二次曲线弦的性质与应用(DOC)
二次曲线的性质及应用
二次曲线的性质及应用----研究性学习报告山东省实验中学2008级23班刘谦益傅明睿陈霖指导教师：王学红摘要二次曲线与我们的生活密切相关，它们的性质在生产、生活中被广泛应用。
本小组成员在此次研究性学习活动中对二次曲线的性质进行了一系列探讨，从二次曲线的定义入手，就二次曲线的方程、光学性质及应用等方面展开说明。
AbstractConics are closely related to our living. Their characters have been widely applied in the producing and our living. The members of our team carried out a series of discussions with the characters of the conics at the research-based learning activities. Starting with the definition of conics, we illuminated with the equation, the optical properties and the application areas of the conics.二次曲线的性质及应用----研究性学习报告山东省实验中学2008级23班 刘谦益 傅明睿 陈霖指导教师：王学红一、绪论在我们的生活中，二次曲线无处不在。
车轮滚滚，留下一路红尘；烈日炎炎，照亮亘古乾坤。
这些都给我们留下圆的形象。
构筑了五彩世界的圆，就是最简单的二次曲线——x 2+y 2=r 2从椭圆方程说起当我们在纸上钉两个图钉，（它们的间距为2c ），将一根长为l 的绳子分别各系在一个图钉上，用笔绷紧绳子绕一圈，就画出了一个椭圆——因为椭圆上任意一点到两焦点的距离和相等，而且不难得出这个椭圆长轴a= ,短轴b=,我们把它放在直角坐标系中，设F 1（c,0），F 2（-c,0），可知椭圆上任意一点p(x,y)满足PF 1+PF 2=l=2a 。
3.2.2双曲线的简单几何性质第四课时(双曲线中点弦问题)课件-高二上学期数学人教A版选择性【01】
2.已知双曲线x2 y2 1,过点P(2, 1)的直线l与双曲线相交于A, B两点，P能否时线段AB中点？ 2
为什么？
拓展练习：
已知直线l
:
x
y
1
0与双曲线C
:
x2 a2
y2
1(a
0)
1)、若a 1 ,求l与C相交所得的弦长 2
2）、若直线l与双曲线有两不同的交点，求双曲线C离心率的取值范围。
直线斜率不存在时, AB y1 y2
4.弦长公式：
双曲线的弦长：
设直线方程为：y kx m,
双曲线为：x2 a2
y2 b2
1
设A（x1, y1), B(x2, y2 )
| AB | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 1 k 2 | x1 x2 |
1 k 2 (x1 x2 )2 4x1x2
3.2.2 双曲线的简单几何性质 （双曲线中点弦问题）
01
理解直线与双曲线的位置 关系
02 双曲线的中点弦问题
教学目标
03 与双曲线有关的综合问题单问题
一、知识回顾：
1、定义： 一般地，我们把平面内与两个定点F1、F2的距离的差的 绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫双曲线.
• 小结：
1.弦长公式： | AB | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 1 k 2 | x1 x2 | 1 k 2 (x1 x2 )2 4x1x2
直线斜率不存在时, AB y1 y2
2.中点弦问题，验证是否相交。
感
T
H
谢
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指
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导
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初中数学竞赛专题-第二十九章双曲线的性质及应用
第二十九章 双曲线的性质及应用【基础知识】双曲线具有一般圆锥曲线的性质外,还具有下述有趣性质：性质1双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点为1F ,2F ,其上任意一点()00,P x y 处的两条焦半径长,当0x a≥以时,10PF ex a=+,20PF ex a=-；当0x a≤时,()10PF ex a =-+,()200PF ex a a ex =--=-． 性质2以焦半径为直径的圆与以实轴为直径的圆外切．证明设双曲线方程为()222210,0x y a b a b-=>>,其上任一点()00,P x y ,设两焦点为1F ,2F ,2PF 的中点为M ,中心O 为12F F 的中点,则()101122OM PF ex a ==+,但以实轴为直径的圆222x y a +=与以2PF 为直径的圆的半径之和为()()200111222a PF a ex a ex a +=+-=+,即证． 性质3设1F ,2F 是双曲线()222210x y a b a b -=>>的左、右焦点,点P 是双曲线上异于顶点的任意一点,（I ）12PF PF ⋅的最小值为2b ；（Ⅱ）设122F PF θ∠=,则2122sin b PF PF θ⋅=,且1222cot F PF S b θ=⋅△；（Ⅲ）设12PF F α∠=,21PF F β∠=,则当点P 在双曲线右支上时,1tan cot 221e e αβ-⋅=+；当点P 在双曲线左支上时,1cottan221e e αβ-⋅=+．证明（I ）当P 为双曲线顶点时,即取最小值． （Ⅱ）在12PF F △中,由余弦定理,22212122cos24PF PF PF PF c θ+-⋅⋅=,由122PF PF a -=,有222121224PF PF PF PF a +-⋅=,两式相减,化简即得2212221cos2sin b b PF PF θθ⋅==-． 122121sin 2cot 2PF F S PF PF b θθ=⋅⋅=⋅△． （Ⅲ）P 在右支上时,由122PF PF a -=及正弦定理,有()1212sin sin sin PF PF F F βααβ==+．由等比定理,有()22sin sin sin c a αββα=+-．故()1tancotsin 22sin sin 1tan cot 22c e a αβαβαββα+⋅+===--⋅,故1tan cot 221e e αβ-⋅=+． P 点在左支上时,同理可证．性质4P 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上异于顶点的一点,O 是中心,1F ,2F 为其左、右焦点,令OP d =,则22212PF PF d b a ⋅-=-．其证明与椭圆性质8的证明类似．性质5直线0Ax By C ++=与双曲线()222210,0x y a b a b-=±>>相交、相切、相离的充要条件是2222A a B b - 2C ±且22220A a B b -≠． 其证明与椭圆性质9的证明类似． 推论直线0Ax By C ++=与双曲线()()()222210,0x m y n a b a b ---=>>相交、相切、相离的充要条件是2222A a B b -()2Am Bn C ++．性质6设双曲线的一个焦点为F ,直线l 与过顶点A ',A 的切线相交于M ',M ,则 （1）0FM FM '⋅=⇔直线l 与双曲线相切或l 为双曲线的一渐近线； （2）0FM FM '⋅<⇔直线l 与双曲线相离；（3）0FM FM '⋅>⇔直线l 与双曲线相交（或相交于一点）．证明设双曲线方程()222210,0x y a b a b-=>>,(),0F c ,(),0A a '-,(),0A a ,直线l ：y kx m =+．