2019年上海市七宝中学高三三模数学试卷(附答案)(精校Word版)
【全国百强校】上海市闵行区七宝中学2019届高三第二学期3月月考数学试题(解析版)
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．1.已知集合，且，则可以是（）A. B. C. D.2.若角的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是（）A. B. C. D.3.已知等差数列满足，则中一定为零的项是（）A. B. C. D.4.已知，则下列各式中一定成立（）A. B. C. D.5.执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A. B. C. D.6.已知复数，则下面结论正确的是（）A. B.C. 一定不是纯虚数D. 在复平面上，对应的点可能在第三象限7.椭圆与双曲线的离心率之积为1，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为（）A. ，B. ，C. ，D. ，8.某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在层班级，生物在层班级，该校周一上午课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有（）层地理层层生物层层物理层物理层A. 8种B. 10种C. 12种D. 14种第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9.已知成等比数列，且，则____．10.在中，，则_______；_________.11.已知向量，同时满足条件①，②的一个向量的坐标为_____ .12.在极坐标系中，若圆关于直线对称，则_____.13.设关于的不等式组表示的平面区域为．记区域上的点与点距离的最小值为，则（1）当时，____；（2）若，则的取值范围是____．14.已知函数，，其中.若，使得成立，则____．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明~演算步骤或证明过程15.已知函数的最大值为．（1）求的值；（2）求函数的单调递增区间．16.据《人民网》报道，“美国国家航空航天局发文称，相比20年前世界变得更绿色了.卫星资料显示中国和印度的行动主导了地球变绿．”据统计，中国新增绿化面积的来自于植树造林，下表是中国十个地区在2017年植树造林的相关数据．（造林总面积为人工造林、飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和）单位：公顷（1）请根据上述数据分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值最大和最小的地区；（2）在这十个地区中，任选一个地区，求该地区人工造林面积占造林总面积的比值超过的概率是多少？（3）在这十个地区中，从新封山育林面积超过五万公顷的地区中，任选两个地区，记为这两个地区中退化林修复面积超过六万公顷的地区的个数，求的分布列及数学期望．17.如图，在直三棱柱中，，点分别为棱的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成的角为?如果存在，求出线段的长；如果不存在，说明理由．18.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求证：函数存在极小值；（3）请直接写出函数的零点个数．19.已知抛物线，其中．点在的焦点的右侧，且到的准线的距离是与距离的3倍．经过点的直线与抛物线交于不同的两点，直线与直线交于点，经过点且与直线垂直的直线交轴于点.（1）求抛物线的方程和的坐标；（2）判断直线与直线的位置关系，并说明理由．20.首项为O的无穷数列同时满足下面两个条件：①；②.（1）请直接写出的所有可能值；（2）记，若对任意成立，求的通项公式；（3）对于给定的正整数，求的最大值．。
精品解析：2019年上海市七宝中学高三下第三次模拟考试数学试题(解析版)
2C21019
4C22019
(2)2019
C 2019 2019
________
【答案】 1
【解析】
【分析】
根据二项式定理展开式配凑，即可求出．
【详解】 1
2C21019
4C22019
(2)2019
C 2019 2019
Байду номын сангаас
C0 2019
g 0 0 得出 g 1 0
1 ，结合 1
a 1 b 1 ，可作出关于 a 、 b
的不等式组，作出可行域，将
2a b 1 5
视为可行
域中的点
a,
b 到直线
2a
b
1
0
的距离，结合图象可得出答案.
y f x
【详解】作出函数
的图象如下图所示：
10.已知数列{an}满足： a1 1，且 (n 1)an1 nan 3 0 ，若对任意的 a [2, 2] ，不等式 an 2t2 at 1恒成立，则实数 t 的范围为________ 【答案】 t 2 或 t 2
【解析】 【分析】
先求出数列{an}的通项公式，再求出其最大值，然后求出 g(a) at 2t2 1在 a [2, 2] 上的最小值，即
3 【答案】 3
【解析】 【分析】
设圆锥的底面半径为 r ，母线长为 l ，高为 h ，根据圆锥底面圆周长等于展开后半圆的弧长得出 r ，由题意
得出 l 2 ，再由勾股定理得出 h 的值，最后利用锥体的体积公式计算出圆锥的体积.
【详解】设圆锥的底面半径为 r ，母线长为 l ，高为 h ，则 l 2 ，
2019届上海市高考模拟卷(三)数学试题(解析版)
2019届上海市高考模拟卷（三）数学试题一、单选题1．设x ∈R ，则“|x －2|<1”是“x 2＋x －2>0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】解：由“|x ﹣2|＜1”得1＜x ＜3，由x 2+x ﹣2＞0得x ＞1或x ＜﹣2，即“|x ﹣2|＜1”是“x 2+x ﹣2＞0”的充分不必要条件，故选：A ．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．2．已知集合{(,)|||||1}P x y x y =+…，{}22(,)|1Q x y x y =+…，则有（ ）A ．P Q =B ．PQ C ．P Q P = D ．P Q Q ⋂=【答案】B【解析】根据两个集合分别表示的平面区域分析可得答案. 【详解】因为{(,)|||||1}P x y x y =+…表示四个顶点分别为(1,0),(0,1),(1,0),(0,1)--的正方形围成的区域(包括边界),而{}22(,)|1Q x y x y =+…表示的圆心为原点,半径为1的圆围成的区域(包括边界),所以P Q .故选:B 【点睛】本题考查了集合之间的真子集关系,属于基础题.3．将向量1a =(1x ，1y )，2a =(2x ，2y )，…n a =(n x ,n y )组成的系列称为向量列{n a }，并定义向量列{n a }的前n 项和12n n S a a a =++⋅⋅⋅+．如果一个向量列从第二项起,每一项与前一项的差都等于同一个向量，那么称这样的向量列为等差向量列。
若向量列{n a }是等差向量列，那么下述四个向量中，与21S 一定平行的向量是 ( ) A ．10a B ．11aC ．20aD ．21a【答案】B【解析】依题意，当{}n a 为等差向量列时，设每一项与前一项的差都等于d ，则可求出通项公式1(1)n a a n d =+- ，所以{}n a 前21项和211221111111()(20)2121021S a a a a a d a d a d a =+++=+++++=+= ，故与21S 平行的向量是11a ，选B.点睛: 本题主要考查新定义: 等差向量列的理解和应用, 属于中档题. 解题思路：设每一项与前一项的差都等于d ，运用类似等差数列的通项和求和公式，计算可得211121S a =，由向量共线定理，可得出结论. 考查类比的数学思想方法和向量共线定理的运用.4．设集合A ＝[0，12)，B ＝[12，1]，函数()()1,221,x x Af x x x B⎧+∈⎪=⎨⎪-∈⎩，若x 0∈A ，且f[f(x 0)]∈A ，则x 0的取值范围是( ) A ．(0，14] B ．(14，12) C ．(14，12] D ．[0，38]【答案】B 【解析】【详解】 ∵x 0∈A ，∴f(x 0)＝x 0＋12∈B. ∴f[f(x 0)]＝f(x 0＋12)＝2(1－x 0－12)＝1－2x 0. 又因为f[f(x 0)]∈A ，∴0≤1－2x 0<12， 解得14<x 0≤12，又0≤x 0<12.∴14<x 0<12，故选B.二、填空题5．函数sin cos cos sin 44y x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期T =___________.【答案】π【解析】利用两角和的正弦公式化简函数表达式，由此求得函数的最小正周期. 【详解】依题意ππsin sin 244y x x x ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数的周期2ππ2T ==. 故填：π. 【点睛】本小题主要考查两角和的正弦公式，考查三角函数最小正周期的求法，属于基础题.6．若函数21()12x f x =，(0,)x ∈+∞，则其反函数1()f x -=_________.【答案】2log (1)1x +-,(1,)x ∈+∞【解析】计算二阶行列式化简()f x ,再根据求反函数的步骤可求得反函数. 【详解】因为21()12x f x =1221121x x +=⨯-⨯=-,因为x ∈(0,)+∞,所以()(1,)f x ∈+∞, 所以由121x y +=-得21log (1)x y +=+,所以2log (1)1x y =+-,交换,x y 可得2log (1)1y x =+-, 所以12()log (1)1fx x -=+-,(1,)x ∈+∞,故答案为:2log (1)1x +-, (1,)x ∈+∞. 【点睛】本题考查了二阶行列式的计算,反函数的求法,属于基础题.7．在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数为 .【答案】1516【解析】614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为6621661144rrr r r r r T C x C x x --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由622r -=得2r =，所以222236115416T C x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以该项系数为1516.【考点】二项式定理及二项展开式的通项.8．过原点且与圆22420x y x y ++-=相切的直线方程为_______. 【答案】20x y -=【解析】切线的斜率显然存在,设出切线方程,利用圆心到直线的距离等于半径,列方程可解得答案. 【详解】由22420x y x y ++-=得22(2)(1)5++-=x y ,所以圆心为(2,1)-,因为圆心到y 轴的距离为2,所以所求切线的斜率一定存在, 所以设所求切线方程为y kx =,即0kx y -=,=解得2k =,所以所求切线方程为20x y -=. 故答案为:20x y -=. 【点睛】本题考查了求圆的切线方程,属于基础题.9．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓放粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为__________石；（结果四舍五入，精确到各位）． 【答案】169【解析】根据古典概型概率公式可得这批米内夹谷的概率约为28254，所以这批米内夹谷约为281534169254⨯≈石，故答案为169. 10．抛物线x 2=2py （p ＞0）的焦点为F ，其准线与双曲线-=1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p=___________. 【答案】6【解析】因为抛物线x 2=2py 的准线2py =-和双曲线-=1相交交点横坐标为=, 6.2x p p =∴=由等边三角形得解得【考点】本题主要考查抛物线的概念、标准方程、几何性质，考查分析问题解决问题的能力.11．若复数z x yi =+（x ，y ∈R ，i 为虚数单位）满足|||22|z z i =--，则33x y +的最小值为_______. 【答案】6【解析】根据复数模的计算公式将|||22|z z i =--化为2y x =-,将其代入到33x y +后,利用基本不等式可求得答案. 【详解】由|||22|z z i =--=化简得2x y +=,即2y x =-, 所以33x y +233x x -=+932363x x =+≥=⨯=,当且仅当 1.1x y ==时等号成立. 故答案为:6 【点睛】本题考查了复数的模的公式,基本不等式求最小值,属于基础题. 12．一个等差数列{}n a 中，2nna a 是一个与n 无关的常数，则此常数的集合为 ．【答案】11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】试题分析：设数列的首项为1a ，公差为d ，()()1211,21n n a a n d a a n d ∴=+-=+-1212n n a a d nd a a d nd-+∴=-+ 2n n a a 是一个与n 无关的常数10a d ∴-=或0d =，所以比值常数为11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭【考点】等差数列通项公式13．