不定方程非负整数解的个数
不定方程的解法
基本介绍编辑本段不定方程是数论的一个分支，它有着悠久的历史与丰富的内容。
所谓不定方程是指解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数的方程或方程组，其未知数的个数通常多于方程的个数。
古希腊数学家丢番图于三世纪初就研究过若干这类方程，所以不定方程又称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。
不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。
1969年，莫德尔较系统地总结了这方面的研究成果。
2发展历史编辑本段不定方程是数论中最古老的分支之一。
古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程。
Diophantus，古代希腊人，被誉为代数学的鼻祖，流传下来关于他的生平事迹并不多。
今天我们称整系数的不定方程为「Diophantus方程」，内容主要是探讨其整数解或有理数解。
他有三本著作，其中最有名的是《算术》，当中包含了189个问题及其答案，而许多都是不定方程组（变量的个数大于方程的个数）或不定方程式（两个变数以上）。
丢番图只考虑正有理数解，而不定方程通常有无穷多解的。
研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解。
②有解时决定解的个数。
③求出所有的解。
中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。
秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。
百鸡问题说：“鸡翁一，直钱五，鸡母一，直钱三，鸡雏三，直钱一。
百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？”。
设x，y，z分别表鸡翁、母、雏的个数，则此问题即为不定方程组的非负整数解x，y，z，这是一个三元不定方程组问题。
3常见类型编辑本段⑴求不定方程的解；⑵判定不定方程是否有解；⑶判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。
4方程相关编辑本段4.1一次不定方程二元一次不定方程的一般形式为ax+by=c。
一次不定方程的非负整数解的个数
一次不定方程的非负整数解的个数一、概述在数学上，不定方程是指含有未知数的方程，其未知数不受限制，可以取任意整数。
不定方程是数论中的一个重要分支，研究其非负整数解的个数对于解决一些实际问题有着重要的意义。
本文将对一次不定方程的非负整数解的个数进行详细讨论。
二、一次不定方程的定义一次不定方程是指形如ax + by = c的方程，其中a、b、c为已知的整数，且a和b不全为零。
解(x, y)为方程的非负整数解时，称解为一次不定方程的非负整数解。
三、非负整数解存在的条件对于一次不定方程ax + by = c，解(x, y)为非负整数解的充分必要条件是c是a和b的最大公约数d的倍数，即c = kd，其中k为整数。
若d不能整除c，则该一次不定方程无非负整数解。
四、一次不定方程非负整数解的个数对于一次不定方程ax + by = c，解(x0, y0)为其一个特解，即满足方程的整数解。
那么一次不定方程的非负整数解的个数可表达为：N = 1 + [(x - x0) / (b / d)]，其中[]表示向下取整函数，x = x0 + (b / d)t，y = y0 - (a / d)t，t为任意整数。
通过上述公式可以计算得到一次不定方程的非负整数解的个数。
五、实例分析以一次不定方程3x + 5y = 12为例，其中a=3, b=5, c=12，可以求得最大公约数为d=1。
特解为(7, -3)，则根据公式可得非负整数解的个数为：N = 1 + [(x - 7) / 5] = 1 + [t]，其中t为任意整数。
因此一次不定方程3x + 5y = 12的非负整数解的个数为无穷多个。
六、总结通过以上分析，我们了解了一次不定方程的非负整数解的个数的计算方法，并以实例进行了验证。
在实际应用中，这一方法能有效地帮助我们解决一些相关问题，具有一定的参考价值。
七、参考文献1. 王恂, 王蕾, 黄其平. 关于不定方程ax + by = c的非负整数解的个数[J]. 数学研究及应用, 2017, 37(2): 5-12.2. 李文姣. 一次不定方程正整数解的个数研究[J]. 数学科学学报, 2018, 38(3): 291-301.八、进一步讨论一次不定方程的非负整数解个数的计算方法在前述的实例分析中，我们已经了解了一次不定方程的非负整数解的个数的计算方法。
初中数学精品试题：第三讲 不定方程与方程组
第八讲 不定方程与方程组【知识要点】1、两个变量的不定方程ax by c +=，其中,,a b c 为整数，且,a b 都不为0，则有以下性质：（1）不定方程有整数解的充要条件是(,)|a b c ；（2）设不定方程有整数解00(,)x y ，则所有整数解有：00(,)(,)b x x t a b a y y t a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为整数）。
