0<1＋x1－x<1，∴－1<x <0.答案 (－1，0)14.(2019·浙江三校三联)函数f (x )＝log 2(3－2x －x 2)，则f (x )的单调递增区间为________，值域为________.解析 令3－2x －x 2＞0得－3＜x ＜1，所以函数f (x )＝log 2(3－2x －x 2)的定义域为(－3，1).因为函数f (u )＝log 2u 在(0，＋∞)上单调递增，函数u (x )＝3－2x －x 2在(－3，－1)上单调递增，在(－1，1)上单调递减，所以函数f (x )＝log 2(3－2x －x 2)的单调递增区间为(－3，－1).由x ∈(－3，1)得u (x )∈(0，4]，所以f (u )＝log 2u ∈(－∞，2]，故f (x )的值域为(－∞，2]. 答案 (－3，－1) (－∞，2]能力提升题组15.(2016·浙江卷)已知函数f (x )满足：f (x )≥|x |且f (x )≥2x ，x ∈R .( ) A.若f (a )≤|b |，则a ≤b B.若f (a )≤2b ，则a ≤b C.若f (a )≥|b |，则a ≥b D.若f (a )≥2b ，则a ≥b解析 由题意得f (a )≥|a |，∴A 项中由不等式传递性可知|a |≤|b |，不能得到a ≤b ，A 错误.∵f (a )≥2a ，∴B 项中有2a ≤f (a )≤2b ，∴a ≤b ，故B 正确.C ，D 选项无法确定.故选B. 答案 B16.(2020·浙江新高考仿真卷一)已知f (x )＝log a (x 2－ax ＋3)(a ＞0，a ≠1)满足：对任意x 1，x 2∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，a 2，不等式f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0恒成立，则a 的取值范围是( )A.(1，＋∞)B.(1，23)C.(23，＋∞)D.(0，1)解析 因为对任意x 1，x 2∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，a 2，不等式f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0恒成立，则在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，a 2上单调递减，由x 2－ax ＋3在x ＝a 2上有意义，且为最小值知函数f (x )的定义域为R ，由(－a )2－4×3＜0解得－23＜a ＜23，又因为a 为对数函数的底数，函数f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，a 2上单调递减，函数y ＝x 2－ax ＋3在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，a 2上单调递减，所以函数y ＝log a x 在定义域上单调递增，所以1＜a ＜23，即实数a 的取值范围为(1，23)，故选B. 答案 B17.(2020·嵊州适考)已知函数f (x )＝|ln x |＋x ，若f (x 1)＝f (x 2)，其中x 1≠x 2，则( ) A.x 1＋x 2<2 B.x 1＋x 2>2 C.1x 1＋1x 2<2 D.1x 1＋1x 2>2解析 根据题意不妨设0<x 1<1<x 2，则由f (x 1)＝f (x 2)，得－ln x 1＋x 1＝ln x 2＋x 2，即ln x 2＋ln x 1＝ln(x 1x 2)＝x 1－x 2<0，所以0<x 1x 2<1.因为x 1＋x 2>2x 1x 2，所以1x 1＋1x2＝x 1＋x 2x 1x 2>2x 1x 2>2，故选D.答案 D18.已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a 的取值范围是________.解析 当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1，2]上是减函数，由f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，则f (x )min ＝log a (8－2a )>1， 解之得1<a <83.若0<a <1时，f (x )在[1，2]上是增函数， 由f (x )>1在区间[1，2]上恒成立， 则f (x )min ＝log a (8－a )>1，且8－2a >0. ∴a >4，且a <4，故a 不存在. 综上可知实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，8319.