5.2绝对值三角不等式A 课件(人教A版选修4-5)

ac ab bc
a b b c 0 当且仅当________________时，等号成立。
2、如果a, b是实数，你能比较 a b 与 a b 的 大小吗？并说明理由。
a b ab
ab 0 且 a b 当且仅当__________________ 时，等号成立。
例2
两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工， 这两个地点分别位于公路路牌的第10km和第20km 处。现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区， 每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次。 要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应 该建于何处？
分析：如果生活区建于公路路牌的第xkm处，两个施工队每天往返的路程 之和为S(x)km,那么 S x 2 x 1 0 x 2 0 于是，上面的问题就化 归为数学问题：当x取何值时，函数 S x 2 x 1 0 x 2 0
[系列4 ]
绝对值三角不等式
y
a b
O
a
b
x
创设情境
在数轴上，你能指出实数a的绝对值 a 的几何意义吗？
a
0 a
A x
它表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离 那么， a b 的几何意义呢？ 数轴上A,B两点之间的距离
B b
ab
B -b
A
a
ab
O
x
探究
设a, b为实数， 你能比较 a b 与 a b 之间的大小关 系吗？
当ab>0时， a b a b
当ab<0时， a b a b 当ab=0时， a b a b 你能将上述情况综合起来吗？
定理1
如果a,b是实数，则 a b a b 当且仅当 a b 0 时，等号成立。
如果把定理1中的实数a,b分别换为向量 a , b ，
能得出什么结果？你能解释它的几何意义吗？
迁移类比
当向量 a , b 不共线时，
y
a b a b
当向量 a , b 共线时，
O
a b
a
b
x
同向：a b 反向： a b
a b a b
向量形式的不等式
a b a b
当且仅当 a 与 b 同向 时，等号成立。
由于定理1与三角形之间的这种联系，我们称其中的不等 式为绝对值三角不等式。
知识推广
如果将定理1中的实数a , b改为复数 z 1 , z 2 不等式仍成立吗？ ，
z1 z 2 z1 z 2
练习
1、如果a, b, c是实数，证明
-10
-20
-30
定理1的完善 如果a, b是实数，则
a b ab a b
当且仅当_________时，右边等号成立。 ab 0
当且仅当 a b 0 时，左边等号成立；
a b
小 结
请你诊断
学完定理1后，小明和小红分别提出了新见解。 小明认为，如果a, b, c是实数，则
abc a b c
取得最小ຫໍສະໝຸດ 值。这个问题可以应用绝对值不等式的性质来解。
解：设生活区应该建于公路路牌的第xkm处，两个施工队 每天往返的路程之和为S(x)km,则 因为
S x 2 x 10 x 20

x 10 x 20 x 10 20 x 10
当且仅当 解得
（2） x a x b a b
知识应用：
例1 已知 0 , x a 求证
, y b ,
2 x 3 y 2 a 3b 5
练习： 设 M , 0 , x a

2
, yb

2
,
a M , y M
求证：
xy ab M
（定理1的变形）
4、推论：
ac ab bc
a,b, c R
a b ab a b
abc a b c
（定理1的推广）
作业：
1、求证：（1） a b a b 2 a
（2） a b a b 2 b
2、求证：（1） x a x b a b
小红认为，如果a, b是实数，则
a b ab a b
如果你是老师，你能帮他们评判一下吗？
小 结
1、 a b 的几何意义；
2、定理1： 如果a, b是实数，则 a b a b 当且仅当 a b 0 时，等号成立。 （向量形式、复数形式） 3、定理1的完善：
a b ab a b
x 10 20 x
10 x 20
0 时取等号。
所以，生活区建于两个施工地点之间的任何一个位置时， 都能使两个施工队每天往返的路程之和最小。
70
60
s x = 2 x-10
+ x-20

50
40
30
20
10
-60
-40
-20
10
20
40
60
80
100