2模数学(新课标理)
2013届高三模拟试卷(二)数 学(理科)领航教育数学命题组本卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分㊂总分150分㊂考试时间120分钟㊂第Ⅰ卷(选择题,共60分)一㊁选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设P ={y |y =-x 2+1,x ɪR },Q ={y |y =2x,x ɪR },则( )A.P ⊆Q B .Q ⊆P C .C R P ⊆Q D.Q ⊆C R P2.已知复数z =1+2i 1-i ,则1+z +z 2+ +z2012为( )A.1+i B .1-i C .i D.13.若方程l n x +x -4=0在区间(a ,b )(a ,b ɪZ ,且b -a =1)上有一根,则a 的值为( )A.1B .2C .3D.44.已知等差数列{a n }中,a 7+a 9=16,s 11=992,则a 12的值是( )A.15B .30C .31 D.645.已知锐角α的终边上一点P (s i n 40ʎ,1+c o s 40ʎ),则α等于( )A.10ʎB .20ʎC .70ʎ D.80ʎ6.一个正方体的展开图如图所示,A ㊁B ㊁C ㊁D 为原正方体的顶点,则在原来的正方体中( )A.A B ʊC D B .A B 与C D 相交C .A B ʅC DD.A B 与C D 所成的角为60ʎ7.给出下列命题:①函数y =l n (2c o s 2x -1)在区间[-π3,0]是递增函数②函数f (x )=2x -x2的零点有3个③函数y =s i n x (x ɪ[-π,π])图象与x 轴围成的图形的面积是S =ʏπ-πs i n x d x④若ξ~N (1,σ2),且P (0ɤξɤ1)=0.3,则P (ξȡ2)=0.2其中真命题的序号是( )A.②④B .①②C .①④ D.②③④8.已知实数x ,y 满足x ȡ1x +y ɤ4a x +b y +c ɤìîíïïï,且目标函数z =2x +y 的最大值为6,最小值为1,其中b ʂ0,则c b的值为( )A.4B .3C .2 D.19.直线l 的方向向量为ңn =(4,3)且过抛物线x 2=4y 的焦点,则直线l 与抛物线围成的封闭图形面积为( )A.858B .12524C .12512 D.3852410.设抛物线M :y 2=2p x (p >0)的焦点F 是双曲线N :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)右焦点.若M 与N 的公共弦A B 恰好过F ,则双曲线N 的离心率e 的值为( )A.2B .2+1C .3+2 D.211.将1,2,3, ,9这9个数字填在如图的9个空格中,要求每一行从左到右,每一列从上到下分别依次增大,当3,4固定在图中的位置时,填写空格的方法数为( )A.6种B .12种C .18种D.24种12.设ңa =(a 1,a 2),ңb =(b 1,b 2),定义一种向量积ңa 췍ңb =(a 1,a 2)췍(b 1,b 2)=(a 1b 1,a 2b 2).已知ңm =(2,12),ңn =(π3,0)点P (x ,y )在y =s i n x 的图象上运动,点Q 在y =f (x )的图象上运动,且满足ңO Q =ңm 췍ңO P +ңn (其中O 为坐标原点),则y =f (x )的最大值为( )A.1B .3C .5D.12第Ⅰ卷(选择题)答题表题号123456789101112答案第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二㊁填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.ʏ2-2(4-x 2+s i n x )d x = .14.(x +12x)n的展开式中第五项和第六项的二项式系数最大,则第四项为 .15.如右上图,如果执行它的程序框图,输入正整数n =8,m =4,那么输出的p 等于 .16.已知数列{a n },{b n }满足a 1=12,a n +b n =1,b n +1=b n1-a 2n(b ɪN *),则b 2012= .三㊁解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)设函数f(x)=m s i n x+c o s x(xɪR)的图象经过点(π2,1).(1)求y=f(x)的解析式,并求函数的最小正周期和最值;(2)若f(π12)=2s i n A,其中A是面积为332的锐角әA B C的内角,且A B=2,求边A C和B C的长.18(本小题满分12分)某高校设计了一个实验学科的实验考查方案:考生从6道备选题中一次性随机抽取3题,按照题目要求独立完成全部实验操作.规定:至少正确完成其中2题的便可提交通过.已知6道备选题中考生甲有4题能正确完成,2题不能完成;考生乙每题正确完成的概率都是23,且每题正确完成与否互不影响.求:(1)分别写出甲㊁乙两考生正确完成题数的概率分布列,并计算数学期望;(2)试从两位考生正确完成题数的数学期望及至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力㊂19.(本小题满分12分)已知四棱锥P-A B C D,底面A B C D为矩形,侧棱P Aʅ底面A B C D,其中B C=2A B=2P A=6,M,N为侧棱P C上的两个三等分点,如图所示.(1)求证:A Nʊ平面M B D;(2)求异面直线A N与P D所成角的余弦值;(3)求二面角M-B D-C的余弦值.20.(本小题满分12分)已知点F1,F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左㊁右焦点,点P为椭圆上任意一点,P到焦点F2的距离的最大值为2+1,且әP F1F2的最大面积为1. (1)求椭圆C的方程.(2)点M的坐标为(54,0),过点F2且斜率为k的直线L与椭圆C相交于A,B两点㊂对于任意的kɪR,ңMA㊃ңM B是否为定值?若是求出这个定值;若不是说明理由.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2+a x-l n x,aɪR.(1)若函数f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围;(2)令g(x)=f(x)-x2,是否存在实数a,当xɪ(0,e](e是自然常数)时,函数g(x)的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,说明理由;(3)当xɪ(0,e)时,证明e2x-52x>(x+1)l n x.请考生在22-24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分㊂做答时请写清题号㊂22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图,C B是☉O的直径,A P是☉O的切线,A P与C B的延长线交于点P,A为切点.若P A=10,P B=5,øB A C的平分线A E与B C和☉O分别交于点D㊁E,求A D㊃A E的值.23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程选讲.在极坐标系中,O 为极点,半径为2的圆C 的圆心的极坐标为(2,π3).(1)求圆C 的极坐标方程;(2)在以极点O 为原点,以极轴为x 轴正半轴建立的直角坐标系中,直线的参数方程为x =1+12t y =-2+32ìîíïïïït (t 为参数),直线l 与圆C 相交于A ,B 两点,已知定点M (1,-2),求|MA |㊃|M B |.24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲设正有理数x 是2的一个近似值,令y =1+11+x.(1)若x >2,求证:y <2;(2)比较y 与x 哪一个更接近于2?数学参考答案(模拟试卷二)一㊁选择题:1.C 2.D 3.B 4.A 5.C 6.D 7.A 8.A 9.B 10.B 11.A 12.D 二㊁填空题:13.2π 14.212 15.1680 16.20122013三㊁解答题:17.解:(1)ȵ函数f (x )=m s i n x +c o s x (x ɪR )的图象过点(π2,1),ʑm s i n π2+c o s π2=1,ʑm =1ʑf (x )=s i n x +c o s x =2s i n (x +π4),ʑ函数的最小正周期T =2π当x =π4+2k π(k ɪZ )时,f (x )的最大值为2,当x =5π4+2k π(k ɪZ )时,f (x )最小值为-2(6分)……(2)因为f (π12)=2s i n A 即f (π12)=2s i n π3=2s i n A ʑs i n A =s i n π3ȵA 是面积为332的锐角әA B C 的内角,ʑøA =π3ȵS ә=12A B ㊃A C ㊃s i n A =332ʑA C =3由余弦定理得:B C 2=A C 2+A B 2-2㊃A B ㊃A C ㊃c o s A =7,ʑB C =7(12分)………………………18.解:(1)设考生甲㊁乙正确完成实验操作的题数分别为ξ㊁η,则ξ取值分别为1,2,3;η取值分别为0,1,2,3㊂(2分)………………………………………………P (ξ=1)=C 14C 22C 36=15,P (ξ=2)=C 24C 12C 36=35,P (ξ=3)=C 34C 02C 36=15㊂ʑ考生甲正确完成题数的概率分布列为ξ123P153515E ξ=1ˑ15+2ˑ35+3ˑ15=2㊂(5分)………………………………………………………………ȵP (η=0)=C 03(1-23)3=127,同理:P (η=1)=627,P (η=2)=1227,P (η=3)=827㊂ʑ考生乙正确完成题数的概率分布列为:η0123P1276271227827E η=0ˑ127+1ˑ627+2ˑ1227+3ˑ827=2㊂(8分)……………………………………………………(2)ȵP (ξȡ2)=35+15=0.8,P (ηȡ2)=1227+827ʈ0.74ʑP (ξȡ2)>P (ηȡ2)㊂(10分)…………………………………………………………………………从做对题数的数学期望考察,两人水平相当;从至少完成2题的概率考察,甲获得通过的可能性大㊂因此可以判断甲的实验操作能力较强㊂(12分)………………………………………………………19.(1)证明:连结A C 交B D 于O ,连结O M ,ȵ底面A B C D 为矩形,ʑO 为A C 中点,ȵM ㊁N 为侧棱P C 的三等分点,ʑC M =MN ,,平面M B D ,A N ⊄平面M B D ,平面M B D .(分)……………………(2)如图所示,以A 为原点,建立空间直角坐标系A -x yz ,则A (0,0,0),B (3,0,0),C (3,6,0),D (0,6,0),P (0,0,,3),M (2,4,1),N (1,2,2)ȵңA N =(1,2,2),ңP D =(0,6,-3)ʑc o s <ңA N ,ңP D >=ңA N ㊃ңP D |A N ң||ңP D |=0+12-63ˑ35=2515ʑ异面直线A N 与P D 所成角的余弦值为2515.(8分)…………(3)ȵ侧棱P A ʅ底面A B C D ,ʑ平面B C D 的一个法向量为ңA P =(0,0,3),设平面M B D 的法向量为ңm =(x ,y ,z ),ȵңB D =(-3,6,0),ңB M =(-1,4,1),并且ңm ʅңB D ,ңm ʅңB M ,ʑ-3x +6y =0-x +4y +z {=0,令y =1得x =2,z =-2,ʑ平面M B D 的一个法向量为ңm =(2,1,-2),c o s <ңA P ,ңm >=ңA P ㊃ңm |ңA P ||ңm |=-23由图可知二面角M -B D -C 的大小是锐角,ʑ二面角M -B D -C 大小的余弦值为23.(12分)………20.解:(1)由题意可知:a +c =2+1,12ˑ2c ˑb =1,有ȵa 2=b 2+c 2,ʑa 2=2,b 2=1,c 2=1ʑ所求椭圆的方程为:x 22+y 2=1(4分)………………………………………………………………(2)设直线l 的方程为:y =k (x -1) A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (54,0)联立x 22+y 2=1y =k (x -1{)消去y 得,(1+2k 2)x 2-4k 2x +2k 2-2=0,则x 1+x 2=4k 21+2k 2x 1x 2=2k 2-21+2k 2췍>ìîíïïïïңM A =(x 1-54,y 1) ңM B =(x 2-54,y 2)ʑңM A ㊃ңM B =(x 1-54)(x 2-54)+y 1y 2=-54(x 1+x 2)+x 1x 2+2516+y 1y 2=-716ʑ对任意x ɪR ,有ңM A ㊃ңM B =-716为定值.(12分)…………………………………………………21.解:(1)f ᶄ(x )=2x +a -1x =2x 2+a x -1xɤ0在[1,2]上恒成立,令h (x )=2x 2+a x -1,有h (1)ɤ0h (2)ɤ{0,得a ɤ-1a ɤ-{72,得a ɤ-72(4分)…………………………………(2)假设存在实数a ,使g (x )=a x -l n x (x ɪ(0,e ])有最小值3,gᶄ(x )=a -1x =a x -1x ①当a ɤ0时,g (x )在(0,e ]上单调递减,g (x )m i n =g (e )=a e -1=3,a =4e(舍去),②当0<1a <e ,g (x )在(0,1a )上单调递减,在(1a,e ]上单调递增ʑg (x )m i n =g (1a)=1+l n a =3,a =e 2,满足条件③当1a ȡe ,g (x )在(0,e ]上单调递减,g (x )m i n =g (e )=a e -1=3,a =4e(舍去),综上,存在实数a =e 2,使得x ɪ(0,e ]时g (x )有最小值3.