第五讲 中学数学的逻辑基础(1)
数学逻辑基础中学数学教案
数学逻辑基础中学数学教案一、教学目标本教案旨在帮助学生建立和巩固数学逻辑基础知识，使其具备分析和解决问题的能力。
具体目标如下：知识目标：1. 了解命题逻辑、谓词逻辑和命题公式的基本概念；2. 掌握命题的联结词与真值表之间的关系；3. 理解蕴含关系及其在推理中的应用；4. 学会使用真值表验证命题等价性。
能力目标：1. 能够分析并解决涉及数学逻辑的问题；2. 能够利用推理规则进行逻辑论证；3. 能够应用数学逻辑知识解决实际问题。
二、教学内容1. 命题逻辑1.1 命题的概念1.1.1 命题的定义和性质1.1.2 命题的例子与非命题的例子1.2 命题联结词1.2.1 否定、合取、析取、条件、双条件等联结词 1.2.2 联结词的真值表与逻辑运算规则1.3 命题公式1.3.1 命题变元和命题常项的表示1.3.2 命题公式的构造和判断方法2. 谓词逻辑2.1 谓词的概念2.1.1 命题与谓词的区别2.1.2 谓词的例子和表示方法2.2 谓词的量词2.2.1 全称量词和存在量词的定义和性质2.2.2 量词的应用举例2.3 谓词公式2.3.1 谓词变元和谓词常项的表示2.3.2 谓词公式的构造和判断方法3. 蕴含与等价3.1 蕴含关系的定义和性质3.1.1 充分必要条件的概念3.1.2 蕴含关系与真值表之间的关系3.2 等价关系的定义和性质3.2.1 充分必要条件的概念3.2.2 等价关系与真值表之间的关系3.3 蕴含与等价的应用3.3.1 推理规则的运用3.3.2 真值表验证命题等价性的方法三、教学步骤步骤一：引入命题逻辑1. 通过实际例子引出命题的概念，以及命题的真值表和联结词。
2. 给出命题逻辑的定义和基本性质，并解释命题公式及其构造方法。
步骤二：命题联结词与真值表1. 介绍并讲解否定、合取、析取、条件和双条件等联结词的概念与特点。
2. 利用真值表演示联结词的运算规则，并提供练习题以加深理解。
步骤三：谓词逻辑的概念和应用1. 引出谓词的概念及其与命题的区别，并提供具体的例子进行说明。
数学逻辑的基础知识
数学逻辑的基础知识作为一门关于推理和推断的学科，数学逻辑在现代数学中起着重要的作用。
它不仅帮助我们理解数学的基础原理，还在解决问题和做出决策时提供了有力的工具。
本文将介绍数学逻辑的基础知识，包括命题、谓词逻辑和推理等内容。
一、命题逻辑命题逻辑是数学逻辑的基础，它涉及到命题及其关系的研究。
命题是陈述语句，它要么是真的，要么是假的，没有其他可能性。
命题逻辑使用逻辑运算符来组合命题，常用的逻辑运算符有与（∧）、或（∨）、非（¬）和蕴含（→）。
通过将这些逻辑运算符应用于命题，我们可以构建复杂的命题和推理。
例如，假设命题P代表"今天下雨"，命题Q代表"我会带伞"，那么我们可以使用逻辑符号表示：P：今天下雨Q：我会带伞若要表示"如果今天下雨，那么我会带伞"，可以写为P→Q。
这个逻辑命题表示了一个条件关系。
二、谓词逻辑谓词逻辑是命题逻辑的扩展，它引入了谓词来描述对象之间的关系。
谓词是一个带有参数的陈述，可以是真的也可以是假的。
在谓词逻辑中，我们使用量词来描述范围。
常用的量词有全称量词（∀）和存在量词（∃）。
全称量词表示某个命题对所有对象都成立，存在量词表示某个命题存在至少一个对象满足条件。
例如，假设P(x)表示"∀x，x是偶数"，那么这个谓词表示了全部偶数的集合。
存在量词的运用可以用来存在性证明，例如∃x，P(x)可以表示存在一个偶数。
三、推理推理是数学逻辑中的核心概念，它是基于已知命题的逻辑关系来获得新命题的过程。
推理可以是直接的，也可以通过逻辑推导规则来进行。
逻辑推导规则是一套用于推理的准则，通过这些规则我们可以根据已有的命题推断出新的命题。
常用的推导规则包括引入规则、消去规则和矛盾原理等。
例如，假设我们已知P→Q和Q→R成立，我们可以使用推理规则推导出P→R。
这种推理过程被称为假言推理。
总结数学逻辑是数学中一门重要的分支，它帮助我们理解数学的基础原则，提供了解决问题和做出决策的强大工具。
数学概念及其逻辑结构
三、概念间的关系
有某种可比较关 系的概念. 例如，“正数”和“整数”就是可比较的概念， 而“正数”和“多边形”就是不可比较的概念. 在可比较的概念间，有相容关系和不相容关系.
