二元一次不定方程的整数解
二元一次不定方程的解法总结与例题
探究二元一次不定方程（Inquires into the dual indefinite equation）冯晓梁（XiaoLiang Feng）（江西科技师范学院数计学院数一班 330031）【摘要】:二元一次不定方程是最简单的不定方程, 一些复杂的不定方程常常化为二元一次不定方程问题加以解决。
我们讨论二元一次方程的整数解。
The dual indefinite equation is the simple the indefinite equation, some complex indefinite equations change into the dual indefinite equation question to solve frequently. We discuss the dual linear equation the integer solution.【关键字】：二元一次不定方程初等数论整数解（Dual indefinite equation Primary theory of numbers Integer solution）二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且未知项的次数是1的方程叫做二元一次方程。
一个方程是二元一次方程必须同时满足下列条件；①等号两边的代数式是整式；②具有两个未知数；③未知项的次数是1。
如：2x-3y=7是二元一次方程，而方程4xy-3=0中含有两个未知数，且两个未知数的次数都是1，但是未知项4xy的次数是2，所以，它是二元二次方程，而不是二元一次方程。
定理1.形如(不同时为零)的方程称为二元一次不定方程。
[1]二元一次方程的解和解二元一次方程：能使一个二元一次方程两边的值相等的未知数的一组值叫做这个方程的一个解，但若对未知数的取值附加某些限制，方程的解可能只有有限个。
通常求一个二元一次方程的解的方法是用一个未知数的代数式表示另一个未知数，如x-2y=3变形为x=3+2y，然后给出一个y的值就能求出x的一个对应值，这样得到的x、y的每对对应值，都是x-2y=3的一个解。
不定方程的解法
二元一次不定方程的解法求a * x + b * y = n的整数解。
1、先计算Gcd(a,b)，若n不能被Gcd(a,b)整除，则方程无整数解；否则，在方程两边同时除以Gcd(a,b)，得到新的不定方程a' * x + b' * y = n'，此时Gcd(a',b')=1;2、利用上面所说的欧几里德算法求出方程a' * x + b' * y = 1的一组整数解x0,y0，则n' * x0,n' * y0是方程a' * x + b' * y = n'的一组整数解；3、根据数论中的相关定理，可得方程a' * x + b' * y = n'的所有整数解为：x = n' * x0 + b' * ty = n' * y0 - a' * t(t为整数)上面的解也就是a * x + b * y = n 的全部整数解。
我们知道，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它的解往往是不确定的，例如方程 x-2y=3，方程组等，它们的解是不确定的．像这类方程或方程组就称为不定方程或不定方程组．不定方程(组)是数论中的一个古老分支，其内容极其丰富．我国我们知道，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它的解往往是不确定的，例如方程x-2y=3，方程组等，它们的解是不确定的．像这类方程或方程组就称为不定方程或不定方程组．不定方程(组)是数论中的一个古老分支，其内容极其丰富．我国对不定方程的研究已延续了数千年，“百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理．近年来，不定方程的研究又有新的进展．学习不定方程，不仅可以拓宽数学知识面，而且可以培养思维能力，提高数学解题的技能．我们先看一个例子．例小张带了5角钱去买橡皮和铅笔，橡皮每块3分，铅笔每支1角1分，问5角钱刚好买几块橡皮和几支铅笔？解设小张买了x块橡皮，y支铅笔，于是根据题意得方程3x+11y=50．这是一个二元一次不定方程．从方程来看，任给一个x值，就可以得到一个y值，所以它的解有无数多组．但是这个问题要求的是买橡皮的块数和铅笔的支数，而橡皮的块数与铅笔的支数只能是正整数或零，所以从这个问题的要求来说，我们只要求这个方程的非负整数解．因为铅笔每支1角1分，所以5角钱最多只能买到4支铅笔，因此，小张买铅笔的支数只能是0，1，2，3，4支，即y的取值只能是0，1，2，3，4这五个．若y=3，则x=17/3，不是整数，不合题意；若y=4，则x=2，符合题意．所以，这个方程有两组正整数解，即也就是说，5角钱刚好能买2块橡皮与4支铅笔，或者13块橡皮与1支铅笔．像这个例子，我们把二元一次不定方程的解限制在非负整数时，那么它的解就确定了．但是否只要把解限制在非负整数时，二元一次不定方程的解就一定能确定了呢？不能！现举例说明．例求不定方程x-y=2的正整数解．解我们知道：3-1=2，4-2=2，5-3=2，…，所以这个方程的正整数解有无数组，它们是其中n可以取一切自然数．因此，所要解的不定方程有无数组正整数解，它的解是不确定的．上面关于橡皮与铅笔的例子，我们是用逐个检验的方法来求它们的非负整数解的，但是这种方法在给出的数比较大的问题或者方程有无数组解的时候就会遇到麻烦．那么能不能找到一个有效而又方便的方法来求解呢？我们现在就来研究这个问题，先给出一个定理．定理如果a，b是互质的正整数，c是整数，且方程ax+by=c ①有一组整数解x0，y0则此方程的一切整数解可以表示为其中t=0，±1，±2，±3，…．证因为x0，y0是方程①的整数解，当然满足ax0+by0=c，②因此a(x0-bt)+b(y0+at)=ax0+by0=c．这表明x=x0-bt，y=y0+at也是方程①的解．设x＇，y＇是方程①的任一整数解，则有ax＇+bx＇=c. ③③-②得a(x＇-x0)=b＇(y＇-y0)．④由于(a，b)=1，所以a｜y＇-y0，即y＇=y0+at，其中t是整数．将y＇=y0+at 代入④，即得x＇=x0-bt．因此x＇， y＇可以表示成x=x0-bt，y=y0+at的形式，所以x=x0-bt，y=y0+at表示方程①的一切整数解，命题得证．有了上述定理，求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解．例1求11x+15y=7的整数解．解法1将方程变形得因为x是整数，所以7-15y应是11的倍数．由观察得x0=2，y0=-1是这个方程的一组整数解，所以方程的解为解法2先考察11x+15y=1，通过观察易得11×(-4)+15×(3)=1，所以11×(-4×7)+15×(3×7)=7，可取x0=-28，y0=21．从而可见，二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的．将解中的参数t做适当代换，就可化为同一形式．例2求方程6x+22y=90的非负整数解．解因为(6，22)=2，所以方程两边同除以2得3x+11y=45．①由观察知，x1=4，y1=-1是方程3x+11y=1 ②的一组整数解，从而方程①的一组整数解为由定理，可得方程①的一切整数解为因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有由于t是整数，由③，④得15≤t≤16，所以只有t=15，t=16两种可能．当t=15时，x=15，y=0；当t=16时，x=4，y=3．所以原方程的非负整数解是例3求方程7x+19y=213的所有正整数解．分析这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况我们可用逐步缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察法求得其解．解用方程7x+19y=213 ①的最小系数7除方程①的各项，并移项得因为x，y是整数，故3-5y/7=u也是整数，于是5y+7u=3．Ｔ儆*5除此式的两边得2u+5v=3．④由观察知u=-1，v=1是方程④的一组解．将u=-1，v=1代入③得y=2．y=2代入②得x=25．于是方程①有一组解x0=25，y0=2，所以它的一切解为由于要求方程的正整数解，所以解不等式，得t只能取0，1．因此得原方程的正整数解为当方程的系数较大时，我们还可以用辗转相除法求其特解，其解法结合例题说明．例4求方程37x+107y=25的整数解．解 107=2×37+33，37=1×33+4，33=8×4+1．为用37和107表示1，我们把上述辗转相除过程回代，得1=33-8×4=37-4-8×4=37-9×4=37-9×(37-33)=9×33-8×37＝9×(107-2×37)8×37＝9×107-26×37=37×(-26)+107×9．由此可知x1=-26，y1=9是方程37x+107y=1的一组整数解．于是x0=25×(-26)=-650，y0=25×9=225是方程37x+107y=25的一组整数解．所以原方程的一切整数解为例5某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法？解设需x枚7分，y枚5分恰好支付142分，于是7x+5y=142. ①所以由于7x≤142，所以x≤20，并且由上式知5｜2(x-1)．因为(5，2)=1，所以5｜x-1，从而x=1，6，11，16，①的非负整数解为所以，共有4种不同的支付方式．说明当方程的系数较小时，而且是求非负整数解或者是实际问题时，这时候的解的组数往往较少，可以用整除的性质加上枚举，也能较容易地解出方程．多元一次不定方程可以化为二元一次不定方程．例6求方程9x+24y-5z=1000的整数解．解设9x+24y=3t，即3x+8y=t，于是3t-5z=1000．于是原方程可化为用前面的方法可以求得①的解为②的解为消去t，得大约1500年以前，我国古代数学家张丘建在他编写的《张丘建算经》里，曾经提出并解决了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题，通俗地讲就是下例．例7今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．用100个钱买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？解设公鸡、母鸡、小鸡各买x，y，z只，由题意列方程组①化简得 15x+9y+z=300．③③-②得 14x+8y=200，即 7x+4y=100．解7x+4y=1得于是7x+4y=100的一个特解为由定理知7x+4y=100的所有整数解为由题意知，0＜x，y，z＜100，所以由于t是整数，故t只能取26，27，28，而且x，y，z还应满足x+y+z=100．t x y z26 4 18 7827 8 11 8128 12 4 84即可能有三种情况：4只公鸡，18只母鸡，78只小鸡；或8只公鸡，11只母鸡，81只小鸡；或12只公鸡，4只母鸡，84只小鸡．。
