2018新课标Ⅲ数学(理)解析版

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2018年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理(全国卷1,解析版)

2018年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理（全国卷1）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设，则A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：首先根据复数的运算法则，将其化简得到，根据复数模的公式，得到，从而选出正确结果.详解：因为，所以，故选C.点睛：该题考查的是有关复数的运算以及复数模的概念及求解公式，利用复数的除法及加法运算法则求得结果，属于简单题目.2. 已知集合，则A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出的解集，从而求得集合A，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果.详解：解不等式得，所以，所以可以求得，故选B.点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.3. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A. 新农村建设后，种植收入减少B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【答案】A【解析】分析：首先设出新农村建设前的经济收入为M，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项.详解：设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确；新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项正确；新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以D正确；故选A.点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果.4. 设为等差数列的前项和，若，，则A. B. C. D.【答案】B详解：设该等差数列的公差为，根据题中的条件可得，整理解得，所以，故选B.点睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差数列的通项公式得到与的关系，从而求得结果.5. 设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：利用奇函数偶此项系数为零求得，进而得到的解析式，再对求导得出切线的斜率，进而求得切线方程.详解：因为函数是奇函数，所以，解得，所以，，所以，所以曲线在点处的切线方程为，化简可得，故选D.点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.6. 在△中，为边上的中线，为的中点，则A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.详解：根据向量的运算法则，可得，所以，故选A.点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.7. 某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为A. B.C. D. 2【答案】B【解析】分析：首先根据题中所给的三视图，得到点M和点N在圆柱上所处的位置，点M在上底面上，点N 在下底面上，并且将圆柱的侧面展开图平铺，点M、N在其四分之一的矩形的对角线的端点处，根据平面上两点间直线段最短，利用勾股定理，求得结果.详解：根据圆柱的三视图以及其本身的特征，可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为，故选B.点睛：该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，需要明确两个点在几何体上所处的位置，再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就是将面切开平铺，利用平面图形的相关特征求得结果.8. 设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】D【解析】分析：首先根据题中的条件，利用点斜式写出直线的方程，涉及到直线与抛物线相交，联立方程组，消元化简，求得两点，再利用所给的抛物线的方程，写出其焦点坐标，之后应用向量坐标公式，求得，最后应用向量数量积坐标公式求得结果.详解：根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为，与抛物线方程联立，消元整理得：，解得，又，所以，从而可以求得，故选D.点睛：该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定出，之后借助于抛物线的方程求得，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M、N的坐标，应用韦达定理得到结果.9. 已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A. [–1，0）B. [0，+∞）C. [–1，+∞）D. [1，+∞）【答案】C【解析】分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果.详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.10. 下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余部分记为III．在整个图形中随机取一点，此点取自I，II，III的概率分别记为p1，p2，p3，则A. p1=p2B. p1=p3C. p2=p3D. p1=p2+p3【答案】A详解：设，则有，从而可以求得的面积为，黑色部分的面积为，其余部分的面积为，所以有，根据面积型几何概型的概率公式，可以得到，故选A.点睛：该题考查的是面积型几何概型的有关问题，题中需要解决的是概率的大小，根据面积型几何概型的概率公式，将比较概率的大小问题转化为比较区域的面积的大小，利用相关图形的面积公式求得结果.11. 已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=A. B. 3 C. D. 4【答案】B【解析】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到，根据直角三角形的条件，可以确定直线的倾斜角为或，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得，利用两点间距离同时求得的值.详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为，从而得到，所以直线的倾斜角为或，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，可以得出直线的方程为，分别与两条渐近线和联立，求得，所以，故选B.点睛：该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的距离，再分析点是怎么来的，从而得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，可以确定其渐近线方程，利用直角三角形的条件得到直线的斜率，结合过右焦点的条件，利用点斜式方程写出直线的方程，之后联立求得对应点的坐标，之后应用两点间距离公式求得结果.12. 已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果.详解：根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体中，平面与线所成的角是相等的，所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面与中间的，且过棱的中点的正六边形，且边长为，所以其面积为，故选A.点睛：该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确定截面的位置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用六边形的面积的求法，应用相关的公式求得结果.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

专题10 解三角形(正弦定理与余弦定理)(理科)解析版

绝密★启用前|满分数学命制中心专题10 解三角形（正弦定理与余弦定理）

一、选择题（每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（2020·湖南省长沙市明达中学高三二模（理）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋

c)(a－b＋c)＝ac，sinAsinC＝3-14，则角C=（） A．C＝15°或C＝45° B．C＝15°或C＝30° C．C＝60°或C＝45° D．C＝30°或C＝60° 【答案】A 【解析】因为()()abcabcac，所以222acbac．

由余弦定理得，2221cos22acbBac，因此120B，所以60AC，所以cos()coscossinsinACACAC coscossinsin2sinsinACACAC cos()2sinsinACAC

13132242，故30AC或030AC，因此，15C或45C，故选A。

2．（2020届百校联考高考考前冲刺）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现

代式子表示即为：在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，则ABC的面积

2222

21()42abcSab









.根据此公式，若cos3cos0aBbcA，且2222abc，则

ABC的面积为（）

A．2 B．22 C．6 D．23 【答案】A 【解析】由cos3cos0aBbcA得sincoscossin3sincos0ABABCA，即sin3sincos0ABCA，即sin13cos0CA，因为sin0C，所以1cos3A，由余弦定理22222cos23abcbcAbc，所以3bc，由ABC的面积公式得222222211()312424cbaSbc，故选A。 3．（2018•新课标Ⅲ，理9文11）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若ABC的面积为 2224abc

专题11 计数原理【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(解析版)

【题目栏目】计数原理\二项式定理\二项展开式通项公式的应用
【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第14题
18．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第15题)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有种．。(用数字填写答案)
【答案】16
解析：方法一：直接法，1女2男，有，2女1男，有
【题目栏目】计数原理\二项式定理\二项式定理
【题目来源】2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第8题
5．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第4题) 的展开式中的系数为()
A．12B．16C．20D．24
【答案】【答案】A
【解析】因为，所以的系数为，故选A．
【点评】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数，是常规考法。
(2)求两个多项式的积的特定项,可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．
【题目栏目】计数原理\二项式定理\二项展开式通项公式的应用
【题目来源】2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第4题
9．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第6题)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()
2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编
专题11计数原理
一、选择题
1．(2020年新高考I卷(山东卷)·第3题)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同安排方法共有()
A．120种B．90种
C．60种D．30种
【答案】C
现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：
根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种

专题18 等差数列与等比数列(解析版)