已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若3AB =，4AC =，AB AC ⊥，112AA =，则球的表面积为______.【答案】169π【解析】把直三棱柱111ABC A B C -的补成一个长方体，则直三棱柱111ABC A B C -的外接球和长方体的外接球是同一个球，由长方体的对角线长等于球的直径，求得球的半径，再利用球的表面积公式，即可求解． 【详解】由题意，直三棱柱111ABC A B C -的底面ABC ∆为直角三角形， 可把直三棱柱111ABC A B C -的补成一个长方体，则直三棱柱111ABC A B C -的外接球和长方体的外接球是同一个球， 又由长方体的对角线长等于球的直径，且13,4,12AB AC AA ===，即213R ===，即132R =， 所以球的表面积为221344()1692S R πππ==⨯=． 故答案为：169π 【点睛】本题主要考查了直三棱柱与球的组合体问题，以及球的表面积的计算，其中解答中根据组合体的结构特征，求得球的半径是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．14．新一季“中国好声音”开唱，开场节目是四位导师各选一首自己的代表作供其他导师演唱，每人恰好都是唱别人的歌.假设四首歌已选定，则有______种不同演唱方式. 【答案】9【解析】将问题转化为四个元素填四个空的全错位排列后,再按照元素1的位置分3类讨论计算结果相加即可得到. 【详解】将四位导师抽象为四个元素,设为1,2,3,4,四首歌抽象为四个空位,设为1,2,3,4,依题意转化为四个元素填四个空的全错位排列,第一类:元素1填在2号空位,则元素2有3种填法,元素3,4填法唯一,此时共有3种填法; 第二类,元素1填在3号空位,则元素3有3种填法,元素2,4填法唯一,此时共有3种填法;第三类,元素1填在4号空位,则元素4有3种填法,元素2,3填法唯一,此时共有3种填法; 根据分类计算原理可得共有3+3+3=9种填法. 综上所述,共有9种不同的演唱方式. 故答案为:9 【点睛】本题考查了有限制条件的排列问题,属于中档题.15．若函数()2(1)y x x ax b =+++的图象关于点()20，成中心对称，则a b +=______. 【答案】3【解析】在函数()2(1)y x x ax b =+++的图象上取两点(1,0)-,(0,)b ,求出它们关于点(2,0)对称的点(5,0),(4,)b -后,代入()2(1)y x x ax b =+++,解方程组可得答案.【详解】在函数()2(1)y x x ax b =+++的图象上取两点(1,0)-,(0,)b ,则它们关于点(2,0)对称的点(5,0),(4,)b -也在函数()2(1)y x x ax b =+++的图象上, 即(51)(255)0(41)(164)a b a b b +++=⎧⎨+++=-⎩,即52510340a b a b +=-⎧⎨+=-⎩,解得7,10a b =-=,所以3a b +=. 故答案为:3 【点睛】本题考查了函数图象的对称中心的性质,属于基础题.16．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点,A B 满足·2OA OB OAOB===，由点集{|,1,,}P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈所表示的区域的面积是__________．【答案】【解析】【详解】由|OA |＝|OB |＝OA ·OB ＝2，知cos ∠AOB ＝12，又0≤∠AOB ≤π，则∠AOB ＝3π，又A ，B 是两定点，可设A 1)，B (0,2)，P (x ，y )，由OP ＝λOA ＋μOB，可得{2x y λμ，＝＋⇒{26x y x λμ==-.因为|λ|＋|μ|≤1x＋2y x -≤1， 等价于由可行域可得S 0＝12×P 所表示的区域面积S ＝4S 0＝三、解答题17．已知(sin ,1)a α=，(cos ,2)b α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. （1）若//a b ，求sin 2α的值； （2）在（1）的条件下，若5cos()13αβ+=，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sinβ的值. 【答案】(1)45,(2)65【解析】(1)由//a b 可得1tan 2α=,再由万能公式可得sin 2α的值, (2)利用sin sin()βαβα=+-sin()cos cos()sin αβααβα=+-+可得答案. 【详解】(1)因为 //a b ,所以2sin cos 0αα-=,即1tan 2α=, 所以2222sin cos 2tan sin 22sin cos sin cos tan 1ααααααααα===++2124215()12⨯==+. (2)由(1)知,cos 2sin αα= ,且(0,)2πα∈,所以22sin (2sin )1αα+=,所以21sin 5α=,所以sin α,cos α=, 又(0,)2πβ∈,所以(0,)αβπ+∈,所以12sin()13αβ+===, 所以sin sin()sin()cos cos()sin βαβααβααβα=+-=+-+1251313=-=【点睛】本题考查了向量平行的坐标表示,二倍角的正弦公式,同角公式,两角差的正弦公式,属于基础题.18．如图，正四棱锥P ABCD -内接于圆锥，圆锥的轴截面是边长为10cm 的正三角形.（1）求异面直线PA 与BC 所成角的大小；（2）若正四棱锥由圆锥削去一部分得到，则需要削去部分的体积为多少？（精确到30.1cm ）【答案】(1)arccos4,(2)382.3cm .【解析】(1)根据//AD BC 可知, PAD ∠就是异面直线P A 与BC 所成的角,在三角形PAD 中由余弦定理可求得,(2)用圆锥的体积减去正四棱锥的体积即可得到答案. 【详解】(1)在正四棱锥P ABCD -中,//AD BC ,所以PAD ∠就是异面直线P A 与BC 所成的角,在正方形ABCD 中,10AC =,所以AD =, 在三角形PAD 中,10PA PD ==,所以222cos2PA AD PD PAD PA AD +-∠=⨯⨯2224==,所以PAD ∠=,所以异面直线P A 与BC 所成角的大小为.(2)在直角三角形PAO 中,PO ===所以圆锥的体积211133V PO AO π=⋅⋅⋅=⨯25⨯=,正四棱锥P ABCD -的体积221133V PO AD =⋅⋅=⨯23=,所以需要削去部分的体积为12(2)333V V π-=-=-82.3≈. 所以需要削去部分的体积约为82.33cm . 【点睛】本题考查了正四棱锥的结构特征,异面直线所成角,椎体的体积公式,属于中档题. 19．首项为12的无穷等比数列{}n a 所有项的和为1，n S 为{}n a 的前n 项和，又()25log 1n n b S t +-=，常数*t N ∈，数列{}n c 满足n n n c a b =⋅.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若{}n c 是递减数列，求t 的最小值. 【答案】(1)12n na =,(2)1【解析】(1)根据无穷等比数列{}n a 所有项的和为1,求出公比12q =,再根据等比数列的通项公式可得;(2)求出n S 后代入可得5n b n t =+,1(5)2n n c n t =+⋅,然后根据数列递减可得10n n c c +-<恒成立,由不等式恒成立可得答案.【详解】(1)设无穷等比数列{}n a 的公比为q ,则111a q =-,所以1211q=-,解得12q =,所以111111()222n n n n a a q--==⨯=, (2)因为11(1)22112n n S -=-112n =-,所以215log (11)2n n b t +-+=, 所以5n b n t =+,所以1(5)2n n n n c a b n t ==+⋅,因为{}n c 是递减数列, 所以1111(55)(5)22n n n n c c n t n t ++-=++⋅-+⋅11(55102)2n n t n t +=++--⋅ +11(55)2n n t =--⋅0< 恒成立,所以550n t --<恒成立,所以55t n >-+恒成立,因为()55f n n =-+为递减函数,所以1n =时,()f n 取得最大值(1)550f =-+=, 所以0t >,又因为*t N ∈,所以t 的最小值为1. 【点睛】本题考查了无穷等比数列的和,等比数列的通项公式和前n 项和,数列的单调性,属于中档题.20．设S 、T 是R 的两个非空子集，如果函数()y f x =满足：①{()|}T f x x S =∈；②对任意1x ，2x S ∈，当12x x <时，恒有()()12f x f x <，那么称函数()y f x =为集合S 到集合T 的“保序同构函数”.（1）试写出集合{|01}A x x =<<到集合R 的一个“保序同构函数”； （2）求证：不存在从集合Z 到集合Q 的“保序同构函数”； （3）已知2()1xf x x =+是集合[]0,s 到集合[]0,t 的“保序同构函数”，求s 和t 的最大值.【答案】(1) ()tan()2f x x ππ=-(01)x <<,(2)证明见解析,(3)s 的最大值为1,t 的最大值为12【解析】(1)直接由题意写出()tan()2f x x ππ=-(01)x <<即可;(2)用反证法证明即可;(3)用定义证明()f x 在[0,1]上递增,在[1,)+∞上递减后,可得1s ≤,(1)t f ≤. 【详解】(1)取()tan()2f x x ππ=-(01)x <<,该函数是集合{|01}A x x =<<到集合R 的一个“保序同构函数”; 证明:任取1201x x <<<, 则122222x x ππππππ-<-<-<,因为tan y x =在(,)22ππ-上为增函数,所以12tan()tan()22x x ππππ-<-, 即12()()f x f x <,由定义可知, 函数()tan()2f x x ππ=-是集合{|01}A x x =<<到集合R 的一个“保序同构函数”.(2)证明:假设存在一个从集合Z 到集合Q 的“保序同构函数”,由“保序同构函数”的定义可知,集合Z 和集合Q 中的元素必须是一一对应的,不妨设整数0和1在Q 中的像分别为a 和b ,根据保序性,因为0<1,所以a b <,又2a b +也是有理数,但是2a b+没有确定的原像,因为0和1之间没有另外的整数了,故假设不成立,故不存在从集合Z 到集合Q 的“保序同构函数”.(3)设120x x <<,则12122212()()11x x f x f x x x -=-++21122212()(1)(1)(1)x x x x x x --++, 所以当1201x x <<≤时,21120,10x x x x ->-<,所以12())0(f x f x -<,即12()()f x f x <,所以()f x 在[0,1]上递增,当211x x >≥时, 21120,10x x x x ->->,所以12())0(f x f x ->,即12()()f x f x >, 所以()f x 在[1,)+∞上递减, 因为2()1xf x x =+是集合[]0,s 到集合[]0,t 的“保序同构函数”,所以()f x 在[0,]s 上递增,所以1s ≤,所以s 的最大值为1,t 的最大值为11(1)112f ==+. 【点睛】本题考查了正切函数的单调性,函数单调性的定义,利用单调性求函数的最值,属于难题.。
最新上海七宝中学等七校2019高三3月联考试题-数学理培训讲学
