高中数学第二章推理与证明课件新人教版选修2-2
_高中数学第二章推理与证明2
跟踪练习
(2014～2015·合肥一六八中高二期中)观察下题的解答过
程：
已知正实数 a、b 满足 a＋b＝1，求 2a＋1＋ 2b＋1的最
大值．
解：∵
2a＋1· 2≤
2a＋12＋ 2
22＝a＋32，
2b＋1· 2
≤
2b＋12＋ 2
22＝b＋32，
相 加 得 2a＋1 · 2 ＋ 2b＋1 · 2 ＝ 2 ( 2a＋1 ＋ 2b＋1)≤a＋b＋3＝4.
综合法： ∵a、b、c∈R＋，∴(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0， ∴2(a2＋b2＋c2)≥(ab＋bc＋ac)， ∴3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac， ∴3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2， ∴ a2＋b32＋c2≥a＋3b＋c.
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第二章 推理与证明
2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法和分析法
目标导航
• 了解综合法与分析法的特点，熟练应用分析法与综合法证明 命题．
重点难点
• 重点：综合法和分析法的概念及思考过程、特点． • 难点：综合法和分析法的应用．
新知导学
1.综合法证明不等式
• 1．定义 • 利用___已__知__条__件___和某些数学__定__义____、__定__理____、
、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；
• (2)适用范围：对于一些条件复杂，结构简单的不等式的证明 ，经常用综合法．而对于一些条件简单、结论复杂的不等式 的证明，常用分析法；
• (3)思路方法：分析法证明不等式的思路是从要证的不等式出 发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是 已知(或已证)的不等式；
高中数学第二章推理与证明本章整合课件新人教A版选修2_2
(2)若 f(x)在区间(s,t)内为增函数,求证:-2<s<t≤1.
专题1
专题2
专题3
提示:充分利用函数与其导数之间的关系以及二次方程根的分 布情况,将条件转化为 a,b,c 的关系来解决问题. 证明:(1)由 f(x)= 3 ������������3 + 2 ������x2 + ������x, 得f'(x)=ax2+bx+c.
再证余弦定理.在△A'B'C'中,有 B'C'2=A'C'2+A'B'2-2A'C'· A'B'cos α.
2 2 2 2 2 2 同理可证������2 = ������1 + ������3 − 2������1������3cos ������, ������3 = ������1 + ������2 − 2������1������2cos γ. 2 2 2 ①式两边同乘 l2,即得������1 = ������2 + ������3 − 2������2������3cos α,
������1 ������2 ������3 = = ; sin������ sin������ sin������
������'������' ������'������' ������'������' 有 = = . sin������ sin������ sin������
设三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱长为 l,
①
专题1
专题2
专题3
高中数学配套课件：第二章推理与证明第2章-2.3选修2-2
2・3数学归纳法2- 31数学归纳法教师用书独具演示•三维目标1・知识与技能、⑴了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简 单的与正整数有关的数学命题；敖学教法分析 明课标分条解读双“敎法" 教学助 教区I2. 3.2 数学归纳法应用举例(2)进一步发展猜想归纳能力和创新能力，经历知识的构建过程，体会类比的数学思想.2.过程与方法(1)通过对例题的探究，体会由猜想到证明的数学方法；(2)努力创设积极思考、大胆质疑的课堂愉悦情境，提高学习兴趣和课堂效率.3.情感、态度与价值观通过对数学归纳法的学习，进一步感受数学来源于生活,并形成严谨的科学态度和勤于思考、善于观察的学习习惯.•重点难点重点：数学归纳法产生过程的分析和对数学归纳法的证题步骤的掌握.难点：数学归纳法中递推思想的理解.•教学建议1.关于数学归纳法概念的教学建议教师联系归纳推理的相关知识，使学生了解数学归 纳法是专门证明与正整数有关的命题的一种方法，它是一种 完全归纳法，是对不完全归纳的一种完善.2・关于数学归纳法应用的教学建议教师通过实例引导学生熟悉利用数学归纳法证明的 步骤，并理解数学归纳法的本质，强调数学归纳法解题的规 范性，能熟练地应用数学归纳法证明相关命题.M 歩方案设计授方略潦程细解用"敎秦”•教学流程结合知识点让学生明确数学归纳法的定义及思维流程.