（一）相容关系 （Compatible relation ）
二、概念的内涵与外延
概 念 的 内 涵与 外 延 明确 了 ,就 可 以 更 好地 认 识 概念 ,把 握 概 念 ,否 则 就 会 出 现 错误 。 例 如 ,若 对“ 算 术 平 方 根 ” 这 个 概 念的 内 涵 不明 确 ,往 往 会 出 现 如 下 的 错误 :
(-2) 2
=-2，
( x - 1) 2 = x - 1
。
要 对 概 念 加深 认 识 ,不 仅 要 明确 概 念 的内 涵 与 外延 ,还 要 掌 握 概 念 的 内涵 与 外 延之 间 的 关系 。
（二）内涵与外延之间的关系
概念的内涵严格确定了概念的外延；反过来，概念的外延完全 确定了概念的内涵。因此，对概念的内涵所作的改变一定 导致概念外延的改变。具体来说即：这两个方面是相互联 系、互相制约的:当概念的内涵扩大时,则概念的外延就缩 小;当概念的内涵缩小时,则概念的外延就扩大。反过来也 一样。内涵和外延之间的这种关系,称为反变关系。\例如,
物区别于另一种事物的根本依据。
数学概念是反映思考对象在空间形式和数量关系及其模式方面的本 质属性的思维形式。 （二）产生与发展途径 概念是通过概括以及与概括紧密相联系的抽象而形成的。
数学概念的产生和发展有各种不同的途径：
1）从现实模型中直接反映得来，如初等数学中的点、线、面、体、 自然数等；
2）在原有数学概念的基础上，经过多级抽象和概括而形成，如近 代数学中的群、环、域、空间等；
数学的逻辑关系
数学的逻辑关系数学作为一门学科，是研究数量、结构、变化以及空间等概念与符号之间的关系的科学。
而数学的逻辑关系则是指数学中所运用的逻辑思维和推理方式，用于描述和解释数学概念、定理和证明的关系。
一、基本逻辑关系在数学中，最基本的逻辑关系是命题之间的关系。
命题是可以判断真假的陈述句，在数学中通常用字母表示。
命题之间存在三种基本的逻辑关系：合取、析取和否定。
1.合取关系合取关系是指将两个命题连接起来形成一个新的命题。
用逻辑符号“∧”表示。
当且仅当两个命题同时为真时，合取关系才为真。
例如，命题p为“2是偶数”，命题q为“3是奇数”，则合取关系p∧q 表示“2是偶数且3是奇数”。
2.析取关系析取关系是指将两个命题连接起来形成一个新的命题。
用逻辑符号“∨”表示。
当至少有一个命题为真时，析取关系就为真。
例如，命题p为“2是偶数”，命题q为“3是奇数”，则析取关系p∨q 表示“2是偶数或3是奇数”。
3.否定关系否定关系是指将一个命题的真值取反，形成一个新的命题。
用逻辑符号“¬”表示。
例如，命题p为“2是偶数”，则否定关系¬p表示“2不是偶数”。
二、推理和证明中的逻辑关系数学中的推理和证明是建立在逻辑关系的基础上的。
推理是指从已知的命题出发，根据逻辑关系得出新的命题的过程。
而证明则是通过推理过程来验证或证实一个命题是否成立。
1.演绎推理演绎推理是基于已知命题和逻辑关系，通过一系列逻辑推理，得出结论的过程。
它包括三个部分：前提、推理规则和结论。
例如，已知命题p为“所有A都是B”，命题q为“a是A”，则根据演绎推理的规则，可以得出结论“a是B”。
2.归纳推理归纳推理是从具体事例中归结出一般结论的推理方式。
它通过整体的观察，找出事物之间的规律，从而得出结论。
例如，通过观察一系列自然数的奇偶性可发现，所有的偶数都能被2整除。
因此，可以归纳得出结论“所有偶数都能被2整除”。
3.直接证明直接证明是一种以已知命题为前提，通过逻辑推理得出结论的证明方法。
数学的逻辑数学原理与应用的基础知识
数学的逻辑数学原理与应用的基础知识数学是一门严密而精确的学科，其中逻辑数学是数学的基础。