()(),,FM FM a c m ka a c m ka '⋅=---⋅-+()22222c a m k a =-+-2222m b k a =+-．由22221x y a b y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩消去y ,得 ()()2222222220a kb x a kmx a m b -+++=．()2222224a b m b a k ∆=+-．（1）222222220000FM FM m b k a m a k b '⋅=⇔+-=⇔=-=⇔∆=或0m =,bk a=±⇔直线l 与双曲线相切或l 为双曲线的一渐近线；（2）222200FM FM m a k b '⋅<⇔<-⇔∆<⇔直线l 与双曲线要离；（3）2222222200FM FM m a k b m a k b '⋅>⇔>-⇔>-≠或222200m a k b >-=⇔∆>或l 平行于双曲线的一渐近线⇔直线l 与双曲线相交（或相交于一点）．性质7设P ,Q 是双曲线()222210x y b a a b -=>>上的两点,O 为中心,若OP OQ ⊥,则22221111a b OPOQ+=-．证明设OP 的倾斜角为α,将其参数方程cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）代入双曲线方程,得2222222cos sin a b t b a αα=-,故22222221cos sin b a a b OPαα-=． 同理,22222221sin cos b a a b OQαα-=．两式相加即证． 注类似地可证明如下结论：（Ⅰ）AB ,CD 是过双曲线()222210,0x y a b a b -=>>焦点F 的弦,若AB CD ⊥,则（i ）当弦AB ,CD 的端点均在双曲线的同一支或均在两支上时,有2221111a AB CD a b⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭；（ii ）当弦AB 与CD 的端点一组在双曲线的同一支上,另一组在两支上时,有2221111a AB CD a b-=-． （Ⅱ）AB 是过双曲线()222210x y b a a b -=>>焦点F 的弦,O 为中心,Q 为双曲线上一点,若OQ AB ⊥,则（i ）当A ,B 在双曲线的两支上时,有2222211a AB ab OQ +=-；（ii ）当A ,B 在双曲线的同一支时,有2222211a ABb aOQ -=-． 性质8过双曲线的一个焦点,（I ）且与双曲线交于同支的弦,以通径为最短,对于大于通径长的任何一个长度L ,在同一支上过焦点可作两条不同的弦；（Ⅱ）且与双曲线交于异支的弦,以其实轴长为最短,对于大于实轴长的一个长度L ,过一个焦点可作两条交于异支的弦．证明设双曲线方程为()222210,0x y a b a b -=>>．由双曲线的对称性,不妨设弦过双曲线的右焦点,弦的端点分别为()11,A x y ,()22,B x y ,AB L =．当焦点弦为通径时,容易求得22b L a=,且该弦是唯一的．当焦点弦不是通径时,设弦所在直线方程为()y k x c =-,并代入双曲线方程得()2222222222220ba k x a ck x a c k ab -+--=．由此,得22122222a ck x x a k b +=-．（I ）当焦点弦与双曲线交于右支上两点时, 易知222212222222a c ab k ab L AB x x c a a k b ⎛⎫+==+-⋅= ⎪-⎝⎭．于是()()22222b a L k a La b +=-． ①若22b L a <,则220La b -<,①式右边为负数,k 无实数解,即不存在小于通径的同支焦点弦；若22b L a >,则①中k 的两解为k =易知此时bk a>,所以交于右支的弦有两条． （Ⅱ）当焦点弦的端点A ,B 在双曲线异支上时, 易知222212222222a c ab k ab L AB x x c a b a k ⎛⎫+==--⋅= ⎪-⎝⎭． 于是()()22222b L a k a La b-=+． ②若2L a <,则②式右边为负,k 无实数解,即不存在小于实数的交于异支的焦点弦；若2L a =,则0k =,即交于异支的焦点弦以实轴为最短；若2L a >,则②中k 的两解为k =且易知0bk a<<,即交于异支的焦点弦有两条．注由上述性质,可得如下易于操作的结论：（1）若22min 2,b L a a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭,则这样的焦点弦不存在；（2）若22min 2,b L a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,且双曲线非等轴,则弦唯一；（3）若双曲线等轴,且2L a =,则焦点弦有两条,分别为实轴和通径；（4）若a b <（或b a <）且当222b a L a <<（或222b L a a<<）时,焦点弦有两条,它们都交于异支（或同支）上；（5）若222b L a a =>（或222b L a a=>）,焦点弦有三条,一条为实轴,另两条交于同支（或一条为通径,另两条于异支）上；（6）若22max 2,b L a a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭,焦点弦有四条,两条交于同支上,另两条交于异支上．性质9等轴双曲线222x y a -=上点()00,P x y 对弦AB 的张角为直角的充要条件是0AB y k x =-． 性质10设()00,M x y ,双曲线方程为()222210,0x y a b a b-=>>,对于直线l 的方程00221x x y y a b -=,则（1）当M 在双曲线上时,l 为双曲线的切线；（2）当M 在双曲线外时,l 为双曲线的切点弦直线；（3）当M 在双曲线内时,l 为以M 为中点的弦平行且过此弦端点切线交点的直线．事实上,这可由第二十五章的性质7推论后的注即得,这里,其实l 为点M 关于双曲线的极线． 【典型例题与基本方法】例1过双曲线2212y x -=的右焦点作直线l 交双曲线于A ,B 两点,若实数λ使得AB λ=的直线l 恰有3条,则λ=_____________ （1997年全国高中联赛题）解填4．理由是：首先注意到,过双曲线2212y x -=的右焦点且与右支交于两点的弦,当且仅当该弦与x 轴垂直时,取得最小长度224ba =．（事实上,在极坐标系中,可设双曲线的方程为ρ=,设()1,A ρθ,()()212,0,0B ρθρρ=π+>>,则24413cos AB θ=+=-≥,当2θπ=时,等号成立．其次,满足题设条件的直线恰有三条时,只有两种可能：（i ）与双曲线左、右两支都相交的只有一条,而仅与右支相交的有两条．此时,与双曲线左、右两支都相交的必是x 轴,而其两交点间的距离为22a =．但仅与右支相交的两条的弦长4λ>,这不满足题设条件．（ii ）与双曲线左、右两支都相交的有两条,而仅与右支相交的只有一条,且这条弦必与x 轴垂直（否则,由对称性知仅与右支相交的有两条弦）,此时,4AB λ==,且与双曲线左、右两支都相交的弦长也可满足这个条件．所以4λ=．例21F ,2F 为双曲线221445x y -=的两个焦点,P 是双曲线上一点,已知2PF ,1PF ,12F F 成等差数列（或12122PF PF F F =+）,且公差大于0．试求12F PF ∠．解由题设,知24a =,245b =,则7c =． 又1222PF PF c =+,则12214PF PF -=．而1224PF PF a -==,从而求得110PF =,26PF =．于是由性质3（Ⅱ）,知22122260sin 1cos2b b PF PF θθ=⋅==-,即得1cos 2θ=-． 从而120θ=︒,即12120F PF ∠=︒．