归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.演示结束理铁材自查自测固“基础課询自主导学自主学习区4数学归纳法【问题导思】在学校，我们经常会看到这样的一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学将第一辆自行车不小心弄倒了，那么整排自行车就会倒下.1.试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？【提示】（1）第一辆自行车倒下；（2）任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下.2.利用这种思想方法能解决哪类数学问题？【提示】一些与正整数n有关的问题.数学归纳法的定义一个与自然数相关的命题,如果⑴当"取第一个值％时命题成立；(2)在假设当“以(圧N+且◎%)时命题也成立的前提下，推出当n=k+1时命题也成立，那么可以断定, 这个命题对n取第一个值后面的所有正整数成立.数学归纳法证明步骤的框图展示验讦成立 若"二锹Mo,nW N+）时命题成立,证明“伽1时命题也成立I 递推基础 递推关键丿命题对从％开始的所有正整数都成立（1）（2013-合肥高二检测）用数学归纳法证明（〃+1)⑺+ 2)・・・・・G+〃) = 2"・1X3X ・・・X(2〃一1)SGN+),“从k 至UP+1”左端增加的代数式为（）課它互动探究 峨疑难师生互动提“知能 合作探究区I 用数学归纳法证明等式问题D. 2£+3k~\~ 1A- 2k~\~ 1B ・ 2(2k+l)2£+1 c -£+1(2) 用数学归纳法证明：1+3 + 5+・・・+ (2卅一3) + (2斤一1) + (2斤一3) + ・・・ + 5 + 3 +1 =2〃2 — 2卅 + 1(^GN+)・【思路探究】⑴写岀n=k与”=P+1时左端的式子，比较两式可求.(2)验证〃=1时等式成立，证明当n = k成立时，n=k+l 等式也成立.【自主解答】⑴令» = (n+l)(H + 2)-(«+n), f(k) =(k +1)伙+2)…伙+Q,夬£+1) =伙+2)伙+3)…伙+Q(2k+ l)(2k+2), ・g_0+罟乜=2(22+1),故选B.【答案】B(2)①当”=1时，左边=1,右边=1,等式成立.②假设当〃=M：WN+)时等式成立.即1+3+5 --------- (2丘一3) + (2比一1) + (2丘一3) 5 + 3 +1 =2& — 2k~\~ 1.则当n=k+\时，左边=l+3+5 + ・・・+(2k—3) + (2£— l) + (2k+1) + (2—1) + (2—3) +…+5 + 3 +1 = 2& — 2农+1 + (2k+1) + (2£— 1) = 2/+2P+1 =2 伙 + 1)2—2伙+1)+1.・••当n=k~\~ 1时，等式成立.由①和②知，等式对任何“WN+都成立.I规律方法I数学归纳法证题的三个关键点(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.(2)递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，所以从“疋到“£+1”的过程中，要正确分析式子项数的变化.关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n=k到“斗+1时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项.(3)利用假设是核心：在第二步证明n=k+1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n=k时命题成立”作为条件来导出F = R + 1”，在书写＞+1)时，一定要把包含/(Q的式子写出来，尤其是中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法.在本例(1)中，等式不变，试用数学归纳法证明此等式成立.【证明】(1)"=1时，左边=1 + 1=2,右边=2!X(2X 1_ 1) = 2,•••等式成立.(2)假设n=k时，等式成立.即伙 +1)伙+2)…伙+Q=2© 1X3X-X (2k— 1). 当n=k+1时伙+2)伙+3)…伙+Q(2£+ l)(2k+2)伙 +1)伙+2)伙+3)…伙+Q(2k+1)(2£+2)k~\~ 1= 2©1X3X …X(2k—1)X(2£+1)X21X3X-X (2k— 1) X [2 伙 +1)-1],即n=k+\时等式成立.由⑴和⑵可知，对所有用N+等式成立.卜例【思路探究】运用数学归纳法证明，证明时仔细观察不等式的结构特征，在第二步证明当n=k+l时如何进行不等式的变换是关键.