逻辑数学原理是数学推理的基本规则和方法，它们是数学思维和证明的基石。
本文将介绍数学的逻辑数学原理和一些基础知识，并探讨它们在实际应用中的作用。
一、命题逻辑命题逻辑是逻辑数学的基础，它研究的是由简单命题通过逻辑连接词（如“与”、“或”、“非”等）组成的复合命题。
在命题逻辑中，命题是指可以判断真假的陈述句。
例如，“2 + 2 = 4”是一个命题，因为它是真的；而“今天是星期天”就不是一个命题，因为它的真假无法确定。
命题逻辑中的逻辑连接词有与（∧）、或（∨）、非（¬）等。
通过这些逻辑连接词，我们可以形成复合命题。
例如，“明天下雨与后天放假”可以表示为命题P∧Q，其中P表示“明天下雨”，Q表示“后天放假”。
我们可以通过真值表或真值运算规则判断复合命题的真假。
二、谓词逻辑谓词逻辑是命题逻辑的扩展，它引入了谓词符号，可以表示关于对象的性质或关系的命题。
在谓词逻辑中，命题可以包含变量，它们可以取值为个体或集合。
例如，命题“x是奇数”中的变量x可以取值为1、3、5等奇数。
谓词逻辑还引入了量词符号，用来表示命题对于某个变量的所有值或存在某个值。
例如，“对于所有的x，若x是奇数，则x+2也是奇数”可以表示为∀x(奇数(x)→奇数(x+2))。
谓词逻辑在数学中有广泛的应用，例如在数学推理和证明中，常常使用全称量词和存在量词来描述性质和关系，进而进行推理和证明。
三、集合论集合论是数学的另一个基础分支，它研究的是集合及其运算。
在集合论中，集合是由一些确定的对象组成的整体。
我们可以通过列举元素或规定条件来描述一个集合。
例如，{1, 2, 3}表示由元素1、2、3组成的集合；{x | x是奇数}表示所有奇数的集合。
集合论中的运算有交集、并集、补集等。
交集表示两个集合中共有的元素，通过符号∩表示。
并集表示两个集合中所有的元素，通过符号∪表示。
中学数学的逻辑基础
§4.1 中学数学概念
四、概念的定义 2、定义的几种方式 ⑯其它定义方法： 递归定义(递推式定义法。如 n阶行列式、n阶导数、n 重积分的定义)、 描述性定义法(如等式、极限的定义) 公理定义法。
§4.1
中学数学概念
四、概念的定义 3、定义的规则 ⑪定义必须是相称的。即定义项和被定义项的外延必须 是相同的，既不能扩大，也不能缩小，应当恰如其分。 如无理数是指无限不循环小数，而不能用无限小数(过 宽)和不尽方根(过窄)来定义无理数。 ⑫定义不能循环。即在同一个科学系统中，不能以A概 念来定义B概念，而同时又以B概念来定义A概念。如： “加法是求几个数和的方法”。900的角叫做直角。 ⑬定义应当清楚、简明，一般不用否定形式和未知的概 念。即定义要简明扼要，所列定义项必须是确切的概念， 不能用譬喻或其他含糊的说法代替定义。如：笔直笔直 的线(不清楚)，叫做直线；两组对边互相平行的平面平 行四边形(不简明)；不是有理数的数，叫做无理数(否定 形式)。对初中生来说，在复数a+bi中，虚部b=0的数叫 做实数(应用未知概念)。
四、概念的定义 1、给概念下定义:用已知的概念来认识未知概念，使未 知的概念转化为已知的概念，叫做给概念下定义。概念 的定义都是由下定义的概念(已知概念)与被下定义的概 念(未知概念)这两部分组成。 ⑪定义是建立概念的逻辑方法。 ⑫下定义的模式有两种：一是通过揭示概念的内涵来给 出定义，二是通过揭示概念的外延来给出定义。 2、定义的几种方式 ⑪“种+类差”定义法：根据概念的从属关系，规定被 定义概念的上位概念中是邻近的种概念，然后指出被定 义概念在它的种概念里区别于其他类概念的本质属性的 一种定义方法。如平行四边形。
§4.1
逻辑基础
第四章中学数学逻辑思维与能力所谓逻辑，在日常应用中多指思维规律。
