必修五第一章解三角形导学案及练案
必修五第一章解三角形导学案1.1.3正弦定理与余弦定理的综合应用讲案
课题： 正弦定理与余弦定理的综合应用【学习目标】综合应用正弦定理和余弦定理实现边角的互化第一环节：导入学习（约3分钟）1． 正弦定理的内容：___________________________________2． 余弦定理的内容：____________________________,_________________________________________________变形为_________________________________________________________,________________________________3．三角形的面积公式：_________________,___________________________________第二环节：自主学习（知识点以题的形式呈现）（约15分钟） （一）基础学习（本课需要掌握的基础知识）题型1. 综合应用正弦定理和余弦定理例1.在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c ，且ca bC B +-=2cos cos 求： （1） 角B 的大小（2） 若b=13,a+c=4,求ABC ∆的面积（1）因为:cosB/cosC=-b/2a+c=-sinB/(2sinA+sinC) 所以:2cosBsinA+cosBsinC=-sinBcosC 就有:2cosBsinA+cosBsinC+sinBcosC =2cosBsinA+sin(B+C) =2cosBsinA+sinA =(2cosB+1)sinA =0在三角形ABC 中,sinA>0 所以只有:cosB=-1/2 那么:B=120(2). b=根号13,a+c=4cosB=-1/2=(a^2+c^2-b^2)/2ac=[(a+c)^2-2ac-b^2]/2ac =(16-2ac-13)/2ac =(3-2ac)/2ac所以:3-2ac=-ac ac=3所以由a+c=4,ac=3可以解得 a=3或者a=1例2在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c ，已知22a cb -=，且sinAcosC=3cosAsinC,求b在△ABC 中∵sinAcosC=3cosAsinC ，化简并整理得：2（a 2-c 2）=b 2，又a 2-c 2=b ， ∴2b=b 2，解得：b=2或b=0（舍）， 则b 的值为2；题型2判断三角形的形状例3．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c 已知（a+b+c ）（a+b-c ）=3ab ，且 2cosAsinB=sinC,确定ABC ∆的形状答案：(a+b+c)(a+b-c)=3ab(a+b)^2-c^2=3ab a^2+b^2-c^2=abcosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab=1/2 故C=60度,A+B=120度 2cosAsinB=sinC cos AsinB=√3/41/2*sin(A+B)-sin(A-B))=√3/4 因为A+B=120°，sin （A+B ）=√3/2 √3/4-sin(A-B)=√3/4sin(A-B)=0 A=B故是等边三角形（二）深入学习（需掌握的知识转化成能力——知识运用） 1.在ABC ∆中，A=120 ，a=7,b+c=8,求b 、c ，sinB 及ABC ∆的面积答案：由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccosA=（b+c ）2-2bc-2bccosA ，∴72=82-2bc+bc ，化为bc=15． 联立b+c=8bc=15，解得b=5c=3或b=3c=5．当b=5，c=3时，由正弦定理可得：asinA=bsinB ， ∴sinB=bsinAa=5×sin120°7=5314，S △ABC=12bcsinA=12×5×3×sin120°=15.34； 当b=3，c=5时，由正弦定理可得：asinA=bsinB ， ∴sinB=bsinAa=3sin120°73314，S △ABC=12bcsinA=15.342.在∆ABC 中，060A =，1a =，2b c +=，判断∆ABC 的形状。
新课标高中数学必修5第一章解三角形导学案WORD版
§ 正弦定理课型：新授课 编写人： 审核人：【学习目标和重点、难点】 1. 掌握正弦定理的内容； 2. 掌握正弦定理的证明方法；3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题． 【学习内容和学习过程】 一、新课导入试验：固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动．思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而 ．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来二、新课导学探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt ∆ABC 中，设BC =a ，AC =b ，AB =c ，∠C=90° 根据锐角三角函数中正弦函数的定义， 有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1cC c==， 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b cA B C==．探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a b A B =，同理可得sin sin c bC B=， 从而sin sin a b A B =sin c C=．类似可推出，当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导.新知：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即sin sin a b A B =sin cC =． 试试：（1）在ABC ∆中，一定成立的等式是（ ）． A ．sin sin a A b B = B .cos cos a A b B = C . sin sin a B b A = D .cos cos a B b A =（2）已知△ABC 中，a ＝4，b ＝8，∠A ＝30°，则∠B 等于 ．[理解定理]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =， ，sin c k C =；（2）sin sin a b A B =sin c C =等价于 ，sin sin c b C B =，sin a A =sin cC ． （3）正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b Aa B=；b = ．②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin aA B b=；sin C = ．（4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形． 三、课堂巩固例1. 在ABC ∆中，已知45A =︒，60B =︒，42a =cm ，解三角形．变式：在ABC ∆中，已知45B =︒，60C =︒，12a =cm ，解三角形．例2. 在45,2,,ABC c A a b B C ∆==︒=∠∠中，求和．变式：在60,1,,ABC b B c a A C ∆==︒=∠∠中，求和．【学习小结】1. 正弦定理：sin sin a b A B =sin cC=2. 正弦定理的证明方法：①三角函数的定义，还有 ②等积法，③外接圆法，④向量法. 3．应用正弦定理解三角形： ①已知两角和一边；②已知两边和其中一边的对角．【课后作业】 基础部分1. 在ABC ∆中，若sin sin A bB a=，则ABC ∆是（ ）. A ．等腰三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．直角三角形 D ．等边三角形2. 已知△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶1∶4，则a ∶b ∶c 等于（ ）.A ．1∶1∶4B ．1∶1∶2C ．1∶1D ．2∶23. 在△ABC 中，若sin sin A B >，则A 与B 的大小关系为（ ）. A. A B > B. A B <C. A ≥BD. A 、B 的大小关系不能确定4. 已知∆ABC 中，sin :sin :sin 1:3:3A B C =，则::a b c = ．5. 已知∆ABC 中，∠A 60=︒，a =sin sin sin a b cA B C++++= ．1. 已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120︒，解此三角形．提高部分2. 已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k (k ≠0)，求实数k 的取值范围为．§1.1.2 余弦定理课型：新授课 编写人： 审核人： 【学习目标和重点、难点】1. 掌握余弦定理的两种表示形式；2. 证明余弦定理的向量方法；3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．【学习内容和学习过程】复习1：在一个三角形中，各 和它所对角的 的 相等，即 = = ．复习2：在△ABC 中，已知10c =，A =45，C =30，解此三角形．思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢二、新课导学 问题：在ABC ∆中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b .∵b =r ， ∴b b •=r r同理可得： 2222cos a b c bc A =+-， 2222cos c a b ab C =+-．新知：余弦定理：三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它们的夹角的 的积的两倍．思考：这个式子中有几个量从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角 从余弦定理，又可得到以下推论：222cos 2b c a A bc+-=， ， ．[理解定理]（1）若∠C =90︒，则cos C = ，这时222c a b =+由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例． （2）余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角．试试：（1）△ABC 中，a =2c =，150B ∠=︒，求b ．（2）△ABC 中，2a =，b ，1c ，求A ∠．三、课堂巩固例1. 在△ABC 中，已知a b 45B =︒，求,A C ∠∠和c ．变式：在△ABC 中，若AB ，AC ＝5，且cos C ＝910，则BC ＝________．例2. 在△ABC 中，已知三边长3a =，4b =，c =，求三角形的最大内角．变式：在∆ABC 中，若222a b c bc =++，求∠A ．【学习小结】1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；2. 余弦定理的应用范围： ① 已知三边，求三角；② 已知两边及它们的夹角，求第三边．知识拓展 在△ABC 中，若222a b c +=，则角C 是直角； 若222a b c +<，则角C 是钝角； 若222a b c +>，则角C 是锐角． 【课后作业】 基础部分1. 已知a c ＝2，∠B ＝150°，则边b 的长为（ ）.A.B. C. D. 2. 已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为（ ）. A ．60o ° B ．75o ° C ．120o ° D ．150o °3. 已知锐角三角形的边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是（ ）.A x <B x ＜5C ． 2＜xD ＜x ＜54. 在△ABC 中，|AB u u u r |＝3，|AC u u u r |＝2，AB u u u r 与AC u u u r 的夹角为60°，则|AB u u u r－AC u u u r |＝________．5. 在△ABC 中，已知三边a 、b 、c 满足222b a c ab +-=，则∠C 等于 ．1. 在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，求最大角的余弦值．提高部分2. 在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，求AB BC u u u r u u u r的值.§ 正弦定理和余弦定理（练习）课型：新授课 编写人： 审核人： 【学习目标和重点、难点】1. 进一步熟悉正、余弦定理内容；2. 掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形．【学习内容和学习过程】 一、新课导入复习1：在解三角形时已知三边求角，用 定理；已知两边和夹角，求第三边，用 定理； 已知两角和一边，用 定理．复习2：在△ABC 中，已知 A ＝6π，a ＝b ＝二、新课导学探究：在△ABC 中，已知下列条件，解三角形.① A ＝6π，a ＝25，b ＝② A ＝6π，a ，b ＝③ A ＝6π，a ＝50，b ＝思考：解的个数情况为何会发生变化新知：用如下图示分析解的情况（A为锐角时）．已知边a,b和∠A有两个解仅有一个解无解CH=bsinA<a<ba=CH=bsinAa<CH=bsinA试试：1. 用图示分析（A为直角时）解的情况2．用图示分析（A为钝角时）解的情况三、课堂巩固例1. 在∆ABC中，已知80a=，100b=，45A∠=︒，试判断此三角形的解的情况．变式：在∆ABC中，若1a=，12c=，40C∠=︒，则符合题意的b的值有_____个．例2. 在∆ABC 中，60A =︒，1b =，2c =，求sin sin sin a b c A B C++++的值．【学习小结】1. 已知三角形两边及其夹角（用余弦定理解决）；2. 已知三角形三边问题（用余弦定理解决）；3. 已知三角形两角和一边问题（用正弦定理解决）；4. 已知三角形两边和其中一边的对角问题（既可用正弦定理，也可用余弦定理，可能有一解、两解和无解三种情况）．在∆ABC 中，已知,,a b A ，讨论三角形解的情况 ：①当A 为钝角或直角时，必须a b >才能有且只有一解；否则无解；②当A 为锐角时，如果a ≥b ，那么只有一解；如果a b <，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若sin a b A >，则有两解；（2）若sin a b A =，则只有一解；（3）若sin a b A <，则无解．【课后作业】基础部分1. 已知a 、b 为△ABC 的边，A 、B 分别是a 、b 的对角，且sin 2sin 3A B =，则a b b+的值=（ ）. A. 13 B. 23 C. 43 D. 532. 已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是（ ）.A ．135°B ．90°C ．120°D ．150°3. 