例31F ,2F 是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点,ab ,直线l 与2F 与x 轴的夹角为θ,tan θ=且22QP PF =∶．求双曲线方程． （1991年全国高考题）解设()1,0F c -,()2,0F c ,在2Rt OQF △中,由tan θ=可得0,Q ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．于是1116PF c =,256c PF =,223736OP c =．由性质4,有222255373636c c b a -=-,即223b a =,与已知223a b =联立求得21a =,23b =．故所求双曲线方程为2233x y -=．例4求过点()6,7P ,且与双曲线221916x y -=相切的方程．解运用性质5,联立方程670A B C ++=与222916A B C -=消去C ,可得()()359130A B A B ++=．求得53A B =-或139A B =-,因此求得3C B =或53C B =,即所求切线方程为5303Bx By B -++=与135093Bx By B -++=,即5390x y --=与139150x y --=为所求． 例5设点P 为双曲线()222210,0x y a b a b -=>>右支异于顶点的一点,1F ,2F 分别为其左、右焦点,试证：12PF F △的1F ∠的内角平分线上的旁心的轨迹方程为：()()()()222c a x c a y c a c x c --+=->．证明设12PF F α∠=,21PF F β∠=,由性质3（Ⅱ）,在12PF F △中,有()1212sin sin sin PF PF F F βααβ==+,即()22sin sin sin a c βααβ=-+,从而亦即tan cot 22c ac aαβ-⋅=+．设1F ∠的内角平分线上的旁心(),Q x y ,则1QF y k x c =+,2QF yk x c=-．由22MF QF ⊥,有12tancot22QF QF k k αβ⋅=⋅,即y y c ax c x c c a-⋅=+-+,故 ()()()()222c a x c a y c a c x c --+=->．例6设点P 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上任意一点,过点P 的直线与两渐近线1l ：b y x a =,2l ：by x a =-分别交于点1P ,2P ,设入12P P PP λ=．求证：()12214OP P S ab λλ+=△．证明依题意,设111,b P x x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,222,b P x x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,(),P x y ,则有121x x x λλ+=+,且121211b bx x y y a a y λλλλ-+==++．即121x x x λλ+=+,①且121x x a y b λλ-=+．② 由①2-②2得()222122241x x a x y b λλ-=+． 即()()()()222222222222122222111444x y x x b xa y ab a bb a b λλλλλλ+++⎛⎫=-=⋅-= ⎪⎝⎭． 从而222221211221221b b b OP OP x x x x x x a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅++-+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()222222211144b a a b a λλλλ++⎛⎫=+⋅⋅=+ ⎪⎝⎭．故()()12222121222111sin 2241OP P ba S OP OP POP ab b a λλ⋅+=⋅⋅∠=⋅⋅+⋅⎛⎫+ ⎪⎝⎭△ ()214ab λλ+=．【解题思维策略分析】1．注意曲线方程形式的巧设例7过双曲线上任一点P 作倾斜角为α（定值）的直线l 与双曲线两渐近线交于Q ,R ,则PQ PR ⋅为定值．证明双曲线方程为()222210,0x y a b a b -=>>,则渐近线方程为0bx ay ±=．设00P x y （，）是双曲线上的点,则过P 的直线l 的参数方程为00cos ,sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数） 由()()00cos sin 0b x t a y t αα+±+=,可得001sin cos bx ay t a b αα+=-+,002sin cos bx ay t a b αα-=-．于是22122222sin cos a b PQ PR t t a b αα⋅=⋅=-（定值）． 例8过双曲线上任一点P 的切线与双曲线两渐近线交于A ,B 两点．求证：点P 是线段AB 的中点,证明设双曲线方程为22221x y a b -=,两渐近线方程为22220x y a b-=．过双曲线上任意一点()11,P x y 的切线方程为11221x x y ya b-=,切线方程与渐近线方程联立消去y ,整理得()22222224211120b x a y x a b x x a b --⋅+=,即22120x x x a -+=．由韦达定理,知AB 的中点的横坐标1x x =,代入切线方程得1y y =,从而AB 的中点坐标为()11,x y 和点P 坐标相同,由此即证． 2．关注以坐标轴为渐近线的等轴双曲线问题例9求双曲线1xy =在第一象限内一支上的一定点(),Q a b 与它在第三象限内一支上的一动点Px y （，）之间的最短距离（以a 的解析式表示）．解当以点Q 为中心,QP 为半径的圆与双曲线()10,0xy x y =<<相切时,QP 达到最小值．此时过点P 的双曲线1xy =（0x <,0y <）的切线与QP 垂直．设切点P 的坐标为()11,x y ,过()11,P x y 的双曲线的切线方程为112y x x y +=（即用112y x x y+代xy ）,故11111y b y x a x ⎛⎫-⋅-=- ⎪-⎝⎭,且111x y =,1a b ⋅=．于是11111111x a x x a x -⋅=-,即211ax =-,从而131x a -=-,131y a -=-．所以()()22211QP x a y b =-+-223112213333a a a a a a ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+--=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故322233min QP a a-⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 例10设双曲线1xy =的两支1C ,2C 如图29-1,正三角形PQR 的三顶点位于此双曲线上．（Ⅰ）求证：P ,Q ,R 不能都在双曲线的同一支上；（Ⅱ）设11P -（，）在2C 上,Q ,R 在1C 上,求顶点Q ,R 的坐标．（1997年全国高中联赛题）（I ）证法1假设P ,Q ,R 在双曲线1xy =的同一支如1C 上,其坐标分别为111,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,221,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,331,x x ⎛⎫⎪⎝⎭．设1230x x x <<<,则直线PQ 的斜率1121k x x =-,直线QR 的斜率2231k x x =-,()2121212123tan 011x x x k k PQR k k x x x --∠==<++． 因此,PQR ∠是钝角,这与PQR △是正三角形相矛盾,故P ,Q ,R 不能都在双曲线1xy =的同一支上． 