奥数知识点汇总初一
奥数知识点汇总（初一）第一章 整数一、整数的几种表示方法：选择适当的方法表示一个整数，是解决整数问题的基本方法之一。
它是解决整数问题的前提。
1、整数的多项式表示法：任何一个十进制的正整数N 都可表示为：12121010101010n n n n N a a a a a --=⨯+⨯++⨯+⨯+，这里n a 、1n a -、……2a 、1a 、0a 各取于0——9这十个数字中的任何一个。
如果N 是一个n+1位正整数，则n a ≠0。
为了方便，也可将N 简记作110N n n a a a a =-——————————————。
这种表示法称为整数的多项式表示法。
整数最左边的一位数字n a 叫做整数N 的首位数字，最右边的一位数字0a 叫做整数N 的末位数字。
2、整数的质因数连乘积表示法：（1）算术基本定理——每一个大于1的整数都能分解成质因数的乘积的形式，并且如果把质因数按照由小到大的顺序排在一起（相同因数的积写成幂的形式），那么这种分解方法是唯一的。
这就是说，任何一个整数N （N ＞1），都能唯一地表示成下面的形式：其中1α，2α，……n α为自然数，12,,,n p p p 为质数，并且1p ＜2p ＜……＜n p 。
这种表示法称为整数的质因数连乘积表示法，又称为整数N 的标准分解式。
（2）约数个数定理——一个整数N （N ＞1），如果它的标准分解式为1212n n N p p p ααα=,那么它的约数个数为（1＋1α）（1＋2α）……（1＋n α）。
另外，如果一个正整数N 的约数个数是奇数，那么这个正整数N 是完全平方数。
3、整数的带余式表示法：如果整数a 除以正整数m 所得的商是q ，余数是r ，那么a ＝mq+r ，其中q 、r 都为整数，并且0≤r ≤m －1。
这种表示法称为整数的带余式表示法。
如果整数a 、b 分别除以正整数m 所得得余数都是r ，即a=mp+r ，b ＝mq+r(p 、q 为整数)，那么称a ，b 对于模m 同余，记作a ≡b(mod m)。
二元一次不定方程的解法及其应用
二元一次不定方程的解法及其应用
解二元一次不定方程的一种常用方法是通过消元法或代入法。
具体步骤如下：
1. 将二元一次不定方程表示为两个未知数的方程形式，例如：ax + by = c，其中a、b和c都是已知的常数。
2. 通过消元法，选择合适的操作将方程化简为只含有一个未知数的方程。
可以选择将一个未知数的系数调整为0，或者通过加减两个方程将某一未知数的系数相消。
3. 消去一个未知数后，得到只含有一个未知数的方程。
根据需要，可以解这个一元一次方程，求得一个未知数的值。
4. 将求得的未知数的值代入原方程中，解得另一个未知数的值。
通过这种方法，可以求得二元一次不定方程的解。
二元一次不定方程的应用十分广泛。
在实际生活中，二元一次不定方程可以用来描述各种关系。
例如，在经济学中，二元一次不定方程可以表示两种商品的价格与需求量之间的关系。
在物理学中，二元一次不定方程可以表示两个物理量之间的线性关系。
在工程学中，二元一次不定方程可以用来描述两个变量之间的功能关系。
通过求解二元一次不定方程，可以得到这些关系的数学表达式，并且可以根据已知条件来求解未知数的值，从而得到实际问题的解答。
新编六年级奥数精讲和测试：第22讲二元一次不定方程
例1．求11x+15y=7的整数解。
例2．求方程7x+19y=213的所有正整数解。
例3．求方程组310053100x y zx y z++=⎧⎨++=⎩的全部整数解。
例4．现有5分和7分的两种硬币，用它们去支付142分货款，有多少种不同的方法？例5．一个布袋中有红、黄、兰三种颜色的大小相同的木球，红球上标有数字1，黄球上标有数字2，兰球上标有数字3。
小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标数字和等于21，则小明摸出的球中红球的个数和最多不超过多少个？A卷01．a、b都是正整数，且143a+500b=2001，求a+b。
02．求方程9x+21y=79的整数解。
03．求方程3x+4y=5的整数解。
04．求方程7x+11y=123的整数解。
05．求方程6x+22y=90的非负整数解。
06．某人计划使用不超过100元的资金购买单价分别为7元和9元的光盘x张和y张，每种光盘至少买3张，问购买的方式共有多少种？B卷01．三元方程x+y+z=2007的非负整数解的组数有多少？02．求方程2x+3y+7z=23的整数解。
03．求方程组5795235736x y zx y z++=⎧⎨++=⎩的正整数解。
04．求方程123x+57y =531的全部正整数解。
05．求方程3x+5y=1306的正整数解的组数。
06．甲、乙、丙三人共解出100道数学题，每人都解出了其中60道题。
其中只有1人解出的题叫做难题，3人都解出的题叫做容易题，试问难题多还是容易题多？多的比少的多几道题？C卷01．小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴一次得5分，套中小狗一次得2分。
小明共套10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次。
小明套10次共得61分，问小鸡至少被套中几次？02．今有浓度为5％、8％、9％的甲、乙、丙三种盐水分别为60克、60克、47克，现要配制成浓度为7％的盐水100克，问甲种盐水最多可用多少克？最少可用多少克？03．今有公鸡每只五元钱，母鸡每只三元钱，小鸡每元钱三只。
一次不定方程及方程的整数解问题-1
一次不定方程及方程的整数解问题-1一次不定方程（组）及方程的整数解问题【写在前面】不定方程（组）是数论中的一个重要课题，不仅是数学竞赛，甚至在中考试卷中也常常出现. 对于不定方程（组），我们往往只求整数解，甚至是只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定.有时还可以解决计数、求最值等方面的问题.二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程（组）常常要转化为二元一次不定方程问题加以解决.【本讲重点】求一次不定方程（组）的整数解【知识梳理】不定方程（组）是指未知数的个数多于方程的个数的方程（组），其特点是往往有无穷多个解，不能唯一确定. 重要定理：设a 、b 、c 、d 为整数，则不定方程c by ax =+有： 定理1 若,),(d b a =且d 不能整除c ，则不定方程c by ax =+没有整数解；定理2 若),(0y x 是不定方程c by ax =+且的一组整数解（称为特解），则⎩⎨⎧-=+=aty y bt x x 00,（t 为整数）是方程的全部整数解（称为通解）. （其中d b a =),(,且d 能整除c ）.定理3 若),(0y x 是不定方程1=+by ax ，1),(=b a 的特解，则),(0cy cx 是方程c by ax =+的一个特解. （其中d b a =),(,且d 能整除c ）.根据定理2 ，)(1,31是整数t ty t x ⎩⎨⎧-=+=是原方程的所有整数解.（2）∵（5，10）=5，但5不能整除13，∴根据定理1，原方程的无整数解.【点评】先判断方程是否有整数解，多于系数不大的题目优先选用观察法寻找特解. 求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的.【实践】求下列不定方程的整数解（1）211147=+y x ； （2）11145=-y x .答案：（1）无整数解；（2）)(51,145是整数t ty t x ⎩⎨⎧-=-= 【例2】求方程213197=+y x 的所有正整数解.【分析】此方程的系数较大，不易用观察法得出特解.根据方程用y 来表示x ,再将含y 的代数式分离出整系数部分，然后对分数系数部分进行讨论，赋予y 不同的整数，寻找一个使分数系数部分成为正整数的y 0，然后再求x 0，写出通解，再解不等式组确定方程的正整数解.【解答】∵（7，19）=1，根据定理2，原方程有整数解.由原方程可得75323075314210719213yy y y y x -+-=-+-=-=， 由此可观察出一组特解为x 0=25，y 0=2.∴方程的通解为)(72,1925是整数t ty t x ⎩⎨⎧-=+=.其中⎩⎨⎧>->+072,01925t t ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->72,1925t t ∴721925<<-t ∴0,1-=t 代入通解可得原方程的正整数解为⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.2,25.9,6y x y x 或【点评】根据定理2解这类方程，若未知数的系数较大不容易观察出一组整数解时，可用一个未知数去表示另一个未知数，再利用整数的知识，这是解二元一次不定方程基本的方法，称为分离整系数法. 这样就容易找出一组整数解来.【实践】求方程2654731=+y 的正整数解. 答案： x=4,y=3.【例3】大客车能容纳54人，小客车能容纳36人，现有378人要乘车，问需要大、小客车各几辆才能使每个人都能上车且各车都正好坐满.【分析】本题是不定方程的应用，根据题意列出方程并求出非负整数解即可.【解答】设需要大客车x 辆，小客车y 辆，根据题意可列方程3783654=+y x ，即2123=+y x .又（3，2）=1，根据定理2，原方程有整数解. 易知⎩⎨⎧==9,1y x 是一个特解，通解为)(99,21是整数t t y t x ⎩⎨⎧-=+= 由题意可知⎩⎨⎧≥-≥+099,021t t 解得.3,2,1,0=t 相应地⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.0,7.3,5.6,3.9,1y x y x y x y x答：需要大客1车辆，小客车9辆；或需要大客车3辆，小客车6辆；或需要大客车5辆，小客车3辆；也可以只要大客车7辆，不要小客车. 【点评】一般来说实际问题通常取正整数解或者非负整数解.【实践】某次考试共需做20道小题，对1道得8分，错一道扣5分，不做不得分.某生共得13分，他没做的题目有几道？ 答案：7【例4】某人的生日月份数乘以31，生日的日期数乘以12，相加后得347，求此人的生日.【分析】本题的隐含条件是：月份的取值[1，12]，日期的取值[1，31].【解答】设此人生日的月份数为x ,日期数y. 根据题意可列方程 31x+12y=347.〈方法一〉〈方法二〉 特解：)(3116125165是整数通解：t t y tx y x ⎩⎨⎧-=+=⎩⎨⎧== )31347(|123134712x xy -∴-=16550125121121)(512)12(mod 711)12(mod 31347===∴=∴≤+≤∴≤≤+=∴≡∴≡∴y x x t t x t t x x x 代入原方程得：把是整数答：此人的生日为5月16日.