这里所说的中学数学的逻辑基础，主要是指形式逻辑，而正确地理解和运用形式逻辑的有关知识可以说是现代社会公民应该具备的基本素质，无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都需要正确地理解和运用形式逻辑的有关知识表达自己的思想。
于是，本章便着重择要对中学数学逻辑基础的基本内容，包括数学概念、数学命题、数学推理和数学证明以及形式逻辑的基本规律进行研究。
第一节数学概念1．概念与数学概念概念是反映事物本质属性的思维形式。
所谓“本质属性”,就是指它构成某种事物的基本特征,这类属性只为该种事物所具有,它是这种事物区别于其它事物的根本依据。
数学概念是揭示现实世界空间形式与数量关系本质属性的思维形式。
它的产生，一般说来有两种情形：一种是直接从对客观事物的空间形式或数量关系的反映而得到的，如自然数的概念；另一种是在已有数学概念的基础上，经过多层次的抽象概括而形成的，如平行四边形的概念。
内涵与外延是构成数学概念的两个重要方面。
数学概念的内涵反映数学对象的本质属性，外延是数学概念所有对象的总和。
例如，“对边平行”、“对角相等”、“同旁内角互补”、“对角线相互平分”等都是平行四边形的内涵；而“所有的平行四边形”则是“平行四边形”的外延。
又如，“奇数”这个概念，它的内涵是“整数”“被2除余1”，而外延是{}Z-2。
在概念的内涵和外延之间有着密切的关=,1xnnx∈系：内涵扩大，则外延就缩小；反之，内涵缩小，则外延就扩大，它们之间的这种关系,称为反变关系。
例如,在四边形的内涵中,再增加“两组对边分别平行”这个条件,就得到平行四边形的概念,其外延比四边形的外延就缩小了。
在等腰三角形的概念中减少“有两边相等”这个条件,就得到三角形的概念,其外延就比等腰三角形的外延扩大了。
要注意的是,这种反变关系只能适用于外延间存在着包含和被包含的两个概念之间。
2．概念间的关系我们只研究可比较概念间的关系。
数学逻辑的基本概念和规律
数学逻辑的基本概念和规律数学逻辑是数学领域中的一个重要分支，它研究的是数学推理和推导的基本规律和方法。
数学逻辑在数学的发展中起到了至关重要的作用，它帮助我们建立了一套准确严谨的数学体系，同时也为我们的思维提供了一种有效的工具。
本文将介绍数学逻辑的基本概念和规律，从而帮助读者更好地理解和应用数学逻辑。
一、命题逻辑命题逻辑是数学逻辑的基础，它研究的是关于命题和命题之间的逻辑关系。
在命题逻辑中，命题是指具有确定真值（真或假）的陈述句。
命题逻辑使用逻辑联结词（如与、或、非等）来构建复合命题，并通过逻辑运算来推导出命题之间的关系。
例如，如果p是"今天下雨"的命题，q是"我带伞"的命题，那么p与q之间的逻辑关系可以用"如果p则q"来表示。
在命题逻辑中，有许多重要的规律和定律。
其中，蕴涵定律是命题逻辑中最基本的定律之一，它指出如果一个命题的真值为真，则它蕴含任意命题的真值。
另外，等价关系也是命题逻辑中常用的推理方法，它表明两个命题具有相同的真值。
二、谓词逻辑谓词逻辑是命题逻辑的扩展，它研究的是关于谓词和变量的逻辑关系。
在谓词逻辑中，谓词是指包含变量的陈述句，它们的真值取决于变量的赋值。
谓词逻辑使用量词（如全称量词和存在量词）来描述变量的范围，并通过逻辑运算来推导出谓词之间的关系。
例如，如果P(x)表示"x是偶数"的谓词，Q(x)表示"x是素数"的谓词，那么全称量词可以表示为"对于所有的x，如果P(x)成立，则Q(x)也成立"。
在谓词逻辑中，存在唯一性量词是一个重要的概念。
它指出存在一个唯一的元素满足某个谓词。
另外，谓词逻辑中的演绎推理和归纳推理也是常用的推理方法，它们能够帮助我们从已知的命题中推导出新的命题。