如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三角形形状为（ ）.A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加长度决定4. 在△ABC 中，sin A :sin B :sin C ＝4:5:6，则cos B ＝ ．5. 已知△ABC 中，cos cos b C c B =，试判断△ABC 的形状 ．1. 在∆ABC 中，a xcm =，2b cm =，45B ∠=︒，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x 的取值范围．提高部分2. 在∆ABC 中，其三边分别为a 、b 、c ，且满足2221sin 24a b c ab C +-=，求角C ．§应用举例—①测量距离课型：新授课编写人：审核人：【学习目标和重点、难点】能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题【学习内容和学习过程】一、新课导入复习1在△ABC中，b＝10，A＝30°，问a取何值时，此三角形有一个解两个解无解二、新课导学例1. 如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC=51︒，∠ACB=75︒. 求A、B两点的距离(精确到0.1m).提问1：∆ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边.新知1：基线在测量上，根据测量需要适当确定的叫基线.例2. 如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法.分析：这是例1的变式题，研究的是两个的点之间的距离测量问题.首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点.根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC和BC，再利用余弦定理可以计算出AB的距离.变式：如上图若在河岸选取相距40米的C、D两点，∠BCA=60°，∠ACD=30°∠CDB=45°，∠BDA =60°求AB.练：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东30°，灯塔B在观察站C南偏东60°，则A、B之间的距离为多少【学习小结】1. 解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.2．基线的选取：测量过程中，要根据需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度.【课后作业】基础部分1. 水平地面上有一个球，现用如下方法测量球的大小，用锐角45︒的等腰直角三角板的斜边紧靠球面，P 为切点，一条直角边AC 紧靠地面，并使三角板与地面垂直，如果测得PA =5cm ，则球的半径等于（ ）. A ．5cmB．C．1)cmD ．6cm2. 台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为（ ）.A ．小时B ．1小时C ．小时D ．2小时3. 在ABC ∆中，已知2222()sin()()sin()a b A B a b A B +-=-+，则ABC ∆的形状（ ）.A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形4.在ABC ∆中，已知4a =，6b =，120C =o ，则sin A 的值是 ．5. 一船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60o ，行驶４h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15o ，这时船与灯塔的距离为 km ．1.的C 、D 两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°，A 、B 、C 、D 在同一个平面，求两目标A 、B 间的距离.提高部分2. 某船在海面A处测得灯塔C与A相距海里，且在北偏东30︒方向；测得灯塔B与A相距75︒方向. 船由A向正北方向航行到D处，测得灯塔B在南偏西60︒方向. 这时灯塔C与D相距多少海里§应用举例—②测量高度课型：新授课编写人：审核人：【学习目标和重点、难点】1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题；2. 测量中的有关名称.【学习内容和学习过程】一、新课导入复习1：在∆ABC中，cos5cos3A bB a==，则∆ABC的形状是怎样复习2：在∆ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若::a b c，求A:B:C的值.二、新课导学新知：坡度、仰角、俯角、方位角方位角---从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角；坡度---沿余坡向上的方向与水平方向的夹角；仰角与俯角---视线与水平线的夹角当视线在水平线之上时，称为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角.探究：AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法.分析：选择基线HG，使H、G、B三点共线，要求AB，先求AE在ACE∆中，可测得角，关键求AC在ACD∆中，可测得角，线段，又有α故可求得AC三、课堂巩固例1. 如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α=5440'︒，在塔底C处测得A处的俯角β=501'︒. 已知铁塔BC部分的高为27.3 m，求出山高CD(精确到1 m)例2. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A 处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南15︒的方向上，行驶5km 后到达B处，测得此山顶在东偏南25︒的方向上，仰角为8︒，求此山的高度CD .问题1：欲求出CD ，思考在哪个三角形中研究比较适合呢问题2：在∆BCD 中，已知BD 或BC 都可求出CD ，根据条件，易计算出哪条边的长变式：某人在山顶观察到地面上有相距2500米的A 、B 两个目标，测得目标A 在南偏西57°，俯角是60°，测得目标B 在南偏东78°，俯角是45°，试求山高.【学习小结】利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化.在湖面上高h 处，测得云之仰角为α，湖中云之影的俯角为β，则云高为sin()sin()h αβαβ+-g . 【课后作业】基础部分1. 在∆ABC 中，下列关系中一定成立的是（ ）.A ．sin a b A >B ．sin a b A =C ．sin a b A <D ．sin a b A ≥2. 在ABC 中，AB =3，BC AC =4，则边AC 上的高为（ ）.A B C ．32D ．3. D 、C 、B 在地面同一直线上，DC =100米，从D 、C 两地测得A 的仰角分别为30o 和45o ，则A 点离地面的高AB 等于（ ）米．A ．100B ．C ．501)D ．501)4. 在地面上C 点，测得一塔塔顶A 和塔基B 的仰角分别是60︒和30︒，已知塔基B 高出地面20m ，则塔身AB 的高为_________m ．5. 在∆ABC 中，b =2a =，且三角形有两解，则A 的取值范围是 ．1. 为测某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20m 的楼的楼顶处测得塔顶A 的仰角为30°，测得塔基B 的俯角为45°，则塔AB 的高度为多少m提高部分2. 在平地上有A 、B 两点，A 在山的正东，B 在山的东南，且在A 的南偏西15°距离300米的地方，在A 侧山顶的仰角是30°，求山高.§应用举例—③测量角度课型：新授课 编写人： 审核人： 【学习目标和重点、难点】能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题. 【学习内容和学习过程】 一、新课导入复习1：在ABC △中，已知2c =，3C π=，且1sin 32ab C a b ，.二、新课导学例1. 如图，一艘海轮从A 出发，沿北偏东75︒的方向航行 n mile 后到达海岛B ，然后从B 出发，沿北偏东32︒的方向航行 n mile 后达到海岛C.如果下次航行直接从A 出发到达C ，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离(角度精确到︒，距离精确到 mile) 分析：首先由三角形的内角和定理求出角∠ABC ， 然后用余弦定理算出AC 边，再根据正弦定理算出AC 边和AB 边的夹角∠CAB .例2. 某巡逻艇在A处发现北偏东45︒相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75︒的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追需要多少时间才追赶上该走私船手试试练1. 甲、乙两船同时从B点出发，甲船以每小时10(3＋1)km的速度向正东航行，乙船以每小时20km的速度沿南偏东60°的方向航行，1小时后甲、乙两船分别到达A、C两点，求A、C两点的距离，以及在A点观察C点的方向角.练2. 某渔轮在A处测得在北偏东45°的C处有一鱼群，离渔轮9海里，并发现鱼群正沿南偏东75°的方向以每小时10海里的速度游去，渔轮立即以每小时14海里的速度沿着直线方向追捕，问渔轮应沿什么方向，需几小时才能追上鱼群【学习小结】1. 已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之.； 2．已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解. 拓展已知∆ABC 的三边长均为有理数，A =3θ，B =2θ，则cos5θ是有理数，还是无理数 因为5C πθ=-，由余弦定理知222cos 2a b c C ab+-=为有理数， 所以cos5cos(5)cos C θπθ=--=-为有理数.【课后作业】 基础部分1. 从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为（ ）. A ．α>β B ．α=β C ．α+β=90o D ．α+β=180o2. 已知两线段2a =，b =a 、b 为边作三角形，则边a 所对的角A 的取值范围是（ ）.A ．(,)63ππB ．(0,]6πC ．(0,)2πD ．(0,]4π3. 关于x 的方程2sin 2sin sin 0A x B x C ++=g g 有相等实根，且A 、B 、C 是∆ABC 的三个内角，则三角形的三边a b c 、、满足（ ）. A ．b ac = B ．a bc = C ．c ab = D ．2b ac =4. △ABC 中，已知a :b :c =(+1) :(-1): ，则此三角形中最大角的度数为 .5. 在三角形中，已知:A ，a ，b 给出下列说法: (1)若A ≥90°，且a ≤b ，则此三角形不存在 (2)若A ≥90°，则此三角形最多有一解(3)若A ＜90°，且a =b sin A ，则此三角形为直角三角形，且B =90° (4)当A ＜90°，a <b 时三角形一定存在(5)当A ＜90°，且b sin A <a <b 时，三角形有两解 其中正确说法的序号是 . 提高部分1. 我舰在敌岛A 南偏西50︒相距12海里的B 处，发现敌舰正由岛沿北偏西10︒的方向以10海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰§应用举例—④解三角形课型：新授课编写人：审核人：【学习目标和重点、难点】1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题；2. 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用；3. 能证明三角形中的简单的恒等式．【学习内容和学习过程】复习1：在∆ABC中（1）若1,120a b B==︒，则A等于．（2）若a=2b=，150C=︒，则c=_____．复习2：在ABC∆中，a=，2b=，150C=︒，则高BD= ，三角形面积= ．二、新课导学探究：在∆ABC中，边BC上的高分别记为ha，那么它如何用已知边和角表示ha=b sin C=c sin B根据以前学过的三角形面积公式S=12 ah，代入可以推导出下面的三角形面积公式，S=12ab sin C，或S= ，同理S= ．新知：三角形的面积等于三角形的任意两边以及它们夹角的正弦之积的一半．三、课堂巩固例1. 在∆ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到2）：（1）已知a=，c=，B=︒；（2）已知B=︒，C=︒，b=；（3）已知三边的长分别为a=，b=，c=38.7cm．变式：在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成室内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m ，88m ，127m ，这个区域的面积是多少（精确到2）例2. 在∆ABC 中，求证：（1）222222sin sin sin a b A B c C++=；（2）2a +2b +2c =2（bc cos A +ca cos B +ab cos C ）．小结：证明三角形中恒等式方法： 应用正弦定理或余弦定理，“边”化“角”或“角”化“边”．※ 动手试试练1. 在∆ABC 中，已知28a cm =，33c cm =，45B =o ，则∆ABC 的面积是 ．练2. 在∆ABC 中，求证： 22(cos cos )c a B b A a b -=-．【学习小结】1. 三角形面积公式：S =12ab sin C = = ． 2. 证明三角形中的简单的恒等式方法：应用正弦定理或余弦定理，“边”化“角”或“角”化“边”．识拓展三角形面积S =这里1()2p a b c =++，这就是着名的海伦公式．【课后作业】 基础部分1. 在ABC ∆中，2,60a b C ︒===，则ABC S ∆=（ ）.A. B.C. D.32 2. 三角形两边之差为2，夹角的正弦值为35，面积为92，那么这个三角形的两边长分别是（ ）.A. 3和5B. 4和6C. 6和8D. 5和73. 在ABC ∆中，若2cos sin sin B A C ⋅=，则ABC ∆一定是（ ）三角形． A. 等腰 B. 直角 C. 等边 D. 等腰直角4. ABC ∆三边长分别为3,4,6，它的较大锐角的平分线分三角形的面积比是 ．5. 已知三角形的三边的长分别为54a cm =，61b cm =，71c cm =，则∆ABC 的面积是 ．6. 已知在∆ABC 中，∠B =30︒，b =6，c a 及∆ABC 的面积S ．提高部分2. 在△ABC 中，若sin sin sin (cos cos )A B C A B +=⋅+，试判断△ABC 的形状.第一章 解三角形（复习）课型：新授课 编写人： 审核人： 【学习目标和重点、难点】能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题 【学习内容和学习过程】 一、新课导入复习1： 正弦定理和余弦定理 （1）用正弦定理：①知两角及一边解三角形；②知两边及其中一边所对的角解三角形（要讨论解的个数）． （2）用余弦定理：①知三边求三角；②知道两边及这两边的夹角解三角形．