(2018·上海卷)已知常数a ＞0，函数f (x )＝2x 2x ＋ax的图象经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ，65、Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫q ，－15，若2p ＋q ＝36pq ，则a ＝________. 解析 由题意知2p 2p ＋ap ＋2q2q ＋aq ＝1，∴2p ＋q ＝a 2pq ＝36pq ，∴a ＝6.答案 620.若f (x )＝a （2x ＋1）－22x ＋1是R 上的奇函数，则实数a 的值为________，f (x )的值域为________.解析 ∵函数f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0， ∴2a －22＝0，解得a ＝1，f (x )＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1.∵2x ＋1>1，∴0<22x ＋1<2，∴－1<1－22x ＋1<1，∴f (x )的值域为(－1，1). 答案 1 (－1，1)。
高中数学第6章幂函数、指数函数和对数函数6.1幂函数高一第一册数学
堂 小
导
学
(1)求幂函数的定义域，再判定奇偶性；
结 提
探
新 知
(2)先研究第一象限的图象与性质，再根据奇偶性(对称性)研究
素 养
其它象限的图象．
课
合
时
作
2．幂函数在第一象限的图象与性质
分
探
层
究 释
(1)α>0，幂函数的图象恒经过(0,0)，(1,1)，在[0，＋∞)是增函
作 业
疑
难 数．
返
首
12/9/2021
课 堂 小
导
结
学 探 新 知
∴1312>1412．
提 素 养
(2)∵y＝x－1是(－∞，0)上的减函数， 课
合 作 探
且－23<－35，
时 分 层
究
作
释 疑 难
∴－23－1>－53－1．
业
返
首
12/9/2021
页
第二十一页，共五十五页。
课
情 景 导 学
(3)0.25－14＝14－14＝212，
堂 小 结 提
返 首 页
第五页，共五十五页。
2．幂函数的图象和性质
课
情
堂
景
小
导
结
学
提
探
新
素
知
养
课
合
时
作
分
探
层
究
作
释
业
疑
难
返
首
12/9/2021
页
第六页，共五十五页。
课
情
堂
景
小
导
结
学
提
高考复习-指、对、幂函数的综合应用
指、对、幂函数的综合应用知识集结知识元指数与指数函数知识讲解1．函数的最值及其几何意义【知识点的认识】函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．【解题方法点拨】①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8；②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较．【命题方向】本知识点是常考点，重要性不言而喻，而且通常是以大题的形式出现，所以务必引起重视．本知识点未来将仍然以复合函数为基础，添加若干个参数，然后求函数的定义域、参数范围或者满足一些特定要求的自变量或者参数的范围．常用方法有分离参变量法、多次求导法等．2．指数函数的定义、解析式、定义域和值域【知识点归纳】指数函数的解析式、定义、定义域、值域1、指数函数的定义：一般地，函数y＝a x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）．2、指数函数的解析式：y＝a x（a＞0，且a≠1）3、理解指数函数定义，需注意的几个问题：①因为a＞0，x是任意一个实数时，a x是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．②规定底数a大于零且不等于1的理由：如果a＝0，当x＞0时，a x恒等于0；当x≤0时，a x无意义；如果a＜0，比如y＝（﹣4）x，这时对于x ＝，x ＝在实数范围内函数值不存在．如果a＝1，y＝1x＝1是一个常量，对它就没有研究的必要，为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1．3．指数函数的图象与性质【知识点的认识】1、指数函数y＝a x（a＞0，且a≠1）的图象和性质：y＝a x a＞1 0＜a＜1图象定义域R值域（0，+∞）性质过定点（0，1）当x＞0时，y＞1；x＜0时，0＜y＜1 当x＞0时，0＜y＜1；x＜0时，y＞1在R上是增函数在R上是减函数2、底数对指数函数的影响：①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a＞l时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y轴；同样地，当0＜a＜l时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x轴．②底数对函数值的影响如图．