上海七宝中学等七校2019高三3月联考试题-数学理数学（理科） 2013年3月6日(上师大附中、七宝中学、向明中学、廸平中学、延安中学、南洋 模范、复兴高级)（完卷时间120分钟 满分150分）一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，只要求将最终结果直接填写答题纸上相应旳横线上，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1. 若2cos()sin()0x x ππ-+-=，则tan()4x π+=. 2. 线性方程组{230230x y x y --=++=旳增广矩阵是 . 3. 已知复数1z i =+旳共轭复数是z ， z z 、在复平面内对应旳点分别是 A B 、，O 为坐标原点，则AOB ∆旳面积是 . 4. 若函数()8x f x =旳图像经过点1()3a ，，则1(2)f a -+= .5. 设 a b c ，，分别是锐角ABC ∆中角 A B C ，，所对旳边，若2sin a c A =，则角C = .6. 设等差数列}{n a 旳公差为正，若21231 3a a a a ==-，，则456a a a ++= .7. 已知向量(2 3) (4 7)a b ==-，，，，若(2)//()a b a b λ+-，则λ= .8. 若212lim(1)3n n a a a-→∞++++=，则二项式10()x a -旳展开式中，7x 旳系数是 .9. 如图旳程序框图运行后输出旳结果是 .10. 一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：31()f x x =,2()5x f x =,3()2f x =，421()21x xf x -=+， 5()sin()2f x x π=+，6()cos f x x x =.从中任意拿取2张卡片，则两张卡片上写着旳函数相加得到旳新函数为奇函 数旳概率是 . 11. 已知1122arcsin ()22x x x xx f x +--++=+旳最大值和最小值分别是M 和m ，则M m += . 12. 设12 F F 、分别为双曲线22221(00)y x a t a ta-=>>，旳左、右焦点，过1F 且倾斜角为30旳直线与双曲线旳右支相交于点P ，若212||||PF F F =，则t = .13. 函数()Mf x 旳定义域为R ，且定义如下：1() M x x M f x x M x∈⎧⎪=⎨∉⎪⎩(其中M 是实数集R 旳非空真子集)，若{||1|2} {|11}A x x B x x =-≤=-≤<，，则函数2()1()()()1A BA B f x F x f x f x +=++旳值域为 .14. 如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长第9题图 ODB CAP Q 第14题图为2旳菱形，Q ∈棱PA ，AC BD O =．有下列命题：①若Q 是PA 旳中点，则//PC 平面BDQ ； ②若PB PD =，则BD CQ ⊥；③若PAC ∆是正三角形，则PO ⊥平面ABCD ；④若3PA PC PB PD ===，，60ABC ∠=，则四棱锥P ABCD -旳体积为. 其中正确旳命题是 .二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 旳四个结论，其中有且只有一个结论是正确旳，必须把答题纸上相应旳正确代号用2B 铅笔涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出旳代号超过一个，一律得零分.15. 若抛物线22(0)x py p =>上不同三点旳横坐标旳平方成等差数列，那么这三点 ( )A ．到原点旳距离成等差数列B ．到x 轴旳距离成等差数列C ．到y 轴旳距离成等差数列D ．到焦点旳距离旳平方成等差数列 16. 若()sin f x x =在区间()()a b a b <，上单调递减，则()x a b ∈，时， ( ) A.sin 0x < B.cos 0x < C.tan 0x < D.tan 0x > 17. 若实数 a b 、满足0 0a b ≥≥，，且0ab =，则称a 与b 互补．记( )a b a bϕ=--，，那么“( )0a b ϕ=，”是“a 与b 互补”旳 ( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件18. 已知实数 (0)a b c a ≠、、满足0(0)21a b cm m m m++=>++，对于函数2()f x ax bx c =++，()1m af m +与0旳大小关系是 ( ) A.()01m af m >+ B.()01m af m <+ C.()01m af m =+ D.与m 旳大小有关 三、解答题(本大题共5题，满分74分)每题均需写出详细旳解答过程.19. (本题满分12分)本题共有2小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分．设ABC ∆旳角 A B C ，，所对旳边分别是 a b c ，，，向量( )m a b =，, (sin sin )n B A =，，(2 2)p b a =--，.(1)若//m n ，求证：ABC ∆为等腰三角形； (2)若m p ⊥，边长2c =，角3C π=，求ABC ∆旳面积.20. (本题满分14分)本题共有2小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．空气污染指数(API)是一种用于反映和评价空气质量旳数量，我国计入空气污染指数旳项目暂定为：总悬浮颗粒物(10PM )、2SO 和2NO .其计算公式为()I I I C C I C C -=-+-大小小小大小，其中I 为某污染物旳污染指数，C 为该污染物旳浓度；C 大(I 大)和C 小(I 小)分别是API 分级限值表(附表)中最贴近C (I )值旳两个限值.根据这个公式分别计算各污染物旳API 分指数；选取API 分指数最大值为全市API,且该项污染物即为该市空气中旳首要污染物.(1)若某地区旳10PM 、2SO 和2NO 日均值分别为0.215毫克/立方米，0.105毫克/立方米和0.080毫克/立方米，求空气污染指数API ，并指出首要污染物；(2)已知某地旳首要污染物为2SO ，10PM 和2NO 旳API 分指数分别为122和67，政府对相关企业进行限排，减少2SO 和10PM 旳污染，使得首要污染物变成了10PM ，且其分指数不超过80，2SO 旳API 分指数低于2NO 旳API 分指数，求限排后2SO 和10PM 浓度旳范围.附表：API 分级限值表污染指数限值 污染物浓度(毫克/立方米)(日均值) 污染物浓度(小时均值) API 2SO 2NO 10PM CO 3O50 0.050 0.080 0.050 5 0.120 100 0.150 0.120 0.150 10 0.200 200 0.800 0.280 0.350 60 0.400 300 1.600 0.565 0.420 90 0.800 400 2.100 0.750 0.500 120 1.000 5002.6200.9400.6001501.20021. (本题满分14分)本题共有2小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分．如图，已知抛物线24y x =旳焦点为F ，过点(2 0)P ，且斜率为11( )A x y ，，22( )B x y ，两点，直线 AF BF 、分别与抛物线交于点 M N 、． (1)证明OA OB ⋅旳值与1k 无关，并用12y y ，表示1k ；(2)记直线MN 旳斜率为2k ，证明12k k 为定值．22. (本题满分16分)本题共有3小题，第(1)小题4分，第(2)小题4分，第(3)小题8分．已知函数2()2(0)f x x ax a =->. (1)当2a =时，解关于x 旳不等式3()5f x -<<；(2)对于给定旳正数a ，有一个最大旳正数()M a ，使得在整个区间[0 ()]M a ，上，不等式|()|5f x ≤恒成立. 求出()M a 旳解析式；(3)函数()y f x =在[ 2]t t +，旳最大值为0，最小值是4-，求实数a 和旳值.23. (本题满分18分)本题共有3小题，第(1)小题4分，第(2)小题6分，第(3)小题8分．一青蛙从点0( )A x y ，( )()i i i A x y i N *∈，，(如图所示，000( )A x y ，0A 到点nA 所经过旳路程.(1)若点000( )A x y ，为抛物线22y px =(0)p >准线上一点，点1A 、2A 均在该抛物线上，并且直线1A 2A 经 过该抛物线旳焦点，证明23S p =.(2)若点( )n n n A x y ，要么落在y x =所表示旳曲线上，要么落在2y x =所表示旳曲线上，并且011( )22A ，,试写出lim nn S →+∞(请简要说明理由)；(3)若点( )n n n A x y ，要么落在y x =所表示旳曲线上，要么落在2y x =所表示旳曲线上，并且01( 1)2A ，,求n S 旳表达式.数学(理科)参考答案及评分标准一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，只要求将最终结果直接填写答题纸上相应旳横线上，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 24. 若2cos()sin()0x x ππ-+-=，则tan()4x π+=.3- 25. 线性方程组{230230x y x y --=++=旳增广矩阵是 .()123213-- 26. 已知复数1z i =+旳共轭复数是z ， z z 、在复平面内对应旳点分别是 A B 、，O 为坐标原点，则AOB ∆旳面积是 . 27. 若函数()8x f x =旳图像经过点1()3a ，，则1(2)f a -+= .2328. 设 a b c ，，分别是锐角ABC ∆中角 A B C ，，所对旳边，若2sin a c A =，则角C = .6π 29. 设等差数列}{n a 旳公差为正，若21231 3a a a a ==-，，则456a a a ++= 21. 30. 已知向量(2 3) (4 7)a b ==-，，，，若(2)//()a b a b λ+-，则λ= .2-31. 若212lim(1)3n n a a a -→∞++++=，则二项式10()x a -旳展开式中，7x 旳系数是 15. 32. 如图旳程序框图运行后输出旳结果是 .63 33. 一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：31()f x x =,2()5x f x =,3()2f x =，421()21x xf x -=+， 5()sin()2f x x π=+，6()cos f x x x =.从中任意拿取2张卡片，则两张卡片上写着旳函数相加得到旳新函数为奇函 数旳概率是 .15(或0.2)34. 已知1122arcsin ()22x x x xx f x +--++=+旳最大值和最小值分别是M 和m ，则M m += .4 35. 设12 F F 、分别为双曲线22221(00)y x a t a ta -=>>，旳左、右焦点，过1F 且倾斜角为30旳直线与双曲线旳右支相交于点P ，若212||||PF F F =，则t =.第9题图36. 函数()Mf x 旳定义域为R ，且定义如下：1() M x x M f x x M x∈⎧⎪=⎨∉⎪⎩(其中M 是实数集R 旳非空真子集)，若{||1|2} {|11}A x x B x x =-≤=-≤<，，则函数2()1()()()1A B A B f x F x f x f x +=++旳值域为 . 21[1]13，； 37. 如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长 为2旳菱形，Q ∈棱PA ，AC BD O =．有下列命题： ①若Q 是PA 旳中点，则//PC 平面BDQ ； ②若PB PD =，则BD CQ ⊥；③若PAC ∆是正三角形，则PO ⊥平面ABCD ；④若3PA PC PB PD ===，，60ABC ∠=，则四棱锥P ABCD -旳体积为. 其中正确旳命题是 .①②④二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 旳四个结论，其中有且只有一个结论是正确旳，必须把答题纸上相应旳正确代号用2B 铅笔涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出旳代号超过一个，一律得零分.38. 若抛物线22(0)x py p =>上不同三点旳横坐标旳平方成等差数列，那么这三点 ( B )A ．到原点旳距离成等差数列B ．到x 轴旳距离成等差数列C ．到y 轴旳距离成等差数列D ．到焦点旳距离旳平方成等差数列 39. 若()sin f x x =在区间()()a b a b <，上单调递减，则()x a b ∈，时， ( B ) A.sin 0x < B.cos 0x < C.tan 0x < D.tan 0x > 40. 若实数 a b 、满足0 0a b ≥≥，，且0ab =，则称a 与b 互补．记( )a b a bϕ=--，，那么“( )0a b ϕ=，”是“a 与b 互补”旳 ( C )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件41. 已知实数 (0)a b c a ≠、、满足0(0)21a b cm m m m++=>++，对于函数2()f x ax bx c =++，()1m af m +与0旳大小关系是 ( B ) A.()01m af m >+ B.()01m af m <+ C.()01m af m =+ D.与m 旳大小有关 三、解答题(本大题共5题，满分74分)每题均需写出详细旳解答过程.42. (本题满分12分)本题共有2小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分．设ABC ∆旳角 A B C ，，所对旳边分别是 a b c ，，，向量( )m a b =，, (sin sin )n B A =，，(2 2)p b a =--，.(1)若//m n ，求证：ABC ∆为等腰三角形； (2)若m p ⊥，边长2c =，角3C π=，求ABC ∆旳面积.ODBCAP Q 第14题图证明：(证法一)(1)∵m ∥n ， ∴sin sin a A b B =， ………………3分 由正弦定理可知，22a b a b R R⋅=⋅，其中R 是ABC ∆外接圆旳半径， ∴a b =.∴ABC ∆为等腰三角形. ………………6分 (证法二)∵m ∥n ， ∴sin sin a A b B =， ………………3分 由正弦定理可知，22sin sin A B =，∴sin sin A B =∵ (0 )A B π∈、，，∴A B =. 即ABC ∆为等腰三角形. ………………6分 (2)由题意可知，0m p ⋅=，即(2)(2)0a b b a -+-=，∴a b ab += …………8分由余弦定理可知，2224()3,a b ab a b ab =+-=+-即2()340ab ab --=4ab ∴=，(1ab =-舍去) ………………10分∴11sin 4sin 224ABCS ab C π∆==⨯=. ………………12分 43. (本题满分14分)本题共有2小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分． 