【点评】求出通解后，要利用隐含条件求出符合题意的解. 其中方法二是利用了同余的知识.【实践】已知有一个三位数，如果它本身增加3，那么新的三位数的各位数字和就减少到原来的31，求一切这样三位数的和. 答案：432【例5】(新加坡数学竞赛题)设正整数m,n 满足698+=+mn n m ，则m 的最大值为 .【分析】把m 用含有n 的代数式表示，用分离整系数法，再结合整除的知识，求出m 的最大值.【解答】∵698+=+mn n m ，∴n mn m 968-=-，n m n 96)8(-=-由题意可得，n ≠8，∴8669866729869896-+=-+-=--=--=n n n n n n n m ， ∵m,n 为正整数， ∴ 当n=9时，m 有最大值为75..16503131161121251311121是符合题意解解得⎩⎨⎧==∴=∴⎩⎨⎧≤-≤≤+≤∴⎩⎨⎧≤≤≤≤y x t t t y x【点评】此题是求最值的问题，利用分离整系数法是一种典型的常用方法.【实践】(北京市数学竞赛题)有8个连续的正整数，其和可以表示成7个连续的正整数的和，但不能3个连续的正整数的和，那么这8个连续的正整数中最大数的最小值是 . 答案：28【例6】我国古代数学家张建丘所著《算经》中的“百钱买百鸡”问题：鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁，鸡母，鸡雏各几何？ 【分析】分析：用x,y,z 来表示鸡翁，鸡母，鸡雏的只数，则可列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++1001003135z y x z y x如何解这个不定方程组？消元转化为不定方程.【解答】解：设鸡翁，鸡母，鸡雏的只数分别为x,y,z.⎪⎩⎪⎨⎧=++=++)2(1003135)1(100z y x z y x (2)×3－(1)得：14x +8y =200，即7x +4y =100.〈方法一〉)(71844.184是整数通解：，特解：t t y t x y x ⎩⎨⎧-=+=⎩⎨⎧==.2,1,0718171804400=∴⎪⎩⎪⎨⎧<->⎩⎨⎧>->+∴⎩⎨⎧>>t t t t t y x 解得⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===844128111878184,z y x z y x z y x 原方程有三组解：相应地〈方法二〉〉下面的方法同〈方法一为整数）（通解：的特解是其特解为令.75004300.1004750030053,147t t y tx y x y x y x y x ⎩⎨⎧--=+==+⎩⎨⎧-==∴⎩⎨⎧-===+〈方法三〉下面方法同〈一〉是整数得：代入把是整数，即，，).(71844718)3(44).(44)4(mod 30:)4(mod 7100)7100(|4)3(71004t ty tx ty t x t t x x x x x y ⎩⎨⎧-=+=∴-=+=+=∴≡≡∴-∴-=【点评】充分挖掘题目的隐含条件，进而求整数解. 【实践】如果1只兔可换2只鸡，2只兔可换3只鸭，5只兔可换7只鹅.某人用20只兔换得鸡、鸭、鹅共30只.问：其中的鸡、鸭、鹅各多少只？ 答案：（2，21，7）、（4，12，14）、（6，3，21）【例7】求方程23732=++z y x 的整数解.【分析】对于三元一次不定方程，可以另外引进一个未知数，将其转化为方程组，然后分别解方程组中的各个方程，从而得到原方程的解.【解答】设t y x =+32，则原方程可看作⎩⎨⎧=+=+)2(.237)1(,32z t t y x 对于方程（1）x =-t ,y =t 是一个特解，从而（1）的整数解是)()4(.2)3(,3-是整数u u t y u t x ⎩⎨⎧+=-=又t =2,z =3是方程（2）的一个特解，于是（2）的整数解是)()6(.72)5(,3是整数v v t v z ⎩⎨⎧+=-=将（6）代入（3）、（4）消去t 得到原方程的所有整数解为：)(.3,272,372是整数、v u v z u v y u v x ⎪⎩⎪⎨⎧-=++=---=【点评】一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的，将解中的参数作适当代换，就可以化为同一形式. 【实践】求方程7892439=+-z y x 的整数解. 答案：)(.83213,3,238是整数、v u v u z v y u v x ⎪⎩⎪⎨⎧--=-=+-=【例8】(海峡两岸友谊赛试题)甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组同学没人有31个核桃，三组共有核桃总数是365个.问：三个小组共有多少名同学？ 【分析】设甲组同学a 人，乙组同学b 人，丙组同学c 人，由题意得365313028=++c b a . 要求c b a ++，可以运用放缩法从确定c b a ++的取值范围入手.【解答】设甲组同学a 人，乙组同学b 人，丙组同学c 人，则365313028=++c b a .∵)(31365313028)(28c b a c b a c b a ++<=++<++，∴2836531365<++<c b a . ∵c b a ++是整数，∴c b a ++=12或13.但当c b a ++=13时，得132=+c b ，无正整数解.答：三个小组共有12名同学.【点评】整体考虑和的问题，巧妙运用放缩法.【实践】Alice wants to buy some radios, pens and bags. If she buys 3 radios,6 pens,2 bags,she will pay ¥302. If she buys 5 radios,11 pens,3 bags,she will pay ¥508. Question: How much will Alice pay for 1 radio,1 pen and 1 bag? 答案：96【例9】一个布袋里有红、黄、蓝三种颜色大小相同的木球.红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3.小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标的数字和等于21.（1） 小明摸出的球中，红球的个数最多不超过几个？（2） 若摸出的球中三种颜色都有，有多少种不同的摸法？【分析】由于知道三种球的个数和，因此可设二元.第（2）问计数问题的实质是就是求正整数解的组数.【解答】（1）设小明摸的红球有x 个，黄球有y 个，蓝球有）（y x --10个，则21)10(32=--++y x y x ，整理，得x y 29-=，因为x 、y 均为正整数，可知x 的最大值为4.即红球最多不超过4个.（2）由（1）知蓝球的个数是1)29(1010+=---=--=x x x y x z ， 又∵.290.01,029,0,0,0,0<<⎪⎩⎪⎨⎧>+>->∴⎪⎩⎪⎨⎧>>>x x x x z y x 解得 ∴.4,3,2,1=x 因此共有4种不同的摸法，如下：（1，7，2），（2，5，3），（3，3，4），（4，1，5）.【点评】此题求的是未知数的范围及可能取值的个数，因此不需要求出方程的通解，而是根据题意对未知数的限制利用不等式分析出未知数的取值范围，以及整数解的个数.【实践】已知有两堆水泥，若从第一堆中取出100袋放进第二堆，则第二堆比第一堆多一倍；相反，若从第二堆中取出一些放进第一堆，则第一堆比第二堆多5倍.问第一堆中可能的最少水泥袋数是多少？并在这种情况下求出第二堆水泥的袋数.答案：170，40.【例10】设非负整数n ，满足方程n z y x =++2的非负整数（x,y,z ）的组数记为na . （1）求3a 的值；（2）求2001a 的值. 【分析】审清题中na 的n 与方程n z y x =++2是同一个非负整数，3a 的含义是方程32=++z y x 的非负整数解的（x,y,z ）的组数.【解答】（1）当n=3时，原方程为3x，由于+zy2=+≥zx得≤y≥.1,0≤,0当z=1时，方程为x+y=1，其解（x,y）=(0,1),(1,0) 有2组；当z=0时，方程为x+y=3，其解（x,y）=(0,3),(1,2)，(2,1),(3,0) 有4组.综上，a=6.3（2）当n=2001时，原方程为2001yx，由于+z+2=≥≥zyx得≤,0≤.,01000当z=1000时，方程为x+y=1，其解有2组；当z=999时，方程为x+y=3，其解有4组；当z=998时，方程为x+y=5，其解（x,y）=(0,5),(1,4)，(2,3),(3,2)，(4,1),(5,0)有6组；…；当z=0时，方程为x+y=2001，其解（x,y）=(0,2001),(1,2000)，…，(2001,0) 有2002组.综上，a=2+4+6+…+2002=1003002.2001【点评】此题综合较强，涉及解不定方程、分类讨论、计数等方面的知识，需要灵活运用所学只是解决问题.【实践】一次不定方程x+y+z=1999的非负整数解有( )个 CA.20001999B.19992000C.2001000D.2001999【总结反思】以上介绍了初中数学竞赛中一次不定方程的基本解法、各种解题技巧以及应用. 解不定方程的基本方法是分离整系数法，要熟练掌握. 在具体应用问题上，能将实际问题转化为不定方程的问题，并根据题意挖掘题目的隐含条件，也就是未知数的取值范围.【题海拾贝】1.（2000年希望杯竞赛题）若a 、b 均为正整数，且2a>b ，2a+b=10，则b 的值为（ ）A. 一切偶数B.2、4、6、8C.2、4、6D.2、42. 若正整数x,y 满足2004a=15y ，则 x+y 的最小值为 .3. 如果三个既约真分数6,432b a ，的分子都加上b ，这时得到的三个分数之和为6. 求这三个既约真分数的和.4. （重庆市竞赛题）一个盒子里装有不多于200粒棋子，如果每次2粒、3粒、4粒或6粒地取出，最终盒内都剩余1粒棋子；如果每次11粒地取出，那么正好取完.问：盒子里装有多少粒棋子？5. （2006年国际城市竞赛题）一辆汽车下坡的速度是72km/h ，在平地上的速度是63km/h ，上坡的速度是56km/h.汽车从A地到B地用了4h，而返程用了4小时40分，求AB两地的距离.答案：1.D2.6733.5 4.121 5.27312。
数学竟赛(好题选)3(30道,含详细解答)