(8分)……………………………………(3)令F (x )=e 2x -l n x ,由(2)知,F (x )m i n =3,令φ(x )=l n x x +52,φᶄ(x )=1-l n x x2当0<x ɤe 时,φᶄ(x )ȡ0,h (x )在(0,e ]上单调递增ʑΦ(X )m a x =φ(e )=1e +5<1+5=3ʑe 2x -l n x >l n x x +52,即e 2x 2-52x >(x +1)l n x (12分)……………………………………………22.证明:连结C E ,ȵP A 2=P B ㊃P C ,P A =10,P B =5,ʑP C =20,B C =15.又ȵP A 与☉O 相切于点A ,ʑøP A B =øA C P ,ʑәP A B ʐәP C A ,则A B A C =P B P A =12.(4分)……………………ȵB C 为☉O 的直径,ʑøC A B =90ʎ,A C 2+A B 2=B C 2=225.可解得A C =65,A B =35.(6分)………………………………又ȵA E 平分øB A C ,ʑøC A E =øE A B ,又ȵøA B C =øE ,ʑәA C E ʐәA D B ,ʑA B A E =A D A CA D ㊃A E =AB ㊃AC =35㊃65=90(10分)…………………………………………………………23.解:(1)设P (ρ,θ)是圆上任意一点,则在等腰三角形C O P 中,O C =2,O P =ρ,øC O P =|θ-π3|,而12|O P |=|O C |c o s øC O P 所以,ρ=4c o s (θ-π3)即为所求的圆C 的极坐标方程㊂(5分)………………………………………(2)圆C 的直角坐标方程为(x -1)2+(y -3)2=4,即:x 2+y 2-2x -23y =0将直线l 的参数方程x =1+12t y =-2+32ìîíïïïït(t 为参数)代入圆C 的方程得:t 2-(3+23)t +3+43=0,其两根t 1,t 2满足t 1㊃t 2=3+43所以,|M A |㊃|M B |=|t 1㊃t 2|=3+43(10分)……………………………………………………24.解:(1)因为y -2=1+11+x -2=2+x -2-2x 1+x =(x -2)(1-2)1+x<0所以,y <2(4分)………………………………………………………………………………………(2)|y -2|-|x -2|=|(x -2)(1-2)1+x |-|x -2|=|x -2|(2-2-x 1+x)ȵ2-2<0,x >0 ʑ2-2-x 1+x<0,而|x -2|>0ʑ|y -2|-|x -2|<0即|y -2|<|x -2|所以y 比x 更接近于2.(10分)………………………………………………………………………。
2024年高考数学试卷(新课标Ⅱ卷)(含答案)
2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标II 卷）数学本试卷共10页，19小题，满分150分.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1. 已知1i z =--，则z =（ ）A. 0B. 1C.D. 2【答案】C 【解析】【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.【详解】若1i z =--，则z ==.故选：C.2. 已知命题p ：x "ÎR ，|1|1x +>；命题q ：0x $>，3x x =，则（ ）A. p 和q 都是真命题 B. p Ø和q 都是真命题C. p 和q Ø都是真命题 D. p Ø和q Ø都是真命题【答案】B 【解析】【分析】对于两个命题而言，可分别取=1x -、1x =，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.【详解】对于p 而言，取=1x -，则有101x +=<，故p 是假命题，p Ø是真命题，对于q 而言，取1x =，则有3311x x ===，故q 是真命题，q Ø是假命题，综上，p Ø和q 都是真命题.故选：B.3. 已知向量,a b r r满足1,22a a b =+=r r r ，且()2b a b -^r r r ，则b =r （ ）A.12B.C.D. 1【答案】B 【解析】【分析】由()2b a b -^r r r 得22b a b =×r r r ，结合1,22a a b =+=r r r ，得22144164a b b b +×+=+=r r r r ，由此即可得解.【详解】因为()2b a b -^r r r ，所以()20b a b -×=r r r ，即22b a b =×r r r，又因为1,22a a b =+=r r r，所以22144164a b b b +×+=+=r r r r ，从而=r b 故选：B.4. 某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg ）并部分整理下表亩产量[900，950）[950，1000）[1000，1050）[1100，1150）[1150，1200）频数612182410据表中数据，结论中正确的是（ ）A. 100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB. 100块稻田中亩产量低于1100kg 的稻田所占比例超过80%C. 100块稻田亩产量的极差介于200kg 至300kg 之间D. 100块稻田亩产量的平均值介于900kg 至1000kg 之间【答案】C 【解析】【分析】计算出前三段频数即可判断A ；计算出低于1100kg 频数，再计算比例即可判断B ；根据极差计的算方法即可判断C ；根据平均值计算公式即可判断D.【详解】对于 A, 根据频数分布表可知, 612183650++=<,所以亩产量的中位数不小于 1050kg , 故 A 错误；对于B ，亩产量不低于1100kg 的频数为341024=+，所以低于1100kg 稻田占比为1003466%100-=，故B 错误；对于C ，稻田亩产量的极差最大为1200900300-=，最小为1150950200-=，故C 正确；对于D ，由频数分布表可得，亩产量在[1050,1100)的频数为100(612182410)30-++++=，所以平均值为1(692512975181025301075241125101175)1067100´´+´+´+´+´+´=，故D 错误.故选；C.5. 已知曲线C ：2216x y +=（0y >），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ¢，P ¢为垂足，则线段PP ¢的中点M 的轨迹方程为（ ）A. 221164x y +=（0y >）B. 221168x y +=（0y >）C. 221164y x +=（0y >）D. 221168y x +=（0y >）【答案】A 【解析】【分析】设点(,)M x y ，由题意，根据中点的坐标表示可得(,2)P x y ，代入圆的方程即可求解.【详解】设点(,)M x y ，则0(,),(,0)P x y P x ¢，因为M 为PP ¢的中点，所以02y y =，即(,2)P x y ，又P 在圆2216(0)x y y +=>上，所以22416(0)x y y +=>，即221(0)164x y y +=>，即点M 的轨迹方程为221(0)164x y y +=>.故选：A 6. 设函数2()(1)1f x a x =+-，()cos 2g x x ax =+，当(1,1)x Î-时，曲线()y f x =与()y g x =恰有一个交点，则=a （ ）的A. 1-B.12C. 1D. 2【答案】D 【解析】【分析】解法一：令()()21,cos a x F x ax G x =-=+，分析可知曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得2a =，并代入检验即可；解法二：令()()()(),1,1h x f x g x x =-Î-，可知()h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知()h x 的零点只能为0，即可得2a =，并代入检验即可.【详解】解法一：令()()f x g x =，即2(1)1cos 2a x x ax +-=+，可得21cos a x ax -=+，令()()21,cos a x F x ax G x =-=+，原题意等价于当(1,1)x Î-时，曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点，注意到()(),F x G x 均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，可得()()00F G =，即11a -=，解得2a =，若2a =，令()()F x G x =，可得221cos 0x x +-=因为()1,1x Î-，则220,1cos 0x x ³-³，当且仅当0x =时，等号成立，可得221cos 0x x +-³，当且仅当0x =时，等号成立，则方程221cos 0x x +-=有且仅有一个实根0，即曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点，所以2a =符合题意；综上所述：2a =.解法二：令()()()2()1cos ,1,1h x f x g x ax a x x =-=+--Î-，原题意等价于()h x 有且仅有一个零点，因为()()()()221cos 1cos h x a x a x ax a x h x -=-+---=+--=，则()h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知()h x 的零点只能为0，即()020h a =-=，解得2a =，若2a =，则()()221cos ,1,1h x x x x =+-Î-，又因为220,1cos 0x x ³-³当且仅当0x =时，等号成立，可得()0h x ³，当且仅当0x =时，等号成立，即()h x 有且仅有一个零点0，所以2a =符合题意；故选：D.7. 已知正三棱台111ABC A B C -的体积为523，6AB =，112A B =，则1A A 与平面ABC 所成角的正切值为（ ）A.12B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】【分析】解法一：根据台体体积公式可得三棱台的高h =，做辅助线，结合正三棱台的结构特征求得AM =111ABC A B C -补成正三棱锥-P ABC ，1A A 与平面ABC 所成角即为PA 与平面ABC 所成角，根据比例关系可得18P ABC V -=，进而可求正三棱锥-P ABC .【详解】解法一：分别取11,BC B C 的中点1,D D，则11AD A D ==可知1111166222ABC A B C S S =´´==´=V V 设正三棱台111ABC A B C -的为h ，则(11115233ABC A B C V h -=+=，解得h =，如图，分别过11,A D 作底面垂线，垂足为,M N ，设AM x =，的则1AA=，DN AD AM MN x=--=-，可得1DD==，结合等腰梯形11BCC B可得22211622BB DD-æö=+ç÷èø,即()221616433x x+=++，解得x=，所以1A A与平面ABC所成角的正切值为11tan1A MA ADAMÐ==；解法二：将正三棱台111ABC A B C-补成正三棱锥-P ABC，则1A A与平面ABC所成角即为PA与平面ABC所成角，因为11113PA A BPA AB==，则111127P A B CP ABCVV--=，可知1112652273ABC A B C P ABCV V--==，则18P ABCV-=，设正三棱锥-P ABC的高为d，则11661832P ABCV d-=´´´=，解得d=，取底面ABC的中心为O，则PO^底面ABC，且AO=所以PA与平面ABC所成角的正切值tan1POPAOAOÐ==.故选：B.8. 设函数()()ln()f x x a x b=++，若()0f x³，则22a b+的最小值为（）A.18B.14C. 12D. 1【答案】C【解析】【分析】解法一：由题意可知：()f x 的定义域为(),b ¥-+，分类讨论a -与,1b b --的大小关系，结合符号分析判断，即可得1b a =+，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析ln()x b +的符号，进而可得x a +的符号，即可得1b a =+，代入可得最值.