专题18 等差数列与等比数列考点58 等差数列问题1．（2020全国Ⅱ理4）北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）（）A ．3699块B ．3474块C ．3402块D ．3339块【答案】C【思路导引】第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，设n S 为{}n a 的前n 项和，由题意可得322729n n n n S S S S -=-+，解方程即可得到n ，进一步得到3n S ．【解析】设第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，9(1)99n a n n =+-⨯=，设n S 为{}n a 的前n 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为232,,n n n n n S S S S S --，因为下层比中层多729块，所以322729n n n n S S S S -=-+，即3(927)2(918)2(918)(99)7292222n n n n n n n n ++++-=-+，即29729n =，解得9n =，所以32727(9927)34022n S S +⨯===，故选C ．2．（2020浙江7）已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，公差110,a d d≤≠．记12122,,n n n b S b S S n ++*=-=∈N ，下列等式不可能成立的是（）A ．4262a a a =+B ．4262b b b =+C ．2428a a a =D ．2428b b b =【答案】B【解析】A ．由等差数列的性质可知4262a a a =+，成立；B ．4566b S S a =-=-，2323b S S a =-=，()6710891093b S S a a a a =-=-++=-，若4262b b b =+，则()6399639232a a a a a a a -=-⇔-=-，即660d d d =-⇔=，这与已知矛盾，故B 不成立；C ．()()()2242811137a a a a d a d a d =⇔+=++ ，整理为：1a d =，故C 成立；D ．()89141011121314125b S S a a a a a a =-=-++++=-，当2428b b b =时，即()263125a a a =⋅-，整理为()()()211155211a d a d a d +=-++，即2211225450a a d d ++=，0∆>，方程有解，故D 成立．综上可知，等式不可能成立的是B ，故选B ．3．（2019•新课标Ⅰ，理9）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知40S =，55a =，则( ) A ．25n a n =- B ．310n a n =- C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =-【答案】A【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由40S =，55a =，得1146045a d a d +=⎧⎨+=⎩，∴132a d =-⎧⎨=⎩，25n a n ∴=-，24n S n n =-，故选A ．4．（2018•新课标Ⅰ，理4）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若3243S S S =+，12a =，则5(a = ) A ．12- B ．10- C ．10 D ．12【答案】B【解析】n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，3243S S S =+，12a =，∴111132433(3)422a d a a d a d ⨯⨯⨯+=++++，把12a =，代入得3d =-，524(3)10a ∴=+⨯-=-，故选B ．5．（2017•新课标Ⅰ，理4）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为（） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8【答案】C【解析】由题知，∴1113424656482a d a d a d +++=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得12a =-，4d =，故选C ． 6．（2017•新课标Ⅲ，理9）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ，6a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为( ) A ．24- B ．3- C ．3 D ．8【答案】A【解析】等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．2a ，3a ，6a 成等比数列，∴2326a a a =， 2111(2)()(5)a d a d a d ∴+=++，且11a =，0d ≠，解得2d =-，{}n a ∴前6项的和为616565661(2)2422S a d ⨯⨯=+=⨯+⨯-=-，故选A ．7．（2018•新课标Ⅰ，理3）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，108a =，则100(a = ) A ．100 B ．99C ．98D ．97【答案】C【解析】由题知，195959()92922a a a S a +⨯====27，∴53a =，又108a ==d d a 5355+=+，1d ∴=，10059598a a d ∴=+=，故选C8．（2015新课标Ⅰ，文7）已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（）（A ）172 （B ）192（C ）10 （D ）12 【答案】B【解析】∵公差1d =，844S S =，∴11118874(443)22a a +⨯⨯=+⨯⨯，解得1a =12，∴1011199922a a d =+=+=，故选B ． 9．（2017新课标Ⅱ，文5）设是等差数列的前项和，若，则（） A ． B ． C ． D ．【答案】A【解析】，．故选A ． 10．（2016新课标Ⅱ，文5）等差数列{}n a 的公差是2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（） A ． (1)n n + B ． (1)n n - C ． (1)2n n + D ． (1)2n n - 【答案】A【解析】∵248,,a a a 成等比数列，∴2428a a a =，即2111(6)(2)(14)a a a +=++，解得1a =2，∴n S =2n n +，故选A ．11．（2017浙江）已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是“465+2S S S >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】Cn S {}n a n 1353a a a ++=5S =5791113533331a a a a a ++==⇒=()15535552a a S a +===【解析】∵655465()()S S S S a a d ---=-=，当0d >，可得465+2S S S >；当465+2S S S >，可得0d >．所以“0d >”是“465+2S S S >” 充分必要条件，选C ．12．（2018重庆）在等差数列{}n a 中，若244,2a a ==，则6a ＝（）A ．－1B ．0C ．1D ．6 【答案】B【解析】由等差数列的性质得，选B 42a =．13．（2015浙江）已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ．若348,,a a a 成等比数列，则（）A ．140,0a d dS >>B ．140,0a d dS <<C ．140,0a d dS ><D ．140,0a d dS <> 【答案】B【解析】由348,,a a a 成等比数列可得：2111(3)(2)(7)a d a d a d ，即1350a d ，所以153a d ，所以10a d ，又21441()422(23)023a a dS d a d dd ．14．（2017辽宁）设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a为递减数列，则（）A ．0d <B ．0d >C ．10a d <D ．10a d > 【答案】C【解析】∵数列1{2}n a a为递减数列，111111[(1)]()n a a a a n d a dn a a d =+-=+-，等式右边为关于n 的一次函数，∴10a d <．15．（2018福建）等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =（）A ．8B ．10C ．12D ．14 【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则3133S a d =+，所以12323d =⨯+，解得2d =，所以612a =． 16．（2014重庆）在等差数列{}n a 中，1352,10a a a =+=，则7a =（）A ．5B ．8C ．10D ．14 【答案】B【解析】由等差数列的性质得1735a a a a +=+，因为12a =，3510a a +=，所以78a =，选B ．64222240a a a =-=⨯-=17．（2016辽宁）下面是关于公差的等差数列{}n a 的四个命题：其中的真命题为A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】设，所以1p 正确；如果则满足已知，但并非递增所以2p 错；如果若，则满足已知，但，是递减数列，所以3p 错；，所以是递增数列，4p 正确．18．（2016福建）等差数列{}n a 中，1510a a +=，47a =，则数列{}n a 的公差为（）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】由题意有153210a a a +==，35a =，又∵47a =，∴432a a -=，∴2d =． 19．（2012辽宁）在等差数列中，已知，则该数列前11项和（）A ．58B ．88C ．143D ．176 【答案】B【解析】，而，故选B ． 20．（2011江西）设{}n a 为等差数列，公差2d =-，n S 为其前n 项和，若1011S S =，则1a =（）A ．18B ．20C ．22D ．24【答案】B【解析】由1011S S =，得1111100a S S =-=，111(111)0(10)(2)20a a d =+-=+-⨯-=．21．（2011天津）已知{}n a 为等差数列，其公差为2-，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和，0d >{}1:n p a 数列是递增数列；{}2:n p na 数列是递增数列；3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列；{}4:3n p a nd +数列是递增数列；12,p p 34,p p 23,p p 14,p p 1(1)n a a n d dn m =+-=+312n a n =-2312n na n n=-1n a n =+11n a n n=+34n a nd dn m +=+{}n a 48+=16a a 11=S 4866+=2=16=8a a a a ∴()11111611+==11=882a a S a*n N ∈，则10S 的值为A ．