复习2：应用举例① 距离问题，②高度问题， ③ 角度问题，④计算问题．练：有一长为2公里的斜坡，它的倾斜角为30°，现要将倾斜角改为45°，且高度不变. 则斜坡长变为___ ．二、新课导学例1. 在ABC ∆中tan()1A B +=，且最长边为1，tan tan A B >，1tan 2B =，求角C 的大小及△ABC 最短边的长．例2. 如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30o，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1o）例3. 在∆ABC中，设tan2,tanA c bB b-=求A的值．北2010ABC手试试练1. 如图，某海轮以60 n mile/h 的速度航行，在A 点测得海面上油井P 在南偏东60°，向北航行40 min 后到达B 点，测得油井P 在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80 min 到达C 点，求P 、C 间的距离．练2. 在△ABC 中，b ＝10，A ＝30°，问a 取何值时，此三角形有一个解两个解无解【学习小结】1. 应用正、余弦定理解三角形；2. 利用正、余弦定理解决实际问题（测量距离、高度、角度等）； 3．在现实生活中灵活运用正、余弦定理解决问题. （边角转化）．设在ABC ∆中，已知三边a ，b ，c ，那么用已知边表示外接圆半径R 的公式是RC【课后作业】 基础部分1. 已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120︒，则△ABC 的面积为（ ）.A ．9B ．18C ．9D ．2.在△ABC 中，若222c a b ab =++，则∠C =（ ）. A ． 60° B ． 90° C ．150° D ．120°3. 在∆ABC 中，80a =，100b =，A =30°，则B 的解的个数是（ ）. A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．不确定的4. 在△ABC 中，a =b =1cos 3C =，则ABC S =△_______5. 在∆ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，若2222sin a b c bc A =+-，则A =___ ____.1. 已知A 、B 、C 为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若1cos cos sin sin 2B C B C -=．（1）求A ；（2）若4a b c =+=，求ABC ∆的面积．提高部分2. 在△ABC 中，,,a b c 分别为角A 、B 、C 的对边，22285bca cb -=-，a =3， △ABC 的面积为6，（1）求角A 的正弦值； （2）求边b 、c .。
高中数学人教A版必修5导学案设计：第一章-解三角形(复习)(学生版)
安阳县实验中学“四步教学法”导学案
Anyangxian shi yan zhongxue sibujiaoxuefa daoxuean
课题：第一章解三角形（复习）
制单人：审核人：高二数学组
班级：________ 组名：________姓名：________ 时间：__
一.自主学习
1学习目标
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题．
2学习指导
阅读教材,回答下面问题：
复习1：正弦定理和余弦定理
（1）用正弦定理：
①知两角及一边解三角形；
②知两边及其中一边所对的角解三角形（要讨论解的个数）．
（2）用余弦定理：
①知三边求三角；
②知道两边及这两边的夹角解三角形．
复习2：应用举例
①距离问题，②高度问题，
③角度问题，④计算问题．
3自学检测
（1）有一长为2公里的斜坡，它的倾斜角为30°，现要将倾斜角改为45°，且高度不变. 则斜坡长变为___ ．。
广东省肇庆市高中数学第一章解三角形第四课解三角形与三角函数导学案新人教A版必修5(new)
第四课 解三角形与三角函数一、合作探究例1在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且1243cos 2cos 0525B B -+=． (1）求sin B 的值；（2)求cos 4B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；(3）若7b =，5a c +=，求△ABC 的面积． 【思路分析】先根据二倍角公式,将条件化简，求出cos B 的值，然后再求解。
解:(1）由已知得1243cos 2cos 0525B B -+=，得269cos cos 0525B B -+= 即23cos 05B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以3cos 5B =,因为 0πB <<，故294sin 1cos 1255B B =-=-= （2）由（1）得3cos 5B =，4sin 5B = cos cos cos sin Bsin 444B B πππ⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭3242255=⨯-⨯=- （3）由余弦定理得 2222cos b a c ac B =+-．将π3B =，7b =代入上式，整理得2()37a c ac +-=．因为 5a c +=,所以 6ac =． 所以 △ABC 的面积133sin 2S ac B ==． 【点评】本题初看有点难，但仔细分析后,此题无非就是多个知识的综合，如果各个知识点都掌握好,它就一道 “简单题”。
☆自主探究1.在ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若5a ，3b =5sin 2sin C A =。
（1） 求c 的值； (2） 求sin 3A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.四、总结提升1、本节课你主要学习了五、问题过关1。
在ABC ∆中，内角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，4cos 5B =.(1)求cos()AC +的值； (2）求sin 6B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（3)若20BA BC =，求ABC ∆的面积.第四课 解三角形与三角函数（补充）☆自主探究1解：(1）在△ABC 中,根据正弦定理，sin sin c a C A = 于是sin 2sin C c a A =⋅=（2)在△ABC 中,根据余弦定理，得2222cos 23c b a A c b +-==⋅于是 sinA==，所以sin sin cos cos sin 333A A A πππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭1223=+= ☆问题过关1解：(1)在ABC ∆中，∵A B C π++=,∴A C B π+=- ，∵4cos 5B =， ∴4cos()cos()cos 5A CB B π+=-=-=-(2） 在ABC ∆中，∵4cos 5B =,∴3sin 5B ===∴sin sin cos sin cos 666B B B πππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭314525=⨯= (3） ∵20BA BC =，即cos 20BA BC B =,∴4205c a ⋅⨯=，即25ac = ∴ABC ∆的面积11315sin 252252ABC S ac B ∆==⨯⨯= 尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
(浙江版)高中数学 第一章 解三角形导学练 新人教A版必修5
第一章 解三角形§1.1 正弦定理和余弦定理 1．1.1 正弦定理(一)课时目标1．熟记正弦定理的内容；2．能够初步运用正弦定理解斜三角形．1．在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2.2．在Rt △ABC 中，C ＝π2，则a c ＝sin_A ，bc＝sin_B .3．一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．4．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a sin A ＝bsin B ＝csin C，这个比值是三角形外接圆的直径2R .一、选择题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则 a ∶b ∶c 等于( )A ．1∶2∶3B ．2∶3∶4C ．3∶4∶5D ．1∶3∶2 答案 D2．若△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则边b 的值为( ) A.3＋1 B ．23＋1 C ．2 6 D ．2＋2 3 答案 C 解析 由正弦定理a sin A ＝bsin B， 得4sin 45°＝bsin 60°，∴b ＝2 6.3．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，则△ABC 为( ) A ．直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形D ．等腰三角形 答案 A解析 sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ⇔(2R )2sin 2A ＝(2R )2sin 2B ＋(2R )2sin 2C ，即a 2＝b 2＋c 2，由勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形．4．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则角A 与角B 的大小关系为( ) A ．A >B B ．A <BC ．A ≥BD ．A ，B 的大小关系不能确定 答案 A解析 由sin A >sin B ⇔2R sin A >2R sin B ⇔a >b ⇔A >B .5．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，b ＝2，则B 等于( ) A ．45°或135° B ．60°C ．45°D ．135° 答案 C解析 由a sin A ＝b sin B 得sin B ＝b sin Aa＝2sin 60°3＝22. ∵a >b ，∴A >B ，B <60° ∴B ＝45°.6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么角C 等于( )A ．120°B ．105°C ．90°D ．75° 答案 A解析 ∵c ＝3a ，∴sin C ＝3sin A ＝3sin(180°－30°－C )＝3sin(30°＋C )＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin C ＋12cos C ，即sin C ＝－3cos C .∴tan C ＝－ 3.又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°. 二、填空题7．在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝2，B ＝60°，则C ＝_________. 答案 75°解析 由正弦定理得2sin A ＝6sin 60°，∴sin A ＝22.∵BC ＝2<AC ＝6，∴A 为锐角．∴A ＝45°.∴C ＝75°.8．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________.答案102解析 ∵tan A ＝13，A ∈(0°，180°)，∴sin A ＝1010.由正弦定理知BC sin A ＝ABsin C ， ∴AB ＝BC sin C sin A ＝1×sin 150°1010＝102. 9．在△ABC 中，b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________.答案 1解析 由正弦定理，得3sin2π3＝1sin B ，∴sin B ＝12.∵C 为钝角，∴B 必为锐角，∴B ＝π6，∴A ＝π6.∴a ＝b ＝1.10．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝______.答案 30°解析 ∵b ＝2a ∴sin B ＝2sin A ，又∵B ＝A ＋60°， ∴sin(A ＋60°)＝2sin A即sin A cos 60°＋cos A sin 60°＝2sin A ，化简得：sin A ＝33cos A ，∴tan A ＝33，∴A ＝30°.三、解答题11．在△ABC 中，已知a ＝22，A ＝30°，B ＝45°，解三角形．解 ∵a sin A ＝b sin B ＝csin C， ∴b ＝a sin B sin A ＝22sin 45°sin 30°＝22×2212＝4.∵C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋45°)＝105°，∴c ＝a sin C sin A ＝22sin 105°sin 30°＝22sin 75°12＝2＋2 3.12．在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝6，A ＝30°，解三角形． 解 a ＝23，b ＝6，a <b ，A ＝30°<90°. 又因为b sin A ＝6sin 30°＝3，a >b sin A ， 所以本题有两解，由正弦定理得：sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32，故B ＝60°或120°.当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a 2＋b 2＝43；当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a ＝2 3.所以B ＝60°，C ＝90°，c ＝43或B ＝120°，C ＝30°，c ＝2 3. 能力提升13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．答案 π6解析 ∵sin B ＋cos B ＝2sin(π4＋B )＝ 2.∴sin(π4＋B )＝1.又0<B <π，∴B ＝π4.由正弦定理，得sin A ＝a sin Bb＝2×222＝12. 又a <b ，∴A <B ，∴A ＝π6.14．在锐角三角形ABC 中，A ＝2B ，a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，求ab的取值范围． 解 在锐角三角形ABC 中，A ，B ，C <90°，即⎩⎪⎨⎪⎧B <90°，2B <90°，180°－3B <90°，∴30°<B <45°.由正弦定理知：a b ＝sin A sin B ＝sin 2B sin B＝2cos B ∈(2，3)，故a b的取值范围是(2，3)．1．利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题：1.1.1 正弦定理(二)课时目标1．熟记正弦定理的有关变形公式；2．能够运用正弦定理进行简单的推理与证明．