【详解】解法一：由题意可知：()f x 的定义域为(),b ¥-+，令0x a +=解得x a =-；令ln()0x b +=解得1x b =-；若-£-a b ，当(),1x b b Î--时，可知()0,ln 0x a x b +>+<，此时()0f x <，不合题意；若1b a b -<-<-，当(),1x a b Î--时，可知()0,ln 0x a x b +>+<，此时()0f x <，不合题意；若1a b -=-，当(),1x b b Î--时，可知()0,ln 0x a x b +<+<，此时()0f x >；当[)1,x b ¥Î-+时，可知()0,ln 0x a x b +³+³，此时()0f x ³；可知若1a b -=-，符合题意；若1a b ->-，当()1,x b a Î--时，可知()0,ln 0x a x b ++，此时()0f x <，不合题意；综上所述：1a b -=-，即1b a =+，则()2222211112222a b a a a æö+=++=++³ç÷èø，当且仅当11,22a b =-=时，等号成立，所以22a b +的最小值为12；解法二：由题意可知：()f x 的定义域为(),b ¥-+，令0x a +=解得x a =-；令ln()0x b +=解得1x b =-；则当(),1x b b Î--时，()ln 0x b +<，故0x a +£，所以10b a -+£；()1,x b ¥Î-+时，()ln 0x b +>，故0x a +³，所以10b a -+³；故10b a -+=， 则()2222211112222a b a a a æö+=++=++³ç÷èø，当且仅当11,22a b =-=时，等号成立，所以22a b +的最小值为12.故选：C.【点睛】关键点点睛：分别求0x a +=、ln()0x b +=的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断.二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9. 对于函数()sin 2f x x =和π()sin(24g x x =-，下列正确的有（ ）A. ()f x 与()g x 有相同零点 B. ()f x 与()g x 有相同最大值C. ()f x 与()g x 有相同的最小正周期D. ()f x 与()g x 的图像有相同的对称轴【答案】BC 【解析】【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.【详解】A 选项，令()sin 20f x x ==，解得π,2k x k =ÎZ ，即为()f x 零点，令π()sin(204g x x =-=，解得ππ,28k x k =+ÎZ ，即为()g x 零点，显然(),()f x g x 零点不同，A 选项错误；B 选项，显然max max ()()1f x g x ==，B 选项正确；C 选项，根据周期公式，(),()f x g x 的周期均为2ππ2=，C 选项正确；D 选项，根据正弦函数的性质()f x 的对称轴满足πππ2π,224k x k x k =+Û=+ÎZ ，()g x 的对称轴满足πππ3π2π,4228k x k x k -=+Û=+ÎZ ，显然(),()f x g x 图像的对称轴不同，D 选项错误.故选：BC10. 抛物线C ：24y x =的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y +-=⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（ ）A. l 与A e 相切B. 当P ，A ，B 三点共线时，||PQ =C. 当||2PB =时，PA AB^D. 满足||||PA PB =的点P 有且仅有2个【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项，抛物线准线为=1x -，根据圆心到准线的距离来判断；B 选项，,,P A B 三点共线时，先求出P 的坐标，进而得出切线长；C 选项，根据2PB =先算出P 的坐标，然后验证1PA AB k k =-是否成立；D 选项，根据抛物线的定义，PB PF =，于是问题转化成PA PF =的P 点的存在性问题，此时考察AF的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设P 点坐标进行求解.【详解】A 选项，抛物线24y x =的准线为=1x -，A e 的圆心(0,4)到直线=1x -的距离显然是1，等于圆的半径，故准线l 和A e 相切，A 选项正确；B 选项，,,P A B 三点共线时，即PA l ^，则P 的纵坐标4P y =，由24P P y x =，得到4P x =，故(4,4)P ，此时切线长PQ ===，B 选项正确；C 选项，当2PB =时，1P x =，此时244P P y x ==，故(1,2)P 或(1,2)P -，当(1,2)P 时，(0,4),(1,2)A B -，42201PA k -==--，4220(1)AB k -==--，不满足1PA AB k k =-；当(1,2)P -时，(0,4),(1,2)A B -，4(2)601PA k --==--，4(2)60(1)ABk --==--，不满足1PA AB k k =-；于是PA AB ^不成立，C 选项错误；D 选项，方法一：利用抛物线定义转化根据抛物线的定义，PB PF =，这里(1,0)F ，于是PA PB =时P 点的存在性问题转化成PA PF =时P 点的存在性问题，(0,4),(1,0)A F ，AF 中点1,22æöç÷èø，AF 中垂线的斜率为114AF k -=，于是AF 的中垂线方程为：2158x y +=，与抛物线24y x =联立可得216300y y -+=，2164301360D =-´=>，即AF 的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个P 点，使得PA PF =，D 选项正确.方法二：（设点直接求解）设2,4t P t æöç÷èø，由PB l ^可得()1,B t -，又(0,4)A ，又PA PB =，214t =+，整理得216300t t -+=，2164301360D =-´=>，则关于t 的方程有两个解，即存在两个这样的P 点，D 选项正确.故选：ABD11. 设函数32()231f x x ax =-+，则（ ）A. 当1a >时，()f x 有三个零点B. 当0a <时，0x =是()f x 的极大值点C. 存在a ，b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D. 存在a ，使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心【答案】AD 【解析】【分析】A 选项，先分析出函数的极值点为0,x x a ==，根据零点存在定理和极值的符号判断出()f x 在(1,0),(0,),(,2)a a a -上各有一个零点；B 选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C 选项，假设存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴，则()(2)f x f b x =-为恒等式，据此计算判断；D 选项，若存在这样的a ，使得(1,33)a -为()f x 的对称中心，则()(2)66f x f x a +-=-，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.【详解】A 选项，2()666()f x x ax x x a ¢=-=-，由于1a >，故()(),0,x a ¥¥Î-È+时()0f x ¢>，故()f x 在()(),0,,a ¥¥-+上单调递增，(0,)x a Î时，()0f x ¢<，()f x 单调递减，则()f x 在0x =处取到极大值，在x a =处取到极小值，由(0)10=>f ，3()10f a a =-<，则(0)()0f f a <，根据零点存在定理()f x 在(0,)a 上有一个零点，又(1)130f a -=--<，3(2)410f a a =+>，则(1)(0)0,()(2)0f f f a f a -<<，则()f x 在(1,0),(,2)a a -上各有一个零点，于是1a >时，()f x 有三个零点，A 选项正确；B 选项，()6()f x x x a ¢=-，a<0时，(,0),()0x a f x ¢Î<，()f x 单调递减，,()0x Î+¥时()0f x ¢>，()f x 单调递增，此时()f x 在0x =处取到极小值，B 选项错误；C 选项，假设存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴，即存在这样的,a b 使得()(2)f x f b x =-，即32322312(2)3(2)1x ax b x a b x -+=---+，根据二项式定理，等式右边3(2)b x -展开式含有3x 的项为33332C (2)()2b x x -=-，于是等式左右两边3x 的系数都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴，C 选项错误；D 选项，方法一：利用对称中心的表达式化简(1)33f a =-，若存在这样的a ，使得(1,33)a -为()f x 的对称中心，则()(2)66f x f x a +-=-，事实上，32322()(2)2312(2)3(2)1(126)(1224)1812f x f x x ax x a x a x a x a +-=-++---+=-+-+-，于是266(126)(1224)1812a a x a x a-=-+-+-即126012240181266a a a a -=ìï-=íï-=-î，解得2a =，即存在2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心，D 选项正确.方法二：直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，32()231f x x ax =-+，2()66f x x ax ¢=-，()126f x x a ¢¢=-，由()02af x x ¢¢=Û=，于是该三次函数的对称中心为,22a a f æöæöç÷ç÷èøèø，由题意(1,(1))f 也是对称中心，故122aa =Û=，即存在2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心，D 选项正确.故选：AD【点睛】结论点睛：（1）()f x 的对称轴为()(2)x b f x f b x =Û=-；（2）()f x 关于(,)a b 对称()(2)2f x f a x b Û+-=；（3）任何三次函数32()f x ax bx cx d =+++都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是()0f x ¢¢=的解，即,33bb f a a æöæö--ç÷ç÷èøèø是三次函数的对称中心三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若347a a +=，2535a a +=，则10S =________.【答案】95【解析】【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出1,a d ，再利用等差数列的求和公式节即可得到答案.【详解】因为数列n a 为等差数列，则由题意得()1111237345a d a d a d a d +++=ìí+++=î，解得143a d =-ìí=î，则()10110910104453952S a d ´=+=´-+´=.故答案为：95.13. 已知a 为第一象限角，b 为第三象限角，tan tan 4a b +=，tan tan 1a b =+，则sin()a b +=_______.【答案】【解析】【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得()tan a b +=-，再缩小a b +的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.【详解】法一：由题意得()tan tan tan 1tan tan a b a b a b ++===--因为π3π2π,2π,2ππ,2π22k k m m a b æöæöÎ+Î++ç÷ç÷èøèø，,Z k m Î，则()()()22ππ,22π2πm k m k a b +Î++++，,Z k m Î，又因为()tan 0a b +=-<，则()()3π22π,22π2π2m k m k a b æö+Î++++ç÷èø，,Z k m Î，则()sin 0a b +<，则()()sin cos a b a b +=-+，联立 ()()22sin cos 1a b a b +++=，解得()sin a b +=.法二： 因为a 为第一象限角，b 为第三象限角，则cos 0,cos 0a b ><,cos a ==，cos b ==，则sin()sin cos cos sin cos cos (tan tan )a b a b a b a b a b +=+=+4cos cos a b =====故答案为：14. 在如图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有________种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是________．【答案】 ①. 24 ②. 112【解析】【分析】由题意可知第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选；利用列举法写出所有的可能结果，即可求解.