【优化方案】高中人教A数学必修1同步测试卷：高中同步测试卷(十)(含答案解析)

高中同步测试卷(十) 单元检测 对数函数、幂函数(B)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若lg x ＝a ，lg y ＝b ，则lg x －lg ⎝⎛⎭⎫y 102的值为( ) A.12a －2b －2 B ．12a －2b ＋1 C.12a －2b －1 D ．12a －2b ＋2 2．若log 2[log 12(log 2x)]＝log 3[log 13(log 3y)]＝log 5[log 15(log 5z)]＝0，则x ，y ，z 的大小关系是( )A ．z<x<yB ．x<y<zC ．y<z<xD ．z<y<x3．设a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x a 的定义域为R 且为奇函数的所有a 值为( )A ．1，3B ．－1，1C ．－1，3D ．－1，1，3 4．函数f(x)＝log 2(3x ＋1)的值域为( )A ．(0，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞) 5．已知log a 34<1，那么a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞) B ．⎝⎛⎭⎫34，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫34，1 D ．(1，＋∞)6．已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝ln(x ＋1)，则函数f(x)的图象为( )7．某种食品因存放不当受细菌的侵害，据观察，此食品中细菌的个数y 与经过的时间t(分钟)满足关系y ＝2t ，若细菌繁殖到3个，6个，18个所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3分钟，则t 1＋t 2与t 3的大小关系为( )A ．t 1＋t 2＝t 3B ．t 1＋t 2>t 3C ．t 1＋t 2<t 3D ．不确定8．已知函数f(x)＝log a (x 2－ax ＋3)(a>0，且a≠1)，对任意实数x 1，x 2，当x 1<x 2≤a2时，总有f(x 1)－f(x 2)>0，那么实数a 的取值范围是( )A ．(0，3)B ．(1，3)C ．(0，23)D ．(1，23)9．已知幂函数f(x)＝x 3m －5，其中m ∈N ，且在(0，＋∞)上是减函数，又f(－x)＝f(x)，则m 等于( )A ．0B ．1C ．2D ．310．设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x<2，log 3（x 2－1），x ≥2，则不等式f(x)>2的解集为( ) A ．(1，2)∪(3，＋∞) B ．(10，＋∞) C ．(1，2)∪(10，＋∞) D ．(1，2) 11．已知f(x)是定义在R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递增，若f(lg x)<0，则x 的取值范围是( )A ．(0，1)B ．(1，10)C ．(1，＋∞)D ．(10，＋∞)12．定义：对函数y ＝f(x)，x ∈D ，若存在常数c ，对于任意x 1∈D ，存在唯一的x 2∈D ，使得f （x 1）＋f （x 2）2＝c ，则称函数f(x)在D 上的“均值”为c.已知f(x)＝lg x ，x ∈[10，100]，则函数f(x)＝lg x 在[10，100]上的均值为( )A.32 B ．34 C.110D ．1013．计算：lg 25＋2lg 2＋e ln 2＋log 34273＝________． 14．函数f(x)＝1＋log a x(a>0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －2＝0上，则m ＋n ＝________．15．溶液的酸碱度是通过pH 刻画的，已知某溶液的pH 等于－lg[H ＋]，其中[H ＋]表示该溶液中氢离子的浓度，若某溶液的氢离子的浓度为10－5 mol/L ，则该溶液的pH 为________．16．幂函数f(x)＝(m 2－m －1)·x 1－m在(0，＋∞)上是减函数，则f(x)的解析式是f(x)＝________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝log 4(4x ＋1)＋kx(k ∈R)是偶函数，求k 的值．18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝log 12x ＋1x －1.(1)求函数f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并说明理由．19.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝lg |x|， (1)判断f(x)的奇偶性； (2)画出f(x)的图象草图；(3)利用定义证明函数f(x)在(－∞，0)上是减函数．