－110B ．－90C ．90D ．110【答案】D【解析】因为7a 是3a 与9a 的等比中项，所以2739a a a =，又数列{}n a 的公差为2-，所以2111(12)(4)(16)a a a -=--，解得120a =，故20(1)(2)222n a n n =+-⨯-=-，所以1101010()5(202)1102a a S +==⨯+=．22．（2020北京8）在等差数列{n a }中，19a =-，51a =-，记12(1,2,)n n T a a a n =⋯=⋯，则数列{n T }（）A ．有最大项，有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项【答案】A【解析】设公差为d ，a 5-a 1=4d ，即d=2，a n =2n -11，1≤n ≤5使，a n ＜0，n ≥6时，a n ＞0，所以n=4时，T n ＞0，并且取最大值；n=5时，T n ＜0；n ≥6时，T n ＜0，并且当n 越来越大时，T n 越来越小，所以T n 无最小项．故选A ．23．（2020上海7）已知等差数列{}n a 的首项10a ≠，且满足1109a a a +=，则12910a a a a ++⋯+= ．【答案】278【解析】由条件可知111298a d a d a d +=+⇒=-，()112951010194 (92727)988a d a a a a d a a a d d ++++====+．故答案为：278． 24．（2019•新课标Ⅲ，理14）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若10a ≠，213a a =，则105S S = ．【答案】4【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则由10a ≠，213a a =可得，12d a =，∴1011051510()5()S a a S a a +=+ 112(29)24a d a d +=+11112(218)428a a a a +==+．25．（2015•新课标Ⅱ，理16）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S = ．【答案】1n-【解析】11n n n a S S ++=，11n n n n S S S S ++∴-=，∴1111n n S S +-=，又11a =-，即111S =-，∴数列1{}n S 是以首项是1-、公差为1-的等差数列，∴1n n S =-，1n S n∴=-．26．（2015安徽）已知数列}{n a 中，11=a ，211+=-n n a a (2n ≥)，则数列}{n a 的前9项和等于______．【答案】27【解析】∵11a =，11(2)2n n a a n -=+≥，所以数列{}n a 是首项为1，公差为12的等差数列，所以前9项和998192722S ⨯=+⨯=． 27．（2019江苏8）已知数列是等差数列，是其前n 项和．若，则的值是．【答案】16【解析】设等差数列的首项为，公差为，则，解得，所以． 28．（2019北京理10）设等差数列的前n 项和为，若，则 ________ ．的最小值为_______．【答案】0，-10 【解析】由题意得，，解得，所以．因为是一个递增数列，且，所以的最小值为或，． 29．(2018北京)设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为___．【答案】14【解析】解法一设{}n a 的公差为d ，首项为1a ，则111205614a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩，解得142a d =-⎧⎨=⎩，所以7767(4)2142S ⨯=⨯-+⨯=．*{}()n a n ∈N n S 25890,27a a a S +==8S {}n a 1a d 1111()(4)70989272a d a d a d a d ++++=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩152a d =-⎧⎨=⎩818786(5)152162dS a ⨯=+=⨯-+⨯={}n a n S 25310a S =-=-，5a =n S 2151351010a a d S a d =+=-⎧⎨=⋅+=-⎩141a d =-⎧⎨=⎩5140a a d =+={}n a 50a =n S 4S 5S ()4543441102S S ⨯==-⨯+⨯=-解法二 32714a d +=，所以2d =．故432a a d =+=，故7477214S a ==⨯=．30．(2018上海)记等差数列{}n a 的前几项和为n S ，若30a =，6714a a +=，则7S = ．【答案】63n a n =-【解析】设等差数列的公差为d ，251146536a a a d a d d +=+++=+=，∴6d =，∴3(1)663n a n n =+-⋅=-．31．（2015广东）在等差数列{}n a 中，若3456725a a a a a ++++=，则28a a += ．【答案】10【解析】由3456725a a a a a ++++=得5525a ，所以55a ，故285210a a a ．32．（2014北京）若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =__时{}n a 的前n 项和最大．【答案】8【解析】 ∵数列{}n a 是等差数列，且789830a a a a ++=>，80a >．又710890a a a a +=+<，∴90a <．当n =8时，其前n 项和最大．33．（2014江西）在等差数列{}n a 中，71=a ，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8=n 时n S 取最大值，则d 的取值范围_________．【答案】7(1,)8--【解析】由题意可知，当且仅当8=n 时n S 取最大值，可得8900d a a <⎧⎪>⎨⎪<⎩，解得718d -<<-．34．（2013广东）在等差数列中，已知，则_____．【答案】20【解析】依题意，所以． 35．（2012北京）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．若112a =，23S a =，则2a = ；n S = ．{}n a 3810a a +=573a a +=12910a d +=()57111334641820a a a d a d a d +=+++=+=【答案】1，(1)4n n + 【解析】设公差为d ，则1122a d a d +=+，把112a =代入得12d =，∴21a =，n S =1(1)4n n + 36．（2012江西）设数列{},{}n n a b 都是等差数列，若117a b +=，3321a b +=，则55a b +=___________．【答案】35【解析】因为数列{},{}n n a b 都是等差数列，所以数列{}n n a b +也是等差数列．故由等差中项的性质，得()()()5511332a b a b a b +++=+，即()557221a b ++=⨯，解得5535a b +=．37．（2012广东）已知递增的等差数列{}n a 满足11a =，2324a a =-，则n a =____．【答案】21n a n =-【解析】221321,412(1)4a a a d d ==-⇔+=+-221n d a n ⇔=⇔=-38．（2011广东）等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和．若11a =，40k a a +=，则k =_________．【答案】10【解析】设{}n a 的公差为d ，由94S S =及11a =，得9843914122d d ⨯⨯⨯+=⨯+，所以16d =-．又40k a a +=，所以11[1(1)()][1(41)()]066k +-⨯-++-⨯-=，即10k =．39．（2019•新课标Ⅰ，文18）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知95S a =-．（1）若34a =，求{}n a 的通项公式；（2）若10a >，求使得nn a S ≥的n 的取值范围．【解析】（1）根据题意，等差数列{}n a 中，设其公差为d ，若95S a =-，则19955()992a a S a a +⨯===-，变形可得50a =，即140a d +=，若34a =，则5322a a d -==-，则3(3)210n a a n d n =+-=-+，（2）若nn a S ≥，则d n a d n n na )1(2)1(11-+≥-+，当1n =时，不等式成立，当2≥n 时，有12a d nd-≥，变形可得12)2(a d n -≥-，又由95S a =-，即19955()992a a S a a +⨯===-，则有50a =，即140a d +=，则有112)4)(2(a a n -≥--，又由10a >，则有10≤n ，则有102≤≤n ，综合可得：102≤≤n ，n N ∈．40．（2018•新课标Ⅱ，理（文）17）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求n S 的最小值．【解析】（1）等差数列{}n a 中，17a =-，315S =-， 17a ∴=-，13315a d +=-，解得17a =-，2d =， 72(1)29n a n n ∴=-+-=-；（2）17a =-，2d =，29n a n =-，22211()(216)8(4)1622n n n S a a n n n n n ∴=+=-=-=--，∴当4n =时，前n 项的和n S 取得最小值为16-．41．（2016•新课标Ⅱ，文17）等差数列{}n a 中，344a a +=，576a a +=．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设[]n n b a =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]0=，[2.6]2=．【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ， 344a a +=，576a a +=．∴112542106a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得：1125a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，2355n a n ∴=+；（Ⅱ）[]n n b a =，1231b b b ∴===， 452b b ==， 6783b b b ===， 9104b b ==．故数列{}n b 的前10项和103122332424S =⨯+⨯+⨯+⨯=．42．（2013新课标Ⅱ，文17）已知等差数列{}n a 的公差不为零，125a =，且11113,,a a a 成等比数列．