【详解】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，所以共有432124´´´=种选法；每种选法可标记为(,,,)a b c d ，a b c d ,,,分别表示第一、二、三、四列的数字，则所有的可能结果为：(11,22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(11,24,33,42)，(12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,40)，(13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(13,24,33,40)，(15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33,40),(15,22,31,42),(15,22,33,40)，所以选中的方格中，(15,21,33,43)的4个数之和最大，为152********+++=.故答案为：24；112【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选，利用列举法写出所有的可能结果.四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2A A =．（1）求A ．（2）若2a =sin sin 2C c B =，求ABC V 的周长．【答案】（1）π6A =（2）2++【解析】【分析】（1）根据辅助角公式对条件sin 2A A +=进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；（2）先根据正弦定理边角互化算出B ，然后根据正弦定理算出,b c 即可得出周长.【小问1详解】方法一：常规方法（辅助角公式）由sin 2A A +=可得1sin 12A A =，即sin()1π3A +=，由于ππ4π(0,π)(,333A A ÎÞ+Î，故ππ32A +=，解得π6A =方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）由sin 2A A +=，又22sin cos 1A A +=，消去sin A 得到：224cos 30(2cos 0A A A -+=Û=，解得cos A =又(0,π)A Î，故π6A =方法三：利用极值点求解设()sin (0π)f x x x x =+<<，则π()2sin (0π)3f x x x æö=+<<ç÷èø，显然π6x =时，max ()2f x =，注意到π()sin 22sin()3f A A A A =+==+，max ()()f x f A =，在开区间(0,π)上取到最大值，于是x A =必定是极值点，即()0cos f A A A ¢==，即tan A =，又(0,π)A Î，故π6A =方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）设(sin ,cos )a b A A ==r r ，由题意，sin 2a b A A ×==r r，根据向量的数量积公式，cos ,2cos ,a b a b a b a b ×==r r r rr r r r ，则2cos ,2cos ,1a b a b =Û=r r r r ，此时,0a b =rr ，即,a b r r 同向共线，根据向量共线条件，1cos sin tanA A A×=Û=又(0,π)AÎ，故π6A=方法五：利用万能公式求解设tan2At=，根据万能公式，22sin21tA At==++，整理可得，2222(2(20((2t t t-+==-，解得tan22At==-，根据二倍角公式，22tan1tAt==-，又(0,π)AÎ，故π6A=小问2详解】由题设条件和正弦定理sin sin2sin2sin sin cosC c B B C C B B=Û=，又,(0,π)B CÎ，则sin sin0B C¹，进而cos B=π4B=，于是7ππ12C A B=--=，sin sin(π)sin()sin cos sin cosC A B A B A B B A=--=+=+=由正弦定理可得，sin sin sina b cA B C==，即2ππ7πsin sin sin6412b c==，解得b c==故ABCV的周长为2++16. 已知函数3()e xf x ax a=--．（1）当1a=时，求曲线()y f x=在点()1,(1)f处的切线方程；（2）若()f x有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．【答案】（1）()e110x y---=（2）()1,+¥【【解析】【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；（2）解法一：求导，分析0a £和0a >两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得2ln 10a a +->，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知()e ¢=-xf x a 有零点，可得0a >，进而利用导数求()f x 的单调性和极值，分析可得2ln 10a a +->，构建函数解不等式即可.【小问1详解】当1a =时，则()e 1x f x x =--，()e 1xf x ¢=-，可得(1)e 2f =-，(1)e 1f ¢=-，即切点坐标为()1,e 2-，切线斜率e 1k =-，所以切线方程为()()()e 2e 11y x --=--，即()e 110x y ---=.【小问2详解】解法一：因为()f x 的定义域为R ，且()e ¢=-x f x a ，若0a £，则()0f x ¢³对任意x ÎR 恒成立，可知()f x 在R 上单调递增，无极值，不合题意；若0a >，令()0f x ¢>，解得ln x a >；令()0f x ¢<，解得ln x a <；可知()f x 在(),ln a -¥内单调递减，在()ln ,a +¥内单调递增，则()f x 有极小值()3ln ln f a a a a a =--，无极大值，由题意可得：()3ln ln 0f a a a a a =--<，即2ln 10a a +->，构建()2ln 1,0g a a a a =+->，则()120g a a a¢=+>，可知()g a 在()0,¥+内单调递增，且()10g =，不等式2ln 10a a +->等价于()()1g a g >，解得1a >，所以a 的取值范围为()1,+¥；解法二：因为()f x 的定义域为R ，且()e ¢=-x f x a ，若()f x 有极小值，则()e ¢=-x f x a 有零点，令()e 0x f x a ¢=-=，可得e x a =，可知e x y =与y a =有交点，则0a >，若0a >，令()0f x ¢>，解得ln x a >；令()0f x ¢<，解得ln x a <；可知()f x 在(),ln a -¥内单调递减，在()ln ,a +¥内单调递增，则()f x 有极小值()3ln ln f a a a a a =--，无极大值，符合题意，由题意可得：()3ln ln 0f a a a a a =--<，即2ln 10a a +->，构建()2ln 1,0g a a a a =+->，因为则2,ln 1y a y a ==-在()0,¥+内单调递增，可知()g a 在()0,¥+内单调递增，且()10g =，不等式2ln 10a a +->等价于()()1g a g >，解得1a >，所以a 的取值范围为()1,+¥.17. 如图，平面四边形ABCD 中，8AB =，3CD =，AD =90ADC °Ð=，30BAD °Ð=，点E ，F 满足25AE AD = r r ，12AF AB =r r ，将AEF △沿EF 对折至PEF !，使得PC =．（1）证明：EF PD ^；（2）求面PCD 与面PBF 所成的二面角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）由题意，根据余弦定理求得2EF =，利用勾股定理的逆定理可证得EF AD ^，则,EF PE EF DE ^^，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明；（2）由（1），根据线面垂直的判定定理与性质可证明PE ED ^，建立如图空间直角坐标系E xyz -，利用空间向量法求解面面角即可.【小问1详解】由218,,52AB AD AE AD AF AB ==== r r r r，得4AE AF ==，又30BAD °Ð=，在AEF △中，由余弦定理得2EF ===,所以222AE EF AF +=，则AE EF ^，即EF AD ^，所以,EF PE EF DE ^^，又,PE DE E PE DE =ÌI 、平面PDE ，所以EF ^平面PDE ，又PD Ì平面PDE ，故EF ^PD ；【小问2详解】连接CE，由90,3ADC ED CD °Ð===，则22236CE ED CD =+=，在PEC V中，6PC PE EC ===，得222EC PE PC +=，所以PE EC ^，由（1）知PE EF ^，又,EC EF E EC EF =ÌI 、平面ABCD ，所以PE ^平面ABCD ，又ED Ì平面ABCD ，所以PE ED ^，则,,PE EF ED 两两垂直，建立如图空间直角坐标系E xyz -，则(0,0,0),(0,0,(2,0,0),(0,E P D C F A -，由F 是AB的中点，得(4,B ，所以(4,(2,0,PC PD PB PF =-=-=-=- r r r r，设平面PCD 和平面PBF 的一个法向量分别为1122(,,),(,,)n x y z m x y z ==r r，则11100n PC n PD ì×==ïí×==ïî r r r r ，222224020mPB x m PF x ì×=+-=ïí×=-=ïî r r r r ，令122,y x ==，得11220,3,1,1x z y z ===-=，所以(0,2,3),1,1)n m ==-r r，所以cos =设平面PCD 和平面PBF 所成角为q ，则sin q ==即平面PCD 和平面PBF .18. 某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p ，乙每次投中的概率为q ，各次投中与否相互独立．（1）若0.4p =，0.5q =，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．（2）假设0p q <<，（i 15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？（ii ）为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？【答案】（1）0.686（2）（i ）由甲参加第一阶段比赛；（i ）由甲参加第一阶段比赛；【解析】【分析】（1）根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案；（2）（i ）首先各自计算出331(1)P p q éù=--ëû甲，331(1)P q p éù=--×ëû乙，再作差因式分解即可判断；(ii)首先得到X 和Y 的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，再次作差比较大小即可.【小问1详解】甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次，\比赛成绩不少于5分的概率()()3310.610.50.686P =--=.【小问2详解】（i ）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为331(1)P p q éù=--ëû甲，若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为331(1)P q p éù=--×ëû乙，0p q <<Q ，3333()()P P q q pq p p pq \-=---+-甲乙()2222()()()()()()q p q pq p p q p pq q pq p pq q pq éù=-+++-×-+-+--ëû()2222()333p q p q p q pq =---3()()3()[(1)(1)1]0pq p q pq p q pq p q p q =---=---->，P P \>甲乙，应该由甲参加第一阶段比赛.(ii)若甲先参加第一阶段比赛，数学成绩X 的所有可能取值为0，5，10，15，333(0)(1)1(1)(1)P X p p q éù==-+--×-ëû，()()()3213511C 1P X p q q éù==--×-ëû，3223(10)1(1)C (1)P X p q q éù==--×-ëû，33(15)1(1)P X p q éù==--×ëû，()332()151(1)1533E X p q p p p q éù\=--=-+×ëû记乙先参加第一阶段比赛，数学成绩Y 的所有可能取值为0，5，10，15，同理()32()1533E Y q q q p=-+×()()15[()()3()]E X E Y pq p q p q pq p q \-=+---15()(3)p q pq p q =-+-，因为0p q <<，则0p q -<，31130p q +-<+-<，则()(3)0p q pq p q -+->，\应该由甲参加第一阶段比赛.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是计算出相关概率和期望，采用作差法并因式分解从而比较出大小关系，最后得到结论.19. 已知双曲线()22:0C x y m m -=>，点()15,4P 在C 上，k 为常数，01k <<．