20．(本小题满分12分)已知幂函数y ＝x m2－2m －3(m ∈Z)的图象与x 、y 轴都无交点，且关于y 轴对称，求m 的值，并画出它的图象．21.(本小题满分12分)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝⎝⎛⎭⎫12x. (1)求函数f(x)的解析式；(2)画出函数的图象，根据图象写出函数f(x)的单调区间．22．(本小题满分12分)已知0<a<1，在函数y ＝log a x (x≥1)的图象上有A ，B ，C 三点，它们的横坐标分别为t ，t ＋2，t ＋4.(1)若△ABC的面积为S，求S＝f(t)；(2)判断S＝f(t)的单调性；(3)求S＝f(t)的最大值．参考答案与解析1．[导学号02100065] 【解析】选D.原式＝12lg x －2(lg y －1)＝12a －2b ＋2.2．【解析】选A.由log 2[log 12(log 2x)]＝0，得log 12(log 2x)＝1，所以log 2x ＝12，所以x ＝ 2.同理y ＝33，z ＝55，又2＝68<69＝33，55＝1025<1032＝ 2.所以z<x<y.3．【解析】选A.当a ＝1，3时，函数y ＝x a 的定义域为R ，且为奇函数，当a ＝－1时，y ＝1x 的定义域是{x|x≠0，x ∈R}，当a ＝12时，y ＝x 12＝x 的定义域为{x|x≥0}，故选A. 4．[导学号02100066] 【解析】选A.由3x >0知3x ＋1>1，则log 2(3x ＋1)>log 21＝0，故选A.5．【解析】选A.由题意，log a 34<1＝log a a ，故当0<a<1时，y ＝log a x 为减函数，0<a<34；当a>1时，y ＝log a x 为增函数，a>34，所以a>1.综上，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞)，故选A.6．【解析】选D.由f(x)是R 上的奇函数，知f(0)＝0，因为当x>0时，f(x)＝ln(x ＋1)，所以当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－ln(－x ＋1)，所以f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ln （x ＋1）（x>0）0（x ＝0）－ln （－x ＋1）（x<0），其中y ＝ln(x ＋1)(x>0)图象是由y ＝ln x(x>1)向左平移1个单位得到．y ＝－ln(－x ＋1)图象与y ＝ln(x ＋1)图象关于原点对称．7．[导学号02100067] 【解析】选A.由题意知2t 1＝3，所以t 1＝log 23，同理t 2＝log 26，t 3＝log 218.所以t 1＋t 2＝log 23＋log 26＝log 218＝t 3.8．【解析】选D.由x 1<x 2≤a2，f(x 1)－f(x 2)>0，知f(x)在⎝⎛⎦⎤－∞，a 2上单调递减．又y ＝x 2－ax ＋3在⎝⎛⎦⎤－∞，a 2上单调递减，故a>1.又y ＝x 2－ax ＋3在⎝⎛⎦⎤－∞，a2上大于0恒成立．所以⎝⎛⎭⎫a 22－a×a2＋3>0，即－23<a<23，所以1<a<2 3. 9．【解析】选B.由f(x)在(0，＋∞)上是减函数，得3m －5<0，m<53.又f(－x)＝f(x)，即f(x)是偶函数，m ∈N ，则m ＝1.故选B.10．[导学号02100068] 【解析】选C.f(x)>2的x 值可能在两段上都能取到，应分类讨论．当x<2时，2e x －1>2，解得x>1.此时不等式的解集为(1，2)； 当x≥2时，log 3(x 2－1)>2，此不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1>0，x 2－1>32，解得x>10. 此时不等式的解集为(10，＋∞)．综上所述，不等式f(x)>2的解集为(1，2)∪(10，＋∞)．11．【解析】选A.依题意，函数f(x)在R 上是增函数，且f(0)＝0，不等式f(lg x)<0＝f(0)等价于lg x<0，故0<x<1，故选A.12．【解析】选A.若函数f(x)＝lg x 在D 上的“均值”为c ，则lg x 1＋lg x 22＝c ，所以12lg(x 1x 2)＝c ，所以x 1x 2＝102c ，因为x 1∈[10，100]，x 2∈[10，100]，所以x 1x 2∈[102，104]，即102c ∈[102，104]，所以2c ∈[2，4]，c ∈[1，2]，所以均值为32.故选A.13．[导学号02100069] 【解析】lg 25＋2lg 2＋e ln 2＋log 34273＝2lg 5＋2lg 2＋2＋log 33－14＝4－14＝154. 【答案】15414．【解析】因为函数f(x)＝1＋log a x(a>0，a ≠1)的图象恒过定点A ，所以点A 的坐标为(1，1)，又点A 在直线mx ＋ny －2＝0上，所以m ＋n ＝2.【答案】215．【解析】由题意可知溶液的pH 为－lg[H ＋]＝－lg 10－5＝5.【答案】516．