注由1230x x x <<<,有123y y y >>,于是()()()()()()222222222122313122313PQ QR PR x x x x x x y y y y y y ⎡⎤⎡⎤+-=-+---+-+---=⎣⎦⎣⎦()()()()()()22212231321223132123212322232222220xx x x x x x y y y y y y y x x x x y y y y --++--+=--+--<．即PQR △为钝角三角形．证法2设111,P x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,221,Q x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,331,R x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭是双曲线1xy =上的三点,易得直线PR 的斜率1131k x x -=,PR 边上的高线方程为()13221y x x x x x -=-．同理,QR 边上的高线方程为()23111y x x x x x -=-． 联立上述两方程得PQR △的垂心1231231,H x x x x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,它显然在双曲线1xy =上．当P ,Q ,R 在双曲线的同一支如1C 上,则1230x x x -<,而H 在另一支2C 上,即H 在PQR △的外部,即PQR △为钝角三角形,故P ,Q ,R 不能都在双曲线的同一支上．（Ⅱ）设Q ,R 的坐标分别为111,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,221,x x ⎛⎫⎪⎝⎭,这时QR 边上的高线方程为()1211y x x x +=+,它必过线段QR 的中点,因此QR 的中点的坐标满足上述方程,于是有121212111122x x x x x x ++⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭,即()()()121212121120x x x x x x x x -+++=⎡⎤⎣⎦．因10x >,20x >,上式中括号的式子显然大于0,则1210x x -=,即121x x =．于是Q 点的坐标为221,x x ⎛⎫⎪⎝⎭,而R 点的坐标为221,x x ⎛⎫⎪⎝⎭,这说明Q ,R 关于直线y x =对称．PQ ,PR 所在的直线分别为过P 点与直线y x =交成30︒角的相互对称的两条直线,易见其倾斜角分别为75︒和15︒．不妨设PQ 的倾斜角为75︒,这时它的方程为()1tan 751y x +=︒⋅+,即(()121y x +=+．将其与双曲线方程1xy =联立,解得Q点坐标为(22-+,由对称性知R点的坐标为(22+-．注由（Ⅰ）的证法2,使我们获得如下结论：三个顶点都在同一等轴双曲线上的三角形的垂心也在此双曲线上．由此也启发我们：在处理某些等轴双曲线问题时,可考虑以坐标轴为渐近线的等轴双曲线来讨论． 例11一直角三角形的三顶点在等轴双曲线上．求证：直角顶点处的切线垂直于斜边．证明如图29-2,设等轴双曲线方程为2xy c =,直角三角形ABC 的三顶点在等轴双曲线上,直角顶点,c A ct t ⎛⎫ ⎪⎝⎭,其余两顶点1,c B ct t ⎛⎫ ⎪⎝⎭,22,c C ct t ⎛⎫ ⎪⎝⎭,直线AB ,AC ,BC 的斜率分别为11AB k tt =-,21AC k tt =-,121BC k t t =-．图29-2由AB AC ⊥,有21211t t t =-． 过点A 的切线为22x t y ct +=,此切线斜率为21k t =-,于是21211BC k k t t t ⋅==-,故直角顶点处的切线垂直于斜边．3．借用双曲线知识,求解函数等其他问题 例12求函数3y x =+解令3u x =,0,v v u =≥≥,则y u v =+且221188u v -=．视y 为参数,在uOv 坐标系中,作出直线系v u y =-+及双曲线部分()2210188u v v -=>,如图29-3．图29-3当直线过点()0时,直线在v轴上的截距y =,由切线公式y kx =y =故函数y 的值域是(),⎡-∞+∞⎣∪． 例13求二元函数()()221,1f x y x y x y ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭的最小值．（1998年“希望杯”竞赛题） 解因()()221,1f x y x y x y ⎛⎫=-+--- ⎪⎝⎭可看作直线10x y ++=上的点(),1x x --和双曲线1xy =上的点1,y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离的平方式．由作图可知,所求最小值为12．4．注意知识的综合运用例13设直线l ：y kx m =+（其中k ,m 为整数）与椭圆2211612x y +=交于不同两点A 、B ,与双曲线221412x y -=交于不同两点C 、D ,问是否存在直线l ,使得向量0AC BD +=．若存在,指出这样的直线有多少条？若不存在,请说明理由． 解由22,1,1612y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 化简整理,得()2223484480k xkmx m +++-=．设()11,A x y ,()22,B x y ,则122834kmx x k +=-+．()()()222184344480km k m ∆=-+->．①由22,1,412y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 化简整理,得()22232120k xkmx m ----=．设()33,C x y 、()44,D x y ,则34223kmx x k+=-． ()()()2222243120km k m ∆=-+-+>．②因为0AC BD +=,所以()()42310x x x x -+-=． 此时()()42310y y y y -+-=． 由1234x x x x +=+得2282343km kmk k -=+-． 于是20km =或2241343k k -=+-．从而由前一式解得0k =或0m =． 当0k =时,由①、②得m ->m 是整数,所以m 的值为3-,2-,1-,0,1,2,3． 当0m =时,由①、②得k <k 是整数,所以1,0,1k =-． 于是,满足条件的直线有9条． 【模拟实战】习题A1．设双曲线()222210,0x y a b a b -=>>,两焦点为()1,0F c -,()2,0F c ,点Q 是双曲线右（或左）支上除顶点外任一点,从焦点1F （或2F ）作12F QF ∠的角平分线的垂线,垂足为P ,则P 点的轨迹是以原点为圆心,a为半径的圆（除点(),0a -,(),0a ）．2．求曲线22916144x y +=与22732224x y -=的公切线方程．3．一直线截双曲线()222210,0x y a b a b -=>>于P ,Q 两点,与渐近线交于P ',Q '两点．求证：PP QQ ''=．4．已知双曲线中心为原点,焦点在x 轴上,离心率53e =,且与直线8160x +-=相切．求双曲线方程．习题B1．已知双曲线C ：()2222211a x a y a a -=>+（）,设该双曲线上支的顶点为A ,且上支与直线y x =-交于P 点,一条以A 为焦点,()0,M m 为顶点,开口方向向下的抛物线通过P 点,且PM 的斜率为k 满足1143k ≤≤．求实数a 的取值范围． 2．已知双曲线222210,0,x y a b a a b-=>>≡()b 上有一定点A ,点P ,Q 为满足PA QA ⊥的异于点A 的任意两点．求证：PQ 过定点．第二十九章 双曲线的性质及应用 习题A1．