空气污染指数(API)是一种用于反映和评价空气质量旳数量，我国计入空气污染指数旳项目暂定为：总悬浮颗粒物(10PM )、2SO 和2NO .其计算公式为()I I I C C I C C -=-+-大小小小大小，其中I 为某污染物旳污染指数，C 为该污染物旳浓度；C 大(I 大)和C 小(I 小)分别是API 分级限值表(附表)中最贴近C (I )值旳两个限值.根据这个公式分别计算各污染物旳API 分指数；选取API 分指数最大值为全市API,且该项污染物即为该市空气中旳首要污染物.(1)若某地区旳10PM 、2SO 和2NO 日均值分别为0.215毫克/立方米，0.105毫克/立方米和0.080毫克/立方米，求空气污染指数API ，并指出首要污染物；(2)已知某地旳首要污染物为2SO ，10PM 和2NO 旳API 分指数分别为122和67，政府对相关企业进行限排，减少2SO 和10PM 旳污染，使得首要污染物变成了10PM ，且其分指数不超过80，2SO 旳API 分指数低于2NO 旳API 分指数，求限排后2SO 和10PM 浓度旳范围.附表：API 分级限值表污染指数限值 污染物浓度(毫克/立方米)(日均值) 污染物浓度(小时均值) API 2SO 2NO 10PM CO 3O 50 0.050 0.080 0.050 5 0.120100 0.150 0.120 0.150 10 0.200 200 0.800 0.280 0.350 60 0.400 300 1.600 0.565 0.420 90 0.800 400 2.100 0.750 0.500 120 1.000 500 2.620 0.940 0.600 150 1.200解：(1)设(1 2 3)kI k =，，分别为210 PM SO 、和2NO 旳污染指数， (1 2 3)k C k =，，分别为210 PM SO 、和2NO 旳浓度根据上表，对于10PM ，∵0.1500.2150.350<<， ∴0.350 0.150 200 100C C I I ====小小大大，，，， ………………1分其API 分指数为1200100(0.2150.150)100132.50.3500.150I -=-+=- ……………3分 同理2SO 旳API 分指数210050(0.1050.050)5077.50.1500.050I -=-+=- 2NO 旳API 分指数350I = ………………5分由此可见，空气污染指数API 为132.5，首要污染物为总悬浮颗粒物10PM ……6分 (2)依题意，1110050(0.050)50(67 80]0.1500.050I C -=-+∈-，， 解得10.0840.110C <≤ ………………10分2210050(0.050)50670.1500.050I C -=-+<-，解得10.084C < ∴限排后10PM 和2SO 浓度旳范围分别是(0.084 0.110]，和[0 0.084)，.…………14分 44. (本题满分14分)本题共有2小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分．如图，已知抛物线24y x =旳焦点为F ，过点(2 0)P ，且斜率为1k11( )A x y ，，22( )B x y ，两点，直线 AF BF 、分别与抛物线交于点 M N 、(1)证明OA OB ⋅旳值与1k 无关，并用12y y ，表示1k ；(2)记直线MN 旳斜率为2k ，证明12k k 为定值．证明：(1)依题意，设直线AB 旳方程为2x my =+． ……………1分 将其代入24y x =，消去x ，整理得 2480y my --=．…………4分 从而128y y =-．于是2212126444416y y x x =⋅== ………………5分 ∴1212484OA OB x x y y ⋅=+=-=-与1k 无关，又1212122121212444y y y y k y y x x y y --===-+- ………………7分(2)证明：设33( )M x y ，，44( )N x y ，．则223434341121222212341234124444y y x x y y k y y y yk x x y y y yy y y y --+--=⨯=⨯=---+-．…………8分设直线AM 旳方程为1x ny =+，将其代入24y x =，消去x ，整理得 2440y ny --=∴134y y =-． 同理可得 244y y =-． ………………11分故34112212121244412y y k y y k y y y y y y --++-====++． ………………13分 第21题图由(1)知，128y y =-，∴1212k k =为定值． ………………14分 45. (本题满分16分)本题共有3小题，第(1)小题4分，第(2)小题4分，第(3)小题8分．已知函数2()2(0)f x x ax a =->. (1)当2a =时，解关于x 旳不等式3()5f x -<<；(2)对于给定旳正数a ，有一个最大旳正数()M a ，使得在整个区间[0 ()]M a ，上，不等式|()|5f x ≤恒成立. 求出()M a 旳解析式；(3)函数()y f x =在[ 2]t t +，旳最大值为0，最小值是4-，求实数a 和旳值. 解：(1)2a =时，{224503()5430x x f x x x --<-<<⇔-+>①②………………1分 由①得，15x -<<，由②得，1x <或3x >， ∴(1 1)(3 5)-，，为所求. ………………4分(2)∵0a >，当25a -<-，即a时，()M a a = ………………6分当250a -≤-<，即0a <时，()M a a =∴()a a M a a a ⎧=⎨<⎩ ………………8分(3)22()()(2)f x x a a t x t =--≤≤+，显然(0)(2)0f f a == ………………9分 ①若0t =，则1a t ≥+，且min[()]()4f x f a ==-，或min[()](2)4f x f ==-，当2()4f a a =-=-时，2a =±，2a =-不合题意，舍去当2(2)2224f a =-⨯=-时，2a = ………………12分 ②若22t a +=，则1a t ≤+，且min[()]()4f x f a ==-，或min [()](22)4f x f a =-=-，当2()4f a a =-=-时，2a =±，若2a =，2t =，符合题意； 若2a =-，则与题设矛盾，不合题意，舍去当2(22)(22)2(22)4f a a a a -=---=-时，2a =，2t = ………………15分 综上所述，{2a t ==和{22a t ==符合题意. ………………16分46.(本题满分18分)本题共有3小题，第(1)小题4分，第(2)小题6分，第(3)小题8分． 一青蛙从点0( )A x y ，( )()i i i A x y i N *∈，，(如图所示，000( )A x y ，0A 到点nA 所经过旳路程.(1)若点000( )A x y ，为抛物线22y px =(0)p >准线上一点，点1A 、2A 均在该抛物线上，并且直线1A 2A 经 过该抛物线旳焦点，证明23S p =.(2)若点( )n n nA x y ，要么落在y x =所表示旳曲线上，要么落在2y x =所表示旳曲线上，并且011( )22A ，, 试写出lim nn S →+∞(请简要说明理由)；(3)若点( )n n n A x y ，要么落在y x =所表示旳曲线上，要么落在2y x =所表示旳曲线上，并且01( 1)2A ，,求n S 旳表达式. 解：(1)设00( )2pA y -，，由于青蛙依次向右向上跳动， 所以10( )2p A y ，，20( )2p A y -，，由抛物线定义知：23S p = ………………4分 (2) 依题意，*2122122121 ()n n n n n n x x x y y x n N +-+-====∈， ………………5分011223342221212lim ||||||||||||n n n n n n S A A A A A A A A A A A A ---→∞=+++++++1021324354212221()()()()()()()n n n n x x y y x x y y x x x x y y --=-+-+-+-+-++-+-+1032542122()2()2()2()n n x x x x x x x x -=-+-+-++-+随着n 旳增大，点n A 无限接近点(1 1)， ………………8分 横向路程之和无限接近11122-=，纵向路程之和无限接近11122-=所以lim n n S →+∞=11122+= ………………10分(注：只要能说明横纵坐标旳变化趋势，用文字表达也行) (3)设点222212121( ) ( )kkkk k k A x y A x y +++，，，，由题意，nA 旳坐标满足如下递推关系：001 12x y ==，，且2122122(0 1 2 3 ) (0 1 2 3 )k k k k y y k x x k +++====，，，，，，，，， 其中212122 2k k k k yx y x ++==，，∴212222k k k x x x ++==， ………………11分(方法一)∴2{}k x 是以012x =为首项，2为公比旳等比数列，∴2122k k x =⨯，22k k y =即当n 为偶数时，2122n n x =⨯，22nn y = ………………13分 又21222k k k x x ++==，21212k k k y x ++==，∴当n 为奇数时，11222 2n n n n x y --==，…14分 于是，当n 为偶数时，011223342221212||||||||||||k k k k A A A A A A A A A A A A ---++++++10213243542122221()()()()()()()k k k k x x y y x x y y x x x x y y ---=-+-+-+-+-++-+- 10203142532123222()()()()()()()k k k k x x y y x x y y x x x x y y ---=-+-+-+-+-++-+-220033()()222k k k x y x y =+-+=⨯-………………16分当n 为奇数时，011223342221221||||||||||||k k k k A A A A A A A A A A A A --+++++++1021324354221212()()()()()()()k k k k x x y y x x y y x x y y x x -+=-+-+-+-+-++-+- 10203142532122121()()()()()()()k k k k x x y y x x y y x x y y x x ++-=-+-+-+-+-++-+-2121003()()222k k k x y x y ++=+-+=⨯- ∴12232 23(21) 2nn n n S n +⎧-⎪=⎨⎪-⎩为奇数为偶数 ………………18分(方法二)∴2{}k x 是以012x =为首项，2为公比旳等差数列，∴2122k k x =⨯，22k k y =又21222k k k x x ++==，21212k k k y x ++== ∴2121122222k k k k k x x +-=-⨯=⨯，12221222k k k k k y y +++-=-= ………………13分 于是，当n 为偶数时，011223342221212||||||||||||k k k k A A A A A A A A A A A A ---++++++10213243542122221()()()()()()()k k k k x x y y x x y y x x x x y y ---=-+-+-+-+-++-+- 1111(122)(122)22k k --=++++⨯++++33222k =⨯- ………………16分 当n 为奇数时，011223342221221||||||||||||k k k k A A A A A A A A A A A A --+++++++1021324354221212()()()()()()()k k k k x x y y x x y y x x y y x x -+=-+-+-+-+-++-+- 111(122)(122)22k k -=++++⨯++++3222k =⨯- ∴12232 23(21) 2nn n n S n +⎧-⎪=⎨⎪-⎩为奇数为偶数 ………………18分.(注：本小题若没有写出递推关系，直接归纳得到正确结论而没有证明，扣4分)一、甲商场业务员乙到丙公司采购空调，见丙公司生产的浴室防水暖风机小巧实用，尤其在北方没有来暖气之前，以及停止供暖之后的一段时间内对普通家庭非常实用，遂自行决定购买一批该公司生产的暖风机。
上海市闵行区七宝中学2019届高三第二学期3月月考数学试题(解析版)