1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R 的常见变形：(1)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ；(2)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝2R ； (3)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(4)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.2．三角形面积公式：S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ca sin B .一、选择题1．在△ABC 中，sin A ＝sin B ，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 答案 D2．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形 答案 B解析 由正弦定理知：sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin Ccos C，∴tan A ＝tan B ＝tan C ，∴A ＝B ＝C .3．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫152，＋∞ B ．(10，＋∞) C ．(0,10) D.⎝⎛⎦⎥⎤0，403答案 D解析 ∵c sin C ＝a sin A ＝403，∴c ＝403sin C .∴0<c ≤403.4．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则这个三角形一定是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形 答案 A解析 由a ＝2b cos C 得，sin A ＝2sin B cos C ， ∴sin(B ＋C )＝2sin B cos C ，∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ， ∴sin(B －C )＝0，∴B ＝C .5．在△ABC 中，已知(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．6∶5∶4B ．7∶5∶3C ．3∶5∶7D ．4∶5∶6 答案 B解析 ∵(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6， ∴b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b 6.令b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b 6＝k (k >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝4kc ＋a ＝5k a ＋b ＝6k，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝72kb ＝52kc ＝32k.∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝7∶5∶3.6．已知三角形面积为14，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为( )A ．1B ．2 C.12D ．4 答案 A解析 设三角形外接圆半径为R ，则由πR 2＝π，得R ＝1，由S △＝12ab sin C ＝abc 4R ＝abc 4＝14，∴abc ＝1.二、填空题7．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.答案 2 3解析 ∵cos C ＝13，∴sin C ＝223，∴12ab sin C ＝43，∴b ＝2 3. 8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A ＝60°，a ＝3，b ＝1，则c ＝________.答案 2解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得3sin 60°＝1sin B，∴sin B ＝12，故B ＝30°或150°.由a >b ，得A >B ，∴B ＝30°，故C ＝90°， 由勾股定理得c ＝2.9．在单位圆上有三点A ，B ，C ，设△ABC 三边长分别为a ，b ，c ，则a sin A ＋b 2sin B ＋2csin C＝________.答案 7解析 ∵△ABC 的外接圆直径为2R ＝2，∴a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ＝2， ∴a sin A ＋b 2sin B ＋2c sin C ＝2＋1＋4＝7. 10．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________，c ＝________.答案 12 6解析a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝6332＝12.∵S △ABC ＝12ab sin C ＝12×63×12sin C ＝183，∴sin C ＝12，∴c sin C ＝asin A＝12，∴c ＝6.三、解答题11．在△ABC 中，求证：a －c cos B b －c cos A ＝sin Bsin A.证明 因为在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，所以左边＝2R sin A －2R sin C cos B2R sin B －2R sin C cos A＝B ＋C －sin C cos B A ＋C －sin C cos A ＝sin B cos C sin A cos C ＝sin Bsin A＝右边．所以等式成立，即a －c cos B b －c cos A ＝sin Bsin A.12．在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，试判断△ABC 的形状．解 设三角形外接圆半径为R ，则a 2tan B ＝b 2tan A ⇔a 2sin B cos B ＝b 2sin A cos A ⇔4R 2sin 2 A sin B cos B ＝4R 2sin 2B sin A cos A⇔sin A cos A ＝sin B cos B ⇔sin 2A ＝sin 2B⇔2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π⇔A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 能力提升13．在△ABC 中，B ＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为( ) A ．45° B ．60° C ．75° D ．90° 答案 C解析 设C 为最大角，则A 为最小角，则A ＋C ＝120°， ∴sin C sin A ＝sin ()120°－A sin A＝sin 120° cos A －cos 120°sin A sin A＝32tan A ＋12＝3＋12＝32＋12， ∴tan A ＝1，A ＝45°，C ＝75°. 14．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，若a ＝2，C ＝π4，cos B 2＝255，求△ABC 的面积S .解 cos B ＝2cos 2 B 2－1＝35，故B 为锐角，sin B ＝45.所以sin A ＝sin(π－B －C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－B ＝7210.由正弦定理得c ＝a sin C sin A ＝107， 所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×107×45＝87.1．1.2 余弦定理(一)课时目标1．熟记余弦定理及其推论；2．能够初步运用余弦定理解斜三角形．1．余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C .2．余弦定理的推论cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.3．在△ABC 中：(1)若a 2＋b 2－c 2＝0，则C ＝90°；(2)若c 2＝a 2＋b 2－ab ，则C ＝60°；(3)若c 2＝a 2＋b 2＋2ab ，则C ＝135°.一、选择题1．在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝2，C ＝60°，则c 等于( ) A. 3 B ．3 C. 5 D ．5 答案 A2．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( )A.π3 B.π6 C.π4 D.π12 答案 B解析 ∵a >b >c ，∴C 为最小角，由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝72＋32－1322×7×43＝32.∴C ＝π6. 3．在△ABC 中，已知a ＝2，则b cos C ＋c cos B 等于( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．4 答案 C解析 b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·c 2＋a 2－b 22ac ＝2a 22a＝a ＝2.4．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( ) A.14 B.34 C.24 D.23 答案 B解析 ∵b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b 2＝2a 2，b ＝2a ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a ·2a ＝34.5．在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b 2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对应边)，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形 答案 B解析 ∵sin 2A 2＝1－cos A 2＝c －b 2c ， ∴cos A ＝b c ＝b 2＋c 2－a 22bc⇒a 2＋b 2＝c 2，符合勾股定理．故△ABC 为直角三角形．6．在△ABC 中，已知面积S ＝14(a 2＋b 2－c 2)，则角C 的度数为( )A ．135°B ．45°C ．60°D ．120° 答案 B解析 ∵S ＝14(a 2＋b 2－c 2)＝12ab sin C ，∴a 2＋b 2－c 2＝2ab sin C ，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab sin C .由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴sin C ＝cos C ， ∴C ＝45° . 二、填空题7．在△ABC 中，若a 2－b 2－c 2＝bc ，则A ＝________. 答案 120°8．△ABC 中，已知a ＝2，b ＝4，C ＝60°，则A ＝________. 答案 30°解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝22＋42－2×2×4×cos 60° ＝12∴c ＝2 3.由正弦定理：a sin A ＝c sin C 得sin A ＝12.∵a <c ，∴A <60°，A ＝30°.9．三角形三边长为a ，b ，a 2＋ab ＋b 2(a >0，b >0)，则最大角为________． 答案 120°解析 易知：a 2＋ab ＋b 2>a ，a 2＋ab ＋b 2>b ，设最大角为θ，则cos θ＝a 2＋b 2－a 2＋ab ＋b 222ab ＝－12，∴θ＝120°.10．在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π3，当△ABC 的面积等于3时，tan C ＝________.答案 －2 3解析 S △ABC ＝12ac sin B ＝3，∴c ＝4.由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－113，sin C ＝1213，∴tan C ＝－12＝－2 3.三、解答题11．在△ABC 中，已知CB ＝7，AC ＝8，AB ＝9，试求AC 边上的中线长．解 由条件知：cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB ·AC ＝92＋82－722×9×8＝23，设中线长为x ，由余弦定理知：x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC 22＋AB 2－2·AC 2·AB cos A ＝42＋92－2×4×9×23＝49 ⇒x ＝7.所以，所求中线长为7.12．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数； (2)求AB 的长；(3)求△ABC 的面积．解 (1)cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－12，又∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴⎩⎨⎧a ＋b ＝23，ab ＝2.∴AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝10， ∴AB ＝10.(3)S △ABC ＝12ab sin C ＝32.能力提升13．(2010·潍坊一模)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________．答案 3解析 ∵cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22×BC ×AC ＝22，∴sin C ＝22. ∴AD ＝AC ·sin C ＝ 3.14．在△ABC 中，a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，试判断三角形的形状． 解 由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，代入已知条件得 a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·a 2＋c 2－b 22ac ＋c ·c 2－a 2－b 22ab ＝0，通分得a 2(b 2＋c 2－a 2)＋b 2(a 2＋c 2－b 2)＋c 2(c 2－a 2－b 2)＝0，展开整理得(a 2－b 2)2＝c 4. ∴a 2－b 2＝±c 2，即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2. 根据勾股定理知△ABC 是直角三角形．1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题： (1)已知两边和夹角，解三角形． (2)已知三边求三角形的任意一角． 