数学竟赛（好题选）3数学竟赛（好题选）3一．解答题（共30小题）1．求关于x的方程a（x+b）=2x+ab+b2的解．2．先阅读下列解题过程，然后解答问题（1）、（2）解方程：|3x|=1解：①当3x≥0时，原方程可化为一元一次方程为3x=1，它的解是②当3x＜0时，原方程可化为一元一次方程为﹣3x=1，它的解是．（1）请你模仿上面例题的解法，解方程：2|x﹣3|+5=13（2）探究：当b为何值时，方程|x﹣2|=b+1 ①无解；②只有一个解；③有两个解．3．求11x+15y=7的整数解．4．小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分．小明共套10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次．小明套10次共得61分．问：小鸡至少被套中几次？5．房间里有凳子（3条腿）、椅子（4条腿）若干．每张凳子或椅子只能坐1人．一些人进来开会，只坐凳子或椅子都不够坐，但每人都有凳子或椅子坐，且还有空位．已知人腿、凳子腿、椅子腿之和为32，求房间里共有多少人？有多少凳子？有多少椅子？6．用100元钱买三种笔100支，其中金笔10元一支，铱笔3元一支，圆珠笔0.5元二支，问他三种笔各买了几支？7．已知x=by+cz，y=cz+ax，z=ax+by，且x+y+z≠0．（1）试用x，y，z这3个字母表示a；（不能出现字母b，c）（2）试说明：．8．爸爸给小东100元钱买花装饰圣诞树．花店的花成束出售，规格与价格如下：规格 A B C每束花朵数20 35 50价格（元/束） 4 6 9为了使买到的花朵数最多，请你给小敏提建议：每种规格的花买几束．9．初三（8）班尚剩班费m（m为小于400的整数）元，拟为每位同学买1本相册．某批发兼零售文具店规定：购相册50本起可按批发价出售，少于50本则按零售价出售，批发价比零售价每本便宜2元，班长若为每位同学买1本，刚好用完m元；但若多买12本给任课教师，可按批发价结算，也恰好只要m元．问该班有多少名同学？每本相册的零售价是多少元？10．已知正实数a，b，c满足方程组，求a+b+c的值．11．设A是给定的正有理数．（1）若A是一个三边长都是有理数的直角三角形的面积，证明：一定存在3个正有理数x、y、z，使得x2﹣y2=y2﹣z2=A．（2）若存在3个正有理数x、y、z，满足x2﹣y2=y2﹣z2=A，证明：存在一个三边长都是有理数的直角三角形，它的面积等于A．12．已知﹣=+3，求整数a，b的值．13．如果自然数x i满足x1+x2+x3+x4+x5=x1x2x3x4x5，求x5的最大值．14．有五个数，每两个数的和分别为2，3，4，5，6，7，8，6，5，4（未按顺序排列）．求这5个数的值．15．设有四个数，其中三个数的和分别为17、21、25、30，求这四个数．16．妈妈给小敏100元钱买花装饰圣诞树．花店的花成束出售，规格与价格如下：为了使买到的花最多，请你给小敏提建议：每种规格的花买几束．规格 A B C每束花朵数20 35 50价格（元/束） 4 6 917．试确定一切有理数r，使得关于x的方程rx2+（r+2）x+r﹣1=0有根且只有整数根．18．已知m为整数，且12＜m＜40，试求m为何值时，关于未知数x的方程x2﹣2（2m﹣3）x+4m2﹣14m+8=0有两个整数根．19．求这样的正整数a，使得方程ax2+2（2a﹣1）x+4a﹣7=0至少有一个整数解．20．试求使为整数的正整数解．21．已知a是正整数，如果关于x的方程x3+（a+17）x2+（38﹣a）x﹣56=0的根都是整数，求a的值及方程的整数根．22．如果f（x）=x2+x，证明方程4f（a）=f（b）无正整数解a，b．23．k为什么整数时，方程（6﹣k）（9﹣k）x2﹣（117﹣15k）x+54=0的解都是整数？（提示：对系数（6﹣k）（9﹣k）分为0与不为0讨论，得k值为3，6，7，9，15．）24．设a、b、c是互不相等的自然数，a•b2•c3=540，则a+b+c的值是多少？25．已知方程x2+bx+c=0与x2+cx+b=0各有两个整数根x1，x2，和x1′，x2′，且x1x2＞0，x1′x2′＞0．（1）求证：x1＜0，x2＜0，x1′＜0，x2′＜0；（2）求证：b﹣1≤c≤b+1；（3）求b，c的所有可能的值．26．关于x的方程x2﹣（k+4）x+k2+4=0，其中k为整数．（1）判断是否为该方程的一个根？如果不是，请说明理由；如果是，求出整数k的值并求出该方程的另一个根；（2）如果该方程两个不相等的根均为整数，求整数k的值并求出相应的整数根．27．一个直角三角形的边长都是整数，它的面积和周长的数值相等，这样的直角三角形是否存在？若存在，确定它三边的长，若不存在，说明理由．28．以关于x的整系数方程x2+（t﹣4）x+t=0的最大整数根为直径作⊙O，M为⊙O外的一点，过M作⊙O的切线MA和割线MBC，A为切点，若MA，MB，MC都是整数，且MB，MC都不是合数，求MA，MB，MC的长度．29．设p是大于2的质数，k为正整数．若函数y=x2+px+（k+1）p﹣4的图象与x轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k的值．30．设α为整数，若存在整数b和c，使得（x+α）（x﹣15）﹣25=（x+b）（x+c）成立，求α可取的值．数学竟赛（好题选）3参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．求关于x的方程a（x+b）=2x+ab+b2的解．考点：含字母系数的一元一次方程．分析：先去括号，然后移项、合并同类项，化未知数系数为1．注意：未知数系数不为零．解答：解：由原方程，得（a﹣2）x=b2，∵该方程是关于x的方程，∴a﹣2≠0，∴x=．点评：本题考查了含字母系数的一元一次方程；注意：未知数的系数不为零．2．先阅读下列解题过程，然后解答问题（1）、（2）解方程：|3x|=1解：①当3x≥0时，原方程可化为一元一次方程为3x=1，它的解是②当3x＜0时，原方程可化为一元一次方程为﹣3x=1，它的解是．（1）请你模仿上面例题的解法，解方程：2|x﹣3|+5=13（2）探究：当b为何值时，方程|x﹣2|=b+1 ①无解；②只有一个解；③有两个解．考点：含绝对值符号的一元一次方程．专题：计算题．分析：（1）当x﹣3≥0时，得出方程为2（x﹣3）+5=13，求出方程的解即可；当x﹣3＜0时，得出方程为2（3﹣x）+5=13，求出方程的解即可；（2）根据绝对值具有非负性得出|x﹣2|≥0，分别求出b+1＜0，b+1=0，b+1＞0的值，即可求出答案．解答：（1）解：当x﹣3≥0时，原方程可化为一元一次方程为2（x﹣3）+5=13，方程的解是x=7；②当x﹣3＜0时，原方程可化为一元一次方程为2（3﹣x）+5=13，方程的解是x=﹣1．（2）解：∵|x﹣2|≥0，∴当b+1＜0，即b＜﹣1时，方程无解；当b+1=0，即b=﹣1时，方程只有一个解；当b+1＞0，即b＞﹣1时，方程有两个解．点评：本题考查了含绝对值符号的一元一次方程的应用，解此题的关键是去掉绝对值符号得到一元一次方程，根据a≥0时，|a|=a；a＜0时，|a|=﹣a，题目比较好，但有一定的难度．3．求11x+15y=7的整数解．考点：二元一次不定方程的整数解．分析：首先将原方程变形，以求得符合条件的一组整数解，再利用参数表示出所有的整数解即可．解答：解：方法1：将方程11x+15y=7变形得：x=，∵x是整数，∴7﹣15y应是11的倍数．由观察得x0=2，y0=﹣1是这个方程的一组整数解，∴方程的解为：（t为整数）．方法2：先考察11x+15y=1，通过观察易得：11×（﹣4）+15×（3）=1，∴11×（﹣4×7）+15×（3×7）=7，可取x0=﹣28，y0=21．∴方程的解为：（t为整数）．点评：此题考查了二元一次不定方程的知识．注意二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的．将解中的参数t做适当代换，就可化为同一形式．4．小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分．小明共套10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次．小明套10次共得61分．问：小鸡至少被套中几次？考点：三元一次不定方程．专题：数字问题．分析：设套中小鸡x次，套中小猴y次，套中小狗z次．然后根据题意，列出三元一次方程组；解方程组时，根据x、y、z都是整数来确定它们的取值．解答：解：设套中小鸡x次，套中小猴y次，套中小狗z次．根据题意，得，由①﹣②×2，消去z，得7x+3y=41，解得，y=，则x＜，从而x的值只能是1，2，3，4，5∴y==13﹣2x+，∵y是整数，∴2﹣x必须是3的倍数，∴x=2或5；（1）当x=2时，y=9，z=﹣1不是正整数，不合题意，舍去；（2）当x=5时，y=2，z=3．答：小鸡至少被套中5次．点评：本题考查了三元一次不定方程的解法．根据题意列出方程并讨论符合条件（x、y、z都是整数）的未知数的取值是解题的关键．5．房间里有凳子（3条腿）、椅子（4条腿）若干．每张凳子或椅子只能坐1人．一些人进来开会，只坐凳子或椅子都不够坐，但每人都有凳子或椅子坐，且还有空位．已知人腿、凳子腿、椅子腿之和为32，求房间里共有多少人？有多少凳子？有多少椅子？考点：三元一次不定方程．专题：数字问题．分析：每个凳子坐上人以后，有3+2=5条腿；每个椅子坐上人以后，有4+2=6条腿；设房间里有x人，y张凳子，z把椅子（x，y，z为自然数），由题意可知：2x+3y+4z=32，根据方程讨论符合题意的x、y的取值，即可确定其值．再根据凳子和椅子数确定人数．解答：解：设房间里有x人，y张凳子，z把椅子由题意得，∴32=2x+3y+4z＞5x+z＞5x，又∵x是整数，∴4≤x≤6；①当x=4时，y≤3，z≤3，∴2x+3y+4z＜32，与32=2x+3y+4z矛盾，故不符合题意，舍去；②当x=6时，32=2x+3y+4z＞5x+z=30+z，∴z＜2，∴z=1，∴y=，与y是整数相矛盾，故不符合题意，舍去；③当x=5时，y=2，z=4．答：房间里共有5人、有2条凳子、有4把椅子．点评：本题考查了三元一次不定方程的应用．根据题意列出方程并讨论符合条件的未知数的取值是解题的关键．6．用100元钱买三种笔100支，其中金笔10元一支，铱笔3元一支，圆珠笔0.5元二支，问他三种笔各买了几支？考点：三元一次不定方程．分析：首先设金笔x支，铱金笔y支，圆珠笔z支，然后根据题意列方程，又由x，y，z均为正整数，即可求得x，y，z的值．解答：解：设金笔x支，铱金笔y支，圆珠笔z支，由题意列式得：x+y+z=100 ①，10x+3y+0.5z=100 ②，②代入①得：9.5x+2.5y=50，化简得：19x+5y=100，∵x，y，z均为正整数，∴19x必须是5的倍数，x，y才可能均为正整数，∴x=5，y=1；∴z=100﹣x﹣y=94．∴x=5，y=1，z=94．答：他买金笔5支，铱金笔1支，圆珠笔94支．点评：此题考查了三元一次不定方程的应用．解题的关键是根据题意列方程，再根据题意解方程．7．已知x=by+cz，y=cz+ax，z=ax+by，且x+y+z≠0．（1）试用x，y，z这3个字母表示a；（不能出现字母b，c）（2）试说明：．考点：三元一次不定方程．专题：计算题．分析：（1）由x=by+cz，y=cz+ax，z=ax+by，且x+y+z≠0，解方程组即可求得a的值；（2）由（1）可得：，同理求得：与的值，代入：，即可证得．解答：解：（1）解方程组：，（2）+（3）﹣（1）得：y+z﹣x=2ax，∴．