[导学号02100070] 【解析】由题意，m 2－m －1＝1，则m ＝2或m ＝－1，当m ＝2时f(x)＝1x 在(0，＋∞)上为减函数；当m ＝－1时f(x)＝x 2在(0，＋∞)上为增函数，不合题意，故f(x)＝1x.【答案】1x17．【解】因为f(x)是偶函数， 所以f(－x)＝f(x)．所以log 4(4－x ＋1)－kx ＝log 4(4x ＋1)＋kx ，即log 41＋4－x 1＋4x＝2kx.所以log 44－x ＝2kx.所以x ＝－2kx. 又k ∈R ，所以k ＝－12.18．【解】(1)要使函数f(x)有意义，需要x ＋1x －1>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0x －1<0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0x －1>0，即x<－1或x>1，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．(2)在区间(1，＋∞)上任取两个自变量x 1，x 2，且x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝log 121＋x 1x 1－1－log 121＋x 2x 2－1＝log 12（1＋x 1）（x 2－1）（x 1－1）（1＋x 2）＝log 12x 2－1＋x 1x 2－x 1x 1＋x 1x 2－1－x 2， 因为1<x 1<x 2，所以(1＋x 1)(x 2－1)>0，(x 1－1)(1＋x 2)>0，即分子、分母都大于0，又(x 1＋1)(x 2－1)－(x 1－1)(1＋x 2)＝2(x 2－x 1)>0，所以（x 1＋1）（x 2－1）（x 1－1）（1＋x 2）>1，所以log 12（1＋x 1）（x 2－1）（x 1－1）（1＋x 2）<0，即f(x 1)－f(x 2)<0，所以函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增．19．[导学号02100071] 【解】(1)要使函数有意义，x 的取值需满足|x|＞0，解得x≠0，即函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．因为f(－x)＝lg|－x|＝lg|x|＝f(x)，所以f(－x)＝f(x)．所以函数f(x)是偶函数．(2)由于函数f(x)是偶函数，则其图象关于y 轴对称，将函数y ＝lg x 的图象对称到y 轴的左侧与函数y ＝lg x 的图象合起来得函数f(x)的图象，如图所示．(3)证明：设x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1＜x 2， 则f(x 1)－f(x 2)＝lg|x 1|－lg|x 2|＝lg|x 1||x 2|＝lg ⎪⎪⎪⎪x 1x 2， 因为x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1＜x 2， 所以|x 1|＞|x 2|＞0.所以⎪⎪⎪⎪x 1x 2＞1.lg ⎪⎪⎪⎪x 1x 2＞0. 所以f(x 1)＞f(x 2)．所以函数f(x)在(－∞，0)上是减函数．20．【解】因为m ∈Z ，且幂函数y ＝xm 2－2m －3的图象与x 轴、y 轴均无交点， 所以m 2－2m －3＝(m ＋1)(m －3)≤0，即－1≤m≤3(m ∈Z)． 又因为图象关于y 轴对称，所以m 2－2m －3是偶数，得m ＝－1或m ＝1或m ＝3，其中当m ＝1时，函数为y ＝x －4，其图象如图①.当m ＝－1或m ＝3时，函数为y ＝x 0＝1，其图象如图②.21．【解】(1)因为f(x)是定义在R 上的奇函数， 所以f(0)＝0，当x<0时，－x>0， f(x)＝－f(－x)＝－⎝⎛⎭⎫12－x＝－2x .所以函数的解析式为f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x<0，0，x ＝0，⎝⎛⎭⎫12x ，x>0.(2)函数图象如图所示，通过函数的图象可以知道，f(x)的单调递减区间是(－∞，0)，(0，＋∞)，无单调递增区间．22．[导学号02100072]【解】(1)如图所示，A ，B ，C 三点的坐标为A(t ，log a t)，B(t ＋2，log a (t ＋2))，C(t ＋4，log a (t ＋4))．因为△ABC 的面积S ＝S 梯形ABB′A′＋S 梯形BCC′B′－S 梯形ACC′A′ 所以S ＝2|log a (t ＋2)|－[|log a t|＋|log a (t ＋4)|]， 因为t≥1，所以t ＋2>1，t ＋4>1， 又因为0<a<1，所以S ＝－2log a (t ＋2)＋log a t ＋log a (t ＋4)＝log a t （t ＋4）（t ＋2）2(t≥1)．(2)S ＝log a ⎣⎡⎦⎤1－4（t ＋2）2.因为当t∈[1，＋∞)时，(t＋2)2递增，4（t＋2）2递减，所以1－4（t＋2）2单调递增．又0<a<1，所以S＝f(t)在[1，＋∞)上是减函数．(3)由(2)知，当t＝1时，S max＝log a 5 9.。