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅰ）求14732+n a a a a -++⋅⋅⋅+；【解析】（Ⅰ）设{n a }的公差为d ，由题意，211a =113a a ，即2111(10)(12)a d a a d +=+，∵125a =，∴d =0（舍去）或d =-2， ∴n a 227n -+；（Ⅱ）令n S =14732n a a a a -++++由（Ⅰ）知，32n a -=631n -+，∴{32n a -}是首项为25，公差为-6的等差数列， ∴n S =132()2n n a a -+=(656)2nn -+=2328n n -+．考点59等比数列问题1．（2020全国Ⅰ文10）设{}n a 是等比数列，且1232341,+2a a a a a a ++=+=，则678a a a ++=（） A ．12 B ．24 C ．30 D ．32 【答案】D【思路导引】根据已知条件求得q 的值，再由()5678123a a a qa a a ++=++可求得结果．【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q ∴++=++=++==，故选D ．2．（2020全国Ⅱ文6）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和．若,24,124635=-=-a a a a 则=nna S（）A ．12-nB ．n--122 C ．122--n D ．121--n【答案】B【思路导引】根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前n 项和公式进行求解即可．【解析】设等比数列的公比为q ，由536412,24a a a a -=-=可得：421153111122124a q a q q a a q a q ⎧-==⎧⎪⇒⎨⎨=-=⎪⎩⎩， ∴1111(1)122,21112n n n n nn n a q a a qS q ----=====---，因此1121222n n n n n S a ---==-，故选B ．3．（2020全国Ⅱ理6）数列}{n a 中，21=a ，n m n m a a a =+，若515102122-=++++++k k k a a a ，则=k（）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】C【思路导引】取1m =，可得出数列{}n a 是等比数列，求得数列{}n a 的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于k 的等式，由k *∈N 可求得k 的值．【解析】在等式m n m n a a a +=中，令1m =，可得112n n n a a a a +==，12n na a +∴=，所以，数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，则1222n nn a -=⨯=，()()()()1011011105101210122122212211212k k k k k k a a a a ++++++⋅-⋅-∴+++===-=---，1522k +∴=，则15k +=，解得4k =．故选：C ．4．（2019•新课标Ⅲ，理5）已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =（） A ．16 B ．8C ．4D ．2【答案】C【解析】设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >，则由前4项和为15，且53134a a a =+，有231111421111534a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎪⎨=+⎪⎩，∴112a q =⎧⎨=⎩，∴2324a ==，故选C ． 5．（2017•新课标Ⅱ，理3）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏【答案】B【解析】设塔顶的1a 盏灯，由题意{}n a 是公比为2的等比数列，717(12)38112a S -∴==-，解得13a =，故选B ．6．（2015•新课标Ⅱ，理4）已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357(a a a ++= ) A ．21B ．42C ．63D ．84【解析】13a =，13521a a a ++=，∴241(1)21a q q ++=，4217q q ∴++=，4260q q ∴+-=， 22q ∴=，2463571()3(248)42a a a a q q q ∴++=++=⨯++=，故选B ．7．（2015新课标Ⅱ，文9）已知等比数列满足，，则（）【答案】C【解析】由题意可得，所以，故，选C ．8．（2013新课标Ⅰ，文6）设首项为1，公比为23的等比数列{n a }的前n 项和为n S ，则 A ．n S =21n a - B ．n S =32n a - C ．n S =43n a - D ．n S =32n a -【答案】D【解析】n S =213213na --=32n a -，故选D 9．（2013新课标Ⅱ，理3）等比数列{n a }的前n 项和为n S ，已知32110S a a =+，5a =9，，则1a ={}n a 114a =()35441a a a =-2a =A.2 B.11C.21D.8()235444412a a a a a ==-⇒=34182a q q a ==⇒=2112a a q ==A ．13 B ．13- C ．19 D ．19- 【答案】C ．【解析】由题知123a a a ++=2110a a +，即2119a q a =，即29q =，又9=5a =41a q ，∴1a =19，故选C ． 10．（2012新课标，理5）已知数列{n a }为等比数列，47a a +=2，56a a =－8，则110a a +=A ．7B ．5C ．－5D ．－7【答案】D ．【解析】∵47a a =56a a =－8，47a a +=2，∴4a =4，7a =－2，或4a =－2，7a =4，当4a =4，7a =－2时，3q =－12，110a a +=6443a a q q +=-7，当4a =－2，7a =4时，3q =－2，110a a +=6443a a q q+=－7，故选D ． 11．（2013大纲）已知数列满足12430,3n n a a a ++==-，则的前10项和等于 A ．106(13)--- B ．101(13)9- C ．103(13)-- D ．103(13)-+【答案】C【解析】∵113n n a a +=-，∴是等比数列，又243a =-，∴14a =，∴()1010101413313113S -⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==-+，故选C ．12．(2018北京) “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122．若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 A B C ．D ．【答案】D【解析】从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于率为f ，由等比数列的概念可知，这十三个单音的频率构成一个首项为f ，公比为{}n a ，则第八个单音频率为818a f -=⋅=，故选D ．{}n a {}n a {}n a13．(2018浙江)已知1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则A ．13a a <，24a a <B ．13a a >，24a a <C ．13a a <，24a a >D ．13a a >，24a a >【答案】B【解析】因为ln 1x x -≤(0x >)，所以1234123ln()a a a a a a a +++=++1231a a a ++-≤，所以41a -≤，又11a >，所以等比数列的公比0q <．若1q -≤，则212341(1)(10a a a a a q q +++=++）≤，而12311a a a a ++>≥，所以123ln()0a a a ++>，与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾，所以10q -<<，所以2131(1)0a a a q -=->，2241(1)0a a a q q -=-<，所以13a a >，24a a <，故选B ．14．（2014重庆）对任意等比数列，下列说法一定正确的是A ．139,,a a a 成等比数列B ．236,,a a a 成等比数列C ．248,,a a a 成等比数列D ．269,,a a a 成等比数列【答案】D【解析】由等比数列的性质得，23960a a a ⋅=≠，因此269,,a a a 一定成等比数列．15．（2017北京）已知{}n a 为等比数列．下面结论中正确的是A ．1322a a a + B ．2221322a a a +C ．若13a a =，则12a a =D ．若31a a >，则42a a > 【答案】B【解析】取特殊值可排除A 、C 、D ，由均值不等式可得2221313222a a a a a +⋅=．16．（2011辽宁）若等比数列{}n a 满足116nn n a a +=，则公比为A ．2B ．4C ．8D ．16{}n a【答案】B【解析】由116nn n a a +=，得11216n n n a a +++=，两式相除得1121161616n n n n n n a a a a ++++==，∴216q =，∵116nn n a a +=，可知公比q 为正数，∴4q =．17．（2019•新课标Ⅰ，理14）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和．若113a =，246a a =，则5S = ．【答案】1213【解析】在等比数列中，由246a a =，得625110q a q a =>，即0q >，3q =，则551(13)1213133S -==-．18．（2019•新课标Ⅰ，文14）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若11a =，334S =，则4S = ．【答案】58【解析】等比数列{}n a 的前n 项和，11a =，334S =，1q ∴≠，31314q q -=-，整理可得，2104q q ++=，解可得，12q =-，则4411151611812q S q --===-+． 19．（2015新课标Ⅰ，文13）数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = ．【答案】6【解析】∵112,2n n a a a +==，∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，∴2(12)12612n n S -==-，∴264n =，∴n=6．．20．（2017•新课标Ⅲ，理14）设等比数列{}n a 满足121a a +=-，133a a -=-，则4a = ．【答案】8-【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，121a a +=-，133a a -=-，1(1)1a q ∴+=-，21(1)3a q -=-，解得11a =，2q =-，则34(2)8a =-=-．21．(2012新课标，文14)等比数列{n a }的前n 项和为S n ，若S 3+3S 2=0，则公比q =_______ 【答案】-2【解析】当q =1时，3S =13a ，2S =12a ，由S 3+3S 2=0得，19a =0，∴1a =0与{n a }是等比数列矛盾，故q≠1，由S 3+3S 2=0得，3211(1)3(1)011a q a q q q--+=--，解得q =－2． 