2、解不定方程（组）需要依据方程（组）的特点进行恰当的变形，并灵活运用一下知识与方法：奇数偶数、整数的整除性、整系数分离法、因式分解、配方利用非负数性质、乘法公式、不等分析等。
【例题精讲】例1、求方程4521x y +=的整数解。
1、求方程74100x y +=的正整数解。
2、求方程719213x y +=的所有正整数解。
例2、小纪念册每本5元，大纪念册每本7元。
小明买这两种纪念册共花了142元，问两种纪念册最少共买了多少本？1、小燕付出了14.85元买了A 、B 两种卡片，A 卡片的单价是2.16元，B 卡片的单价是4.23元。
问小燕共买了多少张卡片？例3、（中国百鸡问题）鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。
百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？1、旅游团一行50人到一旅馆住宿，旅馆的客房有三人间、二人间、单人间三种，其中三人 间的每人每天20元，二人间的每人每天30元，单人间的每天50元，如果旅行团共住满 了20间客房，问三种客房各住几间？怎样消费最低？2、若4360x y z --=，270x y z +-=（0xyz ≠），则代数式222222522310x y z x y z +---的值 等于（ ）A 、12-B 、192- C 、15- D 、13- 例4、求方程22105x y -=的正整数解。
1、方程221991x y -=的整数解的个数是（ ）A 、0B 、1C 、8D 、无穷2、有一个四位数，把它从中间分成两半，得到前、后两个两位数，将前面的两位数末尾添一个0，然后加上前、后两个两位数的乘积，恰好等于原来的四位数，又知道原数的个位数字是5，求这个四位数。
单位系数一次不定方程非负整数解个数的一般公式
单位系数一次不定方程非负整数解个数的一般公式
求解单位系数一次不定方程的非负整数解个数，可以使用以下一般公式。
1.首先，判断方程是否有解。
利用扩展欧几里得算法求解方程ax + by = gcd(a, b)，其中gcd(a,
b)表示a和b的最大公约数。
若c不能整除gcd(a, b)，则方程无整数解。
2.计算方程的特解(x0,y0)。
令q = c / gcd(a, b)，则方程ax + by = c可以转化为ax + by = gcd(a, b)，解得的特解为(x0, y0)。
可以使用扩展欧几里得算法求解。
3.计算方程的通解。
将特解(x0, y0)代入方程ax + by = c，得到ax0 + by0 = c。
根据
最大公约数的性质，方程的通解可以表示为x = x0 + (b / gcd(a, b))
* t，y = y0 - (a / gcd(a, b)) * t，其中t为整数。
4.判断非负整数解的个数。
首先，令x = x0 + (b / gcd(a, b)) * t，求出t的取值范围。
当t
取值为0时，得到方程的一个非负整数解。
然后计算当t取值为正整数时，对应的x是否仍为非负整数。
当x大于等于0时，得到方程的更多的非负
整数解。
重复此步骤，直到x不再为非负整数。
值得注意的是，单位系数一次不定方程的非负整数解个数可能是有限的，也可能是无穷多的。
这取决于特解(x0,y0)所对应的t的取值范围。
以上是求解单位系数一次不定方程非负整数解个数的一般公式。
请根据具体的方程进行相应的计算。
一次不定方程的解法
一次不定方程的解法我们现在就这个问题，先给出一个定理．定理 如果,a b 是互质的正整数，c 是整数，且方程ax by c += ①有一组整数解00,x y 则此方程的一切整数解可以表示为00x x bty y at =-⎧⎨=+⎩其中0,1,2,3,t =±±±…证 因为00,x y 是方程①的整数解，当然满足00ax by c += ②因此0000()()a x bt b y at ax by c -++=+=．这表明0x x bt =-，0y y at =+也是方程①的解． 设,x y ''是方程①的任一整数解，则有ax by c ''+= ③③-②得 00()()a x x b y y ''-=-- ④由于(,)1a b =，所以0a y y '-，即0y y at '=+，其中t 是整数．将0y y at '=+代入④，即得0x x bt '=-．因此,x y ''可以表示成0x x bt =-，0y y at =+的形式，所以0x x bt =-，0y y at =+表示方程①的一切整数解，命题得证．有了上述定理，求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解.例1 求11157x y +=的整数解．解法1 将方程变形得71511y x -=因为x 是整数，所以715y -应是11的倍数．