（2）由（1）得：，同理可得，，，∴．点评：此题考查了三元一次方程组的求解方法以及比例式变形．此题难度适中，注意解题需细心．8．爸爸给小东100元钱买花装饰圣诞树．花店的花成束出售，规格与价格如下：规格 A B C每束花朵数20 35 50价格（元/束） 4 6 9为了使买到的花朵数最多，请你给小敏提建议：每种规格的花买几束．考点：三元一次不定方程．分析：首先设买A，B，C三种花分别为a，b，c束，然后根据题意列方程，又由4a，6b，100都是偶数，分析得到c为偶数，则可分别从（1）用12元钱可买A种花3束，共60朵；可买B种花2束，共70朵与（2）用18元钱可买B种花3束，共105朵；可买C种花2束，共100朵去分析，即可求得答案．解答：解：设买A，B，C三种花分别为a，b，c束，由题意得：4a+6b+9c=100，∵4a，6b，100都是偶数，∴c是偶数，各种花束的花朵数进行比较：（1）用12元钱可买A种花3束，共60朵；可买B种花2束，共70朵．∴买A种花3束不妨改买B种花，可见买A种花不能多于2束，a≤2；（2）用18元钱可买B种花3束，共105朵；可买C种花2束，共100朵．同理，c＜2，但c是偶数，∴c=0；根据以上分析，得4a+6b=100，化简得2a+3b=50，若a=1，则b=16；若a=2，则b不是整数．∴这个方程符合条件的解只有1个．答：买A种花1束、B种花16束，这时花朵最多，达580朵．点评：此题考查了三元一次不定方程的应用．解题的关键是根据题意列方程，再根据题意解方程．注意分类讨论思想的应用．9．初三（8）班尚剩班费m（m为小于400的整数）元，拟为每位同学买1本相册．某批发兼零售文具店规定：购相册50本起可按批发价出售，少于50本则按零售价出售，批发价比零售价每本便宜2元，班长若为每位同学买1本，刚好用完m元；但若多买12本给任课教师，可按批发价结算，也恰好只要m元．问该班有多少名同学？每本相册的零售价是多少元？考点：非一次不定方程（组）．专题：探究型．分析：设该班有x名同学，每本相册的零售价是y元，根据题意列出关于x、y的方程，再由x、y为整数即可求出x、y的可能值．解答：解：设该班有x名同学，每本相册的零售价是y元，则xy=（x+12）（y﹣2）①，且整数x满足38＜x＜50②，由①得12y﹣2x﹣24=0，y=+2，xy=+2x③，由③及xy=m为整数，知整数x必为6的倍数，再由②得x只可能为42或48，此时相应的y为9或10，但m＜400，所以x=42，y=9．故答案为：该班有42名同学，每本相册的零售价是9元．点评：本题考查的是非一次不定方程，解答此类问题的关键是根据题意列出方程，再由x、y均为正整数的条件求解．10．已知正实数a，b，c满足方程组，求a+b+c的值．考点：非一次不定方程（组）．专题：探究型．分析：先把三式相加，再把所得代数式化为两个因式积的形式，由a，b，c为正实数即可求出答案．解答：解：把三式相加得：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac+a+b+c=12，即（a+b+c）2+（a+b+c）=12，∴（a+b+c﹣3）（a+b+c+4）=0，∵a，b，c为正实数，∴a+b+c=3．故答案为：3．点评：本题考查的是解非一次不定方程，解答此题时要注意完全平方公式的运用，不要盲目求解．11．设A是给定的正有理数．（1）若A是一个三边长都是有理数的直角三角形的面积，证明：一定存在3个正有理数x、y、z，使得x2﹣y2=y2﹣z2=A．（2）若存在3个正有理数x、y、z，满足x2﹣y2=y2﹣z2=A，证明：存在一个三边长都是有理数的直角三角形，它的面积等于A．考点：非一次不定方程（组）；三角形的面积；直角三角形的性质．专题：计算题．分析：（1）设a，b，c是直角三角形的三边长，a，b，c都是有理数，且a2+b2=c2，ab=A，由若a=b，求得=，可知a≠b；所以设a＜b，x=，y=，z=即可证得结论；（2）设三个有理数x，y，z满足x2﹣y2=y2﹣z2=A，则x＞y＞z，取a=x﹣z，b=x+z，c=2y，代入检验即可证得结论．解答：解：（1）设a，b，c是直角三角形的三边长，a，b，c都是有理数，且a2+b2=c2，ab=A，若a=b，则2a2=c2，=，这与a，c都是有理数的假定矛盾，故a≠b．不妨设a＜b，取x=，y=，z=，则x，y，z都是有理数，且x2﹣y2==ab=A，y2﹣z2==ab=A．（2）设三个有理数x，y，z满足x2﹣y2=y2﹣z2=A，则x＞y＞z，取a=x﹣z，b=x+z，c=2y，则a，b，c都是有理数，且a2+b2=2（x2+z2）=4y2=c2，ab=（x2﹣z2）=[（x2﹣y2）+（y2﹣z2）]=A．即存在一个三边长a，b，c都是有理数的直角三角形，它的面积等于A．点评：此题考查了有理数知识与完全平方式的应用．题目难度较大，注意构造符合要求的有理数是解题的关键．12．已知﹣=+3，求整数a，b的值．考点：非一次不定方程（组）．专题：探究型．分析：先把原式化为（1+3a）（1+3b）=16的形式，再用a表示出b，根据a、b均为整数，即可求出a、b的对应值．解答：解：∵原式可化为：（1+3a）（1+3b）=16，∴b=，∴有以下三种情况：当a=1时，b=1；当a=﹣3时，b=﹣1；当a=﹣1时，b=﹣3．点评：本题考查的是解非一次不定方程，能根据题意把b用a表示出来是解答此题的关键．13．如果自然数x i满足x1+x2+x3+x4+x5=x1x2x3x4x5，求x5的最大值．考点：非一次不定方程（组）．专题：计算题．分析：根据题意可知：x1，x2，x3，x4，x5都是正整数，所以可设1≤x1≤x2≤x3≤x4≤x5，再分别从除了x5其他全是1，至少有2个数大于等于2，至少有3个数大于等于2，去分析求解即可求得答案．解答：解：∵自然数x i满足x1+x2+x3+x4+x5=x1x2x3x4x5，∴x1，x2，x3，x4，x5都是正整数，不妨设1≤x1≤x2≤x3≤x4≤x5，若除了x5其他全是1，∴4+x5=x5，∴不可；∴至少有2个数大于等于2，若只有2个数大于等于2，则3+x4+x5=x4x5，即（x4﹣1）（x5﹣1）=4，∴x5=5，x4=2（舍去）或x5=3，x4=3，∴至少有3个数大于等于2，若3个数大于等于2中有2个等于2，则1+1+2+2+x5=4x5，∴x5=2，∴不可；∴至少有3个数大于等于2，3个数大于等于2中只有1个等于2，那么至少还有一个大于等于3，若x5≥6，∴x1x2x3x4x5≥1×1×2×3×6≥36，∴x1+x2+x3+x4+x5≤5×6=30，矛盾，∴x5≤5，其次x1=1，x2=1，x3=1，x4=2，x5=5，成立．∴x5的最大值为5．点评：此题考查了自然数的应用．解题的关键是利用分类讨论思想求解．14．有五个数，每两个数的和分别为2，3，4，5，6，7，8，6，5，4（未按顺序排列）．求这5个数的值．考点：多元一次方程组．专题：计算题．分析：根据题意，设这五个数是a≤b≤c≤d≤e，将和数从小到大重新排列为2、3、4、4、5、5、6、6、7、8．然后根据题意列出关于a、b、c、d、e的五元一次方程组；再来解方程组，解方程组时，先解出整体a+b+c+d+e 的值，然后将方程组的等式代入a+b+c+d+e=12.5中分别解答a、b、c、d、e的值．解答：解：设这五个数是a≤b≤c≤d≤e，将和数从小到大重新排列为2、3、4、4、5、5、6、6、7、8．这样a+b是最小的和，a+c是次小的和，∴a+b=2，a+c=3；同理，d+e是最大的和，c+e是次大的和，∴c+e=7，d+e=8；∴；由①+②+③+④，得a+b+c+d+e=（2+3+4+4+5+6+6+7+8），即a+b+c+d+e=12.5，⑤将①③代入⑤，得d=3.5；⑥将⑥代入④，解得e=4.5；⑦将⑦代入③，解得c=2.5，将其代入②，解得，a=0.5；将其代入①，解得b=1.5．综合上述，这五个数分别是：0.5、1.5、2.5、3.5、4.5．点评：本题考查了多元一次方程组的解法．解答时，通过整体叠加，先求出a+b+c+d+e值，然后再通过“加减消元法”解方程组．这种思维定向，整体考虑可优化解题过程、提高解题速度．15．设有四个数，其中三个数的和分别为17、21、25、30，求这四个数．考点：多元一次方程组．专题：计算题．分析：设4个数分别为a，b，c，d．然后根据题意列出关于a，b，c，d的四元一次方程组，解方程组即可．解答：解：设4个数分别为a，b，c，d．则，①+②+③+④，得3（a+b+c+d）=108，即a+b+c+d=36，⑤将①代入⑤，解得，d=15；将②代入⑤，解得，c=8；将③代入⑤，解得，b=7；将④代入⑤，解得，a=6；故这四个数分别是：6、7、8、15．点评：本题考查了四元一次方程组的解法．解答时，先采用整体叠加，计算出整体a+b+c+d=36，然后将方程组中的每一个等式代入其中，即可解出原方程组的解．这种思维定向、整体考虑可优化解题过程、提高解题速度．16．妈妈给小敏100元钱买花装饰圣诞树．花店的花成束出售，规格与价格如下：为了使买到的花最多，请你给小敏提建议：每种规格的花买几束．规格 A B C每束花朵数20 35 50价格（元/束） 4 6 9考点：一元二次方程的整数根与有理根．专题：应用题；分类讨论．分析：设买A，B，C三种花分别为a，b，c束，然后根据题意列出代数式4a+6b+9c=100，再根据4a，6b，100的奇偶性来判断c的奇偶性；最后，对各种花束的花朵数进行比较并作出判断与选择．解答：解：设买A，B，C三种花分别为a，b，c束，则4a+6b+9c=100．因为4a，6b，100都是偶数，所以c是偶数，各种花束的花朵数进行比较：（1）用12元钱可买A种花3束，共60朵；可买B种花2束，共70朵．因此买A种花3束不妨改买B种花，可见买A种花不能多于2束，a≤2；（2）用18元钱可买B种花3束，共105朵；可买C种花2束，共100朵．同理，c＜2，但c是偶数，所以c=0；根据以上分析，得4a+6b=100，化简得2a+3b=50．若a=1，则b=16；若a=2，则b不是整数．这个方程符合条件的解只有1个．答：买A种花1束、B种花16束，这时花朵最多，达580朵．点评：本题主要考查了关于一元二次方程的一道应用题，在解答一元二次方程时，要根据实际情况来确定方程的整数解．17．试确定一切有理数r，使得关于x的方程rx2+（r+2）x+r﹣1=0有根且只有整数根．考点：一元二次方程的整数根与有理根．分析：由于方程的类型未确定，所以应分类讨论．当r≠0时，由根与系数关系得到关于r的两个等式，消去r，利用因式（数）分解先求出方程两整数根．解答：解：（1）若r=0，x=，原方程无整数根；（2）当r≠0时，x1+x2=，x1x2=；消去r得：4x1x2﹣2（x1+x2）+1=7，即（2x1﹣1）（2x2﹣1）=7，∵7=1×7=（﹣1）×（﹣7），∴①，解得，∴1×4=，解得r=；②，解得；同理得：r=，③，解得，r=1，④，解得，r=1．∴使得关于x的方程rx2+（r+2）x+r﹣1=0有根且只有整数根的r值是﹣或1．点评：本题主要考查了一元二次方程的整数根与有理根．在解答此题时，利用了一元二次方程的根与系数的关系．