③当a＞0，且a≠l时，函数y＝a x与函数y＝的图象关于y轴对称．3、利用指数函数的性质比较大小：若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较：若底数不同而指数相同，用作商法比较；若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值．4．指数型复合函数的性质及应用【知识点归纳】指数型复合函数性质及应用：指数型复合函数的两个基本类型：y＝f（a x）与y＝a f（x）复合函数的单调性，根据“同增异减”的原则处理U＝g（x）y＝a u y＝a g（x）增增增减减增增减减减增减．例题精讲指数与指数函数例1.已知函数f（x）=e x-a+e-x+a（其中e是自然对数的底数）．若3a=log3b=c，且c>1，则（）A．f（a）<f（b）<f（c）B．f（b）<f（c）<f（a）C．f（a）<f（c）<f（b）D．f（c）<f（b）<f（a）例2.设平行于x轴的直线l分别与函数y=2x和y=2x+1的图象相交于点A，B，若函数y=2x的图象上存在点C，使得△ABC为等边三角形，则这样的直线l（）A．不存在B．有且只有一条C．至少有两条D．有无数条例3.若函数y=a x+b-1（a>0且a≠1）的图象经过一、三、四象限，则正确的是（）A．a>1且b<1B．0<a<1且b<0C．0<a<1且b>0D．a>1且b<0对数与对数函数知识讲解1．函数的定义域及其求法【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围．求解函数定义域的常规方法：①分母不等于零；②根式（开偶次方）被开方式≥0；③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1；④指数为零时，底数不为零．⑤实际问题中函数的定义域；【解题方法点拨】求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组．（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）．（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在．（4）抽象函数的定义域：①对在同一对应法则f下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范围．【命题方向】高考会考中多以小题形式出现，也可以是大题中的一小题．2．对数函数的定义域【知识点归纳】一般地，我们把函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．3．对数函数的图象与性质【知识点归纳】例题精讲对数与对数函数例1.已知a=2-0.3，b=log20.3，c=log0.50.3，则（）A．a>b>c B．a>c>bC．c>b>a D．c>a>b例2.已知函数f（x）在R上是增函数，设，则下列不等式成立的是（）A．f（b）>f（a）>f（c）B．f（c）>f（a）>f（b）C．f（c）>f（b）>f（a）D．f（a）>f（c）>f（b）例3.设，则下列正确的是（）A．a>c>b B．c>a>bC．c>b>a D．a>b>c幂函数知识讲解1．幂函数的概念、解析式、定义域、值域【知识点归纳】幂函数的定义：一般地，函数y＝x a叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．解析式：y＝x a＝定义域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：1．如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；2．如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数．当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：1．在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数．2．在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数．而只有a为正数，0才进入函数的值域．由于x大于0是对a的任意取值都有意义的．2．幂函数的图象【知识点归纳】3．幂函数的性质【知识点归纳】所有的幂函数在（0，+∞）上都有各自的定义，并且图象都过点（1，1）．（1）当a＞0时，幂函数y＝x a有下列性质：a、图象都通过点（1，1）（0，0）；b、在第一象限内，函数值随x的增大而增大；c、在第一象限内，a＞1时，图象开口向上；0＜a＜1时，图象开口向右；d、函数的图象通过原点，并且在区间[0，+∞）上是增函数．