2．余弦定理与勾股定理余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．1．1.2 余弦定理(二)课时目标1．熟练掌握正弦定理、余弦定理；2．会用正、余弦定理解三角形的有关问题．1．正弦定理及其变形(1)a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R . (2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C .(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.(4)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c . 2．余弦定理及其推论(1)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A .(2)cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc .(3)在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔C 为直角；c 2>a 2＋b 2⇔C 为钝角；c 2<a 2＋b 2⇔C 为锐角． 3．在△ABC 中，边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，则有：(1)A ＋B ＋C ＝π，A ＋B 2＝π2－C2.(2)sin(A ＋B )＝sin_C ，cos(A ＋B )＝－cos_C ，tan(A ＋B )＝－tan_C .(3)sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C2.一、选择题1．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长，若满足(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则∠C 的大小为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150° 答案 C解析 ∵(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ， ∴a 2＋b 2－c 2＝－ab ， 即a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∴cos C ＝－12，∴∠C ＝120°.2．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是 ( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形 答案 C解析 ∵2cos B sin A ＝sin C ＝sin(A ＋B )， ∴sin A cos B －cos A sin B ＝0， 即sin(A －B )＝0，∴A ＝B .3.在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，则这个三角形的最小外角为 ( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 答案 B解析 ∵a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7， 不妨设a ＝3，b ＝5，c ＝7，C 为最大内角，则cos C ＝32＋52－722×3×5＝－12.∴C ＝120°.∴最小外角为60°.4．△ABC 的三边分别为a ，b ，c 且满足b 2＝ac,2b ＝a ＋c ，则此三角形是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形 答案 D解析 ∵2b ＝a ＋c ，∴4b 2＝(a ＋c )2，即(a －c )2＝0. ∴a ＝c .∴2b ＝a ＋c ＝2a .∴b ＝a ，即a ＝b ＝c .5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若C ＝120°， c ＝2a ，则( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定 答案 A解析 在△ABC 中，由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120° ＝a 2＋b 2＋ab .∵c ＝2a ，∴2a 2＝a 2＋b 2＋ab . ∴a 2－b 2＝ab >0，∴a 2>b 2，∴a >b .6．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度确定 答案 A解析 设直角三角形三边长为a ，b ，c ，且a 2＋b 2＝c 2，则(a ＋x )2＋(b ＋x )2－(c ＋x )2＝a 2＋b 2＋2x 2＋2(a ＋b )x －c 2－2cx －x 2＝2(a ＋b －c )x ＋x 2>0， ∴c ＋x 所对的最大角变为锐角． 二、填空题 7．在△ABC 中，边a ，b 的长是方程x 2－5x ＋2＝0的两个根，C ＝60°，则边c ＝________. 答案 19解析 由题意：a ＋b ＝5，ab ＝2.由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝52－3×2＝19， ∴c ＝19.8．设2a ＋1，a,2a －1为钝角三角形的三边，那么a 的取值范围是________． 答案 2<a <8解析 ∵2a －1>0，∴a >12，最大边为2a ＋1.∵三角形为钝角三角形，∴a 2＋(2a －1)2<(2a ＋1)2， 化简得：0<a <8.又∵a ＋2a －1>2a ＋1， ∴a >2，∴2<a <8.9．已知△ABC 的面积为23，BC ＝5，A ＝60°，则△ABC 的周长是________． 答案 12解析 S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A＝12AB ·AC ·sin 60°＝23， ∴AB ·AC ＝8，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A＝AB 2＋AC 2－AB ·AC ＝(AB ＋AC )2－3AB ·AC ，∴(AB ＋AC )2＝BC 2＋3AB ·AC ＝49， ∴AB ＋AC ＝7，∴△ABC 的周长为12.10．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则△ABC 外接圆的面积是________．答案 13π3解析 S △ABC ＝12bc sin A ＝34c ＝3，∴c ＝4，由余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝12＋42－2×1×4cos 60°＝13， ∴a ＝13.∴2R ＝a sin A ＝1332＝2393，∴R ＝393.∴S 外接圆＝πR 2＝13π3. 三、解答题11．在△ABC 中，求证：a 2－b 2c 2＝A －Bsin C.证明 右边＝sin A cos B －cos A sin B sin C ＝sin A sin C ·cos B －sin Bsin C·cos A＝a c ·a 2＋c 2－b 22ac －b c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a 2＋c 2－b 22c 2－b 2＋c 2－a 22c 2＝a 2－b 2c 2＝左边． 所以a 2－b 2c ＝A －B sin C.12.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边的长，cosB =53， 且·＝－21. (1)求△ABC 的面积； (2)若a ＝7，求角C .解 （1）∵·＝－21，∴·=21.∴· = ||·||·cosB = accosB = 21.∴ac=35，∵cosB = 53，∴sinB = 54.∴S △ABC = 21acsinB = 21×35×54= 14.(2)ac ＝35，a ＝7，∴c ＝5.由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝32， ∴b ＝4 2.由正弦定理：c sin C ＝bsin B.∴sin C ＝c b sin B ＝542×45＝22.∵c <b 且B 为锐角，∴C 一定是锐角． ∴C ＝45°. 能力提升13．已知△ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，则角C 的取值范围是( )A ．0<C ≤π6B ．0<C <π2C.π6<C <π2D.π6<C ≤π3 答案 A解析 方法一 (应用正弦定理)∵AB sin C ＝BC sin A ，∴1sin C ＝2sin A∴sin C ＝12sin A ，∵0<sin A ≤1，∴0<sin C ≤12.∵AB <BC ，∴C <A ，∴C 为锐角，∴0<C ≤π6.方法二 (应用数形结合)如图所示，以B 为圆心，以1为半径画圆， 则圆上除了直线BC 上的点外，都可作为A 点．从点C 向圆B 作切线，设切点为A 1和A 2，当A 与A 1、A 2重合时，角C 最大，易知此时：BC ＝2，AB ＝1，AC ⊥AB ，∴C ＝π6，∴0<C ≤π6.14．△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知b 2＝ac 且cos B ＝34.(1)求1tan A ＋1tan C的值；（2）设· =23，求a+c 的值. 解 (1)由cos B ＝34，得sin B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝74.由b 2＝ac 及正弦定理得sin 2B ＝sin A sinC .于是1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝A ＋C sin 2B ＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝477. (2)由· =23得ca ·cosB = 23由cos B ＝34，可得ca ＝2，即b 2＝2.由余弦定理：b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac ·c os B ＝5，∴(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac＝5＋4＝9，∴a ＋c ＝3.§1.2 应用举例(一)课时目标1．了解数学建模的思想；2．利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离的问题．1．基线的定义：在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．2．方位角：指从正北方向线按顺时针方向旋转到目标方向线所成的水平角．如图中的A 点的方位角为α.3．计算不可直接测量的两点间的距离是正弦定理和余弦定理的重要应用之一．一、选择题1．若点P 在点Q 的北偏西45°10′方向上，则点Q 在点P 的( ) A ．南偏西45°10′ B ．南偏西44°50′ C ．南偏东45°10′ D ．南偏东44°50′ 答案 C2．已知两灯塔A 和B 与海洋观测站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观测站C 的北偏东20°方向上，灯塔B 在观测站C 的南偏东40°方向上，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A ．a km B.3a km C.2a km D ．2a km 答案 B解析 ∠ACB ＝120°，AC ＝BC ＝a ， ∴由余弦定理得AB ＝3a .3．海上有A 、B 两个小岛相距10 n mile ，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是( )A ．10 3 n mile B.1063n mileC ．5 2 n mileD ．5 6 n mile 答案 D解析 在△ABC 中，∠C ＝180°－60°－75°＝45°. 由正弦定理得：BC sinA ＝ABsin B∴BC sin 60°＝10sin 45°解得BC ＝5 6.4．如图所示，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算A 、B 两点的距离为( )A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 m D.2522m答案 A解析 由题意知∠ABC ＝30°，由正弦定理AC sin ∠ABC ＝ABsin ∠ACB，∴AB ＝AC ·sin∠ACBsin ∠ABC ＝50×2212＝50 2 (m)．5．如图，一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°，与灯塔S 相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后到达N 处，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )A ．20(6＋2) 海里/小时B ．20(6－2) 海里/小时C ．20(6＋3) 海里/小时D ．20(6－3) 海里/小时 答案 B解析 由题意，∠SMN ＝45°，∠SNM ＝105°，∠NSM ＝30°. 由正弦定理得MN sin 30°＝MSsin 105°.∴MN ＝MS sin 30°sin 105°＝106＋24＝10(6－2)．则v 货＝20(6－2) 海里/小时．6．甲船在岛B 的正南A 处，AB ＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时，乙船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是( )A.1507 分钟 B.157小时 C ．21.5 分钟 D ．2.15 分钟 答案 A解析 设行驶x 小时后甲到点C ，乙到点D ，两船相距y km ， 则∠DBC ＝180°－60°＝120°. ∴y 2＝(10－4x )2＋(6x )2－2(10－4x )·6x cos 120°＝28x 2－20x ＋100＝28(x 2－57x )＋100＝28⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5142－257＋100∴当x ＝514(小时)＝1507(分钟)时，y 2有最小值．∴y 最小． 二、填空题7．如图，A 、B 两点间的距离为________．答案 32－ 28．如图，A 、N 两点之间的距离为________．答案 40 39．如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A 、B ，望对岸标记物C ，测得 ∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，AB ＝120 m ，则河的宽度为______．答案 60 m解析 在△ABC 中，∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°， ∴∠ACB ＝75°.∠ACB ＝∠ABC .∴AC ＝AB ＝120 m. 作CD ⊥AB ，垂足为D ，则CD 即为河的宽度．