【自主解答】⑴当n=l Bt，左边=1,右边=2•左边V 右边，不等式成立.⑵假设当n=k(k^l且EWN+)时，不等式成立, 即1+洽+*+…+$<2炯则当n = k+l时，i+才占+-+山+^1V2诙+丄=2^g+l 寸£+1 讥+1©『 +(讹+1)2+1 2(k+l) /7TT 讹+1 讹+1当n = k-\-\时，不等式成立.由(1)(2)可知，原不等式对任意〃GN+都成立.I规律方法I用数学归纳法证明不等式往往比证明恒等式难度更大些，方法更灵活些，用数学归纳法证明的第二步，即已知f(k)>g(k),求证/(k+l)>g伙+1)时应注意灵活运用证明不等式的一般方法(比较法、分析法、综合法).具体证明过程中要注意以下两点：(1)先凑假设，作等价变换；(2)瞄准当n=k+1时的递推目标，有目的地放缩、分析直到凑出结论.»娈貳illl缰用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数弘不等式（1 ,1 . 1 , 1 仙+1 p亠+3）（1+寸…（1+亦二7）＞—成比.【证明】⑴当〃=2时，左边=1+扌=扌，右边=¥，• 4 °16 5 书2•••左边〉右边，原不等式成立.⑵假设当n=k （k^2且 胆N+）时不等式成立，即（1+*）（1 12k — 1则当 n=k+\ 时，左边=（1+£）（1+2）…（1+丟士）［1 ++2 2P+2 寸4£2 + 8比+4 2k+l — 2寸2£+1 — 2 佃 +1寸4疋 + 8£+3 寸2上+3・寸2上+ ] 寸2伙 +1)+1> 2佃 +1 — 2 仙+1 — 2所以，当n=k+l 时不等式也成立・ 由（1）和（2）可知，对一切大于1的自然数弘 不等式都成立._I_}>^±12 伙 +1)-1」 2归纳一猜想一证明»例已知数列｛岛｝的前n项和为S”其中a n =⑴求。
(人教A版)数学【选修2-2】2-2-2《反证法》ppt课件
规律技巧 用反证法证明“至多”“至少”型命题，可减 少讨论情况，目标明确．否定结论时需弄清楚结论的否定是什 么，避免出现错误．需仔细体会“至多有一个”“至少有一 个”的含义.
三 用反证法证明否定性命题 【例3】 求证抛物线上任取四点所组成的四边形不可能
是平行四边形．
已知：如图所示，A，B，C，D是抛物线y2＝2px(p>0)上的 任意四点，其坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4， y4)．连接AB，BC，CD，DA.
答案 D
3．求证：如果a>b>0，那么n
n a>
b(n∈N，且n>1)．
证明 假设n a不大于n b，则n a＝n b，或n a<n b.
当n a＝n b时，则有a＝b. 这与a>b>0相矛盾．
当n
n a<
b时，则有a<b，
这也与a>b相矛盾．
所以n
a>
b.
4．若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋
求证：四边形ABCD不可能是平行四边形． 【分析】 解答本题的关键在于通过假设，根据平行四边 形对边所在直线的斜率相等，推出结论与已知条件相矛盾，从 而肯定原命题正确．
【证明】 由题意得，直线AB的斜率为 kAB＝xy22－－xy11＝y12＋py2，同理kBC＝y32＋py2， kCD＝y42＋py3，kDA＝y12＋py4. 假设四边形ABCD为平行四边形，则有kAB＝kCD，kBC＝kDA. 即有yy23＋ ＋yy12＝ ＝yy31＋ ＋yy44， ，① ② 由①－②，得y1－y3＝y3－y1，
π 2
，b＝y2－2z＋
π3，c＝z2－2x＋6π.
高中数学PPT课件-综合法和分析法
此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形 的形状，余弦定理正好满足要求.于是，可以用余弦定理为工具进行证明.
新知探究
证明：由A，B，C成等差数列，有 2B=A+C. ①
因为A，B，C为△ＡＢC的内角,所以 Ａ+Ｂ+Ｃ=180°. ②
新知探究
请对综合法与分析法进行比较，说出它们各自的特点.回顾以往的数学学习，说说你对这两种证 明方法的新认识.
综合法就是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所 要证明的结论成立. 分析法最大的特点就是执果索因. 注意
事实上，在解决问题时，我们把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结
新知探究
知识要点 一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要 证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.其特点是“由因导果”.
新知探究
你能用框图 表示综合法
吗？
用P表示已知条件、已有的定义、 公理、定理等,Q表示所要证明的 结论.
