人教课标版高中数学必修5第一章《解三角形》章末演练轻松闯关
人教新课标版数学高二-人教A版必修5第一章 解三角形 章末综合能力测试
16．在锐角△ABC中，若BC＝1，B＝2A，则 的值等于________，AC的取值范围为________．
解析：由正弦定理得 ＝ ，即 ＝ .∴ ＝2.∵△ABC是锐角三角形，∴0<A< ，0<2A< ，0<π－3A< ，解得 <A< .由AC＝2cosA得AC的取值范围为( ， )．
答案：2( ， )
C．在x轴下方D．与x轴交于两点
解析：(b2＋c2－a2)2－4b2c2＝(2bccosA)2－4b2c2＝4b2c2(cos2A－1)．
∵0<∠A< ，
∴cos2A－1<0.
∴(b2＋c2－a2)2－4b2c2<0，即抛物线开口向上与x轴没有交点．
答案：B
10．在△ABC中，三个角满足2A＝B＋C，且最大边与最小边分别是方程3x2－27x＋32＝0的两根，则△ABC的外接圆的面积是()
解得cosC＝ ，
故sinC＝ .
根据余弦定理有cosC＝ ＝ ，
ab＝a2＋b2－7，
3ab＝a2＋b2＋2ab－7＝(a＋b)2－7＝25－7＝18，
ab＝6.
所以S＝ absinC＝ ×6× ＝ .
答案：A
5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝ a,2sinB＝3sinC，则cosA的值为()
∴这个三角形为直角三角形或等腰三角形．
答案：D
4．在△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4sin2 －cos2C＝ ，且a＋b＝5，c＝ ，则△ABC的面积为()
A. B.
C. D.
解析：因为4sin2 －cos2C＝ ，
所以2[1－cos(A＋B)]－2cos2C＋1＝ ，
高中数学必修5第一章解三角形知识点复习及经典练习
高中数学必修五第一章解三角形知识点复习及经典练习一、知识点总结１.正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =． 推论:①定理:若α、β>0，且α+β＜π,则α≤β⇔sin sin αβ≤,等号当且当α＝β时成立。
②判断三角解时，可以利用如下原理： s ｉnA ＞ sin Ｂ ⇔ A ＞ B ⇔ a ＞ ｂ （在上单调递减）2.余弦定理: 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 或.222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩ﻩ 3.(1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边,求其他的两边及一角.2、已知两角和其中一边的对角,求其他边角.（2)两类余弦定理解三角形的问题:1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角,求第三边和其他两角．4．判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式．5．三角形中的基本关系:sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-sincos ,cos sin ,tan cotA B C A B C A B C +++===cos cos A B A B >⇔<cos y x =(0,)π解三角形[基础训练A 组]一、选择题1.在△A ＢＣ中,若0030,6,90===B a C ,则b c -等于（ )Ａ.1 B.1- C ．32 Ｄ．32-２．若A 为△ＡＢC 的内角，则下列函数中一定取正值的是( ）A ．A sin B.A cos C ．A tan D ．Atan 1 3.在△ABC 中,角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ＡBC 的形状是（ )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形4.等腰三角形一腰上的高是3,这条高与底边的夹角为060，则底边长为( ）A ．2B ．23 C ．3 D ．32 ５.在△ABC 中,若B a b sin 2=,则A 等于( )A ．006030或 B.006045或 C.0060120或 D.0015030或6.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是( )A ．090B ．0120 C.0135 D ．0150二、填空题1.在Rt △A ＢC 中，090C =,则B A sin sin 的最大值是＿＿____＿__＿＿_＿__。
人教新课标版数学高二A必修5课件第一章解三角形
相距100米，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声
音的时间比在B地晚
2 17
秒．在A地测得该仪器
弹至最高点H时的仰角为30°，求该仪器的垂
直弹射高度CH(声音的传播速度为340米/秒)．
理网络·明结构
解 由题意，设|AC|＝x，则|BC|＝x－127×340＝x－40. 在△ABC中，由余弦定理得： |BC|2＝|BA|2＋|AC|2－2|BA|·|AC|·cos∠BAC， 即(x－40)2＝10 000＋x2－100x，解得x＝420. 在Rt△ACH中，|AC|＝420，∠CAH＝30°， 所以|CH|＝|AC|·tan∠CAH＝140 3. 答 该仪器的垂直弹射高度CH为140 3米．
解 在△ABC 中，∵AB＝AC＝2，BC＝2 3，
由余弦定理，得
cos
a2＋b2－c2 C＝ 2ab ＝
23，
理网络·明结构
∴sin C＝12； 在△ADC 中，由正弦定理得，sAinDC＝sin∠ACADC， ∴AD＝ 22×12＝ 2.