三、集合论和数理逻辑集合论和数理逻辑是数学逻辑的两个重要分支，它们在数学的各个领域中起到了至关重要的作用。
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第五讲中学数学的逻辑基础（1）本讲简介：恩格斯指出：“初等数学，即常数的数学，是在形式逻辑的范围内活动的，至少的说来是这样。
”中学数学的逻辑基础，主要指形式逻辑，也部分地涉及到辩证逻辑讲以唯物辩证法作指导，重点考察数学概念和数学命题的逻辑基础。
知识结构：学习建议：数学概念是最基本的数学思维形式。
对每个数学概念，应理解和掌握它的内涵外延及定义。
要理解并正确运用概念定义和划分的规则。
理清相关的不同概念之间的系。
数学知识和理论的基本表现形式就是数学命题。
要理解并掌握否定式、合取式、取式、蕴涵式和等值式这5种基本复合命题的真值表，会求复合命题的真值。
掌握数命题（蕴涵式）的四种形式及其内部联系。
重点与难点：本讲的重点是数学概念的定义和划分的规则，5种基本的复合命题的涵义和真值律。
第五讲中学数学的逻辑基础（1）第一节数学概念第二节数学命题相关知识第一节数学概念一、什么是概念概念是反映客观事物本质属性的思维形式。
数学概念是反映现实世界空间形式和量关系本质属性的思维形式。
概念不同于感知，感知是具体的、直接的，概念却是抽象的、概括的。
抽象性和括性是概念不同于感知的重要特征。
概念是最基本的思维形式，任何一门学科，都是由一系列的概念及其体系组成的如果把人的思维比作一个有机体，那么概念就是这个有机体的细胞。
二、概念的内涵和外延1.概念的内涵是概念所反映的对象本质属性的总和（即概念所反映的对象的质的面）；概念的外延是概念所反映的对象的全体（即概念所指的对象的范围或集合）。
如，“平行四边形”的内涵包括：是四边形，对边平行，对边相等，对角相等，对线互相平分等等。
“平行四边形”的外延包括：矩形、菱形、正方形以及各种各样的任意的平行边形。
2.概念的内涵与外延之间的关系：概念的内涵扩大，它的外延就缩小；反之，概的内涵缩小，它的外延就扩大。
例如，在矩形的内涵中增加“邻边相等”的属性，就到正方形的概念，其外延就缩小了；在矩形的内涵中减少内角是直角，就得到平行四形的概念，其外延就扩大了。
三、概念间的关系概念间的关系，是指两个概念的外延所对应的集合之间的关系。
概念之间的关系分为同一关系、从属关系、交叉关系和全异关系四类。
1.同一关系如果两个概念A和B的外延相等，那么这两个概念之间的关系叫做同一关系，这个概念叫做同一概念（图（1））。
例如，“等边三角形”和“正三角形”，一个圆“直径”和该圆中“最大的弦”都是同一概念。
具有同一关系的两个概念在推理时可互相代替。
2.从属关系如果概念A的外延是概念B的外延的真子集，那么这两个概念之间的关系叫做从关系，其中外延较大的概念B叫做属概念，外延较小的概念A叫做种概念（图（2）例如“有理数”和“实数”具有从属关系，这里，“实数”是属概念，“有理数”是概念。
属概念和种概念是相对的。
例如，“矩形”和“平行四边形”具有从属关系，这“矩形”是种概念；“正方形”和“矩形”也具有从属关系，而这时“矩形”是属念。
3.交叉关系如果概念A的外延和概念B的外延只有一部分重合，那么这两个概念之间的关系做交叉关系，这两个概念叫做交叉概念（图（3））。
例如，“有理数”和“正实数是交叉概念，它们外延的交集是“正有理数”的外延。
又如，“矩形”和“菱形”是叉概念，它们外延的交集是“正方形”的外延。
4.全异关系如果概念A的外延和概念B的外延的交集为空集，那么这两个概念之间的关系叫全异关系（或不相容关系），这两个概念叫做全异概念（图（4））。
“直角三角形和“等边三角形”、“自然数”和“负有理数”都是全异概念。