由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝CDsin ∠CAD，∴120sin 90°＝CD sin 30°， ∴CD ＝60(m)∴河的宽度为60 m.10．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km 后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________ km.答案 36解析如图，∠CAB ＝15°，∠CBA ＝180°－75°＝105°， ∠ACB ＝180°－105°－15°＝60°，AB ＝1 km. 由正弦定理得BCsin ∠CAB＝ABsin ∠ACB∴BC ＝1sin 60°·sin 15°＝6－223 (km)．设C 到直线AB 的距离为d ，则d ＝BC ·sin 75°＝6－223·6＋24＝36 (km)．三、解答题11．如图，某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75°，距离为12 6 n mile ，在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°，距离为8 3 n mile，货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在北偏东120°方向上，求：(1)A 处与D 处的距离； (2)灯塔C 与D 处的距离．解 (1)在△ABD 中，∠ADB ＝60°，∠B ＝45°，由正弦定理得AD ＝AB sin Bsin ∠ADB＝126×2232＝24(n mile)． (2)在△ADC 中，由余弦定理得CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC ·cos 30°， 解得CD ＝83≈14(n mile)．即A 处与D 处的距离为24 n mile ， 灯塔C 与D 处的距离约为14 n mile.12．如图，为测量河对岸A 、B 两点的距离，在河的这边测出CD 的长为32km ，∠ADB ＝∠CDB＝30°，∠ACD ＝60°，∠ACB ＝45°，求A 、B 两点间的距离．解 在△BDC 中，∠CBD ＝180°－30°－105°＝45°， 由正弦定理得BC sin 30°＝CDsin 45°，则BC ＝CD sin 30°sin 45°＝64(km)．在△ACD 中，∠CAD ＝180°－60°－60°＝60°，∴△ACD 为正三角形．∴AC ＝CD ＝32(km)．在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 45° ＝34＋616－2×32×64×22＝38， ∴AB ＝64(km)． 答 河对岸A 、B 两点间距离为64km. 能力提升 13．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的持续时间为( )A ．0.5小时B ．1小时C ．1.5小时D ．2小时 答案 B解析 设t 小时时，B 市恰好处于危险区，则由余弦定理得：(20t )2＋402－2×20t ×40·cos 45°＝302.化简得：4t 2－82t ＋7＝0，∴t 1＋t 2＝22，t 1·t 2＝74.从而|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝1.14．如图所示，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102海里．问乙船每小时航行多少海里？解 如图所示，连结A 1B 2， 由已知A 2B 2＝102，A 1A 2＝302×2060＝102，∴A 1A 2＝A 2B 2，又∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°， ∴△A 1A 2B 2是等边三角形， ∴A 1B 2＝A 1A 2＝10 2.由已知，A 1B 1＝20，∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°，在△A 1B 2B 1中，由余弦定理，B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2·cos 45°＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200.∴B 1B 2＝10 2.因此，乙船速度的大小为 10220×60＝302(海里/小时)． 答 乙船每小时航行302海里．1．解三角形应用问题的基本思路是：实际问题――→画图数学问题――→解三角形数学问题的解――→检验实际问题的解． 2．测量距离问题：这类问题的情境一般属于“测量有障碍物相隔的两点间的距离”．在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，测量工具要有较高的精确度．§1.2 应用举例(二)课时目标1．利用正、余弦定理解决生产实践中的有关高度的问题．2．利用正、余弦定理及三角形面积公式解决三角形中的几何度量问题．1．仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平线上方时叫仰角，目标视线在水平线下方时叫俯角．(如图所示)2．已知△ABC 的两边a 、b 及其夹角C ，则△ABC 的面积为12ab sin C .一、选择题1．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α与β的关系为( ) A ．α>β B ．α＝βC ．α<βD ．α＋β＝90° 答案 B2．设甲、乙两楼相距20 m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是( )A ．20 3 m ，403 3 mB ．10 3 m,20 3 mC ．10(3－2) m,20 3 m D.152 3 m ，203 3 m 答案 A解析 h 甲＝20tan 60°＝203(m)．h 乙＝20tan 60°－20tan 30°＝4033(m)．3．如图，为测一树的高度，在地面上选取A 、B 两点，从A 、B 两点分别测得望树尖的仰角为30°，45°，且A 、B 两点之间的距离为60 m ，则树的高度为( )A ．30＋30 3 mB ．30＋153mC ．15＋303mD ．15＋33m 答案 A解析 在△PAB 中，由正弦定理可得60－＝PBsin 30°，PB ＝60×12sin 15°＝30sin 15°，h ＝PB sin 45°＝(30＋303)m.4．从高出海平面h 米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为( )A ．2h 米 B.2h 米 C.3h 米 D ．22h 米答案 A解析 如图所示， BC ＝3h ，AC ＝h ，∴AB ＝3h 2＋h 2＝2h .5．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在平行地面上前进600 m 后测仰角为原来的2倍，继续在平行地面上前进200 3 m 后，测得山峰的仰角为原来的4倍，则该山峰的高度是( )A ．200 mB ．300 mC ．400 mD ．100 3 m 答案 B解析 如图所示，600·sin 2θ＝2003·sin 4θ，∴cos 2θ＝32，∴θ＝15°， ∴h ＝2003·sin 4θ＝300 (m)．6．平行四边形中，AC ＝65，BD ＝17，周长为18，则平行四边形面积是( ) A ．16 B ．17.5 C ．18 D ．18.53 答案 A解析 设两邻边AD ＝b ，AB ＝a ，∠BAD ＝α，则a ＋b ＝9，a 2＋b 2－2ab cos α＝17， a 2＋b 2－2ab cos(180°－α)＝65.解得：a ＝5，b ＝4，cos α＝35或a ＝4，b ＝5，cos α＝35，∴S ▱ABCD ＝ab sin α＝16. 二、填空题7．甲船在A 处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a 海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的3倍，则甲船应取方向__________才能追上乙船；追上时甲船行驶了________海里．答案 北偏东30° 3a 解析如图所示，设到C 点甲船追上乙船， 乙到C 地用的时间为t ，乙船速度为v ， 则BC ＝tv ，AC ＝3tv ，B ＝120°， 由正弦定理知BC sin ∠CAB ＝ACsin B，∴1sin ∠CAB ＝3sin 120°，∴sin ∠CAB ＝12，∴∠CAB ＝30°，∴∠ACB ＝30°，∴BC ＝AB ＝a ，∴AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 120°＝a 2＋a 2－2a 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3a 2，∴AC ＝3a .8．△ABC 中，已知A ＝60°，AB ∶AC ＝8∶5，面积为103，则其周长为________． 答案 20解析 设AB ＝8k ，AC ＝5k ，k >0，则 S ＝12AB ·AC ·sin A ＝103k 2＝10 3. ∴k ＝1，AB ＝8，AC ＝5，由余弦定理： BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A＝82＋52－2×8×5×12＝49.∴BC ＝7，∴周长为：AB ＋BC ＋CA ＝20.9．已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的内切圆面积为________．答案 27π5解析 不妨设三角形三边为a ，b ，c 且a ＝6，b ＝c ＝12， 由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝122＋122－622×12×12＝78，∴sin A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫782＝158.由12(a ＋b ＋c )·r ＝12bc sin A 得r ＝3155. ∴S 内切圆＝πr 2＝27π5.10．某舰艇在A 处测得遇险渔船在北偏东45°，距离为10 n mile 的C 处，此时得知，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时9 n mile 的速度向一小岛靠近，舰艇时速21 n mile ，则舰艇到达渔船的最短时间是______小时．答案 23解析 设舰艇和渔船在B 处相遇，则在△ABC 中，由已知可得：∠ACB ＝120°，设舰艇到达渔船的最短时间为t ，则AB ＝21t ，BC ＝9t ，AC ＝10，则(21t )2＝(9t )2＋100－2×10×9t cos 120°，解得t ＝23或t ＝－512(舍)．三、解答题11．如图所示，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角为α，在塔底C 处测得A 处的俯角为β.已知铁塔BC 部分的高为h ，求山高CD .解 在△ABC 中，∠BCA ＝90°＋β， ∠ABC ＝90°－α，∠BAC ＝α－β，∠CAD ＝β.根据正弦定理得：AC sin ∠ABC ＝BCsin ∠BAC ，即AC－α＝BCα－β，∴AC ＝BC cos αα－β＝h cos αα－β.在Rt △ACD 中，CD ＝AC sin ∠CAD ＝AC sin β＝h cos αsin βα－β.即山高CD 为h cos αsin βα－β.12．已知圆内接四边形ABCD 的边长AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求圆内接四边形ABCD 的面积．解连接BD ，则四边形面积S ＝S △ABD ＋S △CBD ＝12AB ·AD ·sin A ＋12BC ·CD ·sin C .∵A ＋C ＝180°，∴sin A ＝sin C .∴S ＝12(AB ·AD ＋BC ·CD )·sin A ＝16sin A .由余弦定理：在△ABD 中，BD 2＝22＋42－2×2×4cos A ＝20－16cos A ，在△CDB 中，BD 2＝42＋62－2×4×6cos C ＝52－48cos C ， ∴20－16cos A ＝52－48cos C .又cos C ＝－cos A ，∴cos A ＝－12.∴A ＝120°.∴四边形ABCD 的面积S ＝16sin A ＝8 3. 能力提升13．如图所示，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A 、B 、C 三点进行测量．已知AB ＝50 m ，BC ＝120 m ，于A 处测得水深AD ＝80 m ，于B 处测得水深BE ＝200 m ，于C 处测得水深CF ＝110 m ，求∠DEF 的余弦值．解 作DM ∥AC 交BE 于N ，交CF 于M .DF ＝MF 2＋DM 2＝302＋1702＝10298(m)， DE ＝DN 2＋EN 2＝502＋1202＝130(m)， EF ＝BE －FC 2＋BC 2＝902＋1202＝150(m)． 在△DEF 中，由余弦定理的变形公式，得cos ∠DEF ＝DE 2＋EF 2－DF 22DE ·EF＝1302＋1502－102×2982×130×150＝1665.即∠DEF 的余弦值为1665.14．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连成30°角，求两条船之间的距离．解 如图所示：∠CBD ＝30°，∠ADB ＝30°，∠ACB ＝45° ∵AB ＝30， ∴BC ＝30，BD ＝30tan 30°＝30 3. 在△BCD 中，CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD ·cos 30°＝900， ∴CD ＝30，即两船相距30 m.1．测量底部不可到达的建筑物的高度问题．由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．2．测量角度就是在三角形内利用正弦定理和余弦定理求角的正弦值或余弦值，再根据需要求出所求的角．第一章 解三角形 复习课课时目标1．掌握正弦定理、余弦定理的内容，并能解决一些简单的三角形度量问题．2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．一、选择题1．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则B 等于( ) A ．45°或135° B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对 答案 C解析 sin B ＝b ·sin A a ＝22，且b <a ，∴B ＝45°.2．在△ABC 中，已知cos A cos B >sin A sin B ，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 答案 C解析 cos A cos B >sin A sin B ⇔cos(A ＋B )>0， ∴A ＋B <90°，∴C >90°，C 为钝角．3．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k ，则k 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 答案 D解析 由正弦定理得：a ＝mk ，b ＝m (k ＋1)， c ＝2mk (m >0)， ∵⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b >c a ＋c >b 即⎩⎪⎨⎪⎧m k ＋mk 3mk >m k ＋，∴k >12.4．