延长1F P 与2QF 的延长线交于R 点．由Q 在双曲线上,且1F ,2F 为其焦点,则22122F R QR QF QF QF a =-=-=,即212OP F R a ==．反之,可证以原点为圆心,a 为半径的圆（除点(),0a -,(),0a ）上的点满足条件．2．曲线化为标准方程为221169x y +=与221327x y -=．由直线与两曲线相切的充要条件,有222222169,327A B c A B c⎧+=⎪⎨-=⎪⎩求得5A B C B =⎧⎨=±⎩或5A B C B =-⎧⎨=±⎩ 从而所求公切线方程为50x y +±=与50x y -±=．3．过P ,Q 点分别作两渐近线的垂线PA ,PB ,QC ,QD ,显然PBQ QCQ ''△∽△,则QQ QCPQ PB'='．同理PP PA QP QD '='．由于双曲线上任一点到两渐近线距离之积为定值,即PA PB QC QD ⋅=⋅,故QC PAPB QD=,即QQ PP PQ QP ''='',亦即QQ PP QQ PQ PP QP ''=''''++,故PP QQ ''=． 4．设双曲线方程为()222210,0x y a b a b-=>>因为2413b e a =-=,可设29a λ=,()2160b λλ=>,所以双曲线方程为221916x y λλ-=．因直线827160x y +-=与其相切,由性质5,有2649281616λλ⋅-⋅=,得2λ=,故所求双曲线方程为2211832x y -=．习题B1．在方程可化为()22221/1x y a a -=-．由1a >知2201a a >-．又()0,1A ,于是以A 为焦点,()0,M m 为顶点开口向下的抛物线方程为()()241x m y m =---．联立y x =-与()22221a x a y a -+=得(),P a a -． 又P 在抛物线上,有()()241a m a m =---．（*）而MP m ak a-=,即有MP m ak a =+并代入()*式,得()24410MP MP ak a k a +--=．因1143MP k ≤≤,且40a >,则关于MP k 的二次方程的判别式()241440a a a ∆=-+⋅⋅>⎡⎤⎣⎦成立．令()()2441f k ak a k a =+--,而此抛物线的对称轴方程为()411242a a k a a --=-=⋅,由1a >,则102aa-<．联立40a >与11043f f ⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤,即114441401693a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⋅+--⋅⋅+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤,即17410493a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≤,故1247a ≤≤为所求． 2．设()sec ,tan A a b θθ,()11sec ,tan P a b αα,()22sec ,tan Q a b αα,则PQl ：()()()()112112sec tan tan tan sec sec x a b b y b a a αααααα--=--,即PQl ：121212cossincos0222b x a y ab αααααα-++--⋅=．又11cos2sin 2AP b k a αθαθ-=+,22cos2sin 2AQ b k a αθαθ-=+,因此221211cos cos sin 222AP AQk k b a αθαθαθ--+⋅=-⇔⋅+⋅2221212121212sin0cos )cos cos cos )0cos 222222b a b αθααααααααααθθ++--+-⎡⎤⎡⎤=⇔-++-+=⇔⋅⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()()222212122222sin sin cos 022cos cos a a b b a b a ab b a a b θααααθθ++++-⋅-=--２．由此式,知直线PQ 恒过定点22222222sec ,tan a b a b a b b a a b θθ⎛⎫++⋅⋅ ⎪--⎝⎭．。
2014-2015学年人教A版选修2-1高中数学《2.3.2双曲线方程及性质的应用(2)》课件
2 y2 x 1 ， 由 消去y并整理得x2+4x-6=0, 2 y x 2
因为Δ>0,所以直线与双曲线有两个交点，
设D(x1,y1),E(x2,y2),则x1+x2=-4,x1·x2=-6，
故|DE|=
x1 x 2 y1 y 2
2 2
2
2 x (2)①双曲线C1： y 2 1，左顶点 A( 2 ，， 0) 渐近线方程： 1 2 2 y 2x.
过点A与渐近线 y 2x 平行的直线方程为
2 ), 即 y 2x 1. 2 2 x ， y 2x ， 4 解方程组 得 y 1， y 2x 1 2 所求三角形的面积为 S 1 OA y 2 . 2 8 y 2(x
3 3 3
共点，经验证②④表示的直线与双曲线有交点 . 答案：②④
2 3 c2 4 (2)①由 e 可得 2 ，所以a2=3b2,故双曲线方程可化为 3 a 3 2 2 x y 2=1. 将点 代入双曲线 C 的方程，可解得 b 1 ， P( 6 ， 1) 3b 2 b 2 2 x 所以双曲线C的方程为 y 2 1. 3
6 3m2 6 由根与系数的关系得 x1 x 2 m, x1x 2 5 10
①
又|AB|= x1 x 2 2 y1 y 2 2 =
1 4 x1 x 2
2
4.
所以5［(x1+x2)2-4x1x2］=16 将①式代入②，解得 m 210 .
y1 y 2 标为 ( x1 x 2 ， ). 2 2
2.|AB|=
x1 x 2
高等几何(第六章)
0 0
二阶曲线 秩为2
（实、虚、平行、相交、普通直 线、无穷远直线等5种情况）
秩为1
一对重合的普通直线：x12
0
一对重合的无穷远直线：x32 0
5 11
§4 二次曲线的度量性质
➢我们在引入了复元素的仿射平面上讨 论二次曲线的度量性质。
➢在讨论二次曲线的仿射性质时，仿射 不变图形无穷远直线起了至关重要的作 用，那么正交变换下保持不变的元素除 了无穷远直线外还有什么？
➢为什么要讨论圆点呢？ ➢定理4.2 正交变换保持圆点不变。
x'
y'
x x
cos sin
y y
sin cos
a13 a23
或
x' y'
x cos -x sin -
y y
sin cos
a13 a23
前者I(1,i,0)，J(1,-i,0)保持不变， 后者I(1,i,0)，J(1,-i,0)分别变为J，I.
➢定理2.1 双曲线、椭圆各有唯一的中 心，且为普通点，抛物线的中心为无穷 远点。
二次曲线的中心坐标：
A11 A12
A21 A22
A31 0 A31 A32 0 A32
A13 A23 A33 1 A33
➢例1. 判定二次曲线：x12-2x1x2+x222x1x3+x2x3-x32=0的类型，并求出它的 中心。
直径与共轭直径的关系是相互的。
一直径的方向与该直径的共轭直径的方向(该直 径的极点的方向)称为一对共轭方向。注意抛物线 的情形。
例：过一直径两端点的切线平行于该直径的共轭 直径。
P
✓过一直径两端点的切线的交点为该直径 的极点即为一个无穷远点。
二次曲线中点弦公式及其应用
’ 一 直线与 椭 图 b 护 + 醉
,
2
= 砂b
Z
相 交 于 A B 两点
。, 。 梦
,
、
但 将其 中二 , 换戍 x 。 中点 弦公式 的应 用 有 以 下 两个性质
:
,
、
口。
.
设 A扭
则
,
,
口i
,
)
,
B (x
,
,
口)
A B 的 中点 P 你
a Z
2
)
’
.
性质 1 若 公式 中 的 ( 勒
量时
为 +
,
二,
一
,
,、
七
(
2
,
二x 0
,
代 \/ 直 线得 “
_
二*
·
所以 公 式 (
.