22．（2017江苏）等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项的和为n S ，已知374S =，6634S =，则8a = ．【答案】32【解析】设{}n a 的公比为q ，由题意1q ≠，由636331191S q q S q-==+=-，所以2q =，由313(1)714a q S q -==-，得114a =，所以77581122324a a q ==⨯==． 23．（2017北京）若等差数列{}n a 和等比数列{}nb 满足111a b ==-，448a b ==，则22a b =_____．【答案】1【解析】设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，由题意3138d q -+=-=，所以3d =，2q =-，所以22131(2)a b -+==--． 24．（2016年浙江）设数列{}n a 的前n 项和为n S ．若24S =，121n n a S +=+，*n N ∈，则1a = ，5S = ．【答案】．1 121 【解析】由于1221421a a a a +=⎧⎨=+⎩，解得11a =，由1121n n n n a S S S ++=-=+，所以1113()22n n S S ++=+，所以1{}2n S +是以32为首项，3为公比的等比数列，所以113322n n S -+=⨯，所以5121S =．25．（2015安徽）已知数列{}n a 是递增的等比数列，14329,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于．【答案】21n【解析】由题意，，解得或，而数列是递增的等比数列，所以，即，所以，因而数列的前项和．26．（2014广东）等比数列的各项均为正数，且，则________．【答案】5【解析】由等比数列的性质可知215243a a a a a ==，于是，由得32a =，故1234532a a a a a =，则2123452log ()log 325a a a a a ==．27．（2014广东）若等比数列的各项均为正数，且，则．【答案】50【解析】因是等比数列，∴1201011912a a a a a a ==，由得∴5120a a e =，∴101220120ln()ln()a a a a a ⋅⋅⋅==50．28．（2014江苏）在各项均为正数的等比数列中，，则的值是．【答案】4【解析】设等比数列的公比为q ，0q >．则8642a a a =+，即为424442a q a q a =+，解得22q =（负值舍去），又21a =，所以4624a a q =．29．（2013广东）设数列是首项为，公比为的等比数列，则．【答案】15【解析】12341,2,4,8a a a a ==-==-，∴ 15．30．（2013北京）若等比数列{}n a 满足24a a +=20，35a a +=40，则公比q = ；前n 项和n S = ．14231498a a a a a a +=⎧⎨⋅=⋅=⎩141,8a a ==148,1a a =={}n a 141,8a a ==3418a q a ==2q ={}n a n 1(1)1221112n n n n a q S q --===---{}n a 154a a =2122232425log +log +log +log +log =a a a a a 154a a =2122232425log +log +log +log +log =a a a a a {}n a 512911102e a a a a =+1220ln ln ln a a a +++={}n a 512911102e a a a a =+1220ln ln ln a a a +++=}{n a ,12=a 4682a a a +=6a }{n a {}n a 12-1234||||a a a a +++=1234||||a a a a +++=【答案】12,22n +-【解析】由35a a +=()24q a a +得2q =；()()3241a a a q q +=+=20，得12a =；∴()12122212n n n S +-==--．31．（2013江苏）在正项等比数列中，，．则满足的最大正整数的值为．【答案】12【解析】设正项等比数列首项为1a ，公比为q ，则：，得：1a ＝132，q ＝2，62nn a -=．记，．，则，化简得：，当时，．当n ＝12时，，当n ＝13时，，故max 12n =．32．（2012江西）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比不为1．若11a =，且对任意的n N +∈ 都有2120n n n a a a +++-=，则5S =_________________．【答案】11【解析】由2120n n n a a a +++-=，可得220n n n a q a q a +-=，由11a =可知0,1n a q ≠≠，求得公比2q =-，可得5S =11．33．（2012辽宁）已知等比数列为递增数列，若，且，则数列的公比．【答案】2【解析】因为数列为递增数列，且．34．（2012浙江）设公比为(0)q q >的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若2232S a =+，{}n a 215=a 376=+a a n n a a a a a a a a ......321321>++++n }{n a ⎪⎩⎪⎨⎧=+=3)1(215141q q a q a 521212-=+++=n n n a a a T 2)1(212nn n n a a a -==∏ n n T ∏>2)1(52212n n n ->-5211212212+->-n n n5211212+->n n n 12212113≈+=n 1212∏>T 1313∏<T }{n a 01>a 125)(2++=+n n n a a a {}n a =q 222112()5,2(1)5,2(1)5,22n n n n n a a a a q a q q q q q +++=∴+=∴+===解得或10,1,2a q q >>∴=所以4432S a =+，则q = ．【答案】32【解析】依题意可得，2112111443311111(1)32232201(1)23220321a q a q a q a q a q q a q a q a q a q a q q⎧-=+⎪⎧-++-=-⎪⎪⇒⎨⎨--++-=⎪⎪⎩=+⎪-⎩ 两式相减可得423111122330a q a q a q a q --+=，即42322330q q q q --+=，解得1q =±（舍）或0q =或32q =．因为0q >，所以32q =． 35．（2011北京）在等比数列{}n a 中，112a =，44a =-，则公比q =_____ _________；12...n a a a +++=____________．【答案】2 1122n --【解析】341a a q =得3142q =，解得2q =，1121(12)122122n n n a a a --++⋅⋅⋅+==--．36．（2017•新课标Ⅱ，文17）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，11a =-，11b =，222a b +=．（1）若335a b +=，求{}n b 的通项公式；（2）若321T =，求3S ．【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ， 11a =-，11b =，222a b +=，335a b +=，可得12d q -++=，2125d q -++=，解得1d =，2q =或3d =，0q =（舍去），则{}n b 的通项公式为12n n b -=，*n N ∈；（2）11b =，321T =，可得2121q q ++=，解得4q =或5-，当4q =时，24b =，2242a =-=-，2(1)1d =---=-，31236S =---=-；当5q =-时，25b =-，22(5)7a =--=， 7(1)8d =--=，3171521S =-++=．37．（2018•新课标Ⅰ，文17）已知数列{}n a 满足11a =，12(1)n n na n a +=+，设nn a b n=．（1）求1b ，2b ，3b ；（2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明文由；（3）求{}n a 的通项公式．【解析】（1）数列{}n a 满足11a =，12(1)n n na n a +=+，则：112n n a n a n ++=（常数），由于nn a b n=，故：12n nb b +=，数列{}n b 是以1b 为首项，2为公比的等比数列．整文得：11122n n n b b --==，所以：11b =，22b =，34b =．（2）数列{}n b 是为等比数列，由于12n nb b +=（常数）；（3）由（1）得：12n n b -=，根据nn a b n=，所以：12n n a n -=．38．（2018•新课标Ⅲ，理文17）等比数列{}n a 中，11a =，534a a =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ．【解析】（1）等比数列{}n a 中，11a =，534a a =． 4214(1)q q ∴⨯=⨯⨯，解得2q =±，当2q =时，12n n a -=，当2q =-时，1(2)n n a -=-，{}n a ∴的通项公式为，12n n a -=，或1(2)n n a -=-．（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．当11a =，2q =-时，1(1)1(2)1(2)11(2)3n n nn a q S q -----===---，由63m S =，得1(2)633mm S --==，m N ∈，无解；当11a =，2q =时，1(1)1221112n nn n a q S q --===---，由63m S =，得2163m m S =-=，m N ∈，解得6m =．考点60等差数列与等比数列的综合问题1．（2020江苏11）设{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列，已知{}n n a b +的前n 项和2*21()n n S n n n N =-+-∈，则d q +的值是________．【答案】3【解析】∵{}n n a b +的前n 项和2*21()n n S n n n N =-+-∈，当1n =时，111a b +=；当2n ≥时，11222n n n n n a b S S n --+=-=-+，∴224a b +=，从而有2211()()3d q a b a b +=+-+=．2．（2016课标卷1，理15）设等比数列满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为．【答案】64【解析】由5=q a a q a a 10)(3142=+=+，解得q =21，所以10)21(211=+a a ，解得1a =8，所以数列}{n a 是递减数列，因为1314==q a a ，所以22(1)73123(1)22212118()222n n n n n nn nn nn a a a a q ----+++⋯+-⋯====，当3n =或4时，表达式取得最大值：12622264==．3．