按照如下方式依次构造点()2,3,...n P n =，过1n P -作斜率为k 直线与C 的左支交于点1n Q -，令n P 为1n Q -关于y 轴的对称点，的记n P 的坐标为(),n n x y .（1）若12k =，求22,x y ；（2）证明：数列{}n n x y -是公比为11kk+-的等比数列；（3）设n S 为12n n n P P P ++V 的面积，证明：对任意的正整数n ，1n n S S +=.【答案】（1）23x =，20y = （2）证明见解析 （3）证明见解析【解析】【分析】（1）直接根据题目中的构造方式计算出2P 的坐标即可；（2）根据等比数列的定义即可验证结论；（3）思路一：使用平面向量数量积和等比数列工具，证明n S 的取值为与n 无关的定值即可.思路二：使用等差数列工具，证明n S 的取值为与n 无关的定值即可.【小问1详解】由已知有22549m =-=，故C 的方程为229x y -=.当12k =时，过()15,4P 且斜率为12的直线为32x y +=，与229x y -=联立得到22392x x +æö-=ç÷èø.解得3x =-或5x =，所以该直线与C 的不同于1P 的交点为()13,0Q -，该点显然在C 的左支上.故()23,0P ，从而23x =，20y =.【小问2详解】由于过(),n n n P x y 且斜率为k 的直线为()n n y k x x y =-+，与229x y -=联立，得到方程()()229n n x k x x y --+=.展开即得()()()2221290n n n n kxk y kx x y kx ------=，由于(),n n n P x y 已经是直线()n n y k x x y =-+和229x y -=的公共点，故方程必有一根n x x =.从而根据韦达定理，另一根()2222211n n n n nn k y kx ky x k x x x k k---=-=--，相应的()2221n n nn n y k y kx y k x x y k +-=-+=-.所以该直线与C 的不同于n P 的交点为222222,11n n n n n nn ky x k x y k y kx Q k k æö--+-ç÷--èø，而注意到n Q 的横坐标亦可通过韦达定理表示为()()2291n n ny kx k x ----，故n Q 一定在C 的左支上.所以2212222,11n n n n n nn x k x ky y k y kx P k k +æö+-+-ç÷--èø.这就得到21221n n n n x k x ky x k ++-=-，21221n n nn y k y kx y k ++-=-.所以2211222211n n n n n nn n x k x ky y k y kx x y k k +++-+--=---()()22222121111n n n n n n n x k x kx k k k x y x y k k k+++++==-=----.再由22119x y -=，就知道110x y -¹，所以数列{}n n x y -是公比为11kk+-的等比数列.【小问3详解】方法一：先证明一个结论：对平面上三个点,,U V W ，若(),UV a b = r ，(),UW c d = r，则12UVW S ad bc =-V .（若,,U V W 在同一条直线上，约定0UVW S =V ）1,2UW UV UW =× r r===12ad bc ===-.证毕，回到原题.由于上一小问已经得到21221n n n n x k x ky x k ++-=-，21221n n nn y k y kx y k++-=-，故()()22211222221211111n n n n n n n n n n n n x k x ky y k y kx k k kx y x y x y k k k k+++-+-+--+=+=+=+---+.再由22119x y -=，就知道110x y +¹，所以数列{}n n x y +是公比为11kk-+的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有n n m n n mx y y x ++-()()()()()()1122n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m x x y y x y y x x x y y x y y x ++++++++=-+-----()()()()1122n n n m n m n n n m n m x y x y x y x y ++++=-+-+-()()()()11112121mmn n n n n n n n k k x y x y x y x y k k -+æöæö=-+-+-ç÷ç÷+-èøèø()22111211mmn n k k x y k k æö-+æöæö=--ç÷ç÷ç÷ç÷+-èøèøèø911211m mk k k k æö-+æöæö=-ç÷ç÷ç÷ç÷+-èøèøèø.而又有()()()111,n n n n n n P P x x y y +++=---- r ，()122121,n n n n n n P P x x y y ++++++=-- r ，故利用前面已经证明的结论即得()()()()1212112112n n n n P P P n n n n n n n n S S x x y y y y x x ++++++++==---+--V ()()()()12112112n n n n n n n n x x y y y y x x ++++++=-----()()()1212112212n n n n n n n n n n n n x y y x x y y x x y y x ++++++++=-+---2219119119112211211211k k k k k k k k k k k k æö-+-+-+æöæöæöæö=-+---ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷+-+-+-èøèøèøèøèø.这就表明n S 的取值是与n 无关的定值，所以1n n S S +=.方法二：由于上一小问已经得到21221n n n n x k x ky x k ++-=-，21221n n n n y k y kx y k++-=-，故()()22211222221211111n n n n n n n n n n n n x k x ky y k y kx k k kx y x y x y k k k k+++-+-+--+=+=+=+---+.再由22119x y -=，就知道110x y +¹，所以数列{}n n x y +是公比为11kk-+的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有n n m n n mx y y x ++-()()()()()()1122n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m x x y y x y y x x x y y x y y x ++++++++=-+-----()()()()1122n n n m n m n n n m n m x y x y x y x y ++++=-+-+-()()()()11112121mmn n n n n n n n k k x y x y x y x y k k -+æöæö=-+-+-ç÷ç÷+-èøèø()22111211mmn n k k x y k k æö-+æöæö=--ç÷ç÷ç÷ç÷+-èøèøèø911211mmk k k k æö-+æöæö=-ç÷ç÷ç÷ç÷+-èøèøèø.这就得到232311911211n n n n n n n n k k x y y x x y y x k k ++++++-+æö-=-=-ç÷+-èø，以及221313229121n n n n n n n n k x y y x x y y x k ++++++æö+æö-=-=-ç÷ç÷ç÷-èøèø.两式相减，即得()()()()232313131122n n n n n n n n n n n n n n n n x y y x x y y x x y y x x y y x ++++++++++++---=---.移项得到232131232131n n n n n n n n n n n n n n n n x y y x x y y x y x x y y x x y ++++++++++++--+=--+.故()()()()321213n n n n n n n n y y x x y y x x ++++++--=--.而()333,n n n n n n P P x x y y +++=-- r ，()122121,n n n n n n P P x x y y ++++++=-- r.所以3n n P P + r 和12n n P P ++ r平行，这就得到12123n n n n n n P P P P P P S S +++++=V V ，即1n n S S +=.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方面知识方可得解.。
六年级下册数学试题- 期末模拟卷(二)(含答案)人教新课标
人教版数学六年级下册 期末模拟卷（二）一、填空。
1．第19届亚运会将于2022年在中国杭州举行。
作为亚运会主场馆的杭州奥体博览城核心区占地1543700平方米，合( )公顷。
核心区建筑总面积约2700000平方米，改写成用“万平方米”作单位的数是( )万平方米。
2．( )/5=12:( )=0.4=( )%=( )成3．A=2×3×5，B=2×2×3×7，则A 和B 的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
4．糖糖买了8本《绘本数学》，付款100元，找回m 元。
每本《绘本数学》的价格是( )元。
5．一项工程，甲单独做15天完成，乙单独做20天完成。
那么甲、乙二人工作效率的比是( )。
6．b a 7151 ，如果b =3.5，那么a=( )。
7．在中国，夏至是一年中白昼最长，黑夜最短的一天。
这天柯桥的白昼与黑夜时间比大约是7：5，那么夏至这天柯桥的白昼约有( )小时。
2018年的夏至是6月21日星期四，据此推算，2018年的9月10日教师节是星期( )。
8．比例里，两个内项的积是2，如果一个外项是0.5，那么另一个外项是( )。
9．用3张数字卡片“3”“4”“5”组成不同的三位数，结果出现奇数的可能性比出现偶数的可能性( )。
如果用卡片“0”代营其中的数字卡片“( )”，组成的三位数中出现奇数的可能性与出现偶数的可能性相等。
10．如图，4个大圆与5个小圆排起来一样长，如果大圆的直径是2.5厘米，那么一个小圆的面积是( )平方厘米。
11．一个手机零件长2毫米，画在图纸上是10厘米。
这张图纸的比例尺是( )。
12．如图所示，把一个高是10厘米的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体。
拼成后的长方体的表面积比原来圆柱的表面积增加了80 cm 2，原来圆柱的侧面积是( )平方厘米。
13．如图所示，旋转后，甲、乙两部分所形成的立体图形的体积比是( )。
2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含解析版)
绝密★启用前2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ={x |x 2-5x +6>0}，B ={ x |x -1<0}，则A ∩B = A ．(-∞，1) B ．(-2，1)C ．(-3，-1)D ．(3，+∞)2．设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ⋅= A ．-3 B ．-2C ．2D ．34．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：121223()()M M M R r R r r R+=++.设rRα=，由于α的值很小，因此在近似计算中34532333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为 ABCD5．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A ．中位数 B ．平均数 C ．方差 D ．极差6．若a >b ，则A ．ln(a −b )>0B ．3a <3bC ．a 3−b 3>0D ．│a │>│b │7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面8．若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A ．2B ．3C ．4D ．89．下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是A ．f (x )=│cos 2x │B ．f (x )=│sin 2x │C ．f (x )=cos│x │D ．f (x )= sin │x │10．已知α∈(0，2π)，2sin 2α=cos 2α+1，则sin α=A ．15B．5C3D511．设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点.若PQ OF =，则C 的离心率为ABC ．2D ．512．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是 A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为__________.14．已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________. 15．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为__________.16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________.（本题第一空2分，第二空3分.）三、解答题：共70分。