在全异关系中，有两常见的特殊情形：（1）矛盾关系。
如果概念A和概念B具有全异关系，且它们外延的并集等于某一概念C的外延，那么这两个概念间的关系（相对于属概念C而言）叫做矛盾关系，这个概念叫做矛盾概念（图（5））。
例如，“有理数”和“无理数”相对于实数来说具矛盾关系。
又如“等腰三角形”和“不等边三角形”相对于三角形是一对矛盾概念。
(2)对立关系。
如果概念A和概念B具有全异关系，且它们外延的并集为某一属概C的真子集，那么这两个概念间的关系（相对于属概念C而言）叫做对立关系，这两概念叫做对立概念（图（6））例如，“正有理数”和“负有理数”相对于有理数来是具有对立关系的两个概念。
又如，“锐角三角形”和“直角三角形”是一对对立概四、概念的定义1.定义定义是建立概念的逻辑方法，下定义的模式通常有两种：一种是通过揭示概念的涵来给出定义；另一种是通过揭示概念的外延来给出定义。
例1两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
例2函数叫做指数函数。
一切定义都由被定义项、定义项和定义联项三部分组成。
被定义项是需要加以明的概念。
定义项是用来明确定义项的概念。
定义联项是用来联结被定义项和定义项的语。
常用的定义联项有“叫做”、“就是”、“是”、“称为”等等。
2.定义的方式（1）属加种差定义。
属加种差定义是数学概念的最常用的一种定义方式。
用属种差下定义，要做好两方面的工作：一是找出被定义概念的临近的属概念；二是确定差，即找出被定义概念与同一属概念中其它种概念之间的差别。
属加种差定义可以用列公式表示：属 + 种差 = 被定义项例如，平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行边形种差属定义项（提示5.1）（2）发生定义。
发生定义是把只属于被定义概念，而不属于其他任何事物的发或形成的属性作种差的定义。
例如，椭圆的定义：平面内与两个定点的距离的和于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆。
（3）关系定义。
关系定义是以事物间的关系作为种差的定义，它指出这种关系被定义事物所具有而其他事物不具有的特有属性。
例如，偶数的定义：能被2整除的数叫做偶数。
（4）外延定义。
外延定义是通过列举概念的全部对象来下的定义。
例如，有理的定义：正整数、负整数、正分数、负分数和零统称有理数。
（5）约定式定义。
约定式定义是依据数学上的某种特殊需要，通过约定的方式下的定义。
例如，“零指数”的概念规定为：。
（6）递归定义。
略。
3.定义的规则∙规则1 定义必须是相称的，即定义项和被定义项必须是同一概念。
∙规则2 定义不应当是循环的，即给概念下定义时，不能用被定义项来说明自∙规则3 定义应当清楚确切。
即定义要简明扼要，所列定义项必须是确切的概不能用譬喻或其它含糊的说法来表达定义。
举例说明参见《中学数学教材教法总论》P85五、概念的划分1.划分划分是揭示概念外延的逻辑方法。
也就是通过把一个属概念分为若干个种概念来确概念的逻辑方法。
任何划分都包含划分的母项、划分的子项和划分的根据三个要素。
2.划分的规则∙规则1 划分应当是相称的。
即划分后各个子项外延的总和（并集），应当与项的外延相等。
∙规则2 划分后各个子项应当互不相容。
即划分后不能有一些事物既属于这个项，又属于另一个子项。
∙规则3 划分应按同一标准进行。
即每次划分不能使用几个不同的划分根据。
举例说明参见《中学数学教材教法总论》P86--87第二节数学命题一、判断与命题判断是对客观事物有所肯定或否定的思维形式。
例如，“正数都大于零”，“对顶角相等”，“是有理数”都是判断。