_
`
)是
对于 一 般 的二 次曲 线
刁护 + B 却 + C 沪 +
刁。
。 」
_
历 均
+
,
= 一 尸 的 中点 弦公 式为 :
n
劣+ 劣0
.
.
`
以 (为
2
,。
) 为 中点 的 椭 圆 的 弦所在直 线 方 程
,
)当 (为
所以 公 式 (
.
为 以 (殉
)
为 切 点 的 椭圆 的 切 线 方 程
a
a Z夕0 2
2
(
,
1
)
证明 (
1
:
以 椭 圆 为例 ( 其 它二次 曲线 同 )
。,
新教材高中数学第二章双曲线方程及性质的应用课件新人教B版选择性必修第一册ppt
【补偿训练】 已知双曲线 x2－y2＝4，直线 l：y＝k(x－1)，试确定满足下列条件的实数 k 的取 值范围． (1)直线 l 与双曲线有两个不同的公共点； (2)直线 l 与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线 l 与双曲线没有公共点．
【解析】联立x2－y2＝4，
消去 y，
y＝k（x－1），
(3)△F1MF2 的底|F1F2|＝8，由(2)知 m＝± 10 . 所以△F1MF2 的高 h＝|m|＝ 10 ，所以 S△MF1F2＝4 10 .
与双曲线有关的综合问题 (1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点 的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解． (2)当与直线知识综合时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方 程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解．
弦长及中点弦问题的解题策略 (1)利用弦长公式|AB|＝ 1＋k2 |xA－xB|＝ 1＋k2 · （xA＋xB）2－4xAxB ，求解 的关键是正确应用根与系数的关系，整理时要始终保持两根之和、两根之积的形 式． (2)涉及弦长的中点问题，常用“点差法”，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标 联系起来，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系． 其具体解题思路如下：
类型三 双曲线性质的综合应用(逻辑推理、数学运算)
x2 y2 【典例】1.设 F1，F2 是双曲线 C：a2 －b2 ＝1(a＞0，b＞0)的左右焦点，A 为左顶
16 点，点 P 为双曲线 C 右支上一点，|F1F2|＝10，PF2⊥F1F2，|PF2|＝ 3 ，O 为坐标
原点，则→OA ·→OP ＝( )
得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*)
专题1二次曲线系
高二数学同步辅导教材（第20讲）第八章 圆锥曲线方程专题讲座一、 二次曲线系（一）共焦点圆锥曲线系1t y tc x 222=++ 当t>0时，表示共焦点（±c,0）的椭圆系；当-c 2<t<0时，表示共焦点（±c,0）的双曲线系；当t<-c 2时无轨迹。
[例1]已知椭圆的焦点坐标是（0，3），（0，-3），且经过点（1，-2），求椭圆的标准方程。
解：3c ,3c 2=∴= 。
又焦点坐标为（0，3），（0，-3），曲线为椭圆，故设所求方程为)0t (1t3y t x 22>=++ ∵椭圆过点（1，-2），∴()1t 32t 12=+-+。
化简整理得 t 2-2t-3=0。
∴t=3或t =-1（舍去）故所求椭圆方程为16y 3x 22=+。
说明 运用共焦点曲线系建立方程时，一是要注意焦点所在的坐标轴，二是应注意参数t 的取值范围。
[例2] 求以椭圆13y 13x 22=+的焦点为焦点，以直线x 21y ±=为渐近线的双曲线方程 解 由椭圆方程13y 13x 22=+知a 2=13，b 2=3，则c 2=10，焦点在x 轴上。
设共焦点的双曲线系方程为),10t 0(1ty t 10x 22<<=-- 其渐近线方程为,0t yt 10x=±-已知双曲线的渐近线方程为x 21y ±=， 41t 10t =-∴，解得t=2。
故所求双曲线方程为.12y 8x 22=- 说明 这里由于出现参数t 的二次根式，所以设t>0，但要改变共焦点的二次曲线系方程中相应的符号。
与椭圆1by a x 2222=+共焦点的二次曲线系方程也可以设为 1kb y k a x 2222=-+-（0<b<a ，则a 2>k ≠b 2，k 为参数）。
（二）具有相同离心率的圆锥曲线系[例3]已知椭圆的离心率是21，焦点在x 轴上，且被直线2x 21y +=截得的弦长为53，求椭圆的标准方程。
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摘要二次曲线是高中数学的重点和难点，而二次曲线的弦又是其主要内容之一，很多问题都有直接或间接涉及到。
本文先分别给出二次曲线的焦点弦、中点弦和切点弦的定义，研究它们的若干性质；然后再分别探讨这三类二次曲线的弦在解题中的应用。
关键词：二次曲线；焦点弦；中点弦；切点弦AbstractQuadratic curve is the emphasis and difficulty in high school mathematics, and conic string is one of the main content, a lot of problems have directly or indirectly involved. Respectively, the paper proposes the focus of the conic strings, midpoint chord and tangent point of definition, study their some properties; Then discuss these three kind of quadratic curve respectively string in the application of problem solving. Key words: quadratic curve; focus chord; midpoint chord; chord of tangent point目录1 引言 (1)2 二次曲线弦的定义与性质 (1)2.1 焦点弦的定义与性质 (1)2.2 中点弦的定义与性质 (2)2.3 切点弦的定义与性质 (3)3 二次曲线的弦在解题中的应用 (4)3.1 焦点弦在解题中的应用 (4)3.2 中点弦在解题中的应用 (6)3.3 切点弦在解题中的应用 (7)4 结论 (12)致谢 .......................................... 错误！未定义书签。
参考文献 . (12)二次曲线弦的性质与应用1 引 言解析几何是中学数学课程中的重要内容，二次曲线更是中学数学平面解析几何中的经典曲线，二次曲线充分体现了解析几何的基本思想，是解析几何的基础。
二次曲线的弦主要包括椭圆、双曲线和抛物线的焦点弦、中点弦和切点弦，是高考中常涉及的命题和素材。
不少学生对有关二次曲线弦的问题有些力不从心，甚至无从下手，因此本文将重点阐述二次曲线弦的性质与应用。