18．已知m为整数，且12＜m＜40，试求m为何值时，关于未知数x的方程x2﹣2（2m﹣3）x+4m2﹣14m+8=0有两个整数根．考点：一元二次方程的整数根与有理根；根的判别式；根与系数的关系．分析：根据二次方程根与判别式的关系，可得△≥0；又由关于未知数x的方程x2﹣2（2m﹣3）x+4m2﹣14m+8=0有两个整数根，可得为整数，即2m+1是一个完全平方数，根据条件12＜m＜40，讨论即可求得m的值．解答：解：∵△=[﹣2（2m﹣3）]2﹣4（4m2﹣14m+8）=8m+4，∵关于未知数x的方程x2﹣2（2m﹣3）x+4m2﹣14m+8=0有两个根，∴8m+4≥0，∵关于未知数x的方程x2﹣2（2m﹣3）x+4m2﹣14m+8=0有两个整数根∴=2是整数，又∵12＜m＜40，∴5＜＜9，∵方程有两个整数根必须使为正整数，且m为整数，∴，∴m=24．点评：此题考查了一元二次方程中根与判别式的关系．解题的关键是注意抓住已知条件，利用分类讨论思想求解．19．求这样的正整数a，使得方程ax2+2（2a﹣1）x+4a﹣7=0至少有一个整数解．考点：一元二次方程的整数根与有理根．专题：计算题；分类讨论．分析：此题求a，可以首先将x看作已知数，利用一元一次方程的求解方法求得a的值（用含有x的式子表示），然后利用a的取值要求可求得a的值．解答：解：把原方程改为关于a的一次方程（x+2）2a=2x+7（x≠﹣2），解得，a=，∵a≥1，∴≥0，解得：﹣3≤x≤1，∴x=﹣3，﹣1，0，1，把x=﹣3，﹣1，0，1分别代入，得a=﹣1，a=5，a=，a=1．∵a是正整数，∴当a=1或a=5时，方程ax2+2（2a﹣1）x+4a﹣7=0至少有一个整数解．点评：此题考查了学生对一元一次方程的求解．解题的关键是抓住a的取值要求，根据要求分析求解即可，注意分类讨论思想的应用．20．试求使为整数的正整数解．考点：一元二次方程的整数根与有理根．专题：常规题型．分析：若，只要不为有理数即可．解题时还要注意分类讨论．解答：解：设为有理数，但皆不为有理数．因则唯一有理数，矛盾．故，令y+z=2006k12，z+x=2006k22，x+y=2006k32，为正整数，则或2或3．当=3时，可得k1=1，k2=1，k3=1，即可得：x=y=z=1003；当=2时，可得k1=2，k2=2，k3=1或k1=2，k2=1，k3=2或k1=1，k2=2，k3=2，即可得：x=1003，y=1003，z=7021或x=1003，y=7021，z=1003或x=7021，y=1003，z=1003；当=1时，可得k1=3，k2=3，k3=3或k1=4，k2=4，k3=2或k1=4，k2=2，k3=4或k1=2，k2=4，k3=4，即可得：x=y=z=9027或x=y=4012，z=28084或x=z=4012，y=28084或y=z=4012，x=28084．故共有8组解．点评：本题主要考查了一元二次方程的整数根与有理根，在解答此题的关键是理解“若，只要不为有理数即可”．21．已知a是正整数，如果关于x的方程x3+（a+17）x2+（38﹣a）x﹣56=0的根都是整数，求a的值及方程的整数根．考点：一元二次方程的整数根与有理根；因式分解的应用；一元二次方程的解；根的判别式．专题：计算题．分析：先将原方程的左边分解因式，然后根据“两个数的乘积是0，其中最少有一个因式是0的”原则来分析；最后由二次方程的根的判别式及整数的奇偶性来解答．解答：解：将方程的左边分解因式，得（x﹣1）【x2+（a+18）x+56】=0，观察易知，方程有一个整数根x1=1，∵a是正整数，∴关于x的方程x2+（a+18）x+56=0（1）的判别式△=（a+18）2﹣224＞0，它一定有两个不同的实数根．而原方程的根都是整数，所以方程（1）的根都是整数，因此它的判别式△=（a+18）2﹣224应该是一个完全平方数．设（a+18）2﹣224=k2（其中k为非负整数），则（a+18）2﹣k2=224，即（a+18+k）（a+18﹣k）=224．显然a+18+k与a+18﹣k的奇偶性相同，且a+18+k≥18，而224=112×2=56×4=28×8，所以或或解得或或而a是正整数，所以只可能或当a=39时，方程（1）即x2+57x+56=0，它的两根分别为﹣1和﹣56．此时原方程的三个根为1，﹣1和﹣56．当a=12时，方程（1）即x2+30x+56=0，它的两根分别为﹣2和﹣28．此时原方程的三个根为1，﹣2和﹣28点评：本题综合考查了一元二次方程的整数根与有理根、因式分解的应用、一元二次方程的解与根的判别式等知识点，是难度比较大的一道题，在解题时，要分类讨论，勿漏解．22．如果f（x）=x2+x，证明方程4f（a）=f（b）无正整数解a，b．考点：一元二次方程的整数根与有理根．分析：首先根据已知得到：4a2+4a=b2+b，然后分别将方程左右两边配方，即可知有一个为正整数时，另一个为无理数，则问题得证．解答：解：∵f（x）=x2+x，又∵4f（a）=f（b），∴4（a2+a）=b2+b，∴4a2+4a=b2+b，∴（2a+1）2=b2+b+1，∴2a+1=±，若b是正整数，∵b2+b+1不是完全平方式，∴是无理数，同理：b+=±，若a是正整数，∵4a2+4a+不是完全平方数，∴是无理数，∴方程4f（a）=f（b）无正整数解a，b．点评：此题考查了一元二次方程的整数根与无理根的知识．解题的关键是配方知识的应用．23．k为什么整数时，方程（6﹣k）（9﹣k）x2﹣（117﹣15k）x+54=0的解都是整数？（提示：对系数（6﹣k）（9﹣k）分为0与不为0讨论，得k值为3，6，7，9，15．）考点：一元二次方程的整数根与有理根．分析：此题首先需要从（6﹣k）（9﹣k）分为0与不为0讨论，（6﹣k）（9﹣k）为0时，是一元一次方程，根据题意分析可得k的值；再根据（6﹣k）（9﹣k）不为0时，符合一元二次方程的求解方法，分析求解即可．解答：解：如果（6﹣k）（9﹣k）=0，原方程变形为：﹣（117﹣15k）x+54=0，解得：x=，∵方程（6﹣k）（9﹣k）x2﹣（117﹣15k）x+54=0的解是整数，∴k=6或k=7；如果（6﹣k）（9﹣k）≠0，可得：△=[﹣（117﹣15k）]2﹣4×（6﹣k）（9﹣k）×54=9（k﹣15）2；∴x=，可得：x=﹣或x=﹣，∵方程（6﹣k）（9﹣k）x2﹣（117﹣15k）x+54=0的解是整数，∴可得k为3，7，15；∴k值为3，6，7，9，15．点评：此题比较难，易漏答案．注意从系数入手，分为一元一次方程与一元二次方程两种情况，是比较典型的分类讨论的题目，小心不要漏解．24．设a、b、c是互不相等的自然数，a•b2•c3=540，则a+b+c的值是多少？考点：一元二次方程的整数根与有理根．分析：因为a•b2•c3=540是积的形式，所以首先可将540分解质因数；再利用分类讨论的方法即可求得．注意此题易得a=5，b=2，c=3，不过要注意c取1的情况，小心不要漏解．解答：解：∵a、b、c是互不相等的自然数，a•b2•c3=540，又∵540=2×2×3×3×3×5，∴可能为：a=5，b=2，c=3，可得a+b+c=10；也可能为：c=1，b=2，a=135，可得a+b+c=138；也可能为：c=1，b=3，a=60，可得a+b+c=64．∴a+b+c的值是：10或138或64．点评：解此题要注意a•b2•c3=540是积的形式，找到将540分解质因数的方法求解是关键．还要注意分析问题要全面，不要漏解．25．已知方程x2+bx+c=0与x2+cx+b=0各有两个整数根x1，x2，和x1′，x2′，且x1x2＞0，x1′x2′＞0．（1）求证：x1＜0，x2＜0，x1′＜0，x2′＜0；（2）求证：b﹣1≤c≤b+1；（3）求b，c的所有可能的值．考点：一元二次方程的整数根与有理根；根与系数的关系．专题：计算题；分类讨论．分析：（1）分类讨论，根据x1x2＞0，x1′x2′＞0知道x1与x2同号，然后利用根与系数的关系求出矛盾，得到正确的结果；（2）分别证明b﹣1≤c和c≤b+1，利用根与系数的关系和整数根；（3）根据（2）中b﹣1≤c≤b+1，分别另c=b+1、b、b﹣1进行求解，从而得到所有正确的结果．解答：解：（1）由x1x2＞0知，x1与x2同号．若x1＞0，则x2＞0，这时﹣b=x1+x2＞0，所以b＜0，此时与b=x1′x2′＞0矛盾，所以x1＜0，x2＜0．同理可证x1′＜0，x2′＜0．（2）由（1）知，x1＜0，x2＜0，所以x1≤﹣1，x2≤﹣1．由韦达定理c﹣（b﹣1）=x1x2+x1+x2+1=（x1+1）（x2+1）≥0，所以c≥b﹣1．同理有b﹣（c﹣1）=x1′x2′+x1′+x2′+1=（x1′+1）（x2′+1）≥0所以c≤b+1，所以b﹣1≤c≤b+1．（3）由（2）可知，b与c的关系有如下三种情况：（i）c=b+1．由韦达定理知x1x2=﹣（x1+x2）+1，所以（x1+1）（x2+1）=2，所以或解得x1+x2=﹣5，x1x2=6，所以b=5，c=6．（ii）c=b．由韦达定理知x1x2=﹣（x1+x2），所以（x1+1）（x2+1）=1，所以x1=x2=﹣2，从而b=4，c=4．（iii）c=b﹣1．由韦达定理知﹣（x1′+x2′）=x1′x2′﹣1所以（x1′+1）（x2′+1）=2，解得x1′+x2′=﹣5，x1′x2′=6，所以b=6，c=5．综上所述，共有三组解：（b，c）=（5，6），（4，4），（6，5）．点评：本题主要考查了一元二次方程的整数根和根与系数的关系，关键是分类讨论时要找到所有的情况．26．关于x的方程x2﹣（k+4）x+k2+4=0，其中k为整数．（1）判断是否为该方程的一个根？如果不是，请说明理由；如果是，求出整数k的值并求出该方程的另一个根；（2）如果该方程两个不相等的根均为整数，求整数k的值并求出相应的整数根．考点：一元二次方程的整数根与有理根．专题：计算题．分析：（1）首先假设+4是方程的根，则将其代入方程，整理可得关于k的一元二次方程，通过判别式可确定k无实数根，又由k为整数，推得矛盾，所以+4不是该方程的根；（2）首先由求根公式求得x的值，又由方程两个不相等的根均为整数，可得△是平方数，设△=m2，分析求解可知：m2=0，1，4，再依次分析即可求得答案．解答：解：（1）如果+4是该方程的一个根，那么（+4）2﹣（k+4）（+4）+k2+4=0，整理得：k2﹣（+4）k+9+4=0，∴△=（+4）2﹣4×（9+4）=﹣15﹣8＜0，∴+4不是该方程的根．（2）由求根公式得：，∵方程两个不相等的根均为整数，∴8k﹣3k2应该是完全平方数，设8k﹣3k2=m2（m是整数），∴3k2﹣8k+m2=0，∴△=64﹣12m2≥0，即，∴m2=0，1，4，如果m2=0，那么8k﹣3k2=0，得到k=0，原方程有两个相等的根；如果m2=1，那么8k﹣3k2=1，经计算此时k不是整数；如果m2=4，那么8k﹣3k2=4，∵k是整数，∴得到k=2，此时愿方程化为x2﹣6x+8=0，两根分别为2，4；∴当k=2时，原方程有两个不相等的整数根，分别为2，4．点评：此题考查了根与方程的关系，一元二次方程的判别式与求根公式的应用等知识．注意分类讨论思想与反证法的应用是解此题的关键．27．一个直角三角形的边长都是整数，它的面积和周长的数值相等，这样的直角三角形是否存在？若存在，确定它三边的长，若不存在，说明理由．考点：一元二次方程的整数根与有理根；勾股定理的逆定理．专题：应用题；分类讨论．分析：假设存在符合条件的直角三角形，它的三边长为a、b、c，其中c为斜边，则，于是将存在性问题的讨论转化为求方程组的解．解答：解：假设符合条件的直角三角形存在，它的三边长为a、b、c，其中c为斜边，则，。