高三数学试题2019-3-25一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）1.已知集合，且，则实数的值是_________.【答案】5【解析】【分析】利用集合的包含关系，推出是的元素，从而可得结果.【详解】，集合，可得，所以，故答案为5 .【点睛】本题主要考查子集的定义，属于基础题.研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系.2.函数的定义域是_________.【答案】【解析】【分析】由，化为,解分式不等式可得结果.【详解】要使函数有意义，则，即,解得或,即函数的定义域是，故答案为.【点睛】本题主要考查抽象函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.3.函数的反函数是__________.【答案】【分析】利用指数函数的性质求出原函数的值域，可得反函数的定义域，根据指数与对数的互化关系可得结果.【详解】因为，所以，即原函数的值域是，所以反函数的定义域是，由可得,所以的反函数是，故答案为.【点睛】本题主要考查反函数的基本性质与求解反函数的方法，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题. 4.如果圆锥的底面积为，母线长为2，那么该圆锥的高为___________.【答案】【解析】【分析】由底面积求出底面半径，利用勾股定理可得结果.【详解】设圆锥底面半径为,因为圆锥的底面积为，所以又因为母线长为2，所以该圆锥的高为，故答案为.【点睛】本题主要考查圆锥的性质，意在考查对基础知识的掌握情况，考查了空间想象能力，属于基础题.5.二项式的展开式中的常数项为．【答案】112【解析】试题分析：由二项式通项可得，（r=0,1,…,8）,显然当时，，故二项式展开式中的常数项为112.考点：二项式通项。
上海市七宝中学2019届高三上学期期末考试数学试题(精品解析)
2019年上海市闵行区七宝中学高考数学一模试卷一、选择题（本大题共4小题）1.设集合P1={x|x2+ax+1＞0}，P2={x|x2+ax+2＞0}，其中a∈R，下列说法正确的是（）A. 对任意a，P1是P2的子集B. 对任意a，P1不是P2的子集C. 存在a，使得P1不是P2的子集D. 存在a，使得P2是P1的子集【答案】A【解析】【分析】由不等式的性质得：由x2+ax+1＞0，则有x2+ax+2=x2+ax+1+1＞0+1＞0，由x2+ax+2＞0，不能推出x2+ax+1＞0，由集合间的关系得：P1P2，得解．【详解】解：由x2+ax+1＞0，则有x2+ax+2=x2+ax+1+1＞0+1＞0，由x2+ax+2＞0，则有x2+ax+1=x2+ax+2-1＞-1，不能推出x2+ax+1＞0，即P1P2，故选：A．【点睛】本题考查了集合间的关系，不等式的性质，属简单题．2.△ABC中，a2：b2=tan A：tan B，则△ABC一定是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形【答案】D【解析】【分析】由已知a2：b2=tan A：tan B，利用正弦定理及同角基本关系对式子进行化简，然后结合二倍角公式在进行化简即可判断.【详解】解：∵a2：b2=tan A：tan B，由正弦定理可得，∵sin A sin B≠0∴∴sin A cosA=sin B cosB即sin2A=sin2B∴2A=2B或2A+2B=π∴A=B或A+B=，即三角形为等腰或直角三角形故选：D．【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，正弦定理的应用，式子变形是解题的关键和难点．3.抛物线y=2x2上有一动弦AB，中点为M，且弦AB的长度为3，则点M的纵坐标的最小值为（）A. B. C. D. 1【答案】A【解析】【分析】由题意设，，直线的方程为，代入抛物线方程，写出韦达定理关系式及弦长与点的纵坐标关系式，通过基本不等式确定最小值.【详解】由题意设，，，直线的方程为，联立方程，整理得，，，点M的纵坐标，弦的长度为，即，整理得，即根据基本不等式，，当且仅当，时取等，即，，点的纵坐标的最小值为.故选A.【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系，考查基本不等式在圆锥曲线综合问题中的应用，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用.解决直线与圆锥曲线综合问题基本步骤为：（1）设，即设交点坐标和直线方程，注意考虑直线斜率是否存在;（2）联，即联立直线方程与圆锥曲线，消元;（3）判，即直线与圆锥曲线的位置关系可以通过判别式加以判断;（4）韦，即韦达定理，确定两根与系数的关系.（5）代，即根据已知条件，将所求问题转换到与两点坐标和直线方程相关的问题，进而求解问题.4.已知正数数列{a n}满足a n+1≥2a n+1，且a n＜2n+1对n∈N*恒成立，则a1的范围为（）A. [1，3]B. （1，3）C. （0，3]D. （0，4）【答案】C【解析】【分析】由条件可得1+a n+1≥2（a n+1），设b n=1+a n，（a n＞0，b n＞1），运用累乘法，结合不等式恒成立，即可得到所求范围．【详解】解：正数数列{a n}满足a n+1≥2a n+1，可得1+a n+1≥2（a n+1），设b n=1+a n，（a n＞0，b n＞1）即有b2≥2b1，b3≥2b2，…，b n≥2b n-1，累乘可得b n≥b1•2n-1，可得1+a n≥（1+a1）•2n-1，又a n＜2n+1对n∈N*恒成立，可得1+2n+1＞1+a n≥（1+a1）•2n-1，即有1+2n+1＞（1+a1）•2n-1，可得a1＜3+恒成立，由3+＞3，可得0＜a1≤3．故选：C．【点睛】本题考查数列的递推式，注意累乘法的运用，考查等比数列的通项公式，考查不等式的性质和恒成立思想，属于中档题．二、填空题（本大题共12小题）5.设A={x||x|≤2018，x∈R}，B={x|y=，x∈R}，则A∩B=______．【答案】【解析】【分析】可解出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【详解】解：A={x|-2018≤x≤2018}，B={2019}；∴A∩B=∅．故答案为：∅．【点睛】考查描述法、列举法的定义，绝对值不等式的解法，以及交集的运算6.已知定义域在[-1，1]上的函数y=f（x）的值域为[-2，0]，则函数y=f（cos）的值域是______．【答案】[-2，0]【解析】【分析】可以看出-1，从而对应的函数值，这便得出了该函数的值域．【详解】解：∵cos∈[-1，1]；∴；即y∈[-2，0]；∴该函数的值域为[-2，0]．故答案为：[-2，0]．【点睛】考查函数定义域、值域的概念，本题可换元求值域：令cos=t，-1≤t≤1，从而得出f（t）∈[-2，0]．7.若行列式的展开式的绝对值小于6的解集为（-1，2），则实数a等于______．【答案】4【解析】【分析】推导出|ax-2|＜6的解集为（-1，2），从而-4＜ax＜8解集为（-1，2），由此能求出a的值．【详解】解：∵行列式的展开式的绝对值小于6的解集为（-1，2），∴|ax-2|＜6的解集为（-1，2），∴-6＜ax-2＜6，即-4＜ax＜8解集为（-1，2），解得a=4．故答案为：4．【点睛】本题考查实数值的求法，考查行列式展开法则、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.在（0，2π）内使sin3x＞cos3x成立的x的取值范围是______．【答案】（，）【解析】【分析】设f（x）=sin3x-cos3x，x∈（0，2π），化f（x）=（sin x-cos x）（1+sin2x），判断sin x-cos x＞0时f（x）＞0，由此求出不等式成立的x的取值范围．【详解】解：由题意，设f（x）=sin3x-cos3x，x∈（0，2π），∴f（x）=（sin x-cos x）（sin2x+sin x cosx+cos2x）=（sin x-cos x）（1+sin2x），又1+sin2x＞0恒成立，∴sin x-cos x＞0，即sin x＞cos x，即＜x＜时，f（x）＞0，∴（0，2π）内使sin3x＞cos3x成立的x的取值范围是（，）．故答案为：（，）．【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了转化应用问题，是中档题．9.在等差数列{a n}中，S7=8，则a4=______．【答案】【解析】【分析】由等差数列的性质及前n项和列式求解．【详解】解：在等差数列{a n}中，由S7=，得．故答案为：．【点睛】本题考查等差数列的前n项和，考查等差数列的性质，是基础题．10.已知f（x+1）=2x-2，那么f-1（2）的值是______．【答案】3【解析】【分析】令t=x+1，将已知等式中的x一律换为t，求出f（t）即得到f（x），然后令f（x）=2x-1-2=2，求出相应的x，即为f-1（2）的值．【详解】解：令t=x+1则x=t-1所以f（t）=2t-1-2所以f（x）=2x-1-2令f（x）=2x-1-2=2，解得x=3∴f-1（2）=3故答案为：3．【点睛】已知f（ax+b）的解析式，求f（x）的解析式，一般用换元的方法或配凑的方法，换元时，注意新变量的范围，同时考查了反函数求值，属于基础题．11.甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，已知甲、乙相邻，则甲、丙相邻的概率为______．【答案】【解析】【分析】4人排成一排，其中甲、乙相邻的情况有12种，其中甲丙相邻的只有4种，由此能求出甲乙相邻，则甲丙相邻的概率．【详解】解：甲、乙相邻的方法有=12种情况，如果满足甲、丙相邻，则有4种情况，所以所求的概率为P=故答案为：．【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．12.若P（x，y）是双曲线上的动点，则|x-y|最小值是______．【答案】2【解析】【分析】利用双曲线方程，通过三角代换转化求解x，y，然后求解|x-y|的最小值．【详解】解：P（x，y）是双曲线上的动点，设：x=，y=2tanθ，所以|x-y|=|-2tanθ|=，表达式的几何意义是单位圆上的点与（0，）斜率的2倍，可得：2∈[2，2+2]，故答案为：2【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．13.设点P到平面α的距离为，点Q在平面α上，使得直线PQ与平面α所成角不小于30°且不大于60°，则这样的PQ所构成的区域体积为______．【答案】【解析】【分析】由题意画出图形，分别求出两个圆锥的半径，代入圆锥体积公式作差即可．【详解】解：如图，过P作PO⊥α，则PO=，当∠PQO=60°时，OQ=1，当∠PQO=30°时，OQ=3．∴PQ所构成的区域体积为V=．故答案为：．【点睛】本题考查圆锥体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．14.已知AB为单位圆上弦长为的弦，P为单位圆上的点，若f（λ）=的最小值为m（其中λ∈R），当点P在单位圆上运动时，则m的最大值为______．【答案】【解析】【分析】设λ，根据向量减法的运算法则，转化为点到直线的距离，利用直线和圆相交时的垂径定理结合勾股定理进行求解即可．【详解】解：设λ，则f（λ）===，又C点在直线AB上，要求f（λ）最小值，等价为求出的最小值，显然当CP⊥AB时，CP最小，可得f（λ）的最小值m为点P到AB的距离，∵|AB|=，∴|BC|=，则|OC|=则|CP|=|OP|+|OC|=1+=，即m的最大值为，故答案为：．【点睛】本题考查向量共线定理的运用，以及圆的垂径定理和勾股定理的运用，利用向量的基本运算结合数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．15.已知函数f（a，x）=sin x+cos x随着a，x在定义域内变化时，该函数的最大值为______【答案】【解析】【分析】运用辅助角公式和正弦函数的值域可得f（a，x）≤，再由柯西不等式，计算可得所求最大值．【详解】解：函数f（a，x）=sin x+cos x=sin（x+θ）（θ为辅助角），即有f（a，x）≤（sin（x+θ）=1取得等号），由柯西不等式可得（）2≤（1+1）（a+1-a）=2，当且仅当a=时，取得等号，即有≤，即f（a，x）的最大值为．故答案为：．【点睛】本题考查函数的最值求法，注意运用辅助角公式和正弦函数的值域，以及柯西不等式，考查运算能力，属于中档题．16.已知定义在上的函数f（x）=，设a，b，c为三个互不相同的实数，满足f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围为______．【答案】（81，144）【解析】【分析】先判断函数的性质以及图象的特点，设a＜b＜c，由图象得ab是个定值，利用数形结合的思想去解决即可．【详解】解：作出f（x）的图象如图：当x＞9时，由f（x）=4-=0，得x=16，若a，b，c互不相等，不妨设a＜b＜c，因为f（a）=f（b）=f（c），所以由图象可知0＜a＜3＜b＜9，9＜c＜16，由f（a）=f（b），得1-log3a=log3b-1，即log3a+log3b=2，即log3（ab）=2，则ab=9，所以abc=9c，因为9＜c＜16，所以81＜9c＜144，即81＜abc＜144，所以abc的取值范围是（81，144）．故答案为：（81，144）．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用数形结合得到ab是个常数是解决本题的关键．综合考查学生的推理能力．三、解答题（本大题共5小题）17.在长方体ABCD-A1B1C1D1中（如图），AD=AA1=1，AB=2，点E是棱AB的中点．（1）求异面直线AD1与EC所成角的大小；（2）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，试问四面体D1CDE是否为鳖臑？并说明理由．【答案】(1) (2)见解析【解析】【分析】（1）取CD中点F，连接AF，则AF∥EC，即∠D1AF为异面直线AD1与EC所成角，解三角形可得△AD1F为等边三角形，从而得到异面直线AD1与EC所成角的大小；（2）证明DE⊥CE，进一步得到D1E⊥CE，可知四面体D1CDE是鳖臑．