2 二次曲线弦的定义与性质2.1 焦点弦的定义与性质定义2.1.1 经过二次曲线的焦点，被二次曲线截得的线段叫做二次曲线的焦点弦.性质 2.1.1 如图2-1，抛物线22(0)y px p =≠,直线l 过它的焦点并于其相交，12x ,x 分别为这两个交点的横坐标,则212x 4p x =.证明： 当直线的斜率存在时，直线l 的斜率为k(k 0),≠设过抛物线22(0)y px p =≠的焦点F(,0)2p 的直线方程为y k(x ),2p=-故联立直线方程和抛物线方程得：2y k(x )22p y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩①②,把①带入②得2x 2,2p k px ⎡⎤⎛⎫-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦并整理得：()222221k 2k 0,4x k p p x p -++=而12x ,x 是此方程的两个根，故212x .4p x = 当直线的斜率k 不存在时，此时直线l 的直线方程为：x ,2p=则12x ,x ,22p p==故212x 4p x =.图2-1性质2.1.2 若e 是二次曲线的离心率，p 是焦点到准线的距离，则与二次曲线的对称轴的夹角为e 的焦点弦的长为：2221cos epl e θ=-. 性质2.1.3 设直线AB 是双曲线22221(0,0)x y a b a b±=>>的焦点弦，F 为焦点，直线AB 的倾斜角为θ，(),0,FAFBλλ=>则 当双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>时，λ满足2222(1)cos .(1)e λθλ-=+ 当双曲线的方程为22221(0,0)x y a b b a-=>>时，λ满足2222(1)sin (1)e λθλ-=+. 2.2 中点弦的定义与性质定义2.2.1 二次曲线C 与直线l 相交与A ，B 两点，若弦AB 过定点P 且被点P 平分，那么称该弦AB 为圆锥曲线C 上过点P 的中点弦。
性质2.2.1 设A ,B 是二次曲线C ：022=++++F Ey Dx Cy Ax 上的两点，00(,)p x y 为弦AB 的中点，则)02(22000≠+++-=E Cy ECy DAx k AB .证明：设A ),(11y x 、B ),(22y x ,则0112121=++++F Ey Dx Cy Ax ……①0222222=++++F Ey Dx Cy Ax ……② 有①-②得：0)()())(())((212121212121=-+-+-++-+y y E x x D y y y y C x x x x A∴0)()()(2)(22121210210=-+-+-+-y y E x x D y y Cy x x Ax ∴0))(2())(2(210210=-++-+y y E Cy x x D Ax∵020≠+E Cy ∴21x x ≠ ∴E Cy D Ax x x y y ++-=--00212122,即ECy D Ax k AB ++-=0022.性质 2.2.2 设椭圆12222=+by a x 的弦AB 的中点为),(00y x P （)00≠y ，则22y x a b k AB∙-=.（注：对a b ≤也成立。
假设点P 在椭圆上，则过点P 的切线斜率为022y x a b k ∙-=）.性质 2.2.3 设双曲线12222=-by a x 的弦AB 的中点为),(00y x P （)00≠y 则22y x a b k AB∙=. 性质 2.2.4 设抛物线px y 22=的弦AB 的中点为),(00y x P （)00≠y 则y p k AB =. 2.3 切点弦的定义与性质定义2.3.1 经过平面上一定点P 且向二次曲线C 作切线，得到两切点A ，B ,连接A ，B ，则线段AB 称为切点弦.性质2.3.1 三大曲线的切点弦方程.设点),(00y x P 在二次曲线外,过点P 作其的两条切线,切点为N M 、,则切点弦MN 所在直线方程如表2-1.表2-1 二次曲线切点弦方程性质 2.3.2 设过点),(00y x P 且向二次曲线0),(=y x F 引两条切线,),(),(2211y x N y x M 、为它们的切点，切线方程是:022*******=++++++++F yy E x x D y Cy x y y x Bx Ax ,022*******=++++++++F yy E x x D y Cy x y y x B x Ax因为点),(00y x P 在上述两条切线上,所以),(),,(2211y x y x 满足方程0222000000=++++++++F yy E x x D y Cy x y y x Bx Ax （**） 所以经过N M 、的直线方程是（**）.3 二次曲线的弦在解题中的应用3.1 焦点弦在解题中的应用例3.1.1 一条直线的倾斜角为43π，该直线与抛物线x y 42=相交，且过其焦点，设该直线与抛物线交于A ,B 两点，求A ,B 两点间的距离.解： 43πθ=，x y 42=，∴ 2P = ∴ 2222283sin sin ()4p AB πθ⨯===，故A ,B 两点间的距离是8. 例 3.1.2 如图所示，已知F 、B 分别是是椭圆C 的右焦点和上端点，连接线段BF ，那么其延长线交C 于点D ，2BF FD =uu u r uu u r，求C 的离心率？图3-1解：由题意可得，设椭圆C 的方程为：()222210,0,x ya b a b+=>>则()()0,,,0B b F c ，直线:.b l y x b c =-+联立两方程可得22221(1)(2)x y a b b y x bc ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，把(2)带入（1）式并整理可得：222222220a b a b b x x c c ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，2222a cx a c ∴=+，2BF FD =uu u r uu u r Q ，()2F B D F x x x x ∴-=-，22222a c c c a c ⎛⎫∴=- ⎪+⎝⎭，整理得e =例3.1.3 已知椭圆1162522=+y x ，一直线与椭圆交得两个交点，两交点之间的距离为8，且该直线过椭圆的左焦点，求该直线的方程.解：1162522=+y x ，∴5322=-==a b a ac e ， 准线为3252±=±=c a x ，其左焦点(3,0)x -到其相应准线325-=x 的距离316=p ，设所求的直线与x 轴的倾角为θ，以ox 为极轴，左焦点(3,0)-为极点，建立极坐标系，根据题意得8cos 1222=-θe ep ，∴8cos )53(131653222=-⨯⨯θ，解之得65cos 2=θ，∴94951sin 2=-=θ，∴54cos sin 222==θθθtg ,∴52±==θtg k ，于是所求的直线方程为：03)y x -=+，即：0652=+±y x . 3.2 中点弦在解题中的应用例3.2.1 过椭圆2216436x y +=上一点P(8,0)-作直线交椭圆于Q 点，求PQ 中点的轨迹方程.解：设弦PQ 的中点M （y x ,），弦端点P （11,y x ），Q （22,y x ），建立方程组得:⎩⎨⎧=+=+57616957616922222121y x y x ，相减得:0)(16)(922212221=-+-y y x x ，x x x 221=+，y y y 221=+，∴0)(216)(292121=-⋅+-⋅y y y x x x ，∴yxx x y y 1692121=--，而)8(0---=x y k PQ ，∴9168x yy x =+.化简可得01672922=++y x x （8-≠x ）.例3.2.2 已知直线1-=x y ，抛物线x y 42=，直线与抛物线相交11(,)A x y ，),(22y x B ，求线段AB 的中点的坐标是多少.解：设线段AB 的中点的坐标),(00y x P ，根据题意得214y x y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩①②，由①带入②得：2(1)4x x -=，即0162=+-x x ，∴32210=+=x x x ，2100=-=x y ，∴其中点坐标为)2,3(.例 3.2.3 直线与椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>交与A ，B ，则线段AB 的垂直平分线为l ，并与x 轴交于P )0,(0x ，证：aba x ab a 22022-<<--.证明：设AB 的中点为T ),(11y x ，由题设可知AB 与x 轴不垂直，∴01≠y ， ∴1122y x a b k AB∙-= ∵l AB ⊥ ∴1122x y b a k l ∙=∴l 的方程为：)(111221x x x y b a y y -∙=- 令0y = 得)(01011221x x x y b a y -∙=-∴02221x b a a x ∙-= ∵a x <||1 ∴a x b a a <∙-||0222∴ab a x a b a 22022-<<--. 