2
理网络·明结构
跟踪训练1 在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sin Bsin C，
理网络·明结构
(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a、b和A，应先 用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余 弦定理求c，要注意解可能有多种情况． (4)已知三边a、b、c，可应用余弦定理求A、B、C.
理网络·明结构
例1 如图，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2 3，点D在BC 边上，∠ADC＝45°，求AD的长度．
理网络·明结构
＝sin
3π 4 cos
B－cos
3π 4 sin
B＝7102.
高中数学 第一章 解三角形同步测试 新人教A版必修5(2021年最新整理)
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解三角形(时间：120分钟,满分：150分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．（2014·高考课标全国卷Ⅱ）钝角三角形ABC的面积是错误!，AB＝1，BC＝错误!，则AC ＝( ）A．5 B。
5 C．2 D．12．（2015·高考陕西卷改编)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m＝(a，错误!b）与n＝（cos A，sin B)平行．则A为( )A.错误! B。
错误! C。
错误! D。
错误!3．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC 的形状为（)A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定4．△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，向量p＝（1,－错误!），q＝（cos B，sin B)，p∥q且b cos C＋c cos B＝2a sin A，则C＝（）A．30° B．60° C．120° D．150°5．（2014·高考江西卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c。
若3a＝2b,则2sin2B－sin2Asin2A的值为( ）A。
人教A版高中数学必修五1.1第一课时知能演练轻松闯关.docx
1．有关正弦定理的叙述：①正弦定理只适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三角形；③在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值．④在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c .其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.因为正弦定理适用于任意三角形，故①②不正确；由a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R 知，三角形确定，则其外接圆半径R 为定值，故③正确；④显然正确，故选B.2．在△ABC 中，下列关系一定成立的是( )A ．a >b sin AB ．a ＝b sin AC ．a <b sin AD ．a ≥b sin A解析：选D.由正弦定理知a ＝b sin A sin B， 在△ABC 中，∵0<sin B ≤1，∴1sin B≥1， ∴a ≥b sin A ，故选D.3．(2012·高考广东卷)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( )A ．4 3B ．2 3C. 3D.32解析：选B.由正弦定理得BC sin A ＝AC sin B，即32sin 60°＝AC sin 45°，所以AC ＝3232×22＝23，故选B. 4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，m ＝(a 2，b 2)，n ＝(tan A ，tan B )，且m ∥n ，那么△ABC 一定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形解析：选D.由m ∥n 得：a 2tan B ＝b 2tan A ，结合正弦定理有sin 2B sin 2A ＝tan B tan A， ∴sin B sin A ＝cos A cos B， ∴sin 2A ＝sin 2B ，∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π.∴A ＝B 或A ＋B ＝π2， 即△ABC 是等腰或直角三角形，故选D.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c 等于( ) A ．1 B ．2C.3－1D. 3解析：选B.在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B， 得sin B ＝b a ×sin A ＝13×32＝12. 又∵b ＝1<a ＝3，∴B <A ＝π3，而0<B <π， ∴B ＝π6，从而C ＝π2，由勾股定理可得 c ＝a 2＋b 2＝1＋3＝2，故选B.6．(2013·德州高二期中)在△ABC 中，三个内角之比A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，那么a ∶b ∶c 等于________．解析：三个内角A ∶B ∶C ＝1∶2∶3∴∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°，∴a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝12∶32∶1 ＝1∶3∶2.答案：1∶3∶27．(2013·泰安高一期中)在△ABC 中，已知c ＝2，∠A ＝120°，a ＝23，则∠B ＝________. 