则综合法可用框图表示如下：
于是尝试转化结论：统一函数名称，即把正切函数化为正（余）弦函数.把结论
转化为
cos2α
-
sin2α
=
1 2
(cos2β
-
sin2β)
再与
4sin2α - 2sin2β = 1 比较，发现只要把
cos2α - sin2α = 1 (cos2β - sin2β)的角的余弦转化为正弦，就能达到目的.
2
新知探究
=
1
-
(人教版)高中数学选修2-2课件：第2章 推理与证明2.2.1
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第二章 推理与证明
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分析法
1．分析法的定义 从要证明的结_论__出__发____，逐步寻求使它成立的充_分__条__件____， 直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件( 已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分 析法．
1．综合法证明问题的步骤 第一步：分析条件，选择方向．仔细分析题目的已知条 件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择 相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．
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第二章 推理与证明
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第二步：转化条件，组织过程．把题目的已知条件，转 化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之 间的转化．组织过程时要有清晰的思路，严密的逻辑，简洁的 语言．
3．已知a，b，c∈ R且不全相等， 求证：a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ca. 证明： 证法一：(分析法) 要证a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ca， 只需证2(a2＋b2＋c2)＞2(ab＋bc＋ca)， 只需证(a2＋b2－2ab)＋(b2＋c2－2bc)＋(c2＋a2－2ca)＞0， 只需证(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＞0，
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数学选修2-2 第二章 推理与证明 课件 第2章 2.3
第二章 2.3一、选择题1．用数学归纳法证明1＋q ＋q 2＋…＋q n ＋1＝q n ＋2－1q －1(n ∈N *，q ≠1)，在验证n ＝1等式成立时，等式左边的式子是( )A ．1B ．1＋qC ．1＋q ＋q 2D ．1＋q ＋q 2＋q 3[答案] C[解析] 左边＝1＋q ＋q 1＋1＝1＋q ＋q 2.故选C.2．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *)，从n ＝k 到n ＝k ＋1，左边的式子之比是( )A.12k ＋1 B ．12(2k ＋1)C.2k ＋1k ＋1 D ．2k ＋3k ＋1[答案] B [解析](k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)…(k ＋1＋k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)…(2k )(k ＋2)(k ＋3)…(2k )(2k ＋1)(2k ＋2)＝12(2k ＋1).故选B.3．用数学归纳法证明1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n >1314(n ≥2，n ∈N *)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k ＋1时不等式左边( )A ．增加了一项12(k ＋1)B ．增加了两项12k ＋1＋12k ＋2C ．增加了B 中两项但减少了一项1k ＋1D ．以上各种情况均不对 [答案] C[解析] n ＝k 时，左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，n ＝k ＋1时，左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2∴增加了12k ＋1＋12k ＋2，减少了一项1k ＋1.故选C.4．设平面内有k 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k 条直线的交点个数为f (k )，则f (k ＋1)与f (k )的关系是( )A ．f (k ＋1)＝f (k )＋k －1B ．f (k ＋1)＝f (k )＋k ＋1C ．f (k ＋1)＝f (k )＋k ＋2D ．f (k ＋1)＝f (k )＋k [答案] D[解析] 因为任何两条不平行，任何三条不共点，所以当增加一条直线时，则增加k 个交点，故交点个数为f (k )＋k .5．某个与正整数n 有关的命题，如果当n ＝k (k ∈N *)时该命题成立，则可推得n ＝k ＋1时该命题也成立，现已知n ＝5时命题不成立，那么可推得( )A ．当n ＝4时该命题不成立B ．当n ＝6时该命题不成立C ．当n ＝4时该命题成立D ．当n ＝6时该命题成立 [答案] A[解析] 由命题及其逆否命题的等价性知选A. 