初中数学竞赛专题复习 第三篇 初等数论 第21章 不定方程试题 新人教版-新人教版初中全册数学试题
第21章 不定方程§21.1 二元一次不定方程★求不定方程2x y -=的正整数解．解析 因为312-=，422-=，532-=，…，所以这个方程的正整数解有无数组，它们是2,,x n y n =+⎧⎨=⎩其中n 可以取一切正整数．★求11157x y +=的整数解．解析1 将方程变形得71511y x -=． 因为x 是整数，所以715y -应是11的倍数．由观察得02x =，01y =-是这个方程的一组整数解，所以方程的解为215,111,x t y t =-⎧⎨=-+⎩t 为整数． 解析2 先考察11151x y +=，通过观察易得()()1141531⨯-+⨯=，所以()()114715377⨯-⨯+⨯⨯=，可取028x =-，021y =．从而 2815,2111,x t y t =--⎧⎨=+⎩t 为整数． 评注 如果a 、b 是互质的整数，c 是整数，且方程ax by c +=①有一组整数解0x 、0y ．则此方程的一切整数解可以表示为00,,x x bt y y at =-⎧⎨=+⎩其中0t =，±1，±2，±3，…．★求方程62290x y +=的非负整数解．解析 因为(6，22)=2，所以方程两边同除以2得31145x y +=． ①由观察知，14x =，11y =-是方程3111x y +=②的一组整数解，从而方程①的一组整数解为()00454180,45145,x y =⨯=⎧⎪⎨=⨯-=-⎪⎩ 所以方程①的一切整数解为18011,453.x t y t =-⎧⎨=-+⎩因为要求的原方程的非负整数解，所以必有180110,4530.t t -⎧⎨-+⎩≥③≥④ 由于t 是整数，由③、④得15≤t ≤16，所以只有t =15，t =16两种可能．当t =15时，x =15，0y =；当t =16时，x =4，y = 3．所以原方程的非负整数解是15,0,x y =⎧⎨=⎩4,3.x y =⎧⎨=⎩ ★求方程719213x y +=的所有正整数解．解析 这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况我们可用逐步缩小系数 的方法使系数变小，最后再用观察法求解．用方程719213x y +=①的最小系数7除方程①的各项，并移项得213193530277y y x y --==-+．② 因为x 、y 是整数，故357y u -=也是整数，于是有573y u +=．再用5除此式的两边得 373255u u y u --==-+．③令325u v -= (整数)，由此得 253u v +=．④由观察知1u =-，1v =是方程④的一组解．将1u =-代入③得2y =．2y =代入②得x =25．于 是方程①有一组解025x =，02y =，所以它的一切解为2519,27.x t y t =-⎧⎨=+⎩0,1,2,t =±±由于要求方程的正整数解，所以25190,270.t t ->⎧⎨+>⎩ 解不等式，得t 只能取0，1．因此得原方程的正整数解为25,2,x y =⎧⎨=⎩6,9.x y =⎧⎨=⎩★求方程3710725x y +=的整数解．解析 因为10723733=⨯+，371334=⨯+，33841=⨯+．为用37和107表示1，我们把上述辗转相除过程回代，得1=33-8×4=37-4-8×4=37-9×4=37-9×(37-33)=9×33-8×37=9×(107-2×37)-8×37=9×107-26×37=37×(-26)+107×9,由此可知126x =-，19y =是方程371071x y +=的一组整数解．于是()02526650x =⨯-=-,0259225y =⨯=是方程3710725x y +=的一组整数解．所以原方程的一切整数解为650107,22537,x t y t =--⎧⎨=+⎩t 是整数． ★求方程92451000x y z +-=的整数解．解析 设9243x y t +=，即38x y t +=，于是351000t z -=．原方程可化为38,351000.x y t t z +=⎧⎨-=⎩①②用前面的方法可以求得①的解为38,3,x t u y t u =-⎧⎨=-+⎩u 是整数． ②的解为20005,10003,t v z v =+⎧⎨=+⎩v 是整数． 消去t ，得6000815,200035,10003,x u v y u v z v =-+⎧⎪=-+-⎨⎪=+⎩,u v 是整数．★求方程23723x y z ++=的整数解．解析 设23x y t +=，则23,723.x y t t z +=⎧⎨+=⎩①② 对于①，0x t =-，0y t =是一组特解，从而①的整数解为3,2,x t u y t u =--⎧⎨=+⎩u 是整数． 又02t =，03z =是方程②的一组特解，于是②的整数解为3,27,z v t v =-⎧⎨=+⎩v 是整数． 所以，原方程的整数解为273,272,3.x v u y v u z v =---⎧⎪=++⎨⎪=-⎩u 、v 是整数．★求方程组57952,35736x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩的正整数解． 解析 消去z ，得 210z y +=． ①．易知04x =，02y =是它的一组特解，从而①的整数解为4,22,x t y t =-⎧⎨=+⎩t 是整数． 代入原方程组，得所有整数解为4,22,2.x t y t z t =-⎧⎪=+⎨⎪=-⎩t 是整数．由0x >，0y >，0z >得12t -<<，所以t =0，1，故原方程组的正整数解为4,2,2;x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩3,4,1.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩★求方程351306x y +=的正整数解的组数．解析 因为130651435233y y x y -+==-+，所以0x =437，01y =-是一组特解．于是方程的整数 解为4375,13.x t y t =-⎧⎨=-+⎩t 是整数． 由43750,130.t t ->⎧⎨-+>⎩ 得143735t <<. 所以t =1，2，…，87．故原不定方程有87组正整数解．★★某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法? 解析 设需x 枚7分，y 枚5分恰好支付142分，于是75142x y +=．①所以1427222855x x y x --==--． 由于7x ≤142，所以x ≤20，并且由上式知()5|21x -．因为(5，2)=1，所以5|1x -，从而 x =1，6，11，16．①的非负整数解为1,6,11,16,27;20;13; 6.x x x x y y y y ====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨====⎩⎩⎩⎩所以，共有4种不同的支付方式．评注 当方程的系数较小时，而且是求非负整数解或者是实际问题时，这时候的解的组数往往较少，可以用整除的性质加上枚举，也能较容易地解出方程．★★今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只，用100个钱买100只鸡，问公 鸡、母鸡、小鸡各买了多少只?解析 设公鸡、母鸡、小鸡各买x 、y 、z 只，由题意列方程组153100,3100.x y z x y z ⎧++=⎪⎨⎪++=⎩①② ①化简得159300x y z ++=.③③-②得148200,x y +=即74100.x y +=解741x y +=得1,2.x y =-⎧⎨=⎩于是74100x y +=的一个特解为00100,200.x y =-⎧⎨=⎩所以74100x y +=的所有整 数解为1004,2007,x t y t =-+⎧⎨=-⎩t 是整数． 由题意知，0x <，y ，100z <，所以，01004100,02007100.t t <-+<⎧⎨<-<⎩解得2550,241428.77t t <<⎧⎪⎨<<⎪⎩ 故425287t <<. 由于t 是整数，故t 只能取26，27，28，而且x 、y 、z 还应满足100x y z ++=．所以即可能有三种情况：4只公鸡，18只母鸡，78只小鸡；或8只公鸡，11只母鸡，81只小鸡；或12只公鸡，4只母鸡，84只小鸡．★★小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴一次得5分，套中小狗一次得2分．小明共套10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次．小明套lO 次共得61分，问：小鸡至少被套中几次?解析 设套中小鸡x 次，套中小猴y 次，套中小狗z 次，则根据题意得95261,10.x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩①② 我们要求这个方程组的正整数解．消去z ：从①中减去②×2得7341x y +=，于是4173x y -=．③ 由③可以看出417x <．从而x 的值只能是1，2，3，4，5．将③写成 21323x y x -=-+， 由于y 是整数，所以2x -必须是3的倍数．从而只有2、5两个值满足这一要求．但2x =时，9y =，1z =-不是正整数．在5x =时，2y =，3z =是本题的解．因此小鸡被套中5次．评注 本题问“小鸡至少被套中几次?”实际上却只有一个解，“至少”两字可以省去．★★今有浓度为5％、8％、9％的甲、乙、丙三种盐水分别为60克、60克、47克，现要配制成浓度为7％的盐水100克，问甲种盐水最多可用多少克?最少可用多少克?解析 设甲、乙、丙盐水分别各取x 克、y 克、z 克，配成浓度为7％的盐水100克，依题意有 100,589700.x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩其中060x ≤≤，0≤y ≤60，0≤z ≤47．解方程组可得2004,3100.y x z x =-⎧⎨=-⎩由0200460,0310047.x x -⎧⎨-⎩≤≤≤≤ 得3549x ≤≤．又35x =，60y =，5z =和49x =，4y =，47z =均满足题设，故甲种盐水最少可用35克，最 多可用49克．