（2）当a＜0时，幂函数y＝x a有下列性质：a、图象都通过点（1，1）；b、在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图象开口向上；c、在第一象限内，当x从右趋于原点时，图象在y轴上方趋向于原点时，图象在y轴右方无限逼近y轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴．（3）当a＝0时，幂函数y＝x a有下列性质：a、y＝x0是直线y＝1去掉一点（0，1），它的图象不是直线．4．幂函数的单调性、奇偶性及其应用【知识点归纳】一、幂函数定义：一般地，函数y＝x a（a∈R）叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．（1）指数是常数；（2）底数是自变量；（3）函数式前的系数都是1；（4）形式都是y＝x a，其中a是常数．二、幂函数与指数函数的对比式子名称a x y指数函数：y＝a x底数指数幂值幂函数：y＝x a指数底数幂值三、五个常用幂函数的图象和性质（1）y＝x；（2）y＝x2；（3）y＝x3；（4）y＝；（5）y＝x﹣1y＝x y＝x2y＝x3y＝y＝x﹣1定义域R R R[0，+∞）{x|x≠0} 值域R[0，+∞）R[0，+∞）{y|y≠0} 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0，+∞）时，增x∈（﹣∞，0]时，减增增x∈（0，+∞）时，减x∈（﹣∞，0）时，减公共点（1，1）（0，（1，1）（0，（1，1）（0，（1，1）（0，（1，1）0）0）0）0）四、幂函数的性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且函数图象都通过点（1，1）．（2）如果a＞0，则幂函数的图象过点（0，0），（1，1），并在[0，+∞）上为增函数．（3）如果a＜0，则幂函数的图象过点（1，1），并在（0，+∞）上为减函数．（4）当a为奇数时，幂函数为奇函数，当a为偶数时，幂函数为偶函数．例题精讲幂函数例1.若幂函数y=f（x）的图象过点，则f（x）在定义域内（）A．有最小值B．有最大值C．为减函数D．为增函数例2.已知函数f（x）=log a（x-+1）+2（a>0，a≠1）的图象经过定点P，且点P在幂函数g （x）的图象上，则g（x）的表达式为（）A．g（x）=x2B．C．g（x）=x3D．例3.已知y=（m2+m-5）x m是幂函数，且在第一象限是单调递减的，则m的值为（）A．-3 B．2 C．-3或2 D．3当堂练习单选题练习1.幂函数f（x）的图象经过点A（4，2），B（8，m），则m=（）A．4 B．2C．2 D．练习2.已知函数f（x）=（m2-m-1）x是幂函数，且其图象与两坐标轴都没有交点，则实数m=（）A．-1 B．2 C．3 D．2或-1练习3.已知幂函数f（x）过点（2，4），则f（3）的值为（）A．6 B．8 C．9 D．12练习4.幂函数f（x）=xα的图象经过点，则f（3）=（）C．3 D．-3A．B．练习5.若幂函数f（x）=（m2-3m-3）x m在（0，+∞）上为增函数，则实数m=（）A．4 B．-1 C．2 D．-1或4练习6.若幂函数f（x）=x n的图象经过点（2，），则f（4）=（）A．-B．C．D．2练习7.若函数f（x）=（m+2）x a是幂函数，且其图象过点（2，4），则函数g（x）=log a（x+m）的单调增区间为（）A．（-2，+∞）B．（1，+∞）C．（-1，+∞）D．（2，+∞）填空题练习1.若P（2，8）在幂函数f（x）的图象上，则f（3）=____．练习2.若幂函数y=（k-2）x m-1（k，m∈R）的图象过点（），则k+m=___．练习3.已知幂函数f（x）=xα（0<α<1）满足，则f（4）=___．练习4.若点P（2，4），Q（3，y0）均在幂函数y=f（x）的图象上，则实数y0=___．练习5.若f（x）=（m-1）2x m是幂函数且在（0，+∞）单调递增，则实数m=___．练习6.若f（x）为幂函数，且满足，则f（3）=___．解答题练习1.'已知a∈R，函数f（x）=log2（a+）。
指数函数,对数函数与幂函数
指数函数,对数函数与幂函数1.指数函数指数函数是数学中一个非常重要的概念，在许多自然科学和社会科学领域都有广泛的应用。
指数函数的一般形式为f(x)=a^x，其中a为底数，x为指数。
指数函数的特点是底数和指数的变化会对函数图像产生显著的影响。
1.1底数变化对图像的影响当底数a>1时，指数函数的图像呈现出“增长”的趋势，具有上凸的形状；当0<a<1时，指数函数的图像则呈现出“衰减”的趋势，具有下凸的形状。
1.2指数变化对图像的影响当指数x增大时，可以看出指数函数的值迅速增加或减小，这就是指数函数的“指数增长”或“指数衰减”。
这种增长或衰减速度是非常快的，甚至可以说是“爆炸性的”。