【详解】解：（1）取CD中点F，连接AF，则AF∥EC，∴∠D1AF为异面直线AD1与EC所成角．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，由AD=AA1=1，AB=2，得∴△AD1F为等边三角形，则．∴异面直线AD1与EC所成角的大小为；（2）连接DE，∵E为AB的中点，∴DE=EC=，又CD=2，∴DE2+CE2=DC2，得DE⊥CE．∵D1D⊥底面DEC，则D1D⊥CE，∴CE⊥平面D1DE，得D1E⊥CE．∴四面体D1CDE的四个面都是直角三角形，故四面体D1CDE是鳖臑．【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中直线与直线，直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．18.设S，T是R的两个非空子集，如果函数y=f（x）满足：①T={f（x）|x∈S}；②对任意x1，x2，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称函数y=f（x）为集合S到集合T的“保序同构函数”．（1）试判断下列函数f（x）=，f（x）=tan（πx-）是否是集合A={x|0＜x＜1}到集合R的保序同构函数；请说明理由．（2）若f（x）=是集合[0，s]到集合[0，t]是保序同构函数，求s和t的最大值．【答案】（1）见解析；（2）s的最大值为1，t的最大值为【解析】【分析】（1）根据集合A={x|0＜x＜1}到集合R的保序同构函数的定义，判断函数是否是单调递增函数即可；（2）利用导数研究函数f（x）=在x≥0上的单调区间，结合保序同构函数的定义进行求解即可．【详解】解：（1）由②知，函数为增函数即可．若f（x）=，当0＜x＜1时，-1＜-x＜0，函数y=为增函数，同时y=为增函数，即f（x）=增函数，满足条件．若f（x）=tan（πx-），当0＜x＜1时，0＜πx＜π，-＜πx-＜，此时函数f（x）为增函数，满足条件．即两个函数都是集合A={x|0＜x＜1}到集合R的保序同构函数．（2）函数f（x）为f′（x）==，当x＞0时，由f′（x）＞0得1-x2＞0得x2＜1，得0＜x＜1，由f′（x）＜0得1-x2＜0得x2＞1，即x＞1，即函数f（x）在[0，1]上是增函数，在[1，+∞）上是减函数，则s的最大值为1，t的最大值为f（1）=．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，结合新定义保序同构函数转化为判断函数的单调性是解决本题的关键．19.如图，已知一个长方形展览大厅长为20m，宽为16m，展厅入口位于其长边的中间位置，为其正中央有一个圆心为C的圆盘形展台，现欲在展厅一角B点处安装一个监控摄像头对展台与入口进行监控（如图中阴影所示），要求B与圆C在同一水平面上．（1）若圆盘半径为2m，求监控摄像头最小水平摄像视角的正切值；（2）若监控摄像头最大水平摄像视角为60°，求圆盘半径的最大值．（注：水平摄像视角指镜头中心点与水平观察物体边缘的视线的夹角）【答案】(1) 1+ (2) 5-4【解析】【分析】（1）分别求出∠ABC和∠CBE的正切值，利用两角和的正切公式计算；（2）利用两角差的正切公式计算tan∠CBE，再根据正切的定义列方程求出圆的半径．【详解】解：（1）过C作入口所在边的高AC，垂足为A，由题意可知AC=8，AB=10，BC==2，∴tan∠ABC=，过B作圆C的切线BE，切点为E，则CE⊥BE，CE=2，且∠ABE为监控摄像头最小水平摄像视角．∵BE==12，∴tan∠CBE=，∴tan∠ABE=tan（∠ABC+∠CBE）=1+．∴当圆盘半径为2时，监控摄像头最小水平摄像视角的正切值为1+．（2）过B作直线BD，使得∠ABD=60°，过C作CM⊥BD，垂足为M，则∠CBD=60°-∠ABC，∴tan∠CBD=tan（60°-∠ABC）=．设圆盘的最大半径为r，则tan∠CBD=．解得r=5-4．∴圆盘的最大半径为5-4．【点睛】本题考查了函数模型的应用，直线与圆的位置关系，属于中档题．20.已知椭圆C：（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过F1任作一条与坐标轴都不垂直的直线，与C交于A，B两点，且△ABF2的周长为8．当直线AB的斜率为时，AF2与x轴垂直．（1）求椭圆C的方程（2）若A是该椭圆上位于第一象限的一点，过A作圆x2+y2=b2的切线，切点为P，求|AF1|-|AP|的值；（3）设P（0，m）（m≠±b）为定点，直线l过点P与x轴交于点Q，且与椭圆交于C，D两点，设，，，求λ+μ的值．【答案】（1）=1（2）2（3）【解析】【分析】（1）根据题意4a=8，再根据勾股定理求出c=1，即可求出椭圆方程，（2）由题意，根据直线和圆相切，以及勾股定理可得AF1|=2+x0，|PA|=x0，即可求出|AF1|-|AP|的值（3）根据向量的运算可得λ+μ=2+m（+），再题意直线l的方程为x=y（x+m），代入，由此利用韦达定理结合已知条件，即可求出．【详解】解：（1）∵△ABF2的周长为8，∴4a=8，即a=2，∵tan∠AF1F2=，设|AF2|=3m，则|F1F2|=2c=4m，∴|AF1|=5m，∵|AF1|+|AF2|=2a=4，∴3m+5m=4，∴m=，∴2c=2，∴c=1，∴b2=a2-c2=3，∴椭圆C的方程=1，（2）设A（x0，y0），则=1，（|x0|＜2）∴|AF1|2=（x0+1）2+y02=（x0+4）2，∴|AF1|=2+x0，连接OP，OP，由相切条件知：|PA|2=|OP|2-|OP|2=x02+y02-3=x02+3-x02-3=x02，∴|PA|=x0，∴|AF1|-|AP|=2+x0-x0=2．（3）设C（x1，y1），D（x2，y2），显然可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为x=k（y-m），令y=0，可得x=-km，则Q（-km，0），由，得（x1+km，y1）=λ（x1，y1-m），则y1=λ（y1-m），即λ==1+，，可得（x2+km，y2）=μ（x2，y2-m），即μ=1+将x=k（y-m），代入椭圆=1中（4+3k2）y2-6mk2y+3k2m2-12=0，由韦达定理得y1+y2=，y1y2=，∴λ+μ=2+m（+）=2+m•=2+==．【点睛】本题考查椭圆的求法，考查直线和椭圆的位置关系，韦达定理，考查两数和为定值的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．21.设正项数列{a n}的前n项和为S n，首项为1，q为非零正常数，已知对任意整数n，m，当n＞m时，S n-S m=q m•S n-m 恒成立．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明数列是递增数列；（3）是否存在正常数c使得{lg（c-S n）}为等差数列？若存在，求出常数c的值；若不存在，说明理由．【答案】（1) a n=q n-1 (2)见证明 (2)见解析【解析】【分析】（1）由已知条件，可令m=n-1，代入结合数列的递推式，即可得到所求通项公式；（2）讨论公比q是否为1，求得S n，以及，由单调性的定义即可得证；（3）假设存在正常数c使得{lg（c-S n）}为等差数列，结合对数的运算性质和等差数列的通项公式，即可得到所求结论．【详解】解：（1）因为对任意正整数n，m，当n＞m时，S n-S m=q m•S n-m总成立，所以n≥2时，令m=n-1，得到S n-S n-1=q n-1•S1，即a n=a1q n-1=q n-1，当n=1时，也成立，所以a n=q n-1，（2）证明：当q=1时，S n=n，=随着n的增大而增大；当q＞0，q≠1时，S n=，，由＜0，可得数列{}是递增数列；（3）假设存在正常数c使得{lg（c-S n）}为等差数列．当q=1时，S n=n，q≠1时，S n=，{lg（c-S n）}为等差数列，可得q≠1，lg（c-+）=lg=n lg q-lg（1-q）为等差数列，即有c=（0＜q＜1），【点睛】本题考查数列的通项和求和的关系，考查等比数列的通项公式和求和公式，以及数列的单调性的判断，考查运算能力，属于中档题．。
【优选】上海市七宝中学2019年高三上学期期末考试数学试题(精品解析)
2019年上海市闵行区七宝中学高考数学一模试卷一、选择题（本大题共4小题）1.设集合P1={x|x2+ax+1＞0}，P2={x|x2+ax+2＞0}，其中a∈R，下列说法正确的是（）A. 对任意a，P1是P2的子集B. 对任意a，P1不是P2的子集C. 存在a，使得P1不是P2的子集D. 存在a，使得P2是P1的子集【答案】A【解析】【分析】由不等式的性质得：由x2+ax+1＞0，则有x2+ax+2=x2+ax+1+1＞0+1＞0，由x2+ax+2＞0，不能推出x2+ax+1＞0，由集合间的关系得：P1P2，得解．【详解】解：由x2+ax+1＞0，则有x2+ax+2=x2+ax+1+1＞0+1＞0，由x2+ax+2＞0，则有x2+ax+1=x2+ax+2-1＞-1，不能推出x2+ax+1＞0，即P1P2，故选：A．【点睛】本题考查了集合间的关系，不等式的性质，属简单题．2.△ABC中，a2：b2=tan A：tan B，则△ABC一定是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形【答案】D【解析】【分析】由已知a2：b2=tan A：tan B，利用正弦定理及同角基本关系对式子进行化简，然后结合二倍角公式在进行化简即可判断.【详解】解：∵a2：b2=tan A：tan B，由正弦定理可得，∵sin A sin B≠0∴∴sin A cosA=sin B cosB即sin2A=sin2B∴2A=2B或2A+2B=π∴A=B或A+B=，即三角形为等腰或直角三角形故选：D．【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，正弦定理的应用，式子变形是解题的关键和难点．3.抛物线y=2x2上有一动弦AB，中点为M，且弦AB的长度为3，则点M的纵坐标的最小值为（）A. B. C. D. 1【答案】A【解析】【分析】由题意设，，直线的方程为，代入抛物线方程，写出韦达定理关系式及弦长与点的纵坐标关系式，通过基本不等式确定最小值.【详解】由题意设，，，直线的方程为，联立方程，整理得，，，点M的纵坐标，弦的长度为，即，整理得，即根据基本不等式，，当且仅当，时取等，即，，点的纵坐标的最小值为.故选A.【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系，考查基本不等式在圆锥曲线综合问题中的应用，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用.解决直线与圆锥曲线综合问题基本步骤为：（1）设，即设交点坐标和直线方程，注意考虑直线斜率是否存在;（2）联，即联立直线方程与圆锥曲线，消元;（3）判，即直线与圆锥曲线的位置关系可以通过判别式加以判断;（4）韦，即韦达定理，确定两根与系数的关系.（5）代，即根据已知条件，将所求问题转换到与两点坐标和直线方程相关的问题，进而求解问题.4.已知正数数列{a n}满足a n+1≥2a n+1，且a n＜2n+1对n∈N*恒成立，则a1的范围为（）A. [1，3]B. （1，3）C. （0，3]D. （0，4）【答案】C【解析】【分析】由条件可得1+a n+1≥2（a n+1），设b n=1+a n，（a n＞0，b n＞1），运用累乘法，结合不等式恒成立，即可得到所求范围．【详解】解：正数数列{a n}满足a n+1≥2a n+1，可得1+a n+1≥2（a n+1），设b n=1+a n，（a n＞0，b n＞1）即有b2≥2b1，b3≥2b2，…，b n≥2b n-1，累乘可得b n≥b1•2n-1，可得1+a n≥（1+a1）•2n-1，又a n＜2n+1对n∈N*恒成立，可得1+2n+1＞1+a n≥（1+a1）•2n-1，即有1+2n+1＞（1+a1）•2n-1，可得a1＜3+恒成立，由3+＞3，可得0＜a1≤3．故选：C．【点睛】本题考查数列的递推式，注意累乘法的运用，考查等比数列的通项公式，考查不等式的性质和恒成立思想，属于中档题．二、填空题（本大题共12小题）5.设A={x||x|≤2018，x∈R}，B={x|y=，x∈R}，则A∩B=______．【答案】【解析】【分析】可解出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【详解】解：A={x|-2018≤x≤2018}，B={2019}；∴A∩B=∅．故答案为：∅．【点睛】考查描述法、列举法的定义，绝对值不等式的解法，以及交集的运算6.已知定义域在[-1，1]上的函数y=f（x）的值域为[-2，0]，则函数y=f（cos）的值域是______．【答案】[-2，0]【解析】【分析】可以看出-1，从而对应的函数值，这便得出了该函数的值域．【详解】解：∵cos∈[-1，1]；∴；即y∈[-2，0]；∴该函数的值域为[-2，0]．故答案为：[-2，0]．【点睛】考查函数定义域、值域的概念，本题可换元求值域：令cos=t，-1≤t≤1，从而得出f（t）∈[-2，0]．7.若行列式的展开式的绝对值小于6的解集为（-1，2），则实数a等于______．【答案】4【解析】【分析】推导出|ax-2|＜6的解集为（-1，2），从而-4＜ax＜8解集为（-1，2），由此能求出a的值．【详解】解：∵行列式的展开式的绝对值小于6的解集为（-1，2），∴|ax-2|＜6的解集为（-1，2），∴-6＜ax-2＜6，即-4＜ax＜8解集为（-1，2），解得a=4．故答案为：4．