初中数学新课标测试题及答案(三套)
初中数学新课标考试模拟试题（一）一、选择题（每小题3分，共45分）1、新课程的核心理念是（）A.联系生活学数学B.培养学习数学的爱好C.一切为了每一位学生的发展 D、进行双基教学2、教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间（）的过程。
A.交往互动B.共同发展C.交往互动与共同发展3、教师要积极利用各种教学资源，创造性地使用教材，学会（）。
A.教教材B.用教材教 C、教课标 D、教课本4、根据《数学课程标准》的理念，解决问题的教学要贯穿于数学课程的全部内容中，不再单独出现（）的教学。
A.概念 B.计算 C.应用题 D、定义5、“三维目标”是指知识与技能、（）、情感态度与价值观。
A.理解与掌握B.过程与方法C.科学与探究 D、继承与发展6、《数学课程标准》中使用了“经历（感受）、体验（体会）、探索”等刻画数学活动水平的（）的动词。
A.过程性目标 B.知识技能目标7、建立成长记录是学生开展（）的一个重要方式，它能够反映出学生发展与进步的历程。
A.自我评价 B.相互评价 C.多样评价 D、小组评价8、学生的数学学习活动应是一个（）的过程。
A、生动活泼的主动的和富有个性B、主动和被动的生动活泼的C、生动活泼的被动的富于个性9、“用数学”的含义是（）A.用数学学习B.用所学数学知识解决问题C.了解生活数学 D、掌握生活数学10、《新课程标准》对“基本理念”进行了很大的修改，过去的基本理念说：“人人学有价值的数学，人人获得必须的数学，不同人在数学上得到不同的发展。
”,现在的《新课标》改为： ( )A.人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展B.人人都获得教育，人人获得良好的教育C.人人学有用的数学，人人获得有价值的教育D.人人获得良好的数学教育11、《新课标》强调“从双基到四基”的转变，四基是指：（）A. 基础知识、基本技能、基本方法和基本过程B. 基础知识、基本经验、基本过程和基本方法C. 基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验D. 基础知识、基本经验、基本思想和基本过程12、《新课标》强调“从两能到四能”的转变，“四能”是指（）A. 分析问题、解决问题的能力；发现问题和讨论问题的能力。
高中数学选修2(新课标)课件2.1.1离散型随机变量及其分布列
知识导图
学法指导
1.随机变量表示随机试验的结果． 2．类比函数来学习随机变量，它们之间既有联系又有区别．事 实上，本章的内容与《数学 1》中函数的内容具有一致性，都是先 一般性了解随机变量(函数)的概念和性质，然后将其具体化为两点 分布、超几何分布、二项分布、连续的正态分布(指数、对数、幂 函数、三角函数、数列)，这样的学习有利于更好地认识随机变量．
【解析】 (1)A 的取值不具有随机性，C 是一个事件而非随机 变量，D 中概率值是一个定值而非随机变量，只有 B 满足要求．
【答案】 (1)B
(2)下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？并说明 理由．
①北京机场一年中每天运送乘客的数量； ②北京某中学办公室一天中接待家长来访人数； ③2018 年除夕收看春节联欢晚会的人数； ④2018 年 3 月 15 号，收看两会开幕式的人数．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
解析：根据离散型随机变量的定义，判断一个随机变量是否是 离散型随机变量，就是看这一变量的所有取值是否可以一一列 出．①②④中的 X 可能取的值，可以一一列举出来，而③中的 X 可 以取某一区间内的一切值，属于连续型的．
答案：B
3．一木箱中装有 8 个同样大小的篮球，编号为 1,2,3,4,5,6,7,8， 现从中随机取出 3 个篮球，以 ξ 表示取出的篮球的最大号码，则 ξ ＝8 表示的试验结果有________种．
{Y＝3}表示掷出的两枚骰子的点数相差 3，其包含的基本事件 有(1,4)，(4,1)Y＝4}表示掷出的两枚骰子的点数相差 4，其包含的基本事件 有(1,5)，(5,1)，(2,6)，(6,2)．
{Y＝5}表示掷出的两枚骰子的点数相差 5，其包含的基本事件 有(1,6)，(6,1)．
2020新课标高考数学(理)二轮总复习(课件+专题限时训练)专题7 高效解答客观题-2
专题限时训练建议用时：45分钟一、选择题1．命题“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是()A．不存在x0∈R,2x0>0B．存在x0∈R,2x0>0C．对任意x∈R,2x≤0D．对任意x∈R,2x>0答案：D解析：本题主要考查全称命题与特称命题．由题意知,原命题的否定为“对任意x ∈R,2x>0”．2．下列命题中的假命题是()A．∀x∈R,e x>0B．∀x∈R,x2≥0C．∃x0∈R,sin x0＝2D．∃x0∈R,2x0>x20答案：C解析：本题考查命题真假的判定．∀x∈R,sin x≤1<2,所以C选项是假命题．3．(2019·中卫一模)命题“若a2＋b2＝0,则a＝0且b＝0”的逆否命题是() A．若a2＋b2≠0,则a≠0且b≠0”B．若a2＋b2≠0,则a≠0或b≠0”C．若a＝0且b＝0,则a2＋b2≠0D．若a≠0或b≠0,则a2＋b2≠0答案：D解析：命题“若a2＋b2＝0,则a＝0且b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0,则a2＋b2≠0”．4．已知p：x≤1；q：x2－x>0,则p是¬q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：B解析：本题考查充要条件的判定．依题意,¬q：x2－x≤0,即0≤x≤1；由x≤1不能得知0≤x≤1；反过来,由0≤x≤1可得x≤1.因此,p是¬q成立的必要不充分条件．5．(2019·绵阳模拟)已知命题p：∃x0∈R,使得lgcos x0＞0；命题q：∀x＜0,3x＞0,则下列命题为真命题的是()A．p∧q B．p∨¬qC．¬p∧¬q D．p∨q答案：D解析：命题p：∃x0∈R,使得lgcos x0＞0,∵－1≤cos x≤1,∴lgcos x≤0,∴命题p为假命题,命题q：∀x＜0,3x＞0,是真命题,∴p∧q为假命题,p∨¬q为假命题,¬p∧¬q为假命题,p∨q为真命题．6．若“0<x<1”是“(x－a)[x－(a＋2)]≤0”的充分不必要条件,则实数a的取值范围是()A．(－∞,0]∪[1,＋∞)B．(－1,0)C．[－1,0]D．(－∞,－1)∪(0,＋∞)答案：C解析：(x－a)[x－(a＋2)]≤0⇒a≤x≤a＋2,由集合的包含关系知⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，a ＋2≥1⇒a ∈[－1,0]． 7．已知命题p ：∀x >0,x ＋4x ≥4；命题q ：∃x 0∈(0,＋∞),2x 0＝12.则下列判断正确的是( )A ．p 是假命题B ．q 是真命题C ．p ∧¬q 是真命题D ．¬p ∧q 是真命题 答案：C解析：因为当x >0时,x ＋4x ≥2x ·4x ＝4,当且仅当x ＝2时等号成立,所以p 是真命题,当x 0>0时,2x 0>1,所以q 是假命题,所以p ∧¬q 是真命题,¬p ∧q 是假命题．8．若x ,y ∈R ,则x >y 的一个充分不必要条件是( )A ．|x |>|y |B ．x 2>y 2 C.x >yD ．x 3>y 3答案：C解析：本题考查充要条件的判断．由|x |>|y |,x 2>y 2未必能推出x >y ,排除A,B ；由x >y 可推出x >y ,反之,未必成立,而x 3>y 3是x >y 的充要条件．9．“a ≤－2”是“函数f (x )＝|x －a |在[－1,＋∞)上单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A解析：结合图象可知函数f (x )＝|x －a |在[a ,＋∞)上单调递增,易知当a ≤－2时,函数f (x )＝|x －a |在[－1,＋∞)上单调递增,但反之不一定成立．10．(2019·南昌二模)已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋a ,命题p ：∃x 0∈R ,f (x 0)＝0,若p 为假命题,则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 答案：C解析：因为p 为假命题,所以¬p 为真命题,即∀x ∈R ,f (x )≠0,故Δ＝1－4a 2＜0,解得a >12或a <－12.11．下列命题正确的个数是( )①命题“∃x 0∈R ,x 20＋1>3x 0”的否定是“∀x ∈R ,x 2＋1≤3x ”；②“函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”是“a ＝1”的必要不充分条件；③x 2＋2x ≥ax 在x ∈[1,2]上恒成立⇔(x 2＋2x )min ≥(ax )max 在x ∈[1,2]上恒成立； ④“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充要条件是“a ·b <0”．A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B解析：易知①正确；因为f (x )＝cos 2ax ,所以2π|2a |＝π,即a ＝±1,因此②正确；因为x 2＋2x ≥ax 在x ∈[1,2]上恒成立⇒a ≤x ＋2在x ∈[1,2]上恒成立⇒a ≤(x ＋2)min ,x ∈[1,2],因此③不正确；因为钝角不包含180°,而由a ·b ＜0时向量夹角包含180°,因此“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充要条件是“a ·b ＜0且a 与b 不反向”,故④不正确．12．(2019·珠海二模)“－1≤x ＋y ≤1且－1≤x －y ≤1”是“x 2＋y 2≤1”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A解析：作出不等式组对应的平面区域如图．则“－1≤x＋y≤1且－1≤x－y≤1对应的区域在单位圆内,则“－1≤x＋y≤1且－1≤x－y≤1”是“x2＋y2≤1”的充分不必要条件．二、填空题13．已知命题p：∃x∈R,sin x>a,若¬p是真命题,则实数a的取值范围为__________．答案：a≥1解析：依题意得,∀x∈R,sin x≤a恒成立,于是有a≥1.14．(2019春·思明区校级月考)命题p：|x|＞1；命题q：x＜m,若¬p是¬q的充分不必要条件,则实数m的取值范围为__________．答案：(－∞,－1]解析：由|x|＞1得x＞1或x＜－1,若¬p是¬q的充分不必要条件,则q是p的充分不必要条件,即m≤1,即实数m的取值范围是(－∞,－1]．15．(2019春·西湖区校级月考)命题p：若直线与抛物线有且只有一个公共点,则直线与抛物线相切．命题p是__________(真,假)命题,命题p的否命题是__________(真,假)命题．答案：假真解析：当直线和抛物线的对称轴平行时,满足只有一个交点,但此时直线和抛物线是相交关系,即命题p是假命题．命题p的逆命题为：若直线与抛物线相切,则直线与抛物线有且只有一个公共点,正确．命题的否命题和逆命题互为逆否命题,则命题的否命题为真命题．16．已知命题p：∃x0∈R,mx20＋2≤0；命题q：∀x∈R,x2－2mx＋1>0,若p∨q为假命题,则实数m的取值范围是________．答案：[1,＋∞)解析：因为p∨q是假命题,所以命题p和q都是假命题．由命题p：∃x0∈R,mx20＋2≤0为假命题知,¬p：∀x∈R,mx2＋2＞0为真命题,所以m≥0.①由命题q：∀x∈R,x2－2mx＋1＞0为假命题知,¬q：∃x0∈R,x20－2mx0＋1≤0为真命题,所以Δ＝(－2m)2－4≥0⇒m2≥1⇒m≤－1或m≥1.②由①和②得m≥1.。
高中数学选修2(新课标)课件1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质
答案：C
2．已知(a＋b)n 展开式中只有第 5 项的二项式系数最大，则 n 等于( )
－1，可解出 a0＋a2＋a4＋…＋a12. (2)令 x＝1，由各项系数和先求出 n，再求常数项．
方法归纳
二项展开式中系数和的求法 (1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的 式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x＝1 即可； 对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和，只 需令 x＝y＝1 即可． (2)一般地，若 f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则 f(x)展开式中 各项系数之和为 f(1)， 奇数项系数之和为 a0＋a2＋a4＋…＝f1＋2f－1， 偶数项系数之和为 a1＋a3＋a5＋…＝f1－2f－1.