解析：由正弦定理得a sin A ＝c sin C即 23sin 120°＝2sin C∴sin C ＝sin 120°3＝12 又∵∠A ＝120°，∴∠C ＝30°，∴∠B ＝180°－120°－30°＝30°答案：30°8．(2013·烟台高二检测)在△ABC 中，最大边长是最小边长的2倍，且2AB →·AC →＝|AB →|·|AC→|，则此三角形的形状是________．解析：∵2AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|，∴cos A ＝12，∴A ＝π3， ∴a 边不是最大边也不是最小边，不妨设b <c ，则2b ＝c ，由正弦定理2sin B ＝sin C ，∴2sin B ＝sin(2π3－B )， ∴2sin B ＝32cos B ＋12sin B ， ∴tan B ＝33，∴B ＝π6，C ＝π2. ∴此三角形为直角三角形 答案：直角三角形9．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a ＝43，试判断三角形的形状． 解：由正弦定理知cos A cos B ＝sin B sin A ＝43， ∴sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin 2A ＝sin 2B ，∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2. 又∵b a>1，∴B >A ， ∴△ABC 为直角三角形．10．在△ABC 中，已知下列条件解三角形．(1)a ＝2，b ＝2，A ＝30°；(2)a ＝2，b ＝2，A ＝45°；解：(1)由a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a， ∴sin B ＝2sin 30°2＝22， ∵a <b ，∴B >A ＝30°，∴B 为锐角或钝角，∴B ＝45°或B ＝135°.当B ＝45°时，C ＝180°－(A ＋B )＝105°，∴c ＝a sin C sin A ＝2sin 15°sin 30°＝3＋1； 当B ＝135°时，C ＝180°－(A ＋B )＝15 °，∴c ＝a sin C sin A ＝2sin 105°sin 30°＝3－1. ∴B ＝45°，C ＝105°，c ＝3＋1，或B ＝135°，C ＝15°，c ＝3－1.(2)由a sin A ＝b sin B，得 sin B ＝b sin A a ＝2sin 45°2＝2×222＝12， ∵a >b ，∴A >B ，∴B 必为锐角．∴B ＝30°，∴C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(45°＋30°)＝105°，∴c ＝a sin C sin A ＝2sin 105°sin 45 °＝2×6＋2422＝3＋1， ∴B ＝30°，C ＝105°，c ＝3＋1.1．△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则b a等于( ) A ．2 3 B ．2 2C. 3D. 2解析：选D.∵a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，∴sin A sin A sin B ＋sin B ·cos 2A ＝2sin A ，∴sin B ＝2sin A ，∴b a ＝sin B sin A＝ 2. 2．(2012·高考重庆卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c ＝________. 解析：由已知条件可得sin A ＝45，sin B ＝1213， 而sin C ＝sin (A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝5665， 根据正弦定理b sin B ＝c sin C ，得c ＝145. 答案：1453．如图，在△ABC 中，B ＝π4，AC ＝25，cos C ＝255，求sin ∠BAC 的值．解：因为cos C ＝255，且C 为△ABC 的内角， 所以sin C ＝1－cos 2C ＝55. 所以sin ∠BAC ＝sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝22×255＋22×55＝31010.。
高中数学必修五第一章解三角形知识点总结及练习题.doc
第一章 解三角形1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有：2sin sin sin a b cR C===A B ． 2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ；④sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C++===A +B +A B ．注意：正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。
2、已知两角和一边，求其余的量。
⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。
（一解、两解、无解三中情况）如：在三角形ABC 中，已知a 、b 、A （A 为锐角）求B 。
具体的做法是：数形结合思想 画出图：法一：把a 扰着C 点旋转，看所得轨迹以AD当无交点则B 无解、当有一个交点则B 有一解、当有两个交点则B 有两个解。
法二：是算出CD=bsinA,看a 的情况： 当a<bsinA ，则B 无解当bsinA<a ≤b,则B 有两解 当a=bsinA 或a>b 时，B 有一解注：当A 为钝角或是直角时以此类推既可。
3、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．4、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ， 2222cos b a c ac =+-B ，2222cos c a b ab C =+-．5、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222cos 2a b c C ab+-=．(余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余的量。