如图所示，D 、C 、B 三点在地面同一直线上，DC ＝a ，从C 、D 两点测得A 点的仰角分别是β、α(β<α)．则A 点离地面的高AB 等于( )A.a sin αsin βα－β B.a sin αsin βα－βC.a sin αcos βα－βD.a cos αcos βα－β答案 A解析 设AB ＝h ，则AD ＝hsin α，在△ACD 中，∵∠CAD ＝α－β，∴CDα－β＝ADsin β.∴aα－β＝h sin αsin β，∴h ＝a sin αsin βα－β. 5．在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝16，面积为2203，那么BC 的长度为( )A ．25B ．51C ．49 3D ．49 答案 D解析 S △ABC ＝12AC ·AB ·sin 60°＝12×16×AB ×32＝2203，∴AB ＝55.∴BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 60°＝552＋162－2×16×55×12＝2 401.∴BC ＝49.6．(2010·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a 2－b 2＝3bc ， sin C ＝23sin B ，则A 等于( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 答案 A解析 由sin C ＝23sin B ，根据正弦定理，得 c ＝23b ，把它代入a 2－b 2＝3bc 得 a 2－b ＝6b 2，即a 2＝7b 2.由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 22b ·23b＝6b243b2＝32. 又∵0°<A <180°，∴A ＝30°. 二、填空题7．三角形两条边长分别为3 cm,5 cm ，其夹角的余弦值是方程5x 2－7x －6＝0的根，则此三角形的面积是________cm 2.答案 6解析 由5x 2－7x －6＝0，解得x 1＝－35，x 2＝2.∵x 2＝2>1，不合题意．∴设夹角为θ，则cos θ＝－35，得sin θ＝45，∴S ＝12×3×5×45＝6 (cm 2)．8．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则asin A ＝____________.答案2393 解析 由S ＝12bc sin A ＝12×1×c ×32＝3，∴c ＝4.∴a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝12＋42－2×1×4cos 60°＝13.。
新课标高中数学必修5第一章解三角形导学案WORD版
§1.1.1正弦定理课型：新授课编写人：审核人：【学习目标和重点、难点】1. 掌握正弦定理的内容；2. 掌握正弦定理的证明方法；3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题.【学习内容和学习过程】一、新课导入试验：固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动.思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系?显然，边AB的长度随着其对角关系精确地表示出来？C的大小的增大而_____________ •能否用一个等式把这种二、新课导学探究1:在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系•如图，在Rt ABC 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，才，a b有sin A , sin B，又sin Cc c中，设BC=a, AC=b, AB=c,Z C=90°从而在直角三角形ABC中，一 Jsin Acbsin B si nC探究2:那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立?可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义,有CD= a si nB bsin A，贝Uasin Absin B同理可得csin Cbsin B从而一J sin Absin Bcsin C类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立•请你试试导新知：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的a b csin A sinB sinC______ 的比相等，即试试：（1 ）在ABC中，一定成立的等式是（）•A• asinA bsinB B.acosA bcosBC. asi nB bsi nAD. acosB bcosA（2）已知△ ABC 中，a = 4, b= 8,Z A = 30°，则/ B 等于_______________________［理解定理］(1)正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比, 且比例系数为同一正数,即存在正数k使a ksinA, ________(2)」b—等价于sin A sin B sinC(3)正弦定理的基本作用为：,c ksinC ;c b—'sinC sin Ba csin A sinC①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如a 竺出sin B②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,a女口sin A sin B ; sinC ________________ .b(4) 一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形三、课堂巩固例1.在ABC中，已知A 45 , B 60 , a 42cm,解三角形.变式：在ABC中，已知B 45 , C 60 , a 12cm，解三角形.例2.在ABC中，c 6, A 45 ,a 2,求b和B, C .变式：在ABC中，b 3,B 60 ,c 1,求a 和A, C .【学习小结】1.正弦定理：一J b csin A sin B sinC2.正弦定理的证明方法: ①三角函数的定义,还有②等积法，③外接圆法，④向量法3 •应用正弦定理解三角形：①已知两角和一边；②已知两边和其中一边的对角.AB = 6，/ A = 30°,/ B = 120，解此三角形.提高部分2. 已知△ ABC 中，si nA ： si nB : si nC = k : (k + 1) : 2k (k 工0)，求实数k 的取值范围为.【课后作业】 基础部分1. 在ABC 中，若 A •等腰三角形 C .直角三角形2. 已知△ ABC 中， A • 1 : 1 : 43. 在厶ABC 中，若 A. A B C. A >B4. 已知 ABC 中，5. 已知 ABC 中，sin A b，贝U ABC 是（ ）. sin B aB •等腰三角形或直角三角形D •等边三角形A :B :C = 1 : 1 : 4,贝U a : b : c 等于（B . 1 : 1 : 2C • 1 : 1 ： •.3sin A sin B ，则A 与B 的大小关系为（ B. A B D. A 、B 的大小关系不能确定sin A:sin B:sin C 1:3:3，则 a:b:c = _A 60 , a3，则a b csin A sin B sinC1.已知△ ABC 中,1. 掌握余弦定理的两种表示形式；2. 证明余弦定理的向量方法；3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.【学习内容和学习过程】复习1:在一个三角形中，各 __________________ 和它所对角的 _________ 的 _____ 相等，即 __________ : 复习2:在厶ABC 中，已知c 10 , A=45 , C=30，解此三角形.思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢?、新课导学问题：在 r•/ b r r ••• b?bABC 中， AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b------------------------- ?CbaA c k B同理可得:2a 2b 2c 2bccosA ,2 c 2 a b 22ab cosC .思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角? 从余弦定理，又可得到以下推论：,2 2 2课型：新授课编写人:【学习目标和重点、难点】§1.1.2余弦定理审核人：新知：余弦定理：三角形中任何一边的 它们的夹角的 __________ 的积的两倍. 等于其他两边的 __________ 的和减去这两边与b c acos A2bc［理解定理］(1) 若/ C= 90，则 cosC ，这时 c 2 a 2 b 2由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例. (2) 余弦定理及其推论的基本作用为：① 已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ② 已知三角形的三条边就可以求出其它角. 试试：(1 )△ ABC 中，a 3 3 , c 2 ,三、课堂巩固例1.在厶ABC 中，已知a 3 , b 2 , B 45，求 A,变式：在△ ABC 中，若 AB = ■ 5 , AC = 5，且 cosC =—，贝U10例2.在厶ABC 中，已知三边长 a 3 , b 4 , c 37 ，求三角形的最大内角.B 150，求 b •(2 )△ ABC 中，a 2 , bBC = _______A•变式：在 ABC 中，若a 2 b 2 c 2 be ，求/ A .【学习小结】1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例;2. 余弦定理的应用范围：①已知三边，求三角；②已知两边及它们的夹角，求第三边. 知识拓展在厶ABC 中，2右a b 22c , 则角 C 是直角;2 右ab 22c , 则角 C 是钝角;若 2 右a2 b 2c , 则角 C 是锐角. 【课后作业】 基础部分1. 已知 a = 3 , e = 2，/ B = 150°，则边 b 的长为（ ）.A.亘B. 34C.卫D. ,132 22. 已知三角形的三边长分别为 3、5、7,则最大角为（ ）.A . 60°°B . 75°°C . 120°°D . 150°°3. 已知锐角三角形的边长分别为2、3、x ,则x 的取值范围是（A . 5 xB . S3 v x v 5C .2v x v , 5D . . 5 v x v 5uuu UULT uuu uuu4. 在厶 ABC 中，|AB|= 3 , | AC | = 2, AB 与 AC 的夹角为 605. 在厶ABC 中，已知三边 a 、b 、e 满足b 2 a 213、1.在厶ABC 中，已知a = 7, b = 8, cosC =，求最大角的余弦值.14）.ULU UULT ，贝U | AB — AC | =e 2 ab ，则/ C 等于提高部分uuur uuur2. 在厶ABC 中，AB = 5, BC= 7, AC = 8,求AB BC 的值.§1.1正弦定理和余弦定理（练习）课型：新授课编写人：审核人：【学习目标和重点、难点】1. 进一步熟悉正、余弦定理内容；2. 掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形. 【学习内容和学习过程】一、新课导入复习1:在解三角形时已知三边求角，用_______________ 定理；已知两边和夹角，求第三边，用__________________ 定理；已知两角和一边，用______________ 定理.复习2:在厶ABC中，已知A = -, a = 25 2 , b = 50 .2，解此三角形.6二、新课导学探究：在△ ABC中，已知下列条件，解三角形①A= a = 25, b =50 2 ；6②A=a= 50 飞a ---------- ,b = 50；63③A一， a = 50, b =50 2 .6思考：解的个数情况为何会发生变化？新知：用如下图示分析解的情况（A 为锐角时）已知边a,b 和 A试试：1. 用图示分析（A 为直角时）解的情况?2 •用图示分析（A 为钝角时）解的情况?三、课堂巩固例1.在 ABC 中，已知a 80, b 100 , A 45，试判断此三角形的解的情况.C 40，则符合题意的b 的值有_______ 个.a<CH=bsinA无解Ba=CH=bsinA 仅有一个解CH=bsinA<a<b 有两个解仅有一个解【学习小结】1. 已知三角形两边及其夹角(用余弦定理解决) ；2. 已知三角形三边问题(用余弦定理解决) ；3. 已知三角形两角和一边问题(用正弦定理解决) ；4. 已知三角形两边和其中一边的对角问题(既可用正弦定理，也可用余弦定理，可能 有一解、两解和无解三种情况).在 ABC 中，已知a,b, A ，讨论三角形解的情况 ：①当A 为钝角或直角时，必须a b才能有且只有一解；否则无解； ②当A 为锐角时，如果a > b ，那么只有一解；如果a b ，那么可以分下面三种情况来讨论： (1 )若a bsinA ，则有两解；(2) 若a bsinA ,则只有一解； (3) 若a bsinA ，则无解.【课后作业】 基础部分1. 已知a 、b ABC 的边，A 、B 分别是a 、( ).1 2 小 4 5 A.-B.-C. 一D.- 3 333例2.在ABC 中，A 60 , b 1 , c 2，求a b csin A sin B sinC的值.b 的对角，且泄-，则…的值=sin B 3b2. 已知在△ ABC中，sinA : sinB : sinC = 3 : 5 : 7,那么这个三角形的最大角是（）.A . 135°B. 90° C. 120° D. 150°3. 如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三角形形状为（）•A •锐角三角形B •直角三角形C.钝角三角形 D •由增加长度决定4. 在厶ABC 中，sinA:sinB:sinC= 4:5:6，贝V cosB= _______________ .5. 已知△ ABC中，bcosC ccosB，试判断厶ABC的形状______________________________ .1. 在ABC中，a xcm, b 2cm, B 45，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围.提高部分2 2 22. 在ABC中，其三边分别为a、b、c,且满足丄absinC -―b-，求角C.2 4§.2应用举例一①测量距离课型：新授课编写人：审核人：【学习目标和重点、难点】能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题 【学习内容和学习过程】 一、新课导入复习1在厶ABC 中，b = 10, A = 30°,问a 取何值时，此三角形有一个解？两个解? 无解？二、新课导学例1.