§21.2 勾股数★★★满足方程222x y z +=的一切基本勾股数x 、y 、z （y 为偶数)，都可表示为以下形式：22x p q =-，2y pq =，22z p q =+，①其中p 、q 为正整数，(p ，q )=1，p q >，p 、q 一奇一偶．解析 设正整数p 、q 满足(p ，q )=1，p q >，p 、q 一奇一偶，则()()2222222x y p q pq +=-+ 42242224p p q q p q =-++()2222p q z =+=． 所以一切形如①的正整数x 、y 、z 都是方程222x y z +=的解．下面证明这样的x 、y 、z 是基本勾股 数．设(),,x y z d =，由于p 、q 一奇一偶，所以22p q -是奇数，由22|d x p q =-，于是d 是奇数．又由22|d p q +，得()()2222|d p q p q ++-，即2|2d p ，同理2|2d q ．因为d 是奇数，所以2|d p ，2|d q ，于是()22|,d p q ．由(),1p q =得()22,1p q =，所以1d =．这就证明了由①确定的x 、y 、z 是一组基本 勾股数．反过来，设x 、y 、z 是一组基本勾股数，且y 是偶数，x 和z 都是奇数，则2z x -和2z x +都是整数． 设,22z x z x d -+⎛⎫= ⎪⎝⎭，则存在正整数a 和b ，使 2z x da -=，2z x db +=，(),1a b =，于是()z d b a =+，()x d b a =-．由于(),1z x =，所以1d =，即,122z x z x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭． 由222x y z +=得2222y z x z x +-⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭． 这就可推出上式中右面两个因式都是平方数．设22z x p +=，22z x q -=， 这里0p q >>．(,)1p q =，于是可得2222,2,x p q y pq z p q =-==+．由于z 是奇数，所以p 、q 一奇一偶．这就证明了方程222x y z +=的任意一组解x 、y 、z (y 为偶数) 都可由①表示．评注 如果正整数x 、y 、z 满足方程222x y z +=，那么就称x 、y 、z 是一组勾股数．边长为正整数的直角三角形就称为勾股三角形．在勾股数x 、y 、z 中，如果这三个数的最大公约数是1，那么这样的勾股数就称为基本勾股数．如果 （x ，y ，z ）=1d >，那么设x dx =′，y dy =′，z dz =′，则有（x ′，y ′，z ′）=1，并且由222x y z +=得222222d x d y d z '+'='，两边除以2d ，得222x y z '+'='．所以我们只需研究基本勾股数．在基本勾股数x 、y 、z 中，x 和y 必定一奇一偶．这一点可以用反证法证明：假定x 和y 的奇偶性相同，那么有两种可能的情况：①x 和y 同奇，②x 和y 同偶．如果x 和y 同奇，由于奇数的平方是4的倍数加1，所以22x y +是4的倍数加2，于是2z 是偶数，z 也是偶数，而偶数的平方是4的倍数，这与4的倍数加2矛盾，所以x 和y 不能都是奇数．如果x 和y 都是偶数，那么z 也是偶数，这与x 、y 、z 是基本勾股数矛盾，所以x 和y 中一奇一偶．由此也可推出z 是奇数．★设x 、y 、z 是勾股数，x 是质数，求证：21z -和()21x y ++都是完全平方数． 解析()()222x z y z y z y =-=+-．因为x 是质数，所以2x 只有1、x 、2x 三个正约数．由于0z y z y +>->，所以有2,1.z y x z y ⎧+=⎨-=⎩由此得221z x -=，()21222x y x y ++=++()222121x x x =+-+=+， 所以21z -和2(1)x y ++都是完全平方数．★求证：222n n +、21n +、2221n n ++(n 是正整数)是一组勾股数．解析 因为n 是正整数，2222122n n n n ++>+，222121n n n ++>+．由 ()()2222221n n n +++ ()22222441n n n n =++++ ()()222222221n n n n =++++ ()22221n n =++, 所以222n n +、21n +、2221n n ++是一组勾股数．★若勾股数组中，弦与股的差为1，则勾股数组的形式为21n +、222n n +、2221n n ++，其中n 为正整数．解析 设弦长为c ，股长为1c -，勾为x ．因为（c ，1c -）=1，所以x 、1c -、c 为一组基本勾股数．又c 为奇数，1c -为偶数，则x 为奇数． 设21x n =+，则()()222211n c c ++-=，得2221c n n =++，2122c n n -=+． 所以，勾股数组具有形式21n +、222n n +、2221n n ++．★★求证：勾股三角形的直角边的长能取任何大于2的正整数． 解析 当n 是大于1的奇数时，212n -和212n +都是正整数，并且 222221122n n n ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．当n 是大于2的偶数时，214n -和214n +都是正整数，并且222221144n n n ⎛⎫⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．由以上两式可以看出，勾股三角形的一直角边n 可取大于2的任何正整数． ★★求证：在勾股三角形中， (1)必有一条直角边的长是3的倍数； (2)必有一条直角边的长是4的倍数； (3)必有一条边的长是5的倍数．解析 设该勾股三角形的三边的长分别为a 、b 、c （c 是斜边)，则222a b c +=．只要证明a 、b 、c 是基本勾股数时的情况．不失一般性，设b 为偶数，则 22a p q =-，2b pq =，22c p q =+，其中p 、q 满足上述定理中的条件．(1)若p 、q 中至少有一个是3的倍数，则b 是3的倍数；若p 、q 都不是3的倍数，设 31p k =±，31q l =±，则()()22223131a p q k l =-=±-±()22996k l k l =+±±是3的倍数．(2)由于p 、q 一奇一偶，所以2b pq =是4的倍数．(3)若a 、b 都不是5的倍数，则2a 的末位数是1或9；2b 的末位数字是4或6． 1+4=5，1+6=7，9+4=13，9+6=15，由于一个完全平方数的末位数不可能是7和3，所以 222c a b =+的末位数只可能是5．于是c 的末位数是5．评注 由此可推出，勾股三角形的面积必是6的倍数；三边之积必是60的倍数． ★★求基本勾股数组，其中一个数是16． 解析 设勾股数组x 、y 、z ，其中x =16． x =16=2×4×2=2×8×1，若4m =，2n =，有(,m n )-2≠1，从而只有8m =，1n =，(,)1m n =，且m 和n 为一奇一偶．于是22228163y m n =-=-=，22228165z m n =+=+=．从而，只有一组基本勾股数16、63、65．评注 若不要求基本勾股数，则x =16=2×4×2，设4m =，2n =，得 2212y m n =-=，2220z m n =+=．即16、12、20为一组勾股数．又22164322x ==⨯⨯，设232m =，22n =，得 2230y m n =-=，2234z m n =+=．即16、30、34为一组勾股数．★★设p 、m 、n 为一组勾股数，其中p 为奇质数，且n >p ，n >m ．求证：21n -必为完全平方数． 解析 因为p 、m 、n 为一组勾股数，n p >，n m >，则有222n m p =+． ()()222m n p n p n p =-=+-，m n p >-．设()1m n r r p =-<≤，则有()()222222p n m n n r r n r =-=--=-．因为1r p <≤，p 为奇质数，则1r =(否则，若1r p <<，则|r 2p ，矛盾)． 由1r =，得221p n =-，从而21n -是完全平方数．★★直角三角形的三边的长都是正整数，其中有一条直角边的长是35，它的周长的最大值和 最小值分别是多少?解析 设直角三角形的三边长分别是35，b ，c ，则 22235b c +=，即()()1225c b c b +-=．1225的大于35的正约数可作为c b +，其中最大的是1225，最小的是49，所以，直角三角形的周长的 最大值是 35+1225=1260， 最小值是35+49=84．★★设n 为大于2的正整数．证明：存在一个边长都是整数的直角三角形，它的一条直角边长 恰为n ．解析 只需证明不定方程222x n z +=，有正整数解．利用()()2z x z x n -+=，结合z x -与z x +具有相同的奇偶性，故当n 为奇数时，由（z x -，z x +）=（1，2n ），可得不定方程的一组正整数解 （x ，z ）=2211,22n n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭； 而当n 为偶数时，由条件，知n ≥4．利用 （z x -，z x +）=22,2n ⎛⎫⎪⎝⎭，可得不定方程的一组正整数解 （x ，z ）=2244,44n n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭． 综上，可知命题成立。
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一次不定方程的整数解及应用
重要定理： 设a 、b 、c 、d 为整数，则不定方程c by ax =+有：
1 、若,),(d b a =且d 不能整除c ，则不定方程c by ax =+没有整数解；
2、 若),(00y x 是不定方程c by ax =+且的一组整数解（称为特解），则⎩⎨⎧-=+=at
y y bt x x 00,（t 为整数）是方程的全部整数解（称为通解）. （其中d b a =),(,且d 能整除c ）.
求整系数不定方程c by ax =+的正整数解，通常有以下步骤：
（1）判断有无整数解； (2)求出一个特解； (3)写出通解；
(4)有整数t 同时要满足的条件（不等式组），代入通解，写出不定方程的正整数解. 例1:求下列不定方程的整数解：（1）862=+y x
解：原方程变形为：43=+y x ， 可知11x y ì=ïí=ïî
是此方程的一组整数解（特解）， ∴原方程的所有整数解为13()1x t t y t
ì=+ïí=-ïî为整数 （2）13105=+y x （3）211147=+y x 解： 解：
（4）11145=-y x
解：可知 是此方程的一组特解，∴原方程的所有整数解为
例2：求下列方程的正整数解.
（1）3147265x y += （2）23732=++z y x
例3：:设正整数m,n 满足698+=+mn n m ，则m 的最大值为。