（2013重庆）已知是等差数列，，公差，为其前项和，若成等比数列，{}n a 11a =0d ≠n S n 125,,a a a则．【答案】64【解析】由且成等比数列，得2111(4)()a a d a d +=+，解得2d =，故81878642S a d ⨯=+=．4．（2011江苏）设7211a a a ≤≤≤≤ ，其中7531,,,a a a a 成公比为q 的等比数列，642,,a a a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________．【解析】设2a t =，则23112t q t q t q ++≤≤≤≤≤≤，由于1t ≥，所以max{q t ≥，故q．5．（2017•新课标Ⅰ，文17）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和．已知22S =，36S =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并判断1n S +，n S ，2n S +是否成等差数列．【解析】（1）设等比数列{}n a 首项为1a ，公比为q ，则332628a S S =-=--=-，则31228a a q q -==，328a a q q-==，由122a a +=，2882q q--+=，整理得：2440q q ++=，解得：2q =-，则12a =-，1(2)(2)(2)n n n a -=--=-， {}n a ∴的通项公式(2)n n a =-；（2）由（1）可知：11(1)2[1(2)]1[2(2)]11(2)3n n n n a q S q +----===-+----，则211[2(2)]3n n S ++=-+-，321[2(2)]3n n S ++=-+-，由231211[2(2)][2(2)]33n n n n S S +++++=-+--+-，1211[4(2)(2)(2)(2)]3n n ++=-+-⨯-+-⨯-， 1111[42(2)]2[(2(2))]33n n ++=-+-=⨯-+-，2n S =，即122n n n S S S +++=，1n S +∴，n S ，2n S +成等差数列．8_____S =11a =125,,a a a6．（2019•新课标Ⅱ，理19）已知数列{}n a 和{}n b 满足11a =，10b =，1434n n n a a b +=-+，1434n n n b b a +=--．（1）证明：{}n n a b +是等比数列，{}n n a b -是等差数列；（2）求{}n a 和{}n b 的通项公式．【解析】（1）证明：1434n n n a a b +=-+，1434n n n b b a +=--； 114()2()n n n n a b a b ++∴+=+，114()4()8n n n n a b a b ++-=-+；即111()2n n n n a b a b +++=+，112n n n n a b a b ++-=-+；又111a b +=，111a b -=， {}n n a b ∴+是首项为1，公比为12的等比数列， {}n n a b -是首项为1，公差为2的等差数列；（2）由（1）可得：11()2n n n a b -+=，12(1)21n n a b n n -=+-=-；11()22n n a n ∴=+-，11()22n n b n =-+．7．（2019•新课标Ⅱ，文18）已知{}n a 的各项均为正数的等比数列，12a =，32216a a =+．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和．【解析】（1）设等比数列的公比为q ，由12a =，32216a a =+，得22416q q =+，即2280q q --=，解得2q =-（舍)或4q =．∴11211242n n n n a a q ---==⨯=；（2）2122log 221n n n b a log n -===-， 11b =，12(1)1212n n b b n n +-=+--+=，∴数列{}n b 是以1为首项，以2为公差的等差数列，则数列{}n b 的前n 项和2(1)212n n n T n n -⨯=⨯+=． 8．（2016•新课标Ⅰ，文17）已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 满足11b =，213b =，11n n n n a b b nb +++=．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求{}n b 的前n 项和．【解析】（Ⅰ）11n n n n a b b nb +++=．当1n =时，1221a b b b +=．11b =，213b =，12a ∴=，又{}n a 是公差为3的等差数列， 31n a n ∴=-，（Ⅱ）由()I 知：11(31)n n n n b b nb ++-+=．即13n n b b +=．即数列{}n b 是以1为首项，以13为公比的等比数列，{}n b ∴的前n 项和111()3313(13)1222313nn n n S ---==-=--． 9．（2011课标，文17）已知等比数列{n a }中，1a =13，公比q =13．（Ⅰ）n S 为{n a }的前n 项和，证明：n S =12na -；（Ⅱ）设nb =31323log log log n a a a +++，求数列{n b }的通项公式．【解析】（Ⅰ）因为.31)31(311n n n a =⨯=- n S =11(1)33113n --=1132n-=12n a - （Ⅰ）n n a a a b 32313log log log +++= )21(n +++-= 2)1(+-=n n所以}{n b 的通项公式为.2)1(+-=n n b n 10．（2018天津）设{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S (*n ∈N )；{}n b 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为n T (*n ∈N )．已知11b =，322b b =+，435b a a =+，5462b a a =+．(1)求n S 和n T ；(2)若12()4n n n n S T T T a b +++⋅⋅⋅+=+，求正整数n 的值．【解析】(1)设等比数列{}n b 的公比为q ，由11b =，322b b =+，可得220q q --=．因为0q >，可得2q =，故12n n b -=．所以122112nn n T -==--．设等差数列{}n a 的公差为d ．由435b a a =+，可得134a d +=．由5462b a a =+，可得131316,a d += 从而11,1a d ==，故n a n =，所以(1)2n n n S +=． (2)由(1)，知13112(222)2 2.n n n T T T n n ++++=+++-=--由12()4n n n n S T T T a b ++++=+可得11(1)2222n n n n n n ++++--=+，整理得2340n n --=，解得1n =-（舍），或4n =．所以n 的值为4．11．（2015四川）设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列1{}n a 的前n 项和n T ，求得1|1|1000n T -<成立的n 的最小值．【解析】（1）由已知12n n s a a =-有()11222n n n n n a s s a a n --=-=-≥，即()122n n a a n -=≥，从而．又因为成等差数列，即．所以，解得．所以，数列是首项为2，公比为2的等比数列．故．（2）由（1）得112n n a =．所以2311[1()]1111122112222212n n n nT -=++++==--． 21312,4a a a a ==123,1,a a a +1322(1)a a a +=+11142(21)a a a +=+12a ={}n a 2nn a =由1|1|1000n T -<，得11|11|21000n --<，即21000n>．因为9102512100010242=<<=，所以10n ≥．于是，使1|1|1000n T -<成立的n 的最小值为10． 12．（2014福建）在等比数列{}n a 中，253,81a a ==．（Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）设3log nn b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【解析】(Ⅰ)设{}n a 的公比为q ，依题意得141381a q a q =⎧⎨=⎩，解得113a q =⎧⎨=⎩，因此，13n n a -=．（Ⅱ）因为3log 1n n b a n ==-，∴数列{}n b 的前n 项和21()22n n n b b n nS +-==． 13．（2014江西）已知数列{}n a 的前n 项和*∈-=N n nn S n ，232．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：对任意1>n ，都有*∈N m ，使得m n a a a ，，1成等比数列．【解析】（Ⅰ）因为232n n nS -=，所以1a 11S ==，当2n ≥时132,n n n a S S n -=-=- 又1n =时，所以数列n a 的通项公式为32,n a n =-（Ⅱ）要使得m n a a a ，，1成等比数列，只需要21n m a a a =，即22(32)1(32),342n m m n n -=⨯-=-+即．而此时*∈N m ，且,m n >所以对任意1>n ，都有*∈N m ，使得m n a a a ，，1成等比数列． 14． (2012山东)已知等差数列的前5项和为105，且．（Ⅰ）求数列的通项公式；{}n a 1052a a ={}n a（Ⅱ）对任意，将数列中不大于的项的个数记为．求数列的前m 项和．【解析】（Ⅰ）由已知得：解得，所以通项公式为．（Ⅱ）由，得，即．∵， ∴是公比为49的等比数列，∴． 15．（2012湖南）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50％．预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为n a 万元．（Ⅰ）用d 表示12,a a ，并写出与n a 的关系式；（Ⅱ）若公司希望经过m （m ≥3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d 的值（用m 表示）．【解析】（Ⅰ）由题意得，，．（Ⅱ）由（Ⅰ）得． *m ∈N {}n a 27m m b {}m b m S 111510105,92(4),a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩17,7a d ==7(1)77n a n n =+-⋅=277m n a n =≤217m n -≤217m m b -=211217497m k m k b b ++-=={}m b 7(149)7(491)14948m m m S -==--1n a +12000(150%)3000a d d =+-=-2113(150%)2a a d a d =+-=-13(150%)2n n n a a d a d +=+-=-132n n a a d -=-2233()22n a d d -=--233()22n a d d -=--=12213333()1()()2222n n a d --⎡⎤=-++++⎢⎥⎣⎦。