最新人教版高中数学必修5第一章《解三角形》
数学人教B 必修5第一章解三角形知识建构综合应用专题一判断三角形的形状正弦定理、余弦定理是反映三角形中边角关系的重要定理，是处理有关三角形问题的有力工具，要注意两定理的变形运用及实际应用．判断三角形的形状，其常用方法是：将已知式子都化为角的式子或边的式子再判断．通常利用正弦定理的变形如a ＝2R ·sin A 将边化角，b 2＋c 2－a 2a 利用余弦定理的推论如cos A ＝把角的余弦化边，或利用sin A ＝把角的正弦化2bc 2R边，然后利用三角形的有关知识，三角恒等变形方法、代数恒等变形方法进行转化、化简，从而得出结论．常见结论有：设a ，b ，c 是△ABC 的角∠A ，∠B ，∠C 的对边，①若a 2＋b 2＝c 2，则∠C ＝90°；②若a 2＋b 2＞c 2，则∠C ＜90°；③若a 2＋b 2＜c 2，则∠C ＞90°；π④若sin 2A ＝sin 2B ，则∠A ＝∠B 或∠A ＋∠B ＝.2应用1在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则该三角形是__________三角形．提示：考虑到已知条件是三个角正弦的比值，可用正弦定理得出三边的关系，再利用余弦定理判断最大角的大小即可．应用2在△ABC 中，若∠B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状．提示：已知条件中等式只有边，故结合其特点，可选择利用正弦定理化边为角，再结合三角函数关系化简求解；本题也可利用∠B ＝60°这一条件，用余弦定理，找出边之间的关系来判断．专题二恒等式的证明证明有关三角形中边角关系的恒等式，若出现边角混合关系式，通常情况下，有两种方法：化边为角，将已知条件统一用角表示；化角为边，将已知条件用边表示，然后利用角的关系或边的关系进行求解，从而使问题得到解决．应用1在△ABC 中，求证：a 2＋b 2sin 2A ＋sin 2B (1)2＝；c sin 2C(2)a 2＋b 2＋c 2＝2(bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C )．提示：本题(1)可从左边证到右边，利用正弦定理将边的关系转化为角的关系；本题(2)可从右边证到左边，利用余弦定理将角的关系转化为边的关系．应用2已知在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S .a 2＋b 2＋c 2求证：cot A ＋cot B ＋cot C ＝.4S提示：解本题的关键是化切为弦，再结合余弦定理变形．专题三三角形的面积问题求三角形面积与正弦定理、余弦定理、三角函数、函数的有关知识紧密地联系在一起，是高考中的常见题型．常用三角形面积公式：111(1)S △ABC ＝ah a ＝bh b ＝ch c .222111(2)S △ABC ＝ab sin C ＝bc sin A ＝ac sin B ．222a ＋b ＋c (3)S ＝p (p －a )(p －b )(p －c )(其中p ＝)．2应用在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝2，AC ＝2，AB ＝3，求tan A 的值和△ABC 的面积．2提示：由已知可把角A 算出来，再求tan A ，并求出sin A ，直接代入面积公式即可求面积．专题四正、余弦定理的综合应用以三角形为载体，以正、余弦定理为工具，以三角恒等变换为手段来考查解三角形问题是近几年高考中一类热点题型．在具体解题中，除了熟练使用正弦、余弦定理这个工具外，也要根据条件，合理选用三角函数公式，达到简化解题的目的．cos C 2a －c 应用1在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，且＝.cos B b(1)求cos B 的值；(2)若b ＝7，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．提示：(1)先利用正弦定理化简，再用三角变换整理即得．(2)利用余弦定理及面积公式，再注意整体求ac 的技巧．应用2在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且3a ＝2c sin A ．(1)确定角C 的大小；33(2)若c ＝7，且△ABC 的面积为，求a ＋b 的值．2提示：(1)利用正弦定理将边转化为角即可；(2)利用余弦定理和面积公式列出关于a ，b 的方程求解，注意整体技巧．专题五正、余弦定理在实际问题中的应用解决有关三角形的应用问题时，首先要认真分析题意，找出各量之间的关系，根据题意画出示意图，将要求的问题抽象为三角形模型，然后利用正弦定理、余弦定理求解，最后将结果还原为实际问题，这一程序可用框图表示为：实际问题――→解三角形问题――→三角形问题的解――→实际问题的解概括演算应用1如图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧抽象推理还原远处一山顶D 在西偏北15°的方向上，行驶5 km 后到达B 处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°，求此山的高度CD ．提示：要测出高CD ，只要测出高所在的直角三角形的另一条直角边或斜边的长即可．根据已知条件，可以计算出BC 的长．应用2如图，某巡逻艇在A 处发现北偏东45°相距9海里的C 处有一艘走私船，正沿南偏东75°的方向以10海里/时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才能追赶上该走私船？提示：在求解三角形中，可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．真题放送1．(2011·天津高考)如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为()．A ．3366B ．C ．D ．36362．