解析：(1)令 x＝1，
得 a0＋a1＋a2＋…＋a2 018＝(－1)2 018＝1. (2)令 x＝－1，得
a0－a1＋a2－…－a2 017＋a2 018＝32 018. ①＋②得
2(a0＋a2＋a4＋…＋a2 018)＝1＋32 018，
所以
a0＋a22.
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
知识点一 杨辉三角的特点
(1)在同一行中，每行两端都是____1____，与这两个 1 等距离的 数___相__等___．
(2)在相邻的两行中，除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两 个数的____和____，即 Cnr＋1＝Crn－1＋Crn.
高中数学(新课标)选修2课件1.3.3函数的最大(小)值与导数
于是，g(x)在[0,1]上的最小值是 g(ln(2a))＝2a－ 2aln(2a)－b. 综上所述，当 a≤12时，g(x)在[0,1]上的最小值是 g(0)＝1－b； 当12<a<2e时，g(x)在[0,1]上的最小值是 g(ln(2a))＝2a－2aln(2a) －b； 当 a≥2e时，g(x)在[0,1]上的最小值是 g(1)＝e－2a－b.
当 x 变化时，f′(x)与 f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－ 2) － 2 (－ 2， 2) 2 ( 2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
极小值
因为 f(－1)＝10，f(3)＝18，f( 2)＝－8 2，
所以当 x＝ 2时，f(x)取得最小值－8 2；
当 x＝3 时，f(x)取得最大值 18.
对 f(x)求导，得 f′(x)＝4ax3ln x＋ax4×1x＋4bx3＝ x3(4aln x＋a＋4b)． 由题意知 f′(1)＝0， 得 a＋4b＝0，解得 a＝12. 因为 f′(x)＝48x3ln x(x>0)， 令 f′(x)＝0，解得 x＝1. 当 0<x<1 时，f′(x)<0，此时 f(x)为减函数； 当 x>1 时，f′(x)>0，此时 f(x)为增函数． 所以 f(x)在 x＝1 处取得极小值 f(1)＝－3－c， 并且此极小值也是最小值．
状元随笔 (1)函数的最值是一个整体性的概念．函数极值是
在局部上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函 数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较．
2020新课标高考数学(理)二轮总复习(课件+专题限时训练)1-6-2
专题限时训练 (小题提速练)(建议用时：45分钟)一、选择题1．若∀x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，x 2>x 1，y 1＝sin x 1x 1，y 2＝sin x 2x 2，则( ) A ．y 1＝y 2 B ．y 1>y 2 C ．y 1<y 2D ．y 1，y 2的大小关系不能确定 答案：B解析：设y ＝sin x x ，则y ′＝(sin x )′·x －sin x ·(x )′x 2＝x cos x －sin x x 2.因为在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上x <tan x ，所以x cos x －sin x <0，所以y ′<0，所以y ＝sin x x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减，所以y 1>y 2.2．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．[1,2) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2答案：C解析：f ′(x )＝4x －1x ＝(2x －1)(2x ＋1)x .∵x ＞0，∴由f ′(x )＝0得x ＝12.令f ′(x )＞0，得x ＞12；令f ′(x )＜0，得0＜x ＜12.由题意得⎩⎨⎧k －1≥0，k －1＜12＜k ＋1⇒1≤k ＜32.3．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围是( )A ．[0,1)B ．(－1,1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．(0,1)答案：D解析：f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2－a )． 当a ≤0时，f ′(x )>0，∴f (x )在(0,1)内单调递增，无最小值． 当a >0时，f ′(x )＝3(x －a )(x ＋a )．当x ∈(－∞，－a )和(a ，＋∞)时，f (x )单调递增， 当x ∈(－a ，a )时，f (x )单调递减，所以当a <1，即0<a <1时，f (x )在(0,1)内有最小值．4．若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．(0，＋∞) D ．(－1，＋∞)答案：D解析：∵2x (x －a )<1，∴a >x －12x . 令f (x )＝x －12x ，∴f ′(x )＝1＋2－x ln 2>0. ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴f (x )>f (0)＝0－1＝－1， ∴a 的取值范围为(－1，＋∞)．5．(2019·曲靖二模)已知偶函数f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，其导函数为f ′(x )，对定义域内的任意x ，都有2f (x )＋xf ′(x )＞0成立，若f (2)＝1，则不等式x 2f (x )＜4的解集为( ) A ．{x |x ≠0，±2} B ．(－2,0)∪(0,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(0,2) 答案：B解析：令g (x )＝x 2f (x )－4，g (2)＝0. ∵g (－x )＝x 2f (－x )－4＝x 2f (x )－4＝g (x )，∴g (x )在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上为偶函数．当x ＞0时，g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )＝x [2f (x )＋xf ′(x )]＞0成立． ∴函数g (x )在(0，＋∞)上为增函数． ∴不等式x 2f (x )＜4⇔g (|x |)＜g (2)． ∴|x |＜2，x ≠0.解得x ∈(－2,0)∪(0,2)．6．已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意的0<a <b ，则必有( ) A ．af (b )≤bf (a ) B ．bf (a )≤af (b ) C ．af (a )≤f (b ) D ．bf (b )≤f (a )答案：A解析：因为xf ′(x )≤－f (x )，f (x )≥0， 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )x ′＝xf ′(x )－f (x )x 2≤－2f (x )x 2≤0，则函数f (x )x 在(0，＋∞)上单调递减． 由于0<a <b ，则f (a )a ≥f (b )b ，即af (b )≤bf (a )．7．(2019·甘肃模拟)若点(m ，n )在函数f (x )＝13x 3－x (x >0)的图象上，则n －m ＋22的最小值是( ) A.13 B ．23 C.223 D ．2 2答案：C解析：∵点(m，n)在函数f(x)＝13x3－x(x>0)的图象上，∴n＝13m3－m，则n－m＋22＝13m3－2m＋2 2.令g(m)＝13m3－2m＋22(m＞0)，则g′(m)＝m2－2，可得g(m)在(0，2)递减，在(2，＋∞)递增，∴g(m)的最小值是g(2)＝223.8．定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，已知f(x＋1)是偶函数，且(x－1)f′(x)<0.若x1<x2，且x1＋x2>2，则f(x1)与f(x2)的大小关系是()A．f(x1)<f(x2) B．f(x1)＝f(x2)C．f(x1)>f(x2) D．不确定答案：C解析：由(x－1)f′(x)<0可知，当x>1时，f′(x)<0，函数单调递减．当x<1时，f′(x)>0，函数单调递增．因为函数f(x＋1)是偶函数，所以f(x＋1)＝f(1－x)，f(x)＝f(2－x)，即函数f(x)图象的对称轴为x＝1.所以，若1≤x1<x2，则f(x1)>f(x2)；若x1<1，则x2>2－x1>1，此时有f(x2)<f(2－x1)，又f(2－x1)＝f(x1)，所以f(x1)>f(x2)．综上，必有f(x1)>f(x2)．9．已知函数f(x)＝ax－1＋ln x，若存在x0>0，使得f(x0)≤0有解，则实数a的取值范围是()A．a>2 B．a<3 C．a≤1 D．a≥3 答案：C解析：函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，不等式ax－1＋ln x≤0有解，即a≤x－x ln x在(0，＋∞)上有解，令h(x)＝x－x ln x，可得h′(x)＝1－(ln x＋1)＝－ln x．令h′(x)＝0，可得x＝1，当0<x<1时，h′(x)>0，当x>1时，h′(x)<0，可得当x＝1时，函数h (x )＝x －x ln x 取得最大值1，要使不等式a ≤x －x ln x 在(0，＋∞)上有解，只要a 小于等于h (x )的最大值即可，即a ≤1.10．直线y ＝a 分别与直线y ＝2(x ＋1)，曲线y ＝x ＋ln x 交于点A ，B ，则|AB |的最小值为( ) A ．3 B ．2 C.324 D ．32答案：D解析：解方程2(x ＋1)＝a ，得x ＝a2－1.设方程x ＋ln x ＝a 的根为t (t ＞0)，则t ＋ln t ＝a ， 则|AB |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －a 2＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －t ＋ln t 2＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 2－ln t 2＋1. 设g (t )＝t 2－ln t2＋1(t ＞0)， 则g ′(t )＝12－12t ＝t －12t (t ＞0)．令g ′(t )＝0，得t ＝1.当t ∈(0,1)时，g ′(t )＜0；当t ∈(1，＋∞)时，g ′(t )＞0，所以g (t )min ＝g (1)＝32，所以|AB |≥32，所以|AB |的最小值为32.11．当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5，－3]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－98C ．[－6，－2]D ．[－4，－3]答案：C解析：当x ∈(0,1]时，得a ≥－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3－4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1x ，令t ＝1x ，则t ∈[1，＋∞)，a ≥－3t 3－4t 2＋t ，令g (t )＝－3t 3－4t 2＋t ，t ∈[1，＋∞)，则g ′(t )＝－9t 2－8t ＋1＝－(t ＋1)·(9t －1)，显然在[1，＋∞)上，g ′(t )<0，g (t )单调递减，所以g (t )max ＝g (1)＝－6，因此a ≥－6.