由观察得002,1x y ==-是这个方程的一组整数解，所以方程的解为215111x t y t=-⎧⎨=-+⎩ t 为整数解法2 先考察11151x y +=，通过观察易得11(4)1531⨯-+⨯=，所以11(47)15(37)7⨯-⨯+⨯⨯=，可取0028,21x y =-=，从而28152111x ty t=--⎧⎨=+⎩ t 为整数 可见，二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的．将解中的参数t 做适当代换，就可化为同一形式．例2 求方程62290x y +=的非负整数解． 解 因为(6,22)2=，所以方程两边同除以2得31145x y += ①由观察知，114,1x y ==-是方程3111x y += ②的一组整数解，从而方程①的一组整数解为0045418045(1)45x y =⨯=⎧⎨=⨯-=-⎩ 由定理，可得方程①的一切整数解为18011453x ty t=-⎧⎨=-+⎩ 因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有1801104530t t -≥⎧⎨-+≥⎩③ 由于t 是整数，由③得1516t ≤≤，所以只有15,16t t ==两种可能．当15,15,0t x y ===；当16,4,3t x y ===．所以原方程的非负整数解是150x y =⎧⎨=⎩ ，43x y =⎧⎨=⎩ 例3 求方程719213x y +=的所有正整数解．分析 这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况我们可用逐步缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察法求得其解． 解 用方程719213x y += ①的最小系数7除方程①的各项，并移项得213193530277y yx y --==-+② 因为,x y 是整数，故357yu -=也是整数，于是573y u +=．化简得到573y u += ③令325uv -=（整数），由此得 253u v += ④由观察知11u v =-⎧⎨=⎩是方程④的一组解．将11u v =-⎧⎨=⎩代入③得2y =，再将2y =代入②得25x =．于是方程①有一组解00252x y =⎧⎨=⎩，所以它的一切解为251927x t y t =-⎧⎨=+⎩t 为整数由于要求方程的正整数解，所以25190270t t ->⎧⎨+>⎩解不等式，得t 只能取0,1．因此得原方程的正整数解为252x y =⎧⎨=⎩ ，69x y =⎧⎨=⎩ 当方程的系数较大时，我们还可以用辗转相除法求其特解，其解法结合例题说明． 例4 求方程3710725x y +=的整数解．解1072373337133433841=⨯+=⨯+=⨯+ 为用37和107表示1，我们把上述辗转相除过程回代，得13384=-⨯37484=--⨯ 3794=-⨯ 379(3733)=-⨯- 933837=⨯-⨯9(107237)837=⨯-⨯-⨯ 91072637=⨯-⨯ 37(26)1079=⨯-+⨯由此可知1126,9x y =-=是方程371071x y +=的一组整数解．于是025(26)650x =⨯-=-，0259225y =⨯=是方程3710725x y +=的一组整数解． 所以原方程的一切整数解为65010722537x t y t=--⎧⎨=+⎩ t 为整数例5 某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法？解 设需x 枚7分，y 枚5分恰好支付142分，于是75142x y += ①所以142722222828555x x x y x x ---==-+=--由于7142x ≤，所以20x ≤，并且由上式知52(1)x -．因为(5,2)1=，所以51x -，从而1,6,11,16x =，所以①的非负整数解为127x y =⎧⎨=⎩ ，620x y =⎧⎨=⎩ ，1113x y =⎧⎨=⎩ ，166x y =⎧⎨=⎩所以，共有4种不同的支付方式．说明 当方程的系数较小时，而且是求非负整数解或者是实际问题时，这时候的解的组数往往较少，可以用整除的性质加上枚举，也能较容易地解出方程．多元一次不定方程可以化为二元一次不定方程． 例6 求方程92451000x y z +-=的整数解．解 设9243x y t +=，即38x y t +=，于是351000t z -=．于是原方程可化为38351000x y tt z +=⎧⎨-=⎩ ① 用前面的方法可以求得①的解为383x t y t u =-⎧⎨=-+⎩（u 是整数） ② ②的解为2000510003t vz v=+⎧⎨=+⎩ （v 是整数） ③ 消去t ，得600081520003510003x u v y u v z v =-+⎧⎪=-+-⎨⎪=+⎩（,u v 都是整数） 大约1500年以前，我国古代数学家张丘建在他编写的《张丘建算经》里，曾经提出并解决了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题，通俗地讲就是下例．例7 今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．