(2011·福建高考)若△ABC 的面积为3，BC ＝2，∠C ＝60°，则边AB 的长度等于__________．→→3．(2011·上海高考)在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点．若AB ＝3，BD ＝1，则AB ·AD＝______.4．(2011·湖南高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝a cos C ．(1)求角C 的大小；π(2)求3sin A －cos(B ＋)的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小．45．(2011·湖北高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，b1＝2，cos C ＝.4(1)求△ABC 的周长；(2)求cos(A －C )的值．6．(2011·辽宁高考)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a .b (1)求；a(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求∠B ．7．(2011·浙江高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin A ＋sin C1＝p sin B (p ∈R )，且ac ＝b 2.45(1)当p ＝，b ＝1时，求a ，c 的值；4(2)若角B 为锐角，求p 的取值范围．答案：综合应用专题一应用1：钝角∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，根据正弦定理，得a ∶b ∶c ＝2∶3∶4.设a ＝2m ，b ＝3m ，c ＝4m (m ＞0),∵c ＞b ＞a ，∴∠C ＞∠B ＞∠A .a 2＋b 2－c 24m 2＋9m 2－16m 21∴cos C ＝＝＝－＜0.2ab 42×2m ×3m∴∠C 是钝角.∴△ABC 是钝角三角形．应用2：解：解法一：由正弦定理，得2sin B ＝sin A ＋sin C .∵∠B ＝60°，∴∠A ＋∠C ＝120°.∴∠A ＝120°－∠C ，代入上式，得2sin 60°＝sin (120°－C )＋sin C ，31展开，整理得sin C ＋cos C ＝1.22∴sin(C ＋30°)＝1.∴∠C ＋30°＝90°.∴∠C ＝60°.故∠A ＝60°.∴△ABC 为等边三角形．解法二：由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B .a ＋c ∵∠B ＝60°，b ＝，2a ＋c 2∴()＝a 2＋c 2－2ac cos 60°.2整理，得(a －c )2＝0，∴a ＝c .从而a ＝b ＝c .∴△ABC 为等边三角形．专题二a b c 应用1：证明：(1)由正弦定理，设＝＝＝k ，sin A sin B sin Ck 2sin 2A ＋k 2sin 2B sin 2A ＋sin 2B 显然k ≠0，所以，左边＝＝＝右边，即原等式成立．k 2sin 2C sin 2Cb 2＋c 2－a 2c 2＋a 2－b 2a 2＋b 2－c 2(2)根据余弦定理，右边＝2(bc ·＋ca ·＋ab ·)＝(b 2＋c 2－a 2)2bc 2ca 2ab222222222＋(c ＋a －b )＋(a ＋b －c )＝a ＋b ＋c ＝左边，即原等式成立．222b 2＋c 2－a 2cos A b ＋c －a 应用2：证明：由余弦定理，得cos A ＝，所以cot A ＝＝＝2bc sin A 2bc sin Ab 2＋c 2－a 2a 2＋c 2－b 2a 2＋b 2－c 2，同理可得cot B ＝，cot C ＝，所以cot A ＋cot B ＋cot C ＝4S 4S 4Sb 2＋c 2－a 2a 2＋c 2－b 2a 2＋b 2－c 2a 2＋b 2＋c 2＋＋＝.4S 4S 4S 4S专题三2应用：解：∵sin A ＋cos A ＝2cos (A －45°)＝，21∴cos (A －45°)＝.2又∵0°＜∠A ＜180°，∴∠A ＝105°.tan 45°＋tan 60°∴tan A ＝tan (45°＋60°)＝＝－2－3，1－tan 45°tan 60°2＋6sin A ＝sin (45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝.4又∵AC ＝2，AB ＝3，2＋6311∴S △ABC ＝AC ·AB ·sin A ＝×2×3×＝(2＋6)．2244专题四cos C 2a －c 2sin A －sin C 应用1：解：(1)由＝＝，得cos B b sin Bcos C ·sin B ＝2sin A ·cos B －cos B ·sin C .∴2sin A ·cos B ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C＝sin (B ＋C )＝sin (π－A )＝sin A .1∵sin A ≠0，∴cos B ＝.2(2)∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ＝7，又a ＋c ＝4，∴(a ＋c )2－3ac ＝7.∴ac ＝3.11333∴S △ABC ＝ac sin B ＝×3×＝.2224应用2：解：(1)由3a ＝2c sin A 及正弦定理，得a 2sin A sin A ＝＝.c sin C 33∵sin A ≠0，∴sin C ＝.2∵△ABC 是锐角三角形，π∴∠C ＝.3π(2)∵c ＝7，∠C ＝.由面积公式，得31π33ab sin ＝，∴ab ＝6.①232π由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos ＝7，即a 2＋b 2－ab ＝7.②3由①②，得(a ＋b )2＝25，故a ＋b ＝5.专题五应用1：解：在△ABC 中，∠BAC ＝15°，∠ACB ＝25°－15°＝10°.根据正弦定理，AB sin ∠BAC 5sin 15°得BC ＝＝≈7.452 4(km)，sin 10°sin ∠ACBCD ＝BC tan ∠DBC ＝BC ×tan 8°≈1.047 (km)．