判断有真有假。
一个判断如真实地反映了客观事物的情况，就是真判断；否则就是假判断。
上面的三个判断中，前两个是真判断，第三个是假判断。
判断的表达要依附于语句。
数学中，表达判断的语句称为命题。
表达真判断的语句称为真命题，表达假判断的语句称为假命题。
在形式逻辑中，一个命题不是真的就是假的，不能既真又假。
数学命题常用符号来表达。
例如，“”，“”等都是数学命题。
在命题逻辑中，通常用等表示命题，称为命题变量或命题变元。
命题变量只能取“真”、“假”二值。
通常用“1”表示“真”，用“0”表示“假”。
如果命题是一个真命题，就说的真值等于1，记作；如果命题是一个假命题，就说的真值等于0 ，记作。
数学命题一般可分作简单命题和复合命题两大类。
二、简单命题简单命题，就是不包含其他命题的命题。
简单命题可分为性质命题和关系命题两种。
1.性质命题性质命题，就是判断事物具有（或不具有）某种性质的命题。
性质命题由主项、谓项、量项和联项四部分组成。
根据量项的“全称”或“特称”的量，以及联项的“肯定”或“否定”的质，性质命题可以分为四种形式：∙（1）全称肯定命题（）。
它的形式是：所有都是（）。
例如：一切矩都是平行四边形。
∙（2）全称否定命题（）。
它的形式是：所有都不是（）。
例如：自然数都不是无理数。
∙（3）特称肯定命题（）。
它的形式是：有些是（）。
例如：有些奇数是素数。
∙（4）特称否定命题（）。
它的形式是：有些不是（）。
例如：有些一元二次方程没有实数根。
此外，还有单称肯定命题，如“7是素数”；单称否定命题，如“不是有理数”。
2.关系命题关系命题，就是断定事物与事物之间关系的命题。
例如，“一切正数都大于零”，“直线平行于直线”。
三、复合命题1.逻辑联结词复合命题，是由两个或两个以上其他命题用逻辑联结词结合起来而构成的命题。
常用的逻辑联结词有否定、合取、析取、蕴涵、当且仅当等五种。
（1）否定（非）。
给定一个命题p，它与联结词“非（-）”构成复合命题“非p”,记作“_p”。
若p真，则_p假；若p假，则⌝_p 真。
_p称为p的否定式。
_p的真值表为；（2）合取（与、且）。
给定两个命题p、q ，用“与（∧）”联结起来，构成复合命题“p 与q ”,记作p∧q 。
若p 、q均真，则p∧q 为真；若p 、q 中至少有一个为假，则p∧q 为假。
命题p∧q 称为 p 与q的合取式，又称联言命题。
p∧q 的真值表为100010000（3）析取（或）。
给定两个命题p、q，用“或（∨）”联结起来，构成复合命题“p 或 q ”,记作p∨ q。
若p 、 q 中至少有一个为真`，则p∨ q 为真；若p 、 q 均假，则p∨ q 为假。
命题p∨ q 称为 p 、 q的析取式，又称选言命题。
p∨ q 的真值表为（4）蕴涵（若…则…）。
给定两个命题p、q ，用“若…则…（→）”联结起来，构成复合命题“若p 则q ”,记作p→q 。
若p 真但q 假，则p →q 为假；在p、q 的其余情况下，p →q 均真。
命题 p →q称为 p、q的蕴涵式，又称假言命题。
p 称为条件（或前件），q 称为结论（或后件）。
p →q 的真值表为（5）当且仅当。
给定两个命题p、q ，用“当且仅当（↔）”联结起来，构成复合命题“当且仅当”,记作p↔q 。
若p、q 同真或同假，则p↔q 为真；否则，p↔q 为假。
命题p↔q 称为p、q 的等值式，又称充要条件假言命题。
p↔q 的真值表为否定式、合取式、析取式、蕴涵式和等值式，是复合命题中最简单、最基本的形式。
由这些基本形式，经过各种组合，可以得到更为复杂的复合命题。
为了省略括号，通常约定逻辑联结词的结合力依此减弱。