同理，当x ∈[－2,0)时，得a ≤－2.由以上两种情况得－6≤a ≤－2，显然当x ＝0时也成立， 故实数a 的取值范围为[－6，－2]．12．设函数f (x )＝3sin πm x ，若存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋f 2(x 0)＜m 2.则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－6)∪(6，＋∞)B ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 答案：C解析：由正弦函数的图象知，f (x )的极值点x 0满足f (x 0)＝±3. ∴πx 0m ＝k π＋π2，k ∈Z .∴x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋12·m .∴不等式x 20＋f 2(x 0)＜m 2⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122m 2＋3＜m 2(k ∈Z )⇔m 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122＞3(k ∈Z )． 存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋f 2(x 0)＜m 2⇔存在整数k 使不等式m 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122＞3成立．当k ≠0且k ≠－1时，必有⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122＞1，此时不等式显然不成立．∴k ＝0或－1时，m 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122＞3⇔34m 2＞3⇔m ＞2或m ＜－2. 二、填空题13．已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是__________． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0解析：作出二次函数f (x )的图象，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，则有⎩⎪⎨⎪⎧f (m )<0，f (m ＋1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1<0，(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0.解得－22<m <0.14．(2019春·潍坊期中)已知函数f (x )的定义域为R ，f (－2)＝－2，若对∀x ∈R ，f ′(x )＜3，则不等式f (x )＞3x ＋4的解集为________． 答案：(－∞，－2)解析：根据题意，设g (x )＝f (x )－3x －4，则g ′(x )＝f ′(x )－3.由对∀x ∈R ，f ′(x )＜3，则g ′(x )＜0，即g (x )在R 上为减函数． 又由f (－2)＝－2，则g (－2)＝f (－2)＋6－4＝0， 则f (x )＞3x ＋4⇒f (x )－3x －4＞0⇒g (x )＞g (－2)， 即不等式的解集为(－∞，－2)．15．(2019·南开区二模)已知函数f (x )＝e x －1e x －2sin x ，其中e 为自然对数的底数，若f (2a 2)＋f (a －3)＜0，则实数a 的取值范围为________． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1解析：∵f (x )＝e x －1e x －2sin x ，∴f (－x )＝e －x －e x ＋2sin x ＝－f (x )， ∵f (x )′＝e x ＋1e x －2cos x ≥2e x ·e －x －2cos x ≥0，∴f (x )在R 上单调递增且为奇函数．由f (2a 2)＋f (a －3)＜0，可得f (2a 2)＜－f (a －3)＝f (3－a )， ∴2a 2＜－a ＋3，解得－32<a <1. 16．已知函数f (x )＝x －1x ＋1，g (x )＝x 2－2ax ＋4，若对于任意x 1∈[0,1]，存在x 2∈[1,2]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是__________． 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，＋∞解析：由于f ′(x )＝1＋1(x ＋1)2>0，因此函数f (x )在[0,1]上单调递增，所以x ∈[0,1]时，f (x )min ＝f (0)＝－1.根据题意可知存在x ∈[1,2]，使得g (x )＝x 2－2ax ＋4≤－1，即x 2－2ax ＋5≤0，即a ≥x 2＋52x 能成立．令h (x )＝x 2＋52x ，则要使a ≥h (x )在x ∈[1,2]能成立，只需使a ≥h (x )min .又函数h (x )＝x 2＋52x 在x ∈[1,2]上单调递减，所以h (x )min ＝h (2)＝94，故只需a ≥94.专题限时训练 (大题规范练)(建议用时：30分钟)1．(2019·河南模拟)已知函数f (x )＝x ln x ＋e. (1)若f (x )≥ax 恒成立，求实数a 的最大值； (2)设函数F (x )＝e x －1f (x )－x 2－2x ＋1，求证：F (x )＞0. 解析：(1)函数f (x )＝x ln x ＋e 的定义域为(0，＋∞)， f (x )≥ax 恒成立⇔a ≤x ln x ＋e x .令φ(x)＝x ln x＋ex，则φ′(x)＝x－ex2，可得φ(x)在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，∴φ(x)min＝φ(e)＝2，∴a≤2.故实数a的最大值为2.(2)由(1)可知f(x)≥2x，只需证明2x≥x2＋2x－1e x－1.令g(x)＝2x－x2＋2x－1e x－1，则g′(x)＝2－3－x2e x－1＝2e x－1＋x2－3e x－1.令h(x)＝2e x－1＋x2－3，h′(x)＝2e x－1＋2x＞0在(0，＋∞)恒成立．注意到h(1)＝0，所以当x∈(0,1)时，h(x)＜0，g′(x)＜0，x∈(1，＋∞)时，h(x)＞0，g′(x)＞0，∴g(x)在(0,1)单调递减，在(1，＋∞)单调递增，∴g(x)min＝g(1)＝0.∴2x≥x2＋2x－1e x－1.当且仅当x＝1时取等号，而f(x)≥2x，当且仅当x＝e时取等号，∴F(x)＞0.2．(2019·蓉城名校联盟联考)已知函数f(x)＝ax2－2(a＋1)x＋2ln x，a∈R.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)是否存在最大整数k，当a≤k时，对任意的x≥2，都有f(x)<e x(x－1)－ax－ln x成立？(其中e为自然对数的底数，e＝2.718 28…)，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．解析：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝2ax －2(a ＋1)＋2x ＝2(ax －1)(x －1)x，所以当a ∈(－∞，0]时，f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减； 当a ∈(0,1)时，f (x )在(0,1)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1a 上单调递减；当a ＝1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ∈(1，＋∞)时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 和(1，＋∞)上单凋递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，1上单调递减．(2)ax 2－2(a ＋1)x ＋2ln x <e x (x －1)－ax －ln x 对x ≥2恒成立⇔ax 2－(a ＋2)x ＋3ln x <e x (x －1)． ①当x ＝2时，得4a －(a ＋2)×2＋3ln 2<e 2， 所以2a <e 2＋4－ln 8<8＋4－2＝10， 所以a <5，则整数k 的最大值不超过4.下面证明：当a ≤4时，不等式①对于x ≥2恒成立， 设g (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋3ln x －e x (x －1)(x ≥2)， 则g ′(x )＝2ax －(a ＋2)＋3x －x e x . 令h (x )＝2ax －(a ＋2)＋3x －x e x .则h ′(x )＝2a －3x 2－(x ＋1)e x <2a －(x ＋1)e x ≤2a －3e 2≤8－3e 2<0，所以h (x )在[2，＋∞)上单调递减，所以h (x )＝2ax －(a ＋2)＋3x －x e x ≤h (2)＝3a －12－2e 2≤232－2e 2<0. 即当x ∈[2，＋∞)时，g ′(x )<0， 所以g (x )在[2，＋∞)上单调递减，所以g(x)＝ax2－(a＋2)x＋3ln x－e x(x－1)≤g(2)＝2a－4＋3ln 2－e2<8－4＋3－e2＝7－e2<0.所以a≤4时，不等式①恒成立，所以k的最大值为4.。
高中数学(新课标)选修2课件1.6微积分基本定理
求使3f(x)dx＝430恒 k
成立的 k 值．
【解析】 (1)当 k∈(2,3]时，
k3f(x)dx＝k3(1＋x2)dx＝x＋13x33k ＝3＋13×33－k＋13k3 ＝430， 整理得 k3＋3k＋4＝0，即 k3＋k2－k2＋3k＋4＝0， ∴(k＋1)(k2－k＋4)＝0， ∴k＝－1. 而 k∈(2,3]，∴k＝－1 舍去．
∴∫2ππ(cos x＋sin x)dx＝(sin x－cos x)2ππ ＝(sin 2π－cos 2π)－
(sin π－cos π)＝(0－1)－[0－(－1)]＝－1－1＝－2.
(3)∵(ex－sin x)′＝ex－cos x，
∴∫
0 -π
(ex
－
cos
x)dx ＝ (ex － sin
x)
0 －π
1.6 微积分基本定理
知识导图
学法指导 1.在理解定积分概念的基础上，从图形的角度直观理解微积分 基本定理． 2．从形式上体会原函数与被积函数之间的关系，并深化认识 微积分基本定理． 3．微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的内在联系，同 时它也提供了计算定积分的一种有效方法．
高考导航 对于本节知识，高考中多与定积分的几何意义和其他知识相结 合考查定积分的计算，以选择题或填空题的形式呈现，分值 5 分.
(2)当 k∈[－2,2]时，
3f(x)dx＝2(2x＋1)dx＋3(1＋x2)dx
k
k
2
＝(x2＋x)2k ＋x＋13x332
＝(22＋2)－(k2＋k)＋3＋13×33－2＋13×23 ＝430－(k2＋k)＝430，
∴k2＋k＝0，
解得 k＝0 或 k＝－1，
综上所述，k＝0 或 k＝－1.