1.3应用举例指数函数在自然科学中应用非常广泛，例如在化学反应中，我们可以利用指数函数来描述反应速率的变化；在生物学中，指数函数可用于描述生物种群的增长和衰减趋势；在工程学中，指数函数也可以用来表示物体的温度、光强度等特征随时间变化的规律。
2.对数函数对数函数是数学中另一个非常重要的概念。
对数函数的一般形式为y=loga x，其中a为底数，x为被求对数的数，而y则表示底数为a时，x的对数值。
对数函数与指数函数是非常相关的，因为两者是互相反转的运算。
2.1底数变化对图像的影响当底数a>1时，对数函数的图像增长非常缓慢，在x轴右侧有一个水平的渐近线；当0<a<1时，对数函数的图像下降非常缓慢，在x轴右侧也有一个水平的渐近线。
2.2负数和零的情况在对数函数中，负数和零都是没有意义的，因为无法把它们表示为任何正数的幂，也无法得到它们的对数值。
因此，在对数函数中只考虑正数。
2.3应用举例对数函数在实践中也有广泛的应用。
例如在物理学中，对数函数可用于描述声音的强度、光线的亮度、辐射的强度等特征的变化；在金融学中，对数函数可以用来计算资金的复利增长；在计算机科学中，对数函数的底数通常为2，被广泛用于算法的时间复杂度分析等方面。
幂函数、指函数与对函数
y=x2 y=x3 y x 2 y=x-1
定义域 R
R
R [0, ) x | x 0
值 域 R [0, ) R [0, )y | y 0
单调性
奇偶性 奇 偶 奇 非 奇
定点
(0,0)，(1,1)
(1,1)
•
小结一下幂函数的性质
幂函数的性质
0
1.求值：
（1）16
3 4
(
1
3
)2
25
解题回顾
•
（2）
lg 4 2 lg 5 lg 1 lg 5
2
1. 熟练掌握指数、对数的运算性质； 2.指数、对数的运算是同底的运算；
二、例题探究：
例
1：已知 x
3
1 3
1
2x
1 3
，求
x
的取值范围。
问题：观察不等式的结构 特• 点，确定你的解
不经过原点，则 m 的取值范围是 .
•
问题：（1）如何理解幂函数的图像不经过原点？
（ 2 ） 问 题 的 等 价 与 m2 m 2 0 还 是
m2 m 2 0
（3）如何保证 y m2 3m 3 xm2m2 是幂函数？
一、课前热身：
4、函数 f x ax3 2 的图像恒过一个定点，
四个值，则相应图象 依次是__________
一、课前热身：
1、已知 log3 x 1 log9 x 5, 求 x 的值。
问题：(1)本题的解题方向 是• 什么？ log9 x 12 log9 x 5
(2)解出的解是否一定适合题意；为什么？
总结：处理对数（指数）不等式（方程）一
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
((3 4))llo og gaa bNlolloo g1ggbbbaN a((5换 )l底 og公 am式 bn)m nlogab
5
基础再现 2.函数 y m2x n是指数函数，则 m { 1 } ，n { 0 } ．
知识回顾
y = 2x+1 y = 2lg x
21
例题精析
题型二：指数、对数函数性质的应用
（1）ab,ab,aa(0ab1)的大小顺序是 ab aa ab
( 2 ) 三个数60.7，0.76，log0.76的大小顺序是________
log0.76 < 0.76< 60.7
指数的运算法则
知 aman a mn
识 (am )n a m n
回 顾
(ab)n a nb n
m
a n n am
对数的运算法则
同
底 运
logaMlogaNloga (MN)
算
logaMlogaNl o g a
M N
loga M n n loga M
对数还有几个恒等式呢!你知道吗？
(M ,N ,a ,b 都 是 正 数 ,且 a ,b 1 )
这个定点为 从两个方向上理解： （1）从数的角度看： （2）从形的角度看：
17
变式训练：已知函数 y log a x b的图像如下
图所示，则 ab 。
y
1
-2 o
x
引申：对一切不为 1 的正实数 a ，函数
y a x21 a 的图像恒过定点的个数为 个
18
例题精析
题型一：指数、对数的运算
13
补充练习：（冲刺 3 第 2 题）
已知函数 y log 3 3x2 ax 5在 1,上是增函
数，则实数 a 的取值范围是 。
问题：是否等价为
a 6
1？为什么？
14
2、30讲课前热身3
y
y x2
1
O
1
y x
y x2
x
15
一、课前热身：
3、如果幂函数 y m2 3m 3 xm2m2 的图像
的， 得 x 3 1 2x ，
解法
2：根据函数
y
1
x3
在 ,0和 0, 上是递
减得 1） 或 2） x 3 1 2x 1 2x 0
x 3 1 2x x 3 0
20
总结：（1）解决有关函数性质题时，能画出 图像的尽可能的画出图像，可以利用图像帮 助自己理解数学符号语言； （2）分类讨论时要遵循不重不漏的原则。
(2)解出的解是否一定适合题意；为什么？
总结：处理对数（指数）不等式（方程）一 般方法：化同底利用单调性（注意定义域）.
