江苏省苏锡常镇四市2020届高三数学教学情况调研试题(一)

苏锡常镇四市2020届高三教学情况调研（一）
数学Ⅰ试题
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。

1.已知i 为虚数单位，复数1
1z i
=
+，则｜z ｜= 2.已知集合A ={x ｜0≤x ≤1}，B ={x ｜a -1≤x ≤3}，若A ⋂B 中有且只有一个元素，则实数a 的值为 3.已知一组数据1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是
4.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22
21(0)4
x y a a -
=>的一条渐近线 方程为2
3
y x =
，则a = 5.甲乙两人下棋，两人下成和棋的概率是
12，乙获胜的概率是1
3
，则乙不输的概率是 6.右图是一个算法的流程图，则输出的x 的值为
7.“直线l 1:ax +y +1=0与直线l 2:4x +ay +3=0平行”是“a =2”的 条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”） 8.已知等差数列{a n }的前n 项和为Sn ，a 1=9，
95
95
S S -＝－4，则a n = 9.已知点M 是曲线y =2ln x +x 2
-3x 上一动点，当曲线在M 处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程为
10.已知3cos2α＝4sin(
4
π
－α)，α∈(,4ππ)，则sin2α=
11.如图在矩形ABCD 中，E 为边AD 的中点，AB =1，BC =2.分别以A ，D 为圆心，1为半径作圆弧EB ，
EC ，将两圆弧EB ，EC 及边BC 所围成的平面图形（阴影部分）绕直线AD 旋转一周，所形成的几何体的体积为
12.在∆ABC 中，
，若角A 的最大值为
6
π
，则实数λ的值是 13.若函数f (x )=a x
(a >0且a ≠1)在定义域[m ，n ]上的值域是[m 2
，n 2
](1<m <n )，则a 的取值范围是 14.如图，在∆ABC 中，AB =4，D 是AB 的中点，E 在边AC 上，AE =2EC ，CD 与BE 交于点O ，若OB =2OC ，则∆ABC 面积的最大值为
二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（本小题满分14分）
在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，且满足b cos A 3sin B =0 （1）求A ；
（2）已知a =3B =3
π
，求∆ABC 的面积.
16.（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BD⊥BC，∆PCD为正三角形，平面PCD⊥平面ABCD，E为PC的中点.
（1）证明：AP∥平面EBD；
（2）证明：BE⊥PC.
17.（本小题满分14分）
某地为改善旅游环境进行景点改造.如图，将两条平行观光道l1和l2通过一段抛物线形状的栈道AB连通（道路不计宽度），l1和l2所在直线的距离为0.5（百米），对岸堤岸线l3平行于观光道且与l2相距1.5（百米）（其中A为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于l3，且交l3于M），在堤岸线l3上的E，F两处建造建筑物，其中E，F到M的距离为1（百米），且F恰在B的正对岸（即BF⊥l3）.
（1）在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道AB的方程；
（2）游客（视为点P）在栈道AB的何处时，观测EF的视角（∠EPF）最大？请在（1）的坐标系中，写出观测点P的坐标.
18.（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1
2
，
且经过点（1，
3
2
），A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，过左焦点F 的直线l 交椭圆C 于D ，E 两点（其中D 在x 轴上方）. （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若∆AEF 与∆BDF 的面积比为1:7，求直线l 的方程.
19.（本小题满分16分） 已知函数f (x )=
23
x 3-mx 2+m 2
x （m ∈R ）的导函数'()f x （1）若函数g (x )=f (x )- '()f x 存在极值，求m 的取值范围；
（2）设函数h (x )= '()'(ln )x
f e f x +f '(ln x )（其中e 为自然对数的底数），对任意m ∈R ，若关于x 的不等式h (x )≥m 2
+k 2
在（0，＋∞）上恒成立，求正整数k 的取值集合.
20.（本小题满分16分） 已知数列{a n }，{b n }，数列{c n }满足
（1）若a n =n ，b n =2n ，求数列{c n }的前2n 项和T 2n ；
（2）若数列{a n }为等差数列，且对任意n ∈N *，c n +1>c n 恒成立. ①当数列{b n }为等差数列，求证：数列{a n }，{b n }的公差相等；
②数列{b n }能否为等比数列？若能，请写出所有满足条件的数列{b n }；若不能，请说明理由.
2019年~2020学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一） 数学Ⅱ（附加题）
A .选修4-2；矩阵与变换（本小题满分10分） 已知矩阵
，且二阶矩阵M 满足AM =B ，求M 的特征值及属于各特征值的一
个特征向量。

B.选修4-4；坐标系与参数方程（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy中，曲线l的参数方程为，以原点O为
极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ。

（1）求曲线C的普通方程；
（2）求曲线l和曲线C的公共点的极坐标。

C.选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）
已知正数x，y，z满足x+y+z=t（t为常数），且
22
2
49
x y
z
++的最小值为
8
7
，求实数t的值。

22.（本小题满分10分）
某商店举行促销反馈活动，顾客购物每满200元，有一次抽奖机会（即满200元可以抽奖一次，满400元可以抽奖两次，依次类推）。

抽奖的规则如下：在一个不透明口袋中装有编号分别为1，2，3，4，5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球编号一次比一次大（如1，2，5），则获得一等奖，奖金40元；若摸得的小球编号一次比一次小（如5，3，1），则获得二等奖，奖金20元；其余情况获得三等奖，奖金10元. （1）某人抽奖一次，求其获奖金额X的概率分布和数学期望;
（2）赵四购物恰好满600元，假设他不放弃每次抽奖机会，求他获得的奖金恰好为60元的概率.
23.（本小题满分10分）
已知抛物线C:x2=4py（p为大于2的质数）的焦点为F，过点F且斜率为k(k≠0)的直线交C于A，B 两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点E，抛物线C在点A，B处的切线相交于点G.记四边形AEBG 的面积为S.
（1）求点G的轨迹方程；
（2）当点G的横坐标为整数时，S是否为整数？若是，请求出所有满足条件的S的值；若不是，请说明理由.
参考答案
12、3 13、14、
15、
16、
17、。