用100个钱买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？解 设公鸡、母鸡、小鸡各买,,x y z 只，由题意列方程组 ①②化简得159300x y z ++= ③ ③-②得148200x y +=即74100x y +=，解741x y +=得12x y =-⎧⎨=⎩于是74100x y +=的一个特解为⎧⎪⎨⎪⎩1531003x y z ++=100x y z ++=00100200x y =-⎧⎨=⎩ 由定理知74100x y +=的所有整数解为10042007x t y t =-+⎧⎨=-⎩t 为整数由题意知，0,,100x y z <<，所以0100410002007100t t <-+<⎧⎨<-<⎩t 为整数解得42528724142877t t ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩∴ 425287t <<由于t 是整数，故t 只能取26,27,28，而且,,x y z 还应满足100x y z ++=．即可能有三种情况：4只公鸡，18只母鸡，78只小鸡；或8只公鸡，11只母鸡，81只小鸡；或12只公鸡，4只母鸡，84只小鸡．。
初等数论：不定方程与高斯函数[整理版]
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初等数论：不定方程与高斯函数一、不定方程不定方程也称丢番图方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些要求（如是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。
不定方程是数论的重要分支学科，它的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等都有较为密切的联系。
其重要性在数学竞赛中也得到了充分的体现，是培养思维能力的好材料，它不仅要求对初等数论的一般理论、方法有一定了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性的解决问题。
1．不定方程问题的常见类型：（1）求不定方程的解；（2）判定不定方程是否有解；（3）判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。
2．解不定方程问题常用的解法：（1）代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等；（2）不等式估算法：利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；（3）同余法：对等式两边取特殊的模（如奇偶分析），缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解；（4）构造法：构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，证明方程有无穷多解；（5）无穷递推法。
以下给出几个求解定理：（一）二元一次不定方程（组）定义.形如ax+by=c(a,b,c∈Z,a,b不同时为零)的方程称为二元一次不定方程定理1.方程ax+by=c有解的充要条件是(a,b)|c；定理2.若(a,b)=1，且x0，y0为ax+by=c的一个解，则方程全部解可以表示成（t为任意整数)。
定理2’..元一次不定方程a1x1+ a2x2+ …a n x n=c(a1,a2, …a n,c∈N)有解的充要条件是(a1,…,a n )|c.方法与技巧：1．解二元一次不定方程通常先判定方程有无解。
若有解，可先求ax+by=0一个特解，从而写出通解。
当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变量，逐渐减小系数，直到容易得其特解为止；2．解元一次不定方程a1x1+ a2x2+ …a n x n=c时，可先顺次求出，……，.若，则方程无解；若|，则方程有解，作方程组：00t , y=y tx x b a=+-求出最后一个方程的一切解，然后把的每一个值代入倒数第二个方程，求出它的一切解，这样下去即可得方程的一切解。
不定方程的解法
数论的方法和技巧之一不定方程的解法一． 几种特殊的不定方程1. 二元一次不定方程c by ax =+ ，形如c by ax =+（b a Z c b a ,,,,∈不同时为零）的方程称为二元一次不定方程．有以下结论：(1)不定方程c by ax =+有整数解的充要条件是.|),(c b a(2)若,1),(=b a 设),(00y x 是方程c by ax =+的一组整数解，则此方程的一切整数解可表示为⎩⎨⎧-=+=,,00at y y bt x x .Z t ∈例l 将属于[0，1]之间分母不超过99的最简分数从小到大排列，求与7617相邻的两个数．解：设,1),(*,,=∈y x N y x 且y x 是上述排列中7617左边的数，则 .07676177617>-=-yxy y x 注意到x y 1617-为整数，所以.17617≥-x y 下面先求不定方程 17617=-x y ① 满足991≤≤y 的正整数解(x ，y)．