答：山的高度约为1.047 km.应用2：解：设该巡逻艇沿AB 方向经过x 小时后在B 处追上走私船，则CB ＝10x ，AB ＝14x ，AC ＝9，∠ACB ＝75°＋45°＝120°，222∴(14x )＝9＋(10x )－2×9×10x cos 120°，2化简，得32x －30x －27＝0.39解得x ＝或x ＝－(舍去)．216∴BC ＝10x ＝15，AB ＝14x ＝21.BC sin 120°15353又∵sin ∠BAC ＝＝×＝，AB 21214∴∠BAC ＝38°13′或∠BAC ＝141°47′(钝角不合题意，舍去)．∴38°13′＋45°＝83°13′.答：巡逻艇应该沿北偏东83°13′方向去追，经过1.5小时才能追赶上该走私船．真题放送31．D 设BD ＝a ，则BC ＝2a ，AB ＝AD ＝a .2在△ABD 中，由余弦定理，得33(a )2＋(a )2－a 222222AB ＋AD －BD 1cos A ＝＝＝.2AB ·AD 3332×a ·a 2222又∵∠A 为△ABC 的内角，∴sin A ＝.3BC AB 在△ABC 中，由正弦定理，得＝.sin A sin C3a 222AB 6∴sin C ＝·sin A ＝·＝.BC 2a 361132．2在△ABC 中，由面积公式得S ＝BC ·CA ·sin C ＝×2·AC ·sin60°＝AC ＝3，∴AC 2221＝2.再由余弦定理，得AB 2＝BC 2＋AC 2－2·AC ·BC ·cos C ＝22＋22－2×2×2×＝4.∴AB ＝2.23．15如图，在△ABD 中，由余弦定理得2AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos 60°＝9＋1－2×3×cos 60°＝7，∴AD ＝7，AB 2＋AD 2－BD 29＋7－15∴cos ∠BAD ＝＝＝.2AB ·AD 2×3×727515于是，AB ·AD ＝|AB ||AD |cos ∠BAD ＝3×7×＝.2724．解：(1)因为c sin A ＝a cos C ，由正弦定理，得sin C sin A ＝sin A cos C .因为0＜A ＜π，所以sin A ＞0.从而sin C ＝cos C .π又cos C ≠0，所以tan C ＝1，则∠C ＝.43π(2)由(1)知，B ＝－A .于是4π3sin A －cos(B ＋)4＝3sin A －cos(π－A )＝3sin A ＋cos Aπ＝2sin(A ＋)．63πππ11π因为0＜A ＜，所以＜A ＋＜.46612ππππ从而当A ＋＝，即A ＝时，2sin(A ＋)取最大值2.6236ππ5π综上所述，3sin A －cos(B ＋)的最大值为2，此时∠A ＝，∠B ＝.431215．解：(1)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×＝4，4∴c ＝2.∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5.1(2)∵cos C ＝，4115∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－()2＝.44154a sin C 15∴sin A ＝＝＝.c 28∵a ＜c ，∴∠A ＜∠C .故∠A 为锐角．1527)＝.88∴cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C71151511＝×＋×＝.8484166．解：(1)由正弦定理得，sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A .b 故sin B ＝2sin A ，所以＝ 2.a(2)由余弦定理和c 2＝b 2＋3a 2，(1＋3)a 得cos B ＝.2c由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2.12可得cos 2B ＝，又cos B ＞0，故cos B ＝，22所以∠B ＝45°.5a ＋c ＝，47．解：(1)由题设和正弦定理，得1ac ＝，4∴cos A ＝1－sin 2A ＝1－(⎧⎨⎩1a ＝1，⎧⎧⎪⎪a ＝4，解得⎨1或⎨c ＝，⎪⎪⎩4⎩c ＝1.11(2)由余弦定理，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝p 2b 2－b 2－b 2cos B ，2231即p2＝＋cos B，223因为0＜cos B＜1，得p2∈(，2)．2由题设知p＞0，所以6＜p＜ 2. 2。
(2021年整理)高中数学必修五第一章解三角形章末测试(人教A版必修5)
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高中数学必修五第一章解三角形章末测试一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC中，已知a＝3,b＝4，c＝错误!，则角C为( ）A．90° B．60°C．45° D．30°解析：根据余弦定理：cos C＝错误!＝错误!＝错误!，∴C＝60°。
答案: B2．在△ABC中，a＝错误!,b＝错误!，A＝30°，则c等于（）A．2错误! B.错误!C．25或错误!D．以上都不对解析: 由于sin B＝错误!＝错误!，故B＝60°或120°.当B＝60°时,C＝90°时，c＝30°.c＝a2＋b2＝2错误!；当B＝120°时,C＝30°，c＝a＝错误!.答案：C3．已知三角形的两边长分别为4,5，它们夹角的余弦是方程2x2＋3x－2＝0的根，则第三边长是（)A.20B.错误!C.22D.错误!解析：设长为4，5的两边的夹角为θ，由2x2＋3x－2＝0得：x＝错误!或x＝－2(舍）．∴cos θ＝错误!，∴第三边长为错误!＝错误!.答案：B4．符合下列条件的三角形有且只有一个的是（）A．a＝1，b＝2，c＝3 B．a＝1，b＝错误!，A＝30°C．a＝1，b＝2,A＝100° D．b＝c＝1，B＝45°解析：A：a＋b＝3＝c，不能构成三角形；B：b sin A〈a<b,故有两解．C:a<b，故A应为锐角，而已知A＝100°，故不能构成三角形．D:b＝c＝1，故△ABC为等腰三角形，∴C＝B＝45°，∴A＝90°,故只有一解．答案: D5．在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2＋b2＝c2＋ab,则C＝( )A．60° B．120°C．45° D．30°解析: 由余弦定理得cos C＝错误!＝错误!＝错误!又∵C∈（0°，180°)∴C＝60°.答案: A6．在△ABC中，若a2＋b2－c2〈0，则△ABC是( ）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．都有可能解析：由余弦定理，得cos C＝错误!〈0。
