3.1空间向量及其运算第1课时

§3.1 空间向量及其运算
§3.1.1空间向量及其加减运算
【学情分析】：
向量是一种重要的数学工具，它不仅在解决几何问题中有着广泛的应用，而且在物理学、工程科学等方面也有着广泛的应用。

在人教A版必修四中，读者已经认知了平面向量，现在，学习空间向量时要注意与平面向量的类比，体会空间向量在解决立体几何问题中的作用。

【教学目标】：
（1）知识与技能：理解和掌握空间向量的基本概念，向量的加减法
（2）过程与方法：通过高一学习的平面向量的知识，引申推广，理解和掌握向量的加减法
（3）情感态度与价值观：类比学习，注重类比、推广等思想方法的学习，运用向量的概念和运算解决问题，培养学生的开拓创新能力。

【教学重点】：空间向量的概念和加减运算
【教学难点】：空间向量的应用
【课前准备】：Powerpoint课件
【教学过程设计】：
b
a
b
D B
A
O
C
三．类比推广、探求新知
（2）在平面图形中向量加减法的可以通过三角形和平行四
边形法则，同样对于空间任意两个向量b a ,都看作同一平面内的向量，它们的加法、减法当然都可以按照平面上的向量的加法和减法来进行，不需要补充任何新的知识，具体做法如下：
如图，可以从空间任意一点O 出发作b OB a OA ==,，并且从A 出发作b AC =，则BA b a OC b a =-=+,.
b
a
b
D B A
C
O
C
探索1：空间三个以上的非零向量能否平移至一个明面上？ 探索2：多个向量的加法能否由两个向量的加法推广？ （1） 思考《选2-1》课本P92探究题
归纳：向量加（减）法满足交换律和结合律。

例1：已知平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量。

(如图)
让学生知道，数学中研究的向量是自由向量，
与向量的起点无关，
这是数学中向量与物理中矢
量的最大区别。

空间三个或更多的向量相加，不能同时将这
些向量都用同一个平面
上的有限线段来表示，但仍然可以用将它们依次用首尾相接的有向线段来表示，得到它们的和。

比如：三个向量的和
AD CD BC AB =++,
一般地,空间中多个依次用首尾相接的有向线段相加的结果等于起点和终点相连的有向线段。

我们常常把向量的这种性质
AD
CD BC AB =++简称为“封口向量”。

四．练习巩固
1．课本P92练习1-3
2．如图，在三棱柱111C B A ABC -中，M 是1BB 的中点， 化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： （1）1BA CB +;
巩固知识，注意区别加减法的不同处.
1)2()1(AA AD AB BC AB +++
（2）1AA CB AC ++; （3）CB AC AA --1
解：（1）11CA BA CB =+ （2）11AB AA CB AC =++ （3）11BA CB AC AA =--
五．拓展与
提高
1．已知空间四边形ABCD ，连结,AC BD ，设,M G 分别是
,BC CD 的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量： （1）AB BC CD ++u u u r u u u r u u u r
；
（2）GC BD AB ++；
（3）．GA DG CM -+
加深对相等向量和加减法的理解
六．小结
1．空间向量的概念：
2．空间向量的加减运算
反思归纳
七．作业 课本P106习题3.1，A 组 第1题（1）、（2）
练习与测试：
（基础题）
1．举出一些实例，表示三个不在同一平面的向量。

2．说明数字0与空间向量0的区别与联系。

答：空间向量0有方向，而数字0没有方向；空间向量0的长度为0。

3．三个向量a,b,c 互相平行，标出a+b+c. ‘解：分同向与反向讨论（略）。

4．如图，在三棱柱111C B A ABC -中，M 是1BB 的中点， 化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： （1）1BA CB +; （2）12
1
AA CB AC +
+; （3）CB AC AA --1
B
C
D
M
G
A
解：（1）11CA BA CB =+ （2）AA =+
+12
1
（3）11BA AA =--
（中等题）
5．如图，在长方体/
/
/
B D CA OADB -中，3,4,2,OA i OB j O
C k ===u u u r r u u u r r u u u r r
，点E,F 分别是//,B D DB 的中点，
试用向量,,表示和
解：j i OE 423
+=
242
3
++=。

6．在上题图中，试用向量k j i ,,表示和 解：EF =OE OF -=k 2， =--=--2。