6．等式12＋22＋32＋…＋n 2＝12(5n 2－7n ＋4)( )A ．n 为任何正整数都成立B ．仅当n ＝1,2,3时成立C ．当n ＝4时成立，n ＝5时不成立D ．仅当n ＝4时不成立 [答案] B[解析] 经验证，n ＝1,2,3时成立，n ＝4,5，…不成立．故选B.7．(2015·枣庄一模)用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上( )A ．k 2＋1B ．(k ＋1)2 C.(k ＋1)4＋(k ＋1)22D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2 [答案] D[解析] ∵当n ＝k 时，左边＝1＋2＋3＋…＋k 2.当n ＝k ＋1时，左边＝1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋…＋(k ＋1)2，∴当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2. 8．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开( )A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3[答案] A[解析] 因为从n ＝k 到n ＝k ＋1的过渡，增加了(k ＋3)3，减少了k 3，故利用归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，证明余下的项9k 2＋27k ＋27能被9整除．二、填空题9．(2015·辽宁师大附中高二检测)用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N＋)”的过程中，第二步n ＝k 时等式成立，则当n ＝k ＋1时应得到________． [答案] 1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2k ＋1－110．用数学归纳法证明当n ∈N ＋时，1＋2＋22＋23＋ (25)－1是31的倍数时，当n ＝1时原式为__________，从k →k ＋1时需增添的项是________．[答案] 1＋2＋22＋23＋24 25k ＋25k ＋1＋25k ＋2＋25k ＋3＋25k ＋411．使不等式2n ＞n 2＋1对任意n ≥k 的自然数都成立的最小k 值为________． [答案] 5[解析] 25＝32,52＋1＝26，对n ≥5的所有自然数n,2n ＞n 2＋1都成立，自己用数学归纳法证明之．三、解答题12．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n，n ∈N ＋，求证：n ＋f (1)＋…＋f (n －1)＝nf (n )(n ≥2且n∈N ＋)．[证明] (1)当n ＝2时，左边＝2＋f (1)＝3，右边＝2f (2)＝3，等式成立． (2)假设n ＝k 时，k ＋f (1)＋…＋f (k －1)＝kf (k )． 当n ＝k ＋1时，k ＋1＋f (1)＋…＋f (k －1)＋f (k ) ＝1＋f (k )＋kf (k )＝(k ＋1)f (k )＋1 ＝(k ＋1)·(f (k )＋1k ＋1)＝(k ＋1)f (k ＋1)．即n ＝k ＋1时，命题成立． 根据(1)和(2)，可知结论正确.一、选择题1．用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3…(2n －1)(n ∈N ＋)”，则“从k 到k ＋1”左端需乘的代数式为( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1 D ．2k ＋3k ＋1[答案] B[解析] n ＝k 时左式＝(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)n ＝k ＋1时左式＝(k ＋2)(k ＋3)…(2k ＋1)(2k ＋2)故“从k 到k ＋1”左端需乘(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1＝2(2k ＋1)．故选B.2．已知数列{a n }，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋1＝2a n ＋a n －1(k ∈N *)，用数学归纳法证明a 4n 能被4整除时，假设a 4k 能被4整除，应证( )A ．a 4k ＋1能被4整除B ．a 4k ＋2能被4整除C ．a 4k ＋3能被4整除D ．a 4k ＋4能被4整除 [答案] D[解析] 在数列{a 4n }中，相邻两项下标差为4，所以a 4k 后一项为a 4k ＋4.故选D. 3．(2015·锦州期中)在数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证( ) A ．n ＝1成立B ．n ＝2成立C ．n ＝3成立D ．n ＝4成立[答案] C[解析] 多边形的边数最少是3，即三角形， ∴第一步验证n 等于3.4．用数学归纳法证明3k ≥n 3(n ≥3，n ∈N )，第一步应验证( ) A ．n ＝1 B ．n ＝2 C ．n ＝3 D ．n ＝4[答案] C[解析] ∵n ≥3，n ∈N ，∴第一步应验证n ＝3时，命题成立． 二、填空题5．用数学归纳法证明关于n 的恒等式时，当n ＝k 时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k (3k ＋1)＝k (k ＋1)2，则当n ＝k ＋1时，待证表达式应为________．