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第一章《解三角形》章末演练[A.基础达标]1．在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，AB ＝6，则C ＝( )A.π4或3π4 B.3π4 C.π4D.π6 2．在△ABC 中，a ＝15，b ＝20，A ＝30°，则cos B ＝( ) A ．±53 B.23 C ．－53D.533．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为( )A ．3 3B ．2 3C ．4 3 D. 34．如图，海平面上的甲船位于中心O 的南偏西30°，与O 相距15海里的C 处．现甲船 以35海里/小时的速度沿直线CB 去营救位于中心O 正东方向25海里的B 处的乙船，则甲船到达B 处需要的时间为( )A.12小时 B ．1小时 C.32小时 D ．2小时5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin 2A 2＝c －b2c ，则△ABC 的形状为( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形6．已知△ABC 中，3a 2－2ab ＋3b 2－3c 2＝0，则cos C 的大小是________．7．在△ABC 中，已知cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c ＝________.8．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km 后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________km.9．某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C 处进行该仪器的垂直弹射，观察点A ，B 两地相距100 m ，∠BAC ＝60°，在A 地听到弹射声音的时间比B 地晚217 s ．A 地测得该仪器在C 处时的俯角为15°，A 地测得最高点H的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH .(声音的传播速度为340 m/s)10．在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A . (1)求cos A 的值； (2)求c 的值．[B.能力提升]1．在三角形ABC 中，已知三边之比a ∶b ∶c ＝2∶3∶4，则sin A －2sin Bsin 2C 的值等于( )A ．1B ．2C ．－2D.122．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，则边长c 的取值范围是________．3．在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则c ＝________；sin A ＝________．4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求△ABC 的面积．5．某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度向正东方向匀速行驶，经过t 小时小艇与轮船相遇，假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短的时间与轮船相遇，并说明理由．参考答案[A.基础达标]1.解析：选C.由BC sin A ＝AB sin C ，得sin C ＝22.∵BC ＝3，AB ＝6，∴A >C ，则C 为锐角，故C ＝π4.2.解析：选A.因为a sin A ＝bsin B ，所以15sin 30°＝20sin B，解得sin B ＝23.因为b >a ，所以B >A ，故B 有两解，所以cos B ＝±53.3.解析：选C.∵cos C ＝13，0<C <π，∴sin C ＝223，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×32×23×223＝4 3.4.解析：选B.在△OBC 中，由余弦定理，得CB 2＝CO 2＋OB 2－2CO ·OB cos 120°＝152＋252＋15×25＝352，因此CB ＝35，3535＝1(小时)，因此甲船到达B 处需要的时间为1小时．5.解析：选B.法一：由已知可得1－cos A 2＝12－b2c，即 cos A ＝bc，b ＝c cos A .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，则b ＝c ·b 2＋c 2－a 22bc，所以c 2＝a 2＋b 2，由此知△ABC 为直角三角形． 法二：由法一知b ＝c cos A ，由正弦定理，得sin B ＝sin C cos A ．在△ABC 中，sin B ＝sin(A ＋C )， 从而有sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin C cos A ， 即sin A cos C ＝0.在△ABC 中，sin A ≠0， 所以cos C ＝0.由此得C ＝π2，故△ABC 为直角三角形．6.解析：由3a 2－2ab ＋3b 2－3c 2＝0，得c 2＝a 2＋b 2－23ab .