2018年高考真题理科数学(北京卷) Word版含解析

绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合A={x||x|<2}，B={–2，0，1，2}，则A B=A. {0，1}B. {–1，0，1}C. {–2，0，1，2}D. {–1，0，1，2}【答案】A【解析】分析：先解含绝对值不等式得集合A，再根据数轴求集合交集.详解：因此A B=，选A.点睛：认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.2. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】分析：将复数化为最简形式，求其共轭复数，找到共轭复数在复平面的对应点，判断其所在象限.详解：的共轭复数为对应点为，在第四象限，故选D.点睛：此题考查复数的四则运算，属于送分题，解题时注意审清题意，切勿不可因简单导致马虎丢分.3. 执行如图所示的程序框图，输出的s值为A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：初始化数值，执行循环结构，判断条件是否成立，详解：初始化数值循环结果执行如下：第一次：不成立；第二次：成立，循环结束，输出，故选B.点睛：此题考查循环结构型程序框图，解决此类问题的关键在于：第一，要确定是利用当型还是直到型循环结构；第二，要准确表示累计变量；第三，要注意从哪一步开始循环，弄清进入或终止的循环条件、循环次数.4. “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解. 详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以，又，则故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若（）或（），数列是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列中，且（），则数列是等比数列.5. 某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数.详解：由三视图可得四棱锥，在四棱锥中，，由勾股定理可知：，则在四棱锥中，直角三角形有：共三个，故选C.点睛：此题考查三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原，分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进行棱长、表面积、体积等相关问题的求解.6. 设a，b均为单位向量，则“”是“a⊥b”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】分析：先对模平方，将等价转化为0，再根据向量垂直时数量积为零得充要关系.详解：，因为a，b均为单位向量，所以a⊥b，即“”是“a⊥b”的充分必要条件.选C.点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．7. 在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线的距离，当θ，m变化时，d的最大值为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】分析：P为单位圆上一点，而直线过点A（2，0），则根据几何意义得d的最大值为OA+1.详解：P为单位圆上一点，而直线过点A（2，0），所以d的最大值为OA+1=2+1=3,选C.点睛：与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．8. 设集合则A. 对任意实数a，B. 对任意实数a，（2，1）C. 当且仅当a<0时，（2，1）D. 当且仅当时，（2，1）【答案】D【解析】分析：求出及所对应的集合，利用集合之间的包含关系进行求解.详解：若，则且，即若，则，此命题的逆否命题为：若，则有，故选D.点睛：此题主要结合充分与必要条件考查线性规划的应用，集合法是判断充分条件与必要条件的一种非常有效的方法，根据成立时对应的集合之间的包含关系进行判断. 设，若，则；若，则，当一个问题从正面思考很难入手时，可以考虑其逆否命题形式.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

数学(理)知识清单-专题15 椭圆、双曲线、抛物线(考点解读)(原卷+解析版)

抛物线 y2＝4 7x 的准线上，则双曲线的方程为( )
A. x2 － y2 ＝1 21 28
C.x2－y2＝1 34
B. x2 － y2 ＝1 28 21
D.x2－y2＝1 43
1.【2019
年全国Ⅲ卷】设
F1，F2
为椭圆
C:
x2 36
+
y2 20
1
的两个焦点，M
为
C
上一点且在第一象限.若
△MF1F2 为等腰三角形，则 M 的坐标为___________.
准线通径渐近线
|AB|＝2b2 a
二、误区警示
e＝ca＝ 1＋ba22(e>1) y＝±bx
a
e＝1 x＝－p2 |AB|＝2p
1．求椭圆、双曲线方程时，注意椭圆中 c2＝a2＋b2，双曲线中 c2＝a2－b2 的区别．
2．注意焦点在 x 轴上与 y 轴上的双曲线的渐近线方程的区别．
3．平行于双曲线渐近线的直线与双曲线有且仅有一个交点；平行于抛物线的轴的直线与抛物线有且仅
B. 3 D.2 3 3
【变式探究】已知双曲线
x2 4
y2 b2
=1 （b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲
线的两条渐近线相交于 A、B、C、D 四点，四边形的 ABCD 的面积为 2b，则双曲线的方程为（）
A x2 3y2 =1 44
B x2 4 y2 =1 43
C
x2 4
y2 b2
=1
D x2 y2 =1 4 12
【变式探究】若双曲线
E：x2－ y2 ＝1 9 16
的左、右焦点分别为
F1，F2，点
P
在双曲线

2018年北京市高考数学试卷(理科) word版含参考答案及解析

2018年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．（5分）已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣2，0，1，2}，则A∩B=（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1}C．{﹣2，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2} 2．（5分）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．B．C．D．4．（5分）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（）A． f B． f C． f D．f5．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．46．（5分）设，均为单位向量，则“|﹣3|=|3+|”是“⊥”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x﹣my﹣2=0的距离．当θ、m变化时，d的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）设集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}，则（）A．对任意实数a，（2，1）∈A B．对任意实数a，（2，1）∉AC．当且仅当a＜0时，（2，1）∉A D．当且仅当a≤时，（2，1）∉A二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9．（5分）设{a n}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则{a n}的通项公式为．10．（5分）在极坐标系中，直线ρcosθ+ρsinθ=a（a＞0）与圆ρ=2cosθ相切，则a=．11．（5分）设函数f（x）=cos（ωx﹣）（ω＞0），若f（x）≤f（）对任意的实数x都成立，则ω的最小值为．12．（5分）若x，y满足x+1≤y≤2x，则2y﹣x的最小值是．13．（5分）能说明“若f（x）＞f（0）对任意的x∈（0，2]都成立，则f（x）在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是．14．（5分）已知椭圆M：+=1（a＞b＞0），双曲线N：﹣=1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为；双曲线N的离心率为．三、解答题共6小题，共80分。

2018年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含答案及解析)