[答案] 1×4＋2×7＋…＋k (3k ＋1)＋(k ＋1)(3k ＋4)＝(k ＋1)(k ＋2)2 6．用数学归纳法证明：1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下： ①当n ＝1时，左边＝20＝1，右边＝21－1＝1，不等式成立； ②假设n ＝k 时，等式成立， 即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1. 则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1， 所以n ＝k ＋1时等式成立．由此可知对任意正整数n ，等式都成立． 以上证明错在何处？____________. [答案] 没有用上归纳假设[解析] 由数学归纳法证明步骤易知其错误所在．7．设S 1＝12，S 2＝12＋22＋12，…，S n ＝12＋22＋32＋…＋n 2＋…＋22＋12.用数学归纳法证明S n ＝n (2n ＋1)2时，第二步从“n ＝k 到n ＝k ＋1”右边应添加的项为________．[答案] (k ＋2)·2k ＋12[解析] S k ＋1－S k ＝(k ＋1)(2k ＋1＋1)2－k (2k ＋1)2＝(k ＋2)·2k ＋12.三、解答题8．在数列{a n }中，a 1＝a 2＝1，当n ∈N *时，满足a n ＋2＝a n ＋1＋a n ，且设b n ＝a 4n ，求证：{b n }的各项均为3的倍数．[证明] (1)∵a 1＝a 2＝1， 故a 3＝a 1＋a 2＝2，a 4＝a 3＋a 2＝3. ∴b 1＝a 4＝3，当n ＝1时，b 1能被3整除． (2)假设n ＝k 时，即b k ＝a 4k 是3的倍数．则n ＝k ＋1时，b k ＋1＝a 4(k ＋1)＝a (4k ＋4)＝a 4k ＋3＋a 4k ＋2 ＝a 4k ＋2＋a 4k ＋1＋a 4k ＋1＋a 4k ＝3a 4k ＋1＋2a 4k .由归纳假设，a 4k 是3的倍数，故可知b k ＋1是3的倍数． ∴n ＝k ＋1时命题正确．综合(1)、(2)可知，对于任意正整数n ，数列{b n }的各项都是3的倍数．9．若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋13n ＋1>a24对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明你的结论．[解析] 取n ＝1，11＋1＋11＋2＋13×1＋1＝2624， 令2624>a24，得a <26，且a ∈N ＋. ∴取a ＝25.下面用数学归纳法证明： 1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524. ①n ＝1时，结论已证．②假设n ＝k (k ∈N ＋)时，1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1>2524，则当n ＝k ＋1时，有1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3＋13(k ＋1)＋1 ＝(1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1)＋(13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4－1k ＋1)>2524＋[13k ＋2＋13k ＋4－23(k ＋1)]．∵13k ＋2＋13k ＋4＝6(k ＋1)9k 2＋18k ＋8>23(k ＋1)， ∴13k ＋2＋13k ＋4－23(k ＋1)>0. ∴1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13(k ＋1)＋1>2524， 即n ＝k ＋1时，结论也成立． 由①②可知，对一切n ∈N ＋，都有1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524. 故a 的最大值为25.。
(新课程)高中数学《第二章-推理与证明》归纳整合课件-新人教A版选修2-2
【例 7】 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知对任意的 n∈N*， 点(n，Sn)均在函数 y＝bx＋r(b＞0 且 b≠1，b，r 均为常数)的 图象上． (1)求 r 的值； (2)当 b＝2 时，记 bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)，
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又D→A＝(0,0,2)为平面 DCEF 的法向量，
∴cos〈M→N，D→A〉＝
→→ MN·DA →→
＝－
36，
|MN||DA|
∴MN 与平面 DCEF 所成角的正弦值为
图(2)
|cos〈M→N，D→A〉|＝
6 3.
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(2)证明 假设直线ME与BN共面，则AB⊂平面MBEN，且平面 MBEN与平面DCEF交于EN， ∵两正方形不共面， ∴AB⊄平面DCEF. 又AB∥CD，所以AB∥平面DCEF，而EN为平面MBEN与平面 DCEF的交线，
反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体 几何的证明中经常用到，在高考题中也经常体现，它所反映出的 “正难则反”的解决问题的思想方法更为重要．反证法主要证明： 否定性、唯一性命题；至多、至少型问题；几何问题．