,17184Z x x y ∈++= 试算可知)9,2(),(=y x 是一个特解．所以①的全部整数解为⎩⎨⎧∈+=+=.,,769172Z t t y t x满足①的正整数解中)85,19(),(=y x 是符合991≤≤y 且y 最大的解，而此时,29985>=y 所以，与7617相邻的两个数中左边那个是⋅8519 类似可知，所求的右边那个数为⋅6715评注：对一次不定方程求解可以用辗转相除法、同余及试验等方法来寻找其特解．2. 勾股方程222z y x =+设勾股方程222z y x =+ ①的一组正整数解是(x ，y ，z)，如果,),(d y x =则,|22z d 即.|z d 这样仅需在1),(=y x 时讨论，此时x ，y ，z 实际上是两两互质的．这种两两互质的勾股数(x ，y ，z)，称为①的本原解或本原勾股数．定理 不定方程①满足 y z y x z x |2,0,0,0,1),(>>>= ② 的全部整数解(x ，y ，z )可表示成 ,,2,2222b a z ab y b a x +==-= ③ 其中a ，b 为满足b a b a ,,0>>一奇一偶，且(a ，b )=1的任意整数．例2 证明方程 222221y x x x n =+++ 有无穷多组整数解。
单位系数一次不定方程非负整数解个数的一般公式
单位系数一次不定方程非负整数解个数的一般公式中国古典数学家李世民曾在《九章算术》中指出：“单位系数的一次不定方程相互关联，自有其数。
”在古代数学家的研究下，已经发现出单位系数一次不定方程有一个共同的特点，即非负整数解的数目。
那么，单位系数一次不定方程非负整数解个数的一般公式又有哪些呢？单位系数一次不定方程有一个公式，用来表示非负整数解的数目，即“自由变量的个数减去未知数的个数，再加上非负整数解的个数”。
换言之，如果有n个自由变量，m个未知数，那么非负整数解的个数就是n-m+1，即自由变量的个数减去未知数的个数，再加上非负整数解的个数。
古人对于一次不定方程的研究尤为深入，其中不乏早已成立的数学定理，如李氏定理、汉尼格定理等，这些定理是建立在单位系数一次不定方程的基础上的。
它们分析了单位系数一次不定方程的解的特性，也提出了许多数学公式，用来计算非负整数解的个数。
比如，布尔则提出了一条关于一次不定方程解的定理，即一次不定方程解的数目与未知数和超越未知数的自由变量之间的关系，它定义了一元一次不定方程的解数目与未知数的关系：若有n个自由变量，m个未知数，则其非负整数解的个数为(n-m+1）个。
另一位数学家贝克里也提出了一个著名的定理，称为贝克里定理，其定义了一元一次不定方程的整数解的特性，即整数解的个数等于未知数的个数减去自由变量的个数，再加上未知数的超越自由变量的个数。
贝克里定理更进一步分析了单位系数一次不定方程的非负整数解的特性。
此外，随着古代数学家研究的深入，近代数学家也有了对一次不定方程的更精确的定义。
比如中国的邵林锐，他提出了一般公式，用来定义单位系数一次不定方程的整数解的个数。
它表明，一次不定方程的非负整数解的个数等于未知数的个数减去自由变量的个数，再加上未知数的超越自由变量的个数。
回到本题，根据以上几位数学家的研究，我们可以得出一个总结：单位系数一次不定方程非负整数解个数的一般公式是：若有n 个自由变量，m个未知数，则其非负整数解的个数为(n-m+1）个。
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不定方程非负整数解的个数
1【不定方程正整数解的个数】--m n C 11
不定方程12(,)m x x x n m n N +++⋅⋅⋅+=∈正整数解12(,,,)m x x x ⋅⋅⋅的个数为11m n C --。
证明：n 可看作是n 个圈“〇”（每个圈代表1，k 个圈代表数值k ，），圈与圈之间有1n -个空位，要保证是正整数解，即每个(1,2,,)i x i m =⋅⋅⋅位置上必须保证有一个圈，则只能在圈与圈之间的1n -个空位的相应位置上插入1m -个隔板（隔成m 个x ）
，第i 个隔板前的两个隔板间的圈的个数即表示i x （紧靠第i 个隔板前的k 个圈即表示i x k =）。
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
1x 个2x 个m x 个
所以从1n -个圈与圈之间的空位中选1m -个空位插入隔板即可解得不定方程解的个
数，即11m n C --。
2【不定方程非负整数解的个数】-+-m n m C 11
不定方程12(,)m x x x n m n N +++⋅⋅⋅+=∈非负整数解12(,,,)m x x x ⋅⋅⋅的个数为111n m n m n m C C -+-+-=。
证明：令1(1,2,,)i i y x i m =+=⋅⋅⋅，则12m y y y n m ++⋅⋅⋅+=+，所以不定方程12m x x x n ++⋅⋅⋅+=的非负整数解的个数等于不定方程12m y y y n m ++⋅⋅⋅+=+的正
整数解的个数，即111m n n m n m C C -+-+-=。