【点睛】本题考查实数值的求法，考查行列式展开法则、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.在（0，2π）内使sin3x＞cos3x成立的x的取值范围是______．【答案】（，）【解析】【分析】设f（x）=sin3x-cos3x，x∈（0，2π），化f（x）=（sin x-cos x）（1+sin2x），判断sin x-cos x ＞0时f（x）＞0，由此求出不等式成立的x的取值范围．【详解】解：由题意，设f（x）=sin3x-cos3x，x∈（0，2π），∴f（x）=（sin x-cos x）（sin2x+sin x cosx+cos2x）=（sin x-cos x）（1+sin2x），又1+sin2x＞0恒成立，∴sin x-cos x＞0，即sin x＞cos x，即＜x＜时，f（x）＞0，∴（0，2π）内使sin3x＞cos3x成立的x的取值范围是（，）．故答案为：（，）．【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了转化应用问题，是中档题．9.在等差数列{a n}中，S7=8，则a4=______．【答案】【解析】【分析】由等差数列的性质及前n项和列式求解．【详解】解：在等差数列{a n}中，由S7=，得．故答案为：．【点睛】本题考查等差数列的前n项和，考查等差数列的性质，是基础题．10.已知f（x+1）=2x-2，那么f-1（2）的值是______．【答案】3【解析】【分析】令t=x+1，将已知等式中的x一律换为t，求出f（t）即得到f（x），然后令f（x）=2x-1-2=2，求出相应的x，即为f-1（2）的值．【详解】解：令t=x+1则x=t-1所以f（t）=2t-1-2所以f（x）=2x-1-2令f（x）=2x-1-2=2，解得x=3∴f-1（2）=3故答案为：3．【点睛】已知f（ax+b）的解析式，求f（x）的解析式，一般用换元的方法或配凑的方法，换元时，注意新变量的范围，同时考查了反函数求值，属于基础题．11.甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，已知甲、乙相邻，则甲、丙相邻的概率为______．【答案】【解析】【分析】4人排成一排，其中甲、乙相邻的情况有12种，其中甲丙相邻的只有4种，由此能求出甲乙相邻，则甲丙相邻的概率．【详解】解：甲、乙相邻的方法有=12种情况，如果满足甲、丙相邻，则有4种情况，所以所求的概率为P=故答案为：．【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．12.若P（x，y）是双曲线上的动点，则|x-y|最小值是______．【答案】2【解析】【分析】利用双曲线方程，通过三角代换转化求解x，y，然后求解|x-y|的最小值．【详解】解：P（x，y）是双曲线上的动点，设：x=，y=2tanθ，所以|x-y|=|-2tanθ|=，表达式的几何意义是单位圆上的点与（0，）斜率的2倍，可得：2∈[2，2+2]，故答案为：2【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．13.设点P到平面α的距离为，点Q在平面α上，使得直线PQ与平面α所成角不小于30°且不大于60°，则这样的PQ所构成的区域体积为______．【答案】【解析】【分析】由题意画出图形，分别求出两个圆锥的半径，代入圆锥体积公式作差即可．【详解】解：如图，过P作PO⊥α，则PO=，当∠PQO=60°时，OQ=1，当∠PQO=30°时，OQ=3．∴PQ所构成的区域体积为V=．故答案为：．【点睛】本题考查圆锥体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．14.已知AB为单位圆上弦长为的弦，P为单位圆上的点，若f（λ）=的最小值为m（其中λ∈R），当点P在单位圆上运动时，则m的最大值为______．【答案】【解析】【分析】设λ，根据向量减法的运算法则，转化为点到直线的距离，利用直线和圆相交时的垂径定理结合勾股定理进行求解即可．【详解】解：设λ，则f（λ）===，又C点在直线AB上，要求f（λ）最小值，等价为求出的最小值，显然当CP⊥AB时，CP最小，可得f（λ）的最小值m为点P到AB的距离，∵|AB|=，∴|BC|=，则|OC|=则|CP|=|OP|+|OC|=1+=，即m的最大值为，故答案为：．【点睛】本题考查向量共线定理的运用，以及圆的垂径定理和勾股定理的运用，利用向量的基本运算结合数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．15.已知函数f（a，x）=sin x+cos x随着a，x在定义域内变化时，该函数的最大值为______【答案】【解析】【分析】运用辅助角公式和正弦函数的值域可得f（a，x）≤，再由柯西不等式，计算可得所求最大值．【详解】解：函数f（a，x）=sin x+cos x=sin（x+θ）（θ为辅助角），即有f（a，x）≤（sin（x+θ）=1取得等号），由柯西不等式可得（）2≤（1+1）（a+1-a）=2，当且仅当a=时，取得等号，即有≤，即f（a，x）的最大值为．故答案为：．【点睛】本题考查函数的最值求法，注意运用辅助角公式和正弦函数的值域，以及柯西不等式，考查运算能力，属于中档题．16.已知定义在上的函数f（x）=，设a，b，c为三个互不相同的实数，满足f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围为______．【答案】（81，144）【解析】【分析】先判断函数的性质以及图象的特点，设a＜b＜c，由图象得ab是个定值，利用数形结合的思想去解决即可．【详解】解：作出f（x）的图象如图：当x＞9时，由f（x）=4-=0，得x=16，若a，b，c互不相等，不妨设a＜b＜c，因为f（a）=f（b）=f（c），所以由图象可知0＜a＜3＜b＜9，9＜c＜16，由f（a）=f（b），得1-log3a=log3b-1，即log3a+log3b=2，即log3（ab）=2，则ab=9，所以abc=9c，因为9＜c＜16，所以81＜9c＜144，即81＜abc＜144，所以abc的取值范围是（81，144）．故答案为：（81，144）．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用数形结合得到ab是个常数是解决本题的关键．综合考查学生的推理能力．三、解答题（本大题共5小题）17.在长方体ABCD-A1B1C1D1中（如图），AD=AA1=1，AB=2，点E是棱AB的中点．（1）求异面直线AD1与EC所成角的大小；（2）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，试问四面体D1CDE是否为鳖臑？并说明理由．【答案】(1) (2)见解析【解析】【分析】（1）取CD中点F，连接AF，则AF∥EC，即∠D1AF为异面直线AD1与EC所成角，解三角形可得△AD1F为等边三角形，从而得到异面直线AD1与EC所成角的大小；（2）证明DE⊥CE，进一步得到D1E⊥CE，可知四面体D1CDE是鳖臑．【详解】解：（1）取CD中点F，连接AF，则AF∥EC，∴∠D1AF为异面直线AD1与EC所成角．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，由AD=AA1=1，AB=2，得∴△AD1F为等边三角形，则．∴异面直线AD1与EC所成角的大小为；（2）连接DE，∵E为AB的中点，∴DE=EC=，又CD=2，∴DE2+CE2=DC2，得DE⊥CE．∵D1D⊥底面DEC，则D1D⊥CE，∴CE⊥平面D1DE，得D1E⊥CE．∴四面体D1CDE的四个面都是直角三角形，故四面体D1CDE是鳖臑．【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中直线与直线，直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．18.设S，T是R的两个非空子集，如果函数y=f（x）满足：①T={f（x）|x∈S}；②对任意x1，x2，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称函数y=f（x）为集合S到集合T的“保序同构函数”．（1）试判断下列函数f（x）=，f（x）=tan（πx-）是否是集合A={x|0＜x＜1}到集合R的保序同构函数；请说明理由．（2）若f（x）=是集合[0，s]到集合[0，t]是保序同构函数，求s和t的最大值．【答案】（1）见解析；（2）s的最大值为1，t的最大值为【解析】【分析】（1）根据集合A={x|0＜x＜1}到集合R的保序同构函数的定义，判断函数是否是单调递增函数即可；（2）利用导数研究函数f（x）=在x≥0上的单调区间，结合保序同构函数的定义进行求解即可．【详解】解：（1）由②知，函数为增函数即可．若f（x）=，当0＜x＜1时，-1＜-x＜0，函数y=为增函数，同时y=为增函数，即f（x）=增函数，满足条件．若f（x）=tan（πx-），当0＜x＜1时，0＜πx＜π，-＜πx-＜，此时函数f（x）为增函数，满足条件．即两个函数都是集合A={x|0＜x＜1}到集合R的保序同构函数．（2）函数f（x）为f′（x）==，当x＞0时，由f′（x）＞0得1-x2＞0得x2＜1，得0＜x＜1，由f′（x）＜0得1-x2＜0得x2＞1，即x＞1，即函数f（x）在[0，1]上是增函数，在[1，+∞）上是减函数，则s的最大值为1，t的最大值为f（1）=．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，结合新定义保序同构函数转化为判断函数的单调性是解决本题的关键．19.如图，已知一个长方形展览大厅长为20m，宽为16m，展厅入口位于其长边的中间位置，为其正中央有一个圆心为C的圆盘形展台，现欲在展厅一角B点处安装一个监控摄像头对展台与入口进行监控（如图中阴影所示），要求B与圆C在同一水平面上．（1）若圆盘半径为2m，求监控摄像头最小水平摄像视角的正切值；（2）若监控摄像头最大水平摄像视角为60°，求圆盘半径的最大值．（注：水平摄像视角指镜头中心点与水平观察物体边缘的视线的夹角）【答案】(1) 1+ (2) 5-4【解析】【分析】（1）分别求出∠ABC和∠CBE的正切值，利用两角和的正切公式计算；（2）利用两角差的正切公式计算tan∠CBE，再根据正切的定义列方程求出圆的半径．【详解】解：（1）过C作入口所在边的高AC，垂足为A，由题意可知AC=8，AB=10，BC==2，∴tan∠ABC=，过B作圆C的切线BE，切点为E，则CE⊥BE，CE=2，且∠ABE为监控摄像头最小水平摄像视角．∵BE==12，∴tan∠CBE=，∴tan∠ABE=tan（∠ABC+∠CBE）=1+．∴当圆盘半径为2时，监控摄像头最小水平摄像视角的正切值为1+．（2）过B作直线BD，使得∠ABD=60°，过C作CM⊥BD，垂足为M，则∠CBD=60°-∠ABC，∴tan∠CBD=tan（60°-∠ABC）=．设圆盘的最大半径为r，则tan∠CBD=．解得r=5-4．∴圆盘的最大半径为5-4．【点睛】本题考查了函数模型的应用，直线与圆的位置关系，属于中档题．20.已知椭圆C：（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过F1任作一条与坐标轴都不垂直的直线，与C交于A，B两点，且△ABF2的周长为8．当直线AB的斜率为时，AF2与x轴垂直．（1）求椭圆C的方程（2）若A是该椭圆上位于第一象限的一点，过A作圆x2+y2=b2的切线，切点为P，求|AF1|-|AP|的值；（3）设P（0，m）（m≠±b）为定点，直线l过点P与x轴交于点Q，且与椭圆交于C，D两点，设，，，求λ+μ的值．【答案】（1）=1（2）2（3）【解析】【分析】（1）根据题意4a=8，再根据勾股定理求出c=1，即可求出椭圆方程，（2）由题意，根据直线和圆相切，以及勾股定理可得AF1|=2+x0，|PA|=x0，即可求出|AF1|-|AP|的值（3）根据向量的运算可得λ+μ=2+m（+），再题意直线l的方程为x=y（x+m），代入，由此利用韦达定理结合已知条件，即可求出．【详解】解：（1）∵△ABF2的周长为8，∴4a=8，即a=2，∵tan∠AF1F2=，设|AF2|=3m，则|F1F2|=2c=4m，∴|AF1|=5m，∵|AF1|+|AF2|=2a=4，∴3m+5m=4，∴m=，∴2c=2，∴c=1，∴b2=a2-c2=3，∴椭圆C的方程=1，（2）设A（x0，y0），则=1，（|x0|＜2）∴|AF1|2=（x0+1）2+y02=（x0+4）2，∴|AF1|=2+x0，连接OP，OP，由相切条件知：|PA|2=|OP|2-|OP|2=x02+y02-3=x02+3-x02-3=x02，∴|PA|=x0，∴|AF1|-|AP|=2+x0-x0=2．（3）设C（x1，y1），D（x2，y2），显然可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为x=k（y-m），令y=0，可得x=-km，则Q（-km，0），由，得（x1+km，y1）=λ（x1，y1-m），则y1=λ（y1-m），即λ==1+，，可得（x2+km，y2）=μ（x2，y2-m），即μ=1+将x=k（y-m），代入椭圆=1中（4+3k2）y2-6mk2y+3k2m2-12=0，由韦达定理得y1+y2=，y1y2=，∴λ+μ=2+m（+）=2+m•=2+==．【点睛】本题考查椭圆的求法，考查直线和椭圆的位置关系，韦达定理，考查两数和为定值的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．21.设正项数列{a n}的前n项和为S n，首项为1，q为非零正常数，已知对任意整数n，m，当n＞m时，S n-S m=q m•S n-m恒成立．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明数列是递增数列；（3）是否存在正常数c使得{lg（c-S n）}为等差数列？若存在，求出常数c的值；若不存在，说明理由．【答案】（1) a n=q n-1 (2)见证明 (2)见解析【解析】【分析】（1）由已知条件，可令m=n-1，代入结合数列的递推式，即可得到所求通项公式；（2）讨论公比q是否为1，求得S n，以及，由单调性的定义即可得证；（3）假设存在正常数c使得{lg（c-S n）}为等差数列，结合对数的运算性质和等差数列的通项公式，即可得到所求结论．【详解】解：（1）因为对任意正整数n，m，当n＞m时，S n-S m=q m•S n-m总成立，所以n≥2时，令m=n-1，得到S n-S n-1=q n-1•S1，即a n=a1q n-1=q n-1，当n=1时，也成立，所以a n=q n-1，（2）证明：当q=1时，S n=n，=随着n的增大而增大；当q＞0，q≠1时，S n=，，由＜0，可得数列{}是递增数列；（3）假设存在正常数c使得{lg（c-S n）}为等差数列．当q=1时，S n=n，q≠1时，S n=，{lg（c-S n）}为等差数列，可得q≠1，lg（c-+）=lg=n lg q-lg（1-q）为等差数列，即有c=（0＜q＜1），【点睛】本题考查数列的通项和求和的关系，考查等比数列的通项公式和求和公式，以及数列的单调性的判断，考查运算能力，属于中档题．。