12
一、课前热身： 2、函数 y 2x2ax1在区间 ,3内递增，则 a
的取值范围是 。
实质是什么？ （2）是否等价与函数 y 2x2ax1的单调递增
区间是 ,3？
（3）两者有何联系？
单调性
奇偶性 奇
偶奇非 奇
定点
(0,0)，(1,1)
(1 ,1 ) 8
9
小结一下幂函数的性质
0
0
图象通过点 图象通过点
幂
函 (0,0)，(1,1) (1,1)
数 的
在第一象限内， 在第一象限内，
性 质
函数单调递增
函数单调递减
在第一象限内，
图象向上与y轴无
限接近，向右与x
轴无限接近
10
拓展探究题
大家好
1
幂函数、指数函数与对数函数
2
考纲要求
✓理解有理指数幂的含义；掌握幂的运算 ✓理解对数的概念及其运算性质； ✓理解指数函数、对数函数的图象与性质, 并会简单的应用. ✓了解幂函数的概念，了解五种基本幂函 数的图象及变化情况
3
基础再现
1a ．指b (((1324化 )))数3lN l简5gga对a5x：z y2数42lao0的b2g 1 l2互g1lxo 0化g aaalgN 56 lyo1 g522lg 0变范z（形围（用对引变用lo对数g起化lag数的Nx式、 换lg表l底looygg示公、 bblNag）式z表示）
不经过原点，则 m 的取值范围是 .
问题：（1）如何理解幂函数的图像不经过原点？ （ 2 ） 问 题 的 等 价 与 m2 m 2 0 还 是
m2 m 2 0
（3）如何保证 y m2 3m 3 xm2m2 是幂函数？
16
一、课前热身：
4、函数 f x ax3 2 的图像恒过一个定点，
单调性 减函数 增函数
奇偶性
非奇非偶函数
减函数 增函数 非奇非偶函数 7
（3）几个常见幂函数的图象和性质
在同一坐标系下作出下列函数的图象
1
yx,yx2,yx3,yx2,yx1并填写下表。
函 数 y=x
定义域 R
y=x2
1
y=x3 y x 2 y=x-1
R
R [0, ) x | x 0
值 域 R [0, ) R [0, )y| y 0
图象 （描点）
y 0<a<1
1
0
y a>1
1
x
0
y = log a x ( a > 0, a≠1)
y 0<a<1
y a>1
x
01
x
01
x
定义域
R
(0 , +∞)
值域
(0 , +∞)
R
定点
都过点(0,1)
都过点(1,0)
范围
x<0时,y>1；x>0时,y>1；0<x<1时y>0 0<x<1时y<0 x>0时0<y<1 x<0时0<y<1 x>1时,y<0 x>1时,y>0
1.如图所示，是幂函数y=xα在第一象 限内的图象，已知α分别取 1 , 4 , 2 ,1
233 四个值，则相应图象 依次是__________
11
一、课前热身：
1、已知 log3 x 1 log9 x 5, 求 x 的值。
问题：(1)本题的解题方向是什么？ lo 9xg 1 2lo 9xg 5
y = e-x
一般地，函数 y = a x (a＞0，且 a≠1)叫做指数函数．
函数 y = log a x (a＞0，且a≠1)叫做对数函数． 常用对数: y = log10 x = lg x 自然对数: y = loge x = ln x
6
基础再现
3．完成下列图表：指对数函数的性质
解析式 y = a x ( a > 0, a≠1)
1.求值：
3
（1）1 6 4
(
1
3
)2
25解Leabharlann 回顾（2）lg lg
4 1
2
l
lg g
5 5
2
1. 熟练掌握指数、对数的运算性质； 2.指数、对数的运算是同底的运算；
19
二、例题探究：
例
1：已知 x
1
33
1
1
2x3
，求
x
的取值范围。
问题：观察不等式的结构特点，确定你的解
题方向是什么？
1
解法 1：根据函数 y x 3 在其定义域内是递减