如图，设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在 A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C,测出AC 的距离是55m ， BAC=51 ， ACB=75 .求A 、B 两点的距离（精确到0.1m ）.提问1: ABC 中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当?提问2:运用该定理解题还需要那些边和角呢?分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题 题目条件告诉了边 AB 的对角，AC 为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出 AC 的对角，应用正弦定理算出 AB 边.例2.如图，A 、B 两点都在河的对岸（不可到达） 方法•分析：这是例1的变式题，研究的是两个 __________________ 的点之间的距离测量问题 首先需要构造三角形，所以需要确定 C 、D 两点.根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC 和BC ，变式：如上图若在河岸选取相距40米的C 、D 两点,CDB=45 °， BDA =60 ° 求 AB.练:两灯塔A 、B 与海洋观察站 C 的距离都等于a km,灯塔A 在观察站C 的北偏东30 灯塔B 在观察站C 南偏东60°，则A 、B 之间的距离为多少？新知1 :基线在测量上，根据测量需要适当确定的_____ 叫基线.，设计一种测量A 、B 两点间距离的再利用余弦定理可以计算出 AB 的距离.BCA=60 °， ACD=30【学习小结】1. 解斜三角形应用题的一般步骤：（1 ）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图2）建模：根据已知条件与求解目标， 把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中， 建立一个解斜三角形的数学模型；（3 ）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解 （4 ）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解2 .基线的选取：测量过程中，要根据需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度 •【课后作业】 基础部分1. 水平地面上有一个球，现用如下方法测量球的大 小，用锐角45的等腰直角三角板的斜边紧靠球 面，P 为切点，一条直角边 AC 紧靠地面，并使 三角板与地面垂直，如果测得 FA=5cm ,则球的 半径等于（ ）•A. 5cmB. 5 .2cmC. 5( 2 1)cm D . 6cm 2.台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市 B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为（）C . 1.5小时 _ 23. 在ABC 中，已知（a）.B.直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形a 4 ,b 6 , C 120o ，则 si nA 的值是5. 一船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔 B 在北偏东60°，行驶4 h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15° ,这时船与灯塔的距离为 ________________________ km .1.隔河可以看到两个目标，但不能到达，在岸边选取相距3km 的C 、D 两点，并测A . 0.5小时B . 1小时 D . 2小时b 2)si n(A B) (a 2b 2)sin( A B),则ABC 的形状（A.等腰三角形 C.等腰直角三角形 4.在ABC 中，已知得/ ACB = 75°,/ BCD = 45°,/ ADC = 30°,/ ADB = 45°, A、B、C、D 在同一个平面，求两目标A、B间的距离.提高部分2. 某船在海面A处测得灯塔C与A相距10 3海里，且在北偏东30方向；测得灯塔B 与A相距15.6海里，且在北偏西75方向•船由A向正北方向航行到D处，测得灯塔B在南偏西60方向.这时灯塔C与D相距多少海里？§.2应用举例一②测量高度课型：新授课编写人：审核人：【学习目标和重点、难点】1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题；2. 测量中的有关名称.【学习内容和学习过程】一、新课导入复习1:在ABC中，C0S A - 5，贝U ABC的形状是怎样？cosB a 3C 的对边，若a: b: c=1：1：•. 3 ,复习2：在ABC中，a、b、c分别为A、B、求A:B:C的值.二、新课导学新知：坡度、仰角、俯角、方位角方位角---从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角；坡度---沿余坡向上的方向与水平方向的夹角；仰角与俯角---视线与水平线的夹角当视线在水平线之上时，称为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角.探究：AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法.分析：选择基线 HG ,使H 、G 、B 三点共线,要求AB ，先求AE 在ACE 中，可测得角 在ACD 中，可测得角 故可求得AC三、课堂巩固例1.如图，在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯 角 =54 40，在塔底C 处测得A 处的俯角 =50 1 .已 知铁塔BC 部分的高为27.3 m,求出山高CD （精确到1 m ）______ ，关键求AC ______ ，线段 _______ ，又有例2.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在东偏南25的方向上，仰角为8，求此山的高度CD.问题1：欲求出CD，思考在哪个三角形中研究比较适合呢？问题2：在BCD中，已知BD或BC都可求出CD，根据条件，易计算出哪条边的长?变式：某人在山顶观察到地面上有相距2500米的A、B两个目标，测得目标A在南偏西57°，俯角是60°，测得目标B在南偏东78°，俯角是45°,试求山高.【学习小结】利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化）在湖面上高h处，测得云之仰角为，湖中云之影的俯角为，则云高为h ----------------si n（）【课后作业】基础部分1. 在ABC中，下列关系中一定成立的是（）.A. a bsinAB. a bsinAC. a bsinAD. a bsinA2. 在ABC 中，AB=3, BC= 13 , AC=4，则边AC 上的高为（）.A. 3-^B.痘C. 3D. 3 32 2 23. D、C、B在地面同一直线上，DC=100米，从D、C两地测得A的仰角分别为30°和45°，贝U A点离地面的高AB等于( )米.A. 100B. 50 3C. 50( 3 1)D. 50( 3 1)4. 在地面上C点，测得一塔塔顶A和塔基B的仰角分别是60和30 ,已知塔基B高出地面20m，则塔身AB的高为________________ m .5. 在ABC中，b 2 2 , a 2,且三角形有两解，贝U A的取值范围是_______________________________ .1. 为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°,测得塔基B的俯角为45°,则塔AB的高度为多少m?提高部分2. 在平地上有A、B两点，A在山的正东，B在山的东南，且在A的南偏西15。
整理人教A版数学必修五第一章 解三角形导学案
人教A 版数学必修五第一章解三角第一章選舉類別第一節︰規管選舉及投票制度的法例第二節︰報告的範圍第一節︰規管選舉及投票制度的法例1.1 為組成立法會而須舉行的選舉，以及選舉應如何進行，是由兩條法例規定，即《立法會條例》及《選舉管理委員會條例》(以下簡稱「《選管會條例》」)。
(A) 《立法會條例》1.2 根據《立法會條例》第4(3)條，香港特別行政區行政長官(以下簡稱「行政長官」) 指定第二屆立法會的任期於二零零零年十月一日開始，並藉二零零零年一月二十一日的憲報公告，指定舉行選舉委員會界別分組選舉的日期是二零零零年七月九日，及舉行換屆選舉的日期則為二零零零年九月十日。
1.3 第二屆立法會須有60名議員，以下述方式選出︰(a) 五個地方選區共選出24名議員；(b) 在28個功能界別中，除勞工界功能界別選出三名議員外，其餘27個功能界別各選出議員一名；及(c) 選舉委員會選出六名議員。
1.4 《立法會條例》就各選區或選舉界別(即地方選區和功能界別)及選舉委員會作出詳細規定。
地方選區一如其名，是以地區為基礎的。
每個選區分界的劃定由選舉管理委員會(以下簡稱「選管會」或「委員會」)建議(見本報告第二章)。
28個功能界別及其選民的資格詳列在《立法會條例》第20、20A至20ZB及25條。
選舉委員會由不超過800名委員組成，他/她們是由38個界別分組組成的四個界別的代表。
這四個界別和38個界別分組及其成員載於《立法會條例》附表2 (見第三章第3.4段)。
1.5 不同選區、選舉界別、選舉委員會和界別分組的選舉各有不同的投票制度，詳情如下︰(a) 地方選區選舉—比例代表名單投票制(《立法會條例》第49條)；(b) 《立法會條例》第50條(附錄一)所指明的特別功能界別(即鄉議局功能界別、漁農界功能界別、保險界功能界別及航運交通界功能界別)的選舉—按選擇次序淘汰投票制；以及(c) 《立法會條例》第20(1)(e)至(zb)條(附錄一) 所指明的24個功能界別的選舉、選舉委員會選舉及界別分組選舉—得票最多者當選投票制(《立法會條例》第51及52條)。
必修五第一章解三角形导学案1.1.1正弦定理学案
课题： 正弦定理【学习目标】1.掌握正弦定理的内容2.会用正弦定理解三角形第一环节：导入学习（约3分钟）a ,sin sin sin ABC A B C b c A B C==在直角三角形中，角C 为直角，角、、对应的边分别为a,b,c,则sinA=______,sinB=_______,sinC=________.所以那么，对于一般三角形，以上关系是否存在呢？第二环节：自主学习（知识点以题的形式呈现）（约15分钟）（一）基础学习（本课需要掌握的基础知识）1. 正弦定理：在一个三角形中，各边和他所对的角的 相等，即a s i n s i n s i nbcA B C == 2. 三角形的三个角A ，B ，C 和它所对的边a,b,c 叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做3. 正弦定理可以解决哪些解三角形的问题（1）（2）类型1已知两角和一边，求其它 1.?,20,ABC a A =≈例已知在三角形中＝30，Ｃ＝45，求B ，b ，c(sin1050.966)类型2：已知两边及一边的对角，解三角形 ⑴若A 为锐角时:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<=<)( b a ) ,( b a bsinA )( bsinA asin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a已知边a,b 和∠A有两个解仅有一个解无解CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinA⑵若A 为直角或钝角时:⎩⎨⎧>≤)(b a 锐角一解无解b a例2.已知下列各三角形中两边及一边的对角，先判断是否有解，有解的作出解答 （1）a=7,b=8,A=105(2) a=10,b=20,A=80(3)b=10,c=65 ,C=60 (4) a=（二）深入学习（需掌握的知识转化成能力——知识运用）1.,ABC A C a b 已知在中，＝60，Ｂ＝45，ｃ＝20，求，2.3c 1,ABC B C b 中，=０，=45，=求及三角形外接在三角形圆的半径3.在∆ABC 中，A=45，a=2, b=2,求B ，C ，c第四环节：展示学习（约7分钟）第五环节：精讲学习（学生对应的是反思学习）（约8分钟）（1）定理的表示形式：sin sin a b A B =sin c C ==++=++2sin sin sin a b cR A B C；或=2sin a R A ，=2sin b R B ，=2sin c R C (0)k >（2）正弦定理的应用范围：①已知两角和任一边，求其它两边及一角； ②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角 已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况:。
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1、已知sin15o=药~厲如何求其
4
数式结构特点 在选择公式中的作用
2倍角30°的余弦COS300?
2、反之如已知2a的余弦值，你能求出其半角 独立完成半角公式的证明，并在以下空格处默写半角公式:
a的正弦值吗？阅读课本139页例题1.
.2a2«, 2«
sin —
2 2 2 -
《简单的三角变换》
【使用说明 完成不带（ 成两个探究问题，学课组长注意调控讨论环节，不做与学习内容无关的事。
【学习目标 与证明
】：1、晚自习完成预习案，时间20分钟，牢记半角公式，A级完成所有题；B级I）的题，C级完成不带（*）的题。2、晚自习后20分钟合作探究，争取完
】:
【问题导学
】:
1、能使用二倍角公式推导半角公式，能用二倍角与半角公式进行简单的求值
0
(*
2
0
，求sin —的值
4
我的疑惑
SX--13—01—002编写:审批:组别:Fra bibliotek组名:
《简单的三角变换》
探究一、利用二倍角公式证明:
tan工=sin"
21+cosa
1- cosa
si na
探究二、证明"sinx
cosx
+x)
(*)探究三、化简:
1+s in x
-cosx
1 +sin X+cosx
课堂检测：证明si n2ot
离，请你设计一个测量方案。（测量人员只能在南岸观测，能使用的工具为皮尺和测角仪）
【思考】该问题的解答实质是将具体的测量问题转化为已知 的求解三角形的问题
【合作探究】2、如果要测量该河段的宽度，又该如何呢？
类型
2ta na
2
1 +tana
《正余弦定理的应用》导学案一
【学习目标】：1、进一步巩固几种常见可解三角形的类形及其解题方法与步骤2、学会
将日常生活中的具体测量问题通过读题、分析、画图、标记等步骤逐步转化为求解可解三角 形的问题。
【问题设计】：1、正弦定理的内容为:
，其常见的
变形公式还有
2、余弦定理的内容为
，其常见的变形公
式还有
3、讨论完善常见的可解三角形的类型及其解答策略分别:
⑴已知三边型:
⑵已知两边夹角型
⑶已知两边及一边对角型
（*）其中涉及有几解的判定
⑷已知两角一边型
（5）已知三角形的三个元素求另外三个元素的过程叫解三角形，可解三角形的三个已知元
素中至少有一个是
【合作探究】1、如图，某河段的两岸可视为平行的，为了测量该河两岸两点A C之间的距
【学法指导】：1、注意所谓角与角之间的倍半关系只是一种相对关系：如
3a
角，反之—也可以视为3a的
2
角。
220可以视为110
Oot3
2、利用半角公式求出sin—=—而
2
sin—值的符号应由
2
来确定。
【自学检测】；1、求值：（1）sin-
8
兀
(2)cos—
8
7百Q
2
9
-的值
2
3、求y=sin2x的最小正周期