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【例6】 如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面 内，M，N分别为AB、DF的中点． (1)若平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角 的正弦值； (2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．
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∴AB∥EN. 又AB∥CD∥EF， ∴EN∥EF， 这与EN∩EF＝E矛盾，故假设不成立． ∴ME与BN不共面，即它们是异面直线．
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* 、b 成等比数列（ n N ） . n 1 n 1
通项公式，并证明你的 结论； 1 1 1 5 （2）证明： ... a1 b1 a2 b2 an bn 12 (3)若Cn 2 an n , 证明：对任意n N * , 不等式 c 1 c1 1 c2 1 c3 1 ... n n 1成立。 c1 c2 c3 cn
z3
y1
y
在平面直角坐标系中， 设三角形ABC的顶点分别为 A(0, a ), B (b,0), C (c,0),点P(0, p )在线段AO上（异于端 点），设a, b, c, p均为非零实数，直线 BP，CP分别交 AC，AB于点E，F，一同学已正确算出 OE的方程： 1 1 1 1 ( ) x ( ) y 0, b c p a 请你求OF的方程： 1 1 1 1 x ( )y 0 c b p a
h1
A D B Ａ
h1 D
Ｃ
思考：若在此 RtABC中，类比性质CA2 CB 2 AB2，则在 四面体P ABC中能得到的正确结论为
SABC SPAB SPAC SPBC
2 2 2 2
题型二 证明 1)比较法 作差比较是一种基本方 法 常见证明方法：
综合法 从“已知”看“未知” ; 分析法 从“未知”看“需知” , 往往综合法与分析法相 互结合应用。 2)反证法 反设；归谬；结论。 运用反证法的关键是导 出矛盾。 3)数学归纳法用来证明一 些与正整数有关的命题 。 证题步骤： （ 1 ）验证初始值n n0时使命题成立；
练习：
bn 是否为等比数列，并证 （2）试判断数列 明你的
结论。
an 不是等比数列； (1)对任意实数，证明：数列
变式1：
观察下列等式：
4 2
cos2 2 cos2 1
cos4 8 cos 8 cos 1
cos6 32cos6 48cos4 18cos2 1 cos8 128cos8 256cos6 160cos4 32cos2 1
i 1
n
2 2 1 3 1 2 1 2 i n n n 3 2 6 i 1 n 1 4 1 3 1 2 3 i n n n 4 2 4 i 1 n 1 5 1 4 1 3 1 4 i n n n n 5 2 3 30 i 1 n 1 6 1 5 5 4 1 2 5 i n n n n 6 2 12 12 i 1 n 1 7 1 6 1 5 1 3 1 6 i n n n n n 7 2 2 6 42 i 1
从具体问题出发
观察、分析、比较、联想
归纳、类比
提出猜想
2.数学问题的证明主要通过演绎推理来进行。常用模 式是三段论（大前提，小前提，结论）。证明方法通常 有：直接证明（比较法，分析法，综合法）和间接证明 （反证法）。对含有n的特殊命题还可用数学归纳法 （步骤：奠基、递推、结论）来证明。
2 已知数列an 和bn 满足：a1 , an 1 an n 4, 3 bn ( 1) n (an 3n 21), 其中为实数，n为正整数。
1 2 1 例２： 观察下列等式： i n n
i 1 n
n
... i k ak 1n k 1 ak n k ak 1n k 1 ak 2 n k 2 ... a1n a0
1 1 可以推测：当 k 2 k N * 时， ak 1 ,a k , k 1 2 k ak 1 12 , , ak 2 0
（2）假设当n k (k n0 , k N * )时命题成立， 证当n k 1时，命题也成立。 （3）明确结论。
bn 中，a1 2, b1 4, 且an、bn、an1成等差 在数列an 、 例 4：
数列，bn、a
an 、 bn 的 (1)求a2、a3、a4 及b2、b3、b4的值，由此猜测
cos10 m cos10 1280cos8 1120cos6 n cos4 p cos2 1
可以推测： m n p 962
n
2
10 3
z x3
15 3
z1 z0
x2
可归纳得
z2
n 2 3n 2 6 f(n)= ，
x
x1 x0 y3 y2 y0
推 理 与 证 明
高二数学 选修2-2
知识结构
合情推理 推理 推 理 与 证 明 证明 间接证明 演绎推理 比较法
归纳推理 类比推理
直接证明
综合法 分析法 反证法
数学归纳法
题型一 合情推理与演绎推理
例1
B
小结: 合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、
公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和 直觉等推测某些结果的推理过程，归纳和类比是合情推理 常用的思维方法;归纳是由特殊到一般; 类比是由特殊到特 殊 演绎推理是根据已有的事实和正确的结论，按照严格 的逻辑法则得到的新结论的推理过程．CA CB，斜边AB上的高为h1 , 则 1 1 1 ; 类比此性质，如图，在 四面体 2 2 2 CA CB h1 P ABC中，若PA，PB，PC两两垂直，底面 ABC 上的高为h，则得到的正确结论为
C Ｐ h Ｏ Ｂ
1 1 1 1 h 2 PA 2 PB 2 PC 2