2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）设z=+2i，则|z|=（）A．0B．C．1D．2．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，则∁R A=（）A．{x|﹣1＜x＜2}B．{x|﹣1≤x≤2}C．{x|x＜﹣1}∪{x|x＞2}D．{x|x≤﹣1}∪{x|x≥2}3．（5分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（）A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（）A．﹣12B．﹣10C．10D．125．（5分）设函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）A．y=﹣2x B．y=﹣x C．y=2x D．y=x6．（5分）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=（）A．﹣B．﹣C．+D．+7．（5分）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）A．2B．2C．3D．28．（5分）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（﹣2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则•=（）A．5B．6C．7D．89．（5分）已知函数f（x）=，g（x）=f（x）+x+a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0）B．[0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）10．（5分）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（）A．p1=p2B．p1=p3C．p2=p3D．p1=p2+p3 11．（5分）已知双曲线C：﹣y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|=（）A．B．3C．2D．412．（5分）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

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第 1 页共 12 页 2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标Ⅲ卷理科数学一.选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A={x|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=（） A．{0} B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2} 【解析】∵A={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}，B={0，1，2}，∴A∩B={x|x≥1}∩{0，1，2}={1，2}．故选：C． 2.（1+i）（2﹣i）=（） A．﹣3﹣i B．﹣3+i C．3﹣i D．3+i 【解析】（1+i）（2﹣i）=3+i．故选：D． 3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）

A． B． C． D．【解析】由题意可知，如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，小的长方体，是榫头，从图形看出，轮廓是长方形，内含一个长方形，并且一条边重合，另外3边是虚线，所以木构件的俯视图是A． 4.若31sin，则2cos（） A．98 B．97 C．97 D．98 【解析】∵31sin，∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×31=97．故选：B． 5.52)2(xx的展开式中4x的系数为（） A．10 B．204x C．40 D．80 第 2 页共 12 页

【解析】由二项式定理得52)2(xx的展开式的通项为：rrrrrrrxCxxCT310552512)2()(，由10﹣3r=4，解得r=2，∴52)2(xx的展开式中x4的系数为2522C=40．故选：C． 6.直线02yx分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆2)2(22yx上，则ABP面积的取值范围是（） A．[2，6] B．[4，8] C．[23,2] D．[23,22]

【解答】由题可得A（﹣2，0），B（0，﹣2），|AB|=2244， ∵点P在圆（x﹣2）2+y2=2上，∴设)sin2,cos22(P，

∴点P到直线x+y+2=0的距离：]23,2[22)4sin(222sin2cos22d，， ∴△ABP面积的取值范围是：[2，6]．故选：A． 7.函数y=﹣x4+x2+2的图象大致为（）

A． B． C． D．【解析】2)0(f，排除A,B,函数的导数)12(224)('23xxxxxf，

由0)('xf得0)12(22xx，得22x或220x，此时函数单调递增，由0)('xf得0)12(22xx，得22x或022x，此时函数单调递减，排除C，故选：D． 8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4，P（X=4）＜P（X=6），则p=（） A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3 【解析】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，看做是独立重复事件，满足X～B（10，p）， P（X=4）＜P（X=6），可得4661064410)1()1(ppCppC，可得1﹣2p＜0．即21p．

因为DX=2.4，可得10p（1﹣p）=2.4，解得p=0.6或p=0.4（舍去）．故选：B．第 3 页共 12 页

9.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若ABC的面积为4222cba，则C=（） A．2 B．3 C．4 D．6 【解析】由于4sin21222cbaCabSABC，所以CabcbaCcos2sin222， ∵0＜C＜π，∴4C．故选：C． 10.设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC为等边三角形且面积为39，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（） A．312 B．318 C．324 D．354

【解析】△ABC为等边三角形且面积为39，可得39432AB，解得AB=6，球心为O，三角形ABC 的外心为O′，显然D在O′O的延长线与球的交点如图： 3262332'CO，2)32(4'22OO，则三棱锥D﹣ABC高的最大值为：6，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为：318643313．故选：B．

11.设21,FF是双曲线:C222210,0xyabab的左，右焦点，O是坐标原点．过2F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若OPPF61，则C的离心率为（） A．5 B．2 C．3 D．2

【解析】双曲线C：222210,0xyabab的一条渐近线方程为xaby， ∴点F2到渐近线的距离bbabcd22，即|PF2|=b，∴|OP|=abcPFOF222222，cbOPF2cos，∵OPPF61，∴|aPF61，

在三角形F1PF2中，由余弦定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2﹣2|PF2|•|F1F2|COS∠PF2O， ∴6a2=b2+4c2﹣2×b×2c×cb=4c2﹣3b2=4c2﹣3（c2﹣a2），即3a2=c2，即ca3，∴3e，故选C．第 4 页共 12 页

12.设3.0log2.0a，3.0log2b，则（） A．a+b＜ab＜0 B．ab＜a+b＜0 C．a+b＜0＜ab D．ab＜0＜a+b

【解析】2lg3.0lg3.0log,5.03.0lg3.0log22.0ba，

∴5lg2lg25lg3.0lg5lg2lg)2lg5(lg3.0lg5lg3.0lg2lg3.0lgba，5lg2lg310lg3.0lg5lg3.0lg2lg

3.0lgab

∵25lg310lg，05lg2lg3.0lg，∴ab＜a+b＜0．故选：B．二、填空题：本大题共3小题,每小题5分 13.已知向量(1,2)a，(2,2)b，(1,)cλ．若//(2)cab，则λ= ．【解析】)2,4(2ba，∵(1,)cλ，//(2)cab，∴241，解得λ=21． 14.曲线xeaxy)1(在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，则a= ．【解析】曲线xeaxy)1(，可得xxeaxaey)1('，曲线xeaxy)1(在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，可得：a+1=﹣2，解得a=﹣3． 15.函数)63cos()(xxf在[0，π]的零点个数为．

【解析】0)63cos()(xxf，Zkkx,319



38313190kk，故2,1,0k，所以零点个数为3.

16.已知点)1,1(M和抛物xyC4:2，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB=90°，则k= ．【解答】∵抛物线C：y2=4x的焦点F（1，0），∴过A，B两点的直线方程为y=k（x﹣1），

联立142xkyxy可得，k2x2﹣2（2+k2）x+k2=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则 x1+x2=2224kk，x1x2=1， ∴y1+y2=k（x1+x2﹣2）=，y1y2=k2(x1﹣1)(x2﹣1)=k2[x1x2﹣(x1+x2）+1]=﹣4， ∵M（﹣1，1），∴),1,1(),1,1(2211yxMByxMA 第 5 页共 12 页

∵∠AMB=90°，∴0MBMA∴（x1+1）（x2+1）+（y1﹣1）（y2﹣1）=0，整理可得，x1x2+（x1+x2）+y1y2﹣（y1+y2）+2=0，∴02444212kk1+2+﹣4﹣+2=0，即k2﹣4k+4=0，∴k=2．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）等比数列na中，3514,1aaa．（Ⅰ）求na的通项公式；（Ⅱ）记nS为na的前n项和．若63mS，求m．【解答】（Ⅰ）∵等比数列na中，3514,1aaa．∴1×q4=4×（1×q2），解得q=±2，当q=2时，12nna，当q=﹣2时，1)2(nna， ∴na的通项公式为，12nna或1)2(nna．

（Ⅱ）当a1=1，q=﹣2时，3)2(11)1(1nnnqqaS，

由63mS，得633)2(1nmS，m∈N，无解；当a1=1，q=2时，122121nnnS，由Sm=63，得Sm=2m﹣1=63，m∈N，解得m=6． 18.（本小题满分12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：

01 4 4 50 1 2 2 3 4 5 6 6 85 5 6 8 92 1 1 0 09 8 7 7 6 5 4 3 3 29 7 6 28

第二种生产方式第一种生产方式

（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：