2019年最新高三题库 七宝中学2019届高三下学期摸底考试数学试卷
上海市七宝中学高三（下）摸底数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题4分，共56分）1．（4分）已知集合A={﹣1，0，a}，B={x|1＜2x＜2}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是（0，1）．2．（4分）函数的最小正周期为π．解：函数=3．（4分）（2011•东城区一模）在等差数列{a n}中，已知a1=2，a2+a3=13，则a4+a5+a6等于=42．4．（4分）若tanα=﹣2，α是直线y=kx+b的倾斜角，则α=π﹣arctan2．（用α的反正切表示）5．（4分）（2011•南通一模）设（1+2i）z=3﹣4i（i为虚数单位），则|Z|=||．故答案为：6．（4分）（2013•嘉定区二模）求值：=﹣1．由二项式定理可知解：∵7．（4分）已知平面向量，若，则=．表示出向量解：设，的夹角为，则cos，即，，即，，代入，故答案为：．8．（4分）（2013•嘉定区二模）设a＞0，a≠1，行列式中第3行第2列的代数余子式记作y，函数y=f （x）的反函数图象经过点（2，1），则a=4．=9．（4分）已知P是椭圆=1（a＞b＞0）上的一点，F1，F2为椭圆的左、右焦点，则的最小值为．（当且仅当≥（当且仅当的最小值为故答案为：10．（4分）（2010•镇江一模）已知{a n}是等差数列，设T n=|a1|+|a2|+…+|a n|（n∈N*）．某学生设计了一个求T n的部分算法流程图（如图），图中空白处理框中是用n的表达式对T n赋值，则空白处理框中应填入：T n←n2﹣9n+40．=11．（4分）不等式对一切非零实数x，y均成立，则实数a的范围为[1，3]．若不等式解：∵||故不等式质，将不等式12．（4分）定义在R上的函数f（x）满足f（m+n2）=f（m）+2[f（n）]2，其中m，n∈R，且f（1）≠0．则f（2013）=4024[f（1）]2 +f（1）．13．（4分）设a∈R，若x＞0时均有（ax﹣1）（x2﹣2ax﹣1）≥0，则a=．，（（，，代入得：=0，或（舍去）故答案为14．（4分）（理）设△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c；则下列命题正确的是①②③．①若ab＞c2；则C＜②若a+b＞2c；则C＜③若a3+b3=c3；则C＜④若（a+b）c＜2ab；则C＞．≥，即，所以，，所以假设＜15．（文）对于任意的平面向量，定义新运算⊕：．若为平面向量，k∈R，则下列运算性质一定成立的所有序号是①③．①=；②；③；④．①⊕⊕，故正确；⊕=⊕⊕≠⊕，⊕⊕=⊕）⊕=⊕（⊕⊕）⊕，⊕⊕=⊕⊕=（x1+x2，y1y2）+（x1+x3，y1y3）=（2x1+x2+x3，y1（y2+y3）），⊕（⊕⊕⊕二、选择题（每小题5分，共20分）17．（5分）已知圆x2+y2=2，直线l与圆O相切于第一象限，切点为C，并且与坐标轴相交于点A、B，则当线段的方程为（AB=≥18．（5分）（2012•松江区三模）已知各项均不为零的数列{a n}，定义向量，，*∥成立，则数列∥成立，则数列⊥成立，则数列⊥成立，则数列⇒解：由，）＜，故，20．（文）已知函数f（x）=2sinx+3tanx．项数为27的等差数列{a n}满足a n∈（），且公差d≠0．若f（a1）（﹣，）三、解答题（12+14+14+16+18，共74分）21．（12分）试判断定义域为[﹣1，1]上的函数f（x）为奇函数是f（0）=0的什么条件？并说明理由．22．（14分）已知ABCD﹣A1B1C1D1是底面边长1正四棱柱，O1为A1C1与B1D1的交点．（1）设AB1与底面A1B1C1D1所成的角为，求该棱柱的侧面积；（2）（理）若点C到平面AB1D1的距离为，求四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的体积．（3）（文）设高AA1=2，求四面体AB1D1C的体积．，则则该棱柱的侧面积为．⇔的体积为的体积为的体积为．23．（14分）已知函数，a∈R且a≠0．（1）若对∀x∈R，都有f（x）≤0，求a的取值范围；（2）若a≥2，且∃x∈R，使得f（x）≤0，求a的取值范围．．令，则任意．，恒成立的充要条件是，所以所以因此的充要条件是24．（16分）已知椭圆方程为C：=1，它的左、右焦点分别为F1、F2．点P（x0，y0）为第一象限内的点．直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D，O为坐标原点．（1）求椭圆上的点与两焦点连线的最大夹角；（2）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2．试找出使得直线OA、OB、OC、OD的斜率k OA、k OB、k OC、k OD满足k OA+k OB+k OC+k OD=0成立的条件（用k1、k2表示）．（3）又已知点E为抛物线y2=2px（p＞0）上一点，直线F2E与椭圆C的交点G在y轴的左侧，且满足，求p的最大值．=﹣≥﹣﹣=+﹣），∴=，12p=，则﹣﹣t=时，的最大值为25．（18分）设数列{a n}的通项公式为a n=an+b（n∈N*，a＞0）．数列{b n}定义如下：对于正整数m，b m是使得不等式a n≥m成立的所有n中的最小值．（1）若a=2，b=﹣3，求b10；（2）若a=2，b=﹣1，求数列{b m}的前2m项和公式；（3）是否存在a和b，使得？如果存在，求a和b的取值范围；如果不存在，请说明理由．．根据≤≤＜﹣，从而得出结论．．+=m．≤）a=，可得﹣﹣＜﹣，即﹣，进过检验，满足条，使得a=，且﹣≤＜﹣．。
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2019年上海市七宝中学高三三模数学试卷（附答案）（精校Word 版）
2019.05
一. 填空题
1. 已知复数z 满足(1i)2z +=（i 是虚数单位），则||z =
2. 不等式1021
x x -≤+的解为 3. 函数()y f x =的值域是[1,1]-，则函数2(1)y f x =+的值域为
4. 求值：12201920192019
20192019124(2)C C C -+-⋅⋅⋅+-= 5. 将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为
6. 若实数集合{31,65}A x y =与{5,403}B xy =仅有一个公共元素，则集合A B 中所有元
素之积的值为
7. 已知函数1()2x f x a -=-（0a >且1a ≠）的反函数为1()f x -，若1()y f x -=在[0,1]上 的最大值和最小值互为相反数，则a 的值为
8. 一名信息员维护甲乙两公司的5G 网络，一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护相互独 立，它们需要维护的概率分别为0.4和0.3，则至少有一个公司不需要维护的概率为
9. 已知正方形ABCD 中心为O 且其边长为1，则()()OD OA BA BC -⋅+的值为
10. 已知数列{}n a 满足：11a =，且1(1)30n n n a na ++--=，若对任意的[2,2]a ∈-，不等
式221n a t at ≤+-恒成立，则实数t 的范围为
11. 如图，正方体ABCD EFGH -棱长为1，点M 在正方
体的表面EFGH 上，定义每一点均在正方体表面上的一条
路线为一条路径，已知点M 到A 的最短路径长(,)l M G ，
则(,)l M G 的最大值为
12. 已知21|lg |10()10
20x x f x x x
x ⎧≤≤⎪=⎨⎪--≤⎩，若1111a b -≤≤⎧⎨-≤≤⎩，且方程2[()]()0f x af x b -+=有5
的取值范围为
二. 选择题
13. “2p <”是“关于x 的实系数方程210x px ++=没有实数根”的（ ）
A. 必要不充分条件
B. 充分不必要条件
C. 充要条件
D. 非充要条件
14. 已知函数()cos |sin |f x x x =-，那么下列命题中假命题是（ ）
A. ()f x 是偶函数
B. ()f x 在[,0]π-上恰有一个零点
C. ()f x 是周期函数
D. ()f x 在[,0]π-上是增函数
15. 已知点00(,)P x y 是曲线C 上的动点，若抛物线2:4C y x =上存在不同的两点A 、B 满足PA 、PB 的中点均在C 上，则A 、B 两点的纵坐标是以下方程的解（ ）
A. 22000280y y y x y -+-=
B. 22000280y x y x y -+-=
C. 22000280y y y y x -+-=
D. 22000280y x y x y ++-=
16. 已知实数x 、y 满足：22(2)1x y +-=
，ω= ）
A. B. [1,2] C. (0,2]
D. 2
三. 解答题 17. 如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面ABC 是等腰直角三角形，1AB AC ==，侧棱1AA ⊥底面ABC ，且12AA =，E 是BC 的中点
.
（1）求直三棱柱111ABC A B C -的全面积；
（2）求异面直线AE 与1A C 所成角θ的大小.
（结果用反三角函数表示）
18. 设函数()f x 在[1,)+∞上有定义，实数a 和b 满足1a b ≤<，若()f x 在区间(,]a b 上不存在最小值，则称()f x 在(,]a b 上具有性质P .
（1）当2()f x x cx =+，且()f x 在区间(1,2]上具有性质P 时，求常数c 的取值范围；
（2）已知(1)()1f x f x +=+（1x ≥），且当12x ≤<时，()1f x x =-，判别()f x 在区间(1,4]上是否具有性质P ，试说明理由.
19. 如图，射线OA 和OB 均为笔直的公路，扇形OPQ 区域（含边界）是一蔬菜种植园，其 中P 、Q 分别在射线OA 和OB 上，经测量得，扇形OPQ 区域的圆心角（即POQ ∠）为23π 半径为1千米，为了方便菜农经营，打算在扇形OPQ 区域外修建一条公路MN ，分别与射 线OA 和OB 交于M 、N 两点，并要求MN 与扇形弧PQ 相切于点S ，设POS α∠=（单位：弧度），假设所有公路的宽度均忽略不计.
（1）试将公路MN 的长度表示为α的函数，并写出α的取值范围；
（2）试确定α的值，使得公路MN 的长度最小，并求出其最小值.
20. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22
22:1x y C a b
+=（1a b >>）的左右两个焦点分别是1F 、 2F ，P 在椭圆C 上运动.
（1）若对12F PF ∠有最大值为120°，求出a 、b 的关系式；
（2）若点P 是在椭圆上位于第一象限的点，过点1F 作直线1F P 的垂线1l ，过2F 作直线2F P 的垂线2l ，若直线1l 、2l 的交点Q 在椭圆C 上，求点P 的坐标；
（3）若设22b =，在（2）成立的条件下，试求出P 、Q 两点间距离的最小值()f x 的函数，并求出()f x 的值域.
21. 已知正整数数列{}n a 满足：1a a =，2a b =，2120181n n n a a a +++=
+（1n ≥）. （1）已知52a =，61009a =，试求a 、b 的值；
（2）若1a =，求证：22017||2n n n
a a +-≤
； （3）求a b +的取值范围.
参考答案
一. 填空题
1. 2. 1(,1]2
- 3. [2,2]- 4. 1-
5. 6. 0 7. 8. 0.88
9. 1 10. 2t ≥或2t ≤- 11. 12.
二. 选择题
13. A 14. D 15. A 16. B
三. 解答题
17.（1）15+（2）. 18.（1）2c ≥-；（2）具有性质P ，理由略.
19.（1）MN =，62ππα<<；（2）min MN =，3πα=. 20.（1）；（2）；（3）.
21.（1）2a =，1009b =；（2）证明略；（3）1011或2019.。