根据余弦定理，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－a 2－b 2＋23ab2ab ＝13，所以cos C ＝13.答案：137.解析：在△ABC 中，∵cos A ＝35>0，∴sin A ＝45.∵cos B ＝513>0，∴sin B ＝1213.∴sin C ＝sin [π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45×513＋35×1213＝5665.由正弦定理知b sin B ＝csin C ，∴c ＝b sin Csin B ＝3×56651213＝145.答案：1458.解析：如图，∠CAB ＝15°，∠CBA ＝180°－75°＝105°，∠ACB ＝180°－105°－15°＝60°， AB ＝1 (km)．由正弦定理得 BC sin ∠CAB ＝ABsin ∠ACB ，∴BC ＝1sin 60·sin 15°＝6－223(km)． 设C 到直线AB 的距离为d ， 则d ＝BC ·sin 75°＝6－223×6＋24＝36(km)． 答案：369.解：由题意，设AC ＝x m ，则BC ＝x －217×340＝(x －40) m ，在△ABC 内，由余弦定理：BC 2＝BA 2＋CA 2－2·BA ·CA ·cos ∠BAC ， 即(x －40)2＝1002＋x 2－100x ， 解得x ＝420.在△ACH 中，AC ＝420 m ，∠CAH ＝30°＋15°＝45°，∠CHA ＝90°－30°＝60°， 由正弦定理：CH sin ∠CAH ＝AC sin ∠AHC ，可得CH ＝AC ·sin ∠CAHsin ∠AHC ＝1406(m)．即该仪器的垂直弹射高度CH 为140 6 m.10.解：(1)因为a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ，所以在△ABC 中，由正弦定理得3sin A ＝26sin 2A. 所以2sin A cos A sin A ＝263.故cos A ＝63.(2)由(1)知cos A ＝63，所以sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为∠B ＝2∠A ，所以cos B ＝2cos 2 A －1＝13.所以sin B ＝1－cos 2B ＝223.在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝539.所以c ＝a sin Csin A ＝5.[B.能力提升]1.解析：选B.由已知不妨设a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k (k >0)，所以cos C ＝4k 2＋9k 2－16k 22×2k ×3k ＝－14，于是sin A －2sin B sin 2C ＝sin A －2sin B2sin C cos C＝a －2b 2c ·cos C＝2k －6k8k ×⎝⎛⎭⎫－14＝2. 2.解析：要构成锐角三角形，则三个内角都是锐角，或最大角为锐角才可以．由余弦定理得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2>c 2a 2＋c 2>b 2，b 2＋c 2>a 2即⎩⎪⎨⎪⎧13>c 2，4＋c 2>9，9＋c 2>4.即5<c 2<13，解得5<c <13. 答案：(5，13)3.解析：由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝12＋22－2×2×14＝4，故c ＝2.因为cos C ＝14，所以sin C ＝1－⎝⎛⎭⎫142＝154.由正弦定理，得a sin A ＝c sin C ，即sin A ＝a sin C c＝1×1542＝158(或由a ＝1，b ＝2，c ＝2得cos A ＝22＋22－122×2×2＝78，于是sin A ＝1－⎝⎛⎭⎫782＝158.答案：21584.解：(1)由余弦定理及已知条件得，a 2＋b 2－ab ＝4，又因为△ABC 的面积等于3， 所以12ab sin C ＝3，得ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2)由题意得sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ， 即sin B cos A ＝2sin A cos A ， 当cos A ＝0时，A ＝π2，B ＝π6，a ＝433，b ＝233，当cos A ≠0时，得sin B ＝2sin A .由正弦定理，得b ＝2a ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得a ＝233，b ＝433，所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝233.5.解：设小艇航行速度的大小是v 海里/小时，如图所示，设小艇与轮船在B 处相遇．由余弦定理得BO 2＝AO 2＋AB 2－2AO ·AB cos A ，所以(v t )2＝400＋(30t )2－2×20×30t cos(90°－30°)， 即(v 2－900)t 2＋600t －400＝0(其中0<v ≤30)， ①当0<v <30时，则Δ＝360 000＋1 600(v 2－900) ＝1 600(v 2－675)，令Δ＝0，即1 600(v 2－675)＝0，则v ＝153，当0<v <153时，两船不会相遇；当153≤v <30时， 此时t ＝－300±20 v 2－675v 2－900；当t ＝－300－20 v 2－675v 2－900时，令x ＝v 2－675，则x ∈[0，15)， t ＝－300－20x x 2－225＝－20x －15≥43，当且仅当x ＝0，即v ＝153时，等号成立； 当t ＝－300＋20 v 2－675v 2－900时，同理可得23<t ≤43；综上可得，当153≤v ＜30时，t >23；②当v ＝30时，可求得t ＝23；综合①②可知，当v ＝30时，t 取得最小值，且最小值是23，此时，在△OAB 中，有OA ＝OB ＝AB ＝20，所以可设计方案如下： 小艇的航行方向是北偏东30°，航行速度为30海里/小时，此时小艇能以最短的时间与轮船相遇．。