3.3 切点弦在解题中的应用例 3.3.1 （08年山东高考理科数学）如图3-1所示，设抛物线方程为22(0)x py p =>,M 为直线y 2p =-上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ,B .（Ⅰ）求证：A ,M ,B 三点的横坐标成等差数列；（Ⅱ）已知当M 点的坐标为(2,2P)-时，AB =求此时抛物线的方程； （Ⅲ）是否存在点M ，使得点C 关于直线AB 的对称点D 在抛物线22(0)x p y p =＞上，其中，点C 满足OC OA OB =+（O 为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M 的坐标.图3-1（Ⅰ）证明：由题意设221212120(,),(,),,(,2).22x x A x B x x x M x p p p-＜ 22x py =得22x y p =，则,x y p '=所以12,MA MB x x k k p p ==,12,MA MB x x k k p p ==因此直线MA 的方程为102(),x y p x x p +=-直线MB 的方程为202().x y p x x p+=- ∴211102()2x x p x x p p+=- ① 222202()2x x p x x p p+=- ② 由①、②得212120,2x x x x x +=+-因此21202x x x +=，即0122.x x x =+ ∴,M,A B 三点的横坐标成等差数列.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当0x 2=时，代入①、②，整理得出：2211440,x x p --=2222440,x x p --=∴12x ,x 是方程22440x x p --=的两个根，∴212124,4,x x x x p +==-又22210122122,2AB x x x x x p p k x x p p-+===-∴2AB k p =, 由弦长公式得:AB ==又AB = ∴1P =或2P =，因此所求抛物线方程为22x y =或24.x y =（Ⅲ）解：设33D(x ,)y ，由题意得1212(,)C x x y y ++,那么CD 的中点坐标123123(,),22x x x y y y Q ++++设直线AB 的方程为011(),x y y x x p -=-点Q 在直线AB 上，∴点1212(,)22x x y y ++同样在直线AB 上，将其代入得出：033x y x p =，假如33D(x ,)y 在抛物线上，那么2330322,x py x x ==∴30x =或302x x =. 即D(0,0)或2002(2,).x D x p（1）当00x =时，则12020x x x +==，那么点(0,2)M P -符合.（2）当00x ≠，对于D(0,0)，此时2212222212120002(2,),,224CD x x x x x x p C x k px px +++== 0,AB x k p =AB CD ⊥，∴222201212201,44AB CD x x x x x k k p px p++=⋅==-∴222124,x x p +=-矛盾. 针对2002(2,),x D xp 22120(2,),2x x C x p+这时候直线CD 与y 轴平行，00,AB x k p=≠∴直线AB 与直线CD 不垂直，与题设矛盾， ∴00x ≠时，不存在符合题意的M 点.综上所述，仅存在一点(0,2)M P -适合题意.例 3.3.2（08年江西高考数学理） 设点),(00y x P 在直线)10,(<<±≠=m m y m x 上,过点P 作双曲线122=-y x 的两条切线PB PA ,,切点为,A B ,定点)0,1(mM . （1）过点A 作直线0=-y x 的垂线,垂足为N ,试求AMN ∆的重心G 所在曲线的方程;（2）求证:B M A ,,三点共线.解:（1）设),(),,(A A N N y x A y x N ,∵AN 垂直于直线x y =,则1-=--AN A N x x y y ∴2A A N y x x +=, N 点坐标为)2,2(A A A Ay x y x ++ 设AMN ∆的重心为),(y x G ,则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=++=++=+++=26326231321A A A AA A A A A A y x y x y y y x m y x x m x ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=--=m y x y m y x x A A 414943434349 代入双曲线方程122=-y x 并整理得:1292)31(922=--y m x , ∴ 重心G 的轨迹方程为1292)31(922=--y m x（2）设点),(),,(2211y x B y x A ,方程122=-y x 对y 求导得，220x yy '-=，∴ x y y'=，∴ 切线PA 的斜率为11y x ,方程为)(1111x x y x y y -=-,又12121=-y x ∴ 切线PA 的方程为111-=x x y y .同理，切线PB 的方程为122-=x x y y ,),(0y m P 在PA ,PB 上,∴1012021,1y y x m y y x m =-=-，即点),(),,(2211y x B y x A 都在直线10-=mx y y 上,又)0,1(mM 也在直线10-=mx y y 上,∴ ,,A M B 三点共线. 例 3.3.3（13年广东高考理） 已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >到直线l ：20x y --=的距离为2．设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）当点()00,P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程；（Ⅲ）当点P 在直线l 上移动时，求AF BF ⋅的最小值．解:（Ⅰ）根据题意，设抛物线C 的方程为24x cy =，2=且0c >，可得出1c =．∴抛物线C 的方程是24x y =．（Ⅱ）抛物线C ：24x y =，即214y x =，可求导：12y x '=设()11,A x y ，()22,B x y ，（221212,44x x y y ==），那么切线,PA PB 的斜率:112x ，212x ，∴切线PA 的方程:()1112x y y x x -=-，得：211122x x y x y =-+，得：11220x x y y --=,同理，可求出切线PB 的方程是22220x x y y --=.∵切线,PA PB 均过点()00,P x y ，∴1001220x x y y --=，2002220x x y y --=,∴()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解．∴直线AB 的方程为00220x x y y --=． （Ⅲ）由抛物线定义可知11AF y =+，21BF y =+， ∴()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立方程0022204x x y y x y--=⎧⎨=⎩，消去x 整理得()22200020y y x y y +-+= 由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-，2120y y y = ∴()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+又点()00,P x y 在直线l 上，∴002x y =+， ∴22220000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭ ∴当012y =-时， AF BF ⋅取得最小值，且最小值为92． 过椭圆12222=+by a x (0,0)a b >>外一点00P(x ,)y 引椭圆的切线，得切点弦AB ，线段AB 被OP 平分。